大学文科数学(B卷)答案及评分细则

试卷1 一、一选择题1.．A.正确B.不正确答案：B2.函数在点处可导．A.正确B.不正确答案：A3.函数在内连续．A.正确B.不正确答案：B4.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：A二、二选择题5.是有界函数．A.正确B.不正确答案：A6.设函数，则．A.正确B.不正确答案：B7.设函数，则．A.正确B.不正确答案：B8.．A.正确B.不正确答案：B9.．A.正确B.不正确答案：A10.是微分方程的解．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.极限（）．A.B.C.D.答案：B12.不定积分( )．A.B.C.D.答案：D13.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：D14.定积分=（）．A.B.C.D.答案：A15.函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为( )．A.B.C.D.答案：C16.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A四、四选择题17.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：B18.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D19.微分方程的通解是（）．A.B.C.D.答案：A20.不定积分（）．A.B.C.D.答案：C试卷2 一、一选择题1.函数在处可导．A.正确B.不正确答案：A2.定积分．A.正确B.不正确答案：B3.函数在点处连续．A.正确B.不正确答案：A4.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：B二、二选择题5.是周期函数．A.正确B.不正确答案：A6.．A.正确B.不正确答案：A7.设函数，则．A.正确B.不正确答案：B8.是微分方程的解．A.正确B.不正确答案：B9.设函数，则．A.正确B.不正确答案：A10.不定积分，其中为任意常数．A.正确B.不正确答案：B三、三选择题11.极限（）．A.B.C.D.答案：A12.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：B13.不定积分（）．A.B.C.D.答案：C14.定积分=（）．A.B.C.D.答案：C15.函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为( )．A.B.C.D.答案：B16.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：D四、四选择题17.微分方程的通解是（）．A.B.C.D.答案：D18.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：A19.不定积分（）．A.B.C.D.答案：D20.定积分=（）．A.B.C.D.答案：B试卷3 一、一选择题1.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：A2.函数在内连续．A.正确B.不正确答案：B3.定积分．A.正确B.不正确答案：A4.函数在点处可导．A.正确B.不正确答案：B二、二选择题5.不是一阶微分方程．A.正确B.不正确答案：B6.设函数, 则．A.正确B.不正确答案：B7.是奇函数．A.正确B.不正确答案：A8.设函数，则．A.正确B.不正确答案：A9.．A.正确B.不正确答案：B10.是函数的一个原函数．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：B12.不定积分（）．A.B.C.D.答案：D13.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A14.定积分=（）．A.B.C.D.答案：B15.函数的图形如图示，则函数( )．A.在内单调增加, 在区间内单调减少B.在内单调增加C.在内单调减少, 在区间内单调增加D.在内单调减少答案：C16.极限（）．A.B.C.D.答案：D四、四选择题17.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D18.不定积分⑴⑵⑶则上述解法( )．A.第⑴步开始出错B.第⑵步开始出错C.第⑶步开始出错D.全部正确答案：A19.微分方程的通解是（）．A.B.C.D.答案：B20.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：C试卷4 一、一选择题1.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：A2.定积分．A.正确B.不正确答案：B3.函数在点处可导．A.正确B.不正确答案：B4.函数在点处连续．A.正确B.不正确答案：A二、二选择题5.设函数, 则．A.正确B.不正确答案：A6.设函数，则．A.正确B.不正确答案：B7.是偶函数．A.正确B.不正确答案：B8.不是一阶微分方程．A.正确B.不正确答案：B9.．A.正确B.不正确答案：A10.不定积分，其中为任意常数．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.不定积分（）．A.B.C.D.答案：C12.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A13.函数的图形如图示，则函数( )．A.在内单调增加, 在区间内单调减少B.在内单调增加C.在内单调减少, 在区间内单调增加D.在内单调减少答案：B14.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D15.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A16.极限（）．A.B.C.D.答案：B四、四选择题17.不定积分⑴⑵⑶则上述解法( )．A.第⑴步开始出错B.第⑵步开始出错C.第⑶步开始出错D.全部正确答案：B18.微分方程满足的特解是（）．A.B.C.D.答案：A19.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D20.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：C试卷5 一、一选择题1.函数在点处连续．A.正确B.不正确答案：A2.函数在处可导．A.正确B.不正确答案：A3.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：B4.定积分．A.正确B.不正确答案：B二、二选择题5.是可分离变量微分方程．A.正确B.不正确答案：A6.．A.正确B.不正确答案：B7.设函数，则．A.正确B.不正确答案：A8.设函数, 则．A.正确B.不正确答案：B9.不定积分，其中为任意常数．A.正确B.不正确答案：B10.是奇函数．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A12.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D13.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：B14.极限（）．A.B.C.D.答案：B15.不定积分（）．A.B.C.D.答案：C16.函数的图形如图示，则函数( )．A.在内单调增加, 在区间内单调减少B.在内单调增加C.在内单调减少, 在区间内单调增加D.在内单调减少答案：C四、四选择题17.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D18.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：B19.不定积分⑴⑵⑶则上述解法( )．A.第⑴步开始出错B.第⑵步开始出错C.第⑶步开始出错D.全部正确答案：C20.微分方程满足的特解是（）．A.B.C.D.答案：A。

