2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考模拟百校联盟第四次押题卷及答案解析

最新高三第四次联考试题数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．BACDD DABCC 1．设集合(){}lg 32A x y x ==-，集合{}1B x y x ==-，则A B ⋂=（）A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(],1-∞C ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．设,a b 为实数，若复数()()112i a bi i +⋅+=+，则（）A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b == D ．1,3a b == 3. 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( C )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 24. 下列命题中的假命题．．．是（） A ．0,3<∈∃x R x B ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件C ．,20xx R ∀∈> D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题5. 已知奇函数(),0,(),0.f x x yg x x >⎧=⎨<⎩如果()x f x a =(0a >且1)a ≠对应的图象如图所示，那么()g x = ( )A ．1()2x -B ．1()2x-C ．2x -D ．2x -6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④7. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为12y x =，则该双曲线的离心率为( )A ．25 B ．3 C ．5 D ．28．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥>-+>-+0,0072052y x y x y x ，且x 、y 为整数，则34x y +的最小值为（）A ．14B ．16C ．17D ．199. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．-1B ．23 C ．32D ．4 10．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ∃∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”．现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈；②()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；③()2log f x x =；④()1x f x x-=.其中为“敛1函数”的有( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②③ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 0.32 12.3101013.4114. 1 15. 4 11．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概率是 ． 12. 在ABC ∆中，4ABC π∠=，2AB =，3BC =，则sin BAC ∠=.13. 把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如右图所示，则侧视图的面积为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为____.15．(几何证明选讲选做题)如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、已知函数x x x x f cos sin cos )(2+=．（1）求函数)(x f 的最大值；（2）在ABC ∆中，3==AC AB ，角A 满足1)82(=+πA f ，求ABC ∆的面积.17、某班20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (I) 求频率分布直方图中a 的值；(II) 分别求出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； (III) 从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率.18、如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面ABCD 垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形,M 为PC 的中点.(Ⅰ) 求证:PC AD ⊥；(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q 的位置并证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离.19、已知二次函数2()f x ax bx =++c 的图象通过原点，对称轴为n x 2-=，()f x '是()f x 的导函数，且(0)2,f n '=()n ∈*N .（I ）求)(x f 的表达式；（II ）若数列{}n a 满足)('1n n a f a =+，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （III ）若212nn a a n n b -+⋅=，n n b b b S +++=K 21，是否存在自然数M,使得当M n >时n n S n -⋅+1250>恒成立?若存在,求出最小的M;若不存在,说明理由.20、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求证：MN ⊥x 轴；（Ⅲ）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0），求证：直线AB 过定点．21、设知函数)(ln 1)(R a x a x xx f ∈+-=（e 是自然对数的底数）． （1）若函数)(x f 在定义域上不单调，求a 的取值范围； （2）设函数)(x f 的两个极值点为1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，是否存在a ，使得2122--≤a e ek ？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由．数学（文科）参考答案一、选择题：BACDD DABCC二、填空题：11. 0.32 12. 13.4114. 1 15. 4 三、解答题：16解：（1）x x x x f cos sin cos )(2+=x x 2sin 2122cos 1++=…………2分 21)2cos 222sin 22(22++=x x 21)42sin(22++=πx ……… 4分 ∵1)42sin(1≤+≤-πx ，∴)(x f 的最大值为2122+． ……… 6分（2）∵1)82(=+πA f ，∴121]4)82(2sin[22=+++ππA ，………7分 即22)2sin(=+πA ，∴22cos =A ． …………9分∵A 为ABC ∆的内角，∴22sin =A ． ………………10分∵3==AC AB ，∴ABC ∆的面积429sin 21=⨯⨯⨯=A AC AB S …12分17【答案】（I ）0.005a =；….3分（II ）2,3； ……7分 （III ）310…………………………..12分 解：法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O =I ,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以PC AD ⊥.………………4分法二:连结AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 又M 为PC 的中点,所以AM PC ⊥,DM PC ⊥,又AM DM M =I ,AM ⊂平面AMD ,DM ⊂平面AMD , 所以PC ⊥平面AMD ,又AD ⊂平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分(Ⅱ)当点Q 为棱PB 的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………6分 取棱PB 的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC ,在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.…………8分 (Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离,由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD ,即PO 为三棱锥P ACD -的体高.………………9分在Rt POC ∆中,PO OC ==PC =在PAC ∆中,2PA AC ==,PC =边PC 上的高AM ==,所以PAC ∆的面积1122PAC S PC AM ∆=⋅==,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由D PAC P ACD V V --=得………………11分1133PAC ACD S h S PO ∆∆⋅=⋅,又22ACD S ∆==所以1133h =解得h =,所以点D 到平面PAM的距离为………………14分 19. （I ）由已知，可得0=c ，()2f x ax b '=+， ……….. 1分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==n a b nb 222 解之得12a =，n b 2= ………….3分nx x x f 221)(2+=∴ ……… 4分（II ）Θn a a n n 21+=+…………….5分11223211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n +-+-++-+-=∴---K=442)1(24)1321(22+-=+-⨯=+-++++n n n n n K ………. 8分 （III ）n n n n n a a n n 2)4(4)1()1(221=+--++-+=-+n a a n n n b nn 2221⋅=⋅=∴-+ …………………10分n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅=K （1）1332242322212+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S K （2）（1）—（2）得：111212222222+++⋅--=⋅-++=-n n n nn n n S K ……12分∴n n S n -⋅+12=50221>-+n ，即5221>+n 当5≥n 时，5221>+n …..13分4=∴M 存在，使得当M n >时，n n S n -⋅+1250>恒成立 ……. 14分20解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>，由题意的12p =，2p =所以抛物线的方程为：24y x =（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且120,0y y >>，由24(0)y x y =>得，y =所以'y =所以切线AC的方程为：'1)y y x x -=-，即'112()y y x x y -=- 整理得：112()yy x x =+，---------（1） 且C 点的坐标为1(,0)x -，同理得切线BD 的方程为：222()yy x x =+，-----------(2) 且C 点的坐标为2(,0)x -，由（1）（2）消去y ，得02(1)yy x =+。

重点中学高考冲刺模拟（四）数学（文）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分 注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生需将自已的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干静，再选涂其他选项第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（原创，容易）1.复数ii -3-12）（的值是（ ）A ．i 4341+-B ．i 4341-C ．i 5351+-D ．i 5351- 【答案】D【解析】i i i i i i i i i i 53511062)3)(3()3(2323)1(2-=-=+-+-=--=--．【考点】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算． （原创，容易）2.已知全集为实数集R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则=)(B C A R I （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1( 【答案】C【解析】{},31|<<-=x x A {},21|≥<=x x x B ，或 {}21|<≤=x x B C R {}21|)(<≤=⋂∴x x B C A R【考点】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法.（原创，容易）3.为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批216套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家庭720户，540户，360户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18 【答案】A【解析】根据分层抽样的要求可知在C 社区抽取户数为4892216360540720360216=⨯=++⨯．【考点】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用．3162-4=（原创，容易）4.将函数)63sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移2个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为（ ）A ．2)43sin(2)(--=πx x g B ．2)43sin(2)(++=πx x g C ．2)123sin(2)(+-=πx x g D ．2)123sin(2)(--=πx x g 【答案】C【解析】根据三角函数图象的平移变换可得，将)(x f 的图象向左平移4π个单位得到函数)4(π+x f 的图象，再将)4(π+x f 的图象向上平移2个单位得到函数2)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 2)4(++πx f 2)123sin(22]6)4(31sin[2+-=+-+=πππx x . 【考点】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解.（原创，容易）5.在区间[0，6]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式2log 12≤≤x 的概率为（ ）．A ．61 B ．31 C ．21 D ．32【答案】B【解析】解不等式2log 12≤≤x ，可得42≤≤x ，∴在区间[0，6]上随机取一实数x ，该实数x 满足不等式2log 12≤≤x 的概率为【考点】本题考查几何概型．（改编，中档）6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为（ ） A. 2B. 224+ C. 244+ D. 246+ 【答案】C【解析】底面是等腰直角三角形边长分别是，、、222侧棱长是2的直三棱柱易得侧面积244+【考点】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用.