数学建模计划生育分析
数学建模实践报告题目：计划生育政策的分析
学生姓名1：陈佳俊学号1：201420320102
学生姓名2：肖骁学号2：201420320207
学生姓名3：徐文晗学号3：201420320209
专业：信息与计算科学
指导教师：刘唐伟、胡康秀、徐德华、许志军老师2016年5月10日
摘要
近年来，我国人口增长趋势持续走低，相关部门针对有可能存在的问题提出了一系列新的人口政策。本文主要通过建立模型研究一孩政策、单独二孩和全面二孩政策对我国人口增长的影响，为此主要建立了三个模型。模型一是根据历年数据运用Logistic人口阻滞增长模型模型，对2013年至2030年的各年份中国总人口和增长率进行预测。模型二为假设国家不采用单独二孩政策而直接在2013年推行全面二孩政策，利用如今开放全面二胎后有生二胎意愿的育龄妇女数量做出2013年至2030年的预测模型。模型三利用已知数据建立仅采用单独二胎政策的人口增长模型。
最后，分别对模型一，模型二和模型三进行分析讨论“单独二孩”和“全面两孩”政策对人口的影响。
1.问题的提出与分析
1.1 问题的提出
新中国成立后，经济恢复，社会安定，医疗条件改善，人民生活水平提高，死亡率大幅下降，外加政府提倡人多力量大鼓励生育，人口快速增长，从建国初期的 5.4 亿人迅速增加到 1970 年的 8.3 亿人，人民群众在衣食住行等方面的困难日益突出，给经济社会发展带来了沉重压力。为控制人口过快增长，1980年党中央发表《关于控制我国人口增长问题致全体共产党员和共青团员的公开信》，提倡一对夫妇生育一个子女，1982 年，计划生育被确定为基本国策，并写入《宪法》之后，国家根据人口与经济社会发展的形势，不断调整完善计划生育政策。
而近年来，一孩政策的弊端越来越明显，国家统计局在1999年10月已经宣布中国进入了一个老龄化的社会，外加出生婴儿性别比的持续偏高，导致生育率下降过快。国家不得不推行新的计划生育政策。
2013年11月，十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策，即允许一方是独生子女的夫妇生育第二个孩子，人口政策的调整迈出重要一步。公开信息显示，符合政策的“单独”夫妇共有1100万对，全国各地启动时间不等，到2014年末有 107 万对单独夫妇申请再生育，所占比例为目标人群的十分之一。到2015年9月底，全国有 176 万对单独夫妻提出再生育申请，再生育申请数量平稳增加。在育龄妇女持续减少的情况下，2014年出生人口比上一年度增加了47万，二孩出生人数明显增加。
2015年10月29日，党的十八届五中全会决定，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略。全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策。全面两孩政策，是指所有夫妇，无论城乡、区域、民族，都可以生育两个孩子的政策。实施开放全面两孩政策，是继单独两孩政策之后生育政策的进一步调整完善，这是中央基于我国人口与经济社会发展的形势做出的重大战略决策。
国家推行新的计划生育政策对我国人口的数量、结构将产生很大的影响．因此，预测新政策对中国总人口和增长率的影响有重要意义。
1.2 问题的分析
人口的增长取决于环境和资源，我国针对于人口的增长有不同的政策，而这些政策决定了我国人口的大致趋势。由于计划生育政策，我国人口经历30多年非自然增长，结构变得愈加复杂，老龄化、性别比例失衡、乡村人口城镇化问题，都对我国人口增长有较大的影响。
我们首先要先对国家不推行新政策依旧以一孩政策为增长模式进行预测和分析。然后假设国家不推出单独二孩直接实行全面二孩政策，依据相关数据建立模型。最后根据实际情况，建立2000年到2016年的实际模型，依据相关数据推测出全面二孩政策开放后的预测模型，相拟合。因此，我们需要建立三个模型，利用三个模型分析新的计划生育政策对中国人口的影响。
2.模型假设和符号说明
2.1 模型假设
1.人口不会因发生大的自然灾害、突发事故或战争等而受到大的影响。
2.所采用的数据均真实有效。
3.一段时间内我国死亡率不会发生太大的波动，只在一个数值左右波动。
4.不考虑移民对人口的影响。
5.忽略偷生偷育多胞胎。
6.将二胎生育意愿来当作真实生育行为的预测指标
2.2符号说明 符号
意义
t
表示年份（选定初始年份
t
=0）
r 人口增长率 x
人口数量
Xm
自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 ()
x t 函数值，即第 t 年的人口
总数
()
f t 模型一人口模式的第 t 年
出生率
()
1f t 全面二胎之后的人口增长模式的第 t 年出生率 ()
d t
中国人口第 t 年的死亡
率
()
1r t
放开二胎之后的人口增长模式的第 t 年增长率 a
有意愿生育二胎的家庭占所有可生育家庭的百分比
3.模型建立
3.1 模型一Logistic 人口阻滞增长模型
3.1.1阻滞增长模型的原理：
阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，在对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量()r x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数
()x r ，则它应是减函数。
于是有
()dx
r x x dt
=， ()00x x =．
1（）
对()r x 的一个最简单的假定是，设()r x 为x 的线性函数，即
()r x r sx =- ()0,0r s >>． 2（）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为m x ，当m x x =时人口不再增长，即增长率()0m r x =，代入()2式得m
x r
s =
，于是()2式为 ()1m x r x r x ??
