新教材高中数学第2章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数函数的奇偶性学案含解析北师大版必修第一册

高中数学第二章函数2.5简单的幂函数学案北师大版必修1071821181．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 12的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点)3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点)[基础·初探]教材整理 1 幂函数阅读教材P49～“例1”结束之间的内容，完成下列问题．1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质图2­5­1函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图2­5­1所示：从图中可以观察得到：y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)单调性增函数在(－∞，0]上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数增函数增函数在(－∞，0)和…(0，＋∞)上均为减函数定点函数图像均过点(1,1) 下列函数中是幂函数的是( )①y＝1x3；②y＝ax m(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝x15＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥ D．②④⑦【解析】由幂函数的定义：形如y＝x a(a∈R)的函数才是幂函数，则y＝1x3＝x－3，y＝x n是幂函数．【答案】 B教材整理 2 函数的奇偶性阅读教材P49从“可以看出”～P50“练习”以上的有关内容，完成下列问题．1．(1)图像奇函数的图像偶函数．(2)解析式奇函数f(－x)＝－f(x)．偶函数f(－x)＝f(x)．2．奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点．( )(2)定义在R上的函数f(x)，若存在x0，使f(－x0)＝f(x0)，则函数f(x)为偶函数．( )(3)函数y＝x2，x∈(－1,1]是偶函数．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]幂函数的概念函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增加的，求f (x )的解析式．【精彩点拨】 先由m 2－m －1＝1求出m 的值，再代入到m 2＋m －3中，找到满足x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增加的m 的值．【尝试解答】 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)是增加的，符合要求；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减少的，不符合要求．因此，f (x )＝x 3.1．形如y ＝x a的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．[再练一题]1．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1是幂函数，且是偶函数，求f (x )的解析式. 【导学号：04100033】【解】 由题意知m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －1＝－1， 函数f (x )＝x －1，不是偶函数； 当m ＝－1时，m 2－2m －1＝2， 函数f (x )＝x 2，是偶函数． 因此，f (x )＝x 2.幂函数的图像和性质点(2，2)与点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－2分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )?【精彩点拨】 用待定系数法求出两个函数的解析式，画出两个幂函数的图像，根据数形结合法写出不等式的解集．【尝试解答】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图像如图，由图像可知， 当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )＞g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )＜g (x )．研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像，利用图像可以较直观地分析出相应函数的性质，进而利用性质来解决相关的问题.[再练一题]2.已知函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c的图像如图2­5­2所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )图2­5­2A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解析】 由幂函数的图像特征知，c ＜0，a ＞0，b ＞0.由幂函数的性质知，当x ＞1时，指数大的幂函数的函数值就大，则a ＞b . 综上所述，可知c ＜b ＜a . 【答案】 A函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝13x 5；(2)f (x )＝3x 2；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x －3，x ＞0，x 2＋2x ＋3，x ＜0.【精彩点拨】 首先要看定义域是否关于原点对称，然后通过f (－x )与f (x )的关系得出结论．对于(4)，要分别在x ＞0和x ＜0的情况下考察f (－x )与f (x )的关系．【尝试解答】 (1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又∵f (－x )＝13－x5＝13－x5＝－13x 5＝－f (x )，∴函数f (x )＝13x 5是奇函数．(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝3－x2＝3x 2＝f (x )，∴f (x )＝3x 2是偶函数．(3)易知定义域为{－2,2}，关于原点对称．f (x )＝0，所以满足f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，所以f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )． 综上可知，f (x )为奇函数．利用定义判断函数奇偶性的步骤：1先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.2若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶；若定义域关于原点对称，看f －x 与f x 的关系.3若f －x ＝－f x，则函数是奇函数；若f －x＝f x ，则函数是偶函数；若f －x ＝－f x 且f －x＝f x ，则函数既是奇函数又是偶函数.[再练一题]3．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x －1x；(2)f (x )＝x 4－2x 2； (3)f (x )＝0，x ∈[－2,2)．【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 又f (－x )＝－x －1－x ＝－x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数． (2)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝(－x )4－2(－x )2＝x 4－2x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)∵f (x )的定义域为[－2,2)，不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数． [探究共研型]函数奇偶性的应用探究 1 如图y f x f 4)的值．图2­5­3【提示】 f (－4)＝－f (4)＝－2.探究 2 定义在R 上的偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝x ，求x ＜0时，f (x )的值． 【提示】 x ＜0，即－x ＞0，∴f (－x )＝－x .又f (x )为R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x .已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x . (1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)在如图2­5­4所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．图2­5­4【精彩点拨】 根据题中条件，当x ＞0时的解析式已知，需求x ≤0时的解析式，故需借助奇函数的性质求解，根据对称性即可画出图像．【尝试解答】 (1)由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0. 当x ＜0时，－x ＞0，∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ＞0，0， x ＝0，－x 2－2x ， x ＜0.(2)图像如图：利用奇偶性求关于原点对称区间上的解析式：1设出要求区间上的任意一个x ，如x ∈[a ，b ].2转化到已知对称区间上，－x ∈[－b ，－a ]，并代入f －x.,3利用f x 奇偶性，即f －x ＝f x 或f －x ＝－f x ，求f x .4特别地，当奇函数在x ＝0有定义时，f0＝0.[再练一题]4．本例中，若f (x )为偶函数，求f (x )当x <0时的解析式． 【解】 任取x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ， ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2＋2x1. 下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3【解析】 函数y ＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．【答案】 B2. 函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【解析】 ∵函数f (x )＝x 2(x ＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称， ∴函数f (x )＝x 2(x ＜0)为非奇非偶函数． 【答案】 D3. 在幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1中，定义域为R 的有________个.【导学号：04100034】【解析】 在上述幂函数中，定义域为R 的有y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3. 【答案】 34. 函数f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－1x，则f (－2)＝________.【解析】 ∵f (2)＝4－12＝72，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－72.【答案】 －725. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－1x；(2)f (x )＝x 3－3x ；(3)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (4)f (x )＝2xx ＋1x ＋1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又f (－x )＝－x 2－1－x ＝－x 2－1x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－(x 3－3x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (4)函数f (x )的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．。

