第二讲 图形位置关系

几何形的位置关系几何形的位置关系是几何学中一个重要的概念，用于描述不同几何形状之间的相对位置。

在几何学中，位置关系可以分为内部关系、外部关系和边界关系三种。

本文将就这三种位置关系进行详细阐述。

一、内部关系内部关系是指一个几何形状完全位于另一个几何形状的内部。

常见的内部关系有以下几种：1. 包含关系包含关系是指一个几何形状包含另一个几何形状，被包含的几何形状完全位于另一个几何形状的内部。

例如，一个大圆包含一个小圆，一个矩形包含一个小正方形。

2. 同心关系同心关系是指两个或多个几何形状具有相同的中心点。

例如，两个同心圆的中心点相同，但是半径不同。

3. 包围关系包围关系是指一个几何形状完全包围住另一个几何形状。

例如，一个正方形包围一个圆，一个矩形包围一个三角形。

二、外部关系外部关系是指一个几何形状位于另一个几何形状的外部，两者没有交集。

常见的外部关系有以下几种：1. 相离关系相离关系是指两个几何形状之间没有任何交集，彼此之间没有交叠部分。

例如，两个不相交的圆。

2. 相交关系相交关系是指两个几何形状之间有部分交集，但没有完全包含或包围对方。

例如，两个相交的直线段。

三、边界关系边界关系是指两个几何形状之间共享相同的边界，彼此之间有一部分重叠。

常见的边界关系有以下几种：1. 切线关系切线关系是指一个几何形状的边界线与另一个几何形状相切，但没有交叠。

例如，一个直线与一个圆相切。

2. 外切关系外切关系是指一个几何形状的外切圆与另一个几何形状相切，并且两个几何形状没有交叠。

例如，一个圆外切一个矩形。

3. 内切关系内切关系是指一个几何形状的内切圆与另一个几何形状相切，并且两个几何形状没有交叠。

例如，一个圆内切一个正方形。

总结几何形的位置关系是研究几何形状之间相对位置的重要内容。

通过对内部关系、外部关系和边界关系的描述，我们可以更好地理解和刻画不同几何形状之间的关系。

在实际应用中，对几何形的位置关系的深入理解有助于解决空间布局、构建模型等问题，具有重要的实际意义。

选修4－1 几何证明选讲第二讲直线与圆的位置关系【考纲速读吧】1．会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．2．会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．【要点集结号】与圆有关的辅助线的五种作法：①有弦，作弦心距；②有直径，作直径所对的圆周角；③有切点，作过切点的半径；④两圆相交，作公共弦；⑤两圆相切，作公切线．1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．个必记结论1．切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．2．相离两圆的内公切线夹在公切线间的线段长等于两圆外公切线的长．3．若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆．【课前自主导学】011．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理（1）圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的________的一半．（2）圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的________．推论1：同圆或等圆中同弧或等弧所对的________相等，相等的________所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．（3）弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的________．________．”对吗？（1）如图，在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，且∠BAC＝50°，则∠BOC ＝________．（2）如图，CD是⊙O的直径，AE切圆O于点B，连接DB，若∠D＝20°，则∠DBE的大小为________．2．圆内接四边形的判定定理和性质定理任意一个四边形是否有外接圆，三角形呢？如图，在⊙O中，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠ADC＝120°，则∠CBE＝________，∠ABC＝________.3．圆的切线如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦BC与小圆相切于点A，若BC＝6，则由这两个同心圆所构成的圆环的面积为________．4．直线与圆位置关系的有关定理（1）如图，弦AB与CD相交于P点，PA＝4，PB＝2，则PC·PD＝________．（2）如图，PE是⊙O的切线，PAB与PCD是⊙O的割线，PA＝AB＝1，则PE＝________，PC·PD＝________．【自我校对】1．圆心角度数圆周角圆周角直角直径圆周角一半想一想：提示：只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．填一填：（1）100°（2）70°2．互补内角对角互补对角想一想：提示：任意一个四边形不一定有外接圆，但一个三角形一定有外接圆，并且外接圆唯一．填一填：120°60°3．切线切点外端切线垂直于切点圆心填一填：9π4．比例中项积积切线长【考点一】圆内接四边形的判定与性质例1[2011·辽宁高考]如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED．（1）证明：CD∥AB；（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．【审题视点】（1）结合圆内接四边形对角互补可证CD∥AB．（2）证出四边形ABGF对角互补，即可证出四点共圆．[证明]（1）因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD．因为A、B、C、D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA．故∠ECD＝∠EBA．所以CD∥AB．（2）由（1）知，AE＝BE．因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC．连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE．又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA．所以∠AFG＋∠GBA＝180°．故A，B，G，F四点共圆．【师说点拨】证明四点共圆的主要方法是利用其判定定理及推论，即通过证明四边形的一组对角互补或一个外角等于它的内角的对角实现．【变式探究】[2013·泰兴模拟]如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O 交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．