命题与证明综合应用创新训练题

2020-2021初中数学命题与证明的技巧及练习题附答案(2)一、选择题1．下列命题中，是假命题的是( )A ．任意多边形的外角和为360oB ．在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C VC ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析．【详解】解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.故选D ．【点睛】本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．2．下列定理中，逆命题是假命题的是（ ）A ．在一个三角形中，等角对等边B ．全等三角形对应角相等C ．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形D ．等腰三角形两个底角相等【答案】B【解析】【分析】先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A 、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；B 、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；C 、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；D 、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．3．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ）A ．两条直线B ．相交C ．只有一个交点D ．两条直线相交【答案】D【解析】【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.4．下列命题正确的是（ ）A ．矩形的对角线互相垂直平分B ．一组对角相等，一组对边平行的四边形一定是平行四边形C ．正八边形每个内角都是145oD ．三角形三边垂直平分线交点到三角形三边距离相等【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质、平行四边形的判定、多边形的内角和及三角形垂直平分线的性质，逐项判断即可．【详解】A.矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误；B.已知如图：A C ∠=∠，//AB CD ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵//AB CD ，∴180A D +=︒∠∠，∵A C ∠=∠，∴180C D ∠+∠=︒，∴//AD BC，又∵//AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴一组对角相等，一组对边平行的四边形一定是平行四边形，故原命题正确；C.正八边形每个内角都是：()180821358︒⨯-=︒，故原命题错误；D.三角形三边垂直平分线交点到三角形三个顶点的距离相等，故原命题错误．故选：B．【点睛】本题考查命题的判断，明确矩形性质、平行四边形的判定定理、多边形内角和公式及三角形垂直平分线的性质是解题关键．5．下列说法中，正确．．的是( )A．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.B．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.C．“相等的角是对顶角”是一个真命题D．“直角都相等”是一个假命题【答案】B【解析】图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B6．下列命题中，正确的命题是（）A．度数相等的弧是等弧B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．垂直于弦的直径平分弦D．三角形的外心到三边的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等弧或垂径定理，正多边形的性质一一判断即可；【详解】A、完全重合的两条弧是等弧，错误；B、正五边形不是中心对称图形，错误；C、垂直于弦的直径平分弦，正确；D、三角形的外心到三个顶点的距离相等，错误；故选：C．【点睛】此题考查命题与定义，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．下列命题是真命题的是（ ）A ．若x ＞y ，则x 2＞y 2B ．若|a|=|b|，则a=bC ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2D ．若a ＜1，则a ＞1a【答案】C【解析】【分析】根据实数的乘方，绝对值的性质和倒数的意义等，对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．【详解】A. x ＞y ，如x=0，y=-1，02<(-1)2，此时x 2<y 2 ，故A 选项错误；B. |a|=|b|，如a=2，b=-2，此时a≠b ，故B 选项错误；C. 若a ＞|b|，则a 2＞b 2 ，正确；D. a ＜1，如a=-1，此时a=1a，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了实数的性质．8．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．ABC ∆中，若222AC BC AB +=，则ABC ∆是Rt ∆C ．若0a =，则0ab =D ．四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断．【详解】解：A 、该命题的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b ，此命题为假命题；B 、该命题的逆命题为：若△ABC 是Rt △，则AC 2+BC 2=AB 2，此命题为假命题；C 、该命题的逆命题为：若ab=0，则a=0，此命题为假命题；D 、该命题的逆命题为：菱形的四边相等，此命题为真命题；故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．9．下列命题是真命题的是（）A．中位数就是一组数据中最中间的一个数B．一组数据的众数可以不唯一C．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根D．已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，则a2+b2＝c2【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据定义判断即可.【详解】解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误；B、一组数据的众数可以不唯一，故正确；C、一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，故此选项错误；D、已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，当∠C＝90°时，则a2+b2＝c2，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，掌握定义，准确理解各事件的正确与否是解题的关键.10．