高考数学最新真题专题解析—三角函数图像、性质与恒等变形(新高考卷)

专题6三角函数与解三角形1．设函数 π3πsin cos sin 3πcos π22f x x x x x.(1)求函数 f x 单调递减区间；(2)求函数 π6g x f x f x在区间π0,2 上的最值.【答案】(1) ππ,πZ 4k k k(2) g x 最小值为32【解析】【分析】(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得：()cos 2f x x ，再根据余弦函数的单调性求解即可；(2)化简得π())3g x x ,再根据ππ2π2,333x ，求解即可.(1) 22cos sin sin cos sin cos cos 2f x x x x x x x x ，当 22ππ,2πx k k Z k ，即x ππ,πZ 4k k k时是单调递减区间；(2) π3πcos 2cos 22cos 22323g x x x x x x，因为π02,x ，所以ππ2π2,333x ，min π3032g x g，max 5ππ122g x g，故 g x 最小值为322．已知函数()sin(2)cos(2)63f x x x (1)求7(24f 的值；(2)求函数(12f x 在[0,2上的增区间和值域．【答案】(2)单调递增区间为0,12 ，值域为2 【解析】【分析】（1）利用和差角公式化简函数解析式，再代入由诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；（2）首先求出12f x的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：因为()sin(2)cos(2)63f x x x ，所以()sin 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2sin6633f x x x x x 11sin 2cos 2cos 2sin 22222x x x x 12sin 2cos 222x x2sin 26x，即 2sin 26f x x，所以7732sin 22sin 2sin 2424644f(2)解：由（1）可得2sin 22sin 2121263f x x x，因为0,2x ，所以42,333x ，所以sin 2,132x ，则212f x ，令2332x ，解得012x，即函数在0,2 上的单调递增区间为0,12 ；3．已知函数 πsin 4f x x ， πcos 4g x x 从下面两个条件：条件① 22h x f x g x 、条件② 2h f g x x x 中选择一个作为已知．(1)求ππ,63x时函数 h x 的值域；(2)若函数 h x 图像向右平移m 个单位长度后与函数πsin 26y x的图像重合，求正数m 的最小值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）若选择①：根据余弦二倍角公式、诱导公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可；若选择②：根据正弦二倍角公式、诱导公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可；（2）若选择①：根据正弦型函数图像的变换性质进行求解即可；若选择②：根据余弦型函数图像的变换性质进行求解即可；(1)若选择条件①作为已知： 2222πππsin cos cos 2sin 2442h x f x g x x x x x，ππ,63x 时，π2π233x ，3sin 22x，故函数 h x 的值域为；若选择条件②作为已知：πππ()2()()2sin cos sin 2cos 2442h x f x g x x x x x ππ,63x 时，π2π233x ，1cos 2,12x，故函数()h x 的值域为1,12；(2)若选择条件①作为已知：函数()h x 图像向右平移m 个单位长度后，得到函数sin 2()y x m ，即sin(22)y x m 的图像，∵sin(22)y x m 的图像与函数πsin 26y x的图像重合．∴π22π6m k ，Z k ，即ππ12m k ，Z k ，当m 为正数时，min 11π12m．若选择条件②作为已知：函数()h x 图像向右平移m 个单位长度后，得到函数cos 2()y x m ，即πsin 222y x m的图像．πsin 222y x m的图像与函数πsin 26y x 的图像重合．∴ππ22π26m k ，Z k ，即π6πm k ，Z k ，当m 为正数时，min π6m．4．已知函数()sin cos 6f x x x ．(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)若50,6x，方程()0f x m 有两个实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)最小正周期 ，对称中心为1,,2124k k Z (2)311,0,424m 【解析】【分析】（1）先将 f x 通过和差、二倍角公式、辅助角公式化简，再套用周期和对称中心的公式即可.（2）结合正弦函数的图像即可求得答案.(1)()sin cos 6f x x x=1sin sin 2x x x121cos 24x x112cos 244x x =11sin 2264x所以，最小正周期2T，由26x k，得212k x 所以，对称中心为1,,2124k k Z ．(2)因为50,6x，所以112,666 x ，由正弦曲线可得311,0,424m ．5．设函数 sin cos (R)f x x x x .（1）求函数22y f x 的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x在0,2 上的最大值.【答案】（1） ；（2）12.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 242y x，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x，则2223332sin 1cos 21sin 22442y f x x x x x，所以该函数的最小正周期22T ;（2）由题意， sin 2sin sin 444y f x f x x x x x2222sin sin cos cos 22x x x x x x1cos 22sin 22sin 22222242x x x x x，由0,2x 可得32,444x ，所以当242x 即38x 时，函数取最大值1 6．已知函数 1cos 2f x x g x f x，，其中 0,2π (1)若12且直线π2x 是 g x 的一条对称轴，求 g x 的递减区间和周期；(2)若21π3 ，，求函数 h x f x g x 在π0,2上的最小值；【答案】(1)3ππ4π,4π,22k k k Z；4π(2)14【解析】【分析】（1）根据题设中的对称轴可得π2π,2k k Z ，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.(1)可知11()cos 22g x x ，因为直线π2x 是 g x 图象的一条对称轴，故1π1π,222k k Z ，解得π2π,2k k Z ，而 0,2π ，故3π2 ，则13()cos π24g x x ，则周期2π4πT ，再令13π[2π,π2π],24x k k k Z ，则3ππ4π,4π,22x k k k Z，故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z.(2)可知π()cos 3g x x ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x211cos cos sin cos sin cos 2222x x x x x x11cos 22224x x 1π1sin 2264x 因为π0,2x ，故ππ5π2,666x ，则在ππ262x 即π3x 取 h x 最小值，其最小值为111244.7．自2019年起，上海市推进“三星级绿色生态城区”示范区项目．今年，一座人民公园将要建设一块绿地．设计方案如图所示，有一块边长为500米的正方形土地ABCD CE ，是一段圆弧（以D 为圆心，与BC 相切于C ），其中BE DE ，为两条人行步道，AE 为一条鲜花带．已知每米人行步道的修建费用为每米288元．(1)当50ADE 时，求人行步道BE DE ，的长度之和；(2)如何设计圆弧CE 的长度，才能使人行步道BE DE ，的总造价最低，并求出总造价．（长度精确到0.1米，造价精确到0.01元）【答案】(1)713.5米(2)当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道,BE DE 的总造价最低，为203646.75元【解析】【分析】（1）根据已知条件及圆的定义，再利用锐角三角函数及勾股定理即可求解；（2）根据已知条件及（1）的思路，求出BE 的关系式，再利用辅助角公式及三角函数的性质，求出BE 的最小值，进而得出BE DE 的最小值，结合题意即可求解.(1)作,EF AB EG AD ，垂足分别为,F G ，如图所示由题意可知，500DE DA 米，在Rt EGD 中，cos 500cos50DG DE EDA ，所以500500cos50EF AG AD DG ，在Rt EGD 中，sin 500sin 50EG DE EDA ，同时，500500sin 50BF AB AF AB EG ，在Rt EGD 中，由勾股定理得，222BE EF BF ，即解得 22500500cos50500500sin 50BE213.50 米∴213.50500713.50713.5BE DE 米(2)设AB BC CD AD DE R （500R 米）则与第（1）问相同，设ADE ，由于DE 为定值，只需考虑BE 的变化情况则(1cos ),(1sin )EF R BF R 由勾股定理，222BE EF BF 解得22(1cos )(1sin )32sin 2cos BE Rππ322sin ,0,42，πππ3π0,2444∵，所以当ππ42 即π4时，BE 取得最小值．则min ()322(3221)5002707.1BE DE R R 米则总造价2885002203646.75 元此时圆弧π500125π392.74CE 米故当圆弧长度设计为392.7米时，人行步道,BE DE 的总造价最低，为203646.75元．8．函数()sin(π),R f x A x x （其中π0,02A）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及 的值；(2)若π4PMN PNM，求A 的值．【答案】(1)2；π6；(2)12A .【解析】【分析】（1）利用()f x 的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出 作答.（2）由（1）求出点M ，N 的坐标，结合图形求出PMN 和PNM 的正切，再利用和角公式计算作答.(1)函数()sin(π)f x A x 的最小正周期2π2πT ，因1(,)3P A 是函数()f x 图象的最高点，则1ππ2π,Z 32k k ，而02，有0k ，π6 ，所以函数()f x 的最小正周期为2，π6.(2)由（1）知，π()sin(π)6f x A x ，由ππ06x 得16x ，即点1(,0)6M ，由ππ2π6x 得116x =，即点11(,0)6N ，于是得tan 211()36A PMN A ，2tan 111363A PNM A ，而π4PMN PNM ，则22tan tan 3tan()121tan tan 123A A PMN PNM PMN PNM PMN PNM A A ，又0A，解得12A，所以12A .9．已知函数21()cos sin 2f x x x x ，其中0 ，若实数12,x x 满足 122f x f x 时，12x x 的最小值为2．(1)求 的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，若()1,f A a ABC 周长的取值范围．【答案】(1)1 ，对称中心,0,122k kZ ；(2)2【解析】【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式化简得()sin 26f x x，再结合已知求得周期即可求出 ，由正弦函数的对称性即可求得对称中心；（2）先求出23A，再由正弦定理求得2sin ,2sin b B c C ，再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围．(1)211cos 21()cos sin sin 22222x f x x x x x12cos 2sin 2226x x x，显然()f x 的最大值为1，最小值为1 ，则 122f x f x 时，12x x 的最小值等于2T ，则22T ，则22 ，1 ；令2,6x k kZ ，解得,122k x kZ ，则()f x 的对称中心为,0,122k kZ ；(2)()sin(2)16f A A，22,62A k kZ ，又 0,A ，则23A ，由正弦定理得2sin sin sin 32a b c A B C ，则2sin ,2sin b B c C ，则周长为2sin 2sin 2sin 2sin 3a b c B C B Bsin 2sin(3B B B ，又03B ，则2333B ，2sin()23B，故周长的取值范围为2.10．已知函数()sin(),0,0,02f x A x x R A的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)在锐角ABC 中，若边1BC，且212A f，求ABC 周长的最大值．【答案】(1)π()2sin 26f x x(2)3【解析】【分析】（1）由图得2A ，32ππ3π43124T ，根据2πT ，所以2 ，将点π,012代入()2sin(2)f x x ，结合π02 的条件，求得π6 ，从而求得()f x 的解析式为π()2sin 26f x x；（2）由π212A f 3sin 2A ，因为A 为锐角，求得π3A ，ππ,62B ，根据正弦定理，得到1sin )a b c B C ，利用三角形内角之间的关系，以及三角恒等变换，进一步将其化简为12sin(6a b c B，结合B 的范围，以及正弦型函数的相关性质求得结果.(1)由图得2A ，32ππ3π43124T ，又2πT，所以2 ，将点π,012代入()2sin(2)f x x ，得πsin 06 ，即π,6k k Z ，考虑到π02 ，故π6，即()f x 的解析式为π()2sin 26f x x(2)由π212A f sin A π0,2A ，故π3A ，因为ABC 为锐角三角形，且π3A ，故ππ,62B 由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C 所以2π1sin )1sin sin3a b c B C B B1π12sin cos 12sin 26B B B又ππ2π,633B ，故π2sin 6B，故ABC 周长的最大值为3.11．已知函数 sin 0,02f x M x 的部分图象如图所示.(1)求函数 f x 的解析式；(2)在A 为锐角的ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若622A f22b c ABC 的面积为3，求a 的值.【答案】(1) 2sin 26f x x(2)10a 2421261232a 【解析】【分析】（1）由图象可得出函数 f x 的最小正周期，可求得 的值，代入点5,012、 0,1的坐标，可分别求出 、M 的值，可得出函数 f x 的解析式；（2）由6222A f结合角A 的取值范围可求得角A 的值，利用三角形的面积公式可求得bc 的值，利用余弦定理可求得a 的值.(1)解：由图象可知，函数 f x 的最小正周期为11521212T，22T .因为点5,012 在函数 f x 的图象上，所以5sin 2012M，即5sin 06.又02 ∵，则554663 ，从而56 ，即6π.又点 0,1在函数 f x 的图象上，所以由sin16M，得2M .此时 2sin 26f x x，则 f x 在56x 附近单调递增，合乎题意，所以函数 f x 的解析式为 2sin 26f x x.(2)解：由622sin 26A f A62sin =64A，因为5sinsin sin cos cos sin 124646464，562coscos cos cos sin sin 124646464，0,2A∵，则2663A ，所以，1256A 或712 ，可得4A 或512 ，当4A 时，因为1sin 32ABC S bc A △，可得bc又因为2b c 22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A ，解得a 512A时，因为162sin 328ABC S bc A bc △，可得bc因为2b c 22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A ，解得a 所以a a12．已知函数21()cos cos (0)2f x x x x (1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a ，12bc ，()1f A ．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长．【答案】(1) πsin 26f x x；(2)13AD.【解析】【分析】（1）应用降幂公式及辅助角公式可得π()sin 26f x x，根据相邻的最高、最低点距离、勾股定理求得1 ，即可得解析式.（2）由已知有π3A ，根据ABC ABD ACD S S S 及三角形面积公式可得AD b c，再应用余弦定理求b c ，进而可得AD 的长．(1)因为 211cos cos 2cos 2222f x x x x x xπsin 26x ，设函数()f x 的周期为T ，由题意222444πT，即2224ππ，解得1 ，所以 πsin 26f x x.(2)由 1f A 得：sin 216A，即22,Z 62A k k ，解得,Z 3A k k ，因为[0,]A ，所以π3A ，因为A 的平分线AD 交BC 于D ，所以ABC ABD ACD S S S ，即111sin sin sin 232626bc c AD b AD ，可得3bcAD b c，由余弦定理得：， 22222cos 3a b c bc A b c bc ，而12bc ，得 252b c ，因此AD13．设函数 sin cos cos ,f x x x x x x R .(1)求 y f x 的单调递增区间；(2)将 y f x 的图象往右平移6 ，得到新函数 ,g x ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3222A C g，且a c ，求C .