（1）证明：A，P，O，M四点共圆；（2）求∠OAM＋∠APM的大小．解：（1）证明：连接OP ，OM ，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP ．因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC ．于是∠OPA ＋∠OMA ＝180°，由圆心O 在∠PAC 的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆．（2）解：由（1）得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM ＝∠OPM ．由（1）得OP ⊥AP ．由圆心O 在∠PAC 的内部，可知∠OPM ＋∠APM ＝90°， 所以∠OAM ＋∠APM ＝90°．【考点二】圆的切线的判定与性质例2 [2013·银川模拟]如图所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，B 、D 为切点．（1）求证：AD ∥OC ； （2）若⊙O 的半径为1，求AD·OC 的值．[解] （1）证明：如图，连接BD 、OD ．∵CB 、CD 是⊙O 的两条切线，∴BD ⊥OC ．∴∠2＋∠3＝90°．又AB 为⊙O 直径，∴AD ⊥DB ，∠1＋∠2＝90°．∴∠1＝∠3，∴AD ∥OC ．（2）∵AO ＝OD ，则∠1＝∠A ＝∠3，∴Rt △BAD ∽Rt △COD ，AD·OC ＝AB·OD ＝2．奇思妙想：在本例中，若AD·OC 的值是4，求⊙O 的半径．解：∵AO ＝OD ，∴∠1＝∠A ．∵∠1＝∠3，∴∠A ＝∠3． ∵∠BDA ＝∠CDO ＝90°，∴Rt △BAD ∽Rt △COD ． ∴AD OD ＝AB OC． ∴AD ·OC ＝AB ·OD ＝2OD 2． ∵AD ·OC ＝4，∴OD ＝2，即⊙O 的半径为2．【师说点拨】在解有关切线问题的题目时，从以下几个方面进行思考：（1）见到切线，要想到它垂直于过切点的半（直）径；（2）若过切点有垂线，则必过圆心；（3）过切点若有弦，则想弦切角定理；（4）若切线与一条割线相交，则想切割线定理；（5）若有两条切线相交，则想切线长定理，并要熟悉这里存在一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形．【变式探究】 如图，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，D 为垂足，且AD 与圆O 交于点E ，求∠DAC 的大小与线段AE 的长．解：连接OC ，因为BC ＝OB ＝OC ＝3，所以∠CBO ＝60°，因为∠DCA ＝∠CBO ，所以∠DCA ＝ 60°，又AD ⊥DC ，故∠DAC ＝30°．因为∠ACB ＝ 90°，所以∠CAB ＝30°，则∠EAB ＝ 60°．连接BE ，可知∠ABE ＝30°，于是AE ＝12AB ＝3． 【考点三】与圆有关的比例线段例3 [2012·天津高考]如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ． 过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________． 【审题视点】本题条件中，直线CD 为圆的切线，故考虑利用切割定理建立等量关系，再化简证之[解析] 在圆中，由相交弦定理：AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FB EF ＝2，由三角形相似，FC BD ＝AF AB， ∴BD ＝FC ·AB AF ＝83．由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ， 又DA ＝4CD ，∴4DC 2＝DB 2＝649．∴DC ＝43． [答案] 43【师说点拨】涉及与圆有关的成比例线段或等积线段（有时需转化为成比例的线段）的证明， ①利用相似三角形的性质在相似三角形中寻找比例线段．②利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．③利用角平分线对边成比例．【变式探究】 [2013·揭阳模拟]如图，过△ABC 的顶点A 的圆与边BC 切于点P ，与边AB 、AC 分别交于点M 、N ，且CN ＝2BM ，点N 、P 分别为AC 、BC 的中点．求证：AM ＝ 7BM ．解析：由切割线定理，得BP2 ＝BM·BA ，CP2＝CN·CA ．因为P 是BC 的中点，所以BM·BA ＝CN· CA ．又点N 是AC 的中点，所以BM·（BM ＋AM ） ＝2CN2．又因为CN ＝2BM ，所以BM·（BM ＋AM ）＝8BM2， 所以AM ＝7BM ．【经典演练提能】041．[2012·湖北高考]如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．答案：2解析：连接OC ，则OD ⊥CD 知，OD2＋CD2＝OC2．要使CD 最大，则OD 最小；当OD ⊥AB 时，OD 最小，此时CD ＝2．2．[2012·陕西高考]如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF·DB ＝________．答案：5解析：由三角形相似可得DE2＝DF·DB ，连接AD ，则DE2＝AE·EB ＝1×5＝5．所以DF·DB ＝5．3．[2012·广东高考]如下图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA ．若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________．答案：mn解析：利用弦切角定理得到∠PBA ＝∠ACB ，再利用三角形相似求出．因为PB 是圆的切线，所以∠PBA ＝∠ACB ．又因为∠PBA ＝∠DBA ，所以∠DBA ＝∠ACB ．又因为∠A ＝∠A ，所以△ABD ∽△ACB ，所以AB AC ＝AD AB，所以AB 2＝AD ·AC ＝mn ，所以AB ＝mn ． 4．[2012·江苏高考]如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE ．求证：∠E ＝∠C ．证明：如图，连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C ．因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B ．于是∠B ＝∠C ．因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角， 故∠E ＝∠B ．所以∠E ＝∠C ．【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题1．[2013·吉林月考]如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，P A ＝AB ＝5，CD ＝3，则PC 等于（ ）A ．2或－5B ．2C ．3D ．10答案：B解析：设PC ＝x ，由割线定理知P A ·PB ＝PC ·PD ． 