第二讲图形位置关系(含解析)

第2课时直线与双曲线的位置关系1．直线与双曲线的位置关系将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±ba时，直线与双曲线的渐近线01平行，直线与双曲线02相交于一点．(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线无公共点．2．直线与双曲线的相交弦设直线y＝kx＋m交双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|，同理，可得|P1P2|＝1＋1k2|y1－y2|(k≠0)．这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2，|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2.1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与双曲线相交一定有两个公共点．()(2)直线y ＝x 与双曲线x 25－y 2＝1一定不相切．()(3)过双曲线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.()(4)直线y ＝x －1被双曲线x 22－y 2＝1截得的弦长为 2.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)直线y ＝32x ＋2与双曲线x 24－y 29＝1的位置关系是()A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法确定答案B解析＝32x ＋2，－y 29＝1，得x 241整理，得6x ＝－13.所以x ＝－136，故直线和双曲线只有一个交点，又双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，所以直线y ＝32x ＋2与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点．所以直线与双曲线的位置关系为相交．故选B.(2)(人教A 选择性必修第一册复习参考题3T4改编)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1没有公共点，则k 的取值范围是________．答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析＝kx －1，2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，当1－k 2＝0时，方程有解，即直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1有公共点；当1－k 2≠0时，由Δ＝4k 2＋8(1－k 2)<0，解得k <－2或k >2.故k 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.2T1改编)直线l 交双曲线x 24－y 22＝1于A ，B 两点，且P (4，1)为AB 的中点，则l 的斜率为________．答案2解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(4，1)为AB的中点，1＋x2＝8，1＋y2＝2.又点A，B在双曲线上，21－2y21＝4，22－2y22＝4，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，则l的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x22（y1＋y2）＝82×2＝2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－4)，＝2x－7，2－2y2＝4，消去y并整理，得7x2－56x＋102＝0，Δ＝562－4×7×102＝280>0，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.考点探究——提素养考点一直线与双曲线的位置关系例1若过点P(0，1)的直线l与双曲线E：x2－y2＝1的右支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围为()A．(1，2)B．[－2，－1]C．[1，2]D．(－2，－1)答案D解析由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝kx＋1，2－y2＝1，得(1－k2)x2－2kx－2＝0，由题意，－k2≠0，＝4k2＋8（1－k2）>0，1＋x2＝2k1－k2>0，1x2＝－21－k2>0，解得－2<k<－1.故选D.【通性通法】通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式．(1)在a≠0的情况下考察方程的判别式①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．(2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．【巩固迁移】1．(2024·重庆第二次联合诊断)已知点P(1，2)和双曲线C：x2－y24＝1，过点P且与双曲线C 只有一个公共点的直线l有()A．2条B．3条C ．4条D ．无数条答案A解析由题意可得，双曲线C ：x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，点(1，0)是双曲线的顶点．若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1，此时直线l 与双曲线C 只有一个公共点，符合题意；若直线l 的斜率存在，则当直线l 平行于渐近线y ＝－2x 时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点，符合题意；若直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为y ＝2x ，此时直线l 为双曲线C 的一条渐近线，不符合题意．综上所述，过点P 且与双曲线C 只有一个公共点的直线l 共有2条．故选A.考点二弦长问题例2已知双曲线的焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2，3)．