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2020年高考数学：正弦定理的常见变形及推广（1）已知△ABC 中，∠A =60︒，a ,则++sin +sin +sin a b cA B C=A ．1B ．2C ．D ．无法求解（2）已知△ABC 中，∠B =45︒，b =A ． BCD ．无法求解（3）在ABC △中，若::A B C =1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1 2D ．2∶1【参考答案】（1）B ；（2）B ；（3）C ． 【试题解析】（1）根据正弦定理的变形，可得2sin sin sin sin a b c aA B C A++==++．故选B ．（2）根据正弦定理的推广，可得2sin sin 45b R B ===︒，即R =，故△ABC ，故选B ．（3）设A ＝k ，B ＝2k ，C ＝3k ，由++180A B C ︒＝，得6k ＝180°，k ＝30°，∴A ＝30°，B ＝60° ，C ＝90°，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12．故选C ． 【解题必备】正弦定理的常见变形及推广如下： （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c======． （2）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++．（3）::sin :sin :sin a b c A B C =．（4）正弦定理的推广：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC △外接圆的半径． （5）===2sin sin sin a b c R A B C的两种变形的应用： ①（边化角）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； ②（角化边）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===． 熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果．1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒,a =ABC△的外接圆的面积为 A ．2πB ．23π C ．πD ．4π2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的外接圆的半径是3，3a =，则A =A ．30︒B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30︒或150︒3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △中最长的边是 A ．a B ．bC ．cD ．b c 或4．已知ABC △的外接圆的半径R =cm ，A ＝60°，则BC 边的长为______________ cm ．1．【答案】C 【解析】由2sin aR A=得1R =，所以ABC △的外接圆的面积为π，故选C ． 2．【答案】D【解析】根据正弦定理，得2sin a R A =，31sin 262a A R ===， ∵0180A <<︒︒，∴30A =︒或150A =︒．故选D ． 3．【答案】A【解析】由正弦定理可知sin cos B B =，sin cos C C =，所以45B C ==︒， 故90A =︒，所以a 为最长的边．故选A ． 4．【答案】9【解析】根据正弦定理的推广可知2sin BCR A=，所以2sin BC R A =9==cm ．。
高三数学正弦定理试题答案及解析1.在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝5，AB＝7，∠BDA＝60º，∠CBD＝15º，求BC长.【答案】4【解析】利用已知条件及正余弦定理，即可求得BC的长.试题解析：在ΔABCD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD•BDcos60º，即BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8.（6分）在ΔBCD中，由正弦定理得:.（12分）【考点】解三角形，正弦定理，余弦定理2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】由正弦定理得：，又，所以选D.【考点】正弦定理3.如图,在平面四边形中,.(1)求的值;(2)若,,求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析:(1)题目已知三角形的三条边,利用的余弦定理即可得到该角的余弦值.(2)利用(1)问得到的的余弦结合正余弦之间的关系即可求的该角的正弦值,再利用正余弦之间的关系即可得到,而与之差即为,则利用正弦的和差角公式即可得到角的正弦值,再利用三角形的正弦定理即可求的边长.(1)由关于的余弦定理可得,所以.(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得,再由的正弦定理可得.【考点】三角形正余弦定理正余弦之间的关系与和差角公式4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC的面积为，则＝()A．B．C．2D．2【答案】D【解析】S＝bcsin120°＝，即c×＝，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°＝21，△ABC∴a＝，∴由等比例性质得＝＝2．5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则C＝()A．或 B． C．或 D．【答案】B【解析】∵cos(A－C)＋cosB＝1，∴cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinA·sinC＝1．又由已知a＝2c，根据正弦定理，得sinA＝2sinC，∴sinC＝，∴C＝或．∵a>c，∴A>C，∴C＝．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA－cos(B＋)的最大值为()A．B．2C．D．2【答案】D【解析】由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC．因为0<A<π，所以sinA>0，从而sinC＝cosC．又cosC≠0，所以tanC＝1，又0<C<π，故C＝，于是sinA－cos(B＋)＝sinA－cos(π－A)＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)，又0<A<，所以<A＋<，从而当A＋＝，即A＝时，2sin(A＋)取最大值2．7.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝2，c＝．