2011-2012学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期末数学复习总结试卷(文科)

2011-2012学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学复习试卷（导数及其应用）（文科）一、【课前练习】1．（2011•湖南）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）A． B．C．D．2．（2009•广东）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）3．（2006•安徽）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（）A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=04．（2010春•台州期末）函数f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最小值是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．45．（2005•东城区一模）设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（）A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）二、填空题6．（2006•湖南）曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．7．（2011秋•天心区校级期末）周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为．三、【随堂复习】8．（2011秋•天心区校级期末）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（1）求a、b的值，并写出切线l的方程；（2）求f（x）的单调区间与极值．9．（2011秋•天心区校级期末）已知两个函数f（x）=8x2+16x﹣k（k∈R），g（x）=2x3+5x2+4x （1）若∀x∈[﹣3，3]都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；（2）若∀x1，x2∈[﹣3，3]都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范围．10．（2005•黑龙江）已知a≥0，函数f（x）=（x2﹣2ax）e x．（Ⅰ）当x为何值时，f（x）取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设f（x）在[﹣1，1]上是单调函数，求a的取值范围．四、【课后作业】11．（2008•海南）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C．D．ln212．（2014•碑林区校级一模）曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）13．（2011春•温州校级期末）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N，则f2012（x）=（）A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx14．（2011秋•天心区校级期末）函数f（x）=ax3+（a﹣1）x2+48（a﹣2）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（）A．在[﹣4，4]上为增函数B．在[4，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣4]上为减函数C．在[﹣4，+∞）上为减函数D．在（﹣∞，﹣4]上为增函数，在[4，+∞）上也为增函数五、填空题（共4小题，每小题0分，满分0分）15．（2011秋•天心区校级期末）曲线y=x3在点（a，a3）（a≠0）处的切线与x轴、直线x=a 所围成三角形的面积为，则a=．16．（2012•庐阳区校级模拟）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．17．（2013春•江岸区校级期末）设函数f（x）=x3﹣3x+5，若关于x的方程f（x）=a至少有两个不同实根，则a的取值范围是．18．（2011秋•天心区校级期末）已知函数f（x）=在区间[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是．六、解答题19．（2011秋•天心区校级期末）已知函数f（x）=（x2+ax+b）e﹣x在x=1处取得极值．（1）求b的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．20．（2011秋•天心区校级期末）已知定义在R上的函数f（x）=x3+（a﹣4）x2+2（2﹣a）x+a的图象与y轴的交点和原点的距离小于或等于1．（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的区间，对任意的a的可能取值，函数f（x）在该区间上都是单调递增的？若存在，则求出这样的区间，若不存在，则说明理由．21．（2015春•东海县期末）已知函数f（x）=﹣x2+8x，g（x）=6lnx+m（1）求f（x）在x=1处的切线方程．（2）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2011-2012学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学复习试卷（导数及其应用）（文科）参考答案一、【课前练习】1．B 2．D 3．A 4．A 5．B二、填空题6．7．cm3三、【随堂复习】8．9．10．四、【课后作业】11．B 12．C 13．A 14．D五、填空题（共4小题，每小题0分，满分0分）15．±1 16．17．[3，7]18．a≥-1六、解答题19．20．21．。

湖南高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若,,则复数的模是（）A．2B．3C．4D．52.下列命题中的假命题是（）A．B．C．D．3.由确定的等差数列，当时，序号等于（）A．80B．100C．90D．884.函数的极值点的个数是( )A．2B．1C．0D．由a决定5.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠A=30°，,则（）A．B．C．D．6.若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和07.双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．8.在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K2的观测值k＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( ) A．99.9%B．95%C．90%D．0附表：k9.△ABC的两个顶点为A(-3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )A．(y≠0)B．(y≠0)C．(y≠0)D．(y≠0)二、填空题1.不等式的解集是 .2.把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是 .3.2014年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x(℃)171382由表中数据算出线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等腰直角三角形，则离心率e=________．5.在△ABC中，tanA是以－1为第三项，7为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，3为第六项的等比数列的公比，则________.三、解答题1.（本小题满分8分）要制作一个容积为16立方米，高为1米的无盖长方体容器，已知容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，问如何设计才能使该容器的总造价最低，最低总造价是多少元？2.（本小题满分9分）设命题方程表示双曲线，命题函数有两个不同的零点，如果“”为真，且“”为假，求的取值范围．3.（本小题满分10分）在△ABC中，分别是角A,B,C的对边．（１）求证：；（２）已知,求的值．4.（本小题满分10分）（1）已知数列中，，求数列的前项和；（2）已知是等比数列的前项和，且公比,成等差数列，求证：成等差数列．5.（本小题满分11分）已知函数，其中，且曲线在点的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间和极值．6.（本小题满分12分）如图，设为抛物线的焦点，是抛物线上一定点，其坐为 ,为线段的垂直平分线上一点，且点到抛物线的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ)过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB,分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值,求证：直线PA、PB的倾斜角互补．湖南高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若,,则复数的模是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】根据题意可知，所以有，故所给的复数的模该为5，故选D.