(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．解(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1，又c ＝2，所以b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意知直线m 的方程为y ＝x －2，联立双曲线方程与直线方程并消去y ，得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝6.【通性通法】1．距离公式法当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．2．弦长公式法当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.【巩固迁移】2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，给出以下两个条件：①离心率为2；②与双曲线y 23－x 2＝1有相同的渐近线．(1)任选一个条件，求出双曲线C 的方程；(2)直线l 与直线4x －2y －1＝0平行，l 被C 截得的弦长为45，求直线l 的方程．解(1)若选择①－3b 2＝1，＝c a＝2，a 2＋b 2，2＝1，2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.若选择②：设双曲线的方程为y 23－x 2＝n (n ≠0)，依题意，得33－2＝n ，解得n ＝－1，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意，设直线l 的方程为4x －2y ＋m ＝0，2－y 23＝1，x －2y ＋m ＝0，得4x 2＋8mx ＋m 2＋12＝0，由Δ＝64m 2－16(m 2＋12)＝48m 2－192>0，解得m <－2或m >2.设l 交C 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2＋124，所以|AB |＝1＋4|x 1－x 2|＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5·4m 2－（m 2＋12）＝45，解得m ＝±2213.所以直线l 的方程为6x －3y ＋21＝0或6x －3y －21＝0.考点三中点弦问题例3(2023·全国乙卷)设A ，B 为双曲线x 2－y 29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A ．(1，1)B ．(－1，2)C ．(1，3)D ．(－1，－4)答案D解析解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点可得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，直线OM (O 为坐标原点)的斜率k ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2，因为A，B 在双曲线上，21－y 219＝1，22－y 229＝1，两式相减得(x 21－x 22)－y 21－y 229＝0，所以k AB ·k ＝y 21－y 22x 21－x 22＝9.对于A ，k ＝1，k AB ＝9，则直线AB ：y＝9x－8，＝9x －8，2－y 29＝1，消去y 得72x 2－2×72x ＋73＝0，此时Δ＝(－2×72)2－4×72×73＝－288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 不符合题意；对于B ，k ＝－2，k AB ＝－92，则直线AB ：y ＝－92－52，＝－92x －52，2－y 29＝1，消去y 得45x 2＋2×45x ＋61＝0，此时Δ＝(2×45)2－4×45×61＝－4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 不符合题意；对于C ，k ＝3，k AB ＝3，则直线AB ：y ＝3x ，由双曲线方程可得a ＝1，b ＝3，则直线AB ：y ＝3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 不符合题意；对于D ，k ＝4，k AB＝94，则直线AB ：y ＝94x －74，＝94x －74，2－y 29＝1，消去y 得63x 2＋126x －193＝0，此时Δ＝1262＋4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有两个交点，故D 符合题意．故选D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)21－y 219＝1①，22－y 229＝1②，①－②得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝9×x 1＋x 2y 1＋y 2＝9×x 0y 0，即－3<9×x 0y 0<3⇒－13<x 0y 0<13，即y 0x 0>3或y0x 0<－3.故选D.【通性通法】中点弦问题的解决方法方法一将直线方程与双曲线的方程联立，消元后得到一元二次方程，再用判别式和中点坐标公式求解3．过点P (8，1)的直线与双曲线x 2－4y 2＝4交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________________．答案2x －y －15＝0解析设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4①，x 22－4y 22＝4②.由①－②，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，∵P 是线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝2.∴直线AB 的斜率为2，∴直线AB 的方程为2x －y －15＝0.考点四直线与双曲线的综合问题例4(2024·重庆一中质检)在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的双曲线C 过点T (2，3)，且有一条倾斜角为120°的渐近线．