椭圆方程的基本性质及其应用

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

椭圆的性质与方程椭圆是一种几何图形，它有着独特的性质和方程。

本文将探讨椭圆的定义、性质以及其对应的方程。

一、椭圆的定义和性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个定点称为焦点，它们之间的距离称为焦距，而常数称为椭圆的半短轴，用字母b表示。

与焦点和半短轴相关的数学性质包括：1. 椭圆的长轴为两个焦点之间的距离，用字母2a表示。

则椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c为焦距。

2. 椭圆的离心率e小于1，且大于0。

这意味着椭圆是一个有限的闭合曲线，焦点不在其内部。

3. 椭圆的两个焦点和两个顶点在同一直线上，且椭圆具有对称性，即关于长轴和短轴均具有对称性。

4. 椭圆的形状由半长轴a和半短轴b的比值所决定，这个比值称为椭圆的离心率。

离心率越接近于零，椭圆的形状越接近于圆。

二、椭圆的方程椭圆的方程可以通过几种不同的形式来表示，其中最常见的是标准方程和一般方程。

1. 标准方程标准方程是指椭圆的焦点在坐标系的原点上的方程。

标准方程的一般形式为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

其中a是半长轴的长度，b是半短轴的长度。

2. 一般方程一般方程是指椭圆的焦点不在原点上的方程。

一般方程的一般形式为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。

其中(h,k)为焦点的坐标。

三、椭圆的应用椭圆在现实生活中有着广泛的应用。

以下列举了一些椭圆的应用场景：1. 天体轨道：行星、卫星等天体的轨道可以用椭圆来描述。

2. 镜面反射：椭圆形镜面可以将光线聚焦到一个焦点上，因此椭圆在望远镜、抛物线反射镜等光学设备中得到应用。

3. 运动轨迹：许多物体的运动轨迹都可以近似看作是椭圆形，例如行走的人、运动的车辆等。

4. 地理测量：人工建造的运动场地、奥运会场馆等往往使用椭圆形，在地理测量中定位和测量也会用到椭圆。

结论椭圆具有独特的性质和方程，通过焦点和半轴的定义可以描述椭圆的形状和大小。

椭圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，我们可以根据实际情况选择适合的形式。

第一节椭圆的方程及性质复习目标学法指导1.椭圆及其标准方程.(1)椭圆的定义.(2)椭圆的标准方程.(3)椭圆的焦点、焦距的概念.2.椭圆的简单几何性质.(1)椭圆的简单几何性质.(2)有关椭圆的计算证明.3.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法. 1.注重掌握椭圆的形成过程,注重掌握其形成过程中椭圆上的点所满足的几何条件.2.利用曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一.一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.1.概念理解(1)|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c⇒动点M轨迹为椭圆.(2)|MF 1|+|MF 2|=2a=|F 1F 2|=2c ⇒动点M 轨迹为线段. (3)|MF 1|+|MF 2|=2a<|F 1F 2|=2c ⇒动点M 轨迹不存在. 2.相关结论 焦点三角形:以椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(-c,0),F 2(c,0)为顶点的三角形PF 1F 2称为焦点三角形. ①焦点三角形PF 1F 2的周长|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=2a+2c.②焦点三角形PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|sin α(其中α=∠F 1PF 2). ③|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2. 二、椭圆的标准方程及其简单几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准 方程22x a +22y b =1(a>b>0)22y a +22x b =1(a>b>0)图形范围 |x|≤a;|y|≤b |x|≤b;|y|≤a 对称性曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0,±b)长轴顶点(0,±a)短轴顶点(±b,0)轴长轴长2a,短轴长2b焦点 (±c,0)(0,±c)焦距 |F 1F 2|=2c离心率 e=c a ∈(0,1)a,b,c的关系c 2=a 2-b 21.概念理解(1)给出椭圆的标准方程,可根据x 2,y 2项分母的大小确定a 2和b 2的值及焦点的位置,平方项中分母大的为a 2,并且焦点所在的坐标轴名称与该项变量相同,即焦点在长轴上,如23x +24y =1中,y 2项的分母大,所以a 2=4,b 2=3,且焦点在y 轴上.(2)椭圆中a 2,b 2与c 2的关系b 2=a 2-c 2是椭圆固有的性质,不会因椭圆的位置变化而变化. (3)椭圆的离心率e 反映椭圆的扁平程度,e ∈(0,1),e=ca21b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭变形为b a21e -这四个量之间的关系要记准,解题中经常用到.(4)焦点在y 轴上的方程及所有性质,都是焦点在x 轴上的内容中的x,y 互换得到的.2.