【考点】复数相等，复数的模.2.下列命题中的假命题是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由1的对数等于0，所以A对，当角取时，正余弦和为1，所以B对，根据指数函数的性质，可知D对，当时，，故C错，所以假命题为C.【考点】判断命题的真假.3.由确定的等差数列，当时，序号等于（）A．80B．100C．90D．88【答案】C【解析】根据题意可知，，令，解得，故选C.【考点】等差数列.4.函数的极值点的个数是( )A．2B．1C．0D．由a决定【答案】C【解析】，此二次式的，故导数大于0恒成立，故函数是R上的增函数，故没有极值点，所以选C.【考点】判断函数的极值点的个数.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠A=30°，,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，三角形中,故三角形的面积，故选A.【考点】三角形的面积.6.若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和0【答案】B【解析】根据题意画出相应的可行域，从而得出在处取得最小值，在处取得最大值，所以最大值为4，最小值为2，故选B.【考点】线性规划.7.双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将双曲线的方程化为标准方程为，故，所以，故选B.【考点】双曲线的离心率.8.在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K2的观测值k＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( ) A．99.9%B．95%C．90%D．0附表：k【答案】A【解析】因为所求的，故可能性为，所以选A.【考点】独立性检验.9.△ABC的两个顶点为A(-3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )A．(y≠0)B．(y≠0)C．(y≠0)D．(y≠0)【答案】A【解析】根据题意，可知点C到A、B两点的距离之和为10，由椭圆的定义，可知轨迹方程为A.【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程.二、填空题1.不等式的解集是 .【答案】[1，2]【解析】根据题意，原不等式可化为，可以解得，所以不等式的解集为.【考点】解一元二次不等式.2.把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是 .【答案】28【解析】将第n个三角形数记为，依图可知，当时，，所以可以得，累加得，故第七个三角形数为.【考点】数列的递推公式.3.2014年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x(℃)171382由表中数据算出线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．【答案】46【解析】根据所给的数据，可知对应的均值点为，根据，可以得出对应的回归方程为＝-2x＋58，所以当时，，故下个月羽绒服的销售量约为46件.【考点】回归分析.4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等腰直角三角形，则离心率e=________．【答案】【解析】根据题意，可知，对于椭圆中，，所以，椭圆的离心率为.【考点】椭圆的离心率.5.在△ABC中，tanA是以－1为第三项，7为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，3为第六项的等比数列的公比，则________.【答案】【解析】根据题意可知对应的等差数列的公差为，对应的等比数列的公比，所以有，故，所以故.【考点】等差数列、等比数列的性质，两角和正切公式，诱导公式，已知三角函数值求角.三、解答题1.（本小题满分8分）要制作一个容积为16立方米，高为1米的无盖长方体容器，已知容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，问如何设计才能使该容器的总造价最低，最低总造价是多少元？【答案】480元【解析】首项根据题意，设出相应的变量，找出待求量与变量之间的等量关系，得出变量所满足的条件，根据题中的已知条件，应用两个正数的积为定值，和有最小值，注意基本不等式的条件.试题解析：由已知可得底面面积为平方米，设底面长为米，宽为米，总造价为元， 2分则, 4分因为，所以，当且仅当时取“=”， 6分所以应把此容器底面设计成边长为4米的正方形，才能使该容器的总造价最低，最低总造价为元。

2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）第一次模块数学试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）A ．-2+iB ．-2-iC ．2+iD ．2-i 1．（5分）设复数z 满足1+2i z=i ，则z =（ ）A ．2B ．3C ．7D ．82．（5分）设集合P ={x |∫0x （3t 2-10t +6）dt =0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是（ ）A ．若向量a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a =λbB ．已知向量a ，b ，为非零向量，则“a ，b 的夹角为钝角”的充要条件是“a ，b <0”C ．命题：若x 2=1，则x =1或x =-1，故当x ≥1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠-1，则x 2≠1D ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1<0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2-x +1>03．（5分）下列结论正确的是（ ）→→→→→→→→→→A ．36πB ．9πC ．92πD ．278π4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．27B ．81C ．243D ．7295．（5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n =4（a 1+a 3+…+a 2n -1），a 1a 2a 3=27，则a 6=（ ）A ．f （x ）的图象过点（0，12）B ．f （x ）的一个对称中心是（5π12，0）C ．f （x ）在[π12，2π3]上是减函数D ．将f （x ）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y =3sinωx 的图象6．（5分）设函数f （x ）=3sin （ωx +φ）（ω>0，-π2<φ<π2）的图象关于直线x =2π3对称，它的周期是π，则（ ）A ．（-4，2）B ．（-4，1）7．（5分）已知函数若x ,y 满足约束条件V Y W Y X x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2，目标函数z =ax +2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分）C ．（-∞，-4）∪（2，+∞）D ．（-∞，-4）∪（1，+∞）A ．0B ．1C ．2D ．38．（5分）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =22，则下列结论中错误的个数是（ ）（1）AC ⊥BE ．（2）若P 为AA 1上的一点，则P 到平面BEF 的距离为22． （3）三棱锥A -BEF 的体积为定值．（4）在空间与DD 1，AC ，B 1C 1都相交的直线有无数条．（5）过CC 1的中点与直线AC 1所成角为40°并且与平面BEF 所成角为50°的直线有2条．√√A ．52B ．4C ．92D ．99．（5分）已知椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1（a 1>b 1>0）与双曲线C 2：x 2a 22-y 2b 22=1（a 2>0，b 2>0）有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2又分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 12+e 22的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．（5分）已知f （x ）=1+lnx x −1，g （x ）=k x（k ∈N *），对任意的c >1，存在实数a ,b 满足0<a <b <c ,使得f （c ）=f （a ）=g （b ），则k 的最大值为（ ）11．（5分）向量a 与b 的夹角为60°，若a =（0，2），|b |=1，则|a +2b |= ．→→→→→→12．（5分）已知tanβ=43，sin （α+β）=513，且α，β∈（0，π），则sinα的值为 ．13．（5分）设正数a ,b ,c 满足1a +4b +9c ≤36a +b +c ，则2b +3c a +b +c = ．14．（5分）已知两个正数a ,b ,可按规则c =ab +a +b 扩充为一个新数c ,在a ,b ,c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p >q >0，经过6次操作后扩充所得的数为（q +1）m （p +1）n -1（m ,n 为正整数），则m +n 的值为 ．15．（5分）如图，圆O 的直径AB =8，C 为圆周上一点，BC =4，过C 作圆的切线l ,过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．16．直线l 的参数方程是V Y Y Y W Y Y Y X x =22t y =22t +42（其中t 为参数），圆c 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+π4），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 ．√√√N依次是A|。