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设点F 为双曲线C 的右焦点，点P 在C 的右支上，点Q 满足OP →＝PQ →，直线QF 交双曲线C 于A ，B 两点，若|AB |＝2|QF |，求点P 的坐标．解(1)设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±bax ，则由题意可得，4a 2－9b 2＝1，且－ba ＝tan120°＝－3，解得a ＝1，b ＝3，则双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1，所以C 的右焦点F (2，0)，点Q 满足OP →＝PQ →，则P 为OQ 的中点，设P (m ，n )，m >0，则Q (2m ，2n )，若直线AB的斜率不存在，则其方程为x＝2，此时P(1，0)，m＝1，Q与F重合，不符合题意；若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，m≠1，因为k QF＝k，所以2n2m－2＝k，所以n＝(m－1)k，因为点P在双曲线C上，所以3m2－n2＝3，所以3m2－[(m－1)k]2＝3，即k2＝3m＋3 m－1，y＝k（x－2），3x2－y2＝3，消去y，得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，所以k2－3≠0，Δ＝16k4－4(k2－3)(4k2＋3)＝36(k2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3.因为|AB|＝2|QF|，所以|x2－x1|＝2|2m－2|，所以(x1＋x2)2－4x1x2＝16(m－1)2，所以4k2k2－3－4×4k2＋3k2－3＝16(m－1)2，即9(k2＋1)＝4(m－1)2(k2－3)2，所以3m＋3m－1＋1＝4(m－1)23m＋3m－1－3，解得m＝32，n＝±152，符合题意，所以点P的坐标为32，±152.【通性通法】利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果是判断直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题．【巩固迁移】4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率；(2)若tan ∠PAQ ＝22，求△PAQ 的面积．解(1)将点A 的坐标代入双曲线方程得4a 2－1a 2－1＝1，化简得a 4－4a 2＋4＝0，得a 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.由题易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与双曲线C 的方程并整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0，故x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.k AP ＋k AQ ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝kx 1＋m －1x 1－2＋kx 2＋m －1x 2－2＝0，化简得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0，故2k （2m 2＋2）2k 2－1＋(m －1－2k4(m －1)＝0，整理得(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0，又直线l 不过点A ，即m ＋2k －1≠0，故k ＝－1.(2)不妨设直线PA 的倾斜角为＜θ由题意知∠PAQ ＝π－2θ，所以tan ∠PAQ ＝－tan2θ＝2tan θtan 2θ－1＝22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22(舍去)，＝2，＝1，得x 1＝10－423，所以|AP |＝3|x 1－2|＝43×（2－1）3，同理得x 2＝10＋423，所以|AQ |＝3|x 2－2|＝43×（2＋1）3.因为tan ∠PAQ ＝22，所以sin ∠PAQ ＝223，故S △P AQ ＝12|AP ||AQ |sin ∠PAQ＝12×43×（2－1）3×43×（2＋1）3×223＝1629.课时作业一、单项选择题1．直线y ＝2x ＋m 与双曲线4x 2－y 2＝1的交点情况是()A ．恒有一个交点B ．存在m 有两个交点C ．至多有一个交点D ．存在m 有三个交点答案C解析将y ＝2x ＋m 代入4x 2－y 2＝1，得m 2＋4mx ＋1＝0.当m ＝0时，方程无解；当m ≠0时，x ＝1＋m 2－4m，所以至多有一个交点．故选C.2．在直线与双曲线的位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时，有可能是直线与双曲线的渐近线平行，此时“直线与双曲线相切”不成立．反之，由“直线与双曲线相切”一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”，所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件．故选C.3．(2023·四川遂宁适应性考试)已知双曲线C ：x 24－y 212＝1的右焦点为F ，点A (0，m )，若直线AF 与C 只有一个交点，则m ＝()A ．±2B ．±43C ．±23D ．±4答案B解析双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点为F (4，0)，因为直线AF 与C 只有一个交点，所以直线AF 与双曲线的渐近线平行，所以k AF ＝m －00－4＝±3，解得m ＝±4 3.故选B.4．(2024·湖北荆州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝－x ＋2相交于A ，B两点，弦AB 的中点M 的横坐标为－1，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±3xC ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则－y 21b 2＝1，－y 22b 2＝1，由点差法得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0(x 1≠x 2)．