【答案】(1) 5,1212k k k Z(2)12【解析】【分析】（1）先化简 3sin 232f x x，再令222,,232k x k k Z 即可求出答案；（2）根据三角函数的平移变换求出 g x ，再由2A C g可求得2A C ，再由正弦定理和二倍角公式化简a c 可得cos sin 0C C ，即可求出C .(1)211sin2sin21cos2sin 2223f x x x x x x5222,,,2321212k x k k Z k x k k Z，所以单调递增区间为 5,1212k k k Z.(2)sin 2sin26322g x x x，2sin ,sin 1,.2222A C g A C A C A C又,sin sin ,sin sin 222a c A C B C C C∵，22cos sin cos sin,C C C C Ccos sin0C C，或3cos sin24C C C4C,.4312C C14．已知函数2cos,1,,1,m x x n x x f x m n，(1)求()f x的解析式，并求其单调递增区间；(2)若()1f x 在区间(0,)上的根按从小到大的顺序依次记为123,,,,na a a a求数列 n a的通项公式及其前n项和n S．【答案】(1)π112sin2π,636f x x k k kZ；，；(2)2211146121146nn n nSn n n，为奇数，为偶数【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换和辅助角公式计算求出()f x的解析式，结合整体代换法即可求出函数的增区间；(2)令()1f x 求出x的值，进而得出数列为等差数列，结合等差数列的通项公式和前n项求和法计算即可.(1)由题意得，()f x m n，则2()cos12sinf x x x x2cos22sin(2)6x x x，222262k x k，解得11(36k x k kZ)，即函数()f x的单调增区间为11(,)36k k k，Z，(2)由()1f x ，得2sin(216x，有2266x k或52266x k kZ，解得x k或13x k ，k Z，得方程()1f x 的根从小到大排列依次为11111,11223333333n n ，，，，，，，所以12345671111,112=2333333a a a a a a a ，，，，则数列{}n a 的通项公式为21123n nn a n n 为偶数，为奇数，故数列{}n a 的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，奇数项是以13为首项，1为公差的等差数列.当n 为偶数时，1213124()()n n n n S a a a a a a a a a 21(12(12)2232n n n nS 2(2)(2)1186846n n n n n n n；当n 为奇数时，1213241()()n n n n S a a a a a a a a a 1111(12)(12)2322n n n n S211(11111222264612n n n n n，综上，2211146121146n n n n S n n n ，为奇数，为偶数.15．已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x 的图象上所有的点向右平移12个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x 的图象．当130,6x时，方程()0g x a 恰有三个不相等的实数根 123123,,x x x x x x ，求实数a 的取值范围和1232x x x 的值．【答案】(1)()2sin 233f x x(2)4 ，，1231023x x x 【解析】【分析】(1)根据图示，即可确定A 和B 的值，再由周期确定 ，最后将点,512带入 f x ；即可求出答案.(2)先根据题意写出 y g x ，再根据x 的取值范围求出6x的取值范围.即可根据sin y x 的对称性求出12x x 与23x x 的值.即可求出答案.(1)解：由图示得：515+12,322A B ，又71212122T ，所以T ，所以22T，所以()2sin(2)3f x x ，又因为()f x 过点,512 ，所以52sin 2312，即푠� �=1，所以2,62k k Z ，解得2,3k k Z ，又||2 ，所以3，所以()2sin 233f x x；(2)解：由已知得()2sin 36g x x，当130,6x 时，7,663x ，令7,663t x ，则2sin 32sin 36x t，令()2sin 3h t t ，则2sin 3466h ，2sin 3522h ，332sin 3122h，772sin 333h，所以4a ，，因为()0h t a 有三个不同的实数根 123123,,t t t t t t ，则12312,22t t t t，所以12324t t t ，即12324666x x x，所以1231023x x x．16．已知函数()sin()0,0,02f x A x A满足：①()f x 的最大值为2；②06f；()f x 的最小正周期为 ．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间0,2上的单调递增区间与最小值．【答案】(1)2n 2)3(si f x x(2)0,12，【解析】【分析】（1）根据题干中的三个条件，可分别求出、、A 的值，即可求得()f x 的解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，整体代入求解函数()f x 在区间0,2上的单调性及最值即可.(1)由条件③，得2||又0 ，所以2 ．由条件①，得||2A ，又0A ，所以2A ．由条件②，得2sin 063f，又02 ，所以3．所以2n 2)3(si f x x．经验证，2n 2)3(si f x x符合题意．(2)函数sin y x 的单调递增区间为222,2()k k k Z．由222()232k x k k Z ，得5()1212k x k k Z．又因为0,2x，所以()f x 在区间0,2 上的单调递增区间为0,12，单调递减区间为,122.因为0,2x，所以42,333x ，所以当4233x，即2x时，()f x 取得最小值，min ()2f x f ．故()f x 在区间0,2上的单调递增区间为0,12，最小值为17．已知函数sin cos f x x x x x .(1)求函数 f x 在 0, 上的单调增区间；(2)若 006,0,52f x x，求0cos2x 的值.【答案】(1)511,1212(2)410【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式化简函数为 22sin 23f x x，再利用正弦函数的性质求解；（2）根据 065f x，得到023sin 235x ，进而得到02cos 23x ，然后由0022cos2cos 233x x 求解.(1)解：sin cos f x x x x x ，222sin cos x x x x ，sin2 x x ，22sin 23x ，令2222,Z 232k x k k ，解得7,Z 1212k x k k ，所以 f x 的单调增区间为7,,1212k k k Z.令1k 得区间为511,1212，所以 f x 在 0, 上的单调增区间为511,1212；(2)因为 065f x，所以023sin 235x，又00,2x，且02sin 203x，所以0222,33x，则024cos 235x所以000022222π2πcos2cos 2=cos(2)cos +sin(2+)sin 333333x x x x4133433525210.18．已知函数()2sin ,(0)3f x x．(1)若()f x 的图像与直线2y 相邻两个交点的距离为 ，求 的值及()f x 的单调递增区间；(2)当2 时，求函数5()()12g x f x f x在0,4x上的最大值．【答案】(1)2 ；单调递增区间为5,,Z1212k k k(2)2【解析】【分析】（1）根据题意求出周期，再求出 ，分析求单调性即可；（2）根据题意得()2sin 43g x x可.(1)因为()f x 的图像与直线2y 相邻两个交点的距离为 ，所以()f x 的最小正周期为 ，所以22，所以()2sin 23f x x，52222321212k x k k x k，所以函数的单调递增区间为：5,,Z 1212k k k；(2)当2 时，()2sin 23f x x，所以52sin 22cos2122f x x x，所以1()4sin 2cos24sin 2cos232g x x x x x x22sin 2cos22sin 42sin 43x x x x x x因为0,4x ，所以24,333x ，所以sin 43x，所以2sin 423x，所以()g x 的最大值为2 ．19．已知函数22()sin cos 3f x x x．(1)求函数 y f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数()()02g x f x关于点,12 中心对称，求()y g x 在,63上的值域．【答案】(1)最小正周期为 ，5,,1212k k kZ(2)1124【解析】【分析】（1）先利用倍角公式化简得()123f x x，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解；（2）先写出()g x ，由关于点,12中心对称解出3，再结合正弦函数的值域即可求解.(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x3331sin 2cos21sin 24423x x x．∴22,()||2T y f x的最小正周期为 ，令5222,,2321212k x k k k x kZ ，∴()y f x 的单调递增区间为5,,1212k k kZ (2)33()1sin 2()1sin 222323g x x x．∵()y g x 关于点,12中心对称，∴222,,2332k k kZ ，∵02 ，∴3．∴33()1sin(2)1sin 222g x x x．当2,,2,6333x x∴1sin 2,()14x g x．20．已知函数 ()sin y f x A x B （其中A ， ， ，B 均为常数，且0A ，0 ， ）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ，,02x，求()g x 的值域．【答案】(1)5()2sin 216f x x；(2)[2 .【解析】【分析】（1）根据函数图像可得2A 、2 、1B ，再由五点法求 ，进而写出解析式；（2）应用诱导公式、辅助角公式可得())24g x x，根据正弦型函数的性质求值域.(1)由题图3(1)22A且22()36T，则2 ，3(1)12B ，sin(2)13，则726k 且Z k ，又 ，故56 ，综上，5()2sin 216f x x.(2)由题设，()2(sin 2cos 2)224g x x x x ，而,02x，所以32(,)444x ，则sin(2)[1,4x ，故()[2g x。

【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数A, 的正负；第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos( 2 )y x 的单调递增区间是（）4A．[k π＋，kπ＋8 58π] B ．[k π－38π，kπ＋8]C．[2k π＋，2kπ＋8 58π] D ．[2k π－38π，2kπ＋8] （以上k∈Z）【答案】 B.考点：三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将 2x作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数y cos( 2x)的单调44递增区间转化为2x 在区间2k ,2k 上递减的.4【变式演练1】已知函数 f (x) sin( 2 x )( 0), 直线x x1,x x2 是y f (x) 图像的任意两条对称6轴，且x1 x 的最小值为2 2．求函数 f (x) 的单调增区间；【答案】[ k , k ], k Z .3 6【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求，根据公式求此函数的单调递增区间.试题解析：由题意得T , 则1, f (x) sin(2 x ). 由2k 2x 2k , 解得6 2 6 23 k , Z. 故 f ( x) 的单调增区间是k k ], k Z x k k [ .,6 3 6考点：1．y A sin x 的单调性；【变式演练2】已知函数sin( )+ ( 0 0 )f x A x B A ，，的一系列对应值如下表：2x6 3 5643116 [73176y 2 4 2 4 （1）根据表格提供的数据求函数 f x 的解析式；（2）求函数 f x 的单调递增区间和对称中心；【答案】（1） f x 3sin x 1（2）352k ，2k (k Z)（k + ，1）(k Z).6 6 3（2）当2 2 ( )k x k k Z，即2 3 25x k ，k k Z时，函数f x 单调递2 2 ( )6 6增．令= ( x k k Z)，所以函数 f x 的对称中心为+ 1 ( x k k Z)，得= + ( k k Z)（，）．3 33考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法[ 来源:Z*xx*]类型二由y A sin( x ) 的图象求其函数式使用情景：一般函数y A s in( x ) 求其函数式解题模板：第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x轴交点坐标等；第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数A, , 中一个或两个或三个；第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步得出结论.例2 已知函数y A sin( x ) y A s in( x )( 0, , x R) 的图象如图所示，则该函数的2解析式是（）（A）y 4 sin( x ) （B）y 4 s in( x )8 4 8 4（C）y 4 s in( x ) （D）y 4 sin( x )8 4 8 4【答案】 D考点：y Asin x 的图像【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得的大小；然后观察图像知其振幅 A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小.【变式演练3】已知函数 f x A sin x （其中 A 0, 0, ）的部分图象如图所示，则f x2的解析式为（）6A．2sinf x x B．f x2sin2x36C．2sin2f x x D．f x2sin4x6【答案】B【解析】考点：由y A s in(x)的部分图像确定解析式。

高考数学最新真题专题解析—解三角形（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I 卷 【母题题文】记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA1+sinA =sin2B1+cos2B ． (1)若C =2π3，求B;(2)求a 2+b 2c 2的最小值．【答案】解：(1)∵cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B ，∴cos 2A 2−sin 2A2cos 2A 2+sin 2A 2+2sin A 2cos A 2=2sinBcosB1+2cos 2B−1且cosB ≠0，∴cos A 2−sinA2cos A 2+sinA 2=sinBcosB ∴1−tanA21+tanA2=tanB ，∴tan(π4−A2)=tanB ，又A ，B ∈(0,π)，π4−A2∈(−π4,π4)，∴π4−A2=B ． 又∵C =2π3，∴A +B =π3，∴B =π6． (2)由正弦定理asinA =bsinB =csinC ，得a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=sin 2A+sin 2(π4−A 2)sin 2(A+π4−A2)1−cos 2A 2+1−cos2 (π4−A2)21−cos 2(A+π4−A2)2=1−cos 2A+1−sin A1+sin A=2sin 2 A−sin A+11+sin A，{A ∈(0,π)π4−A2=B ∈(0,π)⇒A ∈(0,π2)，令t =1+sinA ∈(1,2)， 则y =2(t−1)2−(t−1)+1t =2t −5+4t ，t ∈(1,2)，y =2t −5+4t 在t ∈(1,√2)时递减，在t ∈(√2,2)时递增， 因此t =√2时，y min =4√2−5． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】记△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3，且S 1−S 2+S 3=√32，sinB =13．(1)求△ABC 的面积; (2)若sinAsinC =√23，求b ．【答案】解：(1)∵边长为a 的正三角形的面积为√34a 2，∴S 1−S 2+S 3=√34(a 2−b 2+c 2)=√32，即accosB =1，由sinB =13得：cosB =2√23，∴ac =1cosB =3√24， 故S △ABC =12acsinB =12×3√24×13=√28． (2)由正弦定理得：b 2sin 2B=asinA ．csinC =acsinAsinC =3√24√23=94，故b =32sinB =12．【命题意图】考察利用正余弦定理解三角形。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点 考查内容理 5 三角函数定义 文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限 的符号及两角和的正切公式 卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、 三角函数性质等根底知识 卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式 三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换 三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、 卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式 值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与 转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系． 