（原创，中档）7.“41-=<b a ，”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y +=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y +=对称，所以圆心（1，-3）在直线b x y +=上，所以,4,13-=+=-b b 所以由圆056222=++-+a y x y x 得,020-364>+a 2<a 所以，所以充要条件是42-=<b a ，，易知选A【考点】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查．（改编，中档）8.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10<<m B ．1-<m C ．1≥m D ．1>m 【答案】D【解析】画出可行域如图，可求得A （1,3），由已知得直线l 过点A 时截距最大，此时需要直线l 的斜率大于02=+-y x 的斜率，即大于1【考点】本题考查了线性规划知识.（改编，中档）9.已知函数11sin )1()(22++++=x xa x x f （a R ∈），2(ln(log 5))5f =，则5(ln(log 2))f =（ ） A ．5- B ．1-C ．3D ．4【答案】B【解析】21sin 211sin )1()(222+++=++++=x xa x x x a x x f1sin )1(2)()(22+++=-=x xa x x f x g 令，则()x g 为奇函数，32))5(ln(log ))5(ln(log 22=-=f g ，3))5ln(log ())2(ln(log 25-=-=g g ，1232))2(ln(log ))2(ln(log 55-=+-=+=g f ，故选B.【考点】：函数的奇偶性的应用及对数与函数值问题.（选编，难题）10.已知)0,0(1222221>>=-b a by a x C F F ：是双曲线，的左、右焦点，若直线x y 3=与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形PF 1QF 2是矩形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 525+B ．525-C ．13+D ．13-【答案】C.【解析】由题意知为正三角形2OPF ∆，中，在直角三角形由定义得2112,2,F PF c a PF c PF +==,32,4)2(,4)2(222222e e e e e c c a c =+∴=++=++即∴e=+1．故选：C ．【考点】双曲线的简单性质．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）（原创，容易）11.已知向量b a ,满足2=a ，2||=b ，4)3()(=-⋅+b a b a ，则a 与b 的夹角为. 【答案】32π【解析】由4)3()(=-⋅+b a b a 得，4||2322=-⋅+b b a a ，即422432=-⋅+⨯b a ，得2-=⋅b a .∴21222||||,cos -=⨯-=>=<b a b a b a ，∴>=<b a ,32π. 【考点】本题考查向量的数量积、模及夹角知识.(改编，容易)12.执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.【答案】54【解析】根据程序框图可知，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和371311751=++++. 【考点】本题考查程序框图.（原创，中档）13.在等差数列}{n a 中，20171-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2017S 的值等于. 【答案】2017- 【解析】,212)1(11d n a n S d n n na S n n -+=∴-+=，Θ2,2810810=∴=-d S S 又201720162017201720172017-=⨯+-⨯=∴）（S【考点】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式.（改编，中档）14.已知的最小值则y x xy y x y x 2,822,0,0+=++>>是. 【答案】4【解析】2228)2(82⎪⎭⎫⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422≥-+++y x y x 即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 【考点】本题考查了考察基本不等式和一元二次不等式的解法.（选编，难题）15.函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若方程()13f x mx =-恰有四个不等的实数根, 则实数m 的取值范围是．【答案】），（32131e由BC 绕点C 转至切线BA 过程中，()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩与13y mx =-有四个交点，所以m 的取值范围是），（32131e，故答案为），（32131e . 【考点】本题考查1、分段函数的解析式及图象；2、导数的几何意义、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想.(1)解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（选编，容易）16.（本题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积53S =21a =sin sin B C +的值．【解析】（1）由22sin 3cos()0A B C ++=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=， ………………3分解得：1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=. ………………6分（2）由11sin 22S bc A bc ====20bc =. 由余弦定理，得22222cos ()321a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以9b c +=. ………………9分 由正弦定理，得：sin sin sin sin sin ()914b c A B C A A b c a a a +=+=⨯+==. ………………12分【考点】本题考查了三角函数与解三角形.（选编，容易）17.（本题满分12分）甲乙两人用四张扑克牌（红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，将牌洗匀后，背面朝上，按如下规则抽取：甲先抽，乙后抽，抽取的牌不放回，各抽取一张。

2020届全国百校联考新高考押题模拟考试（四）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin510︒=（ ）A.12B.2C. 12-D. 【答案】A 【解析】1sin510sin(360+150)sin1502︒=︒︒=︒=．选A ． 2.已知集合{}{}2|20,|21xA x x xB x =->=<，则()RC A B =U （ ）A. ∅B. [0,2]C. (,2)-∞D. (,2]-∞【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A ，求出A 的补集，再根据并集的概念，即可求出结果.【详解】{}2|20{|2A x x x x x =->=>Q 或0}x <，{|02}R C A x x =剟∴， 又{}|21{|0}=<=<Q xB x x x ，()RC {|2}=U A B x x ∴….故选：D【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记并集与补集的概念即可，属于基础题型. 3.已知121232211,,322a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据函数12()f x x =与1()2⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x 的单调性，即可得出结果. 【详解】12()f x x =Q 在[0,)+∞上为增函数，11222132⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，又1()2⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x 在R 上为减函数，12231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，b c a ∴<<. 故选：D【点睛】本题主要考查指数幂比较大小，熟记指数函数与幂函数单调性即可，属于常考题型.4.在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ） A. 1- B. 32-C. 2-D. 52-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到12=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AE AB BE AB AD ，12BF BC CF AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再由向量数量积的运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，所以12=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AE AB BE AB AD ，12BF BC CF AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1122⎛⎫∴⋅=+⋅⎛⎫ ⎪⎝-+ ⎪⎝⎭⎭u u u u u u r u u u r u u u r u r u u u r u u r AE BF A D A B A AB D 2211313222422AB AD AB AD =-++⋅=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记运算法则即可，属于常考题型. 5.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26712a a a ++=，则9S =（ ） A. 20 B. 27 C. 36 D. 45【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到131212+=a d ，推出144+=a d ，再由等差数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，26712a a a ++=，131212+=a d ∴，因此144+=a d 又()9111989936942S a d a d a d ⨯=+=+=+Q ，936S =∴. 故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，熟记等差数列的求和公式与通项公式即可，属于常考题型. 6.在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 轴非负半轴为始边，它们的终边关于射线2y x =(0)x …对称，那么sin()αβ+=（ ）A.B.C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】先设直线2(0)y x x =≥的倾斜角为θ，得到sin θ=，cos θ=，再由题意得到22,k k Z αβθπ+=+∈，从而可求出结果.【详解】设直线2(0)y x x =≥的倾斜角为θ，则tan 2θ=,sin θ=∴，cos θ=， 由已知可知22,k k Z αβθπ+=+∈，4sin()sin 22sin cos 5αβθθθ+===∴. 故选：D【点睛】本题主要考查由角的终边之间关系求三角函数值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式即可，属于常考题型.7.在命题“若21a >，则1a >”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】分别写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，直接判断，即可得出结果.【详解】命题“若21a >，则1a >”的逆命题为“若1a >，则21a >”，为真命题； 否命题为“若21a „，则1a „”，为真命题；逆否命题“若1a „，则21a „”，为假命题， 所以假命题的个数为1. 故选：B【点睛】本题主要考查四种命题真假的判断，熟记四种命题以及四种命题真假之间的关系即可，属基础题型.8.函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，直线y =()f x 图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于23π，且(0)f =，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】 先由直线y =()f x 图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于23π，得到23π==A T ，求出ω，再由(0)f =求出6π=ϕ，从而可求出结果.【详解】Q 直线y =()f x 图象相邻两个交点的横坐标之差的绝对值恒等于23π， 23π==A T ∴，3ω=∴，因此())ϕ=+f x x ， 又(0)f =ϕ=||2ϕπ<，解得6π=ϕ，()36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴故选：B【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式的问题，熟记正弦函数的图像与性质即可，属于常考题型.9.方程5sin log ||0x x +=的根的个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到方程5sin log ||0x x +=的根，即是函数sin ()y x x R =∈与函数5log ||y x =-图像交点的横坐标，作出函数sin ()y x x R =∈和函数5log ||y x =-的图象，根据5log 51-=-，且352π>，即可判断出结果.【详解】由5sin log ||0x x +=得5sin log ||=-x x ，因此方程5sin log ||0x x +=根的个数，即是函数sin ()y x x R =∈与函数5log ||y x =-图像交点的个数；在平面直角坐标系中，作出函数sin ()y x x R =∈和函数5log ||y x =-的图象，5log 51-=-∵，且352π>.∴两个函数在y 轴右侧有三个交点，在y 轴左侧有一个交点.故选：C【点睛】本题主要考查方程根的个数的判定，根据转化与化归的思想，将问题转化为函数交点问题，由数形结合的思想即可求解，熟记对数函数与正弦函数的图像与性质即可，属于常考题型.10.定义在R 上的函数(3)y f x =+为奇函数，且(3)()2(3)f x f x f +-=对x ∈R 恒成立，则(2019)f 的值是（ ） A. 3 B. 1C. 0D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到(3)0f =，将(3)()2(3)f x f x f +-=化为(3)()f x f x +=，得到函数周期，进而可求出结果.【详解】Q 定义在R 上的函数(3)y f x =+为奇函数，(3)0f =∴， 又(3)()2(3)f x f x f +-=∵对x ∈R 恒成立，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴的周期为3，(2019)(3)0f f ==∴故选：C【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与周期性求函数值的问题，熟记函数奇偶性与周期性的概念即可，属于常考题型.