即5×25＝x （x ＋3），解得x ＝2或x ＝－5（舍去）．故选B ．2．如图，⊙O 中弦AB 、CD 相交于点F ，AB ＝10，AF ＝2．若CF ∶DF ＝1∶4，则CF 的长等于（ ）A ．2B ．2C ．3D ．2 2答案：B解析：∵CF ∶DF ＝1∶4，∴DF ＝4CF ．∵AB ＝10，AF ＝2，∴BF ＝8．∵CF ·DF ＝AF ·BF ，∴CF ·4CF ＝2×8，∴CF ＝2．3．[2013·广州调研]如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝（ ）A ．35°B ．90°C ．125°D ．150°答案：C解析：连接BD ，则∠MAB ＝∠ADB ＝35°，由BC 是直径，知∠BDC ＝90°，所以∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°．4．[2013·海淀区期末]如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．55B ．255C ．355D ．32答案：C解析：延长BO 交圆O 于点F ，由D 为OB 的中点，知DF ＝3，DB ＝1，又∠AOB ＝90°，所以AD ＝5，由相交弦定理知AD ·DE ＝DF ·DB ，即3×1＝5×DE ，解得DE ＝355． 5．[2013·北京模拟]如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ． 给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG ．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③答案：A解析：AB ＋BC ＋CA ＝AB ＋（BF ＋CF ）＋CA＝AB ＋（BD ＋CE ）＋CA ＝AD ＋AE ，故①正确；∵AE 2＝AF ·AG ，AD 2＝AF ·AG ，∴AE 2·AD 2＝（AF ·AG ）2．∴AE ·AD ＝AF ·AG ，故②正确；连接FD ，∠AFB ＋∠BFG ＝∠FDG ＋∠BFG ＝180°，∴∠AFB ＝∠FDG ≠∠ADG ．∴△AFB 与△ADG 不相似，故③不正确．6．[2013·南通模拟]如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ， BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6答案：B解析：设圆的半径为r ，AD ＝x ，连接OD ，得OD ⊥AC ．故AD AC ＝OD BC ，即x 8＝r 6，故x ＝43r ． 又由切割线定理AD 2＝AE ·AB ，即169r 2＝（10－2r ）×10，故r ＝154．由三角形相似，知AD AB ＝DF BC，则DF ＝3． 二、填空题7．[2013·银川模拟]如图，直线PC 与⊙O 相切于点C ，割线P AB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CE ＝________．答案：125解析：由切割线定理知P A ·PB ＝PC 2，所以P A ＝2，则圆的直径为6，半径为3，所以PO ＝5，连结OC 在△OCP 中，由三角形的面积相等知CE ·OP ＝OC ·PC ，所以CE ＝OC ·PC OP ＝3×45＝125． 8．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．答案：72解析：因为AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，所以可设AF ＝4x ，FB ＝2x ，BE ＝x ．由割线定理，得AF ·FB ＝DF ·FC ，即4x ×2x ＝2×2，解得x ＝12． 所以AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12．由切线长定理，得EC 2＝BE ·EA ， 即EC 2＝12×（12＋3），解得EC ＝72． 9．[2013·梅州质检]如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC ＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD ，则ADBD的值为________． 答案： 2解析：连接OD ，则OD ⊥CD ．设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r ．所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r ．由弦切角定理，得∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB ∽△CAD ．所以AD BD ＝AC CD ＝4r 22r＝2． 三、解答题10．[2013·惠州模拟]如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，ADE 、CFD 和CGE 都是⊙O 的割线， AC ＝AB ．（1）证明：AC 2＝AD ·AE ；（2）证明：FG ∥AC ．证明：（1）∵AB 是⊙O 的一条切线，∴AB 2＝AD ·AE ．又∵AC ＝AB ，∴AC 2＝AD ·AE ．（2）∵AC 2＝AD ·AE ，∴AC AD ＝AE AC，又∵∠DAC ＝∠CAE ， ∴△CAD ∽△EAC ，∴∠ACD ＝∠AEC ．又∵四边形DEGF 是⊙O 的内接四边形，∴∠CFG ＝∠AEC ，∴∠ACD ＝∠CFG ．∴FG ∥AC ．11．[2013·济宁模拟]如图，AB 是圆O 的直径，以B 为圆心的圆B 与圆O 的一个交点为P ．过点A 作直线交圆O 于点Q ，交圆B 于点M ，N ． （1）求证：QM ＝QN ；（2）设圆O 的半径为2，圆B 的半径为1，当AM ＝103时，求MN 的长． 解：（1）连接BM ，BN ，BQ ，BP ，∵B 为小圆的圆心，∴BM ＝BN ．又∵AB 为大圆的直径，∴BQ ⊥MN ．∴QM ＝QN ．（2）∵AB 为大圆的直径，∴∠APB ＝90°．∴AP 为圆B 的切线．∴AP 2＝AM ·AN ．由已知AB ＝4，PB ＝1，AP 2＝AB 2－PB 2＝15，又AM ＝103，∴15＝103×（103＋MN ）． ∴MN ＝76． 12．[2013·沈阳检测]如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM·MB＝DF·DA．解：（1）连接OC，则有∠OAC＝∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC＝∠F AC．∴∠F AC＝∠ACO．∴OC∥AD．∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2＝AM·MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2＝DF·DA．易知△AMC≌△ADC，∴DC＝CM．∴AM·MB＝DF·DA．。