同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归 与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式 理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷 三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化 与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化 归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函 数值求角，运算求解能力 二倍角公式，平方关系 二倍角公式，三角函数的符号 二倍角公式 卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换 理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换 理 9 三角恒等变换 文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式 两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三 角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍 为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析） 角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1， 解 得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知， 在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角 满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角 的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角 的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ， 可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， 解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得 ，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知 是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析） 是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设 为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵， ，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． （解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设 为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当 时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析） 理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答 案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数， 即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1， （解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2， 可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜ ＜ ，- ＜ ＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而 ， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为： ；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ， 由 ① ② 得 ：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )， 则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为 ． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知 的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得 ，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系 中，角与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k， 所 以（ 解 析 ） ∵ 角与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设 为锐角，假设cossin 2 ，则 ．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析） 因为 为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以 ， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数 ，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ， 的值；，其中a R ， 0， ． 44 2 23(2)假设 f ，， ，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以 〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又 ， ，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数 ． 3 f (1) 求 的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。

新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。

第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2，1)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4等于( ) A ．－7 B ．－17 C.17 D ．7答案 A解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)， 可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7. (2)(2018·衡水金卷信息卷)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α ＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1＝4＋6－25＝85. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)(2018·合肥质检)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 B解析 由诱导公式可得，sin 5π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝⎛⎭⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)(2018·衡水金卷调研卷)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( )A.12B.13C.16 D ．－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度 y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． (先伸缩后平移)y ＝sin x ――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin ωx ―――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．例2 (1)(2018·安徽省江淮十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象，故选A.(2)(2018·永州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案 π3解析 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示， 则A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象， 所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z ，或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练2 (1)(2018·潍坊模拟)若将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( ) A.12 B.32 C.52 D.72 答案 B解析 将函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y ＝cosω⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3. ∵平移后得到的函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合， ∴－ωπ3＝2k π－π2(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋32(k ∈Z )．∴当k ＝0时，ω＝32.(2)(2018·北京朝阳区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质 1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3(1＋cos 2ωx )2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3， 设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝⎛⎭⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4， ∵f (x )max ＝1，∴⎝⎛⎭⎫T 22＋4＝π2＋4， 整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ－π3. ∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝0， 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3； 当k ＝1时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤7π6，5π3.∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6，2π3，⎣⎡⎦⎤7π6，5π3. 思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (2018·四川成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a 的最大值为1.(1)求函数f (x )的最小正周期与单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋sin 2x ＋a ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ≤1， ∴2＋a ＝1， 即a ＝－1，∴最小正周期为T ＝π. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1， 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . (2)∵将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取最大值3－1； 当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取最小值－3.真题体验1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当12<cos x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )，∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.2．(2018·全国Ⅱ改编 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________． 答案 π4解析 f (x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3．(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数______．(填序号)①在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增； ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增； ④在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______． 答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 押题预测1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A.2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3B.1633 C ．8 D ．16 押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M ⎝⎛⎭⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得 PM ＝⎝⎛⎭⎫2－a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，得f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3， 从而f (0)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－8，得A ＝163 3. 3．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)若x 是某三角形的一个内角，且f (x )＝－22，求角x 的大小； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 解 (1)∵f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x －22sin 2x＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－22， 可得cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得x ∈(0，π)， ∴2x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，9π4， 可得2x ＋π4＝2π3或4π3，∴x ＝5π24或13π24.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22， ∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f (x )的最小值为－2，此时2x ＋π4＝π，即x ＝3π8.A 组 专题通关1．(2018·佛山质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π， 2 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π， 2 答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π，振幅为2.2．(2018·天津市十二校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A.π2 B.3π8 C.π4 D.5π8答案 D解析 由函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π＝2πω， 可得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度， 得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋|φ|)＋π4的图象， ∵平移后图象关于y 轴对称， ∴2|φ|＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴|φ|＝k π2＋π8(k ∈Z )，令k ＝1，得φ＝±5π8.3．