与椭圆的方程及几何性质相关的结论 (1)点M(x 0,y 0)与22x a +22y b =1的关系:点M 在椭圆上:202x a +202y b =1, 点M 在椭圆内:202x a+202y b<1,点M 在椭圆外:202xa +202y b >1.(2)共焦点的椭圆方程的设法:22x a k -+22y b k -=1,其中a 2>b 2>k.(3)共离心率的椭圆方程的设法:22x a +22y b =k, 其中k>0.1.已知方程25x m-+23y m +=1表示椭圆,则m 的取值范围为( D )(A)(-3,5) (B)(-3,1) (C)(1,5) (D)(-3,1)∪(1,5)解析:方程表示椭圆的条件为50,30,53,m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩解得m ∈(-3,1)∪(1,5).故选D.2.椭圆210x m-+22y m -=1的焦距为4,则m 等于( C )(A)4 (B)8 (C)4或8 (D)12解析:当焦点在x 轴上时,10-m>m-2>0, 10-m-(m-2)=4,所以m=4.当焦点在y 轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4, 所以m=8.所以m=4或8.故选C.3.(2019·北京卷)已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为12,则( B )(A)a 2=2b 2 (B)3a 2=4b 2 (C)a=2b (D)3a=4b解析:因为椭圆的离心率e=c a =12,所以a 2=4c 2. 又a 2=b 2+c 2,所以3a 2=4b 2.故选B.4.椭圆225x +29y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l 过(0,5)与椭圆交于A,B,则△ABF 2周长的最大值为 . 解析:△ABF 2周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2|≤|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a=20. 答案:205.椭圆24x +29y =1的左、右顶点分别为A,B,P 是椭圆上异于A,B 的一点,设PA,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2= . 解析:设P(x,y), 则k 1k 2=2yx +·2y x -=224y x -=2249y y -=-94. 答案:-94考点一 椭圆的定义及应用[例1] (1)已知动圆M 过定点A(-3,0)并且与定圆B:(x-3)2+y 2=64相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )(A)216x +27y =1 (B)27x +216y =1 (C)216x -27y =1 (D)27x -216y =1(2)以A(-1,0),B(1,0)为焦点,经过x-y+3=0上一点的椭圆中,长轴最短的椭圆方程为 . 解析:(1)因为点A 在圆B 内, 所以过点A 的圆与圆B 只能内切, 因为B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8>|AB|, 所以动点M 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆,设其方程为22x a +22y b =1,得a=4,c=3,b 2=7,所以方程为216x+27y =1.故选A.解析:(2)A(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为A ′(-3,2), 2a=|PA|+|PB|=|PA ′|+|PB|≥|A ′B|=25,所以长轴最短为25,此时椭圆方程为25x +24y =1.答案:(1)A 答案:(2)25x +24y =1椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的离心率等. 考点二 求椭圆的标准方程 [例2] (1)求过点35且与椭圆225y +29x =1有相同焦点的椭圆的标准方程;(2)椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率3且过点(2,1),求椭圆方程. 解:(1)法一 椭圆225y +29x =1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知, ()()223054-+-+()()223054-+--解得5由c 2=a 2-b 2可得b 2=4.所以所求椭圆的标准方程为220y+24x =1.法二 设所求椭圆方程为225y k -+29x k-=1(k<9), 将点(3,-5)的坐标代入可得()2525k --+()239k -=1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为220y +24x =1.解:(2)因为e=3,所以a=2b.当焦点在x 轴上时,设椭圆方程为24x +21y =b 2,(2,1)代入得b 2=2,此时标准方程为28x +22y =1.当焦点在y 轴上时,设椭圆方程为24y +21x =b 2,(2,1)代入得b 2=174,此时标准方程为217y +2417x =1.(1)求椭圆标准方程,常用待定系数法,解题时常依据条件确定焦点所在坐标轴,设出椭圆标准方程,建立关于a,b 的等量关系式,因椭圆标准方程中有两个未知量,所以需建立两个等量关系式进行求解,这一过程概括为“先定式,后定量”.(2)对于共焦点的椭圆方程问题,既可以利用定义法根据已知的焦距求解,也可以利用待定系数法把与椭圆22x m +22y n =1(m 2≠n 2)共焦点的椭圆设为22x m k-+22y n k-=1(k<m 2,k<n 2)来求解.