(1)若sinC＝，求sinA的值；(2)设f(C)＝sinCcosC－cos2C，求f(C)的取值范围．【答案】（1）（2）(－1，]【解析】解：(1)由正弦定理得＝，∴sinA＝＝＝．(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2＝b2＋a2－2bacosC，∴3＝b2＋4－4bcosC，即b2－4cosC·b＋1＝0，由题知关于b的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cosC)2－4≥0，得cosC≤－ (舍去)或cosC≥，∴0<C≤．∴f(C)＝sin2C－＝sin(2C－)－ (－<2C－≤)，∴－1<f(C)≤．故f(C)的取值范围为(－1，]．8.在中，已知，且.（1）求角和的值；（2）若的边，求边的长.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）利用并结合两角差的余弦公式求出，然后再结合的范围求出的值，利用三角形的内角和定理得到，最后再利用两角和的正弦公式求出的值；（2）在（1）的基础上直接利用正弦定理求出的长度.（1）由，，得且，可得，，，，，在中，，；（2）在中，由正弦定理得：，.【考点】1.两角和与差的三角函数；2.内角和定理；3.正弦定理9.（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（2）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．10.在中，角对的边分别为，已知.（1）若，求的取值范围；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，角对的边分别为，已知，且.由正弦定理可用一个角B表示出b,c的值.再根据三角函数角的和差化一公式，以及角B范围.求出最值，再由三角形的三边的关系即可得到结论.（2）由，可得到三角形边b,c与角A的余弦值的关系式，即可得角A的正弦值.再由余弦定理通过放缩以及三角形的面积公式即可得到结论.（1），（2分）（4分）.（6分）（2），（8分）（10分）当且仅当时的面积取到最大值为． . （12分）【考点】1.正余弦定理.2.三角形的面积公式.3.不等式的基本公式.3.最值的求法.11.在中，角所对的边分别为，点在直线上．（1）求角的值；（2）若，且，求．【答案】（1）角的值为；（2）．【解析】（1）由正弦定理先化角为边，得到；再由余弦定理求得，所以角的值为；（2）先用二倍角公式化简，再结合正弦函数的性质可求角，由正弦定理知．试题解析：（1）由题得，由正弦定理得，即.由余弦定理得，结合,得.（2）因为因为，且所以所以，.【考点】正余弦定理、二倍角公式.12.设函数.（1）求的值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域.(2)若,,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理，先求,再求角C,然后利用特殊三角形，得到的值.试题解析：（1）4分因此的值域为[0，2]. 6分（2）由得，即，又因，故. 9分解法1：由余弦定理，得，解得. 12分解法2：由正弦定理，得. 9分当时，，从而； 10分当时，，又，从而. 11分故a的值为1或2. 12分【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理.13.在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，又是锐角三角形，．选A.14.△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。
正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径. (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C . (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3.正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝bc，∴c ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，CD＝a sin_B＝b sin_A，∴asin A＝bsin B，同理，作AC边上的高BE，可得asin A＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.(3)在钝角三角形ABC中，C为钝角，如图，过B作BD⊥AC于D，则BD＝a sin(π－C)＝a sin_C，BD＝c sin_A，故有a sin C＝c sin_A，∴asin A＝csin C，同理，asin A＝bsin B，∴asin A＝bsin B＝csin C.思考下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有()A.1B.2C.3D.4答案 B解析正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确.故选B. 知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.思考正弦定理能解决哪些问题？答案利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.题型一 对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B.a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD.正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确. 当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误. 根据比例式的性质易得C 正确. 大边对大角，故D 正确.跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A.a >b sin A B.a ＝b sin A C.a <b sin A D.a ≥b sin A答案 D解析 在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0,1]， ∴1sin B≥1， 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B ≥b sin A .题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形. (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形. 