=- ???
，
）
（3
将()3代入()1得
()010m dx x rx dt x x x ???
=-? ?????=?
，．
）（4
解方程()4可得：
()011m
rt m x x t x e
x -=
??+- ???
． ）（5
在国家数据网查询得到我国从1980年到2013年（鉴于我国于1980年开始实
行计划生育，2013年11月才提出单独二孩。1980年以前的人口数据可能造成模型误差的扩大，所以我们取1980年到2013年为研究区间）的全国总人口的
数据如下表
表一 各年份全国总人口数（单位：千万）
年份 1980 1981 1982 1983
1984 1985 1986 1987 总人口 98.705 100.072 101.654 103.008 104.357 105.851 107.507 109.300 年份 1988 1989 1990 1991
1992 1993 1994 1995 总人口 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 年份 1996 1997 1998
1999
200
0 2001 2002 2003
总人
122.389 123.626 124.761 125.78126.74127.627 128.453 129.
227
口 6 3
年份2004 2005 2006
200
7
200
8
2009 2010 2011
总人口129.
988
130.
756
131.
448
132
.12
9
132
.80
2
133.
450
134.
091
134
．735
年
份
2012 2013
总人口135.
404
136.
072
对1980年到2014年的数据进行拟合，运用Matlab 编程得相关参数Xm=148.9609,r=0.0520,可得各年的拟合曲线
图1我国实行计划生育后第t年份人口变化趋势的拟合曲线
图二我国各年份人口变化趋势的拟合曲线
由此可知，这一时期，国家虽然对人口增长进行了干预，但国家的计划生育政策是基本稳定的，在此期间没有其它大的干扰，符合线性分布稳定增长。
3.1.2 对2014-2030年的各年份中国总人口进行预测
表二2014-2030年人口总数及增长率
年份（T）人口（单位增长率（‰）
2014 137.0506 4.0678
2015 137.6081 3.8767
2016 138.1415 3.6940
2017 138.6518 3.5189
2018 139.1397 3.3513
2019 139.6060 3.1926
2020 140.0517 3.0396
2021 140.4774 2.8951
2022 140.8838 2.7555
2023 141.2720 2.6219
2024 141.6424 2.4957
2025 141.9959 2.3747
2026 142.3331 2.2588
2027 142.6546 2.1499
2028 142.9613 2.0446
2029 143.2536 1.9585
2030 143.5322 1.8498
表2数据表示在不推行新的计划生育政策下我国人口增长模型
3.2 模型二仅实施全面二孩政策的人口增长模型
3.2.1 原理分析
全面二孩指所有夫妇均允许生育第二胎，相对比之前的一孩政策，可预知对人口的增长影响是巨大的，而出生率的变化影响人口增长率，并且影响人口结构，同时死亡率不会发生太大的波动，选择忽略。我们设有意愿生育二胎的家庭占所有可生育家庭的百分比为a，()
f t为全面开放二胎后第t年的人口增
1
长率。新京报讯称国家卫计委最近一次生育意愿调查显示，全国约有70~80%，
即约9000万育龄夫妻，有生育两个孩子的意愿和计划。假设此数据真实有效，则放开二胎政策后第t 年的出生率为：()()()11f t a f t =+。
表三 中国人口1978-2012年出生率、死亡率和自然增
长率
年份
出生率‰ 死亡率 ‰ 自然增长率‰ 年份 出生率‰ 死亡率 ‰ 自然增长率‰ 1981 20.91 6.36 14.55 1998 15.64 6.5 9.14 1982 22.28 6.6 15.68 1999 14.64 6.46 8.18 1983
20.19
6.9
13.29 2000 14.03 6.45 7.58 1984 19.9 6.82 13.08 2001 13.38 6.43 6.95 1985 21.04 6.78 14.26 2002 12.86 6.41 6.45 1986 22.43 6.86 15.57 2003 12.41 6.4 6.01 1987
23.33
6.72
16.61
2004
12.29
6.42 5.87
1988 22.3 6.64 15.72005 12.4 6.51 5.89
7 3
1989 21.5
8
6.54
15.0
4
2006
12.0
9
6.81 5.28
1990 21.0
6
6.67
14.3
9
2007 12.1 6.93 5.17
1991 19.6
8
6.7
12.9
8
2008
12.1