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11A B 、1CC 的中点，则异面直线1BD 与EF 所成的角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】D 【解析】 【分析】先在正方体中取G 为棱11B C 的中点，连接,EG FG ，连接11B D ，1BC ，根据线面垂直的判定定理，得到EG ⊥平面11BB D ，推出1EG BD ⊥；同理得到1⊥FG BD ，进而可得1BD ⊥平面EFG ，推出1⊥BD EF ，即可确定结果.【详解】如图，在正方体中取G 为棱11B C 的中点，连接,EG FG ，连接11B D ，1BC . 则11⊥EG B D ，又1BB ⊥平面1111D C B A ，EG ⊂平面1111D C B A ，所以1⊥BB EG ， 因为1111BB B D B ⋂=，所以EG ⊥平面11BB D ，因此1EGBD ⊥同理可得：1⊥FG BD ；因为EG FG G =I ，所以1BD ⊥平面EFG ，1BD EF ∴⊥，∴异面直线1BD 与EF 所成的角为2π. 故选：D【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型. 12.已知322(0,0)xy x y x y --=>>，则2x y +的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，得到232322(2)22+⎛⎫--=≤⋅-+ ⎪⎝⎭x y xy x y x y ，令2=+t x y ，得23224≤⋅-t t ，解不等式，即可得出结果.【详解】因为322(0,0)xy x y x y --=>>，所以232322(2)22+⎛⎫--=≤⋅-+ ⎪⎝⎭x y xy x y x y ，当且仅当2x y =取等号；令2=+t x y ，则23224≤⋅-t t ，即238160--≥t t ，解得4t ≥或43t ≤-（舍）， 2x y ∴+的最小值为4.（当且仅当1,2x y ==时取得）故选：D【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4636a a =+，则5S =__________． 【答案】15 【解析】 【分析】先由4636a a =+得到33a =，再由等差数列求和公式，即可求出结果.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4636a a =+，()113356∴+=++a d a d ，123∴+=a d ，即33a =，53515∴==S a故答案为：15【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型. 14.函数sin 2()3y x R πϕϕ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭为偶函数，则||ϕ的最小值为__________． 【答案】6π 【解析】 【分析】由函数为偶函数，得到()32k k ππϕπ-=+∈Z ，进而可求出结果.【详解】因为函数sin 2()3y x R πϕϕ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭为偶函数，所以()32k k ππϕπ-=+∈Z ， 5()6k k πϕπ=+∈Z ∴，min ||6πϕ=∴ 故答案为：6π【点睛】本题主要考查由三角函数奇偶性求参数的问题，熟记诱导公式，以及三角函数的奇偶性即可，属于常考题型.15.已知实数,x y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z x y =+最小值是__________．【答案】1.【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点()0,1C 处取得最小值， 其最小值为：min 011z x y =+=+=. 故答案为：1．点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.16.若函数2()21x f x xe x ax =---在[2,1]--上存在零点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】21913,2e e ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先由2210x xe x ax ---=得到12xa e x x=--，设1()2=--xg x e x x ，则函数有零点的问题，可转化为1()2=--x g x e x x 与y a =在[2,1]--上有交点，对函数1()2=--x g x e x x求导，用导数的方法判断其单调性，得到其在[2,1]--上的值域，进而可求出结果. 【详解】由2210x xe x ax ---=，得12xa e x x=--. 设1()2=--xg x e x x， 因为函数2()21xf x xe x ax =---在[2,1]--上存在零点， 则1()2=--xg x e x x与y a =在[2,1]x ∈--上有交点； 又2222121()2-+'=-+=x xx e x g x e x x， 设22()21=-+x h x x e x ，()22()2422'∴=+-=-+x xxxh x xe x e x x e x e ，[2,1]∈--Q x ，20∴-<x e ，()2220∴-+>x x x e x e ，即()0h x '>，22()21∴=-+xh x x e x 在[2,1]--上为增函数，1()(1)10∴-=-<h x h e …，22221()0-+'∴=<x x e x g x x ，1()2x g x e x x∴=--在[2,1]--上为减函数，又2191(1)3,(2)2-=+-=+Q g g e e ，2191()3,2g x e e ⎡⎤∴∈++⎢⎥⎣⎦， ∴实数a 的取值范围是21913,2e e ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦.故答案为：21913,2e e ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查由函数零点求参数的问题，根据转化与化归的思想，将问题转化为函数图像有交点的问题来处理，对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，求出最值，即可得出结果，属于常考题型.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数32()1()f x x ax x R =+-∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在点(1,1)处切线方程；（2）若函数()f x 在(1,2)x ∈上单调递减，求实数a 的取值范围.【答案】（1）540x y --=；（2）(,3]-∞- 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据1a =，得到(1)f '，即为所求切线斜率，进而可求出结果；（2）由题意，得到2()320'=+f x x ax „对(1,2)x ∈恒成立，即32-a x „对(1,2)x ∈恒成立，进而可求出结果.【详解】（1）因为2()32f x x ax '=+，∴当1a =时，(1)325f '=+=15(1)y x ∴-=-，即540x y --=∴函数()f x 在点(1,1)处的切线方程为540x y --=.（2）Q 函数()f x 在(1,2)x ∈上单调递减，2()320f x x ax '∴=+„对(1,2)x ∈恒成立，32a x ∴-„，33322x -<-<-Q ，3a ∴-„， 当3a =-时，()3(2)f x x x '=-对(1,2)x ∈有()0f x '<，即当3a =-时，()f x 在(1,2)x ∈上单调递减，∴实数a 的取值范围为(,3]-∞-.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，以及由函数单调性求参数的问题，熟记导数的几何意义，以及利用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型. 18.已知函数()|2|||(0)f x x m x m m =++->.（1）当2m =时，求不等式()5f x …的解集； （2）若对任意的x ∈R ，()1f x …恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)5,[1,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ；(2)2[,)3+∞【解析】 【分析】（1）先由2m =得到3,1()4,123,2x x f x x x x x --⎧⎪=+-<<⎨⎪⎩„…，进而可求解不等式，得出结果；（2）先由题意得到3,2()22,23,m x x m f x x m x m x m x m x x m ⎧--⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩„…，得出函数最小值，列出不等式，即可求出结果.【详解】（1）当2m =时，()|22||2|f x x x =++-3,14,123,2x x x x x x --⎧⎪=+-<<⎨⎪⎩„…，由()5f x …可得：135x x -⎧⎨-≥⎩„，或1245x x -<<⎧⎨+≥⎩，或235x x ⎧⎨⎩……，解得：53x -„，或1x …， ∴不等式()5f x …的解集为5,[1,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U .（2）3,2()22,23,m x x m f x x m x m x m x m x x m ⎧--⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩Q „…，min 3()22m mf x f ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，321,23m m 厖∴∴∴实数m 的取值范围是2[,)3+∞.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.19.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且sin cos a B A =. （1）求角B ；（2）若AD 是边BC的中线，AD =1AB =，求边AC 的长.【答案】(1)23B π=；(2)AC = 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理，以及两角和的正弦公式，得到sin =B B ，进而可求出结果； （2）先由正弦定理，求出6BDA π∠=，得到6BAD π∠=，1,2==BD BC ，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】（1）由正弦定理得：sin sin cos A B B A C =， 又()C A B π=-+Q，sin sin cos )A B B A A B ∴=+，即sin sin cos cos cos sin )A B B A A B A B =+， 又(0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠，sin ∴=B B，即tan B =23B π=. （2）根据正弦定理：1sin 2BDA ∠==， 所以6BDA π∠=，故6BAD π∠=，得12BD BC =⇒=，由余弦定理得：2222cos AC BA BC BA BC B =+-⋅⋅11421272⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AC =【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 20.等比数列{}n b 满足()*11093nn n b b n N ++=⋅∈，若数列{}n a 的通项n a 满足3log n n a b =. （1）求通项n a ；（2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求n S .【答案】(1)21n a n =-；（2）21n nS n =+【解析】 【分析】（1）根据题意得到122330270b b b b +=⎧⎨+=⎩，求出首项与公比，得到213n n b -=，进而可求出n a ；（2）由（1）得到111(21)(21)+=-+n n a a nn ，根据裂项相消法，即可求出前n 项和. 【详解】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由已知可得12112231130270b b b b q b b b q b q +=+=⎧⎨+=+=⎩， 解得139b q =⎧⎨=⎩，所以213n n b -=，又因为3log n n a b =，所以21n a n =-.（2）因为111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以11111112335212121n n S n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-= ⎪-++⎝⎭ 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.21.如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且3ABC π∠=.四边形CDEF 是平行四边形，且21DE =.点E ，F 在平面ABCD 内的射影为H ，G ，且G 在AC 上，四棱锥F ABCD -的体积为2.（1）求证：平面DHE ⊥平面BDF ；（2）在EF 上是否存在点M ，使//MG 平面BCF ？如果存在，是确定点M 的位置，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）M 是靠近点E 的四等分点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理，证明BD ⊥平面DHE ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）先由四棱锥的体积求出3FG =，得出32=GC ，即点G 是靠近点A 的四等分点，延长HG 交BC 于点K ，在梯形EFKH 内，过G 作FK 的平行线交EF 于M ，则点M 即为所求，再由3344===MF GK DC EF ，即可确定点M 的位置. 【详解】（1）Q 点,E F 在平面ABCD 内的射影为,H G ， EH ∴⊥平面ABCD ，FG ⊥平面ABCD ，//EH FG ∴，且FG ⊂平面AFC ，EH ∴//平面AFC ，又Q 四边形CDEF 是平行四边形，ED ∴//平面AFC ，∴平面HED //平面AFC ，HD AC ∴//，Q 四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，BD HD ⊥∴，且BD EH ⊥，BD ∴⊥平面DHE ，又BD ⊂平面BDF ，∴平面DHE ⊥平面BDF .（2）假设在EF 上是存在点M ，使//MG 平面BCF ，Q 四棱锥F ABCD -的体积为2，即1342234F ABCD V FG -=⨯⨯⨯⨯=，3FG =∴，又21DE FC ==，32GC =∴，即点G 是靠近点A 的四等分点.延长HG 交BC 于点K ，在梯形EFKH 内，过G 作FK 的平行线交EF 于M ， 则点M 即为所求.3344MF GK DC EF ===Q ，即点M 是靠近点E 的四等分点.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及补全线面平行的条件，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及线面平行的判定定理即可，属于常考题型.22.已知函数()ln 1f x x m x =--，且()f x 的最小值为0. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(1)()(0)g x a x af x a =-->，且对于任意的()2x e ∈1,，都有()1g x x +>恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()ln 1f x x x =--；（2）21,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()1'=-mf x x，分别讨论0m „，0m >两种情况，利用导数的方法研究函数单调性，求出m ，即可得出结果；（2）由（1）得ln ()0)(a x x a g =>，对于任意的()2x e∈1,，都有()1g x x +>恒成立，可化为：1ln ->xa x在()2x e∈1,上恒成立，设()()21()1,ln x h x x e x-=∈，用导数的方法研究其单调性，即可得出结果.【详解】（1）()ln 1,(0,)f x x m x x =--∈+∞∵，()1mf x x'=-∴， 当0m „时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，无最小值； 当0m >时，由()0f x '<，得x m =，(0,)x m ∈∴时，()0f x '<，()f x 为减函数， (,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.min ()()ln 10f x f m m m m ==--=∴，令()ln 1(0)m m m m m ϕ=-->()1ln 1ln m m m ϕ'=--=-，由()ln 0m m ϕ'=-=得1m =.易知()m ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，且(1)0ϕ=.min ()()ln 10f x f m m m m ==--=∴只有一解1m =. ∴函数()f x 的解析式为()ln 1f x x x =--.（2）由()(1)()(0)g x a x af x a =-->，可得ln ()0)(a x x a g =>，()1ln 1g x x a x x +>⇒>-∴，又因为()2x e ∈1,，1ln 1ln -∴>-⇒>x a x x a x设()()21()1,ln x h x x e x-=∈，21ln 1()(ln )x x h x x '⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∴， 令()()21()ln 11,k x x x e x=-+∈，则22111()0x k x x x x'-=-=> ()k x ∴在2(1,)e 上为增函数，()(1)0k x k >=∴21ln 1()0(ln )⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴'=>x x h x x ，()()21()1,ln -∴=∈x h x x e x为增函数. ()221()2e h x h e-<=∴，a∴的取值范围是21,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查由函数最值求参数，以及不等式恒成立求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.。

最新高考模拟训练试题文科数学(四)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将答题卡交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米规格黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米规格黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔．4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效．第I 卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1.若非空集合{}{}3412,212A x a x a B x x =-≤≤-=-≤≤，则能使A B A ⋂=成立的实数a 的集合是 A.{}36a a ≤≤ B.{}16a a ≤≤ C.{}6a a ≤ D.∅2.设复数13,z i z =-的共轭复数是z z z ，则=C.45D.1 3.若02x π<<，则tan 1x x >是sin 1x x >的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若实数,x y 满足不等式组5,230,210,y x y z x y x y ≤⎧⎪-+≤=+⎨⎪+-≥⎩则的最大值是A.15B.14C.11D.105.设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线，则有下列命题： ①若,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥，则；②若//,//,,l m m n n λαα⊥⊥则；③若//,,,//l m m n l n αα⊥⊥则；④若,,//m n l n l m αα⊂⊥⊥，则.则上述命题中正确的是A.①②B.②③C.③④D.①④6.按1，3，6，10，15，…的规律给出2014个数，如图是计算这2014个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入A.2014i ≥B.2014i >C.2014i ≤D.2014i <7.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开.某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下列联表：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++.参照附表，得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”8.二次函数()20y kx x =>的图象在点()2,n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1,n a n +为正整数，113a =，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则5S = A.531123⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B.511133⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ C.521132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D.531122⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为12,F F .设A,B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ，且12223AF BF =+，则直线1AF 的斜率是 A.3 B.2 C.22D.1 10.已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()0f x x '≠，当时，()()0f x f x x'+>，若()1111,22,ln ln ,,2222a f b f c f a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的大小关系正确的是 A.a c b << B.b c a << C.a b c << D.c a b <<第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为3y x =±，则它的离心率为 __________. 12.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为_________.13.设,a b 为单位向量，若向量c 满足()c a b a b c -+=-，则的最大值是_________.14.已知函数()22014141,01,2log , 1.x x f x x x ⎧⎛⎫--+≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，若()()(),,,f a f b f c a b c ==互不相等，则a b c ++的取值范围是__________.15.定义在R 上的函数()f x 满足条件：存在常数()0,M f x M x >≤使对一切实数x 恒成立，则称函数()f x 为“V 型函数”.现给出以下函数，其中是“V 型函数”的是______.①()21x f x x x =++；②()()()()20,10;x x x f x f x x ⎧⋅≤⎪=⎨->⎪⎩③()f x 是定义域为R 的奇函数，且对任意的()()121212,2x x f x f x x x -≤-，都有成立.三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()()22cos 23sin cos f x x x x x R =+∈.（I ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间； （II ）设ABC ∆的内角A,B,C 的对应边分别为(),,3,2a b c c f C ==，且，若向量()1,sin m A =与向量()2,sin n B =共线，求,a b 的值.17. （本小题满分12分）某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（I ）估计这次考试的平均分；（II ）假设在[]90,100段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，96，97，98，99，100这个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.（思路分析：可以利用组中值估算抽样学生的平均分）18. （本小题满分12分）如图，111111ABCDEF A B C D E F -是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB 作圆柱的截面交下底面于111,=13C E FC 已知.（I ）证明四边形11BFE C 是平行四边形；（II ）证明1FB CB ⊥；（III ）求三棱锥1A A BF -的体积19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，首项114133,,a a a a =，且成等比数列，设数列{}n a 的前n 项和为()n S n N +∈.（I ）求n n a S 和； （II ）若()(){}3,13,n n n n n n n na S ab b S a S ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩数列的前n 项和n T ，求证1132460n T ≤<. 20. （本小题满分13分）已知A,B 为抛物线2:4C y x =上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限，12,l l 分别过点A,B 且与抛物线C 相切，P 为12,l l 的交点.（I ）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，求证动点P 在一条定直线上，并求此直线方程； （II ）设C,D 为直线12,l l 与直线x=4的交点，求PCD ∆面积的最小值.21. （本小题满分14分）已知函数()()2ln 1,2ln 1f x x x x g x x x =-+=--.（I ）()()()()4,h x f x g x h x =-试求的单调区间；（II ）若1x ≥时，恒有()()af x g x a ≤，求的取值范围.。

最新普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学(银川一中第四次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =.集合{}3|<=x x A ，{}0log |2<=x x B ，则U A C B ⋂= A. {}13x x << B. {}310|<≤≤x x x 或 C. {}3x x < D. {}13x x ≤< 2．若a 是复数ii z -+=211的实部，b 是复数32)1(i z -=的虚部，则ab 等于 52.A 52.-B 32.C 32.-D 3．下列说法错误的是A ．10≠xy 是5≠x 或2≠y 的充分不必要条件B ．若命题:p 012≠++∈∀x x R x ，,则:p ⌝012=++∈∃x x R x ，C ．线性相关系数r 的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强.D ．用频率分布直方图估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之和. 4．执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为 A ．5a ≥ B ．4a ≥C ．3a ≥D ．2a ≥5．把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图 象向右平移3π个单位，那么所得图象的一 条对称轴方程为 A ．8π=x B ．4π-=x C ．2π-=x D ．4π=x6．设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为A ．8B ．7C ．2D ．1 7．已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形,则该几何体的侧 视图的面积为 A ．223a B ．223a C ．23a D ．23a8．函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是 A ．f (x )＝x ＋sinx B ．f (x )＝x ·sinx C ．f (x )＝x ·cosx D ．f (x )＝x (x －π2)(x －3π2)9．以双曲线1151022=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 A ．0101022=+-+x y x B ．0151022=+-+x y x C ．0151022=+++x y x D ．0101022=+++x y x文科数学试卷 第1页(共6页)10．已知角α在第四象限，且53cos =α，则)2sin()42cos(21παπα+-+等于A ．52 B ．57 C ．514 D ．52- 11．过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点. 若|AF |=3，则∆AOB 的面积为 A ．22 B ．2 C ．223 D ．22 12．定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[)1,0上单调递减，若方程1)(-=x f 在[)1,0上有实数根，则方程1)(=x f 在区间[]7,1-上所有实根之和是A ．12B ．14C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于________.14．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是________.15．已知四面体P —ABC 中,PA=PB=4,PC=2,AC=25PB ⊥平面PAC,则四面体P —ABC 外接球的表面积为______.16．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，向量)1,3(-=b ，则|2a -b |的最大值与最小值的和为______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 4=10，又a 1,a 2,a 6成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式;（2）设n b na n 22+=，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（本小题满分12分）文科数学试卷 第3页(共6页)如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形, 侧面PAB 是 正三角形,AB=2,BC=2,PC=6.E 、H 分别为PA 、AB 的中点.