解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝c sin (A ＋C )sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝csin C， ∴sin C ＝c sin Aa ＝6×sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A.4 2 B.4 3 C.4 6 D.4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______. 答案 (1)C (2)105°或15°解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝bsin B 得b ＝a sin Bsin A ＝8·3222＝4 6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.题型三 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状. 解 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，由正弦定理得sin 2A sin B cos B ＝sin 2B sin Acos A .∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B .∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状. 解 由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形.1.在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A.a sin A ＝b sin B B.b sin C ＝c sin A C.ab sin C ＝bc sin BD.a sin C ＝c sin A2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A.135°B.90°C.45°D.30°3.在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC是( )A.等边三角形B.直角三角形，且有一个角是30°C.等腰直角三角形D.等腰三角形，且有一个角是30°5.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，则△ABC 的形状是________.6.在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________.一、选择题1.在△ABC 中，BC ＝a ＝5，AC ＝b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.572.在△ABC 中，A >B ，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A >sin B B.cos A <cos B C.sin 2A >sin 2BD.cos 2A <cos 2B3.在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1D.3∶1∶14.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形5.已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120° 6.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2833D.2 37.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90° D.115° 8.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.56π二、填空题9.已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________.10.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则角C ＝______.11.在△ABC 中，BC ＝a ＝15，AC ＝b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.三、解答题12.(1)在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，解三角形；(2)在△ABC中，BC＝a＝4，AC＝b，AB＝c＝26，A＝45°，求b，B和C.13.在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.当堂检测答案1.答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A . 2.答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin Bb ＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°. 3.答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4.答案 C解析 由题a cos B ＝b sin A ， 又由正弦定理a sin B ＝b sin A ， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°.同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形. 5.答案 等腰或直角三角形解析 由b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin B b ＝150×12503＝32，又∵C ∈(0°，180°)， ∴C ＝60°或120°， ∴A ＝90°或30°，∴△ABC 为等腰或直角三角形. 6.答案255210 解析 由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.错误!课时精练答案一、选择题 1.答案 A 解析sin A sin B ＝a b ＝53. 2.答案 C解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，A 正确. 由于(0，π)上，y ＝cos x 单调递减， ∴cos A <cos B ，B 正确. cos 2α＝1－2sin 2α.∵sin A >sin B >0，∴sin 2A >sin 2B ， ∴cos 2A <cos 2B ，D 正确. 3.答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝180°，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1， ∴A ＝120°，B ＝30°，C ＝30°.由正弦定理的变形公式得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1. 4.