4
7.06 5.08
1992 18.2
4
6.64 11.6 2009
11.9
5
7.08 4.87
1993 18.0
9
6.64
11.4
5
2010 11.9 7.11 4.79
1994 17.7 6.49 11.2
1
2011
11.9
3
7.14 4.79
1995 17.1
2
6.57
10.5
5
2012
12.1
7.15 4.95
1996 16.9
8
6.56
10.4
2
2013
12.0
8
7.16 4.92
1997 16.5
7
6.51
10.0
6
2014
12.3
7
7.16 5.21
忽略不计。因此设死亡率为d(2104)=0.716。
根据国家卫计委最近一次生育意愿调查显示，全国约有70~80%，即约9000万育龄夫妻，有生育两个孩子的意愿和计划。因此设a=0.75。
()()()()()()11*20142014r t a r t d d =++-
3.2.2 模型求解
运用mtlab 利用上述数据对公式进行处理得到如下数据，如下表
表四 年人口（单位增长率人口（单增长率20137.0506 4.0678 137.4460 6.9653 20137.6081 3.8767 138.3587 6.6404 20138.1415 3.6940 139.2345 6.3298 20138.6518 3.5189 140.0744 6.0322 20139.1397 3.3513 140.8795 5.7473 20139.6060 3.1926 141.6512 5.4775 20140.0517 3.0396 142.3903 5.2174 20140.4774 2.8951 143.0982 4.9717 20140.8838 2.7555 143.7757 4.7344 20141.2720 2.6219 144.4237 4.5073 20141.6424 2.4957 145.0437 4.2927 20141.9959 2.3747 145.6365 4.0870 20142.3331 2.2588 146.2030 3.8900 20142.6546 2.1499 146.7447 3.7049 20142.9613 2.0446 147.2621 3.5259 20143.2536 1.9585 147.7597 3.3795 20143.5322
1.8498
148.0605
2.0362
（左侧为计划生育政策预测的未来人口，右侧为全面二孩政策预测的未来人口） 用matlab 分别画出计划生育政策和开放二胎政策的散点图，如下图
图三
由上述数据可知，在全面二胎政策下，到2020年我国的总人口约为14.24亿，与模型一相比，我国总人口的增长幅度为1.7%；到2030年我国总人口约为14.81亿，我国总人口的增长幅度为3.1%。
3.3 模型三 仅实施单独二孩政策的人口增长模型
3.3.1 原理分析
单独二孩政策指符合指定条件的夫妇允许生育“二胎”，相对比全面二胎加持了一些限制条件，使得能够生育二胎的夫妇只占可育孩夫妇的一小部分。2013 年11月，符合政策的“单独”夫妇只有1100万对，到2014年末有 107 万对单独夫妇申请生育，所占比例为目标人群的十分之一。因此假设a=0.097。
()()()()()()11*20142014r t a r t d d =++- 3.3.2模型求解
运用mtlab 利用上述数据对公式进行处理得到如下数据，如下表：
表五
年份 人口（单位增长率
2014 137.1054 4.4693
2015 137.6894 4.2597
2016 138.2483 4.0593
2017 138.7829 3.8672
2018 139.2940 3.6833
2019 139.7828 3.5092
2020 140.2499 3.3414
2021 140.6963 3.1829
2022 141.1441 3.0297
2023 141.5510 2.8832
2024 141.9395 2.7447
2025 142.3102 2.6120
2026 142.6638 2.4848
2027 143.0012 2.3654
2028 143.3229 2.2499
2029 143.6318 2.1554
2030 143.9242 2.0362 用matlab画出一孩政策和单独二孩政策的散点图，如下图：
图四
由上述数据可知，在单独二孩政策下，到2020年我国的总人口约为14.02亿，与模型一相比，我国总人口的增长幅度为0.14%；到2030年我国总人口约为14.81亿，我国总人口的增长幅度为0.27%。
结合以上数据，画出计划生育政策、单独二孩政策和全面二孩政策的散点图，如下图
图五
3.4模型综合分析
人口问题始终是经济和社会发展的核心问题，中国作为一个发展中国家，占据着世界19%的人口比重，所以处理好中国的人口问题对促进中国的经济社会发展至关重要。一孩政策从1980实施以来，经历了30多年，取得了相应的成效，有效的遏制了人口快速增长，为国家集聚了财富，优化了人均资源水平，但是由于其严重违背了人口自然规律，在取得成就的同时，所带来的负面影响也慢慢凸显出来，中国的人口、社会经济、环境形势发生了很大变化，出现了人口出生性别比例失调，劳动力市场供给不足，人口老龄化加剧等诸多问题。因此政府推出了新的计划生育政策。