（1）求证:PH ⊥AC;（2）求三棱锥P —EHD 的体积.19．（本小题满分12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为,,,,A B C D E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（2）若等级,,,,A B C D E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A . 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.20．（本小题满分12分）平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C 满足OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r,其中,R αβ∈,且21αβ-=.(1)求点C 的轨迹方程;(2)设点C 的轨迹与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于两点M,N,且以MN 为直径的圆过原点,求证:2211a b+为定值;(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于2,求椭圆长轴长的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()2ln 1f x a x x =+-(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若关于x 的不等式()()1f x b x ≥-在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，其中,a b 为实数，求,a b 所满足的关系式及a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O 的切线，B ，D 为切点.⑴求证：OC AD //；⑵若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）.⑴以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； ⑵已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲⑴已知,a b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；文科数学试卷 第5页(共6页)⑵已知,,a b c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++++≥.高三第四次模拟考试数学(文科)参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBDBCBACADCA二、填空题：13、1 14、2 15、36π16、4 三、解答题：17．解：（1）a n =3n-2 …………………6分（2）由（1）知：n b n n 2223+=-．所以，数列{b n }的前n 项和S n =b 1+b 2+…b n ……8分4732(2222)2(12)n n -=++++++++L L ……8分2(18)(1)2182n n n -+=+⋅-……10分2(81)(1)7n n n =-++………12分 1819、解:（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为10.220.130.37540.2550.075 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………8分（3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ， 所以还有2人只有一个科目得分为A ，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ……………………12分 20、解:(1)设(,)C x y ,由OC OA OB αβ=+u u u r u u u r u u u r可得(,)(1,0)(0,2)x y αβ=+-22xx y y αααβββ=⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩代入-2=1有1x y +=,即点C 的轨迹方程为1x y +=…………4分(2)由222222222221()201x y a b x a x a a b x y ab +=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，设1122(,),(,)M x y N x y 则2222121222222,a a a b x x x x a b a b -+==++g ∵以MN 为直径的圆过原点O,0OM ON ∴=u u u u r u u u r g121212121212222222220(1)(1)1()22120x x y y x x x x x x x x a a a b a b a b⇒+=⇒+--=-++-=-+=++g 22222211202a b a b a b⇒+-=∴+=为定值…………8分(3)22222112,21a b a ba +=∴=-Q 222,0121a ab a a a ∴>><>-Q 即2222223,24131,214421a b e e a a a -≤∴=≤∴-≤-≤-Q 即，1,1222a a a >∴<≤<≤又即∴椭圆长轴的取值范围是…………12分 21、解：（1）求导()'2afx x x=+，()'12f a ∴=+又()10f =所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()21y a x =+-即()220a x y a +---=…………4分 (2)设()()()1g x f x b x =--即()0g x ≥在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，又()10g =有()()1g x g ≥恒成立即1x =处取得极小值，得()'120g a b =+-=…6分所以2b a =+,从而()()'212a x x g x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=（ⅰ）当12a e ≤时，()g x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()1g x g ≥即2a e≤…………8分 （ⅱ）112a e <≤时，()g x 在1,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,+∞上单调递增，则只需211210a g e e e e ⎛⎫=-+-+≥ ⎪⎝⎭解得212a e e e<≤+-…………10分 （ⅲ）当12a >时，，()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,+∞上单调递增，由()102a g g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭知不符合题意.综上，a 的取值范围是12a e e ≤+-…………12分22.【试题解析】解：(1) 连接CD CB OD BD ,,,Θ是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，//AD OC .…………5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，AD ABOB OC=，8AD OC AB OB ⋅=⋅=. …………10分23.【试题解析】解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x .∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ.…………5分（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2|9sin 2cos 2|+-=θθdABM ∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S所以ABM ∆面积的最大值为229+…………10分24.【试题解析】解：（1）证明：33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-.因为,a b 都是正数，所以0a b +>. 又因为a b ≠，所以2()0a b ->.于是2()()0a b a b +->,即3322()()0a b a b ab +-+> 所以3322a b a b ab +>+；…………5分（2）证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥. ① 同理2222()2b a c ab c +≥. ②2222()2c a b abc +≥. ③①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++.由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++≥++. …………10分。

最新四校联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共50分，每小题5分）1．已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}2．为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度3．命题“∀x∈R，f（x）＞0”的否定为（）A．∃x0∈R，f（x0）＞0 B．∃x0∈R，f（x0）≤0 C．∀x0∈R，f（x0）≤0 D．∀x0∈R，f（x0）＞04．若a＜b＜0，则（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．D．＞25．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]6．实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．7．下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交D．若α∩β=m，n∥m，则n∥α且n∥β8．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．9．如图：已知，在△OAB中，点A是BC的中点，点D是将向量分为2：1的一个分点，DC和OA交于点E，则AO与OE的比值是（）A．2 B．C．D．10．设函数f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）A．B．C．D．1二、填空题（共25分，每小题5分）11．若向量=（sinα，cosα﹣2sinα），=（1，2），且∥，则tanα= ．12．已知x、y满足，则z=x+2y的最大值为．13．已知正△ABC的边长为1，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为．14．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是．15．在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，0），N（a，0），其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线；②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．三、解答题（共75分）16．已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）当c=2时，求：△ABC面积的最大值．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．18．已知四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥平面ADF；（2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，并求出此时三棱锥N﹣ADF的体积．19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的平均数；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，①求月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？②如果月平均用电量在[220，240）的用户中有2个困难户，从月平均用电量在[220，240）的用户中任取2户，则至少有一个困难户的概率是多少？20．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣），（0，），且AC，BC所在直线的斜率之积等于．（1）求顶点C的轨迹M的方程；（2）当点P（1，t）为曲线M上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与曲线M 交于E，F两点，直线PE，PF斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+﹣bx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（3）在（2）的条件下，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，记t=，若b≥，t的取值范围．（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共50分，每小题5分）1．已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}【考点】交集及其运算．【分析】列举出N中的元素，求出M与N的交集即可做出判断．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}，∴N⊆M，M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3}．故选：C．2．为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x﹣），只是横坐标由x变为x﹣，∴要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．故选：A．3．命题“∀x∈R，f（x）＞0”的否定为（）A．∃x0∈R，f（x0）＞0 B．∃x0∈R，f（x0）≤0 C．∀x0∈R，f（x0）≤0 D．∀x0∈R，f（x0）＞0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，f（x）＞0”的否定为：∃x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．4．若a＜b＜0，则（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．D．＞2【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质可以判断A，B，C均错误，根据基本不等式可以判断D正确．【解答】解：∵a＜b＜0，则a2＞b2，ab＞b2，，＞2，故选：D．5．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]【考点】程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．7．下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交D．若α∩β=m，n∥m，则n∥α且n∥β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面垂直的判定定理进行判断B．根据面面平行的判定定理进行判断C．根据直线和平面的位置关系进行判断D．