2021年高考数学专题分类汇编：三角函数(含答案)

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22．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．(Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； (Ⅱ)由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34。

23。

在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．(Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△,求BC 的长． 解:（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ········· 5分 （Ⅱ)由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由(Ⅰ)知33sin 65A =,故65AB AC ⨯=， ······················· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==．··················· 10分24。

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。

2021年高考数学中“三角函数与解三角形多选题”的类型分析及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π34g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是33⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值32，所以函数的值域是31,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确；求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.5．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ）A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin 3a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.7．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()10αβ+=-，则（ ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 555αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-， 所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误．【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.8．已知函数)()lg1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1BC ．3D ．4【答案】CD 【分析】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lglgx x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数， 不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lgy x =单调递增，x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lgx x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lgx x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++， 令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】 因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确.故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.。

授课资料范本2021版新高考数学：三角函数的图象与性质含答案编辑： __________________时间： __________________第三节三角函数的图象与性质[考点要求 ] 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝ tan x 的图象，认识三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质 (如单调性、最大值和最小值、π π图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数在区间－2，2内的单调性．(对应学生用书第70 页)1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 y＝sin x， x∈[0 ，2π]图象的五个要点点是： (0，0)，π，( π，，123π0)，2，－ 1 ，(2 π，0).π余弦函数 y＝cos x， x∈ [0，2π]图象的五个要点点是： (0，1)，2，0 ， ( π，3π－1)， 2 ，0，(2π，1).2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝ tan x 图象定义域R值域[－1，1]递加区间：ππ，＋， k∈2kπ－22kπ2单调性Z ，递减区间：2kπ＋π2k＋3π，，k∈2π2ZR[－1，1]递加区间： [2kπ－π，2kπ]，k∈Z ，递减区间： [2kπ， 2kπ＋π]，k∈Zπx x≠ k＋π2，k∈ZR递加区间ππ，＋，kkπ－2kπ2∈Z奇偶性奇函数对称中心 (kπ， 0)，k∈Z 对称性π对称轴 x＝ kπ＋2(k∈Z)周期性2π[ 常用结论 ]偶函数奇函数对称中心kππ对称中心2，0，k kπ＋2， 0，k∈Z∈Z对称轴 x＝ kπ(k∈ Z)2ππ1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个1周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是4个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．一、思虑辨析 (正确的打“√〞，错误的打“×〞 )(1)函数 y ＝ sin x 的图象关于点 (k π，0)(k ∈ Z)中心对称． ( )(2)正切函数 y ＝tan x 在定义域内是增函数． ()(3) y ＝ k sin x ＋1，x ∈R ，那么 y 的最大值为 k ＋ 1.( )(4)y ＝ sin |x|与 y ＝|sin x|都是周期函数． () [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×二、教材改编1．函数 y ＝tan 2x 的定义域是 ( )A ． xπx ≠ k ＋π ，k ∈Z4 B ． x k π πx ≠ ＋ ，k ∈Z2 8 C ． xπ x ≠ k ＋π ，k ∈Z8 D ． x k π πx ≠ ＋ ，k ∈Z2 4π k π πD [由 2x ≠k π＋2， k ∈ Z ，得 x ≠2 ＋4，k ∈ Z ，k π π∴ y ＝ tan 2x 的定义域为 x x ≠2 ＋4，k ∈Z .]π2．函数 f(x)＝cos (2x ＋4)的最小正周期是 ________．2ππ [T ＝ 2 ＝π.]． ＝πsin 2x － 的单调减区间是 ________．3 y 43π 7π π π π π， ∈ 得 2x2k8 8 (k Z) [ 2 2k 4 2 k Z3π7π8 ＋k π≤ x ≤ 8 ＋k π， k ∈Z .]ππ4．y ＝3sin (2x － 6)在区间 [0，2]上的值域是 ________．3 π π π 5π [－2，3] [ 当 x ∈[0 ，2]时， 2x －6∈[ －6， 6 ] ，π 1，1]，故 3sin (2x － π － 3，3]，∈ sin (2x －6)∈ [－26) [2π3即 y ＝3sin (2x －6)的值域为 [－2，3].](对应学生用书第 71 页)考点 1三角函数的定义域和值域1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和 cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把 sin x， cos x， sin x cos x 或 sin x± cos x 换成 t，转变成二次函数求解．π1.函数 f(x)＝－ 2tan (2x＋6)的定义域是()πA ． x|x ≠6πB ． x|x ≠－ 12π C ． x|x ≠ k ＋π 〔k ∈ Z 〕6k π πD ． x|x ≠2 ＋6〔k ∈ Z 〕ππD [由正切函数的定义域 ，得 2x ＋6≠k π＋2，k ∈ Z ，k π π即 x ≠ 2 ＋6(k ∈ Z)，应选 D.]3π2．(20xx ·全国卷 Ⅰ)函数 f(x)＝ sin (2x ＋ 2 )－3cos x 的最小值为 ________．3π － 4 [f(x)＝sin (2x ＋ 2 )－3cos x ＝－ cos 2x － 3cos x ＝－ 2cos 2x －3cosx ＋ 1，令 cos x ＝t ，那么 t ∈[－ 1， 1].23217 f(t)＝－ 2t －3t ＋ 1＝－ 2(t ＋ 4) ＋ 8 ，易知当 t ＝1 时，f(t)min ＝－ 2×12－ 3× 1＋ 1＝－ 4.故 f(x)的最小值为－ 4.]．函数ππ∈ － ，a]，假设 f(x)的值域是 [ －1，1]，3f(x)＝sin (x ＋6)，其中 x [ 3 2那么实数 a 的取值范围是 ________．ππ[ 3， π][ ∵x ∈[－ 3， a] ，π π π ∴ x ＋ 6∈ [ －6，a ＋6]，π π π1∵当 x ＋6∈[ －6，2]时， f(x)的值域为 [－2，1] ，ππ 7π π ∴由函数的图象 (图略 )知2≤a ＋6≤ 6 ，∴3≤a ≤π.]4．函数 y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为 ________．12＝ sin 2x ＋cos 2x － 2sinx · cos x ， sin x [－2－ 2，1][ 设 t ＝sin x －cos x ，那么 t＝1－ t2，且－ 2≤ t ≤ 2.cos x 2t211∴ y＝－2＋t＋2＝－2(t－1)2＋ 1， t∈[ －2， 2].当 t＝ 1 时，y max＝ 1；1当 t＝－2时，y min＝－2－ 2.1∴函数的值域为 [－2－2，1].]求解三角函数的值域(最值 )常有的几各种类(1)形如 y＝ a sin x＋b cos x＋c 的三角函数化为y＝ A sin (ωx＋φ)＋ c 的形式，再求值域 (最值 ).(2)形如 y＝ a sin2x＋ b sinx＋c 的三角函数，可先设 sin x＝ t，化为关于 t 的二次函数求值域 (最值 ).(3)形如 y＝ a sin3x＋ b sin2x＋c sinx＋ d，近似于 (2)进行换元，尔后用导数法求最值．考点 2三角函数的单调性(1)形如 y＝ A sin (ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看作一个整体，再结合图象利用y＝sin x 的单调性求解； (2)若是函数中自变量的系数为负值，要依照引诱公式把自变量系数化为正当，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数 f(x)＝tan (2x－π3)的单调递增区间是 ()kπ π kπ 5πA．[ 2－12，2＋12](k∈Z)kπ π kπ 5πB．( 2－12，2＋12)(k∈ Z)π2πC． (kπ＋6， kπ＋3 )(k∈Z)π5πD． [kπ－12，kπ＋12](k∈Z)13π(2)(20xx 大·连模拟 )函数 y＝2sin x＋2 cos x(x∈[0，2]) 的单调递加区间是________．ππππ(1)B(2)[0 ，6][(1) 由 kπ－2＜ 2x－3＜kπ＋2(k∈ Z)，kπ πkπ 5π得2－12＜x＜2＋12(k∈Z)，πkππkπ 5π所以函数 f(x)＝tan (2x－3)的单调递加区间为 ( 2－12，2＋12)(k∈ Z)，应选B.13π(2)∵y＝2sin x＋2cos x＝sin (x＋3)，πππ由 2kπ－2≤x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)，5ππ解得 2kπ－6≤x≤2kπ＋6(k∈Z).5ππ∴函数的单调递加区间为[2kπ－6，2kπ＋6](k∈ Z)，ππ又 x∈[0，2]，∴单调递加区间为 [0，6].]本例 (2)在用整体思想求得函数y ππ＝sin (x＋3)的所有增区间后，采用对 k 赋值的方式，求得 x∈ [0 ，2]上的单调增区间．依照函数的单调性求参数(1) ω＞0，函数 f(x)＝sinπ πωx， π2＋4 在 上单调递减，那么 ω的取值范围是 ()A ．(0，2]B ． 0，12 1 31 5 C ． 2，4D ． 2，4 (2)(20xx 全·国卷 Ⅱ )假设 f(x)＝cos x － sin x 在 [0，a] 是减函数，那么 a 的最大值是()ππ3πA ． 4B ．2C ． 4D ．π由ππ3π 2k π π2k π 5π(1)D (2)C[(1) ≤ωx ＋ ≤2k π＋2，得ω ＋≤ x ≤ω ＋ ， k2k π＋244ω4ω∈Z ，π π因为 f(x)＝sin ωx＋ 4 在 2， π上单调递减，2k π π π1ω ＋≤ ，，所以4ω 2 解得 ω≥ 4k ＋2 因为 k ∈Z ，ω＞0，所以 k ＝0，2k π 5π5ω≤ 2k ＋ω ＋ ≥π， ．4ω 41 5 1 5所以 2≤ω≤4，即 ω的取值范围为 2，4 .应选 D.π(2)f(x)＝cos x －sin x ＝－ 2sin x －4 ，ππππ 3π12/24sin x－ππ4单调递加，－ 2sin x－4单调递减，π 3π∴ －4，4是 f(x)在原点周边的单调递减区间，π 3π结合条件得 [0，a]?－4，4，3π3π∴ a≤4，即 a max＝4，应选 C.]单调区间求参数范围的 3 种方法求出原函数的相应单调区间，由区间是所求某区间的子集，子集法列不等式 (组)求解由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数反子集法的某个单调区间的子集，列不等式 (组)求解由所给区间的两个端点到其相对付称中心的距离不高出14周期列周期性法不等式 (组)求解1.假设函数 f(x)＝ sin ωx(ω＞ 0)在区ππ π间[0，3] 上单调递加，在区间 [ 3，2] 上单调递减，那么ω＝________．3Tπ4π2π 32[ 由得4＝3，∴T＝3，∴ω＝T＝2.]－＋π2．函数＝sin2x的单调减区间为________．f(x)3π5ππkπ－12，kπ＋12 (k∈ Z)[ 由，得函数为 y＝－ sin (2x－3)，欲求函数的π单调减区间，只需求 y＝ sin (2x－3)的单调增区间即可．πππ由 2kπ－2≤2x－3≤ 2kπ＋2，k∈ Z ，π5π得 kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈Z .π，＋5π故所求函数的单调减区间为 kπ－12kπ12 (k∈Z).]考点 3三角函数的周期性、奇偶性、对称性14/24求解三角函数 y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是依照 y＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(20xx 全·国卷 Ⅱ )以下函数中，ππ π 单调递加的是 ()以2为周期且在区间 4，2 A ． f(x)＝ |cos 2x| B ． f(x)＝ |sin 2x|C ． f(x)＝ cos |x|D ． f(x)＝ sin |x|π(2)假设函数 f(x)＝2tan (kx ＋ 3)的最小正周期 T 满足 1＜T ＜2，那么自然数 k 的值为________．(1)A (2)2 或 3 [(1) 关于选项 A ，作出 y ＝|cos 2x|的局部图象 ，如图 1 所π ππ示，那么 f(x)在( 4， 2)上单调递加 ，且最小正周期 T ＝ 2，故 A 正确．π π关于选项 B ，作出 f(x)＝|sin 2x|的局部图象 ，如图 2 所示，那么 f(x)在( 4， 2)上π单调递减 ，且最小正周期 T ＝ 2，故 B 不正确．关于选项 C ，∵ f(x)＝ cos |x|＝cosx ，∴最小正周期 T ＝ 2π，故 C 不正确．关于选项 D ，作出 f(x)＝sin |x|的局部图象 ，如图 3 所示．显然 f(x) 不是周期函数，故 D 不正确．应选 A.图1图2]图 3ππ(2)由题意得，1＜k＜2，∴ k＜π＜ 2k，即2＜k＜π，又 k∈Z，∴ k＝2 或 3.]公式莫忘绝对值，对称抓住“心〞与“轴〞(1)公式法求周期2π①正弦型函数 f(x)＝ A sin (ωx＋φ)＋B 的周期 T＝； |ω|2π②余弦型函数 f(x)＝ A cos (ωx＋φ)＋ B 的周期 T＝； | ω|π③正切型函数f(x)＝ A tan (ωx＋φ)＋B 的周期 T＝.| ω|(2)对称性求周期T①两对称轴距离的最小值等于2；T；②两对称中心距离的最小值等于2T③对称中心到对称轴距离的最小值等于4.(3)特色点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T；②两个最小值点之差的最小值等于T；T特色点法求周期实质上就是由图象的对称性求周期，因为最值点与函数图象的对称轴相对应． (说明：此处的 T 均为最小正周期 )三角函数的奇偶性π函数 f(x)＝3sin (2x－3＋φ)，φ∈ (0，π ).(1)假设 f(x)为偶函数，那么φ＝________；(2)假设 f(x)为奇函数，那么φ＝________．5ππ(1)6π (2)3[(1) 因为 f(x)＝3sin (2x－3＋φ)为偶函数，ππ所以－3＋φ＝kπ＋2，k∈ Z ，5π又因为φ∈ (0，π)，所以φ＝6 .π(2)因为 f(x)＝3sin (2x－3＋φ)为奇函数，π所以－3＋φ＝kπ，k∈ Z ，又φ∈(0，π)，π所以φ＝3.]假设 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠π0)，那么① f(x)为偶函数的充要条件是φ＝2＋kπ(k∈ Z)；② f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).三角函数的对称性π(1)函数 f(x)＝2sin (ωx＋6)(ω＞0)的最小正周期为 4π，那么该函数的图象 ( )πA ．关于点 (3，0)对称5πB ．关于点 ( 3 ， 0)对称πC ．关于直线 x ＝3对称5πD ．关于直线 x ＝ 3 对称ππ π(2)函数 y ＝sin (2x ＋φ)(－2＜φ＜2)的图象关于直线x ＝3对称，那么 φ的值为________．ππ(1)B (2)－6 [(1) 因为函数 f(x)＝ 2sin (ωx＋6)(ω＞0)的最小正周期是 4π，而2π1T ＝ ω＝4π，所以 ω＝2，x π即 f(x)＝2sin (2＋6).π π 2π 令 x＋ ＝ ＋ k π(k ∈Z)，解得 x ＝3 ＋2k π(k ∈Z)，2 622π故 f(x)的对称轴为 x ＝ 3 ＋2k π(k ∈Z)，x ππ令 2＋ 6＝ k π(k ∈Z)，解得 x ＝－ 3＋2k π(k ∈Z).π故 f(x)的对称中心为 (－3＋2kπ， 0)(k∈Z)，对照选项可知 B 正确．π2π(2)由题意得 f(3)＝ sin ( 3＋φ)＝±1，2πππ∴3＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，∴φ＝kπ－6(k∈Z).π ππ∵φ∈ (－2，2)，∴φ＝－6.]三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法π假设求 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω≠ 0)图象的对称轴，那么只需令ωx＋φ＝2＋kπ(k∈Z)，求 x；假设求 f(x)＝ A sin (ωx＋φ)(ω≠ 0)图象的对称中心的横坐标，那么只需令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)，求 x.π1.[ 多项选择 ] 设函数 f(x)＝cos (x＋3)，那么以下结论正确的选项是 ()A ． f(x)的一个周期为－ 2π8πB． y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称πC． f(x＋π)的一个零点为x＝6πD． f(x)在 (2，π)上单调递减πABC [A 项，因为 f(x) ＝cos (x＋3)的周期为 2kπ(k∈ Z)，所以 f(x)的一个周期为－ 2π，A 项正确；ππB项，因为 f(x)＝cos (x＋3)图象的对称轴为直线 x＝ kπ－3(k∈Z)，所以 y＝8πf(x)的图象关于直线 x＝3对称，B 项正确；4πC 项，f(x＋π)＝cos (x＋3 ).4ππ令 x＋3＝ kπ＋2(k∈Z)，5ππ得 x＝kπ－6，当 k＝ 1 时，x＝6，π所以 f(x＋π)的一个零点为 x＝6，C 项正确；ππ2π3332π 5π单调递加区间为 [2k π＋ 3 ， 2k π＋ 3 ](k ∈Z)，π 2π2π 所以 (2， 3 )是 f(x)的单调递减区间 ，[ 3 ，π)是 f(x)的单调递加区间 ，D 项错误． ]π2．(20xx ·成都模拟 )函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜ 2)的最小正周期为π4π，且 ? x ∈R ，有 f(x)≤f(3)成立，那么 f(x)图象的一个对称中心坐标是 ()A ．(－ 2ππ 3 ，0) B ．(－ ，0)3 2π5π C ．( 3 ， 0)D ． (3，0)1A [由 f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为 4π，得 ω＝2.π因为 f(x)≤f(3)恒成立，π所以 f(x)max ＝f(3)，即π π1× ＋ φ＝ ＋ 2k π(k ∈Z)，2 32ππ由 |φ|＜2，得 φ＝3，1 π 故 f(x)＝sin (2x ＋3).1 π2π令 2x ＋3＝k π(k ∈ Z)，得 x ＝2k π－ 3 (k ∈ Z)，2π 故 f(x)图象的对称中心为 (2k π－ 3 ， 0)(k ∈Z)，2π当 k ＝0 时，f(x)图象的对称中心为 (－ 3 ，0).]。