大学高等数学b教材答案北京大学大学高等数学B教材答案（北京大学版）前言：高等数学作为大学数学系列课程的重要组成部分，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。

北京大学作为中国乃至世界的一流学府，其高等数学B教材更是质量过硬，深受广大学生的欢迎。

本文将提供北京大学版大学高等数学B教材的答案，帮助学生更好地学习和掌握该教材。

第一章：函数与极限1. 函数的概念与性质答案略2. 极限的概念与性质答案略3. 极限的计算方法答案略4. 无穷大与无穷小答案略5. 函数的连续与间断答案略第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质答案略2. 基本初等函数的导数答案略3. 导数的四则运算与复合函数求导法则答案略4. 隐函数与参数方程的导数答案略5. 高阶导数与莱布尼茨公式答案略第三章：微分中值定理与导数的应用1. 微分中值定理答案略2. 函数的尺寸与曲率答案略3. 函数的单调性与凹凸性答案略4. 极值与最值答案略5. 曲线的渐近线与图形的描绘答案略第四章：定积分1. 定积分的概念与性质答案略2. 定积分的计算方法答案略3. 反常积分答案略4. 定积分的应用答案略第五章：不定积分与其应用1. 不定积分的概念与性质2. 不定积分的计算方法答案略3. 定积分与不定积分之间的关系答案略4. 不定积分的应用答案略第六章：微分方程1. 微分方程与解的概念答案略2. 可降阶的微分方程答案略3. 齐次线性微分方程答案略4. 一阶线性微分方程答案略5. 可化为一阶线性微分方程的方程......（以下章节依次列举）总结：本文提供了北京大学版大学高等数学B教材的答案，旨在帮助学生更好地学习与掌握该教材。

通过逐章列举的答案，学生可以及时核对自己的学习成果，加深对知识点的理解。

同时，答案的呈现形式整洁美观，语句通顺流畅，不仅保证了阅读的舒适体验，也有助于学生更好地理解与消化教材内容。

希望本文对广大学生在学习高等数学B课程中有所帮助。

绝密★启用前 试卷类型：B 普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时。

请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB=A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝ 2．函数，()lg(1)f x x =-的定义域是A ．(2，+∞)B ．(1,+∞)C ．[1，+∞)D ．[2，+∞)3．若函数()33x x f x -=+与()33x xg x -=-的定义域均为R ，则A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数4．已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2·a a ３１＝2a ，且4a 与72a的等差中项为54，则S5=w_ww. k#s5_u.c o*mw_w*w.k_s_5 u.c*o*mA ．35B ．33C ．31D ．29 5．若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3,x )满足条件(8a —b )·c =30，则x = A ．6 B ．5 C ．4 D ．36．若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是w_w w. k#s5_u.c o*mA．22(5)5x y-+=B．22(5)5x y++=C．22(5)5x y-+=D．22(5)5x y++=7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是w_w w. k#s5_u.c o*m A．45B．35C．25D．158．“x>032x”成立的A．充分非必要条件B．必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*mC．非充分非必要条件D．充要条件9．如图1，ABC为正三角形，'''////AA BB CC，''''32CC BB CC AB⊥===平面ABC且3AA，则多面体'''ABC A B C-的正视图(也称主视图)是w_w*w.k_s_5 u.c*o*m10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：w_w w. k#s5_u.c o*m那么d ⊗()a c⊕=A ．aB ．bC ．cD ．d二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(11～13题)11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民 的月均用水量分别为1x ，…，4x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若1x ，2x ，3x ，4x 分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s 为 . w_w*w.k_s_5 u.c*o*m12．某市居民～家庭年平均收入x （单位：万元）与年平均支出Y （单位：万元）的统计资料如下表所示：w_w w. k#s5_u.c o*m根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B ，则sinA= . w_w w. k#s5_u.c o*m（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD=a ，CD=2a ，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF= .15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜） 中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 . w_w*w.k_s_5 u.c*o*m三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