根据线面平行的性质进行判断．【解答】解：A．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β成立，B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，当α与β相交时，满足α∥β，当α与β不相交时，结论不成立，C．若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交，或n∥α，故C错误，D．若α∩β=m，n∥m，则n∥α且n∥β错误，有可能n⊂α或n⊂β，故D错误，故选：A8．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．【分析】分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据=求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，∴=，b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故选C．9．如图：已知，在△OAB中，点A是BC的中点，点D是将向量分为2：1的一个分点，DC和OA交于点E，则AO与OE的比值是（）A．2 B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据条件可得，而，带入上式便可得出，这样由C，E，D三点共线便可得到，从而可求出λ的值，进而便可得出AO与OE的比值．【解答】解：∵O，E，A三点共线，且A是BC的中点；∴设；又；∴；∵C，E，D三点共线；∴；解得；∴；∴．故选：B．10．设函数f（x）=（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）A．B．C．D．1【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】把函数看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a 的值．【解答】解：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，y'==2，解得x=1，∴曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离d=，则f（x）≥，根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，此时N恰好为垂足，由k MN=，解得a=．故选：A．二、填空题（共25分，每小题5分）11．若向量=（sinα，cosα﹣2sinα），=（1，2），且∥，则tanα= ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行列出方程得出sinα，cosα的关系，得出tanα．【解答】解：∵，∴2sinα﹣cosα+2sinα=0，即cosα=4sinα，∴tanα==．故答案为：．12．已知x、y满足，则z=x+2y的最大值为 6 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，即B（2，2），代入目标函数z=x+2y得z=2×2+2=6故答案为：6．13．已知正△ABC的边长为1，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为．【考点】平面图形的直观图．【分析】由已知中正△ABC的边长为1，可得正△ABC的面积，进而根据△ABC的直观图△A′B′C′的面积S′=S，可得答案．【解答】解：∵正△ABC的边长为1，∴正△ABC的面积S=，设△ABC的直观图△A′B′C′的面积为S′则S′=S=，故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A、B，满足PA=2AB，则半径r的取值范围是[5，55] ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r的取值范围即可．【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣6）2=25，圆心（﹣1，6）；半径为：5．圆C2：（x﹣17）2+（y﹣30）2=r2．圆心（17，30）；半径为：r．两圆圆心距为：=30．如图：PA=2AB，可得AB的最大值为直径，此时C2A=20，r＞0．当半径扩大到55时，此时圆C2上只有一点到C1的距离为25，而且是最小值，半径再大，没有点满足PA=2AB．r∈[5，55]．故答案为：[5，55]．15．在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，0），N（a，0），其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是①②③①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线；②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此不存在黄金直线；②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，可得坐标平面内有无数条黄金直线；③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆；④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，即可判断出．【解答】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．故答案为：①②③．三、解答题（共75分）16．已知△ABC为锐角三角形，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）当c=2时，求：△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理的应用；三角形的面积公式．【分析】（Ⅰ）由a=2csinA，利用正弦定理，结合△ABC为锐角三角形，a求角C；（Ⅱ）当c=2时，利用余弦定理，结合基本不等式，可得ab≤12，即可求：△ABC 面积的最大值．【解答】（I）解：由正弦定理得，将已知代入得sinC=．因为△ABC为锐角三角形，所以0＜C＜，所以C=．（II）证明：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即12=a2+b2﹣ab，又a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab所以ab≤12．所以△ABC的面积S=absinC=ab≤3，当且仅当a=b，即△ABC为等边三角形时，△ABC的面积取到3．所以△ABC面积的最大值为3．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=5，S9=54．（1）求数列{a n}的通项公式与S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）知，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）依题意知S9=9a5=54，解得a5=6，）∴公差d=a5﹣a4=6﹣5=1，a1=a4﹣（4﹣1）d=2．∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1，∴．（2）由（1）知，设数列{b n}的前n项和为T n，则T n=b1+b2+…+b n==．18．已知四边形ABCD为平行四边形，BD⊥AD，BD=AD，AB=2，四边形ABEF为正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥平面ADF；（2）若M为CD中点，证明：在线段EF上存在点N，使得MN∥平面ADF，并求出此时三棱锥N﹣ADF的体积．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AF⊥平面ABCD，得出AF⊥BD，再由BD⊥AD即可得出BD⊥平面ADF；（2）N为线段EF中点时，MN∥平面ADF，证明时利用正方形ABEF与平行四边形形ABCD的性质，得出四边形NFDM为平行四边形，从而证得MN∥DF，MN∥平面ADF，利用等积法求出三棱锥N﹣ADF的条件即可．【解答】解：（1）证明：正方形ABEF中，AF⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD；又∵BD⊂平面ABCD，∴AF⊥BD；又BD⊥AD，AF∩AD=A，AF、AD⊂平面ADF，∴BD⊥平面ADF；（2）当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF；证明如下：正方形ABEF中，NF BA，平行四边形形ABCD中，MD BA，∴NF MD，∴四边形NFDM为平行四边形，∴MN∥DF；又DF⊂平面ADF，MN⊄平面ADF，∴MN∥平面ADF，过D作DH⊥AB于H，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又DH⊂平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴DH⊥平面ABEF；在Rt△ABD中，AB=2，BD=AD，∴DH=1，∴V三棱锥N﹣ADF=V三棱锥D﹣ANF=DH•S△ANF=×1××1×2=．19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的平均数；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，①求月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？②如果月平均用电量在[220，240）的用户中有2个困难户，从月平均用电量在[220，240）的用户中任取2户，则至少有一个困难户的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）①可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数；②一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075．…（2）月平均用电量的平均数为=225.6…（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，月平均用电量为[280，300]的用户有0.0025×20×100=5户，抽取比例=，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取户．…记这5户中2个困难户为D，E，另外3户为A，B，C，从这5户中一次任意取出2户的所有可能结果为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况，…记A表示从取出的2户中至少有一个困难户，则A中基本事件为：AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共7种，故…20．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣），（0，），且AC，BC所在直线的斜率之积等于．（1）求顶点C的轨迹M的方程；（2）当点P（1，t）为曲线M上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与曲线M 交于E，F两点，直线PE，PF斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）C点坐标为（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，可得所求轨迹方程，注意去除y轴上的点；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），令直线PE：y﹣=k（x﹣1），联立椭圆方程，运用韦达定理求得E的坐标，同理将k换为﹣k，可得F的坐标，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．【解答】解：（1）令C点坐标为（x，y），则直线AC的斜率k1=，直线BC的斜率k2=，因为两直线的斜率之积为，所以有，化简得到，所以轨迹M表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，﹣），（0，）两点；（2）由题意曲线M为+=1（x≠0），点P（1，），设E（x1，y1），F（x2，y2），令直线PE：y﹣=k（x﹣1），联立椭圆方程，得（3+4k2）x2+8k（﹣k）x+4（﹣k）2﹣12=0，则x1x P=，故x1=，同理x2=，k EF=====，故直线EF斜率为为定值．21．已知函数f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+﹣bx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（3）在（2）的条件下，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，记t=，若b≥，t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出，由此利用导数性质能求出讨论函数f（x）的单调性．（2）由f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，利用导数的几何意义能求出a的值．（3）由，得，令g'（x）=0，得x1+x2=b﹣1，x1x2=1，由此能求出t的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x+alnx，∴，…当a＞0时，由x＞0，得f′（x）≥0；当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＞﹣a；由f′（x）＜0时，解得0＜x＜﹣a．∴若a≥0，则f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；…若a＜0，则f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）单调递增，…（2）∵f（x）在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，∴由题意知f'（1）=1+a=2，即a=1…（3）∵f（x）=x+alnx，g（x）=f（x）+﹣bx，∴由，得，令g'（x）=0，x2﹣（b﹣1）x+1=0，即x1+x2=b﹣1，x1x2=1…而==t+2+=（b﹣1）2，由x1＜x2，即0＜t＜1，解上不等式可得：0＜t．…2016年5月29日。