【精品文档，百度专属】2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（）A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2bC．若2a≤2b，则a≤b D．若2a≤2b，则a＞b2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±2，0）D．（0，±2）4．（5分）甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln26．（5分）如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，867．（5分）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．29．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…８），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3 12．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形13．（5分）若命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0）B．（﹣8，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0）14．（5分）设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）?g （x）﹣f（x）?g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）?g（x）＞f（b）?g（b）B．f（x）?g（a）＞f（a）?g（x）C．f（x）?g（b）＞f（b）?g（x）D．f（x）?g（x）＞f（a）?g（a）15．（5分）已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）已知i是虚数单位，则=．17．（3分）对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图程序框图所示，则3?2=．18．（3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为．19．（3分）曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）=．20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极．点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2（1）将C测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．22．（8分）设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．23．（8分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．25．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（）A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2bC．若2a≤2b，则a≤b D．若2a≤2b，则a＞b【解答】解：命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是“若2a≤2b，则a≤b”，故选：C．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±2，0）D．（0，±2）【解答】解：∵双曲线方程为∴双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：C．4．（5分）甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲获胜概率是1﹣故选：C．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．6．（5分）如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，86【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选：A．7．（5分）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦MN的长度超过R的概率是P=．故选：D．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．2【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选：D．9．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…８），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，∴=，=，∴样本中心点的坐标为（，），代入回归直线方程得，=×+a，∴a=．故选：B．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）【解答】解：设P（m，n），则∵点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9，∴点P到抛物线y2=8x准线x=﹣2的距离也为9，可得m+2=9，m=7∵点P（7，n）在抛物线y2=8x上∴n2=8×7=56，可得n=±2，因此，可得点P的坐标为（7，±2），故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，∴f′（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，2）内恒成立，即在（0，2）内恒成立，∵，∴a≥3，故选：A．12．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=4又|F1F2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．13．（5分）若命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0）B．（﹣8，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0）【解答】解：命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，令f（x）=ax2﹣ax﹣2，a=0时，f（x）=﹣2＜0成立．a≠0时，?x∈R，f（x）=ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，则，解得﹣8≤a＜0．综上可得：﹣8≤a≤0．故选：C．14．（5分）设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）?g （x）﹣f（x）?g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）?g（x）＞f（b）?g（b）B．f（x）?g（a）＞f（a）?g（x）C．f（x）?g（b）＞f（b）?g（x）D．f（x）?g（x）＞f（a）?g（a）【解答】解：令F（x）=，则F′（x）=＜0，x∈R．∴函数F（x）在（a，b）上单调递减．∴F（a）＞F（b），即＞，化为：f（x）g（b）＞f（b）g（x）．故选：A．15．（5分）已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D，，整理得：x2﹣6x+1=0，由韦达定理可知：x1+x2=6，x D==3，则y D=x D﹣1=3，∴线段AB的中点坐标为D（3，2）．直线y=x﹣1与双曲线的渐近线y=x联立，可得M（，），与双曲线的渐近线y=﹣x联立，可得N（，﹣），∴线段MN的中点坐标为（，），∵线段AB与MN的中点相同，∴=3，∴a=b，则e===故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）已知i是虚数单位，则=1+2i．【解答】解：=，故答案为：1+2i．17．（3分）对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图程序框图所示，则3?2=2．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3?2==2．故答案为：2．18．（3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为48．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）==个数，∴第n行从左向右的第3个数为+3=，把n=10代入可得第10行从左向右的第3个数为48故答案为：4819．（3分）曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）=．