学习资料5 简单的幂函数(二）内容标准学科素养1。

理解函数奇偶性的定义．2。

掌握函数奇偶性的判断和证明方法．3。

会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题。

精确数学概念熟练数形结合恰当等价转化授课提示：对应学生用书第36页[基础认识]知识点一函数奇偶性的几何特征错误!观察下列函数图像，判断函数的奇偶性．提示：①②关于y轴对称,所以①②对应函数为偶函数,③④关于原点对称，所以③④对应函数为奇函数．知识梳理函数奇偶性的几何特征一般地，图像关于y轴对称的函数称为偶函数，图像关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数的奇偶性思考并完成以下问题（1)若对定义域内的任意x都有f(－x)＋f(x)＝0或错误!＝－1（f(x)≠0),则对应的函数是不是奇函数？提示:根据奇函数的定义知，满足这两种对应关系的函数都是奇函数．（2)若函数图像关于原点对称，则该函数是不是奇函数？提示：根据函数的图像特征，结合奇函数的定义知该函数是奇函数．知识梳理函数的奇偶性(1）奇函数的定义一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f（x)中,f（x）和f（－x)的绝对值相等，符号相反，即f（－x）＝－f(x)．反之，满足f(－x）＝－f(x）的函数y＝f（x）一定是奇函数．注意:奇函数的定义域一定关于原点对称．（2）偶函数的定义一般地,图像关于y轴对称，像这样的函数叫作偶函数．在偶函数f（x）中，f（x)和f（－x）的值相等，即f(x）＝f（－x);反之,满足f(x）＝f(－x)的函数y＝f(x）一定是偶函数．注意：偶函数的定义域一定关于原点对称．（3)当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性．知识点三奇偶性与单调性错误!判断函数y＝x2和y＝错误!在(－∞，0）和（0，＋∞）上的单调性的特点．提示：y＝x2是偶函数,在（0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，∴y＝x2在(－∞,0）和（0，＋∞)上单调性相反．y＝错误!是奇函数，在(－∞，0)和(0,＋∞）上单调性相同．知识梳理奇偶性与单调性一般地，（1)若奇函数f(x)在[a，b］上是增函数,且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.（2)若偶函数f(x）在（－∞,0)上是减函数，则f(x)在(0,＋∞）上是增函数．（3）知道了函数的奇偶性,我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量．思考:1.奇（偶)函数的定义域有何特征？提示：奇(偶）函数的定义要求“对定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))”，故“－x”，“x”两个变量均属于定义域,即奇（偶）函数的定义域必关于原点对称．2．若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0)是定值吗？提示:f（0)＝0。