三角函数与解三角形一、单选题 一、单选题1．（2021·江苏盐城市·高三二模）计算2cos10sin 20cos 20︒-︒︒所得的结果为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】将cos10︒转化成cos(3020)︒-︒，展开整理化简即可. 【详解】2cos10sin 202cos(3020)sin 20cos 20cos 20︒-︒︒-︒-︒=︒︒==故选：C2．（2021·浙江高一期末）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度值为,y 该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y 与x 近似满足23.43929110.01720279y sin x =.则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为(精确到1)（ ） 参考数据182.62110.01720279π≈A ．95B ．96C ．97D ．98【答案】C 【解析】求得y 的最小正周期，由此求得每400年差的天数，由此确定需要设定的闰年的个数. 【详解】()2182.62112365.2422,40036596.88970.01720279T T π=≈⨯=-=≈，所以应设定闰年的个数为97.故选：C3．（2021·山东高三专题练习）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750- C ．2100-D ．3500-【答案】B 【解析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果. 【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.4．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()()2sin ln1f x x x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据()00f =，排除B 、C 选项；再由函数的奇偶性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数())2sin ln 1f x x x x =+，可得()00f =，可排除B 、C 选项；又由()())2sin ln1f x x x x -=-+=22211sin ln 1x x x x x x x +++--+-⎝)122sin ln sin ln 11x x x xx x -⎛⎫=-=-++-)()2sin ln1x x x f x =+=，所以函数()f x 为偶函数，所以排除D 选项. 故选：A.5．（2021·河南高三月考（文））函数2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+的图象向右平移24π个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x ，下列说法不正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于直线524x π=对称 C ．()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【答案】C 【解析】将函数转化为()f x =2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由平移变换得到()g x 2sin 212x π⎫⎛=+⎪⎝⎭，然后逐项判断. 【详解】因为()23sin cos f x x x =-22sin 12sin 26x x π⎫⎛+=+ ⎪⎝⎭．其图象向右平移24π个单位长度后得到函数()2sin 2246g x x ππ⎡⎤⎫⎛=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 212x π⎫⎛=+ ⎪⎝⎭的图象．所以()g x 的最小正周期为π，故A 正确；当524x π=时，2122x ππ+=，所以()g x 的图象关于直线524x π=对称，故B 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，572,121212x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故C 错误；当1324x π=-时，212x ππ+=-，所以函数()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故D 正确． 故选：C6．（2021·河南高三月考（文））函数()cos 1xf x x =-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】通过函数的定义域判断选项C ，通过函数的奇偶性判断选项B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，通过函数的正负判断选项A ，即可得出结果. 【详解】因为cos 10x -≠，所以()f x 的定义域为{|2,}x x k k π≠∈Z ，则0x ≠，故排除C ； 而()cos()1x f x x --=--()cos 1xf x x -==--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ； 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 10x -<，()0cos 1x f x x =<-，所以排除A ． 故选：D ．7．（2021·全国高三专题练习（文））已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（ ） A ．513B ．113C ．513-D ．113【答案】B 【解析】由诱导公式以及商数关系得出3tan 2α=，再由倍角公式以及弦化切得出答案. 【详解】由2sin()3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，得2sin 3cos αα=，所以3tan 2α=从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++． 故选：B8．（2021·山东德州市·高三一模）已知π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）．A ．13B ．13-C D ．3-【答案】B 【解析】利用两角和的正弦公式化简然后使用辅助角公式计算即可.【详解】由π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以111sin sin coscos sinsin 33323ππααααα=++=++111sin 233πcos 6ααα-=-⇒⎛⎫+ ⎪=-⎝⎭ 故选：B9．（2021·山东日照市·高三一模）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期为πC ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称【答案】C 【解析】先求出()y f x =的解析式，再根据余弦函数的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()sin cos 2y f x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，()cos y f x x ==，()()()cos cos f x x x f x -=-==，所以()cos y f x x ==是偶函数，故选项A 不正确；()cos y f x x ==的周期为221T ππ==，故选项B 不正确； ()cos y f x x ==的图象对称中心为(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确；()cos y f x x ==对称轴为()x k k Z π=∈，直线2x π=不是()y f x =的图象的对称轴，故选项D 不正确；故选：C.10．（2021·全国高三专题练习（文））明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin 2α约为（ ）A ．1235B ．1237C ．16D ．13【答案】B 【解析】根据12块正方形模板成等差数列可知6指板的长度，再由三角恒等变换求值即可. 【详解】由题意，12块正方形模板组成以2厘米为首项，最大边长24厘米的等差数列， 所以公差2422121d -==-，故第6块正方形模板边长为2(61)212+-⨯=厘米，即 6指的板长度为12厘米. 因为眼睛到木板距离为72厘米， 故在直角三角中61tan 726α==， 所以222122sin cos 2tan 126sin 22sin cos 1sin cos 1tan 37136ααααααααα⨯=====+++， 故选：B11．（2021·山东青岛市·高三一模）已知角θ终边上有一点417tan π,2sin π36P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos θ的值为（ ）A ．12B ．12-C ．D ．2【答案】D 【解析】先算出点P 的坐标，再利用三角函数的定义计算即可. 【详解】因为4tantan tan 333ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭17sin sin 266ππππ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin sin sin 6662πππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即112sin 16π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以)1P-所以cos θ==故选：D.12．（2021·湖南高二月考）将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（ ） A ．ω=13B ．ω=6C ．ω=16D ．ω=3【答案】A 【解析】由伸缩变换求出()g x 的解析式，再由周期公式得出答案. 【详解】由题意可知()sin g x x ω=，由26ππω=，解得13ω=故选：A13．（2021·广东广州市·高三一模）函数3()sin f x x x =-在[1,1]-上的图像大致为（ ）A ．B ．C．D ．【答案】C 【解析】根据解析式和图象，结合特殊值，判断选项. 【详解】因为函数3()sin f x x x =-，()11sin10f =->，故排除AD ，331sin 066662f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故排除B ，只有C 满足条件.故选：C14．（2021·山东菏泽市·高三一模）函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项． 【详解】 因为()sin x xx xy f x e e --==+所以()()sin sin x xx x x x x xf x e e e e------+-==++ 得()()f x f x =--， 所以sin x xx xy e e --=+为奇函数排除C;在[0,)+∞，设()sin g x x x =-， ()1cos 0g x x ='-≥，()g x 单调递增，因此()(0)0g x g ≥=， 故sin 0x xx xy e e--=≥+在 [0,)+∞上恒成立， 排除AD 故选：B.15．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与以O 为圆心的单位圆相交于A 点.若A 6） A ．6sin α=B ．2cos 23α=-C ．5sin 2α=D ．5tan 2α=【答案】B 【解析】根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，再由二倍角公式求得sin 2,cos 2αα，然后由同角关系得tan 2α后判断各选项． 【详解】由三角函数的定义，可知cos 6α=，sin 6α=±，则22cos 22cos 13αα=-=-，sin 2α、tan 2α均有两解 故选：B.16．（2021·山东淄博市·高三一模）已知()()cos cos f x x x x =在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是32，则实数m 的最小值是（ ） A ．12πB ．3πC ．12π-D ．6π 【答案】D 【解析】利用()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值，结合()f x 的单调性求得m 的最小值. 【详解】()()cos cos f x x x x =+2cos cos x x x =1cos 21122cos 2222x x x x +=+=++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 由于1131sin 21,sin 262622x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤+≤-≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 211sin 33622f πππ⎛⎫⎛⎫-=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在3x π=-处取得最小值，而()f x 的最小正周期为22ππ=，其一半为2π，则326πππ-+=，所以()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且在6x π=处取得最大值32，故m 的最小值为6π. 故选：D17．（2021·辽宁高三二模）若1tan 23=α，则()5πsin 12sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-（ ） A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】A 【解析】先根据诱导公式化简得()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-,再结合半角公式整理得()5πsin 1cos 112tan sin 3πsin 23ααααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==-=--. 【详解】由诱导公式化简整理得：()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-， 由于2cos 12sin,sin 2sincos222ααααα=-=，所以()25πsin 12sin cos 1122tan sin 3πsin 232sin cos 22αααααααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭===-=--⋅ 故选：A18．（2021·湖南衡阳市·高三一模）已知函数()cos f x x ω=（0>ω），将()f x 的图像向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图像，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图像的连续相邻三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先由平移变换得到()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，在同一坐标系中作出两个函数图像，设D 为AC 的中点，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3cos 2x ω=±，然后根据ABC 为钝角三角形，只须4ACB π∠<，由tan 1BDACB DC∠=<求解， 【详解】由题意得，()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，作出两个函数图像，如图：A ，B ，C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点， 由对称性，则ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2AC T πω==，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，整理得cos 3sin x x ωω=， 解得3tan x ω=3cos x ω= 即32C B y y =-=， 所以23B BD y ==， 因为ABC 为钝角三角形，则4ACB π∠<，所以tan 1BD ACB DC π∠==<，解得03ω<<， 故选：B.19．（2021·全国高三专题练习（文））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α的值是（ ） A．BC．-D．【答案】D 【解析】利用两角差的正弦和余弦公式可求得tan α的值，利用二倍角公式可得出sin 22sin cos ααα=，在所得代数式上除以22sin cos αα+，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，代入tan α的值计算即可得解. 【详解】sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1331sincos 3cos sin 2222，整理得2sin αα=，tan α∴=，因此，222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 11ααααααααα⎛⨯ ⎝⎭=====++⎛+⎝⎭故选：D.20．（2021·山东滨州市·高三一模）将函数()222cos 1f x x x =+-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()124f x g x -=的1x ，2x ，有12min6x x π-=，则ϕ=（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 【答案】C 【解析】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，故12min 226T x x ππϕϕ-=-=-=，解得答案.【详解】()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，()()124f x g x -=，则12min226T x x ππϕϕ-=-=-=，故3πϕ=. 故选：C . 二、多选题21．（2021·河北唐山市·高三二模）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则（ ） A ．将曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合C ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线E 的一个对称中心 D ．若12x x ≠，且()()120f x f x ==，则12x x -的最小值为2π【答案】BD 【解析】A ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；B ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；C ：根据正弦型函数的对称性进行判断即可；D ：根据正弦型函数的零点进行判断即可；【详解】A ：曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，得到函数2sin 2()sin(2)sin(2)sin(2)3333y x x x x πππππ=-=-=-+=-+， 显然该函数的图象与曲线E 不重合，故本说法不正确； B ：由曲线sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得 sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故本说法正确；C ：因为()sin 101263f πππ⎛⎫-=--=-≠ ⎪⎝⎭，所以点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是该函数的对称中心，故本选项不正确； D ：由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得2()()326k x k k Z x k Z ππππ-=∈⇒=+∈ 因为()()120f x f x ==，所以111()26k x k Z ππ=+∈，222()26k x k Z ππ=+∈， 所以12122x x k k π-=-，因为12x x ≠，12,k k Z ∈，所以12k k -的最小值为1，即12x x -的最小值为2π，故本选项正确， 故选：BD22．（2021·辽宁高三二模）以下有关三角函数()sin cos2f x x x =⋅的说法正确的为（ ） A ．x ∀∈R ，()()0f x f x --= B ．0T ∃≠，使得f x Tf xC ．()f x 在定义域内有偶数个零点D ．x ∀∈R ，()()π0f x f x --=【答案】BD 【解析】 对于A ，取3x π=可得答案；对于B ，取2T π=可得答案；对于C ，根据奇函数图象的对称性可得答案；对于D ，利用解析式运算可得答案. 【详解】对于A ，22()()sin()cos sin cos 333333f f ππππππ--=-⋅-⋅11()()22=--=0≠，故A错误.对于B ，因为()()()2πsin 2πcos 22πsin cos 2f x x x x x +=++=⎡⎤⎣⎦， 所以0T ∃≠，使得f x Tf x ，故B 正确.对于C ，因为()sin()cos(2)sin cos 2()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，因为0x =在定义域内，所以()00f =，故()f x 有奇数个零点，故C 错误.对于D ，()()()π()sin πcos 2πsin cos 2sin cos 2f x f x x x x x x x --=---=⎡⎤⎣⎦sin cos 20x x -=，故D 正确. 故选：BD23．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，，将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．()f x 在5012π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 C ．()g x ≥12的解为()6232k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．方程()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上有2个解 【答案】AC 【解析】根据三角函数的平移变换原则求出()g x ，再根据三角函数的性质求出,ωϕ，由三角函数的性质逐一判断 即可. 【详解】将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，可得2sin 3y x πωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变， 可得()4sin 23g x x πωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由()g x 为偶函数，且最小正周期为2π， 则4,32k k Z ππϕπ-+=+∈，且222ππω=，0ϕπ<< 解得2ω=，56πϕ=，所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当12x π=时，526x ππ+=，即n 012si f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故A 正确； 对于B ，由5012x π<<，则5552,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 正弦函数的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 由55,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭不是32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的子集，故B 不正确；对于C ，()g x ≥12，即()1cos 42g x x =-≥，即1cos 42x ≤， 即24242,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 解得,6232k k x k Z ππππ+≤≤+∈，故C 正确； 对于D ，()2x f x g ⎛⎫=⎪⎝⎭，即5sin 2cos 26x x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 作出函数图象()y f x =与()y g x =的图象，如下：由图象可知，两函数的图象在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上交点个数为3个，故D 不正确. 