【解答】解：m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数共6×6=36，∵事件A表示焦点在x轴上的椭圆”∴m＞n，列举可得事件A包含（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共15个∴P（A）==，故答案为：20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e﹣1）．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极．点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2（1）将C测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），即，故（x﹣4）2+（y﹣5）2=25；，（2）∵直线l的极坐标方程为ρsinθ=2∴直线l的普通方程为y=2，由，解得或，故|AB|=8．22．（8分）设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由．解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）p是q的必要不充分条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．23．（8分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=．【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计453075每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间16560225超过4小时总计21090300结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故．（6分），即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是．所以时，x1x2+y1y2=0，故．（8分）当时，，．，而（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=，所以．（12分）25．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）令分母xe x+1=g（x），可得：g′（x）=e x（1+x），可得x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）=1﹣＞0．∴函数f（x）的定义域为R．f′（x）=，可得x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=0时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（0）=1．（2）当x＞0时，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）e x﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．则h′（x）=ax（x﹣）e x．①a≥时，h′（x）=ax2e x＞0，函数h（x）在x＞0时单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，满足条件．②0＜a＜时，函数h（x）在x=处取得极小值即最小值，x∈时单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，不满足条件，舍去．综上可得：正实数a的取值范围是．Baiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiu Baiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuiBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuduBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu adiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu赠送—高中数学知识点【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及在集合B中都有唯一确定的数()A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b ，满足a x b 的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb 的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足ax b ，或a x b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b 的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b ．注意：对于集合{|}x a xb 与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan yx 中，()2xkk Z ．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x 可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y xb y xc y ，则在()0a y 时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B．a Ab B．如果元素a和元素b对应，那么②给定一个集合A到集合B的映射，且,我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．。

1a = 3b = a a b =+ b a b =- PRINT a ，b长 郡 中 学 2009 年 下 学 期 期 终 考 试高 二 数 学（理）试 卷总分：100分 时量：120分钟一、选择题（每题3分，共45分） 1．x>2是24x >的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既充分又必要条件D. 既不充分又不必要条件 2．抛物线2x y =在点M （21，41）处的切线的倾斜角是（） A ．30°B ．45° C ．60° D ．90° 3．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,04．下列值等于1的是（ ） A ．⎰1xdx B ．⎰+1)1(dx x C ．⎰101dx D ．⎰121dx 5.若→a ＝（2,-3,1）,→b ＝(2,0,3)，→c ＝(0,2,2)，则→a •（→b ＋→c ）＝（ ） A. 4 B. 15 C. 7 D. 36．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ) A ．3.5 B ．-3 C ．3 D ．-0.57.在空间直角坐标系中，若向量a = ( -2,1,3 )，b = (1,-1,1 )，c = ( 1,-21,-23)则它们之间的关系是 ( )A.a ⊥b 且a //cB. a ⊥b 且a ⊥cC ．a //b 且a ⊥c D. a //b 且a //c8. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．)1(3)1(3-+-x x B ．2)1(2-x C ．)1(2-x D ．1-x 9．抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A.1617 B. 1615 C.87D. 010. 在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站一次只能停靠一辆汽车），有一位乘客在等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到此站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（ ） A.21 B.32 C.53 D.5211.有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9,┅，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1，第二组含两个数{}5,3，第三组含三个数{}11,9,7，第四组含四个数{}19,17,15,13，┅，经观察，可以猜想每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为（ ） A ．等于2n B.等于3n C.等于4n D.等于n n )1(+12. 已知(2,1,2),(2,2,1),a b =-=则以,a b 为邻边的平行四边形的面积为( )A B C ．4 D ．8 13.给出以下命题： ⑴若()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则0()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 14.已知双曲线12222=-by ax 的右焦点为F,若过点F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的X 围是 （ ） A . (]2,1 B.()2,1 C.[)+∞,2 D. ()+∞,2 15.内接于半径为R 的半圆且周长最大的矩形的边长为( ) A.2R 和23R B.54R 和57R C.5R 和516RD.55R 和554R二、填空题（每题3分，共15分）16.甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是 17. 三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设a AB =，b AC =，c AA =1，则NM 等于18. 已知函数x x y 33-=，则它的单调递增区间是19．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有：.222b ac +=设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是20. P 是双曲线116922=-y x 的右支上一动点，M 、N 分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最大值为三、解答题（每题8分，共40分） 21. （本小题满分8分）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方 程，并画出轨迹示意图。