全国统一标准测试数学（文科B 卷）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.定义在R 上的函数y =f (x )的值域为［a ,b ］,则f (x +1)的值域为 A.［a ,b ］ B.［a +1,b +1］ C.［a －1,b －1］ D.无法确定2.a =－1是直线ax +(2a －1)y +1=0和直线 3x +ay +3=0垂直的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件3.在等比数列｛a n ｝中，a 1＞1,前n 项和满足∞→n lim S n =11a ,那么a 1的取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,4)C.(1,2)D.(1,2)4.已知m 、l 是异面直线，那么：①必存在平面α过m 且与l 平行；②必存在平面β过m 且与l 垂直；③必存在平面γ与m 、l 都垂直；④必存在平面π与m 、l 距离都相等.其中正确的结论是A.①②B.①③C.②③D.①④ 5.10个人抽2张球票，一人一次依次抽取（每抽一次不放回），则第k 个人抽到球票的概率（k =1,2,…,10）为A.21B.51C.52D.101 6.若得到函数y =sin(2x －4π)的图象，可以把函数y =sin2x 的图象 A.向左平移8π个单位 B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位D.向右平移4π个单位 7.设F 1、F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0,则｜1PF ｜｜2PF ｜的值为A.0B.2C.22D.48.已知复数2－i 的辐角主值是θ,则23+3i 的辐角主值是 A.2π－θ B.2π－θ C.θ－23πD.θ+2π 9.若双曲线以y =±3x 为渐近线，F （0，2）为焦点，则此双曲线方程为A.x 2－32y =1B.x 2－32y =－1C.3222y x -=1D.3222y x -=－1 10.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0,－1),B (3,1)是其图象上的两点，那么｜f (x +1)｜＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞,1]∪［4,+∞)D.(－∞,－1]∪［2,+∞)11.过正三棱锥S —ABC 的一条侧棱SA 及其外接球的球心O ，作棱锥截面SAD .（如图）球心O 在AD 上，则此三棱锥的侧面三角形顶角的余弦值为A.21B.0C.－21D.4112.甲、乙两工厂2003年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相同；乙厂产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同.已知2004年元月份两厂的产值相等，那么2003年7月份产值高的工厂是A.甲厂B.乙厂C.两厂产值一样D.无法确定第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上） 13.设f (x )=221+x ,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的求法，可求得f (－5)+f (－4)+f (－3)+…+f (4)+f (5)+f (6)的值为__________.14.函数y =332++x x 在点x =3处的导数值为__________.15.如下图，表示图中平面区域的公共区域的不等式组是__________.16.有一组数据：x 1,x 2,…x n （x 1≤x 2≤…≤x n ）它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的x n ，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的x 1,余下数据的算术平均值为11，则x 1关于n 的表达式为__________；x n 关于n 的表达式为__________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分） 设x ∈［4π,3π］,f (x )=41(sin 2x －cos 2x －23)+23sin 2(x －4π),求f (x )的最大值和最小值. 18.（本小题满分12分）有一个问题，在半小时之内，甲能解决它的概率是21，乙能解决它的概率是31. 计算：（Ⅰ）两人都未解决的概率； （Ⅱ）问题得到解决的概率. 19.（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F 1=411B A .（Ⅰ）求BE 1与DF 1所成角的余弦值；（Ⅱ）若A 1C 1∩B 1D 1=O ，P 为AA 1上一点且DP ⊥AD ，求DP 与底面ABCD 所成角的正切值.20.（本小题满分13分） 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n 个月，对某种商品需求总量f (n )（万件）近似地满足下列关系：f (n )=1501n (n +1)(35－2n )(n =1,2,3,…，12). （Ⅰ）写出明年第n 个月这种商品需求量g (n )（万件）与月份n 的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1.4万件；（Ⅱ）若计划每月该商品的市场投放量都是P 万件，并且要保证每月都满足市场需求，则P 至少为多少万件？21.(本小题满分13分)设椭圆3922x y +=1的内接三角形是△P AB ，射线OP 的倾斜角为3π，直线AP 、BP 的倾斜角互补.（Ⅰ）求证：直线AB 的斜率是定值； （Ⅱ）求△P AB 面积的最大值. 22.（本小题满分12分）设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4,…). （Ⅰ）求证：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4,…).求b n ;（Ⅲ）求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1.参 考 答 案一、1.A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.B 10.B 11.D 12.A二、13.32 14.－6115.⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥+-≥06320220y x y x y 16.11－n n +9 三、17.（12分）解：f (x )=41 (－cos2x －23)+2)22cos(1π--x ·232分 =83－43sin2x －41cos2x4分 =83－21sin(2x +6π).6分 ∵x ∈［4π,3π］,∴(2x +6π)∈［32π,65π］. 8分 ∴当x =4π时，f (x )min =－83； 10分 当x =3π时，f (x )max =823-.12分18.（12分）解：（1）设在半小时内甲能独立解决该问题是事件A ，乙能独立解决该问题是事件B . 2分 那么两人都未解决该问题是事件A ·B . 3分 由于两人是相互独立地求解，于是得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－21）（1－31）=31.7分 （2）“问题得到解决”这一事件的概率为1－P （A ·B ）=1－31=32.12分19.(12分)解：(Ⅰ)不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系O —xyz ，如图，则 B （1，1，0）、E 1（1，43，1）、D （0，0，0）、F 1（0，41，1）.1BE =（1，43，1）－（1，1，0）=（0，－41，1）， 1DF =（0，41，1）－（0，0，0）=（0，41，1）， 4分|1BE |=417，|1DF |=417，1BE ·1DF =0×0+(－41×41)+1×1=1615, ∴cos ＜1BE ,1DF ＞4174171615||||1111⨯=DF BE =1715. 6分（Ⅱ）设P 点坐标为（1，0，z ）， =（1，0，z ）,O (21,21,1),A (1,0,0).AO =(－21,21,1), 8分∵DP ⊥AO ，∴·AO =－21+z =0. z =21,即|AP |=21.10分∴DP 与底面ABCD 所成角为∠ADP ， 则tan ADP =21.12分 20.（13分）解：（Ⅰ）当n =1时，g (1)=f (1)=2511.2分当n ≥2时，g (n )=f (n )－f (n －1)=251(－n 2+12n )(经检验n =1时也成立). 解不等式251（－n 2+12n ）＞1.4, 5分 得5＜n ＜7.7分∵n ∈N ,∴n =6,即第六个月的需求量超过1.4万件. （Ⅱ）由题设可知，对于n =1,2,…,12恒有nP ≥f (n ), 即P ≥1501(n +1)(35－2n ) 9分 =－1501［－2（n －433）2+8332+35］11分当且仅当n =8时，P min =5057=1.14. ∴每月至少投放1.14万件. 13分 21.(13分)（Ⅰ）证明：OP 的直线方程为y =3x .1分联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==+xy x y 313922，得点P 坐标为（26，223）. 设AP 方程为y －223=k (x －26)， BP 方程为y －223=－k (x －26), 联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+)26(22313922x k y x y ，得x A =26323622-+-k k k . 同理,得x B =26323`622-++k k k . ∴AB 的斜率为k AB =36)(=--+=--BA B A B A B A x x kx x k x x y y .∴AB 的斜率为定值.（Ⅱ）解：设直线AB 的方程为y =3x +m ，P 点到直线AB 的距离为d . 则d =2||m ，将直线方程代入椭圆方程，得6x 2+23mx +m 2－9=0. ∴|AB |=2362m -.S △ABP =21d |AB |=321·)36(322m m -≤233. 当且仅当m =±3时，取等号, ∴(S △APB )max =233. 13分22.（12分）（Ⅰ）证明：∵3tS n －(2t +3)S n －1=3t ， ① ∴3tS n +1－(2t +3)S n =3t . ②1分 由②－①,得3t (S n +1－S n )－(2t +3)(S n －S n －1)=0. 2分 3ta n +1=(2t +3)a n . ∵tt a a n n 3321+=+，又∵t ＞0,a 1=1＞0， 3分 ∴a n ＞0,则{a n }成等比数列.4分（Ⅱ)解：由（Ⅰ)知f (t )=t t 332+=t132+. ∴b n =f (11-n b )=32+b n －1，b n －b n －1=32 (n ≥2,n ∈N *).∴{b n }为等差数列且b 1=1，公差d =32.则b n =1+32 (n －1)=312+n . 8分（Ⅲ）解：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1) 9分=－2×32 (b 2+b 4+…+b 2n ) （∵b 2=353122=+⨯,b 2n =314+n .） 10分=－]2)31435([34++n n 11分 =－94n (2n +3).12分。