下列命题中是假命题的是( )A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的补角相等aD．如果a为实数，那么0【答案】D【解析】A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；C. 同角的补角相等，是真命题；D. 如果a为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D是假命题；故选：D.11．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C ．等腰三角形两个底角相等D ．同角的余角相等【答案】D【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A 、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；B 、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；C 、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意；D 、逆命题是：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，是假命题，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．12．下列选项中，能说明命题“若22a b >，则a b >”是假命题的反例是( )A ．1a =-，2b =B ．2a =，1b =-C ．1a =，2b =-D ．2a =-，1b =【答案】D【解析】【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，作答本题直接利用选项中数据代入求出答案．【详解】A. 当1a =-，2b =时，2a ＜2b ，a ＜b ，则此选项不是假命题的反例；B. 当2a =，1b =-时，2a ＞2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；C. 当1a =，2b =-时，2a ＜2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；D. 当2a =-，1b =时，2a ＞2b ，a ＜b ，则此选项是假命题的反例，故选：D ．【点睛】本题考查真命题与假命题．要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．13．能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A ．1m =-B ．0m =C ．4m =D ．5m =【答案】D【解析】【分析】利用m=5使方程x 2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．【详解】当m=5时，方程变形为x 2-4x+m=5=0，因为△=（-4）2-4×5＜0，所以方程没有实数解，所以m=5可作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例． 故选D ．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．14．下列命题是真命题的是（ ）A ．同旁内角相等，两直线平行B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．相等的两个角是对顶角D ．圆内接四边形对角相等【答案】B【解析】【分析】由平行线的判定方法得出A 是假命题；由平行四边形的判定定理得出B 是真命题；由对顶角的定义得出C 是假命题；由圆内接四边形的性质得出D 是假命题；综上，即可得出答案.【详解】A.同旁内角相等，两直线平行；假命题；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；C.相等的两个角是对顶角；假命题；D.圆内接四边形对角相等；假命题；故选：B.【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解题关键.15．下列正确说法的个数是（ ）①同位角相等；②等角的补角相等；③两直线平行，同旁内角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质以及等角或同角的补角相等的知识，即可求得答案．【详解】解：∵两直线平行，同位角相等，故①错误；∵等角的补角相等，故②正确；∵两直线平行，同旁内角互补，故③错误；∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④正确．∴正确说法的有②④．故选B．【点睛】此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，以及等角或同角的补角相等的知识．解题的关键是注意需熟记定理．16．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．17．已知：在ABC V 中，AB AC ≠，求证：.B C ∠≠∠若用反证法来证明这个结论，可以假设( )A ．AB ∠=∠B ．AB BC = C ．B C ∠=∠D ．A C ∠=∠【答案】C【解析】【分析】反证法的步骤:1、假设命题反面成立;2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾;3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.【详解】已知：在ABC V 中，AB AC ≠，求证：.B C ∠≠∠若用反证法来证明这个结论，可以假设B C ∠=∠,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以.B C ∠≠∠故选C【点睛】本题考核知识点：反证法. 解题关键点：理解反证法的一般步骤.18．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；③符合平行线的判定定理，故本小题正确；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．故选B ．19．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．20．下列命题中，假命题是( )A ．同旁内角互补，两直线平行B ．如果a b =，则22a b =C ．对应角相等的两个三角形全等D ．两边及夹角对应相等的两个三角形全等【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定、等式的性质、三角形的全等的判定判断即可．【详解】A 、同旁内角互补，两直线平行，是真命题；B 、如果a b =，则22a b =，是真命题；C 、对应角相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；D 、两边及夹角对应相等的两个三角形全等，是真命题；故选：C ．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果⋯那么⋯”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．。