绝密★启用前2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期第一次模块检测数学（文）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．要完成下列两项调查:（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A. (1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B. (1)用分层抽样法,(2)用系统袖样法C. (1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D. (1)(2)都用分层抽样法2．某校共有1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（）A. 700名B. 600名C. 630名D. 610名3．利用系统抽样从含有45个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的可能性是（）A. 145B. 29C. 14D. 与第几次被抽取有关4．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别A. 23与26B. 31与26C. 24与30D. 26与305．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A. 480B. 481C. 482D. 483将该班所有同学的考试分数分为七组：[100,104),[104,108),[108,112),[112,116),[116,120),[120,124),[124,128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112 分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A. 10B. 12C. 20D. 407．与第6题条件相同，家委会决定对班上的中位数以上的同学进行奖励，请问，如图所示的频率分布直方图中，理论上的中位数是（）A. 108.8B. 114C. 112D. 1168．数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A. 8B. 4C. 2D. 19．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”.其中属于互斥但不对立的亊件的有（）A. 0对B. 1对C. 2 对D. 3对10．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. 25B. 925C. 825D. 1511．命题“∃x∈R,sin x>1”的否定是（）A. ∃x∈R,sin x≤1B. ∀x∈R,sin x>1C. ∃x∈R,sin x=1D. ∀x∈R,sin x≤112．下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p:∃x∈R，使得x2+x−1<0，则¬p:∀x∈R，均有x2+x−1>0；②若p是q的必要不充分条件，则¬p是¬q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题；④“m=−1”是“直线l1:m x+(2m−1)y+1=0与直线l2:3x+m y+3=0垂直”的充要条件.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13．已知椭圆x28+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF2|=2，则cos∠F1PF2=（）A. 34B. 23C. 12D. 1314．已知A(2,1),B(1,−2),C(35,−15)，动点P(a,b)满足0≤O P⋅O A≤2,且0≤O P⋅O B≤2，1A. 1−5π64B. 5π64C. 1−π16D. π1615．已知直线y=k x+1，当k变化时，此直线被椭圆x24+y2=1截得的最大弦长是（）A. 4B. 2C. 433D. 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 16．已知命题“若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是__________．17．已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1 ⊥PF 2 .若ΔPF 1F 2的面积为9，则b =__________． 18．椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c .若直线y = 3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠M F 1F 2=2∠M F 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．19．椭圆x 24+y 2=1中，以点M (1,12)为中点的弦所在直线方程是__________．20．已知F 1是椭圆x 225+y 216=1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (−1,3)是一定点，则|P A |+|PF 1|的最大值是__________．三、解答题21．设:实数满足4a x +3a 2<0，q :实数x 满足|x −3|<1.（1）若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中a >0且¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．某电脑公司备6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表:（1）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（2）若第6名产品推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.参考公式：{b = (x i −x)(y i −y )n i =1 (x i −x )2n i =1= x i y i −nx⋅y n i =1 x i 2−n (x )2n i =1a =y−bx 23．已知圆M 过两点C (1,−1),D (−1,1),且圆心M 在x +y −2=0上.（1）求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ,P B 是圆M 的两条切线，A ,B 为切点，求四边形P A M B 面积的最小值.24．已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)经过点A (1, 32)，且离心率e = 32. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点B (−1,0)能否作出直线l ，使l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且以M N 为直径的圆经过坐标原点O？若存在,求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 25．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S N=−a N−(12)N−1+2(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式，并写出推理过程；(2)令c n=n+1n a N，T N=c1+c2+⋯+c N，试比较T N与5n2n+1的大小，并给出你的证明.参考答案1．C【解析】试题分析：（1）由于家庭收入差异较大，故（1）应该使用分层抽样（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，由于人数较少，故使用简单随机抽样，考点：抽样方法2．C【解析】试题分析：设样本中男生、女生各为x 、y 人，则{x +y =200x −y =10⇒{x =105y =95⇒该校男生共有105200×1200=630人，故选C.考点：分层抽样.3．B【解析】由题设就是求概率是多少.事实上从45个个体中抽取10个的概率是P =1045=29，故应选B.4．B【解析】试题分析：众数是出现次数最多的数，中位数是按大小顺序排列后位于中间的一个或两个的平均数考点：众数与中位数5．