∵M (－1，3)，∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝6，∴－2a 2－6（y 1－y 2）b 2（x 1－x 2）＝0，又k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1，∴b 2＝3a 2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x .故选A.5．已知F 是双曲线x 2－y 28＝1的左焦点，直线4x －y －12＝0与该双曲线交于P ，Q 两点，则△FPQ 的重心G 到y 轴的距离为()A ．1B ．4C ．3D ．2答案C解析由题意，不妨设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立双曲线方程与直线方程，2－y 28＝1，x －y －12＝0，消去y ，得x 2－12x ＋19＝0，故x 1＋x 2＝12.因为F (－3，0)，所以△FPQ 的重心G 到y 轴的距离为|x 1＋x 2－33|＝|12－3|3＝3.故选C.6．(2023·山东烟台模拟)过双曲线x 2－y 2＝2的左焦点作直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案D解析由题意，得双曲线的左焦点为(－2，0)，当直线l 垂直于横轴时，|AB |＝22，不符合题意，因为双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠±1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与双曲线方程联立，＝k （x ＋2），2－y 2＝2，消去y ，得(1－k 2)x 2－4k 2x －4k 2－2＝0，则x 1＋x 2＝4k 21－k 2，x 1x 2＝－4k 2－21－k 2，由弦长公式，知|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·8（k 2＋1）|k 2－1|＝4，得k 2＋1＝2|k 2－1|，解得k ＝±(2－1)或k ＝±(2＋1)，故存在4条满足条件的直线．故选D.7．(2024·广东珠海模拟)已知直线l 与双曲线x 23－y 24＝1相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ⊥OB ，则|OA |·|OB |的最小值为()A ．20B ．22C ．24D ．25答案C解析依题意，得直线OA 与OB 的斜率都存在且不为0，不妨设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1k x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，－y 24＝1，kx ，则x 21＝124－3k 2，y 21＝12k 24－3k 2，所以|OA |2＝x 21＋y 21＝124－3k 2＋12k 24－3k 2＝12k 2＋124－3k 2.同理可得|OB |2＝x 22＋y 22＝12×1k 2＋124－3×1k2＝12k 2＋124k 2－3，所以1|OA |2＋1|OB |2＝4－3k 212k 2＋12＋4k 2－312k 2＋12＝k 2＋112k 2＋12＝112，所以112＝1|OA |2＋1|OB |2≥21|OA |2·|OB |2＝2|OA |·|OB |，即|OA |·|OB |≥24，当且仅当|OA |＝|OB |时，等号成立．故选C.8．(2024·湖南长沙高三模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝3x 与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 的离心率为()A ．3＋12B ．3C ．3＋1D ．5＋1答案C解析显然直线y ＝3x 与F 1F 2交于原点O ，由双曲线的对称性知，若四边形AF 1BF 2是矩形，则|AB |＝|F 1F 2|，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，而F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，＝3x ，－y 2b 2＝1，得(b 2－3a 2)x 2＝a 2b 2，解得x 1＝－ab b 2－3a 2，x 2＝ab b 2－3a 2，则|AB |＝1＋（3）2·|x 1－x 2|＝4ab b 2－3a 2，则4ab b 2－3a 2＝2c ，化简得b 4－6a 2b 2－3a 4＝0，－6·b 2a 2－3＝0，解得b 2a 2＝3＋23，则e ＝ca＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝4＋23＝3＋1.故选C.二、多项选择题9．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，实轴长为4，则()A ．该双曲线的虚轴长为22B ．该双曲线的焦距为25C ．该双曲线的离心率为5D ．直线x －y ＋2＝0与该双曲线有两个公共点答案BD解析由题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，实轴长为4，＝12，＝4，＝2，＝1.故双曲线的方程为x 24－y 2＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝ 5.对于A ，该双曲线的虚轴长为2，所以A 错误；对于B ，该双曲线的焦距为2c ＝25，所以B正确；对于C ，该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，所以C 错误；对于D ，y 2＝1，y ＋2＝0，得3x 2＋16x ＋20＝0，因为Δ＝162－4×3×20＝16>0，所以方程3x 2＋16x ＋20＝0有两个不相等的实根，所以直线x －y ＋2＝0与该双曲线有两个公共点，所以D 正确．故选BD.10．已知双曲线C ：x 2t －7－y 2t ＝1的一条渐近线方程为4x －3y ＝0，过点(5，0)作直线l 交双曲线于A ，B 两点，则下列结论中正确的是()A ．t ＝16或－9B ．该双曲线的离心率为53C ．满足|AB |＝323的直线l 有且仅有一条D ．