我们将模型一与模型二、三对比可知人口增长率明显增加，可预知年龄结构将大幅改变，人口老龄化也将在未来得到缓解。
再对比模型二与模型三我们也不难发现，全面二胎模型比单独二胎模型人口增长率更快，我们不妨假设单独二胎政策为全面开放二孩政策的过渡，若直接开放全面二孩将导致一孩政策下的一孩家庭集中生育，近几年婴幼儿数量大增，年龄结构变化太快，社会负担加重，存在一定程度的出生堆积现象，但是若先开放单独二孩政策，再开放全面二孩政策，将一孩家庭分两批次生育，推迟全面放开二孩生育限制，将会使出生堆积问题有所缓解。
因此，根据模型我们可以认为单独二孩为全面开放二孩政策的先行政策，通过单独二孩的试行，我们可以简单推测全面二孩开放后的人口增长，以便做出相应措施，且单独二孩为全面二孩政策的施行降低了大量婴儿出生所带来的社会压力。
4.模型的优缺点评析
4.1 模型优点
1. 具有很好的创新性，在对传统模型理解的基础上建立人口增长模型，利用模型之间潜在的关系，对全面二胎实施后我国的人口进行了较为准确的预测。
2.本文的思路宽阔，根据不同的计划生育政策假想出两种情况，建立三个模型进行对比，使该模型具有很好的推广性和通用性。
3.模型的计算采用专业软件Matlab进行求解，数据可信度较高。
4.该模型中所涉及的数据大部分为“中国统计局”官方数据，可信度高，使得论文的说服力强，实际性更高。
4.2 模型缺点
1.影响人口增长预测的动态因素很多，此模型均采用假设变化微小忽略不计的想法建模，所以模型与实际还是有一些差距的。
2.本模型中预测‘二胎政策推行后人口发展’时，采用了国家卫计委的生育意愿调查的相关数据（全国约有70~80%育龄夫妻有生育两个孩子的意愿和计划），用意愿代替行为，直接用生育的意愿来当作真实生育行为的预测指标，与实际不符，所以模型与实际仍然存在差距。
3. 模型不够完善，只有人口增长模型，调查不够全面，所得到的相关结论太少，以偏概全。
4.基于模型的假设，出生率和死亡率也都会随时间的变化而有所变化，以及数据选取的有限性，因此预测的结果存在一定的误差．
5.问题解决
1）在收集相关数据的基础上，对当前我国人口形势做出分析，并据此建立模型分析“单独二孩”和“全面两孩”政策对人口的影响。
据上文模型建立及对比分析，可知单独二孩与全面二孩均是国家为推行一孩政策所带来的负面影响所施行的补救措施，且单独二胎政策为全面开放二孩政策的过渡，将一孩家庭分两批次生育，推迟全面放开二孩生育限制，使出生堆积问题有所缓解，尽可能降低年龄结构的变化速度。通过单独二孩的试行，我们也可以简单推测全面二孩开放后的人口增长，以便做出相应措施。
2) 卫计委副主任王培安说：实行全面两孩政策后，预计 2030 年我国总人口为 14.5 亿人。你是否赞同其观点，请建立模型进行分析。
根据所建立的模型得到数据，仅推行全面二孩政策在2030年我国人口将达到14.8亿，仅推行单独二孩政策在2030年我国人口将达到14.3，因此卫计委副主任王培安所说并不是无根据，但是此模型直接用生育的意愿来当作真实生育行为的预测指标，与现实还是存在差距，所以人口数量应在14.3亿至14.5亿之间。
3）在2030年前，我国是否还要调整生育政策，请给出未来我国人口政策的建议，并论证其合理性。
通过所建立的人口增长模型及国家数据网相关数据我们可知年龄结构将发生改变，人口老龄化也将得到缓解，但是速度仍较慢，社会仍面临着较大的经济压力，我国可适时且限时开放三孩政策，在期限内鼓励二孩，最多三孩，并对生育二孩的家庭采取奖励机制。此方针将有效加速降低30多年来实施一孩政策带来的负面影响。
4）将你们的研究结果写成一份不超过两页的简短报告，用于提交给有关部门。
见附录
6.参考文献
[1]．司守奎，孙玺菁著.《数学建模算法与应用》.普通高等院校‘十二五’规划教材
[2].chenqin，数据帝撰写.《单独二胎行不行，这些数据值得好好研究》.知乎日报
[3].王广州，胡耀岭撰写.《我国生育政策的历史沿革及发展方向》.中国新闻网
2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员 (签名) ： 队员1： 队员2： 队员3：
2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 2012年暑期培训数学建模第二次模拟