C【解析】试题分析：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32−07=25，则样本容量为50025＝20，则对应的号码数x =7+25（n −1），当n =20时，x 取得最大值为x =7+25×19=482，故选C .考点：系统抽样，样本容量、组距.6．A【解析】由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：(0.01+0.03+0.05)×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1)班总人教为：n =180.36=50，∵分数不低于120分的频率为：(0.03+0.02)×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人.故选A.7．C【解析】因为前三组的频率和为（0.01+0.03+0.05）×4=0.36<0.5 ，前四组的频率和为（0.01+0.03+0.05+0.07）×4=0.64>0.5，所以中位数在第四组的中间位置，所以理论上的中位数是114.点晴：本题考查的是根据频率分布直方图求理论上的中位数.解决这类问题的关键是弄清各小矩形的面积和为1，各小矩形的面积表示的是这个范围内的数据的频率.先判断出频率为0.5所在的范围，再根据比例求出理论上的中位数.8．C【解析】试题分析：因为这组数据的平均数x=5+7+7+8+10+116=8,所以这组数据的方差为(5−5)2+(5−8)2+(5−7)2+(5−7)2+(5−10)2+(5−11)26=4，标准差是2，故选C.考点：1、样本数据的平均数；2、样本数据的方差与标准差.9．C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件.故答案为C.10．A【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数为n =C 52=10，甲被选中包含的基本事件的个数m =C 11C 41=4,所以甲被选中的概率为p =m n =25，故选A ． 考点：古典概型及其概率的计算．11．D【解析】试题分析：原命题的否定为∀x ∈R ,sin x ≤1，故选D ．考点：命题的否定．12．B【解析】试题分析：①中¬P :∀x ∈R ，均有x 2+x −1≤0，④中两直线垂直的充要条件是3m +m (2m −1)=0⇔m =0或-1，故①、④错误，②、③正确，因此选B.考点：真假命题.13．D【解析】∵椭圆x 28+y 24=1，∴a =2 2，b =2=c ，∵|PF 2|= 2，|PF 1|+|PF 2|=4 2，∴|PF 1|=3 2，∴cos ∠F 1PF 2= 2)2 2)22=13.故选D. 14．A【解析】试题分析：依题意有{0≤2a +b ≤20≤a −2b ≤2，目标函数 (a −35)2+(b +15)2>14，即以C (35,−15)为圆心，半径为14的圆外.画出可行域如下图所示，圆外面积为45−π16，故概率为45−π1645=1−5π64.考点：几何概型．15．C【解析】法一：直线y =k x +1必过点(0,1)，以改点为圆心，R 为半径作圆：x 2+(y −1)2=R 2，与椭圆x 24+y 2=1联立得3y 2+2y +R 2−5=0，若只有一交点，则对应的为最大的弦长，故即Δ=0，得4−12(R 2−5)=0，得R 2=163，R =4 33，即最大的弦长=4 33.法二：直线y =k x +1必过点A (0,1)，设椭圆上一点P (2cos α,sin α)，则弦A P = (2cos α)2+(sin α−1)2= −3(sin α+13)2+163≤4 33. 法三：联立y =k x +1与x 24+y 2=1得：(1+4k 2)x 2+8k x =0.∴x 1+x 2=−8k (1+4k 2)，x 1+x 2=0，k 2>0.弦长2=(1+k 2)[64k 2(1+4k )2]=4[(1+4k 2)2+2(1+4k 2)−3](1+4k )2=4+81+4k 2−12(1+4k 2)2=163−12[1(1+4k 2)−13]2 当1(1+4k 2)=13，即k 2=12时，弦长最大，最大值为4 33.16．3【解析】逆命题: 若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，直线l 与平面α垂直，为真命题; 否命题: 直线l 与平面α不垂直，若直线l 不与平面α内的任意一条直线垂直，为真命题 逆否命题: 若直线l 与平面α内的任意一条直线不垂直，直线l 与平面α不垂直，为真命题. 17．3【解析】试题分析：由PF 1 ⊥PF 2 知∠F 1PF 2=900，根据椭圆中焦点三角形的面积公式S Δ=b 2⋅tan θ2，得S Δ=b 2⋅tan θ2=b 2⋅tan 450=9，所以b =3.考点：1、椭圆的性质；2、焦点三角形．18．【解析】试题分析：如下图所示，则可知直线的倾斜角为π3，且过点F 1，∴∠M F 1F 2=2∠M F 2F 1=π3，∴|M F 1|=c ，|M F 2|= 3c ，∴，故填： 3−1.考点：椭圆的标准方程及其性质．19．x +2y −2=0【解析】由题：x 24+y 2=1，可设过中点的弦与椭圆的两个交点坐标分别为：(x 1,y 1),(x 2,y 2)，代入椭圆得：x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减得：14(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 2−y 1)，k =y 1−y2x 1−x 2=−14(x 1+x2y 1+y 2)，另由中点坐标公式：x 1+x 2=2,y 1+y 2=1，则：k =−12，中点弦的直线方程为：y −12=−12(x −1)，x +2y −2=0. 点晴：本题考查的是椭圆中的中点弦方程.求直线方程需要具备一点一斜或者是两点，求斜率时可以设直线方程与椭圆联立，用待定系数法确定斜率，求直线方程，也可以设过中点的弦与椭圆的两个交点坐标分别为：(x 1,y 1),(x 2,y 2)，代入椭圆得：x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减得：14(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 2−y 1)，确定k =y 1−y 2x 1−x 2=−14(x 1+x2y 1+y 2)的值. 20．15【解析】由题可知：F 1(−3,0),F 2(3,0)利用椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|=2a =10.利用三角形三边的大小关系可得|P A |+|PF 1|=|P A |+10−|PF 2|≤10+|AF 2|=15.21．（Ⅰ）2<x <3（Ⅱ）43≤a ≤2【解析】试题分析：（１）a =1时得p :1<x <3；q ：2<x <4，由p ∧q 为真,得x 的取值范围；（2）由a >0得可得¬p ,¬q 由¬p 是¬q 的充分不必要条件,得实数a 的取值范围．试题解析： （1）由x 2−4a x +3a 2<0得(x −3a )(x −a )<0,当a =1时,1<x <3, 即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由|x −3|<1,得−1<x −3<1,得2<x <4,即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4, 若p ∧q 为真, 则p 真且q 真,∴实数x 的取值范围是2<x <3.（2）由x 2−4a x +3a 2<0得(x −3a )(x −a )<0,若¬p 是¬q 的充分不必要条件,则¬p ⇒¬q ,且¬q ⇒¬p ,设A ={x |¬p },B ={x |¬q },则A ⊆B ,又A ={x |¬p }={x |x ≤a 或x ≥3a },B ={x |¬q }={x |x ≥4或x ≤2},则0<a ≤2,且3a ≥4, ∴实数a 的取值范围是43≤a ≤2.考点：充分条件；必要条件；逻辑联结词．【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：（1）要弄清先后顺序：“Α的充分不必要条件是Β”是指Β能推出Α，且Α不能推出Β；而“Α是Β的充分不必要条件”则是指Α能推出Β，且Β不能推出Α；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．22．（1）y =0.5x +0.4；（2）5.9【解析】试题分析：（1）首项求出x ,y 的平均数，利用最小二乘法求出b 的值，再利用样本中线点满足线性回归方程，即可求解a 的值，写出线性回归方程；（2）第6名推销员的工作年限为11年，即当x =11时，把自变量的值代入线性回归方程，得到y 的预报值，即估计出6名推销员的年推销金额.试题解析：（1）设所求的线性回归方程为y =b x +a ,x =6,y =3.4, 则b= x i y i −5xy 5i =1x i 2−5x25i =1=112−5×6×3.4200−5×62=0.5,a=y −b x =0.4. 所以年推销金额y 关于工作年限x 的的线性回归归方程为y=0.5x +0.4. （2）当x =11时，y=0.5x +0.4=0.5×11+0.4=5.9（万元） 所以估计他的年推销金额为5.9（万元） 考点：线性回归直线方程及其应用. 23．（1）(x −1)2+(y −1)2=4；（2）2 5． 【解析】试题分析：（1）设圆的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)，将C ,D 的坐标代入圆的方程，将圆心代入直线x +y −2=0，列方程组，求得a =b =1,r =2；（2）将四边形变为两个三角形，即S =S ΔP A M +S ΔP B M =12|A M |·|P A |+12|B M |·|P B |=2|P A |，而|P A |= |P M |2−4，所以S =2 |P M |2−4，|P M |最小时，面积取得最小值，点到直线的距离最小为3，所以面积最小值为S =2 22−4=2 5.