答案 B解析 ∵a ＝b sin A ，∴a b ＝sin A ＝sin Asin B ，∴sin B ＝1，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π2，即△ABC 为直角三角形.5.答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a ＝43×124＝32，又∵B ∈(0°，180°)，且b >a ，B >A ，∴B ＝60°或120°. 6.答案 D解析 利用正弦定理及比例性质，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin 60°＝332＝2 3.7.答案 B解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin (120°－A )＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 8.答案 A解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，∴A ∈(0，π2)，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a >b ，∴A >B ，且A ∈(0，π2)，∴B 必为锐角，∴B ＝π6.二、填空题 9.答案 2解析 ∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sin 30°＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∴a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝2.10.答案 π4解析 由正弦定理，得sin C ＝sin A ·AB BC ＝22. 因为BC >AB ，所以A >C ，则0<C <π3，故C ＝π4. 11.答案 63解析 由正弦定理得sin B ＝b a sin A ＝1015·sin 60°＝33， 又b <a ，∴0°<B <60°，∴cos B >0，∴cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－(33)2＝63. 三、解答题12.解 (1)因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得a ＝sin A sin C·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2). 所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2).(2)由正弦定理a sin A ＝c sin C得 sin C ＝c sin A a ＝26×224＝32. ∵C ∈(0°，180°)，且c >a ，C >A ，∴C ＝60°或120°，∴B ＝75°或15°，∴sin B ＝6＋24或6－24， ∴b ＝a sin A ·sin B ＝422×6±24＝2(3±1)， ∴b ＝2(3＋1)，B ＝75°，C ＝60°或b ＝2(3－1)，B ＝15°，C ＝120°.13.解 方法一 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin B cos C＝2sin B cos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝2 2.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.方法二根据正弦定理asin A＝bsin B＝csin C.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.。
2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32 ＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1 ，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. ＝3A.3 B.3C.3或3 D.3或3 D.＝，求出＝3，∵1AB ＝2，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2， ＝1. ＝ 2. 3，π，则A ＝c sin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得，得2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解．答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°， 由正弦定理得AC＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. ＝π4. 3π4，∴＝2A ＝b sin B ＝c sin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b ∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴＝2，c ＝ 5. ABC 中，ab ＝603，153，求边＝1153＝1603×3×sin ＝12，∴∠603，a sin A ＝b sin B ，∴215. 215. 2. ：a sin 。
正弦定理与余弦定理【知识概述】在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===C B A c b a sin :sin :sin ::=2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆【学前诊断】1．[难度] 易在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．[难度] 易在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = .【经典例题】例1．在△ABC 中，若 ,则△A =45°，a = 2,c ，则△B =_______, b =___________.例2．已知△ ABC 满足条件cos cos ,a A b B =判断△ ABC 的形状.例3． 在△ABC 中，△A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos3.25A AB AC =⋅= （1）求△ ABC 的面积；（2）若b + c =6，求a 的值．例4．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.例5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是 a ，b ，c ，已知 c =2，C =π3．（1）若△ABC a ，b ； （2）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积．