(3)对于已知椭圆离心率求方程的问题,可以用c 来表示a,b,从而设出方程,利用待定系数法求解.若所求椭圆与椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)有相同的离心率,则可设为22x a +22y b =k 1(k 1>0,焦点在x 轴上)或22y a +22x b =k 2(k 2>0,焦点在y 轴上).(4)把题目中关于直线、曲线的相互位置关系、等量关系转化为关于a,b,c,e 的等量关系,结合b 2=a 2-c 2,e=c a这些等量关系,求得a,b 的值,是求椭圆方程的一般思路.1.如图,已知椭圆C 的中心为原点O,F(-25,0)为C 的左焦点,P 为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C 的方程为( B )(A)225x +25y =1 (B)236x +216y =1 (C)230x +210y =1(D)245x +225y =1解析:设椭圆的标准方程为22x a +22yb =1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F ′,连接PF ′,如图所示. 因为5为C 的左焦点,所以5由|OP|=|OF|=|OF ′|知,∠FPF ′=90°, 即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中,由勾股定理, 得|PF ′22||||FF PF '-()22454-由椭圆定义,得|PF|+|PF ′|=2a=4+8=12, 所以a=6,a 2=36, 于是b 2=a 2-c 25)2=16,所以椭圆C 的方程为236x +216y=1.故选B.2.设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+22y b =1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2⊥x 轴,求椭圆E 的方程. 解:设F 1(-c,0),F 2(c,0),依据题意可得 a 2-b 2=1-b 2=c 2, 所以b 2=1-c 2. 因为AF 2⊥x 轴,所以将x=c 代入椭圆E 的方程,得 |AF 22,所以A(c,±b 2). 因为|AF 1|=3|F 1B|, 所以1AF =31F B .设B(x 0,y 0),根据椭圆的对称性不妨取A(c,b 2). 因为1AF =(-2c,-b 2),1F B =(x 0+c,y 0),所以(-2c,-b 2)=3(x 0+c,y 0), 所以()02023,3,c x c b y ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩解得0205,3,3c x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则B(-53c ,-23b ),代入椭圆E 的方程,得(-53c )2+2223b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1,所以2259c +219c -=1,解得c 2=13,所以b 2=1-c 2=23,所以椭圆E 的方程为x2+232y =1.考点三 椭圆的几何性质及应用[例3] (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1,F 2是椭圆C: 22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为3的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P= 120°,则C 的离心率为( )(A)23 (B)12 (C)13 (D)14(2)已知F 1,F 2是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且∠F 1PF 2=60°.若△F 1PF 2的面积为33,则b= .解析:(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上,如图所示, 设|F 1F 2|=2c,因为△PF 1F 2为等腰三角形, 且∠F 1F 2P=120°, 所以|PF 2|=|F 1F 2|=2c, 因为|OF 2|=c,所以点P 坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°), 即点3c),因为点P 在过点A 3的直线上,所以3c=3,解得c a=14,所以e=14,故选D.解析:(2)法一 设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2, 因为△F 1PF 2的面积为33,∠F 1PF 2=60°,所以12F PF S∆=12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2=3r 1r 2=33,所以r 1r 2=12.根据余弦定理,可得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=(|PF 1|+|PF 2|)2-3|PF 1||PF 2|, 即4c 2=4a 2-3r 1r 2,所以4b 2=3r 1r 2=36,解得b=3. 法二 因为12F PF S ∆=b 2tan 122F PF ∠=b 2tan 30°=3b 2=33,所以b=3. 答案:(1)D (2)3(1)与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系,深挖出它们之间的联系,求解自然就不难了. (2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方程:①求出a,c,代入公式e=ca ;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式,结合b 2=a 2-c 2转化为关于a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围).