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx2＋1(ω>0)，将f (x )的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，所得函数g (x )的部分图象如图所示，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π8D.π3 答案 A解析 ∵f (x )＝3sin ωx －2cos 2ωx2＋1 ＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6， 则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω(x －φ)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωφ－π6. 由图知T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6， 则g ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6－π6－2φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝2， 即2π3－2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π12－k π，k ∈Z .又0<φ<π2，∴φ的值为π12.4．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 答案 B解析 由f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π，又f ⎝⎛⎭⎫12＝1，则φ＝±π3＋2k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3. 令－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z . 5．(2018·焦作模拟)函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称C ．f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2， 所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最大值为2，所以A 错误； 当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， 所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π6 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ＝－π3时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2≠0， 所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤5π6，7π6，f (x )单调递减，所以D 正确． 6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 答案33解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，∴x ＝－3，y ＝－1，∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 7．(2018·河北省衡水金卷模拟)已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝⎛⎭⎫－43＝112.8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．(2018·潍坊模拟)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝________.答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π，∴f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝f ⎝⎛⎭⎫672π＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π3 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32. 10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)， f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π3， ∴当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，函数f (x )单调递增； 当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴当f ⎝⎛⎭⎫π3>0≥f ⎝⎛⎭⎫7π12或f ⎝⎛⎭⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35 答案 B解析 ∵点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－35，设∠AOB ＝θ， ∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ＝35.12．(2018·株洲质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对∀x ∈⎝⎛⎭⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎝⎛⎭⎫π12，π3 D.⎣⎡⎦⎤π12，π6答案 D解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期为T ＝π，ω＝2， 当x ∈⎝⎛⎭⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫π12＋φ，2π3＋φ， 且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎨⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.13．函数f (x )＝12－x的图象与函数g (x )＝2sin π2x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________. 答案 12解析 如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.14．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z 时，g (x )单调递增；当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z 时，g (x )单调递减．∴g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .第2讲 三角恒等变换与解三角形[考情考向分析] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2018·广东省省际名校(茂名市)联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α等于( )A.2325 B ．－2325C.725 D ．－725答案 D解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－725. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)(2018·湖南G10教育联盟联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6，则tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝________. 答案 23－4解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6， ∴－sin α＝－3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， ∴sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6 ＝332sin α＋32cos α， ∴tan α＝32－33，又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝tan π12＋tan α1－tan π12tan α＝()2－3＋32－331－()2－3×32－33＝23－4. (2)(2018·江西省重点中学协作体联考)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ等于( )A.13 B ．－23C.23 D ．－13答案 B解析 由题意得2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝2(cos 2θ－sin 2θ)22(cos θ－sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，将上式两边分别平方，得4＋4sin 2θ＝3sin 22θ， 即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0， 解得sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍去)，所以sin 2θ＝－23.热点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. 例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即28＝4＋c 2－4c ·cos2π3， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2018·广州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，c ＝8.(1)若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，BM ＝13BC ，ANBM ＝23，求AM 的值；(2)若b ＝12，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点，设BM ＝x ，则BN ＝2x ，AN ＝23x ， 又B ＝60°，AB ＝8，在△ABN 中，由余弦定理得12x 2＝64＋4x 2－2×8×2x cos 60°， 解得x ＝2(负值舍去)，则BM ＝2. 在△ABM 中，由余弦定理，得AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos B ＝AM 2，AM ＝82＋22－2×8×2×12＝52＝213.(2)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C， 得sin C ＝c sin B b ＝8×3212＝33.又b >c ，所以B >C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63. 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝32×63＋12×33＝32＋36， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝48×32＋36＝242＋8 3.热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得 b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝217 . 因为a <c ，所以cos A ＝277 .因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝437×12－17×32＝3314. 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解．跟踪演练3 (2018·雅安三诊)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，若b ＋c ＝2a ，且·＝6，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1 ＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12，可得2A ＋π6＝π6＋2k π或2A ＋π6＝5π6＋2k π(k ∈Z )．∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∵·＝bc cos A ＝12bc ＝6，∴bc ＝12，又∵2a ＝b ＋c ，∴cos A ＝12＝(b ＋c )2－a 22bc －1＝4a 2－a 224－1＝a 28－1，∴a ＝2 3.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号) ①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A .答案 ①解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B .由cos C >0，得sin A ＝2sin B .根据正弦定理，得a ＝2b .2．(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 3．(2018·全国Ⅲ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝________.答案 π4解析 ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ， ∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4. 4．(2018·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案 233 解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C .又sin B sin C >0，∴sin A ＝12. 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc>0， ∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案 52解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又由5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0， 并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12，易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc2bc≥2bc －bc2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)．因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12，所以f (A )的值域为⎝⎛⎦⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2018·全国Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79C ．－79D ．－89答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33 C ．－33 D ．－ 3答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3， 即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2018·凯里市第一中学《黄金卷》模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A ＝b c，则该三角形为( ) A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形答案 D解析 由cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c， 化简得c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．4．(2018·衡水金卷调研卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( ) A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7 答案 D解析 在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ，即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.。

三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.函数的定义域为A. B.C. D.2.函数的定义域是（）A. (0,]B. (0,)C. [0，]D. (0,]3.已知f（x）=cos x（cos x +sin x）在区间[-，m]上的最大值是，则实数m的最小值是（）A. B. C. D.4.若f(x )=(x -)在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为（）A. B. C. D.5.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋)(ω>0)在区间[－，]上单调递增，则ω的取值范围为( )A. (0，]B. (0，]C. [，]D. [，2]6.函数f(x )=(4x +)+的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