【本课总结】一、合理选择使用定理解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.二、确定三角形的形状常用归一法 在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.三、解三角形主要涉及的问题解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.如，若已知两边a,b 和角A,则解的情况如下：（1）当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解. （2）当A 为锐角时，如果a≥b ，那么只有一解；如果a<b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若>sin a b A ，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解.【活学活用】1．[难度] 易在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，a =3，b =1，则c 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 32. [难度] 易△ABC 中，若a =2b cos C ，则△ABC 的形状一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形3. [难度] 中在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足c a )13(-=，tan 2tan B a cC c-=，求A 、B 、C 的大小.。
正弦定理1. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即公式适用于任意三角形。
2. 正弦定理的变形3. 判断三角形解的问题 “已知a,b 和A,解三角形”①当sin B >1,无解 ②sin B =1,一解 ③sinB <1,两个解（其中B 可能为锐角也可能为钝角，具体是锐角还是钝角还是两个都可以，要根据“大边对大角”及“三角形内角和等于180”来判断）题型一：已知两角及任意一边解三角形1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14变形：题型二：已知两边及一边对角解三角形1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.4 .在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 5．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．6. 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解7.在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.8.在△ABC 中，B=4π,b=2,a=1,则A 等于 .题型三：正弦定理的边角转化1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定2．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC 中，如果Cc B b A a tan tan tan ==,那么△ABC 是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 4. 在△ABC 中，已知b B a 3sin 32=，且cosB=cosC ，试判断△ABC 形状。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
高三数学正弦定理试题答案及解析1.在中，,则的面积等于___ __.【答案】【解析】由余弦定理得：.所以.【考点】解三角形.2.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求的值；（2）求的范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先利用等差中项的定义找出等量关系，再利用三角恒等变换化简求解；（2）先由（1）得，从而代入，转化为只含Ａ的三角函数，利用三角公式将其化为的形式，再注意到，进而转化成三角函数求值域问题求解．试题解析：（1）由正弦定理得，，即：，.又在中，，.（2），所以，的范围是．【考点】１．等差数列的性质；２．正弦定理；３．三角函数的图象和性质．3.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.【答案】150【解析】根据题意，在中，已知，易得：;在中，已知，易得：，由正弦定理可解得：，即：;在中，已知，易得：.【考点】1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用4.若的内角满足，则的最小值是 .【答案】【解析】由已知及正弦定理可得，，当且仅当即时等号成立．【考点】正弦定理与余弦定理．5.在△ABC中,2sin2=sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则=____________.【答案】【解析】2sin2=sinA⇔1-cosA=sinA⇔sin=,又0<A<π,所以<A+<,所以A+=,所以A=.再由余弦定理,得a2=b2+c2+bc①将sin(B-C)=2cosBsinC展开,得sinBcosC=3cosBsinC,所以将其角化边,得b·=3··c,即2b2-2c2=a2②将①代入②,得b2-3c2-bc=0,左右两边同除以bc,得-3×-1=0,③解③得=或=(舍),所以==.6.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且c＝3，a＝2，a＝2bsin A，则△ABC的面积为________．【答案】【解析】由题意知，bsin A＝1，又由正弦定理得：bsin A＝2sin B，故解得sin B＝，所以△ABC的面积为acsin B＝．7.设函数f(x)＝cos＋2cos2，x∈R．(1)求f(x)的值域；(2)记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)＝1，b＝1，c＝，求a的值．【答案】（1）[0,2] （2）1或2【解析】(1)f(x)＝cos xcos －sin xsin ＋cos x＋1＝－cos x－sin x＋cos x＋1＝cos x－sin x＋1＝sin＋1，因此f(x)的值域为[0,2]．(2)由f(B)＝1得sin＋1＝1，即sin＝0，又因0<B<π，故B＝．方法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或2．方法二由正弦定理＝，得sin C＝，C＝或．当C＝时，A＝，从而a＝＝2；当C＝时，A＝，又B＝，从而a＝b＝1．故a的值为1或2．8.