最新百校联盟高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i是虚数单位，复数（a∈R）的实部与虚部相等，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（）A．2400 B．2700 C．3000 D．36003．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|y=lg（x﹣2）}，则下列结论正确的是（）A．﹣1∈A B．3∉B C．A∪B=B D．A∩B=B4．已知f（x）=为奇函数，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．等差数列{an }的通项为an=2n﹣1，其前n项和为Sn，若Sm是am，am+1的等差中项，则m的值为（）A．1 B．2 C．4 D．86．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A，B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．37．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）A．2 B．C．﹣1 D．以上都不正确8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，若三棱锥E﹣ADD1的外接球的体积为36π，则正方体的棱长为（）A．2 B．2 C．3 D．49．已知变量x，y满足约束条件Ω：，若Ω表示的区域面积为4，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．3 C．5 D．710．已知函数数f （x ）=sin （ωx ﹣）+，x ∈R ，且f （α）=﹣，f （β）=，若|α﹣β|的最小值为，则函数的单调递增区为（ ） A ．[﹣+2k π，π+2k π]，k ∈Z B ．[﹣+3k π，π+3k π]，k ∈Z C ．[π+2k π，π+2k π]，k ∈Z D ．[π+3k π，π+3k π]，k ∈Z11．如图所示为某几何体的三视图，其体积为48π，则该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．36πC ．60πD ．78π12．已知函数f （x ）=x 3﹣bx 2﹣4，x ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．当b ＞0时，∃x 0＜0，使得f （x 0）=0B ．当b ＜0时，∀x ＜0，都有f （x ）＜0C ．f （x ）有三个零点的充要条件是b ＜﹣3D ．f （x ）在区间（0．+∞）上有最小值的充要条件是b ＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y 与x 的线性回归方程=2.1x+0.85，则m 的值为 ．14．已知向量=（x ，1）在=（1，）方向上的投影为，则x= ．15．已知抛物线C ：y 2=6x ，过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，交抛物线的准线于点B ，若=3，则点A 到原点的距离为 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=2，bcosC ﹣ccosB=4，≤C≤，则tanA 的最大值为 ．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列{a n }满足a n+1=2a n +n ﹣1，且a 1=1．（Ⅰ）求证：{a n +n}为等比数列；（Ⅱ）求数列{a n }的前n 项和S n ．18．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠ABC=60°，AA 1=AC=2，A 1B=A 1D=2，点E 在A 1D 上．（1）证明：AA 1⊥面ABCD ．（2）当为何值时，A 1B ∥平面EAC ，并求出此时直线A 1B 与平面EAC 之间的距离．19．随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如表：年龄（单位：岁）[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 3 10 12 7 2 1（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”．由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关：年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计赞成不赞成合计（Ⅱ）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率参考数据如下：P （K 2≥k ） 0.050 0.0100.001 k 3.841 6.635 10.828参考公式：K 2=，（n=a+b+c+d ）．20．已知曲线E 上的点M （x ，y ）到点F （2，0）的距离与到定直线x=的距离之比为． （I ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）若点F 关于原点的对称点为F ′，则是否存在经过点F 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，且三角形F ′AB 的面积为，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数g （x ）=alnx+x 2+（1﹣b ）x ．（Ⅰ）若g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为8x ﹣2y ﹣3=0，求a ，b 的值； （Ⅱ）若b=a+1，x 1，x 2是函数g （x ）的两个极值点，求证：g （x 1）+g （x 2）+4＜0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，以B 、C 为切点的圆O 的两条切线交于点D ，AD 交圆O 于点E ．（Ⅰ）证明：四边形ABDC 为菱形；（Ⅱ）若DE=2，求等边三角形ABC 的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ．（I ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．设函数f （x ）=|x+2|+|x ﹣2|，x ∈R ．（Ⅰ）求不等式f （x ）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a|x ﹣1|恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2021年高三上学期第四次模拟考试数学（文）试题含答案考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．2．做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=，集合，，则（）（A）} （B）（C）（D）2．已知复数，则的虚部为（）（A）（B）（C）3 （D）3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）（A）1 （B）（C）（D） 24．函数的零点所在的区间为（）（A）（B）（C）（D）5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的值分别为（）（A）5，1 （B）30，3 （C）15，3 （D）30，66．已知，则的值为（）（A）（B）（C）（D）7．若对任意实数都有,且,则实数的值等于( )（A）（B）（C）－3或1 （D）－1或38．设分别是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点使得，且，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）9．已知函数，且，则，在同一坐标系下的大致图像是（）（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）（D）11．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（）（A）（B）2 （C）（D）4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．利用独立性检验来判断两个分类变量和是否有关系时，通过查阅下表来确定和有关系可信度，如果，那么最大有的把握认为和有关系．14．已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则实数的取值范围是15．已知平面向量的夹角为，且则向量与的夹角为16．在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列满足是数列的前项和，对任意的，有．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）如图所示，在中，，为的中点且与矩形所在的平面互相垂直，．（1）求证：；（2）求三棱锥的高．19．（本小题满分12分）某高校组织自主招生考试，共有xx名优秀学生参加笔试，成绩介于195分到275分之间，从中随机抽取50名学生的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第一组，第二组，…，第八组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．（1）估计所有参加笔试的xx名学生中，参加面试的学生人数；（2）面试时，每位考生抽取二个问题，若两个问题全答错，则不能取得该校的自主招生的资格；若二个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获得A类资格；其它情况下获B类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率．20．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）已知,函数x e x x g x xax f x +-=-+=)1(ln )(,1ln )(． （1）判断函数在上的单调性；（2）是否存在实数 ，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆的直径的延长线与弦的延长线交于点，为圆上一点，， 求证：．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（1）若不等式的解集为,求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．18..（2）三棱锥的高为（12分）19.其中角标中的1表示正确，0表示错误，如表示同学第一题正确，第二题错误，将两位同学的答题情况列表如下：AB BB BB CBAB BB BB CBAB BB BB CBAC BC BC CC表中AB表示获类资格，获类资格；BC表示获类资格，没有获得资格．所以恰有一位同学获该高校类资格的概率为．12分20.22.23.精品文档24.33686 8396 莖o25118 621E 戞26457 6759 杙38513 9671 陱32708 7FC4 翄=24671 605F 恟22439 57A7 垧+? 29136 71D0 燐n实用文档。

2019年高考数学四模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合M={x|lg（1﹣x）＞0}，则∁U M=（）A．{x|x＜1} B．{x|x＜0} C．C{x|x≥0} D．{x|x＞0}2．若复数（a∈R）是纯虚数，则复数3a+4i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线﹣=1（a＞b＞0）的离心率的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（，+∞） D．（0，1）4．如图所示的程序运行后输出的结果是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a=b”是“acosB=bcosA”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．正三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面边长为1，高为4，在侧棱BB′有不同的两动点M，N，则AM与NC′（）A．有可能平行 B．有可能垂直C．一定平行D．不一定异面7．已知向量=（1﹣x，x），=（1，﹣y）（x＞0，y＞0）且∥，则x+y的最小值是（）A．B．C．2 D．48．设曲线y=f（x）与曲线y=x2+1（x＜0）关于y=x对称，则f （x）的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，1）9．某几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（）A．B．πC．D．10．已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数存在递减区域的概率为（）A．B．C．D．11．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣12．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5] 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知f（x）=，则f（f（））的值为．14．已知实数x，y满足，若z=3x+y的最大值为16，则a= ．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则角A等于．16．已知抛物线M：x2=4y，圆C：x2+（y﹣3）2=4，在抛物线M 上任取一点P，向圆C作两条切线PA和PB，切点分别为A，B，则•的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在各项均为正数的等差数列{a n}中，a1=1，a4+2是a4﹣1和a9+3的等比中项，数列{b n}满足b n=λn•2（λ≠0）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．湖南省安全会议提到，原则上不再建设新的花炮厂，对已建成的花炮厂进行质量评估，质量评估单位等级分为优秀、合格和不合格三类．省质量技术监督局对浏阳所有花炮厂进行了质量评估，在所有进行评估的花炮厂中，质量优秀，合格与不合格的厂家数量如表．优秀合格不合格年产值2亿以上80 45 20年产值小于或等10 15 30于2亿（1）在所有参与调查的厂家中，用分层抽样的方法抽取n个厂家，已知评估“不合格”的厂家中抽取25家，求求n的值．（2）在评估不合格的厂家中，用分层抽样的方法抽取5家组成一个总体，从这5家中任意选取2家，至少有1家年产量在2亿以上的概率；（3）在接受调查的厂家中，有8家给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8个厂家打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．19．如图所示的四面体ABCD中，AB⊥AD，CD⊥DB，BD=DC=5，AB=4．（1）当AC的长为多少时，面ABD⊥面BCD；（2）当点D到面ABC的距离为3时，求该四面体ABCD的体积．20．已知椭圆C：+=1的右焦点为F，上顶点为B，圆O 以椭圆C的中心为圆心，半径等于线段BF的长．（1）求圆O的标准方程；（2）过F的直线L与圆O交于A，B两点，问圆O上是否存在点P满足条件=+；若存在，请求出直线L的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=（1）求f（x）在[1，a]（a＞1）上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）+mf（x）＞0只有两上整数解，求实数m的取值范围．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．[选修4-1：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合M={x|lg（1﹣x）＞0}，则∁U M=（）A．{x|x＜1} B．{x|x＜0} C．C{x|x≥0} D．{x|x＞0}【考点】补集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，根据全集U=R求出M的补集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：1﹣x＞1，解得：x＜0，即M={x|x＜0}，∵全集U=R，∴∁U M={x|x≥0}，故选：C2．若复数（a∈R）是纯虚数，则复数3a+4i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，则答案可求．【解答】解：∵=是纯虚数，∴，得a=1．∴复数3a+4i在复平面内对应的点的坐标为（3，4），在第一象限．故选：A．3．双曲线﹣=1（a＞b＞0）的离心率的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（，+∞） D．（0，1）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线离心率的定义结合不等式的性质进行求解即可．【解答】解：∵a＞b＞0，∴c2=a2+b2＜a2+a2=2a2，即c＜a，即e＜，∵双曲线的离心率e＞1，∴1＜e＜，即离心率的取值范围是（1，），故选：B4．如图所示的程序运行后输出的结果是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．