如图所示,已知F 1,F 2是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q,且点Q 为线段PF 2的中点,则椭圆C 的离心率为 .解析:连接OQ,PF 1(图略),则|OQ|=b,|PF 1|=2b, |PF 2|=2|QF 222c b -,由|PF 1|+|PF 2|=2a, 可知22c b -=2a,化简可得221e -21e -+,解得5.答案5考点四 易错辨析[例4] (1)设e 是椭圆24x +2y k=1的离心率,且e ∈(12,1),则实数k 的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(3,163) (C)(0,3)∪(163,+∞) (D)(0,2) (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别4525过P 作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.(1)解析:当4>k>0时,e=ca ∈(12,1),即12<1⇒1<4-k<4,即0<k<3;当4<k 时,e=ca ∈(12,1), 即14<4k k -<1⇒14<1-4k <1⇒34>4k >0⇒k>163. 故选C. (2)解:法一设椭圆的标准方程是22x a +22y b =1(a>b>0)或22y a +22x b =1(a>b>0),两个焦点分别为F 1,F 2.由题意知2a=|PF1|+|PF 2所以在方程22x a +22y b =1(a>b>0)中,令x=±c,得|y|=2b a . 在方程22y a +22x b =1(a>b>0)中,令y=±c,得|x|=2b a.依题意得2b a 2=103. 即椭圆的方程为25x +2310y =1或25y +2310x=1. 法二 设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,且|PF 1,|PF 2,则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF 2所以由|PF 1|>|PF 2|知,PF 2垂直于长轴. 故在Rt △PF 2F 1中,4c 2=|PF 1|2-|PF 2|2=203, 所以c 2=53,b 2=a 2-c 2=103,故椭圆的方程为25x +2310y =1或25y +2310x=1. 涉及含参数的椭圆标准方程,需要考虑x 2,y 2项的分母的大小,以确定焦点所在坐标轴,常见错误是只考虑一种情况忽略另一种情况.温馨提醒:(1)涉及椭圆标准方程问题,需考虑“定式”与“定量”两个方面.定式即确定焦点所在的坐标轴,它决定x 2与y 2项分母的大小,定量是利用已知条件求a 2,b 2的值.(2)牢记“先定式,后定量”这一处理问题的顺序.1.在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆24y +23x =1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:因为椭圆方程为24y +23x =1,所以焦点坐标为B(0,-1)和B ′(0,1), 连接PB ′,AB ′,根据椭圆的定义, 得|PB|+|PB ′|=2a=4, 可得|PB|=4-|PB ′|,因此|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB ′|) =4+(|PA|-|PB ′|).因为|PA|-|PB ′|≤|AB ′|, 所以|PA|+|PB|≤4+|AB ′|=4+1=5.当且仅当点P 在AB ′延长线上时,等号成立. 综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.2.长轴长为6,焦距为4的椭圆的标准方程为 . 解析:因为2a=6,2c=4,所以a=3,c=2. b 2=a 2-c 2=9-4=5,所以椭圆的标准方程为29x +25y =1或25x +29y =1. 答案:29x +25y =1或25x +29y =1类型一 椭圆的定义及应用1.若椭圆C:29x +22y =1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且|PF 1|=4,则∠F 1PF 2等于( C )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 解析:由题意知7所以|PF 2|=2,在△F 2PF 1中,由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=()2224227242+-⨯⨯=-12,又因为∠F 1PF 2∈(0°,180°), 所以∠F 1PF 2=120°.故选C. 2.设F 1,F 2是椭圆249x +224y =1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积为( C ) (A)30 (B)25 (C)24 (D)40解析:因为|PF 1|+|PF 2|=14,|PF 1|∶|PF 2|=4∶3, 所以|PF 1|=8,|PF 2|=6,又因为|F 1F 2|=10,所以PF 1⊥PF 2;12PF F S =12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.故选C.3.已知椭圆C:29x +24y =1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A,B,线段MN 的中点在C 上,则|AN|+|BN|= .