在每小题有多项符合题目要求）7.函数f(x)=A (x +)(A >0,>0,||<)的部分图象如图所示,则（）1A. f(x)的图象的最小正周期为B. f(x)的图象的对称轴方程为x=+2k(k Z)C. f(x)的图象的对称中心为(+2k,0)(k Z)D. f(x)的单调递增区间为[4k-,4k+](k Z)8.已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值为1C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0≤φ＜π）关于直线对称，则f（0）= ．10.筒车是我国古代独创的一种水利浇灌工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的状况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中出现即时的位置时起先计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为单位：，且此时点P距离水面的高度为单位：，则h 与t的函数关系式为，点P第一次到达最高点须要的时间为四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。

专项一解三角形考点1 三角函数的图象与性质及三角恒等变换大题拆解技巧【母题】(2020年天津卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2,b=5,c=√13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin (2A+π4)的值.【拆解1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2,b=5,c=√13,求角C的大小.【解析】在△ABC中,由a=2√2,b=5,c=√13及余弦定理,得cosC=a 2+b2-c22ab=2×2√2×5=√22,又因为C∈(0,π),所以C=π4.【拆解2】在△ABC中,已知C=π4,a=2√2,c=√13,求sin A的值.【解析】在△ABC 中,由C=π4,a=2√2,c=√13及正弦定理,可得sinA=asinC c=2√2×√22√13=2√1313.【拆解3】在△ABC 中,已知a<c,sin A=2√1313,求sin 2A,cos 2A 的值.【解析】由a<c 知角A 为锐角,由sin A=2√1313,可得cosA=√1-sin 2A =3√1313, 所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=2cos2A-1=513.【拆解4】已知sin 2A=1213,cos 2A=513,求sin (2A+π4)的值.【解析】因为sin 2A=1213,cos 2A=513,所以sin (2A+π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=1213×√22+513×√22=17√226.小做 变式训练设函数f(x)=2sin 2x-sin(2x-π6).(1)当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域;(2)若函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到g(x)的图象,且存在x 0∈[-π2,0],使g(x 0)=23,求cos 2x 0的值.【拆解1】已知函数f(x)=2sin 2x-sin(2x-π6).化简该函数解析式.【解析】f(x)=1-cos 2x-(√32sin 2x-12cos 2x)=1-sin (2x+π6).【拆解2】已知函数f(x)=1-sin(2x+π6),当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域. 【解析】已知函数f(x)=1-sin(2x+π6),∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6],∴sin(2x+π6)∈[-12,1],∴f(x)的值域为[0,32].【拆解3】已知函数f(x)=1-sin(2x+π6),若函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到g(x)的图象,求g(x)的解析式. 【解析】g(x)=f(x-π6)=1-sin[2(x-π6)+π6]=1-sin(2x-π6).【拆解4】已知函数g(x)=1-sin(2x-π6),且存在x 0∈[-π2,0],使g(x 0)=23,求cos 2x 0的值.【解析】∵g(x0)=1-sin(2x0-π6)=23,∴sin(2x0-π6)=13.又x0∈[-π2,0],sin(2x0-π6)>0,∴2x0-π6∈[-7π6,-π),∴cos(2x0-π6)=-2√23,∴cos 2x0=cos[(2x0-π6)+π6]=cos(2x0-π6)cosπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=-2√23×√32-13×12=-2√6+16.通法 技巧归纳1.求解三角函数的值域(最值)常见的三种类型:(1)形如y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c 的形式,再求值域(最值);(2)形如y=asin 2x+bsin x+c 的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t 的二次函数求值域(最值);(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t 的二次函数求值域(最值).2.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的变换.突破 实战训练 <基础过关>1.已知函数f(x)=1-2cos 2x+2√3sin xcos x(x∈R). (1)求f(2π3)的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.【解析】(1)f(x)=-cos 2x+√3sin 2x=2(-12cos 2x+√32sin 2x)=2sin(2x-π6),则f(2π3)=2sin(2×2π3-π6)=-1.(2)最小正周期T=2π2=π,令-π2+2kπ≤2x -π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,即单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k∈Z.2.已知函数f(x)=(sin x-1)·(cos x+1). (1)若sin α-cos α=12,求f(α);(2)求f(x)的值域.【解析】(1)因为sin α-cos α=12,所以1-2sin αcos α=14,即sin αcos α=38.从而f(α)=(sin α-1)(cos α+1)=sin αcos α+sin α-cos α-1=-18.(2)令t=sin x-cos x,则sin xcos x=1-t 22,其中t∈[-√2,√2],则原问题转化为求y=-t 22+t-12在[-√2,√2]上的值域. 因为y=-t 22+t-12=-12(t-1)2,所以y∈[-32-√2,0].故f(x)的值域为[-32-√2,0].3.已知函数f(x)=sin 2x+√3sin xcos x. (1)求函数y=f(x)图象的对称中心; (2)若f(α2-π24)=1310,求sin 2α.【解析】(1)由二倍角公式得f(x)=√32sin 2x-12cos 2x+12,故f(x)=sin(2x-π6)+12,令2x-π6=kπ,k∈Z,解得x=12kπ+π12,k∈Z,所以函数y=f(x)图象的对称中心是(π12+12kπ,12),k∈Z.(2)由f(α2-π24)=1310,得sin(α-π4)+12=1310,所以sin(α-π4)=45,故sin 2α=cos(2α-π2)=1-2sin2(α-π4)=-725.4.设向量a=(√3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0,π2].(1)若|a|=|b|,求实数x 的值; (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值. 【解析】(1)|a|2=(√3sin x)2+sin2x=4sin2x,|b|2=cos2x+sin2x=1,根据|a|=|b|,得4sin2x=1,又x∈[0,π2],从而sinx=12,∴x=π6.(2)f(x)=a·b=√3sin x·cos x+sin2x=√32sin 2x-12cos 2x+12=sin(2x-π6)+12,∵x∈[0,π2],∴2x -π6∈[-π6,5π6],∴当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)max=f(π3)=32,∴f(x)的最大值为32.<能力拔高>5.已知函数f(x)=sin 2(x -π3)-12(cos 2x-1).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到的,则当x∈[-π2,π2]时,求满足g(x)≤54的实数x 的集合.【解析】(1)f(x)=sin2(x -π3)-12(cos 2x-1)=1-cos(2x -2π3)2-12cos 2x+12=12-12(-12cos2x +√32sin2x)-12cos 2x+12 =14cos 2x-√34sin 2x-12cos 2x+1=-√34sin 2x-14cos 2x+1=-12sin (2x +π6)+1. 令2x+π6∈[π2+2kπ,3π2+2kπ],k∈Z,则x∈[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为x∈[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z.(2)由题可知g(x)=-12sin [2(x -π6)+π6]+1=-12sin (2x -π6)+1,由g(x)≤54,得sin (2x -π6)≥-12,由x∈[-π2,π2],得2x-π6∈[-7π6,5π6],由正弦函数的图象与性质可知2x-π6∈[-7π6,-5π6]∪[-π6,5π6],则x∈[-π2,-π3]∪[0,π2],即所求实数x 的取值集合为{x|-π2≤x ≤-π3或0≤x ≤π2}.6.已知θ∈(0,π3)且满足sin θ+sin (θ+π3)=4√35. (1)求cos(2θ+π3)的值;(2)已知函数f(x)=sin xcos(θ+π6)+cos xsin(θ+π6),若方程f(x)=a 在区间[0,π2]内有两个不同的解,求实数a 的取值范围. 【解析】(1)由sin θ+sin (θ+π3)=4√35,得32sin θ+√32cos θ=4√35,即sin(θ+π6)=45,则cos(2θ+π3)=cos (2θ+π6)=1-2sin 2(θ+π6)=1-2×(45)2=-725.(2)由θ∈(0,π3),令φ=θ+π6,则φ∈(π6,π2),得cos(θ+π6)=35,f(x)=sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+φ),当0≤x≤π2时,φ≤x+φ≤π2+φ,当x+φ=π2,即x=π2-φ时,f(x)max =1,当0≤x≤π2-φ时,f(x)是单调递增的,函数值从sin φ=45增到1,当π2-φ≤x≤π2时,f(x)是单调递减的,函数值从1减到sin(π2+φ)=cos φ=35,方程f(x)=a 在区间[0,π2]内有两个不同的解,即f(x)图象与直线y=a 有两个不同的公共点,则45≤a<1,所以实数a 的取值范围是[45,1).<拓展延伸>7.设函数f(x)=asin x+bcos x,其中a,b 为常数.(1)当x=2π3时,函数f(x)取最大值2,求函数f(x)在[π2,π]上的最小值;(2)设g(x)=-asinx,当b=-1时,不等式f(x)>g(x)对x∈(0,π)恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由题意得{√a 2+b 2=2,√32a -12b =2,解得{a =√3,b =-1,∴f(x)=√3sin x-cos x=2sin (x -π6).当x∈[π2,π]时,x-π6∈[π3,5π6],∴f(x)min=2sin 5π6=1.(2)∵f(x)>g(x),∴asin x -cos x>-asinx.当x∈(0,π)时,sin x∈(0,1],∴asin2x -sin xcos x>-a,即a(1-cos 2x)-sin 2x>-2a,整理得3a>sin 2x+acos 2x.又sin 2x+acos 2x=√a 2+1sin(2x+φ),其中tan φ=a,∴(sin 2x+acos 2x)max=√a 2+1,∴3a>√a 2+1,解得a>√24,∴不等式f(x)>g(x)对x∈(0,π)恒成立时,a∈(√24,+∞).8.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)（A>0,ω>0,-π2<φ<π2）的图象与y 轴的交点为(0,1),它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2). (1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向左平移a(a∈(0,2π))个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,求实数a 的值.新高考数学 大题专项训练 学科精品资源11 / 11【解析】(1)由题意得A=2,T 2=x0+2π-x0=2π, 即T=2πω=4π,解得ω=12, ∴f(0)=2cos (12×0+φ)=1,即cos φ=12. ∵-π2<φ<π2,∴φ=-π3或φ=π3, 若φ=π3,当x>0时,函数先取得最小值,后取得最大值,不符合图象, ∴φ=-π3, ∴函数f(x)的解析式为f(x)=2cos (12x -π3). (2)由题意得g(x)=2cos [12(x +a )-π3]. ∵y=g(x)是奇函数,∴g(0)=2cos (a 2-π3)=0, ∴a 2-π3=kπ-π2(k∈Z),即a=2kπ-π3(k∈Z). 又a∈(0,2π),∴a=5π3. 当a=5π3时,g(x)=2cos [12(x +5π3)-π3]=2cos (12x +π2)=-2sin 12x, 此时有g(-x)=-g(x),即函数g(x)为奇函数,故a=5π3.。

新高考数学（理）三角函数与平面向量05 三角函数的图象和性质一、具本目标： 1.会用“五点法”作图；2.备考重点：(1) 掌握正弦函数及正弦型函数的图象；(2) 掌握正弦函数及正弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.(3) 掌握余弦函数及余弦型函数的图象；(4) 掌握余弦函数及余弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.(5) 掌握正切函数的图象；(6) 掌握正切函数的周期性、单调性、对称性以及最值. 二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质： 性质sin y x =图象定义域 R值域 []1,1-最值 当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性()sin sin x x -=-,奇函数单调性在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是【考点讲解】减函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形。

2.用五点法画出正弦型函数()sin y A x h ωϕ=++的图象，先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.3.对于来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T 2,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4.近几年高考在考查三角恒等变换的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，常常把恒等变换与图象和性质相结合来考查.三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度为中低档，对基础知识与基本技能加强了考查的力度，分值分配合理，更重视细节给分，其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的个周期，注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移. 5.确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性：对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.求函数sin()y A x ωϕ=+ 的单调区间的步骤：(1)将ω化为正．(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数sin()y A x ωφ=+()ϕω+=x A y sin R x ∈41的单调性求解．【特别提醒】解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z ∈”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切记不要漏掉考虑函数自身的定义域． 6.确定函数的对称性时，先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式再求解．其图象的对称轴是直线，图象与直线的交点是图象的对称中心, 所以要记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想，就可经求出三角函数的对称轴与对称中心． 7.对于函数的奇偶性判断：如果sin()y A x ωϕ=+为偶函数，就有()2k k Z πϕπ=+∈;如果sin()y A x ωϕ=+为奇函数，就有()k k Z ϕπ=∈. 8.函数的周期性：求()sin()f x A x ωϕ=+的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：使用此法时先将函数转化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式，最小正周期是2||T πω=. (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.（5）使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值。