第二讲空间点、线、面位置关系的判断年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018Ⅰ卷直线与平面所成角及正方体的截面最值问题·T12命题分析(1)高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择或填空题和一道解答题或一道解答题．(2)选择题一般在第10～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．学科素养通过平行、垂直关系的判断与证明重点考查学生直观想象与逻辑推理素养，通过体积计算考查数学运算素养.Ⅱ卷异面直线所成角的求法·T9Ⅲ卷面面垂直的证明·T192017Ⅰ卷面面垂直·T18Ⅱ卷线面平行·T19Ⅲ卷面面垂直·T192016Ⅰ卷面面垂直的证明·T18Ⅱ卷线面垂直证明·T19Ⅲ卷线面平行的证明·T19空间点、线、面位置关系的基本问题授课提示：对应学生用书第37页[悟通——方法结论]空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例．(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( ) 解析：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：由正方体的性质，得A 1B 1⊥BC 1，B 1C ⊥BC 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ，又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1，故选C.答案：C3．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：法一：如图(1)，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA ­A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos∠DB 1B ′， 即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴cos ∠DB 1B ′＝55. 故选C.法二：如图(2)，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，∴AD →1＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)， ∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5， ∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55.故选C. 答案：C4．(2016·高考全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)．解析：根据相关知识，对四个命题逐个判断．对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．答案：②③④判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．平行与垂直关系的证明授课提示：对应学生用书第37页[悟通——方法结论]记住以下几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(5)垂直于同一条直线的两个平面平行．(6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(2018·高考全国卷Ⅲ)(12分)如图，矩形ABM是上异于C，D的点．(1)证明：(2)在使得MC∥平面PBD ？说明理由．[学审题]条件信息想到方法注意什么由信息❶平面ABCD⊥平面CMD 面面垂直的性质可用来找出需要的线面垂直，即BC⊥平面CMD利用面面垂直判定定理及性质定理时一定要注意定理成立条件的完整性，否则会丢分由信息❷证明平面AMD⊥平面BMC 面面垂直的判定方法可证DM ⊥平面BMC由信息❸在AM上找点P使得MC∥平面PBD猜测P为AM中点，再证明[规范解答](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.(2分)因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM. (4分)因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (6分)(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.(8分)证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点． (10分)连接OP ，因为P 为AM 中点， 所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD .(12分)1．正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条件直接应用．2．证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．3．证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．4．证明的核心是转化，空间向平面的转化，面面⇔线面⇔线线．5．学科素养：利用空间几何体证明平行或垂直关系主要考查学生的直观想象与逻辑推理素养能力．[练通——即学即用]1．(2018·武汉调研)如图，三棱锥P ­ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，PA ⊥PC ，PB ＝2.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)若PA ＝PC ，求三棱锥P ­ABC 的体积．解析：(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3. 因为PA ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ，所以BO ⊥平面PAC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面PAC ⊥平面ABC .(2)因为PA ＝PC ，PA ⊥PC ，AC ＝2， 所以PA ＝PC ＝ 2.由(1)知BO ⊥平面PAC ，所以V P ­ABC ＝13S △PAC ·BO ＝13×12×2×2×3＝33.2．(2018·沈阳模拟)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，且PM ＝2MC .(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)若AD ＝2，PD ＝3，∠BAD ＝π3，求三棱锥P ­ADM 的体积．解析：(1)证明：法一：如图，过M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .法二：如图，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，N 为垂足，连接BN .由题意，PM ＝2MC ，则DN ＝2NC ，又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形，∴BN ∥AD . ∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥DC .又MN ⊥DC ，MN ⊂平面PDC ，∴PD ∥MN . ∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝NAD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD ∩PD ＝D ，∴平面MBN ∥平面PAD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面PAD . (2)如图，过B 作AD 的垂线，垂足为E . ∵PD ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BE .又AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD ∩PD ＝D ，∴BE ⊥平面PAD . 由(1)知，BM ∥平面PAD ，∴点M 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离，即BE . 连接BD ，在△ABD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝π3，∴BE ＝3，则三棱锥P ­ADM 的体积V P ­A D M ＝V M ­PA D ＝13×S △PA D ×BE ＝13×3×3＝ 3.平面图形的折叠问题授课提示：对应学生用书第39页[悟通——方法结论]平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．(2016·高考全国卷Ⅱ)(12分)如图，的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，，EF 交BD 于点H .(1)(2) 求五棱锥D ′­ABCFE 的体积．[学审题] 条信息件想到方法注意什么信息❶：菱形ABCD菱形的边及对角线的关系：对角线垂直、边相等(1)折叠图形中前后“不变的位置关系和数量关系”及“变的位置关系和数量关信息❷：AE ＝CF三角形中平行线等分线段成比例：AE AD ＝CFCD，可证AC ∥EF 系”(2)三角形中三边的关系也可判断两直线垂直(3)证线面垂直的条件：直线垂直于平面内两条相交直线信息❸：△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置 折叠图形中的“变量”与“不变量”，不变量HD ′⊥EF 信息❹：证明AC ⊥HD ′转化为一直线的平行线垂直于另一条直线信息❺：已知AB ，AC ，AE ，OD ′的长 由边长关系证明线线垂直关系：可求DO ，OH 的长，进而由OD ′，OH ，D ′H 的长满足勾股定理可证OD ′⊥OH[规范解答] (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD .(2分)又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CFCD，故AC ∥EF .由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′， (4分)所以AC ⊥HD ′.(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.(6分)由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.(8分)于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 故OD ′⊥OH . 由(1)知，AC ⊥HD ′， 又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′.(10分)又OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO ，得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′­ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322. (12分)翻折问题的3个注意点(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．(2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．[练通——即学即用](2018·合肥模拟)如图①，平面五边形ABC D E 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60˚，C D ＝E D ＝7，cos ∠E D C ＝57.将△C D E 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到四棱锥P ­ABCE ，如图②.(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面PAB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△C D E 中， ∵C D ＝E D ＝7，cos ∠E D C ＝57，由余弦定理得CE ＝2.连接AC ， ∵AE ＝2，∠AEC ＝60˚， ∴AC ＝2.又AP ＝3， ∴在△PAE 中，PA 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE .同理，AP ⊥AC .而AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ，故AP ⊥平面ABCE . (2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面PAB ∩平面PCE ＝l . ∴AB ∥l .授课提示：对应学生用书第136页 一、选择题1．(2018·天津检测)设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A选项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥a，此时α⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l 与β的位置关系不确定，故D选项错误．