故选：AC24．（2021·山东高三专题练习）已知()442sin ,cos 22x x a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若a 与b 共线，则下列说法正确的是（ ） A ．将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数1π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．直线3π2x =是()f x 的一条对称轴 D ．函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 【答案】BC 【解析】根据向量共线的坐标表示求出()f x ，由三角函数的平移变换原则可判断A ；由2T πω=可判断B ；将3π2x =代入，结合余弦函数的对称轴可判断C ；利用余弦的单调递减区间为()2,2,k k k Z πππ+∈可判断D. 【详解】因为a 与b 共线，则()4412sincos 0222x xf x ⎛⎫⨯--+= ⎪⎝⎭，所以()442222cossin cos sin 2cos sin 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+-⋅ ⎪⎝⎭ ()211131sin 11cos 2cos 22444x x x =-=--=+.对于A ，将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数12π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故A 错误；对于B ，222T πππω===，故B 正确；对于C ，当3π2x =时，则3232ππ⨯=， 由余弦函数的对称轴为,x k k Z π=∈，故C 正确； 对于D ，ππ,24x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则π22,x π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，由余弦函数的单调递增区间为()2,2,k k k Z πππ-∈， 当0k =时，余弦函数的单调递增区间为(),0π-， 所以函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BC25．（2021·广东广州市·高三一模）已知函数2()sin 22cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的图像关于直线8x π=对称C ．()f x 的图像关于点,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】 化简得出()2214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可根据正弦函数的性质分别判断.【详解】2()sin 22cos sin 2cos212sin 214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最大值为21+，故A 错误；()2sin 2121884f ⎛⎫=⨯++=+ ⎪⎝⎭πππ，则()f x 的图像关于直线8x π=对称，故B 正确； ()2sin 211884f ⎡⎤⎛⎫-=⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πππ，则()f x 的图像关于点,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则可得2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πππ时，函数单调递减，故D 错误. 故选：BC.26．（2021·广东肇庆市·高三二模）函数()()sin A f x x ωϕ+（0A >）的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．22sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．52sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．2cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．72cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】先求出A ，再根据图像得出周期，进而算出ω，最后代入点算出ϕ. 【详解】根据图象，可得2A =，设()f x 的最小正周期为T则37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得T π=，所以22Tπω==. 将最低点的坐标7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()()2sin 2f x x ϕ=+中 得72sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，则7262k ππϕπ+=-（k ∈Z ） 解得523k πϕπ=-（k ∈Z ），所以()52sin 223x k f x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 令0k =，则()5772sin 22sin 22cos 22cos 236266x x x f x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BC.27．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数()cos22sin cos 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线8x π=对称D ．()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】BC 【解析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解. 【详解】()()cos 22sin cos cos 22cos sin 22f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 22cos sin cos 2sin 224x x x x x x π⎛⎫=+⋅=+=+ ⎪⎝⎭所以()f x A 不正确； ()f x 的最小正周期为22T ππ==，故选项B 正确； 因为2842k ππππ⨯+=+，解得：0k =，所以直线8x π=是()f x 的图象的对称轴，故选项C 正确；令()3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 不正确，故选：BC.28．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知函数()()(0)20,2f x sin x πωϕωϕ=+><<.2x π=为函数的一条对称轴，且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.若()f x 在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可以是（ ） A ．43 B ．83C ．163D ．323【答案】BC 【解析】 由2x π=为对称轴，及318f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出ω的范围，即可求出ω的值； 【详解】 解：2x π=为对称轴22k ππωϕπ⇒+=+，k Z ∈；3312886f m πππωϕπ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭或526m ππ+，m Z ∈； 联立解之得:()8823k m ω=-+或()8823k m ω=--，k Z ∈，m Z ∈； 又在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调， 348160ππππωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩，所以08ω<≤83ω∴=或163故选：BC29．（2021·全国高三专题练习）已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+=⎨<⎩，，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．312f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞【答案】BD 【解析】利用反例可判断AC 错误，结合函数的解析式可判断BD 为正确，从而可得正确的选项. 【详解】()12f =，而()()1cos11f f -=<，故()f x 不是偶函数，故A 错误.因为77cos cos 3333f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 不是增函数，故C 错误. ()3012f f f π⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确. 当0x <时，()[]1,1f x ∈-，当0x ≥时，()[)1,f x ∈+∞， 故()f x 的值域为[1,)-+∞，故D 正确. 故选：BD.30．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1 B ．()f x 的最小正周期是2π C ．直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴 D ．直线2y x π=与()f x 的图象恰有2个公共点【答案】ACD 【解析】利用正弦型函数的最值可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；利用图象法可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin sin sin 2sin 23f x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2633x πππ≤-≤，则当36x ππ-=时，函数()f x 取最小值，即()min 2sin 16f x π==， A 选项正确；对于B 选项，()sin f x x x =，()0f =12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()02f f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是2π，B 选项错误； 对于C 选项，若k 为奇数，则()()()()sin sin cos sin f k x k x k x x x x x f x πππ-=--===；若k 为偶数，则()()()()sin sin sin f k x k x k x x x x x f x πππ-=--=-+=+=. 由上可知，当k Z ∈时，()()f k x f x π-=， 所以，直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴，C 选项正确；对于D 选项，()()()sin sin cos sin f x x x x x x x πππ+=+++=-+=+，所以，π为函数()f x 的周期.当02x π≤≤时，()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭；当2x ππ≤≤时，()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭.综上可知，()2f x ≤.当0x <时，20x π<，()sin 0f x x x =≥，即函数2y x π=与()f x 在(),0-∞上的图象无交点；当x π>时，22x π>，()2f x ≤，所以，函数2y x π=与()f x 在(),π+∞上的图象也无交点.作出函数2y x π=与函数()f x 在[]0,π上的图象如下图所示：由图象可知，函数2y x π=与函数()f x 在[]0,π上的图象有两个交点，D 选项正确.故选：ACD.31．（2021·山东高三专题练习）已知函数()sin cos f x x x =，则（ ）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的图象必有对称轴C ．()f x 的增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的值域为48⎡⎣ 【答案】ABD 【解析】对A ，由()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭可判断；对B ，由()()f x f x -=可判断；对C ，根据4f π⎛⎫⎪⎝⎭和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的大小可判断；对D ，求出()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π的取值范围即可. 【详解】 对A ，()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2π是()f x 的周期，故A 正确； 对B ，()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=--==，故()f x 关于y 轴对称，故B 正确；对C ，当0k =时，区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，34sincos2444f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，34122f π⎛⎫==< ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故C 错误；对D ，由AB 可得()()2f x f x f x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则()f x 关于4x π=对称，且周期为2π，故()f x 的值域即为()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π的取值范围，此时()f x =()))3322cos sinx x f x -'=，0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x ∴>，()0f x '∴>，可知()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增，()01f =，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的值域为⎡⎣. 故选：ABD.32．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD【解析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式.【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确；D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD33．（2021·山东烟台市·高三一模）已知函数()2sin cos 1f x x x +=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．方程()1f x =在[]0,π上有三个实根D ．()f x 的最小值为1-34．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数【答案】BCD 【解析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确.故选：BCD.35．（2021·山东德州市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）．A ．()g x 的最小正周期为2π3B ．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 的图像关于直线4π9x =对称 D ．()g x 的图像关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 【答案】AC 【解析】根据函数图象得到A =2，2,2T T ππω===，再根据函数图象过点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得函数()f x 的解析式，然后利用伸缩变换和平移变换得到()g x 的解析式，再逐项判断. 【详解】由函数图象知：A =2，5212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，因为函数图象过点5,212π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭， 则532,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得22,3k k Z πϕπ=+∈， 所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，得到()22sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到()2sin 36g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A. ()g x 的周期是23T π=，故正确； B. 因为ππ,93x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π3,626x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故错误； C. 因为3,62x k k Z πππ+=+∈，所以,39k x k Z ππ=+∈，故正确； D. 因为2sin 3296ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，故错误.故选：AC36．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）已知函数()22sin cos f x x x x =+则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 【答案】BCD 【解析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD37．（2021·山东济宁市·高三一模）将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【解析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是⎡-⎢⎣⎦.故选：BC38．（2021·山东高三专题练习）函数()2cos 2sin 1f x x x x =-+，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．将()f x 的图象向左平移512π个单位后与2sin 2y x =-的图象重合 D ．若12,x x π-=则()()12f x f x =【答案】ACD 【解析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断． 【详解】1()2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，t =2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，此时sin y t =递增，A 正确；2sin 220666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；将()f x 的图象向左平移512π个单位后得解析式52sin 2()2sin(2)2sin 2126y x x x πππ⎡⎤=++=+=-⎢⎥⎣⎦，C 正确；易知函数周期为22T ππ==，因此当12,x x π-=则()()12f x f x =，D 正确． 故选：ACD ．39．（2021·广东汕头市·高三一模）知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【解析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确； 对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+， 所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 三、填空题40．（2021·山东烟台市·高三一模）已知2()0,a π∈，若1sin 223πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值为___________.【答案】2【解析】由诱导公式可求得1cos 23α=，再根据二倍角的余弦公式求得sin ,cos αα，即可求得tan α. 【详解】1sin 2cos 223παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，2()0,a π∈，sin 3α∴==，cos 3α==，sin tan cos ααα∴==.故答案为：2. 41．（2021·全国高三专题练习（文））若1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】79- 【解析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得sin 26x 的值.【详解】27sin 2sin 2cos 22cos 6366912x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤+=-=-=-⎭ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎣=-⎢⎥⎣⎭⎦⎦.故答案为：79-.42．（2021·山东高三专题练习）已知sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】59【解析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】由二倍角的余弦公式可得225cos 2cos 212sin 123669πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 故答案为：59.43．（2021·全国高三专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '.若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______.【解析】设,BC a AC b ==，求出90B CA ''∠=︒，从而可得2221()3A B a b ''=+，在ABC 中，设BAC α∠=，由正弦定理用α表示出,a b ，这样22a b +就表示为α的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值． 【详解】解：设,BC a AC b ==，由题意以,,AC BC CA 边向外作等边三角形,,ACE BCD ABF △△△，其外接圆圆心分别为,,A B C '''，连接,CB CA ''并延长分别交,EA BD 于,P Q ，则2233CB CP '===，同理CA '=， ,ACE BCD 都是等边三角形，则30PCA QCB ∠=∠=︒，又30ACB ∠=︒，则90A CB ''∠=︒，所以222221()3A B CB CA a b ''''=+=+，A B C '''是正三角形，所以其面积为2221)22412SA B A B A B a b ''''''=⨯==+， ABC 内接于单位圆，即其外接圆半径为1r =，则2sin 2sin a r BAC BAC =∠=∠，同理。