函数的奇偶性教案第一篇：函数的奇偶性教案目标：1. 了解函数的奇偶性的定义和性质。

2. 判断函数的奇偶性。

3. 通过练习题加深对函数的奇偶性的理解。

预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以用一个简单的问题引入话题，例如：你知道什么是函数的奇偶性吗？为什么需要关注函数的奇偶性？学生可以自由发言，激发学生们的兴趣。

步骤二：讲解奇偶性的概念（10分钟）教师简要讲解函数的奇偶性的概念，可以借助一些例子来说明。

奇函数和偶函数是对称的关系，奇函数关于y轴对称，而偶函数关于原点对称。

步骤三：奇偶性的判断方法（15分钟）教师讲解奇偶性的判断方法。

一般来说，对于一元函数，可以通过以下两种方法判断函数的奇偶性。

方法1：使用函数的定义式。

对于奇函数，f(-x)=-f(x)成立；对于偶函数，f(-x)=f(x)成立。

方法2：使用函数的图象。

对于奇函数，其图象关于原点对称；对于偶函数，其图象关于y轴对称。

步骤四：练习题（15分钟）教师提供一些练习题，让学生在纸上完成，然后进行讲解和讨论。

例如：1. 判断函数f(x)=x^3+3x^2-5x是否为奇函数。

2. 判断函数g(x)=2x^2-4是否为偶函数。

3. 利用函数的奇偶性，简化函数h(x)=5x^3-x^2+2x-1的图象。

步骤五：总结（10分钟）教师对本节课内容进行总结，并强调函数的奇偶性的重要性和应用。

第二篇：函数的奇偶性教案（续）目标：1. 掌握奇函数和偶函数的一些常见函数的性质。

2. 进一步加深对函数的奇偶性的理解。

3. 练习函数的奇偶性的判断和应用。

预计完成时间：1课时教学步骤：步骤一：引入话题（10分钟）教师可以复习上节课的内容，然后提问学生，你还记得什么是奇函数和偶函数吗？奇函数和偶函数有哪些性质？步骤二：常见函数的性质（15分钟）教师讲解一些常见函数的性质，例如：1. 幂函数：对于非负整数n，当n为奇数时，函数f(x)=x^n是奇函数；当n为偶数时，函数f(x)=x^n是偶函数。