解析:由椭圆C:29x +24y =1,得a=3.设MN 的中点为P,椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2,连接PF 1,PF 2.①当点A,B 都不在直线MN 上时, 因为F 1,F 2分别是AM,BM 的中点,所以PF 1,PF 2分别是△AMN,△MNB 的中位线, 所以|AN|=2|PF 1|,|BN|=2|PF 2|,所以|AN|+|BN|=2|PF 1|+2|PF 2|=2(|PF 1|+|PF 2|)=4a=12.②当点A,B 中有一点在直线MN 上时,同理可得|AN|+|BN|=12. 答案:124.椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上一点,过F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为M,则M 的轨迹方程为 . 解析:延长F 2M 交F 1P 延长线于Q, 则|PQ|=|PF 2|,所以M 为F 2Q 的中点. 所以|OM|=12|F 1Q|=a,所以M 的轨迹方程为x 2+y 2=a 2. 答案:x 2+y 2=a 2类型二 求椭圆的标准方程5.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A,B 两点,且|AB|=3,则C 的方程为( C ) (A)22x +y 2=1 (B)23x +22y =1 (C)24x +23y =1 (D)25x +24y =1解析:设椭圆的方程为22x a +22y b =1(a>b>0), 由题意知2b a =32, 又c 2=a 2-b 2=1,解得a=2或a=-12(舍去),b 2=3, 故椭圆的方程为24x +23y =1.故选C.6.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( B )(A)22x +y 2=1 (B)23x +22y =1 (C)24x +23y =1 (D)25x +24y =1解析:不妨设|F 2B|=m,故|F 1B|=|AB|=|AF 2|+|F 2B|=3|F 2B|=3m. 由椭圆定义得|F 1B|+|F 2B|=2a=4m,故|F2B|=12a,|BF1|=32a,|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a.在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得:2222122222141cos,22194244cos.1222a c aAF Fa c aa c a aBF Faa c⎧+-∠==⎪⨯⨯⎪⎪⎨+--⎪∠==⎪⨯⨯⎪⎩由二角互补可得22aa-=-1a,解得a2=3,故b2=2,方程为23x+22y=1.故选B.7.已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F2,点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点.若△PF2Q的周长为4,则椭圆C的方程为.解析:椭圆的离心率为12,则3设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以|PF2|2=(x1-c)2+21y=14(x1-4c)2,所以|PF2|=2c-12x1,连接OM,OP,由相切条件知:|PM|2=|OP|2-|OM|2=21x+21y-3c2=2114x,所以|PM|=12x1,所以|PF2|+|PM|=2c,同理可求|QF 2|+|QM|=2c, 所以|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c. 因为△PF 2Q 的周长为4, 所以c=1, 所以所以椭圆C 的方程为24x +23y =1. 答案:24x +23y =1类型三 椭圆的几何性质8.已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆上,1AF ·12F F =0,∠F 1AF 2=45°,则椭圆的离心率e 等于( B )解析:由1AF ·12F F =0得AF 1⊥F 1F 2,又∠F 1AF 2=45°, 所以|AF 1|=|F 1F 2|, 即2b a =2c,整理得c 2+2ac-a 2=0, 所以e 2故选B.9.椭圆216x+24y =1上有两点P,Q,O 为坐标原点,若OP,OQ 斜率之积为-14,则|OP|2+|OQ|2等于( C ) (A)4 (B)64 (C)20 (D)不确定 解析:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),所以1212y y x x =-14,即22122212yy x x=116,(*)因为椭圆方程为216x +24y =1,所以21y =4-214x ,22y =4-224x ,代入(*)式整理可得21x +22x =16,所以|OP|2+|OQ|2=21x +22x +21y +22y =20.故选C.10.如图,已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P是椭圆C 上一点,点M 在PF 1上,且满足1F M =2MP ,PO ⊥F 2M,O 为坐标原点,则椭圆C 的离心率的取值范围为 .解析:过点O 作ON ∥F 2M 交PF 1于点N,OP 与MF 2交于点Q, 因为O 为F 1F 2中点, 所以N 为MF 1的中点, 又1F M =2MP ,所以M 为PN 中点,进而有Q 为OP 的中点, 又因为PO ⊥F 2M, 所以OF 2=PF 2=c, 又a-c<PF 2<a+c, 所以a-c<c<a+c,即ca >12,所以离心率e∈(12,1).答案:(12,1)。