专题09三角函数1．【2022年全国甲卷】将函数op =sin B (>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）A ．16B ．14C ．1D ．122．【2022年全国甲卷】设函数op =sin B +(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A B ,6C D 3．【2022年全国乙卷】函数=cos ++1sin +1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A ．−π2，π2B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2D ．−3π2，π2+24．【2022年新高考1卷】记函数op =sin(B +4)+o >0)的最小正周期为T ．若23<<，且=op 的图象关于点(32,2)中心对称，则o2)=（）A ．1B ．32C ．52D ．35．【2022年新高考2卷】若sin(+p +cos(+p =22cos +sin ，则（）A ．tan(−p =1B ．tan(+p =1C ．tan(−p =−1D ．tan(+p =−16．【2021年甲卷文科】若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A 15B C ．3D ．37．【2021年乙卷文科】函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和28．【2021年乙卷文科】22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B C ．2D 9．【2021年乙卷理科】把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6512．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%13．【2020年新课标1卷理科】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π214．【2020年新课标1卷理科】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A B ．23C ．13D15．【2020年新课标2卷理科】若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<016．【2020年新课标3卷理科】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．217．【2020年新课标3卷文科】已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B ．3C ．23D ．218．【2020年新课标3卷文科】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）AB ．C ．D ．19．【2019年新课标1卷理科】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．20．【2019年新课标1卷理科】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③21．【2019年新课标1卷文科】tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．22．【2019年新课标2卷理科】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │23．【2019年新课标2卷理科】已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 24．【2019年新课标2卷文科】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．1225．【2019年新课标3卷理科】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④26．【2019年新课标3卷文科】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．527．【2018年新课标1卷文科】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为428．【2018年新课标1卷文科】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -=A ．15B ．5C ．5D ．129．【2018年新课标2卷理科】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2πC ．34πD ．π30．【2018年新课标3卷理科】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-31．【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π32．【2022年新高考2卷】已知函数op =sin(2+p(0<<π)0中心对称，则（）A ．op 在区间0,12B ．op 在区间−π12C ．直线=7π是曲线=op 的对称轴D ．直线=是曲线=op 的切线33．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -34．【2022年全国乙卷】记函数op =cos(B +p(>0,0<<π)的最小正周期为T ，若op ==9为op 的零点，则的最小值为____________．35．【2021年甲卷文科】已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.36．【2021年甲卷理科】已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．37．【2020年新课标2卷文科】若2sin 3x =-，则cos 2x =__________．38．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．39．【2019年新课标1卷文科】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．40．【2018年新课标2卷理科】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．41．【2018年新课标2卷文科】已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．42．【2018年新课标3卷理科】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．43．【2019年新课标1卷文科】已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．。