题目学生成绩的分析问题 摘要 本文针对大学高数和线代，概率论成绩进行建模分析，主要用到统计分析的知识及SPSS软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，以及课程之间的相关性。最后利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 问题一：每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检验，首先应该对数据进行正态分布检验，结论是各个专业的分数都服从正态分布，之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S检验）原理，利用SPSS软件进行单因素方差分析，得出方差分析表，进行显著性检验，最后得出的结论是高数1、高数2、线代和概率这四科成绩在两个专业中没有显著性差异。 问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，以每个专业不同班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。 问题三：我们通过对样本数据进行Spss的“双变量相关检验”得出相关系数值r、影响程度的P值，从而来分析出高数1、高数2与概率论、现代的相关性。 问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和 excel以及matlab软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影响学生成绩的相关因素, 以及大学生如何进行数学课程的学习。 问题一针对每门课程分析两个专业的数学成绩可以通过excel工具得出各门功课的平均值、方差 进行比较分析。 问题二针对专业分析两个专业的数学成绩的数学水平有无明显差异，可以运用平均数、方差进行 比较。并对两专业的数学成绩进行T检验，进一步分析其有无显著性差异。 问题三针对各班高数成绩和线代、概率论成绩进行散点图描述建立一元回归线性模型，然后对模 型进行求解，对模型进行改进。包括分析置信区间，残差等。 关键词：平均值方差 T检验一元回归线性模型置信区间残差 excel matlab
主 成分分析方法 地理环境是多要素的复杂系统，在我们进行地理系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息事实上，这种想法是可以实现的，这里介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。 一、主成分分析的基本原理 主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n个地理样本，每个样本共有p个变量描述，这样就构成了一个n×p阶的地理数据矩阵：
111212122212p p n n np x x x x x x X x x x ???=????L L L L L L L （1） 如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。 如果记原来的变量指标为x 1，x 2，…，x p ，它们的综合指标——新变量指标为z 1，z 2，…，zm （m≤p)。则 11111221221122221122,,......................................... ,p p p p m m m mp p z l x l x l x z l x l x l x z l x l x l x =+++??=+++????=+++?L L L （2）
初中学生数学建模能力调查与分析 （一）调查目的 《全日制义务教育课程标准》指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展”，“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释和应用的过程，使学生获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”。 因此培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力成为初中阶段数学教学的 首要任务之一，而数学建模教学正是为培养学生解决实际问题能力提供的一种有效途 径。笔者为了了解碧莲学区初级中学学生数学建模能力的现状及存在的问题，选取二所初中八年级各一个教学班学生进行测试和问卷调查，并对调查结果加以整理,以便为开展数学建模教学研究提供较可靠的资料。 （二）调查的对象 碧莲镇中学与大若岩镇中学初二年级的各一个教学班，共96名学生。（三）调查方式 采用数学建模能力测试题（共有3题，每题满分为20分）及数学建模学习状况问卷调查。 （四）学生的测试题及结果分析 测试要求学生在45分钟内完成三道数学建模题，每题满分为20分，要求学生在解答过程中，无论用什么方法解答，无论解答对否，均要写下解题过程或思考过程。 1、测试题 (1)某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去旅游，甲旅行社说:“如果校长买全价票一张，则其余学生可享受半价优待”，乙旅行社说:“包括校长在内全部按全 票价的6折优惠”（即按全票价的60%收费），若全票价为240元， ①设学生数为x，甲旅行社收费为y 甲，乙旅行社收费为y 乙 ，分别计算两家旅行 社的收费（建立表达式）； ②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?