4.2 简单幂函数的图象和性质必备知识基础练进阶训练第一层知识点一幂函数的概念1.下列函数为幂函数的是( )①y ＝－x 2；②y ＝2x ；③y ＝x n (n 为常数)；④y ＝(x －1)3；⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x.A ．①③⑤ B．①②⑤ C ．③⑤ D．只有⑤ 2．已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )A ．2B ．1 C.12D ．0 3．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x22m m －－的图象不过原点，则m 的取值X 围为( )A ．－1≤m ≤2 B．m ＝－1或m ＝2 C ．m ＝1 D ．m ＝1或m ＝2知识点二幂函数的图象及应用4．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．如图是幂函数y ＝x m与y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >16．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )知识点三幂函数的性质及应用7.函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )A.174B.14C ．4D ．－48．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是________． 9．比较下列各题中两个值的大小： (1)2.334，2.434； (2)(2)3-2，(3)3-2；(3)(－0.31)65，0.3565.关键能力综合练进阶训练第二层1A ．y ＝x 13B ．y ＝x1-2C ．y ＝x 53D ．y ＝x 232．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝212，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a3．函数y ＝x 53的图象大致是图中的( )4．下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数5．(易错题)已知y ＝(m 2－3m －3)x 12m -1是幂函数，则m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．36．已知幂函数f (x )＝x n的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，且f (a ＋1)<f (2)，则a 的取值X 围是( )A ．(－3,1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞) 7．已知幂函数f (x )＝x223m m －＋＋ (m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的解析式为________．8．已知幂函数f (x )的图象过点(9,3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝______，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的定义域为________．9．(探究题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，x ≤0，x 12，x >0，若f (a )>1，则实数a 的取值X 围是________．10．已知幂函数y ＝f (x )＝x223m m －－＋，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足①，②的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．学科素养升级练进阶训练第三层1A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 2．若(a ＋1)1-3<(3－2a )1-3，则实数a 的取值X 围是________．3．(学科素养—逻辑推理)已知幂函数y ＝f (x )＝x 21+mm(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值X 围．4．2 简单幂函数的图象和性质必备知识基础练1．解析：①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是 x －1 而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．答案：C2．解析：因为f (x )＝ax2a ＋1－b ＋1是幂函数，所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2. 答案：A3．解析：依幂函数为y ＝x α的形式知m 2－3m ＋3＝1. 又其图象不过原点，则指数m 2－m －2≤0.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0可得⎩⎪⎨⎪⎧m －1m －2＝0，m ＋1m －2≤0得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝2，－1≤m ≤2.故m ＝1或m ＝2.答案：D4．解析：令x ＝2，则22>212>21-2>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B. 答案：B5．解析：在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案：B6．解析：选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a应为减函数，A 错误；选项B中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a在y 轴上的截距为正，D 错误．答案：C7．解析：易知y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，所以当x ＝12时，函数y ＝x －2的最大值是⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4.答案：C8．解析：设f (x )＝x α，由2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)9．解析：(1)∵y ＝x 34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴2.334<2.434. (2)∵y ＝x 3-2为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)3-2>(3)3-2.(3)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31)65＝0.3165. 又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35， ∴0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.关键能力综合练1．解析：y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． 答案：D2．解析：构造幂函数y ＝x 34，x >0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a >b ；又c ＝212>1，知a <c .故c >a >b .答案：B3．解析：∵函数y ＝x 53是奇函数，且α＝53>1，∴函数在R 上单调递增．故选B.答案：B4．解析：当α＝－1时，幂函数不过原点，A 错误；幂函数的图象不可能出现在第四象限，B 错误；y ＝x －1在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减，在其整个定义域上不具有单调性，D 错误，所以选C.答案：C5．易错分析：本题往往忽视条件m12－1对m 的要求而错选C.解析：由m 2－3m －3＝1得m ＝4或m ＝－1.又∵m 12－1为幂指数，要使式子m 12－1有意义需m ≥0，∴m ＝4.答案：A6．解析：因为幂函数f (x )＝x n 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，所以2n ＝14，即2n ＝2－2，解得n ＝－2.因此f (x )＝x －2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f (a ＋1)<f (2)，得a ＋1<－2或a ＋1>2，解得a <－3或a >1.故选B.答案：B7．解析：因为幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，所以－m 2＋2m ＋3为偶数．又f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m 2＋2m ＋3＞0，所以－1＜m ＜3.又m ∈Z ，－m 2＋2m＋3为偶数，所以m ＝1，故所求解析式为f (x )＝x 4.答案：f (x )＝x 48．解析：令f (x )＝x α，∵f (9)＝3，即9α＝3，∴α＝12，故f (x )＝x12＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22.令1x－1≥0解得0<x ≤1，故f ⎝⎛⎭⎪⎫1x－1的定义域为(0,1]． 答案：22(0,1]9．解析：若⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－3>1，则a <－2.若a 12>1，则a >1，所以a <－2或a >1.答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)10．解析：因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件①而不满足条件②； 当m ＝1时，f (x )＝x 0条件①、②都不满足．当m ＝0时，f (x )＝x 3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．学科素养升级练1．解析：当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故A 不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故B 不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C 不正确．D 正确．故选A 、B 、C.答案：ABC2．解析：∵(a ＋1)－13<(3－2a )－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得23<a <32或a <－1.故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32∪(－∞，－1)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32∪(－∞，－1) 3．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， ∴m 与m ＋1中必定有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 21+mm(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且函数y ＝f (x )在其定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝221+mm，即212＝221+mm，∴m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. ∴m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12在[0，＋∞)上是增函数．由f (2－a )>f (a －1)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。