中考数学创新题型复习指要新仟年伊始，伴随着新教材的推广使用，以新《课程标准》的颁布为标志，数学教育迎来了它的新时代。

新教材以培养学生的创新意识和创新精神为宗旨，要求学生要有探究、创新和实践的能力。

如何以新标准考察学生？各地的中考试题都作了大胆尝试，以下尝试对新试题的测试的改革思路做出分析，谨供考生参考。

一．开放题型的引入“开放型”试题是指试题的条件、结论、解题依据、和方法四个要素中缺少一个或两个要素的命题。

例如：1.同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等。

请你模仿方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）。

解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。

方案（2）：方案（3）：方案（4）：2.请写出一个含1这个根且增根为2的分式方程。

3.已知：平面直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数解析式（至少三个）。

4.老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0。

已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数是。

5.在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD，②AD=BC，③∠B=∠D，以其中两个作为题设，另一个作结论，用“如果……，那么……。

”的形式，写出一个真命题是。

6.小红同学编拟了这样一个数学命题：“如果在四边形ABCD中，AB=CD、AC=BD，那么四边形ABCD 一定是平行四边形”。

若你认为这个命题的结论成立，请予以证明；若这个命题的结论不一定成立，请画图举出反例予以说明。

二.归纳法的渗透利用归纳法，通过观察、猜想、推理，总结规律，得到结论，以考察学生的观察、创新能力。

第一部分：基础复习八年级数学(下)第六章：证明(一)一、中考要求：l．理解证明的必要性和设置公理的必要性．2．关注现实，并通过具体例子了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，知道反倒的意义和作用．3．初步掌握用综合法证明的格式，会证明两直线平行的有关判定定理，两直线平行的有关性质定理，三角形内角和定理及其椎论．4．体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展推理论证能力，同时，要善于表达自己的想法，并能与同伴交流．新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2006年中考的热点．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2004、2005年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:(二)中考热点：新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2006年中考的热点．三、中考命题趋势及复习对策本章主要考查对命题，定理等概念的理解以及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占5～7分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确的写出证明过程．★★★(I)考点突破★★★考点1：一、考点讲解：定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就叫做定义·命题：判断一件事情的句子叫命题，每个命题都由条件和结论两部分一组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．命题分为真命题和假命题．真命题：正确的命题是真命题；假命题：不正确的命题是假命题；要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．公理：公认的真命题称为公理．证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．定理：经过证明的真命题称为定理．逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫原命题的逆命题．逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、宁安，9分）如图l－6－1，四边形ABCD中，点E在边CD上，连结AE、BE。

初中数学命题与证明专题训练50题含参考答案一、单选题1．下列命题是假命题．．．的是（ ）． A ．同一平面内，两直线不相交就平行B ．对顶角相等C ．互为邻补角的两角和为180°D ．相等的两个角一定是对顶角2．下列命题正确的是（ ）A ．所有的实数都可用数轴上的点表示B ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离C D ．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根3．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD 是ABC 的外角，求证：ACD A B ∠=∠+∠．证法1：如图．∠180A B ACB ∠+∠+∠=︒（三角形内角和定理）又∠180ACD ACB ∠+∠=︒（平角定义）∠ACD ACB A B ACB ∠+∠=∠+∠+∠（等量代换）∠ACD A B ∠=∠+∠（等式性质）证法2：如图，∠76A ∠=︒，59B ∠=︒，且135ACD ∠=︒（量角器测量所得）又∠1357659︒=︒+︒（计算所得）∠ACD A B ∠=∠+∠（等量代换）下列说法正确的是（ ）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C 2D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理4．