1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题．2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉．一、三角函数1．公式（1）扇形的弧长和面积公式如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是l rα=．相关公式：①l =|α|r②21122S lr r α==（2）诱导公式：正弦余弦正切α+k ⋅2πsin αcos αtan αα+π―sin α―cos αtan α―α―sin αcos α―tan απ―αsin α―cos α―tan α2πα+cos α―sin α2πα-cos αsin α32πα+―cos αsin α32πα-―cos α―sin α（3）同角三角函数关系式：sin 2α+cos 2α=1，sin tan cos ααα=（4）两角和与差的三角函数：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α―β)=sin αcos β―cos αsin βcos(α+β)=cos αcos β―sin αsin βcos(α―β)=cos αcos β+sin αsin βtan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（5）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-（6）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=2．三角函数性质性质y =sin x ，x ∈Ry =cos x ，x ∈R奇偶性奇函数偶函数单调性在区间()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是增函数，在区间()32,222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 上是减函数在区间[―π+2kπ，2kπ](k ∈Z )上是增函数，在区间[2kπ，π+2kπ](k ∈Z )上是减函数最值在()22x k k ππ=+∈Z 时，y max ；在()22x k k ππ=-∈Z 时，y min在x =2kπ(k ∈Z )时，y max ；在x =2kπ+π(k ∈Z )时，y min对称中心(kπ，0)(k ∈Z )(),02k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z x =kπ(k ∈Z )正切函数的性质图象特点定义域为{|,}2x x k k ππ≠+∈Z 图象与直线2x k k ππ=+∈Z ，没有交点最小正周期为π在区间,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，上图象完全一样在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是增函数图象在,22k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，内是上升的对称中心为,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，图象关于点,02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z ，成中心对称3．函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换（1）φ对函数y =sin(x +φ)的图象的影响（2）ω(ω>0)对y =sin(ωx +φ)的图象的影响（3）A(A >0)对y =A sin(ωx +φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义（2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形1．正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；；变形形式，，；，，；；；；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，，无解．为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos 356πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则x 0=（ ）ABCD【答案】C【解析】∵,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,636πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又3cos 65πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以,063ππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴0cos cos cos cos sin sin 666666x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=-⨯=，故选C ．【点评】本题容易忽视6πα+的范围，而导致sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭出错．2．已知 tan 2θ―4tan θ+1=0，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C（70分钟）经典训练题【解析】由 tan 2θ―4tan θ+1=0，可得1tan 4tan θθ+=，所以sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4cos sin θθθθ+=⋅，即1cos sin 4θθ⋅=，211cos 2121sin 212sin cos 124cos 422224πθπθθθθ⎛⎫++-⨯⎪--⎛⎫⎝⎭+===== ⎪⎝⎭，故选C ．【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有1tan 4tan θθ+=，从而可得1cos sin 4θθ⋅=，由21cos 21sin 22cos 422πθπθθ⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭12sin cos 2θθ-=可解，属于中档题．3．已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)，(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．―2B ．2C ．―3D ．―1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π，则1ω=，∴f (x )=2sin(x +φ)，将点,14A π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-，则()2sin 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=，故选A ．【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，sin cos sin CA B<变形为sin C <sin B cos A ，由内角和定理可得sin(A +B)<cos A sin B ，化简可得：sin A cos B <0，∴cos B <0，所以2B π>，所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．5．（多选）已知函数f(x)=3sin x +sin 3x ，则（ ）A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数且最小正周期为2πC ．f(x)的值域是[―4，4]D ．当x ∈(0，π)时，f(x)>0【答案】ABD【解析】A ．f (―x )=3sin(―x )+sin(―3x )=―3sin x ―sin 3x =―f (x )，故f(x)是奇函数，故A 正确；B ．因为y =sin x 的最小正周期是2π，y =sin 3x 的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是f(x)的最小正周期，故B 正确；C ．分析f(x)的最大值，因为3sin x ≤3，sin 3x ≤1，所以f(x)≤4，等号成立的条件是sin x =1和sin 3x =1同时成立，而当sin x =1，即()22x k k ππ=+∈Z 时，()3362x k k ππ=+∈Z ，sin 3x =―1，故C 错误；D ．展开整理可得()2()3sin sin cos 2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当x ∈(0，π)时，f(x)>0，故D 正确，故选ABD ．【点评】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：（1）定义域关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）()()f x f x -=-或()()f x f x -=是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．二、解答题．6．已知m =(2sin x ，sin x ―cos x )，n =(3cos x ，sin x +cos x )，函数f(x)=m ⋅n ．求函数f(x)的最大值以及取最大值时x 的取值集合．【答案】f(x)的最大值为2，,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【解析】()()()cos sin cos sin cos f x x x x x x x =⋅=+-+m n2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数f(x)的最大值为2，当2262x k πππ-=+，即,3x k k ππ=+∈Z 取得，即集合为,3x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．【点评】本题与向量的坐标运算结合，考查三角函数的最值，属于基础题．7．已知函数2()cos 222x x x f x =+-．（1）求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．【答案】（1）[―2，2]；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()2cos 2sin(2224x x x f x x x x π=+-==+，令4U x π=+，∵x ∈[0，π]，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知，sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数f(x)的值域为[―2，2]．（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>，∵f(ωx)=3，2sin(4x πω∴+=，即sin()4x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ，由于方程f(ωx)=3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为f(x)=A sin(ωx +φ)，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．8．已知函数f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若对任意x ∈R ，2()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1710k ≥．【解析】（1）f(x)=3sin x cos x +cos 2x +1cos 21133212cos 2sin 222262x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭，∴f(x)的为最小正周期22T ππ==，值域为()15,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）记f(x)=t ，则15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由f 2(x)―k ⋅f(x)―2≤0恒成立，知t 2―kt ―2≤0恒成立，即kt ≥t 2―2恒成立，∵t >0，∴222t k t t t-≥=-．∵()2g t t t =-在15,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，max 5541722510g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围是1710k ≥．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为，求a +b +c 的最小值．【答案】（1）13；（2）4+．【解析】（1）由3(sin B +sin C )2―3sin 2(B +C)=8sin B sin C ，∵A +B +C =π，所以228(sin sin )sin sin sin 3B C A B C +=+，由正弦定理可得228()3b c a bc +=+，则22223b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 23b c a A bc +-==．（2）由1cos 3A =，得sin A =，∵1sin 2ABC S bc A ==△，∴bc =12，由22223b c a bc +-=，得222224216333a b c bc bc bc bc =+-≥-==，∴a ≥4，当且仅当b =c =23时，等号成立．又b +c ≥2bc =43，当且仅当b =c =23时，等号成立．∴a +b +c ≥4+43，当且仅当b =c =23时，等号成立．即a +b +c 的最小值为4+．【点评】求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a +b ，ab ，a 2+b 2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．10．设函数f(x)=12cos 2x ―43sin x cos x ―5．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=―5，a =3，求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π，[―43+1，43+1]（2）(3+3，33]．【解析】（1）f (x )=12cos 2x ―43sin x cos x ―5=12cos 2x ―23sin 2x ―56cos 221216x x x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，T π∴=，值域为[―43+1，43+1]．（2）由f(A)=―5，可得212cos cos A A A =，因为三角形为锐角△ABCsin A A =，即tan A =，3A π=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，22sin 2sin()3c C B π==-，所以212sin sin()2(sin sin )32a b c B B B B B π⎡⎤++=++-=++⎢⎥⎣⎦32(sin ))26B B B π==++，因为△ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，02C π<<，即022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin(16B π<+≤，即36B π+<+≤，所以周长的取值范围为区间(3+3，33]．【点评】在解三角形的周长范围时，将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求周长的取值范围，是常用解法．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b )(sin A ―sin B )=(b +c )sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =2，求△ABC 的面积的最大值．【答案】（1）23π；（2）23．【解析】（1）由题意得(a +b)(a ―b)=(b +c)c ，∴b 2+c 2―a 2=―bc ，1cos 2A ∴=-，()0,A π∈，23A π∴=．（2）1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()()2222211244AD AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()1224AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅，当且仅当AB =AC 时，等号成立，∴AB ⋅AC ≤8，11sin120822S AB AC =⋅︒≤⨯=故△ABC 的面积的最大值是23．【点评】用三角形中线向量进行转化是解题关键．12．如图，在△ABC 中，AB =2AC ，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ．（1）求ABD ADCS S △△的值；（2）若AC =1，BD =2，求AD 的长．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）∵AD 为∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，即sin ∠BAD =sin ∠CAD，∴1sin 21sin 2ABDADC AB AD B AB AD S S AC AD A ACC D ⋅∠∠==⋅V V ，又∵AB =2AC ，∴2ABD ADC S S =△△．