高等数学试题B 答案及评分标准一、 单项选择题(3×6分):二、填空题(3×10分):1. []1,e ；2. 56,0 ；3. 630y π+--= ，1890y --+=；4. 2y =-，0x =；5. ()x n x e + ；6.[]cos ()f x C -+ ；7. 12,327⎛⎫⎪⎝⎭.三、计算题(每小题6分，共36分):2.【解】 0tan 11lim tan lntan ln001lim lim x xx x xxx x e ex +→++→→⎛⎫== ⎪⎝⎭， （1）2220000011ln sin lim tanln lim lim lim lim 0cot csc x x x x x x x x x x x x x x x+++++→→→→→--=====- （4）tan 001lim 1xx e x +→⎛⎫== ⎪⎝⎭.（1） 3.【解】0x →0x →= （2） 0x →=x →= （3）x →=12=. （1）3.【解】 11ln ln(6)4ln(23)ln(1)23y x x x =-++-+ （2）1812(6)233(1)y y x x x '=+--++ （3）41812(6)233(1)y x x x ⎤'=+-⎢⎥-++⎦. （1）4. 【解】 因为()f x ''存在，所以 [l n ()]y f x ''=[]1()()()()f x f x f x f x ''=⋅= （2） [][]2()()()()()()()f x f x f x f x f x y f x f x '''''-'⎡⎤''==⎢⎥⎣⎦（2） []22()()()()f x f x f x f x '''-=（2）5.【解】 3ln x xdx ⎰41ln 4xdx =⎰ （2） 44111ln 44x x x dx x =-⋅⎰ 4311ln 44x x x dx =-⎰ （2）4411ln 416x x x C =-+. （2）6.【解】 令tan ,,22x t t ππ⎛⎫= ∈- ⎪⎝⎭,2sec dx tdt =. （1）23sec 1cos sec sec t dt dt tdt t t ===⎰⎰⎰ （3）sin t C C =+=+ （2）四、应用题(10分):【解】设工厂分(0)x >批生产此种商品，生产准备费及库存费之和为y 元，则 100000010000.052y x x=+⨯， （4） 因为， 222250001000250001000x y x x-'=-=，令0y '=，则得 驻点5x =和5x =-（舍去），5x =是0x >时的唯一驻点， （3） 又因为，3500000y x''=>，所以，5x =是函数y 的唯一极（小）值点， 从而是y 的最小值. （2）因而，应分5批生产，使生产准备费及库存费之和最小. （1）五、证明(6分):【证明】 令2(1)()ln 1x f x x x -=-+, （1） 因为()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导，当1x >时，2222212(1)2(1)(1)4(1)()0(1)(1)(1)x x x x x f x x x x x x x +--+--?-==>+++， （3） 故，当1x >时，()f x 单调增加.又(1)0f =，所以，当1x >时，()(1)0f x f >=，即 2(1)ln 01x x x -->+. 因此，当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+. （2）。