若A ，B 分别在双曲线左、右两支上，则直线l －43，答案BD解析因为双曲线C ：x 2t －7－y 2t ＝1的一条渐近线方程为4x －3y ＝0，所以t t －7＝169，解得t ＝16，故A 错误；双曲线方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝9＋16＝5，所以该双曲线的离心率e＝53，故B 正确；如图，F (5，0)为双曲线的右焦点，当x ＝5时，y ＝±163，当A ，B 两点都在双曲线的右支上时，|AB |≥323，因为|AB |＝323，所以这种情况的直线AB 只有一条，且AB 与x 轴垂直；当A ，B 分别在双曲线的左、右两支上时，可得|AB |≥2a ＝6，而323>6，可得这样的直线有两条，综上所述，满足|AB |＝323的直线l 有三条，故C 错误；双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，要使A ，B 分别在双曲线左、右两支上，则直线l －43，故D 正确．故选BD.三、填空题11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案y ＝±2x解析根据已知可得，|PF 2|＝b 2a 且|PF 1|＝2b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .12．(2024·福建厦门第四次质量检测)写出同时满足下列条件的一条直线l 的方程为________．①直线l 在y 轴上的截距为1；②直线l 与双曲线x 24－y 2＝1只有一个公共点．答案y ＝±12x ＋1，y ＝±22x ＋1(写出其中一个直线方程即可)解析因为直线l 与双曲线x 24－y 2＝1只有一个公共点，所以直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的渐近线y ＝±12x 平行．又直线l 在y 轴上的截距为1，所以直线l 的方程可以是y ＝±12x ＋1.若直线l在y轴上的截距为1且与双曲线相切，则二者只有一个交点．可设l：y＝kx＋1，代入双曲线方程，得k2－2kx－2＝0，k2≠0，4k2＋k0，解得k＝±22，所以直线l：y＝±2 2x＋1，即所求直线l的方程为y＝±12x＋1，y＝±22x＋1(写出其中一个直线方程即可)．13．(2024·湖南益阳模拟)已知双曲线C：x23－y2＝1，若直线l的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若|MN|＝32P的坐标为________．答案(3，0)解析设直线l的方程为y＝3x＋m，与双曲线方程x23－y2＝1联立，可得8x2＋63mx＋3m2＋3＝0，由Δ＝108m2－32(3m2＋3)＝12m2－96>0，得m>22或m<－2 2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－33m4>0，x1x2＝3m2＋38>0，则m<0，所以m<－22，|MN|＝1＋（3）2|x1－x2|＝2（x1＋x2）2－4x1x2＝227m216－3m2＋32＝3m2－242＝32，解得m＝3(舍去)或m＝－3，所以直线l的方程为y＝3x－3，令y＝0，可得x＝ 3.故点P的坐标为(3，0)．14．已知直线MN：y＝13x＋2与双曲线C：x29－y24＝1交于M，N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积为________．答案47解析联立直线MN的方程与双曲线的方程，＝13x＋2，－y24＝1，消去x并整理，得x2－4x－24＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k2·（x2＋x1）2－4x1x2）＝4703，O到直线MN的距离为d＝|2|1＋19＝610，所以△OMN的面积为S＝12×4703×610＝47.四、解答题15．已知双曲线C和椭圆x24＋y2＝1有公共的焦点，且离心率为 3.(1)求双曲线C的方程；(2)过点M (2，1)作直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程及弦长|AB |.解(1)由题意，知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标分别为(－3，0)和(3，0)，设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c 2＝a 2＋b 2＝3，因为e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，解得a 2＝1，b 2＝2，所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入双曲线方程，得x 21－1221＝1，x 22－12y 22＝1，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，因为点M (2，1)为AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，则4(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4，所以直线l 的方程为y ＝4x －7.把y ＝4x －7代入x 2－y 22＝1，消去y ，得14x 2－56x ＋51＝0，所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝5114，又k ＝4，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝17×16－4×5114＝11907.16．(2024·江西红色十校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，右焦点F到一条渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点B (0，b )，过点P －b 2，l 与双曲线C 交于M ，N 两点，若|BM |＝|BN |，求直线l 的方程．