（2）由（1）知2ABD ADC S AB S AC ==△△，而1212ABDADC BC h S BC S CDCD h ⋅==⋅△△，2AB BD AC CD ∴==且AC =1，BD =2，∴2AB =，CD =∵∠BAD =∠CAD ，∴cos ∠BAD =cos ∠CAD ，在△ABD 中，22222422cos 2224AB AD BD AD AD BAD AB AD AD AD+-+-+∠===⋅⨯⨯，在△ACD 中，2222211122cos 2212AD AD AC AD CD CAD AC AD AD AD +-++-∠===⋅⨯⨯，∴2212242AD AD AD AD ++=，∴AD =1．【点评】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，解题的关键在于对角平分线的性质的理解和运用，考查解题和运用能力．13．在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ．（1）求角C 的值；（2）若c =2，且ΔABC 为锐角三角形，求a +b 的取值范围．【答案】（1）3C π=；（2）(23，4]．【解析】（1）由题意知(a +b +c)(a +b ―c)=3ab ，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵C ∈(0，π)，∴3C π=．（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===a A =，b B =，∴)2sin sin sin sin 3a b A B A A π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos 4sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又∵ΔABC 为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上a +b 的取值范围为(23，4]．【点评】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．一、选择题．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“b cos A ―c <0”，是“△ABC 为锐角三角形”的（ ）条件．A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【答案】C高频易错题即sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A >sin B cos A ，∴sin A cos B >0，因为sin A >0，∴cos B >0，所以B 为锐角．当B 为锐角时，△ABC 不一定为锐角三角形；当△ABC 为锐角三角形时，B 一定为锐角，所以“b cos A ―c <0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要非充分条件，故选C ．【点评】判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法．我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________．【答案】(22，23)【解析】由sin2sin b a A A=，得4cos b A =，由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒，01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos A A ︒<<︒⇒<<cos A <<b =4cos A ∈(22，23)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．三、解答题．3．已知a >0，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，―5≤f (x )≤1．（1）求常数a ，b 的值；（2）设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【答案】（1）2a =，5b =-；（2）递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【解析】（1）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin(2)2,6a x a a π-+∈-，所以f (x )∈[b ，3a +b]，又因为―5≤f (x )≤1，可得531b a b =-⎧⎨+=⎩，解得2a =，5b =-．（2）由（1）得()4sin(2)16f x x π=-+-，则()74sin(214sin(21266g x f x x x πππ⎛⎫=+=-+-=+- ⎪⎝⎭，又由lg g (x )>0，可得g (x )>1，所以4sin(2116x π+->，即1sin(2)62x π+>，所以5222666k x k k πππππ+<+<+∈Z ，，当222662k x k k πππππ+<+≤+∈Z ，时，解得6k x k k πππ<≤+∈Z ，，此时函数g (x )单调递增，即g (x )的递增区间为,6k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，；当5222266k x k k πππππ+<+<+∈Z 时，解得63k x k k ππππ+<<+∈Z ，，此时函数g (x )单调递减，即g (x )的递减区间为,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力．一、选择题．1．如图所示，扇形OQP 的半径为2，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是（）AB．CD ．23【答案】A【解析】如图，记∠COP =α，在Rt △OPC 中，2cos OB α=，2sin BC α=，在Rt △OAD中，OA DA BC α===，所以2cos AB OB OA αα=-=，设矩形ABCD 的面积为S，(2cos )2sin S AB BC ααα=⋅=⋅精准预测题24sin cos 2sin 22ααααα==+-)6πα=+，由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S =，故选A ．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解．2．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为（ ）A ．221124x y +=B ．sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移12π个单位得2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2sin 43y g x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin[ω(x +φ)]=sin(ωx +ωφ)，而不是y =sin(ωx +)，考查运算求解能力，是基础题．3．（多选）如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．ω=2B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数，f (x )的一个对称中心C ．23πϕ=D ．函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【解析】由题知，A =2，函数f (x )的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==，故A 正确；因为1111112sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得423k πϕπ=-，k ∈Z ，又|φ|<π，所以23πϕ=，故C 正确；函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为22sin 22sin 06633f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以,06π⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数f (x )的一个对称中心，故B 错误；令23222232m x m πππππ+≤+≤+，m ∈Z ，得51212m x mx πππ-≤≤+，m ∈Z ，当m =―1时，1371212x ππ-≤≤-，因为4137,,51212ππππ⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数f (x )在区间4,5ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确，故选ACD ．【点评】已知()(sin 0,0)()f x A x A ωϕω+>>=的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由2Tπω=，即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=(或0x ωϕπ+=)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．二、解答题．4．已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数()()0,42g x x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()12f A =-，△ABC 的面积为33，b ―c =2，求a 的值．【答案】（1）ω=2，值域为[―1，2]；（2）4．【解析】（1）因为函数f(x)=cos(ωx)的最小正周期为π，由2T ππω==，2ω=，又因为ω>0，所以ω=2．此时f(x)=cos 2x ，则得()2cos 24g x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即g(x)=3sin 2x ―cos 2x ，即()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]2sin 21,26x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以所求函数的值域为[―1，2]．（2）由题意得1cos 22A =-，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则得2A ∈(0，π)，所以223A π=，解得3A π=，因为△ABC 的面积为33，则得1sin 2bc A =，即1sin 23bc π=，即bc =12．又因为b ―c =2，由余弦定理，得a =b 2+c 2―2bc cos A =b 2+c 2―bc =(b ―c )2+bc =22+12=4，所以a =4．【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是f(x)=A sin(ωx +ϕ)+k 形式），然后利用正弦函数性质确定求解．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A +B ―C )=c sin(B +C )．（1）求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．【答案】（1）3C π=；（2）6+23．【解析】（1）∵a sin(A +B ―C)=c sin(B +C)，∴sin A sin(π―2C)=sin C sin A ，∴2sin A sin C cos C =sin C sin A ，∵sin A sin C ≠0，1cos 2C ∴=，0C π<<，3C π∴=．（2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得，c 2=12，c =23，此时周长为6+23．【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．6．如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD =6米，AE =6米，AP =2米，4MPN π∠=．记∠EPM =θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；（2）求S 的最小值．【答案】（1）4sin cos PM θθ=+，PN =，30arctan 34πθ≤≤-；（2）8(2―1)平方米．【解析】（1）在△PME 中，∠EPM =θ，4PE AE AP =-=米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-，由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 4sin sin cos PE PEM PM PME θθ⨯∠===∠+；同理在PNE △中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin PE PEN PN PNE ⨯∠===∠当M 与E 重合时，θ=0；当N 与D 重合时，tan ∠APD =3，即∠APD =arctan 3，3πarctan 3arctan 344πθπ=--=-，所以30arctan 34πθ≤≤-．（2）△PMN 的面积214sin 2cos sin cos S PM PN MPN θθθ=⨯⨯∠=+481cos 21sin 2cos 21sin 222θθθθ===++++，因为30arctan 34πθ≤≤-，所以当242ππθ+=，即30,arctan 384ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时，S)81=-，所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2―1)平方米．【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．7．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若23cos 2A +cos 2A =0，且△ABC 为锐角三角形，a =7，c =6，求b 的值；（2）若a =3，3A π=，求b +c 的取值范围．【答案】（1）5b =；（2）b +c ∈(3，23]．【解析】（1）22223cos cos 223cos 2cos 10A A A A +=+-=Q ，∴21cos 25A =，又∵A 为锐角，1cos 5A =，而a 2=b 2+c 2―2bc cos A ，即2121305b b --=，解得b =5或135b =-（舍去），∴b =5．（2）由正弦定理可得()22sin sin 2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<Q ，∴5666B πππ<+<，∴1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴b +c ∈(3，23]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．。

专题05 三角函数目录一览2023真题展现考向一 三角函数的图象与性质考向二 三角恒等变换真题考查解读近年真题对比考向一 三角函数的图象与性质考向二 三角恒等变换考向三 同角三角函数间的基本关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一 三角函数的图象与性质1．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），如图，A ，B 是直线y =12与曲线y ＝f （x ）的两个交点，若|AB |=π6，则f （π）＝ ．【答案】解：由题意：设A （x 1，12），B （x 2，12），则x 2﹣x 1=π6，由y ＝A sin （ωx +φ）的图象可知：ωx 2+φ﹣（ωx 1+φ）=5π6−π6=2π3，即ω（x 2﹣x 1）=2π3，∴ω＝4，又f （2π3）＝sin （8π3+φ）＝0，∴8π3+φ＝k π，k ∈Z ，即φ=−8π3+k π，k ∈Z ，观察图象，可知当k ＝2时，φ=−2π3满足条件，∴f （π）＝sin （4π−2π3）=故答案为：2．（2023•新高考Ⅰ•第15题）已知函数f （x ）＝cos ωx ﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．【答案】[2，3）【解答】解：x ∈[0，2π]，函数的周期为2πω（ω＞0），cos ωx ﹣1＝0，可得cos ωx ＝1，函数f （x ）＝cos ωx ﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2⋅2πω≤2π＜3⋅2πω，所以2≤ω＜3．考向二 三角恒等变换3．（2023•新高考Ⅱ•第7题）已知α为锐角，cos αsin α2=（ ）A B C D 【答案】D解：cos α则cos α=1−2si n 2α2，故2si n 2α2=1﹣cos αsi n 2α2=∵α为锐角，∴sin α2＞0，∴sin α2=4．（2023•新高考Ⅰ•第8题）已知sin （α﹣β）=13，cos αsin β=16，则cos （2α+2β）＝（ ）A ．79B ．19C ．−19D ．−79【答案】B解：因为sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣sin βcos α=13，cos αsin β=16，所以sin αcos β=12，所以sin （α+β）＝sin αcos β+sin βcos α=12+16=23，则cos （2α+2β）＝1﹣2sin 2（α+β）＝1﹣2×49=19．【命题意图】考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=A sin （wx+ϕ）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．【考查要点】三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助角公式等．常考查y=A sin （wx+ϕ）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．