选B.答案：B2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是( )A．①②B．②③C．①④D．②④解析：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确．答案：B3．(2018·合肥教学质量检测)已知l，m，n为不同的直线，α，β，r为不同的平面，则下列判断正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩r＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α解析：A：m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B：根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C：根据线面平行的性质可知C正确；D：若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.答案：C4．(2018·石家庄教学质量检测)设m，n是两条不同的直线，α，β，r是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥r，m⊥α，则m⊥r；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；④若α⊥r，β⊥r，则α∥β.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；②，根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③m∥α或m⊂α，m∥β或m⊂β，故③错误；④，根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误，所以真命题的个数为1，故选B.答案：B5．如图所示，在四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①②B．②④C．①③D．①④解析：①中，∵平面AB∥平面MNP，∴AB∥平面MNP.②中，若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．③中，易知AB∥MP，∴AB∥平面MNP.④中，易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行．故能得到AB∥平面MNP的图形的序号是①③.答案：C6．(2018·大庆模拟)α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是( ) A．α⊥β，且a⊥βB．α∩β＝b，且a∥bC．a∥b，且b∥αD．α∥β，且a⊂β解析：对于A ，B ，C 还可能有a ⊂α这种情况，所以不正确；对于D ，因为α∥β，且a ⊂β，所以由面面平行的性质定理可得a ∥α，所以D 是正确的．答案：D7．如图，在三棱锥S ­ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面D EFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532C ．45D ．45 3解析：取AC 的中点G ，连接SG ，BG (图略)．易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形D EFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形D EFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝(12AC )·(12SB )＝452. 答案：A8．(2018·哈尔滨联考)直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α；②若m ∥β，α∥β，则m ∥α；③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α；④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由空间直线与平面平行关系可知①②正确；由线面垂直、线面平行的判定和性质可知③正确；由线面垂直、面面垂直的性质定理可知④正确．故选D.答案：D9．(2018·绵阳诊断)已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥mD．l⊂α，l∥m，且m⊥β解析：依题意知，A，B，C均不能得出α⊥β，对于D，由l∥m，m⊥β得l⊥β，又l⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.答案：D10．(2018·贵阳模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF 内的射影为O，则下列说法正确的是( )A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析：由题意可知PA、PE、PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.答案：A11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( ) A．BM是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．MB∥平面A1DE解析：取CD的中点F，连接MF，BF，AF(图略)，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确．∵∠A1DE＝∠MFB，MF＝12A1D，FB＝DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB，∴MB是定值，故A正确．∵B是定点，BM是定值，∴M在以B为球心，MB为半径的球上，故B正确．∵A1C在平面ABCD中的射影是点C与AF上某点的连线，不可能与DE垂直，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C.故选C.答案：C二、填空题12．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN 与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然①②正确；对于③，连接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN与BM成60°角，所以③正确；对于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正确．答案：①②③④13.如图，在正方体ABC D­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上)．解析：AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60°.答案：③④14．(2018·厦门质检)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，α⊥β，则m∥β；②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n；③m⊂α，n ⊂β，m∥n，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)．解析：对于命题①可以有m⊂β，故不成立；对于命题③可以有α与β相交，故不成立．答案：②④15．(2018·武昌调研)在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线A D与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示，则AE⊥BD，BD⊥AC.又AE∩AC＝A，所以BD⊥平面AEC，从而有BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①错误．②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在这样的直角三角形BAC，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．③假设A D⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故矛盾，假设不成立，③错误．答案：②三、解答题16．(2018·汕头质量监测)如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90˚，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：AC⊥平面BCE；(3)求三棱锥E­BCF的体积．解析：(1)证明：因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE，又BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)证明：过C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形．所以AM＝MB＝2，又AD＝2，AB＝4，所以AC＝22，CM＝2，BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(3)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM.又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM ⊥平面ABEF .故V E ­BCF ＝V C ­BEF ＝13×12×BE ×EF ×CM ＝16×2×4×2＝83. 17．(2018·广州五校联考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠BAD ＝60˚，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(1)求证：AD ⊥平面PBE ；(2)若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ；(3)若V P ­BCDE ＝2V Q ­ABC D ，试求CP CQ的值．解析：(1)证明：由E 是AD 的中点，PA ＝PD 可得AD ⊥PE .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60˚，所以AB ＝BD ，又E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE ，又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE .(2)证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OQ (图略)．因为O 是AC 的中点， Q 是PC 的中点，所以OQ ∥PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，所以PA ∥平面BDQ .(3)设四棱锥P ­BCDE ，Q ­ABCD 的高分别为h 1，h 2.所以V P ­BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1，V Q ­ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2. 又V P ­BCDE ＝2V Q ­ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83. 18．(2018·郑州第二次质量预测)如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1.现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．解析：(1)当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC . 理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP .在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12， 在△ADB 中，AP PB ＝12，∴AD ∥PN . ∵AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ，∴AD ∥平面MPC .(2)∵平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝D M ，AM ⊥DM ，∴AM ⊥平面MBCD .∴V P ­MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝16. 在△MPC 中，MP ＝12AB ＝52，MC ＝2， 又PC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， ∴S △MPC ＝12×2× ⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝64. ∴点B 到平面MPC 的距离为d ＝3V P ­MBC S △MPC ＝3×1664＝63.。