1【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序语言的运行过程，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序语言的运行过程，如下；x=3，y=7，x＜0不成立，x=7﹣2=5，y=7+1=8，x﹣y=5﹣8=﹣3．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a=b”是“acosB=bcosA”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】acosB=bcosA⇔sinAcosB=sinBcosA⇔tanA=tanB⇔A=B，即可判断出结论．【解答】解：acosB=bcosA⇔sinAcosB=sinBcosA，A，B∈（0，π），则A，B，⇔tanA=tanB⇔A=B⇔a=b，故选：C．6．正三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面边长为1，高为4，在侧棱BB′有不同的两动点M，N，则AM与NC′（）A．有可能平行 B．有可能垂直C．一定平行D．不一定异面【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意，设A′B′的中点为D，则C′D⊥平面ABB′A′．确定A′M⊥AM，过D作DN∥A′M，即可得出结论．【解答】解：由题意，设A′B′的中点为D，则C′D⊥平面ABB′A′．设B′M=x，则BM=4﹣x，假设A′M⊥AM，则1+x2+1+（4﹣x）2=16，∴x2﹣4x+1=0，∵0＜x＜4，∴x=2±，过D作DN∥A′M，∴AM⊥DN，∴AM与NC′有可能垂直，故选：B．7．已知向量=（1﹣x，x），=（1，﹣y）（x＞0，y＞0）且∥，则x+y的最小值是（）A．B．C．2 D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量的坐标运算，得出xy=x+y；再利用基本不等式x+y≥2，即可求出x+y的最小值．【解答】解：∵向量=（1﹣x，x），=（1，﹣y），且∥，∴﹣y（1﹣x）﹣x=0，∴xy=x+y；又x＞0，y＞0，∴x+y≥2，∴xy≥2，∴xy≥4，当且仅当x=y=2时，取“=”．即x+y的最小值是2×=4．故选：D．8．设曲线y=f（x）与曲线y=x2+1（x＜0）关于y=x对称，则f （x）的定义域为（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，1）【考点】反函数；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数关于y=x对称，得到两个函数互为反函数，根据互为反函数的定义域和值域的关系，转化求函数y=x2+1（x＜0）的值域即可．【解答】解：∵曲线y=f（x）与曲线y=x2+1（x＜0）关于y=x对称，∴函数f（x）与y=x2+1（x＜0）互为反函数，要求f（x）的定义域，即求函数y=x2+1（x＜0）的值域，∵x＜0，∴y=x2+1＞1，即y=x2+1（x＜0）的值域为（1，+∞），则函数f（x）的定义域为（1，+∞），故选：B9．某几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（）A．B．πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个球的八分之一，由三视图求出球的半径，由球的表面积和圆的面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个球的八分之一，且球的半径是1，∴几何体的表面积S==，故选：C．10．已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数存在递减区域的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意f′（x）=x2+2ax+b2＜0有解，从而a＞b，先求出基本事件总数n=3×3=9，再利用列举法求出a＞b包含的基本事件个数，由此能求出该函数存在递减区域的概率．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+b2x+1，∴f′（x）=x2+2ax+b2，∵该函数存在递减区域，∴f′（x）=x2+2ax+b2＜0有解，∴△=4a2﹣4b2＞0，∴a＞b，∵a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，∴基本事件总数n=3×3=9，∵a＞b，∴a=1时，b=0，a=2时，b=0或b=1，a=3时，b=0或b=1或b=2，∴该函数存在递减区域的概率p==．故选：D．11．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得φ值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ）]=sin（2x+φ﹣）的图象，∵图象关于y轴对称，∴由诱导公式和偶函数可得φ﹣=kπ+，解得φ=kπ+，k∈Z，由|φ|＜可得当k=﹣1时φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]可得2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣即x=0时，函数f（x）在[0，]上取最小值sin （﹣）=﹣，故选：D．12．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5] 【考点】直线的斜率．【分析】由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，求出以AB为直径的圆的方程，可知直线l与圆相交，利用点到直线的距离公式求出m的范围得答案．【解答】解：由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，则该圆的方程为x2+y2=1．∵M、N是不同的两点，∴直线l与圆相交，且直线l与圆相切为临界条件，此时原点到直线l的距离等于圆的半径，即1=，∴m=±5．∴m的取值范围为（﹣5，5）．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知f（x）=，则f（f（））的值为3e ．【考点】对数的运算性质．【分析】由＞3，可得=log3（15﹣6）=2．进而得出．【解答】解：∵＞3，∴=log 3（15﹣6）=2．∴f（f（））=f（2）=3e2﹣1=3e．故答案为：3e．14．已知实数x，y满足，若z=3x+y的最大值为16，则a= 0 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到a的值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C 时直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，为3x+y=16，由，解得，即C（4，4），此时点C在x+ay=4，即4+4a=4，解得a=0，故答案为：015．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则角A等于．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理将边化角，根据和角公式化简解出cosA．【解答】解：∵=，∴（2b﹣c）cosA=acosC，∴2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．∴A=．故答案为：．16．已知抛物线M：x2=4y，圆C：x2+（y﹣3）2=4，在抛物线M 上任取一点P，向圆C作两条切线PA和PB，切点分别为A，B，则•的取值范围是[0，4）．【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】设∠ACB=2θ，可得•=4cos2θ．设P，可得|CP|2=+=+8，利用二次函数的性质可得其最小值，根据2θ的取值范围即可得出．【解答】解：设∠ACB=2θ，则•=4cos2θ．设P，则|CP|2=+=﹣+9=+8，∴当x0=±2时，|CP|取得最小值2，2θ取得最大值，即cos2θ取得最小值0．又2θ＞0，∴cos2θ＜1．∴•=4cos2θ∈[0，4）．故答案为：[0，4）．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．在各项均为正数的等差数列{a n}中，a1=1，a4+2是a4﹣1和a9+3的等比中项，数列{b n}满足b n=λn•2（λ≠0）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）对λ分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设各项均为正数的等差数列{a n}的公差为d＞0，∵a1=1，a4+2是a4﹣1和a9+3的等比中项，∴=（a4﹣1）（a9+3），∴（3+3d）2=3d×（4+8d），解得d=1．∴a n=1+（n﹣1）=n．（2）数列{b n}满足b n=λn•2=λn•2n=（2λ）n．时，b n=1，数列{b n}的前n项和S n=n．，0时，数列{b n}的前n项和S n=．∴S n=．18．湖南省安全会议提到，原则上不再建设新的花炮厂，对已建成的花炮厂进行质量评估，质量评估单位等级分为优秀、合格和不合格三类．省质量技术监督局对浏阳所有花炮厂进行了质量评估，在所有进行评估的花炮厂中，质量优秀，合格与不合格的厂家数量如表．优秀合格不合格年产值2亿以上80 45 2010 15 30年产值小于或等于2亿（1）在所有参与调查的厂家中，用分层抽样的方法抽取n个厂家，已知评估“不合格”的厂家中抽取25家，求求n的值．（2）在评估不合格的厂家中，用分层抽样的方法抽取5家组成一个总体，从这5家中任意选取2家，至少有1家年产量在2亿以上的概率；（3）在接受调查的厂家中，有8家给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8个厂家打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，写出比例式，使得比例相等，得到关于n的方程，解方程即可．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出所有事件的事件数，再列举出满足条件的事件数，得到概率．（3）先求出总体的平均数，然后找到与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数，最后根据古典概型的公式进行求解即可．【解答】解：（1）由题意得=，解得n=100，（2）年产值2亿以有5×=2家，记为S1，S2；年产值小于或等于2亿的有5×=3家，记为B1，B2，B3，则从中任取2件的所有基本事件为：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，其中至少有1家年产量在2亿以上的基本事件有7个：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），所以从这5家中任意选取2家，至少有1家年产量在2亿以上的概率为．（3）样本的平均数为（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为．19．如图所示的四面体ABCD中，AB⊥AD，CD⊥DB，BD=DC=5，AB=4．（1）当AC的长为多少时，面ABD⊥面BCD；（2）当点D到面ABC的距离为3时，求该四面体ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）按照逆向思维，假设面ABD⊥面BCD，得出CD⊥AD，继而求解AC的值；（2）由已知可得AD⊥面ABC，将待求体积进行转化：V A﹣BCD=V D﹣ABC，利用已知条件求解即可．【解答】解：（1）若面ABD⊥面BCD，∵面ABD∩面BCD=BD，又CD⊥BD，则CD⊥面ABD，∴CD⊥AD．由已知可得AD=3，则．∴当AC的长为时，面ABD⊥面BCD；（2）∵点D到面ABC的距离为3，且AD=3，∴AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，∴，又CD⊥DB，BD=DC=5，∴BC=5，取BC中点E，连接AE，则AE==．∴．∴=．20．已知椭圆C：+=1的右焦点为F，上顶点为B，圆O 以椭圆C的中心为圆心，半径等于线段BF的长．（1）求圆O的标准方程；（2）过F的直线L与圆O交于A，B两点，问圆O上是否存在点P满足条件=+；若存在，请求出直线L的方程，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知可得圆O的半径，即为椭圆的半长轴长，圆心在原点，则圆O的方程可求；（2）直线L过定点F，对直线L的斜率是否存在进行讨论，P点满足，且在圆O上，然后对P验证即可．【解答】解：（1）根据题意，BF=a=2，圆O的圆心为原点，∴圆O的标准方程为x2+y2=4；（2）当直线L的斜率不存在时，直线L的方程为x=1，则A（1，），B（1，﹣），∴，若=+成立，则P的坐标为（2，0），点P （2，0）在圆O上，满足题意；当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y=kx﹣k（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．，．若=+成立，则P点坐标为（），且点P（）在圆x2+y2=4上，∴．化简得：k2=k2+1，无解．综上，存在唯一一条直线x=1满足题意．21．已知函数f（x）=（1）求f（x）在[1，a]（a＞1）上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）+mf（x）＞0只有两上整数解，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）=，f′（x）=．分别解出令f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得f（x）的单调区间．对a与的东西关系分类讨论，利用单调性即可得出．（2）由（1）知，f（x）的递增区间为，递减区间为，且在上ln（2x）＞1＞0，又x＞0，则f（x）＞0．又=0．对m分类讨论：m＞0时，由不等式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜﹣m．m=0时，由不等式式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）≠0．m＜0时，由不等式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）＜0或f（x）＞﹣m．分别解出即可得出．【解答】解：（1）函数f（x）=，f′（x）=．令f′（x）＞0，解得，得f（x）的递增区间为；令f′（x）＜0，解得x＞，可得f（x）的递减区间为．∵x∈[1，a]（a＞1），当时，f（x）在[1，a]上为增函数，f（x）的最小值为f（1）=ln2．当a＞时，f（x）在上为增函数，在上为减函数，又f（2）=ln2=f（1），∴若，f（x）的最小值为f（1）=ln2，若a＞2，f（x）的最小值为f（a）=．综上，当1＜a≤2时，f（x）的最小值为ln2；当a＞2，f（x）的最小值为．（2）由（1）知，f（x）的递增区间为，递减区间为，且在上ln（2x）＞lne=1＞0，又x＞0，则f（x）＞0．又=0．∴m＞0时，由不等式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜﹣m，而f（x）＞0解集为，整数解有无数多个，不合题意．m=0时，由不等式式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）≠0，解集∪，整数解有无数多个，不合题意；m＜0时，由不等式f2（x）+mf（x）＞0得f（x）＜0或f（x）＞﹣m，∵f（x）＜0解集为无整数解，若不等式f2（x）+mf（x）＞0有两个整数解，则f（3）≤﹣m＜f（1）=f（2），∴﹣ln2＜m≤ln6．综上，实数m的取值范围是．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．[选修4-1：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…2016年10月16日。