【得分要点】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α+cos 2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan α．2．诱导公式公式一：sin （α+2k π）＝sin α，cos （α+2k π）＝cos_α，其中k ∈Z ．公式二：sin （π+α）＝﹣sin_α，cos （π+α）＝﹣cos_α，tan （π+α）＝tan α．公式三：sin （﹣α）＝﹣sin_α，cos （﹣α）＝cos_α．公式四：sin （π﹣α）＝sin α，cos （π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin （π2−α）＝cos α，cos （π2−α）＝sin α．公式六：sin （π2+α）＝cos α，cos （π2+α）＝﹣sin α．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C （α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．（2）C （α+β）：cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β．（3）S （α+β）：sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β．（4）S （α﹣β）：sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β．（5）T （α+β）：tan （α+β）=tanαtanβ1−tanαtanβ．（6）T （α﹣β）：tan （α﹣β）=tanα−tanβ1tanαtanβ．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．（2）C 2α：cos 2α＝cos 2α﹣sin 2α＝2cos 2α﹣1＝1﹣2sin 2α．（3）T 2α：tan 2α=2tanα1−tan 2α．5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质R R k ∈Z y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的步骤7．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M−m2，k=M m2，ω由周期T确定，即由2πω=T求出，φ由特殊点确定．考向一三角函数的图象与性质1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）A．1B．C．D．3【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．∴，k∈Z，取k＝4，可得．∴f（x）＝sin（x+）+2f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）A．f（x）在区间（0，）单调递减B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，所以+φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ﹣，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故f（x）＝sin（2x+），令2x+，解得﹣＜x＜，故f（x）在（0，）单调递减，A正确；x∈（﹣，），2x+∈（，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；f（x）＝sin（2x+），求导可得，f'（x）＝，令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．故选：AD．3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（ ）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）【解答】解：令，k∈Z．则，k∈Z．当k＝0时，x∈[，]，（0，）⊆[，]，故选：A ．考向二 三角恒等变换4．（2022•新高考Ⅱ）若sin （α+β）+cos （α+β）＝2cos （α+）sin β，则（ ）A ．tan （α﹣β）＝1B ．tan （α+β）＝1C ．tan （α﹣β）＝﹣1D ．tan （α+β）＝﹣1【解答】解：解法一：因为sin （α+β）+cos （α+β）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）＝2cos （α+）sin β，即sin （）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）cos β+sin βcos （）＝2cos （α+）sin β，所以sin （）cos β﹣sin βcos （）＝0，所以sin （）＝0，所以＝k π，k ∈Z ，所以α﹣β＝k，所以tan （α﹣β）＝﹣1．解法二：由题意可得，sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β﹣sin αsin β＝2（cos α﹣sin α）sin β，即sin αcos β﹣cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β＝0，所以sin （α﹣β）+cos （α﹣β）＝0，故tan （α﹣β）＝﹣1．故选：C ．考向三 同角三角函数间的基本关系5．（2021•新高考Ⅰ）若tan θ＝﹣2，则＝（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【解答】解：由题意可得：＝＝＝．故选：C．结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。

新高考数学（理）三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值. （2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值. （3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. （4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ，()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ， ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ，【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件：1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ（其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定，φ的值由tan baϕ=确定），在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ，()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ，()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为：(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式： 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形：（1）22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=（2）()2cos sin 2sin 1ααα+=+，()2cos sin 2sin 1ααα-=-；（3）αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan+-±=，αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ） A ．15B ．55 C ．33D ．255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈Q ，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ．79 C ．79- D ．89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15 B ．55 C ．255D ．1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα，解得215a =，即55a =，所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤Q ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭； 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α，则tan =α__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α ．【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin ,sin222x x =-=-， 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 16．【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. （1）1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）由（1）知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-，所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32，即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】（1）π；（2）π3.1. sin15°sin105°的值是（ ） A ．14 B ．14-C ．34D ．34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14，故选A ． 【答案】A2.已知sin2α=13，则cos 2（π4α-）=（ ） A ．34 B ．23 C ．45 D ．56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.∵sin2α=13，∴cos 2（π4α-）=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===．故选B ． 【答案】B3.已知sin α=45-，α∈（π，3π2），则tan 2α等于（ ） A ．－2 B ．12 C ．12-或2 D ．－2或12【解析】∵sin α=45-，α∈（π，3π2），∴cos α=35-，∴tan α=43.∵α∈（π，3π2），∴2α∈（π2，3π4），∴tan 2α＜0. tan α=22tan21tan 2αα- =43，即2tan 22α+ 3tan2α－2=0，解得tan2α=－2，或tan2α=12（舍去），故选A ．【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=1sin 2cos 2ββ+，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π4αβ-=B ．π24αβ+=C ．π4αβ-=D ．π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦，二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ-=．故选C ． 【答案】C5．已知角αβ，均为锐角，且cos α=35，tan （α−β）=−13，tan β=（ ） A ．13 B ．913 C ．139D ．3【解析】∵角α，β均为锐角，且cos α=35，∴sin α=21cos α- =45，tan α=43，又tan （α−β）=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13， ∴tan β=3，故选D ．【答案】D6.设α为锐角，若π3cos()65α+=，则πsin()12α-=（ ） A ．210 B ．210- C ．45 D ．45- 【解析】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3cos()65α+=，所以π4sin()65α+=，故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 【答案】B8．已知34cos sin =-αα，则=α2sin （ ） A ．97- B ．92- C ．92 D ．97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα， 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9．函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为（ ） A ．56B ．1C ．53D ．51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx ， 因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11．已知向量a r =（sin θ，2-），b r =（1，cos θ），且a r ⊥b r ，则sin 2θ+cos 2θ的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1，故选A ． 【答案】A12.已知cos θ=－725，θ∈（－π，0），则sin 2θ+cos 2θ=（ ）A ．125B ．15±C ．15D ．15- 【解析】∵cos θ=－725，θ∈（－π，0）， ∴cos 22θ－sin 22θ=（cos 2θ+sin 2θ）（cos 2θ－sin 2θ）＜0，2θ∈（π2-，0）， ∴sin 2θ+cos 2θ＜0，cos 2θ－sin 2θ＞0，∵（sin 2θ+cos 2θ）2=1+sin θ=1－491625-=125，∴sin 2θ+cos 2θ=15-．故选D ．【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据，同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥，即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-． （1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】（1）因为，，所以． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以．又因为，所以， 因此．因为，所以， 因此，． 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知，有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p -上是增函数， 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34，最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。

专题【母题来源】2022年新高考【母题题文】【命题意图】考察两角和与差的正弦、余弦公式，考察二倍角的正现有、余弦、正切应用考察y=Asin （wx+ϕ）最小正周期及其意义，考察“五点法”应用于正余弦函数.应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明.【命题方向】三角函数是历年高考考察的核心点之一 也是和其他学科融合度高的知识点之一.常规考察一个考查方向，是考察两角和与差公式恒等变形化简求值，，诱导公式同角三角函数公式，以及公式对应的辅助角应用，通过这些考察恒等变形能力，繁琐式子化简的能力.另一个考察方向，是y=Asin （wx+ϕ）的图像及其性质，涉及到周期，对称轴，零点，增减性，图像平移等等.此类题综合度较高，还涉及到函数图像的应用，甚至会合导数结合.涉及到方程和数形结合等逻辑推导素养.同角三角函数的平方关系22sin cos 1x x +=，是知识交互处的基础应用之一.往往和向量，不等式，数列，函数，解析几何等等的知识点结合，考察创新能力.【得分要点】三角函数图像性质一.对称轴1.正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴.2.一般情况下，(sin 00)()f x A x b A （），ωϕω=++>>的最大值或者最小值，必在对称轴处.3.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍.二、对称中心1.一般情况下， sin 00()()f x A x A （），ωϕω=+>>两个点关于中心对称，则函数值互为相反数.2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍.3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍.三、辅助角要让学生学会推导一下过程，并且要学会非特殊角特殊值的推导.（2022·辽宁·模拟预测）5．设π0,2α⎛⎫∈ ⎪，()0,πβ∈，且cosαA．5-B．5C．1 -（2022·河北衡水·高三阶段练习）8．已知196tan63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（A．15-B．54-C．15（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）参考答案：f (x )在()0,a 上有4个零点，则2π8π2π2π33a <≤+=，故a 的最大值为8π3．故选：C ．18．B【分析】先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到572[,)622πππωπ+∈，进而求得结果.。