图形的位置总结图形的位置是描述图形在空间中的具体位置或方位关系的概念。

在图形学、数学、物理学等领域中，图形的位置是进行分析、描述和操作的基础。

无论是二维图形还是三维图形，了解和掌握图形的位置是很重要的。

在二维平面中，图形的位置通常由两个坐标轴来确定，即x轴和y轴。

坐标轴的交叉点被称为原点，通常用坐标(0,0)表示。

x轴表示水平位置，y轴表示垂直位置。

图形的位置可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

例如，点(2,3)表示图形在x轴上向右移动2个单位，y轴上向上移动3个单位。

图形的位置可以通过平移、旋转和缩放来改变。

平移是指图形沿着坐标轴方向上的移动，保持形状和大小不变。

旋转是指图形绕一个固定点旋转一定角度。

缩放是指图形按比例改变大小，可以放大或缩小。

图形的位置也可以通过相对位置来描述。

相对位置是指图形与其他图形之间的位置关系。

例如，图形A在图形B的上方、下方、左侧或右侧等。

相对位置可以用方位词来描述，如在北方、在东南方等。

在三维空间中，除了x轴和y轴，还有一个z轴用于确定图形的位置。

图形的位置可以由一个有序数对(x,y,z)来表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标，z表示垂直坐标。

例如，点(2,3,4)表示图形在x轴上向右移动2个单位，y轴上向上移动3个单位，z轴上向前移动4个单位。

在三维空间中，图形的位置可以通过平移、旋转、缩放和投影等来改变。

平移、旋转和缩放的概念与二维空间中类似。

投影是指将三维图形映射到二维平面上，例如将一个立方体投影到一个平面上的正方形。

投影可以改变图形的形状和大小，但保持图形的位置关系不变。

图形的位置不仅在数学和物理学中有应用，还在计算机图形学、地图制作、建筑设计、游戏开发等领域中起着重要的作用。

在计算机图形学中，图形的位置是通过坐标系统来描述的，可以通过编程语言和图形库来实现图形的平移、旋转和缩放等操作。

在地图制作和建筑设计中，图形的位置描述地理位置和建筑物的位置关系，用于导航和规划。

五 与圆有关的比例线段庖丁巧解牛知识·巧学一、相交弦定理1。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2。

定理的证明：如图2-5—2,已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于圆内的一点P 。

图2—5-2求证:PA·PB=PC·PD.证明：连结AC 、BD ，则由圆周角定理有∠B=∠C,又∵∠BPD=∠CPA，∴△APC∽△DPB.∴PA∶PD=PC∶PB，即PA·PB=PC·PD.当然，连结AD 、BC 也能利用同样道理，证得同样结论。

3。

由于在问题的证明中，⊙O 的弦AB 、CD 是任意的，因此,PA·PB=PC·PD 成立,表明“过圆内一定点P 的弦,被P 点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点P 的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点P 的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值。

图2-5-3如图2—5-3(1），考察动弦AB ，若AB 过⊙O 的圆心O ，则AB 为过点P 的最长的弦,设⊙O 的半径为R ，则PA·PB=（R+OP ）(R —OP ）。

如图2-5—3（2）,考察过点P 的弦中最短的弦，AB 为过⊙O 内一点P 的直径,CD 为过点P 且垂直于AB 的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理,应有PA·PB=PC·PD=（21CD)2=OC 2—OP 2= R 2-OP 2。

由于⊙O 是定圆，P 为⊙O 内一定点，故⊙O 的半径R 与OP 的长为定值.设OP=d,比较上述两式，其结论是一致的，即PA·PB=（R+d ）（R-d ）=R 2-d 2，为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点P 的位置有关,对圆内不同的点P,一般来说,定值是不同的，即这个定值是相对于定点P 与定圆O 而言的。

学必求其心得，业必贵于专精
二圆内接四边形的性质与判定定理
一览众山小
学习目标
1。

了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质与判定定理，会运用圆的内接四边形的性质与判定定理证明和计算一些问题.
2。

通过圆内接四边形的判定定理掌握反证法证题的思路和一般步骤.
3。

在探究圆内接四边形的判定定理的过程中，体会数学证明方法的多样性。

学法指导
首先复习圆内接三角形的知识，再利用几何图形，类比圆内接三角形探究圆内接四边形的性质;对于圆内接四边形的判定定理,要结合点与圆的位置关系,分类加以研究，所采用的方法称为反证法，理解反证法证题的思路和一般步骤，即先假设结论不成立，再推导出矛盾,从而肯定原结论。

诱学导入
材料:如图2—2-1，在⊙Ｏ中，A、B、C、D都在同一个圆上,
图2—2—1
问题：①指出图中圆内接四边形的外角有几个？
②∠DCH的内对角是哪些角，∠DBG呢？
③与∠DEA互补的角是哪个角?
④∠ECB+（）=180°.
导入：观察图形发现结论。

1。

图形的位置关系与坐标点的认识与运用在我们的日常生活中，图形无处不在。

无论是建筑物的设计，还是电子设备的操作界面，图形都起着重要的作用。

而要准确地描述和运用图形，我们就需要了解图形的位置关系和坐标点的认识与运用。

一、图形的位置关系图形的位置关系指的是图形之间的相对位置。

常见的图形位置关系有平行、垂直、重合、相交等。

首先，平行是指两个或多个图形的边或面在同一平面上，并且永远不会相交。

例如，两条平行线永远不会相交，两个平行四边形的对边也是平行的。

其次，垂直是指两个或多个图形的边或面相互成直角。

例如，直角三角形的两条直角边是垂直的，垂直线和水平线也是互相垂直的。

此外，重合是指两个或多个图形完全重合，形状和大小都一样。

例如，两个重合的正方形在视觉上无法区分。

最后，相交是指两个或多个图形的边或面有交点。

例如，两条相交的直线会在交点处相交，两个相交的圆形会有两个交点。

了解图形的位置关系对于准确描述和运用图形非常重要。

它不仅帮助我们理解图形之间的关系，还可以用于解决实际问题，如建筑设计、地图导航等。

二、坐标点的认识与运用坐标点是指在一个坐标系中确定一个点的位置。

常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系是由两个垂直的坐标轴组成的。

水平的坐标轴称为x轴，垂直的坐标轴称为y轴。

在直角坐标系中，每个点可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x 表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