下列命题中，假命题是（ ）A ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．两点的所有连线中，线段最短5．下列命题为真命题的是（ ）A ．内错角相等，两直线平行B C ．1的平方根是1D ．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定6．下列命题是真命题的是（ ）A ．若a b >，则11a b ->-B ．若22ac bc >，则a b >C ．若225x kx ++是一个完全平方公式，则k 的值等于10D ．将点()2,3A -向上平移3个单位长度后得到的点的坐标为()1,37．能说明命题“若x 2≥9，则x ≥3”为假命题的一个反例可以是（ ）A ．x ＝4B ．x ＝2C ．x ＝﹣4D ．x ＝﹣2 8．下列命题是真命题的是（ ）A ．内错角互补，两直线平行B ．三角形的外角大于任意一个不相邻的内角C ．三角形的两边之和小于第三边D ．三角形的三条高一定在三角形内部 9．下面四个命题：∠若=1x -，则31x =-；∠面积相等的两个三角形全等；∠相等的角是对顶角；∠若24x =，则2x =.是真命题的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．下列语句：∠过一点有且只有一条直线与已知直线平行；∠数轴上的点和实数是一一对应的；∠同位角相等；∠同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中（ ）是真命题．A ∠∠B ∠∠C ∠∠D ∠∠11．下列命题正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相垂直平分B ．矩形的对角线互相垂直平分C ．菱形的对角线互相平分且相等D ．平行四边形是中心对称图形12．下列命题，假命题是（ ）A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等B ．等腰三角形两腰上的高相等C ．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角D ．已知ABC ，求作A B C '''，使A B C ABC ''≌的依据是三角形全等的性质定理 13．下面命题中是真命题的有（ ）∠相等的角是对顶角∠直角三角形两锐角互余∠三角形内角和等于180°∠两直线平行内错角相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．下列命题是真命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．相似三角形的面积比等于相似比C ．菱形的对角线相等D ．相等的两个角是对顶角15．下列命题正确的是（ ）A ．相等的角是对顶角；B ．a 、b 、c 是直线，若a //b ，b //c ，则a //c ；C ．同位角相等；D ．a 、b 、c 是直线，若a ∠b ，b ∠c ，则a ∠c ．16．下列命题是假命题的是（ ）A ．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形B ．等边三角形有3条对称轴C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等17．已知下列命题：∠对角线互相垂直的四边形是菱形；∠若x a =，则()20x a b x ab -++=；∠两个位似图形一定是相似图形；∠若22x x =，则2x =；其中原命题是真命题逆命题是假命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．下列说法：∠同位角相等；∠对顶角相等；∠等角的补角相等；∠两直线平行，同旁内角相等，正确的个数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个19．可以用来证明命题“若20.01a >，则0.1a >”是假命题的反例（ ）A ．可以是a ＝－0.2，不可以是 a ＝2B ．可以是a ＝2，不可以是 a ＝－0.2C ．可以是a ＝－0.2，也可以是 a ＝2D ．既不可以是a ＝－0.2，也不可以是 a＝220．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．三点确定一个圆B ．圆内接四边形对角互余C ．若22a b =，则a b =D a b =二、填空题21．命题“对顶角相等”的题设是________，结论是________，它是________命题．（填“真”或“假”）22．命题“互余的角不相等”的逆命题是_____.23．命题“若a b =，那么a b =”是一个____________命题（填真、假），写出它的逆命题：____________．24．举反例说明命题“对于任意实数x ，221x x +-的值总是正数”是假命题，你举的反例是x =__________（写出一个x 的值即可）．25．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）内错角相等，两直线平行．_________．（2）同角的补角相等．_____．26．下列说法中，真命题有______．（填入序号即可）∠和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角； ∠过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∠同位角相等；∠经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ∠两点之间，直线最短。