2021高考三角函数大题一．解答题（共7小题）1．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 2A B C =，b =．（1）求a 的值；（2）求cos C 的值；（3）求sin(2)6C π-的值．3．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．5．设函数()sin cos ()f x x x x R =+∈．（Ⅰ）求函数2[()]2y f x π=+的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()4y f x f x π=-在[0，]2π上的最大值．6．在ABC ∆中，2cos c b B =，23C π∠=．（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长．条件①c =；条件②ABC ∆的周长为4+；条件③ABC ∆的面积为334．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．7．在ABC ∆中，已知3a =，2b c =．（1）若23A π=，求ABC S ∆．（2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．2021高考三角函数大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，2sin sin b c R ABC ACB==∠∠，2sin b R ABC ∴=∠，2sin c R ACB =∠，2b ac = ，2sin 2sin b R ABC a R ACB ∴⋅∠=⋅∠，即sin sin b ABC a C ∠=，sin sin BD ABC a C ∠= ，BD b ∴=；（2）法一：由（1）知BD b =，2AD DC = ，23AD b ∴=，13DC b =，在ABD ∆中，由余弦定理知，2222222222()1393cos 221223b b c BD AD AB b c BDA BD AD b b b +-+--∠===⋅⋅，在CBD ∆中，由余弦定理知，2222222221()1093cos 12623b b a BD CD BC b a BDC BD CD b b b +-+--∠===⋅⋅，BDA BDC π∠+∠= ，cos cos 0BDA BDC ∴∠+∠=，即2222221391090126b c b a b b--+=，得2221136b c a =+，2b ac = ，2231160c ac a ∴-+=，3c a ∴=或23c a =，在ABC ∆中，由余弦定理知，22222cos 22a c b a c ac ABC ac ac+-+-∠==，当3c a =时，7cos 16ABC ∠=>（舍)；当23c a =时，7cos 12ABC ∠=；综上所述，7cos 12ABC ∠=．法二： 点D 在边AC 上且2AD DC =，∴1233BD BA BC =+ ，∴21233BD BA BD BC BD =⋅+⋅ ，而由（1）知BD b =，∴212cos cos 33b bc ABD ab CBD =⋅∠+⋅∠，即3cos 2cos b c ABD a CBD =⋅∠+⋅∠，由余弦定理知：22222241993222b c b a b b b c a bc ab+-+-=⋅+⋅，2221136b c a ∴=+，2b ac = ，2231160c ac a ∴-+=，3c a ∴=或23c a =，在ABC ∆中，由余弦定理知，22222cos 22a c b a c ac ABC ac ac+-+-∠==，当3c a =时，7cos 16ABC ∠=>（舍)；当23c a =时，7cos 12ABC ∠=；综上所述，7cos 12ABC ∠=．法三：在BCD ∆中，由正弦定理可知sin sin sin a C BD BDC b BDC =∠=∠，而由题意可知2sin sin ac b a C b ABC =⇒=∠，于是sin sin BDC ABC ∠=∠，从而BDC ABC ∠=∠或BDC ABC π∠+∠=．若BDC ABC ∠=∠，则~CBD CAB ∆∆∽，于是222::33b CB CD CA a a bc =⋅⇒=⇒=，无法构成三角形，不合题意．若BDC ABC π∠+∠=，则ADB ABC ABD ACB ∠=∠⇒∆∆∽，于是2222::23b AB AD ACc a b c =⋅⇒=⇒=，满足题意，因此由余弦定理可得2227cos 212a cb ABC ac +-∠==．2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 2A B C =，b =．（1）求a 的值；（2）求cos C 的值；（3）求sin(2)6C π-的值．【解答】解：（1）ABC ∆ 中，sin :sin :sin 2A B C =::2a b c ∴=，b = 2a b ∴==2c ==．（2）ABC ∆中，由余弦定理可得2223cos24a b c C ab +-==．（3）由（2）可得sin 4C ==，sin 22sin cos C C C ∴==，21cos 22cos 18C C =-=，3211sin(2)sin 2cos cos 2sin 66616C C C πππ--=-=．3．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．【解答】解：（1）因为sin 2sin AB =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，可得c =（2）因为24cos(sin )425A A A π-=+=，可得cos sin 5A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos A =，sin A =sin A =cos A =因为1cos 4C =-，可得15sin 4C =，tan C =，可得C 为钝角，若72sin 10A =，2cos 10A =，可得tan 7A =，可得tan tantan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以2sin 10A =，由正弦定理2sin sin c A C=，可得5302c =．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：()2sin 3sin I C A = ，∴根据正弦定理可得23c a =，1b a =+ ，2c a =+，4a ∴=，5b =，6c =，在ABC ∆中，运用余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯，22sin cos 1C C += ，sin 8C ∴===，∴11sin 4522ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯()II c b a >> ，ABC ∴∆为钝角三角形时，角C 必为钝角，222222(1)(2)cos 022(1)a b c a a a C ab a a +-++-+==<+，2230a a ∴--<，0a > ，03a ∴<<，三角形的任意两边之和大于第三边，a b c ∴+>，即12a a a ++>+，即1a >，13a ∴<<，a 为正整数，2a ∴=．5．设函数()sin cos ()f x x x x R =+∈．（Ⅰ）求函数2[()]2y f x π=+的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()4y f x f x π=-在[0，]2π上的最大值．【解答】解：函数()sin cos )4f x x x x π=+=+，（Ⅰ）函数222[()]2cos ()2244y f x x x ππππ=+=++=+1cos[2(1cos(2)1sin 242x x x ππ=++=++=-，则最小正周期为22T ππ==；（Ⅱ）函数()()))4444y f x f x x x ππππ=-=+-+2cos )sin sin cos )x x x sin x x x =+=+1cos 212(sin 2)sin(2)2242x x x π-=+=-+，因为[0,2x π∈，所以32[,]444x πππ-∈-，所以当242x ππ-=，即38x π=时，2()12max f x =+．6．在ABC ∆中，2cos c b B =，23C π∠=．（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC ∆存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长．条件①c =；条件②ABC ∆的周长为4+；条件③ABC ∆的面积为334．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：（Ⅰ）2cos c b B = ，由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，即sin sin 2C B =，∴当2C B =时，3B π=，即C B π+=，不符合题意，舍去，2C B π∴+=，23B π∴=，即6B π=．（Ⅱ）选①c =，由正弦定理可得3sin 21sin 2c C b B ===c =矛盾，故ABC ∆不存在，选②周长为4+23C π=，6B π=，∴6A π=，由正弦定理可得2sin sin sin a b c R A B C ===，即2113222a b R ===，∴,,a R b R c ===，(24a b c R ∴++=+=+2R ∴=，即2a =，2b =，c =，ABC ∴∆存在且唯一确定，设BC 的中点为D ，1CD ∴=，在ACD ∆中，运用余弦定理，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅∠，即2141221(72AD =+-⨯⨯⨯-=，AD =，BC ∴．选③面积为334ABC S ∆=，a b ∴=，∴211333sin 2224ABC S ab C a ∆==⨯=，解得a =余弦定理可得222233212cos33424AD AC CD AC CD π=+-⨯⨯⨯=++，2AD =．7．在ABC ∆中，已知3a =，2b c =．（1）若23A π=，求ABC S ∆．（2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．【解答】解：（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21sin 22414ABC S bc A c ∆∴===；（2）2b c = ，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -= ，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sinC B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，cos 3C ∴==．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a = ，2b c =，2294c c ∴=+-，得：2390c -+=，解得：c =当4253c =时，82253b +=时3ABC C ∆=+；当4253c =时，82253b -=时3ABC C ∆=+．。