§简单的幂函数导入新课思路11如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．2如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．3如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝S错误!，这里a是S的函数．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？右边是指数式，且底数都是变量这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式思路2我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书引出课题．推进新课错误!错误!①给出以下函数，＝，＝，＝2，＝－1，＝3，考察这些解析式的特点②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论③函数＝，＝的图像对称性有什么共同点？④函数＝，＝的解析式满足f－＝－f吗？⑤函数＝2，＝||的图像对称性有什么共同点？⑥函数＝2，＝||的解析式满足f－＝f吗？活动：①主要看函数的变量的位置和解析式的形式．②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字．③画出函数＝，＝错误!的图像来观察．④代入函数的解析式验证即可．⑤画出函数的图像来观察．⑥代入函数的解析式验证即可．讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上．②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子．即幂函数的定义：一般地，形如＝α∈R的函数称为幂函数，其中是自变量，α是常数．如＝2，＝，＝3等都是幂函数，幂函数与二次函数一样，都是根本初等函数．③函数＝，＝错误!的图像都关于原点对称．一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．④都满足f－＝－f．因此有：函数f是奇函数函数f的图像关于原点对称对定义域内任意的，f －＝－f．⑤都关于轴对称．一般地，图像关于轴对称的函数叫作偶函数．⑥都满足f－＝f．因此有：函数f是偶函数函数f的图像关于轴对称对定义域内任意的，f－当函数f是奇函数或偶函数时，称函数f具有奇偶性．错误!在图1中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．图1讨论结果：函数＝－1，＝－3是奇函数，其图像关于原点对称；函数＝2＋1，＝－4是偶函数，其图像关于轴对称．那么这些函数图像的另一半如图2所示．图2在研究函数时，如果知道其图像具有关于轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少了工作量．错误!思路1例1 画出函数f＝3的图像，讨论其单调性．活动：学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义．解：先列出，的对应值表如下表，再用描点法画出图像，如图3图3从图像上看出，＝3是R上的增函数．点评：此题主要考查描点法画函数的图像，以及应用图像讨论函数单调性的变式训练画出幂函数＝错误!的图像，并讨论其单调性．答案：幂函数＝错误!的图像如图4所示．图4从图像看出，函数＝在2图像法：如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图像关于原点和轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图像关于原点和轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．注意：分段函数的奇偶性要分段判断．变式训练1．判断以下函数的奇偶性．1f＝错误!；2f＝3－2解：1函数的定义域为{|≠－1}，不关于原点对称，所以f既不是奇函数也不是偶函数．2函数的定义域为R，f－＝－3－2－＝2－3＝－f，所以f是奇函数．2．函数f是定义在－∞，＋∞上的偶函数．当∈－∞，0时，f＝－4，那么当∈0，＋∞时，f＝__________解析：利用偶函数的性质f＝f－求解．当∈0，＋∞时，那么－＜0又∵当∈－∞，0时，f＝－4，∴f＝f－＝－－－4＝－－4答案：－－43．设f是R上的任意函数，那么以下表达正确的选项是．A．ff－是奇函数B．