极坐标系是由一个原点和一个极轴组成的。

极轴是从原点出发的射线，表示角度的方向。

在极坐标系中，每个点可以用一个有序数对(r, θ)来表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与极轴的夹角。

通过坐标点的认识与运用，我们可以准确地描述和定位一个点的位置。

在实际应用中，坐标点经常被用于表示地理位置、图形的顶点等。

三、图形的运用实例图形的位置关系和坐标点的认识与运用在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些图形运用的实例：1. 地图导航：地图上的道路和建筑物可以用图形来表示，通过了解图形的位置关系和坐标点的运用，我们可以准确地找到目的地，并规划最佳的行车路线。

图形的位置关系与判定图形的位置关系与判定是数学领域中一个重要的概念。

在几何学中，图形的位置关系指的是不同图形之间的相对位置，而图形的判定指的是判断一个图形是否满足某种特定的位置关系。

本文将介绍一些常见的图形位置关系及其判定方法。

一、图形的位置关系1. 平行关系平行关系是最基本的图形位置关系之一。

当两条直线或两个平面上的点、线或面互不相交，并且距离始终相等时，我们称它们为平行关系。

判定方法：对于平面上两条直线的判定，可以使用斜率来判断。

如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行的。

对于三维空间中的平行关系，可以利用向量的方法进行判断。

2. 垂直关系垂直关系是指两条直线、线段或两个平面互相垂直的位置关系。

在二维平面中，如果两条直线的斜率相乘等于-1，则可以判定它们垂直。

判定方法：在二维平面上，两条直线垂直的条件是斜率的乘积为-1。

在三维空间中，可以利用向量的方法计算两个平面的法向量，如果两个法向量垂直，则可以判定它们互相垂直。

3. 相交关系相交关系是指两个图形有公共点或线的位置关系。

在二维空间中，两条直线相交于一点，两条线段相交于一个点或线段，两个平面相交于一条直线。

判定方法：判断两条直线是否相交可以比较它们的斜率和截距。

如果斜率相等且截距不相等，则可以判定两条直线相交。

对于线段和平面的相交判定，常用的方法有直接比较坐标和向量运算。

二、图形的判定1. 同位角判定同位角是指两条平行直线被一条截线所切割，形成的对应角。

如果一条截线与两条平行直线的同位角相等，则可以判定这条直线与另一条直线平行。

判定方法：使用同位角定义，通过测量两个角是否相等来判断平行关系。

2. 内角和判定内角和是指一个图形内部的各个角度之和。

例如，正三角形的内角和是180度。

通过计算图形的内角和，可以判断该图形是否是某个特定图形的角。

判定方法：根据各种图形的内角和公式，计算图形的内角和与特定图形的内角和进行比较，如果相等，则可以判定该图形是特定图形的角。

图形的位置关系与判定图形是数学中的重要内容之一，它们不仅具有美感，还能帮助我们理解和应用各种数学概念。

在数学学习中，了解图形的位置关系和判定方法是非常重要的，它能帮助我们解决各种实际问题。

本文将从几何图形的位置关系和判定方法两个方面进行论述。

一、几何图形的位置关系1. 直线与平面的位置关系在平面上，直线与平面可以有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

当直线在平面内时，我们可以通过判断直线上的两个点是否在平面上来确定；当直线与平面相交时，我们可以通过判断直线上的一个点是否在平面上来确定；当直线与平面平行时，我们可以通过判断直线上的一个点是否在平面上，并且直线与平面的法向量是否平行来确定。

2. 点与直线的位置关系在平面上，点与直线可以有三种位置关系：点在线上、点在直线外部、点在直线上。

当点在线上时，我们可以通过判断点的坐标是否满足直线的方程来确定；当点在直线外部时，我们可以通过判断点到直线的距离是否为0来确定；当点在直线上时，我们可以通过判断点的坐标是否满足直线的方程，并且点到直线的距离是否为0来确定。

3. 线段与直线的位置关系在平面上，线段与直线可以有三种位置关系：线段在直线上、线段与直线相交、线段与直线平行。

当线段在直线上时，我们可以通过判断线段的两个端点是否在直线上来确定；当线段与直线相交时，我们可以通过判断线段的一个端点是否在直线上来确定；当线段与直线平行时，我们可以通过判断线段的一个端点是否在直线上，并且线段的方向向量与直线的法向量是否平行来确定。

二、几何图形的判定方法1. 判断平行线在平面上，我们可以通过两条直线的斜率是否相等来判断它们是否平行。

如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。

2. 判断垂直线在平面上，我们可以通过两条直线的斜率的乘积是否为-1来判断它们是否垂直。

如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直线。

3. 判断三角形的形状在平面上，我们可以通过三角形的边长关系来判断它的形状。

中考数学重难点专题讲座第二讲图形位置关系【前言】在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

综合整个2018一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。

这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。

由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。

所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。

从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。

一模尚且如此,中考也不会差的太远。

至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。

第一部分真题精讲【例1】(2018，丰台，一模)已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tan C=12，求⊙O的直径．A【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。

