大学文科数学复习资料

文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．(1)在频率分布直方图中：频率①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；②各小矩形面积之和等于1；③中位数组距左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，从总体中逐个抽取少在起始部分抽样时采按事先确定的规则在各用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样时采用简单总体由差异明显的随机抽样或系统抽样几部分组成即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．3．样本的数字特征(1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差－1样本数据的平均数某＝(某1＋某2＋＋某n)．n1－2－2－22方差＝[(某1－某)＋(某2－某)＋＋(某n－某)]．n注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量某和y具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程^^^设线性回归方程为y＝b某＋a，则^b＝－某－某^－^－a＝y－b某ni＝1nii＝1－－某i－某yi－y＝－－某iyi－n某yi＝1nn22i－n某某2－i＝1.－－注意：回归直线一定经过样本的中心点(某，y)，据此性质可以解决有关的计算问题．5．回归分析n某i－某yi－yi＝1－－r＝n，叫做相关系数．某i－某2yi－y2i＝1i＝1－n－相关系数用来衡量变量某与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量某和Y，它们的取值分别为{某1，某2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2某2列联表)为某1某2总计2y1aca＋c2y2bdb＋d总计a＋bc＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋dad－bc则K＝，a＋bc＋da＋cb＋d若K>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K>6.635，则有99%的把握说两个事件有关；若K<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关.7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝计算．9．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．－10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有222mnP(A)＝1－P(A)．11．互斥事件与对立事件的关系－对立必互斥，互斥未必对立．12．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝考点一几何概型例1．【2022课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是d的测度.D的测度141C．2A．【答案】Bπ8πD．4B．【变式探究】(2022·江苏卷)记函数f(某)＝6＋某－某的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数某，则某∈D的概率是________．5【答案】93－－252【解析】由6＋某－某≥0，解得－2≤某≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.5－－49【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n个数某1，某2，，某n，y1，y2，，yn，构成n个数对(某1，y1)，(某2，y2)，，(某n，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4n2m2nB.mC.4mn2mD.n【答案】Cmπ4m4m【解析】由题意知，＝，故π＝，即圆周率π的近似值为.n4nn考点二古典概型例2．(2022·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.B.C.D.【答案】D3102511015【2022山东】从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A）5475（B）（C）（D）18999【答案】C【解析】标有1，2，，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡112C5C45,选C.片上的数奇偶性不同的概率是989【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.51011B.C.D．1212121【变式探究】(2022·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共424种，所以所求概率P＝＝.105故选C.考点三概率与其他知识的交汇例3、(2022·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数[10,15)2[15,20)16[20,25)36[25,30)25[30,35)7[35,40)44 5352515以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【变式探究】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数收费比例第1次1第2次0.95第3次0.90第4次0.85第5次及以上0.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数频数第1次60第2次20第3次10第4次5第5次及以上5假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．40【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为100＝0.4.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)．50＋40第2次消费时，公司获得的利润为200某0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为＝245(元)。

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）第八讲线性代数一、理论要求1.行列式会用按行（列）展开计算行列式2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理。

经济数学复习考试范围：教材1－5章第一章： 函数、极限与连续1．主要内容：（1） 函数的定义域（2） 函数的简单特性：有界性、单调性、周期性和奇偶性． （3） 复合函数及分段函数（4） 极限、左极限与右极限、极限的性质及四则运算法则 （5） 极限存在的两个准则、利用两个重要极限求极限的方法 （6） 无穷小、无穷大，无穷小的比较，用等价无穷小求极限（7） 函数连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型（8） 闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最值定理、零点定理与介值定理） 注意：用函数与数列的极限定义来证明极限存在、双曲函数、映射不做要求。