试卷类型：B2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}24|A x x =-<<，{}2345B =，，，，则A B =A.{}2B.{2}3，C.{3}4，D. {234}，，2. 已知z=2-i ，则z(z )i +=A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i3. ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A. 2B.C. 4D. 4. 下列区间中，函数()7sin )6(f x x π=-单调递增的区间是A. (0,)2π B. (,)2ππD. 3(,)2ππC. 3(,2)2ππ 5. 已知12F F ，是椭圆22194x y C +=：的两个焦点，点Ｍ在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为 A. 13B. 12C. 9D. 66.若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A. 65-B. 25-C.25D.657.若过点(a ，b )可以作曲线e xy =的两条切线，则A. e ba <B. e ab <C. 0e ba << D. 0e ab <<8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2010 年广州市高三年级调研测试数学（文科）试卷参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．1-13．①②③14．5015．()1,1- 简答或提示：10．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ． 14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-，………………………2分 所以()(222cos 3sinAB θθ=-+136cos 13θθ=-+=，…………4分3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan θ=6分 （2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+．……………………………………………8分所以1sin 2AOB S OA OBAOB ∆=∠ 11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………10分所以当3πθ=时，△AOB 12分17．（本小题满分12分）（1）解：设(),x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分 用A 表示事件“1=-a b ”，即21x y -=-.…………………………………………………3分 则A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．……………………………5分 ∴()313612P A ==． 答：事件“1=-a b ”的概率为112．…………………………………………………………6分 （2）解：用B 表示事件“0>a b ”，即20x y ->.…………………………………7分 实验的全部结果所构成的区域为(){},16,16x y x y ≤≤≤≤，…………………………………………8分 构成事件B 的区域为(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->，如图所示．………………………………10分所以所求的概率为()142425525P B ⨯⨯==⨯． 答：事件“0>a b ”的概率为425．………………………………………………………………………………………12分x y Ox =1x =6y =1y =6 x -2y =018．（本小题满分14分）（1）证明：连结1A D ，交1AD 于点F ，连结EF ．…1分 因为四边形11ADD A 是正方形，所以F 是1A D 的中点， 又E 是CD 的中点，所以1EFA C ．…………………3分因为EF ⊂平面1AD E ，1AC ⊄平面1AD E ， 所以1A C平面1AD E ．…………………………………5分（2）解：在对角线1A C 上存在点P，且3CP =，使得DP ⊥平面1AD E ．…………6分 证明如下：因为四边形11ADD A 是正方形，所以11AD A D ⊥．……………………………7分 因为CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1CD AD ⊥．……………………8分 因为1A DCD D =，所以1AD ⊥平面1A CD ．…………………………………………9分因为1AD ⊂平面1AD E ，所以平面1AD E ⊥平面1ACD ．………………………………10分 作DP ⊥1A C 于P ，因为1EFA C ，所以DP ⊥EF ．………………………………11分因为DP ⊂平面1A CD ，平面1ACD平面1AD E EF =，所以DP ⊥平面1AD E ．…12分由Rt △1A CD ∽Rt DCP ∆，得21CD CP AC ===所以当3CP =时，DP ⊥平面1AD E ．…………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．…………2分 由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，………………………………………………………………4分 化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………5分ABC D E1A 1B1C 1D F P（2）解：由(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ．…………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………7分 当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=．…………8分 圆22(2)4x y +-=的圆心(0,2)到直线AK的距离d =，令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………………………………14分（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．…………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥．…………………………………………3分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．………………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==．………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+，…………………………………………………………………6分∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．………………………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………………8分∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（*n ∈N ）．………………………………9分 （3）解：由（2）知221n b n =-，则()12221n n nn b +=-．………………………………10分所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， 即n T ()()1231212325223221n n n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ①………11分 则()()23412212325223221n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得()13412212222n n n T n ++=⨯------，……………………………………13分故()()()31112122212223612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………………14分（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-.……………………………………1分 ∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立．……2分 即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，…………………………………………………………………3分 3321223x <⨯=，∴1a ≥． 故实数a 的取值范围为[)1,+∞．………………………………………………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．………………………5分 ①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数， 所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是 增函数，所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >． 所以()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数． 所以()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………8分④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数． 所以()()284h a f a ==-．…………………………………………………………………9分 综上所述，函数()f x 在区间[]1,2的最小值：()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩………………………10分（3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭有两个 不同的交点．……………………………………………11分 而直线12y m a ⎛⎫=+⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……………14分。