2021年高考数学高考数学压轴题 三角函数与解三角形多选题分类精编含答案一、三角函数与解三角形多选题1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC 的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin C =由正弦定理得2sin 3c R C ===，R =C 错误；D 项：由余弦定理得222cos214a cb B ac +-===，在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cos14B ==，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.2．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.3．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断.由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.6．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立 D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；7．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】由条件可得13f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确. 选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.8．设函数()()31sin 0222f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【分析】化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+>⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误； 对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.9．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-<⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。

2021年高考数学真题逐题解析与以例及类（新高考）第6题利用同角三角函数基本关系式求值一、原题呈现【原题】若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】解法一：()()()2sin 1sin 2sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选C ．解法二：因为sin tan 2cos θθθ==-,所以sin 2cos θθ=-,所以()sin 1sin 2sin cos θθθθ++=()()()222sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθ+=++()()()2222cos 2cos cos 2cos cos 4cos cos θθθθθθθ--+=-++332cos 5cos θθ-=-25=．故选C ．【就题论题】本题主要考查利用同角三角函数基本关系式求值,常规求解思路是把所给式子化为关于sin ,cos θθ的齐次分数,再进一步转化为关于tan θ的分式,然后代入求值,本题解法思路容易,但运算量稍大,也有一定的技巧,难度较前几题有所增加.二、考题揭秘【命题意图】本题考查同角三角函数关系式在求值中的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质,难度一般为容易或中等偏易.【得分秘籍】利用同角三角函数关系式求值主要有以下4种类型：已知一个角的一种三角函数值,求该角的其他三角函数值；关于sin ,cos αα的齐次分式求值；利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±求值；利用方程思想求值.(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系,再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式．已知tan α求()sin cos αα可利用222sin tan cos ααα=来求.(2)关于sin α、cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以分式中cos α的最高次幂转化为关于tan α的式子后再求值．注意有时为了拼凑分子分母齐次,需要灵活地进行“1”的代换,由1＝sin 2α＋cos 2α代换后,再构造出关于tan α的代数式．(3)对于sin α＋cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α,可以知一求二．(4)求某个式子的值,有时可已知条件构造关于该式子的方程,再通过解方程求值,如已知tan cos θθ=,求sin θ,可通过切化弦转化为sin cos cos θθθ=,再转化为关于sin θ的一元二次方程求值.【易错警示】(1)利用sin α=或cos α=,要注意根号前面的正负号的取舍(2)如果已知三角函数值,但没有指定角在哪个象限,或所给的三角函数值是由字母给出的,且没有确定角在哪个象限,那么就需要进行讨论．(3)等式两边同时约去一个式子,要判断该式子的值是否可能为零,若有可能为零,要分2种情况讨论三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -,(),2B b ,且cos 3sin 0θθ+=,则3a b -=（）A ．7-B ．5-C ．5D ．72．（2021湖南省高三下学期5月三轮联考）已知()tan 2x π+=,则sin cos 2sin cos x xx x+=-（）A ．1B ．15C ．14-D ．15-3．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知7cos 25θ=-,(,0)θπ∈-,则sin cos 22θθ+=（）A ．75-B ．15-C ．15D ．754．（2021福建省漳州市高三下学期第一次质量检测）已知3sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2tan θθ=（）A ．23B ．43C ．3D ．35．（2021广东省汕头市高三一模）已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 2α的值是（）A ．B ．7C ．-D ．7-6．（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin cos 5αα+=,则tan α=（）A ．2-B ．2C ．211D ．211-7．（2021河北省邯郸市高三一模）已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A ．513B ．113-C ．513-D ．1138．（2021江苏省连云港市高三下学期高考考前一模）已知ππ(,22α∈-,且3cos 28sin 5αα-=,则cos α的值为（）A ．13-B ．13C ．3D ．239．（2021江苏省扬州中学2021届高三下学期最后一模）已知3cos 5θ=,tan 0θ<,则sin(2)πθ-=（）A ．2425-B ．1225-C ．45-D ．242510．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）在ABC 中,若31,5,sin 5AB AC A ===,则AB AC ⋅=（）A ．3B ．3±C ．4D ．4±11．（2021江苏省南通市高三上学期期末）若()1sin cos ,0,3αααπ+=∈,则1tan 1tan αα+=-（）A ．17B ．1717-C ．15D ．1515-二、多选题12．（2021湖北省十一校考试联盟高三联考）在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢,记作sin ver θ,定义1sin θ-为角θ的余矢,记作cov sin er θ,则下列命题中正确的是（）A ．函数cov sin sin y er x ver x =-在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．若cov sin 12sin 1er x ver x -=-,则7cov sin 2sin 25er x ver x -=-C ．函数()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x 的最大值2+D ．sin cov sin 2ver er πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭三、填空题13．（2021福建省厦门外国语学校高三1月阶段性检测）已知(0,)απ∈,且有12sin 2cos 2αα-=,则cos α=___________.14．（2021广东省高州市高三二模）已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2cos 2sin 1αα=-,则tan α=_________________．15．（2021北省邯郸市高三二模）当04x π<<时,函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．第6题利用同角三角函数基本关系式求值一、原题呈现【原题】若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】解法一：()()()2sin 1sin 2sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选C ．解法二：因为sin tan 2cos θθθ==-,所以sin 2cos θθ=-,所以()sin 1sin 2sin cos θθθθ++=()()()222sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθ+=++()()()2222cos 2cos cos 2cos cos 4cos cos θθθθθθθ--+=-++332cos 5cos θθ-=-25=．故选C ．【就题论题】本题主要考查利用同角三角函数基本关系式求值,常规求解思路是把所给式子化为关于sin ,cos θθ的齐次分数,再进一步转化为关于tan θ的分式,然后代入求值,本题解法思路容易,但运算量稍大,也有一定的技巧,难度较前几题有所增加.二、考题揭秘【命题意图】本题考查同角三角函数关系式在求值中的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质,难度一般为容易或中等偏易.【得分秘籍】利用同角三角函数关系式求值主要有以下4种类型：已知一个角的一种三角函数值,求该角的其他三角函数值；关于sin ,cos αα的齐次分式求值；利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±求值；利用方程思想求值.(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系,再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式．已知tan α求()sin cos αα可利用222sin tan cos ααα=来求.(2)关于sin α、cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以分式中cos α的最高次幂转化为关于tan α的式子后再求值．注意有时为了拼凑分子分母齐次,需要灵活地进行“1”的代换,由1＝sin 2α＋cos 2α代换后,再构造出关于tan α的代数式．(3)对于sin α＋cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α,可以知一求二．(4)求某个式子的值,有时可已知条件构造关于该式子的方程,再通过解方程求值,如已知tan cos θθ=,求sin θ,可通过切化弦转化为sin cos cos θθθ=,再转化为关于sin θ的一元二次方程求值.【易错警示】(1)利用sin α=或cos α=,要注意根号前面的正负号的取舍(2)如果已知三角函数值,但没有指定角在哪个象限,或所给的三角函数值是由字母给出的,且没有确定角在哪个象限,那么就需要进行讨论．(3)等式两边同时约去一个式子,要判断该式子的值是否可能为零,若有可能为零,要分2种情况讨论三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -,(),2B b ,且cos 3sin 0θθ+=,则3a b -=（）A ．7-B ．5-C ．5D ．7【答案】D【解析】由cos 3sin 0θθ+=得：sin 1tan cos 3θθθ==-,由三角函数定义知：21tan 3a b θ=-==-,解得：13a =,6b =-,3167a b -=+=∴.故选D.2．（2021湖南省高三下学期5月三轮联考）已知()tan 2x π+=,则sin cos 2sin cos x xx x+=-（）A ．1B ．15C ．14-D ．15-【答案】A【解析】()tan tan 2π+==x x ,所以sin cos tan 12112sin cos 2tan 1221+++===--⨯-x x x x x x .故选A.3．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知7cos 25θ=-,(,0)θπ∈-,则sin cos 22θθ+=（）A ．75-B ．15-C ．15D ．75【答案】B【解析】因为7cos 25θ=-,且(),0θπ∈-,所以24sin 25θ=-,,022θπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,7cos cos sin cos sin 0222225θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,其中cos sin 022θθ->,所以cossin 022θθ+<,两边平方得2411sin 12525θ+=-=,所以1cos sin 225θθ+=-.故选B.4．（2021福建省漳州市高三下学期第一次质量检测）已知3sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2tan θθ=（）A ．23B ．43C ．3D ．3【答案】B【解析】由33sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos 3θ=,则22sin cos sin sin 2tan 2sin cos θθθθθθθ==()221cos 142133θ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=-,故选B .5．（2021广东省汕头市高三一模）已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 2α的值是（）A．B．7C．-D．7-【答案】D【解析】sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,即1331sin 3sin 2222a a a a 琪-=-+琪桫,整理得2sin αα=,tan 2α∴=-,因此,22223222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 171ααααααααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=====-++⎛+ ⎝⎭.故选D.6．（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin cos 5αα+=,则tan α=（）A ．2-B ．2C ．211D ．211-【答案】A【解析】22222224sin cos 4sin cos (2sin cos )4sin cos 4sin cos sin cos αααααααααααα+++=++==+224tan 14tan 9tan 15ααα++=+,所以211tan 20tan 40αα+-=,解得tan 2α=-或2tan 11α=,又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 2α=-.故选A7．（2021河北省邯郸市高三一模）已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭,则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A ．513B ．113-C ．513-D ．113【答案】B【解析】由2sin()3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭,得2sin 3cos αα=,所以3tan 2α=从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++．故选B8．（2021江苏省连云港市高三下学期高考考前一模）已知ππ(,22α∈-,且3cos 28sin 5αα-=,则cos α的值为（）A ．13-B ．13C ．223D ．23【答案】C【解析】由3cos 28sin 5αα-=,可得23sin 4sin 10αα++=,解得1sin 3α=-或sin 1α=-,因为ππ(,22α∈-,所以1sin 3α=-,可得cos 3α==.故选C.9．（2021江苏省扬州中学2021届高三下学期最后一模）已知3cos 5θ=,tan 0θ<,则sin(2)πθ-=（）A ．2425-B ．1225-C ．45-D ．2425【答案】A【解析】由3cos 5θ=,tan 0θ<,则4sin 5θ==-,所以24sin(2)sin 22sin cos 25πθθθθ-===-.故选A10．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）在ABC 中,若31,5,sin 5AB AC A ===,则AB AC ⋅=（）A ．3B ．3±C ．4D ．4±【答案】D【解析】由于3sin 5A =,所以4cos 5A ==±,所以cos 4AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=± .故选D11．（2021江苏省南通市高三上学期期末）若()1sin cos ,0,3αααπ+=∈,则1tan 1tan αα+=-（）A ．1717B ．1717-C ．1515D ．1515-【答案】B【解析】由1sin cos 3αα+=,可得21(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=,解得82sin cos 09αα=-<,即sin α与cos α异号,又因为()0,απ∈,所以sin 0,cos 0αα><,又由217(sin cos )12sin cos 9αααα-=-=,所以sin cos 3αα-=,又因为sin 111tan sin cos cos 3sin 1tan cos sin 111c 377os αααααααααα+++====----.故选B.二、多选题12．（2021湖北省十一校考试联盟高三联考）在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢,记作sin ver θ,定义1sin θ-为角θ的余矢,记作cov sin er θ,则下列命题中正确的是（）A ．函数cov sin sin y er x ver x =-在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．若cov sin 12sin 1er x ver x -=-,则7cov sin 2sin 25er x ver x -=-C ．函数()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x的最大值2+D ．sin cov sin 2ver er πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】由正矢和余矢的定义可得：对于选项A ：()()cov sin sin 1sin 1cos y er x ver x x x =-=---cos sin 4x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭所以在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,故选项A 错误；对于选项B ：因为cov sin 11sin 1tan 2sin 11cos 1er x x x ver x x ---===---,则2222cos sin 2sin cos cov sin 2sin 2cos 2sin 2cos sin x x x xer x ver x x x x x ---=-=+22221tan 2tan 122271tan 125x x x ----⨯==-++,所以B 正确；对于选项C ：()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 202036x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 202022sin 20206266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以则()f x 的最大值4,故选项C 不正确,对于选项D ：sin 1cos 1sin cov sin 22ver er ππθθθθ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确；故选BD 三、填空题13．（2021福建省厦门外国语学校高三1月阶段性检测）已知(0,)απ∈,且有12sin 2cos 2αα-=,则cos α=___________.【答案】5【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=,因为(0,)απ∈,所以sin 0α≠,因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈,而22sin cos 1(1)αα+=,把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 55αααα+=⇒=⇒=±,而(0,)2πα∈,因此cos 5α=.14．（2021广东省高州市高三二模）已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2cos 2sin 1αα=-,则tan α=_________________．【答案】7-【解析】由2cos 2sin 1αα=-得224sin sin 1αα-=-,∴24sin sin 30αα+-=,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得3sin 4α=,∴cos 4α==,即tan 7α=-．15．（2021北省邯郸市高三二模）当04x π<<时,函数22cos ()sin cos sin x f x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos xx f x x x x x x=-所以21()tan tan f x x x =-,当04x π<<时,0tan 1x <<,设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---,所以当12t =时,函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．。