摘要 回归分析和方差分析是探究和处理相关关系的两个重要的分支,其中回归分析方法是预测方面最常用的数学方法,它是利用统计数据来确定变量之间的关系,并且依据这种关系来预测未来的发展趋势。本文主要介绍了一元线性回归分析方法和多元线性回归分析方法的一般思想方法和一般步骤,并且用它们来研究和分析我们在生活中常遇到的一些难以用函数形式确定的变量之间的关系。在解决的过程中,建立回归方程,再通过该回归方程进行预测。 关键词:多元线性回归分析;参数估计;F检验
回归分析在数学建模中的应用 Abstract Regression analysis and analysis of variance is the inquiry and processing of the correlation between two important branches, wherein the regression analysis method is the most commonly used mathematical prediction method, it is the use of statistical data to determine the relationship between the variables, and based on this relationship predict future trends. introduces a linear regression analysis and multiple linear regression analysis method general way of thinking and the general steps, and use them to research and analysis that we encounter in our life, are difficult to determine as a function relationship between the variables in the solving process, the regression equation is established by the regression equation to predict. Keywords:Multiple linear regression analysis; parameter estimation;inspection II
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
数学建模比赛的选拔问题 卢艳阳 王伟 朱亮亮 （黄河科技学院通信系，） 摘要 本文是关于全国大学生数学建模竞赛选拔的问题，依据数学建模组队的要求，每队应具备较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件等的综合实力，在此前提下合理的分配队员，利用层次分析法，建立合理分配队员的数学模型，利用MATLAB ，LONGO 工具求出最优解。、 问题一：依据建模组队的要求，合理分配每个队员是关键，主要由团队精神、建模能力、编程能力、论文写作能力、思维敏捷以及数学知识等等，经过讨论分析，确定良好的数学基础、建模能力，编程能力为主要参考因素。 问题二：根据表中所给15人的可参考信息，我们对每个队员的每一项素质进行加权，利用层次分析法选出综合素质好的前9名同学，然后利用0-1规划的相关知识对这9人进行合理分组，利用MATLAB 、LINGO 得到其中一个如下的分 组：'1s 、10s 、4s ；2s 、11s 、14s ；6s 、13s 、8s 问题三：我们将所选出的这9名同学和这个计算机编程高手的素质进行量化加权，然后根据层次分析法，利用MATLAB 工具进行求解，得出了最佳解。由于我们选取队员参考的是这个人的综合素质，而不是这个人的某项素质，并由解出的数据可以看出这个计算机编程高手不能被直接录用。所以说只考虑某项素质，而不考虑其他的素质的同学是不能被直接录用的。 问题四：根据前面三问中的分组的思路，我们通过层次分析法先从所有人中依据一种量化标准选出符合要求的高质量的同学，然后利用0-1变量进行规划，在根据实际问题的约束，对问题进行分析，然后可以得出高效率的分组。
中国矿业大学数学建模常规赛竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国矿业大学数学建模常规赛论文格式规范和2016年中国矿业大学数学建模常规赛通知。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或资料（包括网上资料），必须按照规定的参考文献的表述方式列出，并在正文引用处予以标注。在网上交流和下载他人的论文是严重违规违纪行为。 我们以中国矿业大学大学生名誉和诚信郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权中国矿业大学数学建模协会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们的参赛队号：25 参赛队员(打印并签名)：1. 易阳俊 2. 令月霞 3. 刘景瑞 日期： 2016 年 10 月日 （请勿改动此页内容和格式。此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面。以上内容请仔细核对，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
中国矿业大学数学建模常规赛竞赛 编号专用页 评阅统一编号（数学建模协会填写）：
题目：数据的分析问题 摘要 本文需要解决的问题是如何根据就诊人员体内7种元素含量来判别某人是否患有疾病G和确定哪些指标是影响人们患疾病G的主要因素。通过解读题目可知，此类问题为典型的分析判别问题。我们先对数据进行了预处理，剔除了有异常数据的样本，然后采用元素分布判别法、马氏距离判别法和Fisher判别法，应用Excel、SPSS和MATLAB等软件来对某人是否患病进行判别，并通过绘制7种元素含量的折线图等来确定患该疾病的主要因素，最后应用综合判别法对之前的结论进行了检验。 对于问题一，在对数据预处理之后，我们删除了序号为10这个高度异常数据样本，然后我们分别采用元素分布判别法、马氏距离判别法和Fisher判别法对49个已知病例进行判别。对于元素分布判别法，我们通过数据预处理知道7种元素含量分布均符合正态分布，然后我们确定了以均值为大致中心的元素正常含量范围，得出其判别准确度为96%；对于马氏距离判别法，通过编写MATLAB 程序（见附录）来进行判别，得出其判别准确度为90%；对于Fisher判别法，通过SPSS软件来进行判别，得到线性判别函数，其判别准确度为96%； 针对问题二：我们运用问题一中建立的三个判别模型对25名就诊人员（见附录）的化验结果进行检验，判别结果如下表1: 行对分析，我们初步判定元素4与元素5是影响人们患疾病G的主要因素，然后用方法一的三种判别方法进行检验，其准确度在85%以上； 对于问题四，我们根据问题三得出的主要因素，分别用三种判别方法对25名就诊人员进行判别，再与问题二的判别结果进行对比，可知它们判断结果之间的差异性最高为24%。 对于问题五，由于三种判别法都有不足，所以我们采用了综合判别法，将三种判别方法的结果进行综合判断，最终我们通过主要因素进行判别的差异性下降到了12%，与问题一的判断结果的一致性达到了88%。 关键词：马氏距离判别，Fisher判别，综合判别，MATLAB，SPSS
根据主成分分析的方法，分析……的数据。步骤如下： Step 1：为了消除不同变量的量纲的影响，首先需要对变量进行标准化，设检测数据样本共有n 个，指标共有p 个，分别设1X ,2X ,p X ，令ij X (i=1,2,…,n;j=1,2,…,p)为第i 个样本第j 个指标的值。作变换 ) Var(X )E(X X Y j j j j -= (j=1,2,…,p) 得到标准化数据矩阵j j ij ij s x x y -= ，其中∑==i 1i ij j x n 1x ,∑=-=n 1 i 2j ij 2 j )x x (n 1s Step 2：在标准化数据矩阵p n ij )y (Y ?=的基础上计算p 个原始指标相关系数矩阵 ??? ??? ????? ???==?pp 2 p 1p p 22221p 112 11p p ij r r r r r r r r r )r (R ΛM M M M Λ Λ 其中，∑∑∑===----= n 1 k n 1 k 2 j k j 2i k i n 1 k j k j i k i ij )x x ()x x () x x )(x x (r (i,j=1,2,…,p) Step 3：求相关系数矩阵R 的特征值并排序0p 21≥λ≥≥λ≥λΛ,再求出R 的特征值相应的正则化特征向量)e ,,e ,e (e ip i21i i K =，则第i 个主成分表示为各指标k X 的组合∑=?=p 1i k ik i X e Z 。 Step 4：计算累积贡献率确定主成分的数目。主成分i Z 的贡献率为 )p ,,2,1i (w p 1 k k i i Λ=λ λ= ∑= 累计贡献率为 ) p ,,2,1i (p i 1 k k Λ=λ∑=