2022年高考文科数学模拟测试试题注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共7页。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、准考证号分别填写在答题卡及答题纸上。

3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上。

4．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={}0,1,2，N={}2,x x a a M =∈，则集合M N =（ ）A 、{}0B 、{}0,1C 、{}1,2D 、{}0,22．函数44y sin x cos x =+的最小正周期是（ ） A ．2π B.4π C. 2π D. 4π3．若A 、B 、C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p =(sinA ，cosA)，q =(sinB ，−cosB)，则p 与q 的夹角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都不对4．已知抛物线2x y =，则它的准线方程为（ ）A ．14x =B ．14x =-C ．14y =D ．14y =-5． 在等差数列{}n a 中，公差d=1,417a a 8+=,则24620a a a a ++++的值为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．556．若P 为双曲线221916x y -=右支上一点，P 到右准线的距离为65，则点P 到双曲线左焦点的距离为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．87．记函数xy 12-=+的反函数为y=g(x),则g(5)等于（ ）A ．2B ．-2C ．-4D ．48．某校高一、高二年级各有300人，高三年级有400人，现采用分层抽样抽取容量为50人的样本，那么高三年级应出人数为（ ）A ．16B ．40C ．20D ．259．a 2b 0=≠，且关于x 的方程2x a x a b 0++⋅=有实根，则a 与b 夹角的取值范围是（ ）A 、0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若实数x,y 满足x 2y 2x y 2≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则x+2y 的最小值和最大值分别为（ ）A ．2，6B ．2，5C ．3，6D ．3，511．在正三棱柱111ABC A B C -中,若2AB =,11AA =,则点A 到平面1A BC 的距离为（ ）12、非零向量b OB a OA ==,，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB OB +为（ ）A、)(2a b a ⋅ B、)(a b a ⋅ C、a b a )(2⋅ D、a b a )(⋅第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题(4×4′=16分)：13．1212sin cos ππ-= ；14．已知n 为等差数列−4，−2，0，…，中的第8项，则二项式2(nx 展开式中的常数项是 ；15．若一个圆的圆心在抛物线24y x =的焦点上，且此圆与直线10x y ++=相切，则这个圆的方程是 ；16．已知m 、n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ④////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩其中的正确命题序号是：三．解答题（满分74分）：17（本题12分）．已知(53cos ,cos )a x x =，(sin ,2cos )b x x =，记函数2()f x a b b =•+(1)求函数()f x 的最小正周期及最值； (2)当64x ππ≤≤时，求函数()f x 的值域.18（本题12分）．甲、乙两人同时参加一次面试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过。

2014年广东省高考数学文科B卷（有解析）2014年广东省高考数学文科B卷（有解析）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合,则（）A．B．C．D．解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题.，故选C.2．已知复数满足，则（）A．B．C．D．解析：本题考查复数的除法运算，属于基础题..故选A.3．已知向量，则（）A．B．C．D．解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题..故选C.4．若变量满足约束条件则的最大值等于（）A．11B．10C．8D．74、解析：本题考查线性规划问题。

在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。

由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y取得最大值10。

本题也可以通过平移直线，当直线经过（4，2）时，截距达到最大，即取得最大值10.故选答案B.5．下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．5、解析：本题考察函数的奇偶性.对于A，，非奇非偶，对于B，，为偶函数；对于C,，为偶函数；D中函数的定义域为R，关于原点对称，且为奇函数.故答案为D。

6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．20B．25C．40D．506、解析：本题考查系统抽样的特点。

分段的间隔为，故答案为B. 7．在中，角A,B,C所对应的边分别为则“”是“”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件7、解析：本题考查正弦定理的应用。