C 单元 三角函数C1 角的概念及任意的三角函数14．C1，C2，C6[2021·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，那么tan 2α的值是________．14.3 [解析] 方法一：由sin 2α＝－sin α，即2sin αc os α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×〔－3〕1－3＝ 3.方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3.C2 同角三角函数的根本关系式与诱导公式2．C2[2021·全国卷] α是第二象限角，sin α＝513，那么cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513 D.12132．A [解析] cos α＝－1－sin 2 α＝－1213.16．C2，C5[2021·广东卷] 函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)假设cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6.16．解：14．C1，C2，C6[2021·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，那么tan 2α的值是________．14.3 [解析] 方法一：由sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×〔－3〕1－3＝ 3.方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3.C3 三角函数的图像与性质1．C3[2021·江苏卷] 函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________．1．π [解析] 周期为T ＝2π2＝π.17．C3[2021·辽宁卷] 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，π2.(1)假设|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．17．解：(1)由|a |2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1. 及|a|＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f(x)＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin2x －π6＋12，当x ＝π3∈0，π2时，sin2x －π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.9．C3[2021·山东卷] 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )图1－39．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，应选D.16．C3、C5、C9[2021·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________．16．－2 55 [解析] f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，那么f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.C4 函数 的图象与性质16．C4[2021·安徽卷] 设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 16．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sinx ＋π6，所以当x ＋π6＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f(x)取得最小值－ 3.此时x 的取值集合为(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f(x)的图像．15．C4，C5，C6，C7[2021·北京卷] 函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)假设α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.9．C4[2021·全国卷] 假设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的局部图像如图1－1所示，那么ω＝( )图1－1A ．5B ．4C ．3D ．29．B [解析] 根据对称性可得π4为函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.9．C4[2021·福建卷] 将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像．假设f(x)，g(x)的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，那么φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π69．B [解析] g(x)＝f(x －φ)＝sin[2(x －φ)＋θ]，由sin θ＝32，－π2<θ<π2，得θ＝π3，又sin(θ－2φ)＝32，结合选项，知φ的一个值为5π6，应选B. 6．C4[2021·湖北卷] 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R )的图像向左平移m(m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，那么m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π66．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.13．C4[2021·江西卷] 设f(x)＝3sin 3x ＋cos 3x ，假设对任意实数x 都有|f(x)|≤a ，那么实数a的取值范围是________．13．a ≥2 [解析] |f(x)|max ＝2，那么a ≥2.16．C4[2021·新课标全国卷Ⅱ] 函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，那么φ＝________.16.5π6 [解析] 由，y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2得到y ＝cos(2x －π＋φ)＝－cos(2x ＋φ)．y＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋56π，两个函数图像重合，故φ＝56π. 18．C4，C7[2021·山东卷] 设函数f(x)＝32－3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．18．解：(1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0， 所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.6．C4[2021·天津卷] 函数f(x)＝sin2x －π4在区间0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0图1－36．C4[2021·四川卷] 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的局部图像如图1－3所示，那么ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π36．A [解析] 由半周期T 2＝11π12－5π12＝π2，可知周期T ＝π，从而ω＝2，于是f(x)＝2sin(2x＋φ)．当x ＝5π12时，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，于是5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，取k ＝0，得φ＝－π3. 16．F3，C4[2021·陕西卷] 向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b . (1)求f (x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cosπ6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.6．C4[2021·浙江卷] 函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，26．A [解析] f(x)＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，那么最小正周期为π；振幅为1，所以选择A.15．C4，C5，C6，C7[2021·北京卷] 函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)假设α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.16．C2，C5[2021·广东卷] 函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)假设cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6.16．解：3．C5[2021·江西卷] 假设sin α2＝33，那么cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.233．C [解析] cos α＝1－2sin 2 α2＝13，应选C.17．C5，C8，F1[2021·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)假设a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －s in(A －B)sin B ＝－35.那么cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，那么sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，那么A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.16．C3、C5、C9[2021·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________．16．－2 55 [解析] f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.18．C5和C8[2021·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc. (1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值． 18．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bcsin A ＝12·asin B sin A·asin C ＝3sin Bsin C ，因此，S ＋3cos Bcos C ＝3(sin Bsin C ＋cos Bcos C)＝3cos(B －C)． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos Bcos C 取最大值3.C6 二倍角公式15．C4，C5，C6，C7[2021·北京卷] 函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)假设α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.6．C6[2021·新课标全国卷Ⅱ] sin 2α＝23，那么cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16B.13 C.12 D.2314．C1，C2，C6[2021·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，那么tan 2α的值是________．14.3 [解析] 方法一：由sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×〔－3〕1－3＝ 3.方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3.15．C6、E1和E3[2021·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，那么α的取值范围为________．15.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π.C7 三角函数的求值、化简与证明15．C4，C5，C6，C7[2021·北京卷] 函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)假设α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.18．C7、C8[2021·全国卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b＋c)＝ac.(1)求B ；(2)假设sin Asin C ＝3－14，求C. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 2＝－ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°， 所以cos (A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C ＝12＋2×3－14 ＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.18．C4，C7[2021·山东卷] 设函数f(x )＝32－3sin 2 ωx －sin ωx cos ωx(ω>0)，且y ＝f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．18．解：(1)f (x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0， 所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f(x)≤32. 故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.16．C7，C8[2021·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318.C8 解三角形9．C8[2021·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，假设b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，那么角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π69．B [解析] 根据正弦定理，3sin A ＝5sin B 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a 5.令a ＝5t(t>0)，那么b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t ＝－12，所以C ＝2π3. 5．C8[2021·北京卷] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，那么sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 5．B [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即313＝5sin B ，解得sin B ＝59.18．C7、C8[2021·全国卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac.(1)求B ；(2)假设sin Asin C ＝3－14，求C. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 2＝－ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，(2)由(1)知A ＋C ＝60°， 所以cos (A －C)＝cos Acos C ＋sin Asin C＝cos Acos C －sin Asin C ＋2sin Asin C ＝cos(A ＋C)＋2sinAsin C ＝12＋2×3－14 ＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°， 因此C ＝15°或C ＝45°.21．C8，C9[2021·福建卷] 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)假设OM ＝5，求PM 的长； (2)假设点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．图1－621．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝2 2， 由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0， 解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，所以OM ＝OPsin 45°sin 〔45°＋α〕，同理ON ＝OPsin 45°sin 〔75°＋α〕.故S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝14×OP 2sin 2 45°sin 〔45°＋α〕sin 〔75°＋α〕 ＝1sin 〔45°＋α〕sin 〔45°＋α＋30°〕＝1sin 〔45°＋α〕⎣⎡⎦⎤32sin 〔45°＋α〕＋12cos 〔45°＋α〕＝132sin 2〔45°＋α〕＋12sin 〔45°＋α〕cos 〔45°＋α〕＝134[1－cos 〔90°＋2α〕]＋14sin 〔90°＋2α〕 ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝1 34＋12sin 〔2α＋30°〕. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.18．C8[2021·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(2)假设△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sinB sin C 的值．18．解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.5．C8[2021·湖南卷] 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.假设2asin B ＝3b ，那么角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π125．A [解析] 由正弦定理可得2sin Asin B ＝3sin B ．又sin B ≠0，所以sin A ＝32.因为A 为锐角，故A ＝π3，选A.17．C8[2021·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin Asin B ＋sin Bsin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)假设C ＝2π3，求ab的值．17．解：(1)证明：由题意得sin Asin B ＋sin Bsin C ＝2sin 2 B ，因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a)2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35.6．C8[2021·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.假设asin Bco s C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，那么∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．A [解析] 由正弦定理可以得到sin Asin Bcos C ＋sin Csin Bcos A ＝12sin B ，所以可以得到sinAcos C ＋sin Ccos A ＝12，即sin(A ＋C)＝sin B ＝12，那么∠B ＝π6，应选A.4．C8[2021·新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，那么△ABC 的面积为( )A ．2 3＋2 B.3＋1 C ．2 3－2 D.3－1 4．B [解析] b sin B ＝c sin Cc ＝2 2.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝712π，∴△ABC 的面积为12×2×2 2×sin 7π12＝22×6＋24＝3＋1.7．C8[2021·山东卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.假设B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，那么c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．17．B [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，即1sinA ＝3sinB ＝32sinAcosA ，解之得cosA ＝32，∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴c ＝a 2＋b 2＝()32＋12＝2.9．C8[2021·陕西卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设bcos C ＋ccos B ＝asin A ，那么△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定9．A [解析] 结合bco s C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理可知sin B cos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin A ，即sin (B ＋C)＝sin 2A sin A ＝sin 2A sin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．16．C7，C8[2021·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.bsin A ＝3csinB ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．16．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝4 59.所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318.17．C5，C8，F1[2021·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)假设a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.那么cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，那么sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，那么A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.15．H1，C8，E8[2021·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．15．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．10．C8[2021·新课标全国卷Ⅰ] 锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，那么b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 10．D [解析] 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得25cos 2A ＝1.因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理，得49＝b 2＋36－12b ×15，即b 2－125b －13＝0，解得b ＝5或－135(舍去)．18．C8[2021·浙江卷] 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asin B ＝ 3b.(1)求角A 的大小；(2)假设a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．18．解：(1)由2asin B ＝ 3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝ 32.因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2＋c 2－bc ＝36.又b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bcsin A ，得△ABC 的面积为7 33.18．C5和C8[2021·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc.(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos Bcos C 的最大值，并指出此时B 的值．又因为0<A<π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bcsin A ＝12·asin B sin A·asin C ＝3sin Bsin C ，因此，S ＋3cos Bcos C ＝3(sin Bsin C ＋cos Bcos C)＝3cos(B －C)． 所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos Bcos C 取最大值3.C9 单元综合21．C8，C9[2021·福建卷] 如图1－6，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)假设OM ＝5，求PM 的长； (2)假设点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．图1－621．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝2 2， 由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2OP·MP·cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0， 解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，所以OM ＝OPsin 45°sin 〔45°＋α〕，同理ON ＝OPsin 45°sin 〔75°＋α〕.故S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON＝14×OP 2sin 2 45°sin 〔45°＋α〕sin 〔75°＋α〕 ＝1sin 〔45°＋α〕sin 〔45°＋α＋30°〕＝1sin 〔45°＋α〕⎣⎡⎦⎤32sin 〔45°＋α〕＋12cos 〔45°＋α〕＝1 32sin 2〔45°＋α〕＋12sin 〔45°＋α〕cos 〔45°＋α〕 ＝134[1－cos 〔90°＋2α〕]＋14sin 〔90°＋2α〕 ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝1 34＋12sin 〔2α＋30°〕. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.18．C9[2021·江苏卷] 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－4 18．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m. (2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t ×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内． 15．C9[2021·江苏卷] a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)假设|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，假设a ＋b ＝c ，求α，β的值． 15．解：(1)由题意得|a －b|2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a ⊥b. (2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.16．C3、C5、C9[2021·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________．16．－2 55 [解析] f(x)＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25，即θ＝2k π＋π2＋α(上述k 为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 55.9．C9[2021·新课标全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝(1－cos x)·sin x 在[－π，π]的图像大致为( )图1－29．C [解析] 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x ∈[0，π]时f(x)≥0，排除选项A.对函数f(x)求导，得f ′(x)＝sin xsin x ＋(1－cos x)cos x ＝－2cos 2 x ＋cos x ＋1＝－(cos x －1)(2cos x ＋1)，当0<x<π时，假设0<x<2π3，那么f′(x)>0，假设2π3<x<π，那么f′(x)<0，即函数在(0，π)上的极大值点是x ＝2π3，故只能是选项C 中的图像．1．[2021·成都一诊] sin x ＋cos xsin x －cos x＝3，那么tan x 的值是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－21．C [解析] 由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，可变形为sin xcos x ＋1sin x cos x －1＝3，即tan x ＋1tan x －1＝3，解得tan x ＝22．[2021·广安一诊] 曲线y ＝sin xx在点M(π，0)处的切线为l ，假设θ为l 的倾斜角，那么点P(sin θ，tan θ)在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．A [解析] 由题意得y′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝〔sin x 〕′·x －x′·sin x x 2＝xcos x －sin xx 2，所以tan θ＝k l＝y′|x ＝π＝－ππ2＝－1π<0.又θ为l 的倾斜角，那么0<θ<π，所以sin θ>0，所以P(sin θ，tan θ)在第四象限．3．[2021·烟台期中] 函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，那么b －a 的最大值与最小值之和等于( )A ．4π B.8π3C ．2π D.4π33．C [解析] 由正弦函数的图像知(b －a)min ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π3，(b －a)max ＝π6－(－7π6)＝4π3，所以和为2π.应选C.4．[2021·许昌模拟] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递减区间为____________________．4.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) [解析] 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )，即函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．5．[2021·吉林实验中学二模] 把函数y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈RD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R5．C [解析] 将函数y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点向左平移π3个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，应选C.6．[2021·南昌调研] K13－3图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的局部图像，为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x(x ∈R )的图像上所有点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6．A [解析] 由图像可知原函数的周期为T ＝56π＋π6＝π，ω＝2πT ＝2，代入x ＝－π6，由五点法得－π6×2＋φ＝0，解得φ＝π3，原函数的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.将y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，应选A.。