现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,
案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题： 目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析： 分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。 最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。 案例分析2：城市商业中心最优位置分析 问题： 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。
学习-----好资料 2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3： 更多精品文档． 学习-----好资料 2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：
竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：年暑期培训数学建模第二次模拟2012更多精品文档．学习-----好资料
学生成绩的分析问题题目 摘要主要用到统计分析的概率论成绩进行建模分析，本文针对大学高数和线代，软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从SPSS知识及最后利用分以及课程之间的相关性。而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，析结论表明了我们对大学数学学习的看法。每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检问题一：结论是各个专业的分数都服从正态分布，首先应该对数据进行正态分布检验，验，软件进行原理，检验）利用SPSS之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S、进行显著性检验，最后得出的结论 是高数1单因素方差分析，得出方差分析表，高数2、线代和概率这四科成绩 在两个专业中没有显著性差异。以每个专业不同问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。的“双变量相关检验”得出相关系问题三：我们通过对样本数据进行Spss 与概率论、现代的相关、高数2、影响程度的P值，从而来分析出高数1数值r 性。问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门 课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影matlabexcel以及, 响学生成绩的相关因素以及大学生如何进行数学课程的学习。工具得出各针对每门课程分析两个专业的数学成绩可以通过excel问题一门功课的平均值、方差进行比较分析。可以运针对专业分析两个专业的数学成绩的数学水平有无明显差异，问题二用平均数、方差进行检验，进一步分析其有无显著性差异。比较。并对两专业的数学成绩进行T概率论成绩进行散点图描述建立一元回归针对各班高数成绩和线代、问题三 线性模型，然后对模型进行求解，对模型进行改进。包括分析置信区间，残差等。检验一元回归线性模型置信区间 T 关键词：平均值方差 excel matlab 残差 更多精品文档． 学习-----好资料 关键词：单因素方差分析、方差分析、相关分析、 spss软件、更多精品文档． 学习-----好资料 一、问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题： （1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？
数学建模与数学实验 课程设计 学院数理学院专业数学与应用数学班级学号 学生姓名指导教师 2015年6月
数据的统计分析 摘要 问题：某校60名学生的一次考试成绩如下： 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；检验分布的正态性； 若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数； 模型：正态分布。 方法：运用数据统计知识结合MATLAB软件 结果：符合正态分布
问题重述 某校60名学生的一次考试成绩如下： 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、偏差、峰度，画出直方图； （2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。 模型假设 假设一：此组成绩没受外来因素影响。 假设二：每个学生都是独自完成考试的。 假设三：每个学生的先天条件相同。 三．分析与建立模型 像类似数据的信息量比较大，可以用MATLAB 软件决绝相关问题，将n 名学生分为x 组，每组各n\x 个学生，分别将其命为1x ，2X ……j x 由MATLAB 对随机统计量x 进行命令。此时对于直方图的命令应为 Hist(x,j) 源程序为： x1=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 ] x2=[77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 ] x3=[79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 ]
数学课程的成绩分析(数模大作业)
2012年4月西安电子科技大学学报（自然科学版） Apr.2012 第X卷第X期JOURNAL OF XIDIAN UNIVERSITY Vol.XX No.X 数学课程的成绩分析 摘要：本文讨论了B题中给出的对大学数学课程的成绩分析的一种分析方 法，根据题目中提供的甲乙两专业4门数学学科的成绩，对成绩进行分类汇 总，再通过数理统计的方法进行对成绩的分析，运用Excel、Matlab绘出图 表，直观的分析甲乙专业，各数学学科的一些统计量。再查找数学教育的相 关资料，建立合理的数学水平评价模型。最后建立数学学科之间的相关回归 模型，利用Matlab进行回归检验，从而讨论各个数学学科之间的关系。 关键词：层次分析法统计回归方法一元线性回归数学水平评估模型 1问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题： （1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？ （3）高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况？ （4）根据你所作出的以上分析，面向本科生同学阐述你对于大学数学课程学习方面的看法。2模型假设和符号说明 2.1模型假设 1）甲专业24号同学高数I成绩433，不属于0-100分，所以当无效数据处理，不考虑它的影响。 2）考试成绩反映的是学生的真实水平。 3）高数成绩和线性代数、概率论与数理统计有相关关系。 4）将高数成绩定义为将高数I的成绩和高数II的成绩取平均。 5）两个专业的老师教课水平是一样的。 6）学生本科前的数学水平是相近的。 7）两专业的人数可以真实反应学生水平。 2.2符号说明 x：把高数成绩作为一元线性回归模型的自变量。