由于所以所以，故“”是“”的充要条件，故选答案为A.8．若实数满足，则曲线与曲线的（）A．焦距相等B．离心率相等C．虚半轴长相等D．实半轴长相等8、解析：本题考查双曲线的定义和几何性质.本题可以采用一般法和特殊法，一般法在这里不赘述，令，则这两个曲线方程分别为和，它们分别对应的，故。

绝密 ★ 启用前全国统一标准测试 数 学（文科B 卷）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.定义在R 上的函数y =f (x )的值域为［a ,b ］,则f (x +1)的值域为 A.［a ,b ］ B.［a +1,b +1］ C.［a －1,b －1］ D.无法确定2.a =－1是直线ax +(2a －1)y +1=0和直线 3x +ay +3=0垂直的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件3.在等比数列｛a n ｝中，a 1＞1,前n 项和满足∞→n lim S n =11a ,那么a 1的取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,4)C.(1,2)D.(1,2)4.已知m 、l 是异面直线，那么：①必存在平面α过m 且与l 平行；②必存在平面β过m 且与l 垂直；③必存在平面γ与m 、l 都垂直；④必存在平面π与m 、l 距离都相等.其中正确的结论是A.①②B.①③C.②③D.①④ 5.10个人抽2张球票，一人一次依次抽取（每抽一次不放回），则第k 个人抽到球票的概率（k =1,2,…,10）为A.21B.51C.52D.101 6.若得到函数y =sin(2x －4π)的图象，可以把函数y =sin2x 的图象 A.向左平移8π个单位 B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位D.向右平移4π个单位 7.设F 1、F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0,则｜1PF ｜｜2PF ｜的值为A.0B.2C.22D.48.已知复数2－i 的辐角主值是θ,则23+3i 的辐角主值是 A.2π－θ B.2π－θ C.θ－23πD.θ+2π 9.若双曲线以y =±3x 为渐近线，F （0，2）为焦点，则此双曲线方程为A.x 2－32y =1B.x 2－32y =－1C.3222y x -=1D.3222y x -=－1 10.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0,－1),B (3,1)是其图象上的两点，那么｜f (x +1)｜＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞,1]∪［4,+∞)D.(－∞,－1]∪［2,+∞)11.过正三棱锥S —ABC 的一条侧棱SA 及其外接球的球心O ，作棱锥截面SAD .（如图）球心O 在AD 上，则此三棱锥的侧面三角形顶角的余弦值为A.21B.0C.－21D.4112.甲、乙两工厂2003年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相同；乙厂产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同.已知2004年元月份两厂的产值相等，那么2003年7月份产值高的工厂是A.甲厂B.乙厂C.两厂产值一样D.无法确定第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上） 13.设f (x )=221+x ,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的求法，可求得f (－5)+f (－4)+f (－3)+…+f (4)+f (5)+f (6)的值为__________.14.函数y =332++x x 在点x =3处的导数值为__________.15.如下图，表示图中平面区域的公共区域的不等式组是__________.16.有一组数据：x 1,x 2,…x n （x 1≤x 2≤…≤x n ）它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的x n ，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的x 1,余下数据的算术平均值为11，则x 1关于n 的表达式为__________；x n 关于n 的表达式为__________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分） 设x ∈［4π,3π］,f (x )=41(sin 2x －cos 2x －23)+23sin 2(x －4π),求f (x )的最大值和最小值. 18.（本小题满分12分）有一个问题，在半小时之内，甲能解决它的概率是21，乙能解决它的概率是31. 计算：（Ⅰ）两人都未解决的概率； （Ⅱ）问题得到解决的概率. 19.（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F 1=411B A .（Ⅰ）求BE 1与DF 1所成角的余弦值；（Ⅱ）若A 1C 1∩B 1D 1=O ，P 为AA 1上一点且DP ⊥AD ，求DP 与底面ABCD 所成角的正切值.20.（本小题满分13分） 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n 个月，对某种商品需求总量f (n )（万件）近似地满足下列关系：f (n )=1501n (n +1)(35－2n )(n =1,2,3,…，12). （Ⅰ）写出明年第n 个月这种商品需求量g (n )（万件）与月份n 的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过1.4万件；（Ⅱ）若计划每月该商品的市场投放量都是P 万件，并且要保证每月都满足市场需求，则P 至少为多少万件？21.(本小题满分13分)设椭圆3922x y +=1的内接三角形是△P AB ，射线OP 的倾斜角为3π，直线AP 、BP 的倾斜角互补.（Ⅰ）求证：直线AB 的斜率是定值； （Ⅱ）求△P AB 面积的最大值. 22.（本小题满分12分）设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4,…). （Ⅰ）求证：数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4,…).求b n ;（Ⅲ）求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1.参 考 答 案一、1.A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.B 10.B 11.D 12.A二、13.32 14.－6115.⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥+-≥06320220y x y x y 16.11－n n +9 三、17.（12分）解：f (x )=41 (－cos2x －23)+2)22cos(1π--x ·232分 =83－43sin2x －41cos2x4分 =83－21sin(2x +6π).6分 ∵x ∈［4π,3π］,∴(2x +6π)∈［32π,65π］. 