解(1)由题意知F (c ，0)，双曲线C 的一条渐近线为bx ＋ay ＝0，则|bc ＋0|b 2＋a2＝b ＝3，又e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋3a2＝2，所以a ＝1，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)由(1)知，B (0，3)，－32，由题易知直线l 的斜率存在，当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为y ＝0，此时直线l 与双曲线C 的交点为(－1，0)和(1，0)，满足|BM |＝|BN |，符合题意；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，2－y23＝1，＝kx ＋m ，得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0，－k 2≠0，＝（－2km ）2＋4（3－k2）（m 2＋3）>0，－k 2≠0，2＋3－k 2>0，所以x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2＋33－k2，x 0＝km 3－k 2，y 0＝3m3－k 2，因为|BM |＝|BN |，所以BQ ⊥MN ，所以k BQ ＝y 0－3x 0＝3m3－k 2－3km3－k 2＝3m －33＋3k 2km ＝－1k ，所以3－k 2＝433m ，又点P－32，l 上，所以m ＝32k ，所以3－k 2＝2k ，解得k ＝－3或k ＝1，－k 2≠0，2＋3－k 2>0，所以直线l 的方程为y ＝－3x －332或y ＝x ＋32.综上，直线l 的方程为y ＝0，y ＝－3x －332或y ＝x ＋32.17．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则()A ．双曲线的离心率为3B ．双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC ．∠PAF 2＝45°D ．直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点答案ABD解析对于A ，因为|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又因为2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以cos ∠PF 1F 2＝16a 2＋4c 2－4a 22×4a ×2c ＝32，所以c ＝3a ，所以e ＝3，故A 正确；对于B ，因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝3，所以b 2a 2＝2，所以ba ＝±2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故B 正确；对于C ，因为2c ＝23a ，所以|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，所以∠PF 2F 1＝90°，又因为|AF 2|＝c ＋a ＝(3＋1)a ，|PF 2|＝2a ，所以|AF 2|≠|PF 2|，所以∠PAF 2≠45°，故C 不正确；对于D ，2y －2＝0，－y 22a 2＝1，所以2(2－2y )2－y 2＝2a 2，所以7y 2－16y ＋8－2a 2＝0，因为Δ＝162－4×7×(8－2a 2)＝32＋56a 2>0，所以直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，所以D 正确．故选ABD.18．(多选)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π6的直线分别交y 轴、双曲线右支于M ，P ，且|MP |＝|MF 1|，下列判断正确的是()A ．∠F 1PF 2＝π3B ．E 的离心率为3C ．△PF 1F 2内切圆的半径为3－1D ．若A ，B 为E 上两点且关于原点对称，则PA ，PB 的斜率存在时，其乘积为2答案ABD解析如图所示，因为M ，O 分别是PF 1，F 1F 2的中点，所以在△PF 1F 2中，PF 2∥MO ，所以PF 2⊥x 轴．对于A ，因为直线PF 1的倾斜角为π6，所以∠F 1PF 2＝π3，故A 正确；对于B ，在Rt △PF 1F 2中，因为|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝233c ，|PF 1|＝433c ，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝233c ，所以e ＝ca＝3，故B 正确；对于C ，因为△PF 1F 2的周长为(2＋23)c ，设其内切圆的半径为r ，根据三角形的面积相等，有(2＋23)cr ＝2c ·233c ，解得r，是与c 有关的式子，故C 错误；对于D ，因为A ，B 关于原点对称，所以设A (m ，n )，B (－m ，－n )，又，233c 由e ＝c a ＝3，得P (3a ，2a )，所以当PA ，PB 的斜率存在时，k P A ＝n －2a m －3a，k PB ＝－n －2a －m －3a，k P A ·k PB＝4a 2－n 23a 2－m 2，因为A ，B 在双曲线上，所以m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2a 2－n 22a 2＝1，所以n 2＝2m 2－2a 2，所以k P A ·k PB ＝4a 2－n 23a 2－m 2＝6a 2－2m 23a 2－m2＝2，故D 正确．故选ABD.19．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的右焦点为F (c ，0)，从①虚轴长为23；②离心率为2；③双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°这三个条件中选取两个作为已知条件，求解下列问题．(1)求C 的方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，记△AOB ，△FOB 的面积分别为S 1，S 2，若S1S 2＝3＋1，求直线l 的方程．注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．解(1)若选择①②：＝a 2＋b 2，2，＝23，＝1，＝3，＝2，所以C的方程为x2－y23＝1.若选择①③：因为b>a，＝3，＝23，＝1，＝3，所以C的方程为x2－y23＝1.若选择②③：因为b>a，2，＝3，＋b2＝c2，此时无法确定a，b，c.(2)由(1)知F(2，0)，由题意，知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为x＝ty＋2.