高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部20KK 年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数P 与按新价让利总额P 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数P 与按新价让利总额P 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b 化简得a b 4 5=，所以x a bx y ??==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路P （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程P 和时间t 得函数关系式P （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离Pkm 与时间th 之间的关系式是：?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。 速度vkm/h 与时间th 的函数关系式是：?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。 解：设小矩形长为P ，宽为P ，则由图形条件可得：l y x x =++911π ∴x l y )11(9π+-= 要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则： )44(32)442(644])11([322622 222 2ππππππ+++-+-=+-+=+=l l x x lx x xy x s
题目1 1．某校60名学生的一次考试成绩如下: 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图； （2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。
一、模型假设 1、假设60名同学的成绩记录准确。 2、假设60名同学的成绩服从正态分布。 二、模型的分析、建立与求解 第（1）小题是求60名同学成绩的均值、标准差、极差、偏度、峰度，并画出直方图。根据题目已给的数据用matlab求解，命令分别为：均值：mean(x) 中位数：median(x) 标准差：std(x) 方差：var(x) 偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x) matlab求解过程如下： 1、数据的输入 x=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]； 2、用相应的命令求解 均值：mean(x) ans =80.1000 标准差：std(x) ans = 9.7106 极差：range(x) ans = 44
数学建模的主要步骤: 第一、模型准备 首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征. 第二、模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化. 第三、模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天.不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值. 第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重. 第五、模型分析 对模型解答进行数学上的分析."横看成岭侧成峰,远近高低各不?quot;,能否对模型结果作出细致精当的分析,决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析. 数学建模采用的主要方法有： （一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模 型. 1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法. 2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法. 3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用. 4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬时变化率”的表达式. 5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律. （二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型 1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. 2、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. 3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.
灵敏度分析 简介： 研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。 用途： 主要用于模型检验和推广。简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。 举例（建模五步法）： 一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。 建立数学模型的五个步骤： 1.提出问题 2.选择建模方法 3.推到模型的数学表达式 4.求解模型 5.回答问题 第一步：提出问题 将问题用数学语言表达。例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P（美元）。还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。 （建议先写显而易见的部分） 猪从200磅按每天5磅增加 （w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天） 饲养每天花费45美分 （C美元）=（0.45美元/天）*（t天） 价格65美分按每天1美分下降 （p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天） 生猪收益 （R美元）=（p美元/磅）*（w磅） 净利润 （P美元）=（R美元）-（C美元） 用数学语言总结和表达如下： 参数设定： t=时间（天）
w=猪的重量（磅） p=猪的价格（美元/磅） C=饲养t天的花费（美元） R=出售猪的收益（美元） P=净收益（美元） 假设： w=200+5t C=0.45t p=0.65-0.01t R=p*w P=R-C t>=0 目标：求P的最大值 第二步：选择建模方法 本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题 第三步：推导模型的数学表达式子 P=R-C （1） R=p*w （2） C=0.45t （3） 得到R=p*w-0.45t p=0.65-0.01t （4） w=200+5t （5） 得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t 令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值： y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1） 第四步：求解模型 用第二步中确定的数学方法解出步骤三。例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。 第五步：回答问题 根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。只要第一步中的假设成立，这一结果正确。