试题解析： （1）设圆M 的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)， 根据题意得：{(1−a )2+(−1−b )2=r 2(−1−a )2+(1−b )2=r 2a +b −2=0，解得a =b =1,r =2，故所求圆M 的方程为(x −1)2+(y −1)2=4． （2）因为四边形P A M B 的面积，S =S ΔP A M +S ΔP B M =12|A M |·|P A |+12|B M |·|P B |，又|A M |=|B M |=2,|P A |=|P B |，所以S =2|P A |，而|P A |= ||−|A M |= |P M |−4，即S =2 |P M |−4， 因此要求S 的最小值，只需求|P M |的最小值即可， 即在直线3x +4y +8=0上找一点P ，使得|P M |的值最小， 所以|P M |min ==3，所以四边形P A M B 面积的最小值为S =2 ||min−4=2 32−4=2 5.考点：直线与圆的位置关系，最值问题.【方法点晴】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查方程的思想，考查最值问题.第一问已知条件有三个，有两个圆上的点C ,D 还有圆心在某条直线上，由此可假设圆的标准方程，代入已知条件，列出方程组，求得圆心和半径.第二问要求四面形面积的最小值，转化为两个三角形的面积的最小值，转化为点到直线的距离最小值来求.24．【解析】试题分析：（1）由已知e =ca ，b 2=a 2−c 2，点A (1, 32)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组得椭圆方程；（2）先验证当直线l 的斜率不存在时以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1y =k (x +1)，得(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2，因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以，得到关于k 的方程，解得k ，求出l 的方程． 试题解析：（1）由已知e =c a =32，即c 2=34a 2,b 2=a 2−c 2=14a 2，所以，椭圆方程为x 2a+4y 2a =1，将A (1, 32)代入得：1a 2+124a 2=1，解得a 2=4，可知b 2=1，所以，椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）因为直线l 经过椭圆内的点B (−1,0)，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M ,N ．当直线l 的斜率不存在时，其方程是：x =−1，代入x 24+y 2=1，得y =±32，可知M (−1, 32)，N (−1,− 32)，所以以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2) 由{x 24+y 2=1y =k (x +1)，得(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2， 因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以．可得x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k (x 1+1)⋅k (x 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k 2(x 1+x 2)+k 2=0．即(1+k 2)4k 2−41+4k 2+k 2⋅−8k 21+4k 2+k 2=0，解得k =±2．综上所述，存在过点B (−1,0)的直线l ，使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O ，l 的方程为y =2x +2或y =−2x −2．考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆.【方法点睛】（1）由已知e =ca ，b 2=a 2−c 2，点A (1, 32)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组得椭圆方程．（2）先验证当直线l 的斜率不存在时以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立直线与椭圆，得x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2，因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以，得到关于k 的方程，解得k ，求出l 的方程．25．（Ⅰ）a n =n2n ；（Ⅱ）T n >5n2n +1，证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可根据数列通项a n 与前n 项和S n 之间的关系来进行求解，即当n =1时，a 1=S 1；当n ⩾2时，a n =S n −S n −1，这时可得到a n 与a n −1的关系式，根据关系式的特点2n a n =2n −1a n −1+1，可通过构造换元，令b n =2n a n ，从而得出数列{b n }是等差数列，先求出数列{b n }的通项，再求出数列{a n }的通项；（Ⅱ）根据数列{C n }的特点可利用错位相减法求出T n ，接着利用作差法进行比较，根据差式的特点这里可采用数学归纳法进行猜想证明，详见解析．试题解析：（Ⅰ）在S n =−a n −(12)n −1+2中，令n =1，可得S 1=a n −1+2=a 1，即a 1=12，当n ≥2时，S n −1=−a n −1−(12)n −2+2，∴a n =S n −S n −1=−a n +a n −1+(12)n −1，∴2a n =a n −1+(12)n −1，即2n a n =2n −1a n −1+1，设b n =2n a n ，则b n =b n −1+1，即当n ≥2时，b n −b n −1=1， 又b 1=2a 1=1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n =1+(n −1)·1=n =2n a n ，∴a n =n2n（Ⅱ）由（Ⅰ）得c n =n +1n a n=(n +1)(12)n ，所以T n =2×12+3×(12)2+4×(12)3+K +(n +1)(12)n ，12T n =2×(12)2+3×(12)3+4×(12)4+K +(n +1)(12)n +1 由①-②， 得12T n =1+(12)2+(12)3+K +(12)n −(n +1)(12)n +1=1+14[1−(12)n −1]1−12−(n +1)(12)n +1=32−n +32n +1∴T n =3−n +32n，则T n −5n 2n +1=3−n +32n−5n2n +1=(n +3)(2n −2n −1)2n (2n +1)于是只要比较2n 与2n +1的大小即可，（1）当n =1,2时，2n <2n +1，此时T n −5n2n +1<0，即T n <5n2n +1，（2）猜想：当n ≥3时，2n >2n +1，下面用数学归纳法证明：①当n =3时，不等式2n >2n +1成立；②假设n =k ≥3时，不等式成立，即2k >2k +1； 则当n =k +1时，2k +1>2·2k >2(2k +1)=4k +2=2k +(2k +2)≥2k +8>2(k +1)+1，所以当n =k +1时，不等式2n >2n +1成立， 由①和②可知，当n ≥3时，2n >2n +1成立， 于是，当n ≥3时，T n −5n2n +1>0，即T n >5n2n +1．另证：要证2n >2n +1 (n ≥3)，只要证：2n −1>2n ，只要证：1+21+22+L +2n −1>2n ， 由均值不等式得：1+21+22+⋯+2n −1>n 1⋅21⋅22⋯⋯2n n=n ⋅2n −12≥n ⋅23−12=2n ，所以2n >2n +1，于是当n ≥3时，T n −5n2n +1>0，即T n >5n2n +1．考点：1．数列的通项及前n 项和；2．数列与不等式的证明；3．数学归纳法的应用．【方法点睛】此题主要考查数列、数学归纳法等方面的内容，属于中高档题．在求数列的通项公式中，常利用数列的通项与前n 项和之间的关系来进行求解，若得到的关系式相对复杂的可构造新的数列，使得到新的数列是等差数列或等比数列，再利用等差数列或等比数列的通项公式进行求解；求数列的前n 项和有很多种方法，本题解答过程中采用了错位相减法，错位相减法适用于数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列之积，亦是教材（人教A 版）中用于推导等比数列的前n 项和公式的方法．。