f|f－|是奇函数C．f－f－是偶函数D．f＋f－是偶函数解析：各个选项中函数的定义域都是中设F＝ff－，那么F－＝f－f＝F，即函数F＝ff－为偶函数；B中设F＝f|f－|，那么F－＝f－|f|，此时F与F－的关系不能确定，即函数F＝f|f－|的奇偶性不确定；C中设F＝f－f－，F－＝f－－f＝－F，即函数F＝f－f－为奇函数；D中设F＝f＋f－，F－＝f－＋f ＝F，即函数F＝f＋f－为偶函数．答案：D思路2例1 函数f的定义域是≠0的一切实数，对定义域内的任意1，2都有f1·2＝f1＋f2，且当＞1时f＞0，f2＝11求证：f是偶函数；2求证：f在0，＋∞上是增函数；3试比拟f错误!与f错误!的大小．分析：解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式．1利用赋值法证明f－＝f；2利用定义法证明单调性；3利用函数的单调性比拟它们的大小．解：1函数的定义域是≠0令1＝2＝1，得f1＝2f1，∴f1＝0令1＝2＝－1，得f1＝f＝f－1＋f－1，∴2f－1＝0∴f－1＝0∴f－＝f－1·＝f－1＋f＝f．∴f是偶函数．2设0＜1＜2，那么f2－f1＝f错误!－f1＝f1＋f错误!－f1＝f错误!，∵2＞1＞0，∴错误!＞1∴f错误!＞0，即f2－f1＞0∴f2＞f1，即f1＜f2．∴f在0，＋∞上是增函数．3由1知f是偶函数，那么有f错误!＝f错误!，由2知f在0，＋∞上是增函数，那么f错误!＞f错误!，∴f错误!＞f错误!点评：此题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比拟抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比拟．其关键是将所给的关系等式进行有效的变形和恰当的赋值．变式训练1．函数＝f是偶函数，且在－∞，0]上为减函数，试比拟f错误!与f2a2－a ＋1的大小．分析：用函数的单调性比拟大小，但需注意在函数的同一单调区间上进行．解：∵2a2－a＋1＝2错误!2＋错误!≥错误!，∴－2a2－a＋1≤－错误!＜0而函数＝f在－∞，0]上为减函数，∴f≥f错误!又∵＝f是偶函数，∴f＝f2a2－a＋1．∴f2a2－a＋1≥f错误!是定义在－∞，＋∞上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意，, f都满足f＝f＋f．1求f1，f－1的值；2判断f的奇偶性，并说明理由．分析：1利用赋值法，令＝＝1，得f1的值，令＝＝－1，得f－1的值；2利用定义法证明f是奇函数，要借助于赋值法，得f－＝－f．解：1∵f对任意，都有f·＝f＋f，∴令＝＝1时，有f1·1＝1·f1＋1·f1，∴f 1＝0;∴令＝＝－1时，有f＝－1·f－1＋－1·f－1．∴f－1＝02∵f对任意，都有f·＝f＋f，∴令＝－1，有f－＝－f＋f－1将f－1＝0代入，得f－＝－f,∴函数f是－∞，＋∞上的奇函数错误!1．以下命题中正确的选项是．A．当α＝0时，函数＝α的图像是一条直线B．幂函数的图像都经过0,0，1,1两点C．假设幂函数＝α的图像关于原点对称，那么＝α在定义域内随的增大而增大D．幂函数的图像不可能在第四象限解析：当α＝0时，函数＝α的定义域为{|≠0，∈R}，其图像为两条射线，故A不正确；当α＜0时，函数＝α的图像不过0,0点，故B不正确；幂函数＝－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当＞0，α∈R时，＝α＞0，那么幂函数的图像都不在第四象限．答案：D2．以下函数中不是幂函数的是．A．＝错误!B．＝3C．＝2 D．＝－1解析：根据幂函数的定义：形如＝α的函数称为幂函数，可知C不是幂函数．答案：C3．以下函数是偶函数且在－∞，0上为减函数的是．A．＝错误! B．＝2C．＝3 D．＝－2解析：函数＝错误!和＝3是奇函数，排除A，C；函数＝2和＝－2都是偶函数，由幂函数的性质可知，＝－2在－∞，0上为增函数，函数＝2在－∞，0上为减函数．答案：B4．以下图像表示具有奇偶性的函数可能是．图5解析：图像关于原点或轴对称的函数具有奇偶性．A，D中的图形关于原点和轴均不对称，∴排除A，D；C中的图形虽然关于原点对称，但是过0，－1和0,1两点，这说明当＝0时，＝±1，这不符合函数的定义，不是函数的图像，排除C；B中图形关于轴对称．答案：B5．函数g＝错误!错误!是．A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数解析：先验证函数定义域的对称性，再考察f－是否等于f或－f．