已知分别为三个内角A、B、C的对边，若,则=_________.【答案】【解析】【考点】正弦定理和余弦定理.9.设函数.（1）求的值域；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据两角和的余弦公式展开，再根据二倍角公式中的降幂公式展开，然后合并同类项，利用进行化简；利用三角函数的有界性求出值域.(2)若,,得到角的取值，方法一：可以利用余弦定理，将已知代入，得到关于的方程，方法二：利用正弦定理，先求,再求角C,然后利用特殊三角形，得到的值.试题解析：（1）4分因此的值域为[0，2]. 6分（2）由得，即，又因，故. 9分解法1：由余弦定理，得，解得. 12分解法2：由正弦定理，得. 9分当时，，从而； 10分当时，，又，从而. 11分故a的值为1或2. 12分【考点】两角和的余弦公式、二倍角公式、余弦定理、正弦定理.10.已知向量，设函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积的坐标表示，先计算，然后代入中，利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数解析式化为，然后利用复合函数的单调性和正弦函数的单调区间，求出函数的单调递增区间；（2）三角形问题中，涉及边角混合的式子，往往进行边角转换，或转换为边的代数式，或转换为三角函数问题处理．将利用正弦定理转换为，同时结合已知和余弦定理得，，从而求，进而求的值．试题解析：（1）令 6分所以所求增区间为 7分（2）由，， 8分，即 10分又∵， 11分 12分【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函数的图象和性质.11.的三个内角A，B，C所对的边分别为，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据正弦定理可知，即，所以，选B.12.在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.（1）求sinA的值；（2）设AC=，求ABC的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）∵sin(C-A)=1且A，B，C为三角形之内角，∴C-A=，又C+A=-B，∴A=-∴sinA=sin(-)=(cos-sin)，∴sin2A =(cos2+sin2-2sin cos)即，又，∴（2）如图，由正弦定理得∴，又∴13.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)要得到的最小正周期,必须对进行化简,首先观察与之间的关系,可以发现,故利用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)把,再利用正弦的倍角公式即可得到函数的最简形式,利用周期即可得到最小正周期.(2)把带入(1)得到的中,化简即可求的C角的大小,A角已知,所以可以求的C,A两个角的正弦值,利用正弦定理可得所求比值即为A,C两个角的正弦之比,带入即可求出.试题解析：（1）因为，所以函数的最小正周期为 6分（2）由（1）得，，由已知，，又角为锐角，所以，由正弦定理，得 12分【考点】诱导公式正弦定理周期正弦倍角公式14.在三棱锥中，，，，则与平面所成角的余弦值为.【答案】【解析】作PO⊥面ABC，垂足为O，连结AO，BO，CO，∴∠PBO是PB与面ABC所成的角，因，∴≌≌，∴AO=BO=CO，∴O是△ABC的外心，由正弦定理知，===12（R为△ABC外接圆半径），∴R=6，∴在Rt△POB中，∠BPO=30，∴∠PBO=，其余弦值为.【考点】1.正弦定理；2.线面角.15.已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）设△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，，，，求的值．【答案】(1) (2)【解析】(1)首先利用正弦和差角公式展开,再利用正余弦的二倍角与辅助角公式化简,得到,则从x的范围得到的范围,再利用正弦函数的图像得到的取值范围,进而得到的取值范围.(2)把带入第(1)问得到的解析式,化简求值得到角A,再利用角A的余弦定理,可以求出a的值,再根据正弦定理,可以求的B角的正弦值,再利用正余弦之间的关系可以求的A,B的正余弦值,根据余弦的和差角公式即可得到的值.试题解析：（1）.4分∵，∴，．∴． .7分（2）由，得，又为锐角，所以，又，，所以，． .10分由，得，又，从而，．所以， 14分【考点】三角形正余弦定理正余弦和差角与倍角公式正弦函数图像16.在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项．(1)求B的大小；(2)若a＋c＝，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）B＝（2）【解析】(1)由题意，得acosC＋ccosA＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC＋cosAsinC＝2sinBcosB，即sin(A＋C)＝2sinBcosB.∵A＋C＝π－B，0＜B＜π，∴sin(A＋C)＝sinB≠0.∴cosB＝，∴B＝.(2)由B＝，得＝，即＝，∴ac＝2.∴S＝acsinB＝.△ABC17.已知函数,的最大值为2．（1）求函数在上的值域；（2）已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查三角函数的最值问题、函数的单调性、正弦定理等基础知识，同时考查运算转化能力和计算能力.第一问，利用最大值为，可以解出m的值，利用两角和的正弦公式化简，根据函数定义域求的值域；第二问，利用第一问的表达式，化简，再利用正弦定理将角转化成边，由，从而得到的值.试题解析：（1）由题意，的最大值为，所以． 2分而，于是，． 4分在上递增．在递减，所以函数在上的值域为； 5分（2）化简得． 7分由正弦定理，得， 9分因为△ABC的外接圆半径为．． 11分所以 12分【考点】1.两角和的正弦公式；2.正弦定理；3.三角函数值域.18.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理,得sinBcosC+cosBsinC=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和定理及互为补角的诱导公式,得sin(B+C)=sin2A=1,所以A=,故选A.19.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若B=2A,a=1,b=,则c等于()(A)2 (B)2 (C) (D)1【答案】B【解析】由正弦定理,得=,∵B=2A,a=1,b=,∴==,∵sinA≠0,∴cosA=得A=,B=,C=.∴c==2.故选B.20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A．2+2B．+1C．2-2D．-1【答案】B【解析】由正弦定理知c==2.又sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,所以△ABC的面积S=bcsin A=+1.故选B.21.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，故，所以，由正弦定理可得，故选B.【考点】1.二倍角公式；2.正弦定理22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝120°，c＝a，则() A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定【答案】C【解析】因为sin 120°＝sin A，所以sin A＝，则A＝30°＝B，因此a＝b23.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________．【答案】【解析】因为cos A＝，cos B＝，所以sin A＝，sin B＝.由正弦定理得，即，所以a＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即9＝＋c2－2c，解得c＝ (负值舍去)．24.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别a，b，c，且a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，则角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】由题意，得2b cos B＝a cos C＋c cos A，根据正弦定理可得2sin B cos B＝sin A cos C＋cos A sin C，即2sin B cos B＝sin(A＋C)＝sin B，解得cos B＝，所以B＝60°25.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________．【答案】【解析】先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由，且8b＝5c，C＝2B，所以5c sin 2B＝8c sin B，所以cos B＝.所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.26.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值；(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．【答案】（1）－（2）【解析】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，∴cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，由正弦定理，有，所以，sin B＝.由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影为||cos B＝.27.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为______米．【答案】400【解析】如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得所以，得AD＝400 (米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理，可得AC2＝AD2＋CD2－2×AD×CD×cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．28.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．【答案】（1）A＝（2）【解析】(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝，(2)由S＝bc sin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sin B＝sin A，sin C＝sin A.∴sin B·sin C＝sin2A＝×＝.29.在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝()．A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC cos ∠ABC＝()2＋32－2××3cos ＝5.∴AC＝，由正弦定理得sin ∠BAC＝.30.已知函数f(x)＝sin x cos x＋cos 2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.(1)求角B的大小；(2)若a＝，b＝1，求c的值．【答案】（1）B＝，（2）c＝1【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，所以f(B)＝sin ＝1，又∈，所以2B＋＝，所以B＝(2)法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得c2－3c＋2＝0，所以c＝1，或c＝2.法二由正弦定理得sin A＝，所以A＝或A＝，当A＝时，C＝，所以c＝2；当A＝时，C＝，所以c＝1.31.类比正弦定理，如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角B-AA1-C，C-BB1-A，B-CC1-A的平面角分别为α，β，γ，则有________．【答案】＝＝【解析】根据正弦定理得＝＝，即＝＝，而AA1＝BB1＝CC1，且EF·BB1＝SBB1C1C，DF·CC1＝SAA1C1C，DE·AA1＝SAA1B1B，因此＝＝32.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，∴AC＝3.由正弦定理，得＝＝.33.设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、，且，,则的取值范围为（）.A．B．C．．D．【答案】A【解析】要求的范围，首先用正弦定理建立一个关系，，从而，因此我们只要确定出的取值范围，就可求出的取值范围了，，从而，又，，所以有，，所以．【考点】正弦定理，锐角三角形的判定．34.在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题的突破口主要是抓住条件可使用正弦定理，得到，然后利用三角函数即可求得；（2）本小题首先通过正弦定理把三边用角表示出来，，然后把周长的问题转化为三角函数的值域求解问题；当然本小题也可采用余弦定理建立三边之间的关系，然后根据基本不等式求得，再根据三角形中两边之和大于第三边可得，于是，又，所以求得周长范围为.试题解析：（1）由条件结合正弦定理得，从而，∵，∴ 5分（2）法一：由正弦定理得：∴，， 7分9分∵ 10分∴，即（当且仅当时，等号成立）从而的周长的取值范围是 12分法二：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）∴（，又，∴，从而的周长的取值范围是 12分【考点】1 正弦定理；2 余弦定理；3 基本不等式35.