专题 三角函数的图象与性质一、题型全归纳题型一 三角函数的定义域【题型要点】三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域． (2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．【例1】(2020·昆山一中模拟)1．函数y ＝lg(3tan x －3)的定义域为 ．【答案】：Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,2,6ππππ【解析】：要使函数y ＝lg(3tan x －3)有意义，则3tan x －3>0，即tan x >33.所以π6＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例2】函数y ＝cos x －12的定义域为 ．【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ【解析】 要使函数有意义，则cos x －12≥0，即cos x ≥12，解得－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ. 题型二 三角函数的单调性命题角度一 确定三角函数的单调性(单调区间)【题型要点】求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【例1】(2020·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是( ) A.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,342,322ππππ B.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,344,324ππππ D.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,344,324ππππ 【解析】：由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ，故选B. 【例2】．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |【解析】A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递增，故A正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.命题角度二 利用三角函数的单调性比较大小利用单调性比较大小的方法：首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．【例3】已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx ，设a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ＝2sin 10π21，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＝2，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c <a <b .命题角度三 已知三角函数的单调区间求参数【题型要点】已知函数单调性求参数——明确一个不同，掌握两种方法(1)明确一个不同：“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)抓住两种方法．已知函数在区间M 上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．【例4】(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D ．13【解析】 法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，所以⎩⎨⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎨⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.命题角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值)【题型要点】1.三角函数值域的求法 (1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域． (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域． 2.换元法求三角函数的值域(最值)的策略(1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例5】 (2019·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －3cos x 的最小值为 ． 【解析】 f (x )＝sin(2x ＋3π2)－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝1－2cos 2x －3cos x ＝－2243cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋178，因为cosx ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－4.【例6】(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+10πx －2在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，则实数a 的最大值是 ．【解析】：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡5752ππ，上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.题型三 三角函数的周期性与奇偶性【题型要点】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．【例1】(2020·湖北宜昌联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π2 B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4【答案】因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π. 由2πω＝π得ω＝2.因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z . 又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A.【例2】(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4πϕωx ⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增 B ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递减 C ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递减 D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递增 【解析】：.f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+4πϕωx ，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+42πϕx .f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛02-，π上单调递减，故选A. 题型四 三角函数的对称性【题型要点】对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解． (2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【例1】(2020·北京西城区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛13，π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛012，π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0125，π D ．⎪⎭⎫⎝⎛012-，π 【解析】 由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f (x )＝A sin(2x ＋φ)，再由函数图象关于直线x ＝π3对称，故⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ32＝±A ，故可取φ＝－π6. 故函数f (x )＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx ，令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0122，ππk ，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛012，π. 【例2】已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，上单调递减【解析】：f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12·|sin 2x |，则⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ＝12|sin π|＝0，则f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；函数周期T ＝12×2π2＝π2，故B 正确；f (π)＝12|sin 2π|＝0，则(π，0)是f (x )的一个对称中心，故C 正确；当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，时，2x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2，此时sin 2x ＞0，且sin 2x 为减函数，故D 正确．题型五 三角函数的图象与性质的综合问题【题型要点】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【例1】 已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx . (1)求函数的最大值及相应的x 值的集合；(2)求函数f (x )的图象的对称轴方程与对称中心．【解析】：(1)当sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx ＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,83ππ(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .即函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .由2x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,28ππk k ∈Z . 【例2】已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -23π－3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值． 【解析】 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ≤1，即0≤sin(2x －π3)＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.二、高效训练突破 一、选择题1．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， B.⎥⎦⎤⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ， D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223， 【解析】：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ，.故选C.法二：当x ＝π时，函数有意义，排除A ，D ；当x ＝5π4时，函数有意义，排除B.故选C.2．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0B ．3C ．－1D ．－2【解析】：因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1. 所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.3．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx ，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－12【解析】：.f (x )＝1＋cos 2x 2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32＝12＋12cos 2x ＋12－12⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋1＝12sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1，则f (x )的最小正周期为π，最小值为－12＋1＝12，最大值为12＋1＝32. 4．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π8D ．π【解析】：由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛4-2πx ，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡838-ππ，上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0＜m ≤3π8，即m 的最大值为3π8，故选C.5.若⎪⎭⎫⎝⎛08，π是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx ，由题意，知⎪⎭⎫ ⎝⎛8πf ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48πωπ＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 6．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π【解析】：函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错；在区间(0，π3)上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于(π6，0)中心对称，故选C.7.(2020·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，则ω的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4【解析】：法一：因为x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，，所以ωx ＋π4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+484πωππ，，因为f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.法二：将选项逐个代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛80π，上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.8．已知函数f (x )＝(x －a )k ，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( ) A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cos B ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B ) C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B ) D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )【解析】：A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，因为A ＋B ＞π2，所以π2＞A ＞π2－B ＞0，所以sin A ＞sin⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝cos B ，cos A ＜cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝sin B ，且sin A ，sin B ，cos A ，cos B ∈(0，1)．当k ＝1，a ＝2时，函数f (x )＝x －2单调递增，所以f (sin A )＞f (cos B )，f (cos A )＜f (sin B )，故A ，B 错误； 当k ＝2，a ＝1时，函数f (x )＝(x －1)2在(0，1)上单调递减，所以f (sin A )＜f (cos B )，f (cos A )＞f (sin B )，故C 错误，D 正确．9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx . 由f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2，所以ω＝2ππ2＝4.10．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,10πϕω的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3212ππ，上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0 C ．f (x )≥1的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32,2πππk k ，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛03-，π 【解析】：由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx .因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πf ＝0，所以⎪⎭⎫⎝⎛03-，π是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.二、填空题1．比较大小：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 【解析】：因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡02-，π上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π＞sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 2．已知函数f (x )＝4sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是 ． 【解析】：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡127--ππ，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡012-，π 3．设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6-πωx (ω>0)．若f (x )≤⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 【解析】：由于对任意的实数都有f (x )≤⎪⎭⎫⎝⎛4πf 成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故⎪⎭⎫⎝⎛4πf ＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝23. 4．若函数y ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (ω∈N *)图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛06，π，则ω的最小值为 ． 【解析】：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )∈ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.5．(2020·无锡期末)在函数∈y ＝cos|2x |；∈y ＝|cos 2x |；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ；∈y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．【解析】：∈y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；∈y ＝cos 2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos 2x |的最小正周期为π2；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx 的最小正周期T ＝2π2＝π；∈y ＝tan 2x 的最小正周期T ＝π2.因此∈∈的最小正周期为π.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．【解析】：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.三 解答题1.已知函数f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡44-ππ，时，f (x )≥－12. 【解析】：(1)f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，所以T ＝2π2＝π. (2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡26-ππ，上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡652ππ，上单调递减，且sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＜sin 5π6， 所以f (x )≥sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＝－12，得证． 2．已知f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．【解析】：(1)f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1. (3)由f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋2＝1，可得sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<320πϕ的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛236，π，求f (x )的单调递增区间．【解析】：由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0， 已知上式对∈x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝32，所以sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ62＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．4.已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -2πsin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解】：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx . 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛22-65x π＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ，又f (x 2)＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。

专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。

2021年高考数学试题分类汇编 C单元三角函数（含解析）C1 角的概念及任意角的三角函数 (2)C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (2)C3 三角函数的图象与性质 (2)C4 函数的图象与性质 (2)C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 (2)C6 二倍角公式 (2)C7 三角函数的求值、化简与证明 (2)C8 解三角形 (2)C9 单元综合 (2)C1 角的概念及任意角的三角函数【文·浙江效实中学高二期末·xx】1．已知角的终边与单位圆相交于点，则（A）（B）（C）（D）【知识点】三角函数的定义【答案解析】D解析：解：，所以选D.【思路点拨】一般知道角的终边位置求角的三角函数值，可用定义法解答.【理·浙江效实中学高二期末`xx】11．若的终边所在直线经过点，则__ ▲ _．【知识点】三角函数定义【答案解析】解析：解：由已知得直线经过二、四象限，若的终边在第二象限，因为点P到原点的距离为1，则，若的终边在第四象限，则的终边经过点P 关于原点的对称点，所以，综上可知sinα=.【思路点拨】一般已知角的终边位置求角的三角函数值通常利用三角函数的定义求值，本题应注意所求角终边所在的象限有两个.【吉林一中高一期末·xx】21. 利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.【知识点】三角函数线的定义和应用.【答案解析】见解析解析：解：证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点，而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)，所以|sinα|＋|cosα|＝1.当角α的终边落在四个象限时，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，过P作PM⊥x轴于点M(如图)，则|sinα|＝|MP|，|cosα|＝|OM|，利用三角形两边之和大于第三边有：|sinα|＋|cosα|＝|MP|＋|OM|>1，综上有|sinα|＋|cosα|≥1.【思路点拨】分两种情况：当角α的终边在坐标轴上时，|sinα|＋|cosα|＝1. 当角α的终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边可得|sinα|＋|cosα|>1，综合两种情况即可得到证明.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式【重庆一中高一期末·xx 】【学生时代让人头疼的各种符号】 α 阿尔法 β 贝塔 γ 伽玛 δ 德尔塔 ε 伊普西隆 ζ 泽塔 η 伊塔 θ 西塔 ι 约塔 κ 卡帕 λ 兰姆达 μ 米欧 ν 纽 ξ 克西 ο 欧米克隆 π 派 ρ 柔 σ 西格玛 τ 陶 υ 玉普西隆 φ 弗爱 χ 凯 ψ 普赛 ，大家还能读出多少呢？读不出来的请默默转回去复习。