8分 ∴当x =4π时，f (x )min =－83； 10分 当x =3π时，f (x )max =823-.12分18.（12分）解：（1）设在半小时内甲能独立解决该问题是事件A ，乙能独立解决该问题是事件B . 2分 那么两人都未解决该问题是事件A ·B . 3分 由于两人是相互独立地求解，于是得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－21）（1－31）=31.7分 （2）“问题得到解决”这一事件的概率为1－P （A ·B ）=1－31=32.12分19.(12分)解：(Ⅰ)不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系O —xyz ，如图，则 B （1，1，0）、E 1（1，43，1）、D （0，0，0）、F 1（0，41，1）.1BE =（1，43，1）－（1，1，0）=（0，－41，1）， 1DF =（0，41，1）－（0，0，0）=（0，41，1）， 4分|1BE |=417，|1DF |=417，1BE ·1DF =0×0+(－41×41)+1×1=1615, ∴cos ＜1BE ,1DF ＞4174171615||||1111⨯=DF BE =1715. 6分（Ⅱ）设P 点坐标为（1，0，z ）， =（1，0，z ）,O (21,21,1),A (1,0,0).AO =(－21,21,1), 8分∵DP ⊥AO ，∴·AO =－21+z =0. z =21,即|AP |=21.10分∴DP 与底面ABCD 所成角为∠ADP ， 则tan ADP =21.12分 20.（13分）解：（Ⅰ）当n =1时，g (1)=f (1)=2511.2分当n ≥2时，g (n )=f (n )－f (n －1)=251(－n 2+12n )(经检验n =1时也成立). 解不等式251（－n 2+12n ）＞1.4, 5分 得5＜n ＜7.7分∵n ∈N ,∴n =6,即第六个月的需求量超过1.4万件. （Ⅱ）由题设可知，对于n =1,2,…,12恒有nP ≥f (n ), 即P ≥1501(n +1)(35－2n ) 9分 =－1501［－2（n －433）2+8332+35］11分当且仅当n =8时，P min =5057=1.14. ∴每月至少投放1.14万件. 13分 21.(13分)（Ⅰ）证明：OP 的直线方程为y =3x .1分联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==+xy x y 313922，得点P 坐标为（26，223）. 设AP 方程为y －223=k (x －26)， BP 方程为y －223=－k (x －26), 联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+)26(22313922x k y x y ，得x A =26323622-+-k k k . 同理,得x B =26323`622-++k k k . ∴AB 的斜率为k AB =36)(=--+=--BA B A B A B A x x kx x k x x y y .∴AB 的斜率为定值.（Ⅱ）解：设直线AB 的方程为y =3x +m ，P 点到直线AB 的距离为d . 则d =2||m ，将直线方程代入椭圆方程，得6x 2+23mx +m 2－9=0. ∴|AB |=2362m -.S △ABP =21d |AB |=321·)36(322m m -≤233. 当且仅当m =±3时，取等号, ∴(S △APB )max =233. 13分22.（12分）（Ⅰ）证明：∵3tS n －(2t +3)S n －1=3t ， ① ∴3tS n +1－(2t +3)S n =3t . ②1分 由②－①,得3t (S n +1－S n )－(2t +3)(S n －S n －1)=0. 2分 3ta n +1=(2t +3)a n . ∵tt a a n n 3321+=+，又∵t ＞0,a 1=1＞0， 3分 ∴a n ＞0,则{a n }成等比数列.4分（Ⅱ)解：由（Ⅰ)知f (t )=t t 332+=t132+. ∴b n =f (11-n b )=32+b n －1，b n －b n －1=32 (n ≥2,n ∈N *).∴{b n }为等差数列且b 1=1，公差d =32.则b n =1+32 (n －1)=312+n . 8分（Ⅲ）解：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1) 9分=－2×32 (b 2+b 4+…+b 2n ) （∵b 2=353122=+⨯,b 2n =314+n .） 10分=－]2)31435([34++n n 11分 =－94n (2n +3).12分。

2013年广东高考文科数学B 卷参考答案二、填空题11. 15 12.12 13.5 14. 1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数） 15. 2三、解答题16. 解：(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．17. 解：1）苹果的重量在[90,95)的频率为20=0.450； （2）重量在[80,85)的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[)95,100分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[80,85)和[)95,100中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 18. 解：（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立， //DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ， BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==.在三棱锥A BCF -中，2BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭ 19. 解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 20. 解：（1）依题意2d ==，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=.∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为9221. 解：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx = ，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=+-≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当(241240k k k ∆=-=+>，即k <()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==。