当＞0时，－＜0，于是g－＝－错误!－2－1＝－错误!＝－g，当＜0时，－＞0，于是g －＝错误!－2＋1＝错误!2＋1＝－错误!＝－g，综上可知，g是奇函数．答案：A6．假设奇函数f在区间上递增且最小值为5，那么f在上为．A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5解析：由题意得f3＝轴两侧对称区间内的单调性相同，排除C，D；f在上是增函数，那么此时最大值是f－3＝－f3＝－5，排除A答案：B7．幂函数＝－1和＝，直线＝1和＝1将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限〞：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ如图6所示，那么幂函数＝－错误!的图像在第一象限中经过的“卦限〞是．图6A．Ⅳ，Ⅶ B．Ⅳ，ⅧC．Ⅲ，Ⅷ D．Ⅲ，Ⅶ解析：幂函数＝－错误!的指数小于0，其图像在第一象限内不过Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ，Ⅵ卦限，∵－错误!＜－1，∴在直线＝1的右边，幂函数＝－错误!的图像在＝－1的下边，即过Ⅲ，Ⅶ卦限．答案：D8．设函数＝f是奇函数．假设f－2＋f－1－3＝f1＋f2＋3，那么f1＋f2＝__________解析：∵函数＝f是奇函数，∴f－2＝－f2，f－1＝－f1．∴－f2－f1－3＝f1＋f2＋3∴2＝－6∴f1＋f2＝－3答案：－3错误!怎样判断分段函数的奇偶性？探究：理解分段函数与函数奇偶性的含义，通常利用定义法判断分段函数的奇偶性．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应法那么，这样的函数叫作分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f－与f的关系．首先要特别注意与－的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f与f －对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比拟．例如：判断函数f＝错误!错误!的奇偶性．解：定义域是－∞，0]∪0，＋∞＝R当＞0时，有f＝－1，－＜0，∴f－＝－－－＋1＝－－1＝－f．当＜0时，f＝－＋1，－＞0，∴f－＝－－－1＝＋1＝－f．当＝0时，f0＝0，f－0＝0＝－f0．综上所得，对∈R，总有f－＝－f成立．∴f是奇函数．错误!1．幂函数的概念．2．函数的奇偶性．错误!习题2—5 A组1,2,3。

《简单的幂函数》教学设计一、教学内容分析：《简单的幂函数》是《普通高中课程标准实验教科书·数学》北师大版必修1第2章第5节的内容。

是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2xy 及其他们的图象和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质----奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。

二、学生学习情况分析幂函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的单调性的基础上进行研究的。

学生在初中已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数，那么幂函数是六种初等函数的一种。

其实一些简单的幂函数学生已经很熟悉，所以本节课引入很自然，但是通过一些幂函数图象的对称性，引入奇偶函数的概念，学生会有些的困难，特别是要学生找到判断函数奇偶性的方法更是困难的。

三、设计思想学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。

本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我通过情景创设引导学生从初中学过的函数出发，认识幂函数，体会引入奇偶函数的定义．在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。

1在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

2通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。