2011-2012学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学模拟试卷（理科）一、选择题（每题3分，共45分）1．（3分）（2006•安徽）设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0} C．{0} D．∅2．（3分）（2014•南昌模拟）“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（3分）（2015•市中区校级模拟）下列说法错误的是（）A．“”是“θ=30°”的充分不必要条件B．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”C．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题4．（3分）（2012•平阴县校级模拟）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．5．（3分）（2012春•天心区校级期末）如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的大小为（）A．70°B．80°C．90°D．99°6．（3分）（2014春•滦南县期末）直线：3x﹣4y﹣9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是（）A．相切 B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心7．（3分）（2012春•天心区校级期末）现决定优选加工温度，假定最佳温度在60°C到70°C 之间．用0.618法进行优选，则第二次试点的温度为（）℃．A．63.82 B．61.8 C．8.2 D．6.188．（3分）（2012春•天心区校级期末）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（）A．15 B．11 C．14 D．239．（3分）（2012春•天心区校级期末）在（1﹣x）5﹣（1﹣x）6的展开式中，含x3的项的系数是（）A．﹣5 B．5 C．10 D．﹣1010．（3分）（2013•惠州三模）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）A．19、13 B．13、19 C．20、18 D．18、2011．（3分）（2011•双峰县校级模拟）定义运算：，则函数f（x）=1⊗2x 的图象是（）A．B．C．D．12．（3分）（2013秋•西山区校级期末）函数f（x）=lnx﹣x在区间（0，e]的最大值为（）A．1﹣e B．﹣1 C．﹣e D．013．（3分）（2012春•天心区校级期末）设实数x，y满足，则的最大值是（）A．B．C．D．14．（3分）（2012春•天心区校级期末）已知函数，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值为（）A．恒为正值 B．等于0 C．恒为负值 D．不大于015．（3分）（2015•枞阳县校级模拟）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[﹣2，2]C．（﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）二、填空题（每题3分，共15分）16．（3分）（2010•广东模拟）直线为参数）上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是．17．（3分）（2012春•天心区校级期末）某车床的走刀量（单位：mm/r）共有如下13级：0.3，0.33，0.35，0.40，0.45，0.48，0.50，0.55，0.60，0.65，0.71，0.81，0.91．那么第一次和第二次的试点分别为、．18．（3分）（2012春•天心区校级期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则BC=．19．（3分）（2004•福建）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同．若m=6，则在第7组中抽取的号码是．20．（3分）（2013春•宝安区校级期末）已知n次多项式．如果在一种算法中，计算的值需要k﹣1次乘法，计算P3（x0）的值至多需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10（x0）的值至多需要次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，P k+1（x）=xP k（x）+a k+1（k=0，1，2，…，n﹣1）．利用该算法，计算P3（x0）的值至多需要6次运算，计算P10（x0）的值至多需要次运算．三、解答题（每题8分，共40分）21．（8分）（2012春•天心区校级期末）已知命题：P：对任意a∈[1，2]，不等式恒成立；q：函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极大值和极小值．求使命题“p且q”为真命题的m的取值范围．22．（8分）（2007•四川）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望Eξ，并求该商家拒收这批产品的概率．23．（8分）（2015•衡阳县校级一模）已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．24．（8分）（2013秋•天心区校级期末）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？25．（8分）（2006•山东）设函数f（x）=2x3﹣3（a﹣1）x2+1，其中a≥1．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论f（x）的极值．2011-2012学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学模拟试卷（理科）参考答案一、选择题（每题3分，共45分）1．B 2．A 3．A 4．D 5．D 6．D 7．A 8．B 9．C 10．A 11．A 12．B 13．D 14．A 15．C二、填空题（每题3分，共15分）16．（-3，4）或（-1，2）17．0.550.45 18．219．63 20．6520三、解答题（每题8分，共40分）21．22．23．24．25．。

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长郡中学2017—2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科)一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。

复数22cossin33z i ππ=+在复平面内对应的点在( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2。

设A 、B 为非空集合，定义集合*A B 为如图非阴影部分的集合,若2{|2}A x y x x ==-，{|3,0}x B y y x ==>，则*A B =（ ）A ．()0,2B ．[][)0,12,+∞C ．(1,2]D ．[]()0,12,+∞3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（ ） A ．56a ≤≤ B ．56a << C ．56a ≤< D ． 56a <≤ 4。

使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ )A ．23x ≤≤B ．63x -≤≤ C.53x -≤≤ D ．62x -≤≤5.已知集合{1,2,3}A =,{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ） A ．3个 B ．4个 C 。

斯克教育高二数学试卷一．选择题（4分×10=40分）：1．椭圆22162x y +=的离心率是 ( ) A B C ． D ．2、算法共有三种逻辑结构，即顺序结构，条件结构和循环结构，下列说法正确的是( )A.一个算法只能含有一种逻辑结构B. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D. 一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合3、大，中，小三个盒子中分别装有同一种产品120个，60个，20个，现在需从这三个盒子中，抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为 （ ）（A ）分层抽样 （B ）简单随机抽样 （C ）系统抽样 （D ）其他抽样方式4. 一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数一定是（ ）A.奇数B.偶数C.可能是奇数也可能是偶数D.上述判断都不正确5．从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（ ）。

A ．12B ．13C ．14D ．156．如果椭圆221169x y +=上一点P 到它右焦点的距离是3，那么点P 到左焦点的距离为（ ）。

A ．5 B ．1 C ．15 D ．87. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.设M=（5，-1,2），A=(4，-2,1),O=(0,0,0),若OM 向量等于AB 向量，则B=（）A 、（-1,3，-3）B 、（9,1,1）C 、（1,-3，3）D 、（-1，9，-1）9. 若双曲线C 经过点M(0,1)，且焦点F 1（-1，1），F 2（3，1），则其离心率为 （ ）A 、34 B 、23 C 、2 D 、4 10．若双曲线122=-y x 的右支上一点P （a,b ）到直线y=x 的距离为2，则a+b 的值是（ ）A ．21-B ．21C ．21± D ．2± ．二．填空题（4分×5=20分）：11. 命题“a,b 都是奇数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 .12．已知直线x －y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是13．下面是一个算法的流程图，回答下面的问题：当输入的值为5时，输出的结果为14.椭圆x 28 + m + y 29 ＝1的离心率为12，则两准线间的距离为_________________. 15．已知点P 是椭圆2214x y +=上的在第一象限内的点，又(20)A ，、(01)B ，，O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________。