椭圆的标准方程及性质1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF=，0＜e ＜1的常数}.2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -=3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。

与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。

5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。

与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为 ，6：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=x y O F F PA AB 11121222M M K K7．性质：对于椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a⨯.半通径.3.最大角()12122max F PF F B F ∠=∠4.8.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔10.弦长公式11．对椭圆方程22221x ya b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ，θ为参数．12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：13对椭圆：12222=+b x a y ，则k AB =2020a xb y -．第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =-----精心整理，希望对您有所帮助!。

椭圆基本方程的知识点总结椭圆的知识点总结如下：椭圆的定义：椭圆是一个平面曲线，其定义为距离到两个固定点（焦点）的距离之和始终为常数的所有点的轨迹。

这两个固定点称为焦点，椭圆的长轴为连接两个焦点的线段的长度。

椭圆的长轴长度为2a，其中a为椭圆的长半轴。

椭圆的基本方程：椭圆的基本方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别为长半轴和短半轴的长度。

这个方程表示了椭圆上所有点的坐标满足该方程。

通过基本方程，我们可以求解椭圆的焦点、离心率等重要参数。

椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是使得距离之和等于常数2a的两个固定点，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。

离心率反映了椭圆的扁平程度，当离心率为0时，椭圆退化成为一个圆。

椭圆的性质：椭圆的性质包括长轴、短轴、焦点、离心率、焦距等各种几何关系。

椭圆的焦点和离心率是椭圆性质中的关键概念，通过这些属性我们可以求解椭圆上点的坐标、椭圆的面积、周长等重要参数。

椭圆的方程和几何表示：椭圆可以通过基本方程、参数方程、极坐标方程等形式来表示。

基本方程是最常用的形式，通过基本方程我们可以得到椭圆的相关参数。

椭圆也可以通过参数方程描述椭圆上各点的坐标，或者通过极坐标方程来描述椭圆的曲线。

椭圆的图形性质：椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上的图形可以反映椭圆的形状、大小和位置。

通过绘制椭圆的图形，我们可以直观地了解椭圆的形态和特征。

椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以描述椭圆上各点的坐标。

通过参数方程，我们可以得到椭圆上各点的坐标，并且可以通过参数方程来求解椭圆的长度、面积等参数。

椭圆的极坐标方程：椭圆的极坐标方程描述了椭圆的曲线在极坐标系下的形式。

通过极坐标方程，我们可以得到椭圆在极坐标系下的表示形式，并且可以通过极坐标方程求解椭圆的面积、周长等参数。

椭圆的应用：椭圆在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

比如在天文学中，行星绕太阳的轨道就是椭圆，椭圆还可以用来描述声波、光波等在介质中的传播等现象。