对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。

所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。

至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。

利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。

2012二轮专题四：立体几何第二讲点、直线、平面之间的位置关系【考纲透析】1．理解空间直线\平面位置关系的定义。

2．了解可以作为推理依据的公理和定理。

3．认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

4．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【要点突破】要点考向1：线线、线面的位置关系考情聚焦：1．空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系是最基本的关系，是高考中重点考查的内容，几乎年年都考。

2．题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系。

3．三种题型均可出现，属较容易或中档题。

考向链接：1．解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线在平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。

2．证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。

3．证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质4．证明线面垂直的方法有：（1）定义；（2）判定定理；例1：（2010·天津高考文科·Ｔ１9）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD ＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。

【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。

【思路点拨】（1）∠CED即为异面直线CE与AF所成角；（2）证明CD垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。

【规范解答】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故CED为异面直线CE与AF所成的角.因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD.故ED ⊥CD.在Rt △CDE 中，CD=1，ED=，故cos CED ∠=E D C E=3.所以异面直线CE 和AF 3.(Ⅱ)证明：过点B 作BG//CD,交AD 于点G ，则45BG A C D A ∠=∠=.由45BAD ∠=,可得BG ⊥AB,从而CD ⊥AB,又CD ⊥FA,FA ⋂AB=A,所以CD ⊥平面ABF.(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得G 为AD 的中点.取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则GNM ∠为二面角B-EF-A 的平面角。

图形与位置课件ppt xx年xx月xx日•图形与位置的基本概念•图形与位置的表示方法•图形与位置的变换•图形与位置的算法目•图形与位置的优化•图形与位置的实践应用录01图形与位置的基本概念图形在数学中，图形是由点、线、面等元素组成的形状或图案。

位置描述一个物体或对象在空间中的坐标和方向。

什么是图形与位置？图形可以表达位置关系通过图形的形状、大小和位置，可以直观地表达空间中物体或对象的位置关系。

位置可以描述图形的相对关系通过描述两个图形之间的相对位置和距离，可以描述它们之间的空间关系。

图形与位置的关系1图形与位置的应用场景23利用图形和位置信息，地图应用程序可以提供路线规划和导航服务。

地图导航建筑师使用图形和位置信息来规划和设计建筑物和城市。

建筑规划游戏开发者使用图形和位置信息来创建游戏场景和角色定位。

游戏开发02图形与位置的表示方法以直角坐标系为基础，将平面分割成四个象限，每个象限内有一个正数和一个负数。

笛卡尔坐标系定义使用三个字母的坐标表示，例如A(3,4)表示一个点在第一象限的坐标为(3,4)。

坐标表示常用于平面图形和空间几何的研究。

应用坐标表示使用两个字母的坐标表示，例如B(60°,4)。

定义以极点为中心，将平面分割成两个半平面，每个半平面上有一个正数和一个负数。

应用常用于研究曲线和曲面的形状和性质。

极坐标系以球心为中心，将空间分割成若干个球面，每个球面上有一个正数和一个负数。

定义坐标表示应用使用四个字母的坐标表示，例如C(r, θ, φ)。

常用于研究三维图形和空间几何的性质。

03球坐标系020103图形与位置的变换03分类根据移动的方向和距离，平移变换可分为水平平移、垂直平移和旋转平移。

平移变换01定义平移变换是指将图形沿着指定的方向和距离移动，使得移动后的图形和原图形在位置上完全重合。

02性质平移变换不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。

旋转变换性质旋转变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的方向和位置。

图形的位置关系与方程求解在数学中，图形的位置关系与方程求解是两个重要的概念。

图形的位置关系是指图形之间的相对位置，而方程求解则是通过数学方程来找到未知数的值。

这两个概念在数学中有着广泛的应用，无论是几何学还是代数学都离不开它们。

首先，让我们来探讨图形的位置关系。

在几何学中，图形的位置关系可以分为几种基本类型，如相交、平行、垂直等。

相交是指两个图形在某一点或某些点上有交集，而平行则是指两个图形的边或面永远不会相交。

垂直则是指两个图形的边或面相互正交，形成一个直角。

图形的位置关系可以通过几何定理和性质来判断。

例如，两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率互为相反数。

通过这些定理和性质，我们可以在解题过程中判断图形的位置关系，从而得出正确的结论。

接下来，让我们转向方程求解。

方程求解是代数学中的一个重要概念，它可以帮助我们找到未知数的值。

方程是一个等式，其中包含未知数和已知数。

通过对方程进行变形和运算，我们可以得到未知数的具体值。

方程求解的过程通常涉及到代数运算和逻辑推理。

我们可以通过加减乘除、代入和消元等方法来解方程。

在解方程的过程中，我们需要注意运算的顺序和逻辑的合理性，以确保求解的正确性。

方程求解在数学中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以通过方程求解来计算物体的运动轨迹和速度；在经济学中，我们可以通过方程求解来计算市场的供求平衡和价格变动；在工程学中，我们可以通过方程求解来设计和优化各种工程问题。

图形的位置关系与方程求解在数学中是密切相关的。

通过方程求解，我们可以得到图形的各个点的坐标，从而判断它们之间的位置关系。

例如，在平面几何中，我们可以通过方程求解来计算直线与圆的交点，从而判断它们的位置关系；在空间几何中，我们可以通过方程求解来计算两个平面的交线，从而判断它们的位置关系。

综上所述，图形的位置关系与方程求解是数学中的两个重要概念。

它们在数学的各个领域中都有着广泛的应用。