＝ty＋2，2－y23＝1，得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|y1|>|y2|，则可知3t2－1≠0.又Δ>0恒成立，所以y1＋y2＝－12t3t2－1，y1y2＝93t2－1，因为y1y2>0，所以t<－33或t>33.因为S1S2＝S△AOF－S△FOBS△FOB＝S△AOFS△FOB－1＝|y1||y2|－1＝3＋1，所以y1y2＝2＋ 3.由（y1＋y2）2－2y1y2y1y2＝10t2＋23t2－1，得y1y2＋y2y1＝10t2＋23t2－1，所以10t2＋23t2－1＝4，所以t＝±3，满足t<－33或t>33.所以直线l的方程为y＝33x－233或y＝－33x＋233.20．(2024·湖北宜荆荆随联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过C上的动点M 作双曲线C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，△ABM 的面积为3316.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，曲线C 的左顶点为D ，点N 位于原点与右顶点之间，过点N 的直线与曲线C 交于G ，R 两点，直线l 过N 且垂直于x 轴，直线DG ，DR 分别与l 交于点P ，Q ，若O ，D ，P ，Q 四点共圆，求点N 的坐标．解(1)由e ＝c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，得b ＝3a ，所以渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线C 的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2，如图，设M (x ，y )，则M 到渐近线的距离分别为|MA |＝|3x －y |2，|MB |＝|3x ＋y |2，又两条渐近线的夹角为60°，且M ，A ，O ，B 四点共圆，则∠AMB ＝60°或120°，又△ABM的面积S ＝12|MA |·|MB |·sin ∠AMB ＝34·|3x 2－y 2|4＝3316a 2＝3316，则a 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)由O ，D ，P ，Q 四点共圆，得∠DPQ ＋∠DOQ ＝π，又∠NOQ ＋∠DOQ ＝π，则∠DPQ ＝∠NOQ ，则tan ∠DPQ ＝tan ∠NOQ ，所以1tan ∠ODP＝tan ∠NOQ ，则k DP ·k OQ ＝1，设G(x1，y1)，R(x2，y2)，N(t，0)，t∈(0，1)，D(－1，0)，易得l DR：y＝y2x2＋1(x＋1)，令x＝t，得当l GR的斜率为0时，不符合题意；当l GR的斜率不为0时，设l GR：x＝my＋t，＝my＋t，x2－y2＝3，得(3m2－1)y2＋6mty＋3(t2－1)＝0，则3m2－1≠0，且Δ＝(6mt)2－4(3m2－1)×3(t2－1)>0，即m2≠13，且3m2＋t2>1，所以y1＋y2＝－6mt3m2－1，y1y2＝3（t2－1）3m2－1.由k DP·k OQ＝y1x1＋1·y2（t＋1）t（x2＋1）＝1，即t＋1t＝（x1＋1）（x2＋1）y1y2，又（x1＋1）（x2＋1）y1y2＝m2y1y2＋m（t＋1）（y1＋y2）＋（t＋1）2y1y2＝－（t＋1）23m2－13（t2－1）3m2－1＝－（t＋1）23（t2－1），则t＋1t＝－（t＋1）23（t2－1），解得t＝34∈(0，1)，符合题意，即点N。

2012二轮专题四：立体几何第二讲点、直线、平面之间的位置关系【考纲透析】1．理解空间直线\平面位置关系的定义。

2．了解可以作为推理依据的公理和定理。

3．认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

4．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【要点突破】要点考向1：线线、线面的位置关系考情聚焦：1．空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系是最基本的关系，是高考中重点考查的内容，几乎年年都考。

2．题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系。

3．三种题型均可出现，属较容易或中档题。

考向链接：1．解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线在平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。

2．证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。

3．证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质4．证明线面垂直的方法有：（1）定义；（2）判定定理；例1：（2010·天津高考文科·Ｔ１9）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD ＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。

【思路点拨】（1）∠CED即为异面直线CE与AF所成角；（2）证明CD垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。

【规范解答】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD.故ED ⊥CD.在Rt △CDE 中，CD=1，ED=，故cos CED ∠=E D C E=3.所以异面直线CE 和AF 3.(Ⅱ)证明：过点B 作BG//CD,交AD 于点G ，则45BG A C D A ∠=∠=.由45BAD ∠=,可得BG ⊥AB,从而CD ⊥AB,又CD ⊥FA,FA ⋂AB=A,所以CD ⊥平面ABF.(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得G 为AD 的中点.取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则GNM ∠为二面角B-EF-A 的平面角。