在中，角所对的边分别为满足，,, 则的取值范围是 .【答案】【解析】∵,∴，∴，∴为钝角，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，，∴.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.正弦定理；4.三角函数的值域.36.已知中，角的对边分别为，且满足.（I）求角的大小；（Ⅱ）设，求的最小值.【答案】（I）；（Ⅱ）当时，取得最小值为0．【解析】（I）利用正弦定理或余弦定理，将已知式化为：，再利用三角函数相关公式（两角和的正弦公式、诱导公式等），结合三角形内角和定理将其化简，即可求得角的大小；（Ⅱ）由已知及平面向量的数量积计算的坐标公式，可得的函数关系式：．由（I），，从而，只需求函数的最小值即可．试题解析：（I）由正弦定理，有， 2分代入得. 4分即.． 6分，． 7分． 8分（Ⅱ）， 10分由，得. 11分所以，当时，取得最小值为0． 12分【考点】1．利用正弦定理、余弦定理解三角形；2．平面向量的数量积运算；3．三角函数的最值．37.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，＝（sinA，1），＝（cosA，），且∥．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）；（II）△ABC的面积为或.【解析】（1）根据向量平行的坐标运算解答；（2）由（1）得出角A的大小，利用正弦定理计算，计算角大小，然后利用三角形中计算角，根据三角形面积公式解答即可.试题解析：（1） 4分（2）由正弦定理可得，，或. 6分当时，； 9分当时，. 11分故，△ABC的面积为或. 12分【考点】平面向量的坐标运算、正弦定理、解三角形、三角形面积公式.38.的角的对边分别为，已知.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，,求的值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)先根据正弦定理将已知表达式：，全部转化为边的关系，然后根据余弦定理求出角的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及三角形的内角求角；(Ⅱ)先根据三三角形的面积公式求出，然后根据余弦定理的变形，求得，将已知的与代入此式可解得.试题解析：（1）根据正弦定理，原等式可转化为：， 2分， 4分∴. 6分(Ⅱ)，∴， 8分， 10分∴. 12分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理及其变形；3.解三角形；4.三角形的面积公式；5.特殊角的三角函数值39.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求和的值.【答案】（1）；（2），；【解析】（1）本小题主要通过正弦定理得边角互化把条件转化为，然后利用余弦定理化简可得；（2）本小题通过展开得，然后根据正弦定理求得，.试题解析：（1）由正弦定理得由余弦定理得故 6分（2）故13分【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.40.在中，角的对边分别为,,.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据已知条件，建立的方程组即可得解.（Ⅱ）应用余弦定理可首先.进一步应用正弦定理即得.试题解析：（Ⅰ）由和可得, 2分所以， 3分又所以. 5分（Ⅱ）因为,,由余弦定理可得 7分，即. 9分由正弦定理可得 11分， 12分所以. 13分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积.41.在△中，角的对边分别为，若，则等于.【答案】【解析】因为，，，所以，，由正弦定理得，.【考点】，三角函数同角公式，正弦定理.42.已知的三个内角满足，则角的取值范围是．【答案】.【解析】设的外接圆的半径为，则三个内角、、的对边分别为、、，由于，则有，即，故有，由余弦定理得，，当且仅当的时候，上式取等号，，，即角的取值范围是.【考点】正弦定理与余弦定理、基本不等式43.在中，内角的对边分别为．已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为钝角，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）【解析】（I）由正弦定理，设则所以………………4分即，化简可得又，所以因此……………….6分（II）由得由题意，…10分……………………………………12分【考点】正余弦定理解三角形点评：正弦定理，余弦定理，，，两定理可以实现三角形中边与角的互相转化44.如图，在某港口处获悉，其正东方向20海里处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西据港口10海里的处，救援船接到救援命令立即从处沿直线前往处营救渔船.(Ⅰ) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）试问救援船在处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（已知）.【答案】 (Ⅰ) 接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里.（Ⅱ）救援船应沿北偏东的方向救援.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中的应用，注意方位角与计算的准确性，考查计算能力．（Ⅰ）：△ABC中，求出边长AB，AC，∠CAB，利用余弦定理求出BC，即可求接到救援命令时救援船据渔船的距离；（Ⅱ）△ABC中，通过正弦定理求出sin∠ACB的值，结合已知数据，得到∠ACB即可知道救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援．解：(Ⅰ) 由题意得：中，，……………3分即，所以接到救援命令时救援船据渔船的距离为海里. (6)（Ⅱ）中, ,,由正弦定理得即………9分，，故救援船应沿北偏东的方向救援. …………… 12分45.在中，，，则 ( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理，，故B>A,所以或，选C46.在中，若，则角B为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,所以.47.在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则．【答案】【解析】因为由正弦定理可知，得到sinB=，由于b<a，因此48.（本小题满分14分）中，角A，B,C的对边分别是且满足（１）求角B的大小；（２）若的面积为为，求的值；【答案】(1). ⑵a＋c＝．【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用。