2．重点：求极限 3．典型例题与习题（1）§1-1 T1-10，12，13，15-17 （2）§1-2 T6（3）§1-3 例题3-9 习题1-4 （4）§1-4 例题4-7 习题1-4 （5）§1-5 例题2-8 习题1-4 （6）§1-6 例题3-9 习题1-6 （7）§1-7 例题1-7 习题1-7 （8）§1-8 例题1-7 习题2-5（9）综合练习一：1-64．典型方法（1）求定义域的方法：①若12()()y f x f x =±或12()()y f x f x =，则12f f f D D D =⋂ ②若12()()f x y f x =，则122{|()0}f f f D D D x f x =⋂-= ③若1122(),(),f x x D y f x x D ∈⎧=⎨∈⎩，则12f D D D =⋃④若()f x 定义域为a x b <<，则(())f x ϕ定义域由()a x b ϕ<<解出例1求22ln(1),2x y x x -<<=-≥⎪⎩定义域【解】(2,2)[2.)(2,)f D =-⋃+∞=-+∞ 例2求ln(1)y x =-定义域 【解】[3,3](1.)(1,3]f D =-⋂+∞=例3求y =【解】(1,2)(2,3]f D =⋃例4 设()f x 定义域为(0,1)，求()f x a +定义域 【解】由01x a <+<得， 1a x a -<<- 例5 求1ln lg y x=定义域 【解】0lg 0ln lg 0x x x >⎧⎪>⎨⎪≠⎩ 01lg 1x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩ 0110x x x >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩，故(1,10)(10,)f D =⋃+∞例6 设()f x 定义域为(1,4)，求2()f x 定义域【解】由214x <<得， 21x -<<-或12x <<，故2()f x 定义域为(2,1)(1,2)--⋃2.求函数极限方法：利用极限的定义、极限的四则运算法则、函数式的恒等变形、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换定理、函数连续性与L ’Hospital 法则例1 求下列极限（1）22sin(2)23lim[]41x x x x x →-++--； （2）0x → （3）3x → （4）10515(51)(12)lim (31)x x x x →∞+-- （5）10sin lim(1)2xx x →-； （6）11lim()1ln x x x x →+-3.证明函数连续方法：利用连续的定义、连续的四则运算法则和复合函数连续性、可导的必要条件例1 设,0(),0x e x f x x k x ⎧≤=⎨+>⎩连续，求常数k 之值。

高考复习数学资料归纳大全（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高等数学（通用复习）师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意第一章 函数与极限函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）第一节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立，∴{}a x n x =∞→lim第二节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x =∞→lim第三节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第四节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<（特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x xx x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】3x →=== 第五节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→xx x（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】第六节 无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★） 1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +-2．U U cos 1~212- （乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→【求解示例】第七节 函数的连续性○函数连续的定义（★）○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=xa e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 00∴e a =第八节 闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续； 2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ）4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分 第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=bax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程） 【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=|2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数()x f 1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦'○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】第四节 高阶导数○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ……第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】()()t t dx dy ϕγ''=.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >⋅ 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立， 又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-， 化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，x e e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立， 化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即证得：当1x >时，x e e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件， 则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭【求解示例】()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法） 【题型示例】求值：0lim x x x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★） ⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==f x ),1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1x e x >+【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >） 2．()10x x e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1x e x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点 【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩13y x x =+-(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞； ⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸； ⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= 3．（三行表）4．又∵()(12,12,318f f f -=-==-∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求） 第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量） ○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★） 第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用） 【题型示例】求221dx a x+⎰ 【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a a a x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求 【求解示例】○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：：令t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）： asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin x t a=，则原式可化为cos a t ； bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x=，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C C t =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=）⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】 ∴()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节 有理函数的不定积分○有理函数（★）设：()()()()101101m m m n n n P x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()k x a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）； 即：()()()12Q x Q x Q x =⋅ 一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，则参数n a m=- 则参数,b c p q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为： 其中参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质○定积分的定义（★）（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b b a a f x dx f u du =⎰⎰⑵()0a a f x dx =⎰⑶()()b b a a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）⑸（积分区间的可加性）⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0b a f x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()bba a f x dx f x dx ≤⎰⎰ ○积分中值定理（不作要求）第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导） 【题型示例】求21cos 20lim t x x e dt x -→⎰【求解示例】第三节 定积分的换元法及分部积分法○定积分的换元法（★★★）⑴（第一换元法） 【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法） 设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()b a f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求40dx ⎰ 【求解示例】⑶（分部积分法）○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立：⑴若()()f x f x -=，则()()02a a a f x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0a a f x dx -=⎰第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节 反常积分（不作要求） 如：不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。

大一高等数学复习资料（二）引言概述：大一高等数学是大学数学课程中的基础课程，为了帮助大家更好地复习该门课程，本文提供了一份大一高等数学复习资料（二）。

通过该资料的学习，可以帮助大家复习和巩固高等数学的重要概念和知识点，为接下来的学习打下坚实的基础。

正文：1. 微分学复习：a. 重要概念回顾：导数和微分的定义、基本导数公式；b. 导数的应用：求函数的极值与最值、函数图像的描绘；c. 高阶导数与泰勒展开式：求函数的高阶导数、利用泰勒公式研究函数的性质。

2. 积分学复习：a. 定积分与不定积分：定义及性质、基本积分公式；b. 积分方法与技巧：换元法、分部积分法、三类换元法；c. 积分应用：求函数的面积、曲线长度、曲线包围的面积。

3. 微分方程复习：a. 常微分方程与解法：一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程；b. 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程；c. 变量分离和常系数齐次线性微分方程。

4. 空间解析几何复习：a. 点、线、面的方程与性质；b. 点到直线和点到平面的距离计算；c. 平面与直线的位置关系、两平面的位置关系。

5. 矩阵与行列式复习：a. 矩阵的基本概念：矩阵的定义、矩阵的运算；b. 行列式的定义与性质：二阶、三阶行列式的计算；c. 逆矩阵与矩阵的秩：逆矩阵的判定、矩阵秩的计算。

总结：通过学习本文提供的大一高等数学复习资料（二），我们可以更好地复习和巩固高等数学的重要概念和知识点，为接下来的学习打下坚实的基础。

希望这份资料对于大家的学习有所帮助，祝愿大家在学习中取得优异的成绩！。

高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

高数复习资料推荐在大学学习中，高等数学是一门非常重要的学科。

它不仅是培养学生解决实际问题的能力的基础，还是进一步深入学习其他数理科学的基础。

然而，由于高等数学的抽象性和难度较大，相当一部分学生在学习过程中可能会遇到困难。

为了帮助学生更好地复习高等数学，本文将介绍一些值得推荐的高数复习资料。

一、教材复习资料1. 《高等数学》教材《高等数学》是大多数高校普遍使用的教材，由于其权威性和系统性，在复习高等数学时是必不可少的参考资料。

教材中包含了高等数学各个章节的知识点和例题，并配有详细的解题过程。

在复习时，学生可以根据教材内容进行系统性的整理和总结，加深对知识点的理解。

2. 《高等数学》习题集除了教材外，高等数学习题集也是复习的重要资料之一。

习题集包含了大量的习题和答案，学生可以通过反复做题来巩固知识点和提高解题能力。

此外，习题集中还会附有一些习题的详细解析，可以帮助学生理解解题思路和方法。

二、网络资源1. 在线教育平台当前，网络技术的快速发展使得在线教育平台成为学习的主要途径之一。

通过在线教育平台，学生可以随时随地获取高等数学的教学视频、习题讲解和复习资料等。

一些知名的在线教育平台如Coursera、EdX和MOOC等提供了丰富的高等数学资源，学生可以根据自己的学习进度和需求来选择合适的课程和资源。

2. 数学学习网站除了在线教育平台，互联网上还有许多专门为数学学习提供资源的网站。

这些网站提供了丰富的数学教学资料、视频讲解、习题和解答等，可以帮助学生在复习高等数学时找到更多的学习资源。

一些著名的数学学习网站如数学网、数学好网站等，都是学生们值得关注和利用的资源。

三、备考资料1. 高数复习大纲备考高等数学时，了解高数复习的重点和难点是非常重要的。

高数复习大纲将会清晰地列出各个章节的考点和重点，帮助学生明确学习的重点和方向。

学生可以根据高数复习大纲来有针对性地安排学习计划，并将注意力更集中地放在需要重点复习的知识点上。

高数一的复习资料高数一的复习资料高等数学是大学生必修的一门课程，对于很多学生来说，这是一门相对较难的学科。

为了更好地备考高数一，我们需要准备一些复习资料。

下面将介绍一些高数一的复习资料，希望能对广大学子有所帮助。

1. 教材复习首先，我们需要熟悉教材。

高数一的教材一般为《高等数学》或《数学分析》。

这些教材内容详实，涵盖了高数一的各个知识点。

复习时，可以按照教材的章节顺序，逐一复习每个知识点。

对于每个知识点，要理解其概念、公式和定理，并能熟练运用。

2. 习题集习题集是高数一复习的重要资料。

通过做大量的习题，可以巩固知识点，提高解题能力。

建议选择一本习题集，根据教材的章节顺序进行刷题。

刷题时，要注意分析题目的难点和解题思路，不仅要求知其然，更要求知其所以然。

可以找一些经典习题进行重点复习，这样能更好地理解和掌握高数一的知识。

3. 网上资源互联网是一个宝藏般的资源库，我们可以利用网络找到很多高数一的复习资料。

有很多网站提供高数一的视频教学，可以通过观看视频来加深对知识点的理解。

此外，还有一些高校的课程资源网站，可以下载到一些高数一的课件和讲义，这些资料对于复习也非常有帮助。

当然，使用网络资源时要注意选择正规、权威的网站，避免被误导。

4. 辅导书籍除了教材和习题集，还有一些辅导书籍可以作为高数一的复习资料。

这些书籍通常会对知识点进行更加深入的讲解，并提供一些解题技巧和习题。

有些辅导书籍还会附带一些例题和习题的详细解答，这对于自学的学生来说非常有帮助。

在选择辅导书籍时，可以咨询老师或同学的建议，选择适合自己的书籍进行复习。

5. 组队学习高数一是一门需要大量练习的学科，而且有些知识点可能会比较难以理解。

在复习过程中，可以组队学习，与同学一起讨论问题、解决难题。

通过合作学习，可以相互帮助、相互促进，提高学习效果。

同时，组队学习还可以增加学习的趣味性，缓解复习的压力。

综上所述，高数一的复习资料包括教材、习题集、网上资源、辅导书籍和组队学习等。