2020-2021初中数学命题与证明的专项训练解析附答案(1)一、选择题1．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A．该命题为假命题 B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题 D．该命题没有逆命题【答案】B【解析】分析：首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．详解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选：B．点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题，难度不大．2．下列命题是假命题的是（）A．有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形B．等角的余角相等C．钝角三角形一定有一个角大于90︒D．同位角相等【答案】D【解析】【分析】【详解】解：选项A、B、C都是真命题；选项D，两直线平行，同位角相等，选项D错误，是假命题，故选：D．3．下列命题是假命题的是()A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【答案】C【解析】试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选C ．考点：命题与定理．4．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【解析】【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B ≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.5．下列结论中，不正确的是 （ ）A ．两点确定一条直线B ．两点之间，直线最短C ．等角的余角相等D ．等角的补角相等【答案】B【解析】【分析】根据直线线段的性质和余角、补角的定义逐项分析可得出正确选项．【详解】A ．两点确定一条直线，正确；B ． 两点之间，线段最短，所以B 选项错误；C ．等角的余角相等，正确；D．等角的补角相等，正确．故选B考点：定理6．下列各命题的逆命题是真命题的是A．对顶角相等B．全等三角形的对应角相等C．相等的角是同位角D．等边三角形的三个内角都相等【答案】D【解析】【分析】分别写出四个命题的逆命题：相等的角为对顶角；对应角相等的两三角形全等；同位角相等；三个角都相等的三角形为等边三角形；然后再分别根据对顶角的定义对第一个进行判断；根据三角形全等的判定方法对第二个进行判断；根据同位角的性质对第三个进行判断；根据等边三角形的判定方法对第四个进行判断．【详解】A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；C、“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”，此逆命题为假命题，所以C选项错误；D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D选项正确．故选D.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．7．下列命题是真命题的个数是（）．①64的平方根是8±；=；②22=，则a ba b③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；④三角形三边的垂直平分线交于一点．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.【详解】①64的平方根是8±，正确，是真命题；②22a b =，则不一定a b =，可能=-a b ；故错误；③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；故选：C【点睛】考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.8．下列命题是假命题的是( )A ．对顶角相等B ．两直线平行，同旁内角相等C ．平行于同一条直线的两直线平行D ．同位角相等，两直线平行【答案】B【解析】解：A ．对顶角相等是真命题，故本选项正确，不符合题意；B ．两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误，符合题意；C ．平行于同一条直线的两条直线平行是真命题，故本选项正确，不符合题意；D ．同位角相等，两直线平行是真命题，故本选项正确，不符合题意．故选B ．9．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ）A ．两条直线B ．相交C ．只有一个交点D ．两条直线相交【答案】D【解析】【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.10．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．将函数y ＝12x +1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y ＝12x B ．若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0和1C．对函数y＝2x，其函数值y随自变量x的增大而增大D．直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2一定互相平行【答案】A【解析】【分析】利用一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、将函数y＝12x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝12x，正确，符合题意；B、若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0，故错误，是假命题，不符合题意；C、对函数y＝2x，其函数值在每个象限内y随自变量x的增大而增大，故错误，是假命题，不符合题意；D、直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2因比例系数不相等，故一定不互相平行，故错误，是假命题，故选：A．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识是解题的关键．11．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等【答案】D【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【详解】A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；B、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；C、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，是假命题，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．12．下列选项中，可以用来说明命题“若22a b ＞，则a b ＞”是假命题的反例是（ ） A ．2,a =b=-1B ．2,1a b =-=C ．3,a =b=-2D ．2,0a b ==【答案】B【解析】分析：根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 详解：∵当a =﹣2，b =1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a =﹣2，b =1是假命题的反例． 故选B ．点睛：本题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可．这是数学中常用的一种方法．13．下列命题属于真命题的是（ ）A ．同旁内角相等，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．同位角相等【答案】C【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．【详解】A 、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；B 、相等的角不一定是对顶角，是假命题；C 、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；D 、两直线平行，同位角相等，是假命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．14．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．ABC ∆中，若222AC BC AB +=，则ABC ∆是Rt ∆C ．若0a =，则0ab =D．四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断．【详解】解：A、该命题的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，此命题为假命题；B、该命题的逆命题为：若△ABC是Rt△，则AC2+BC2=AB2，此命题为假命题；C、该命题的逆命题为：若ab=0，则a=0，此命题为假命题；D、该命题的逆命题为：菱形的四边相等，此命题为真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．15．下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的对角线互相垂直平分B．矩形的对角线相等C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半D．对角线相等的菱形是正方形【答案】A【解析】【分析】不正确的命题是假命题，根据定义依次判断即可.【详解】A. 平行四边形的对角线互相平分，故是假命题；B. 矩形的对角线相等，故是真命题；C. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，故是真命题；D. 对角线相等的菱形是正方形，故是真命题，故选：A.【点睛】此题考查假命题的定义，正确理解平行四边形的性质是解题的关键.16．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．直角都相等 B．钝角都小于180° C．如果x2+y2=0，那么x=y=0 D．对顶角相等【答案】C【解析】【分析】根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.【详解】相等的角不都是直角，故A选项不符合题意，小于180°的角不都是钝角，故B选项不符合题意，如果x=y=0，那么x2+y2=0，正确，是真命题，符合题意，相等的角不一定都是对顶角，故D选项不符合题意，故选C【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．17．下列命题是真命题的是()A．一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理以及矩形、正方形的判定即可逐一判断．【详解】解：如下图，若四边形ABCD，AD∥BC，∠A=∠C，∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；B、对角线相等的四边形也可能为等腰梯形，故B错误；C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形也可能为等腰梯形，故C错误；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定定理，是基础知识要熟练掌握．18．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．对顶角互补C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等=-的图像上．D．如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质定理对A、C进行判断；利用对顶角的性质对B进行判断；根据直角坐标系下点坐标特点对D进行判断．【详解】A．两直线平行，同位角相等，故A是假命题；B．对顶角相等，故B是假命题；C．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故C是假命题；=-的图像上，故D是真命D．如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，那么点P在直线y x题故选：D【点睛】本题考查了真命题与假命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点．19．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等; B．相等的角是对顶角;C．所有的直角都是相等的；D．若a=b,则a－1=b－1.【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．详解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等，是真命题；交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角，是假命题；交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a﹣1=b﹣1，则a=b，是真命题．故选C．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．下列命题中，正确的命题是（）A．度数相等的弧是等弧B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．垂直于弦的直径平分弦D．三角形的外心到三边的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等弧或垂径定理，正多边形的性质一一判断即可；【详解】A、完全重合的两条弧是等弧，错误；B、正五边形不是中心对称图形，错误；C、垂直于弦的直径平分弦，正确；D、三角形的外心到三个顶点的距离相等，错误；故选：C．【点睛】此题考查命题与定义，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

第2课时真假命题、证明、定理与逆定理1．下列命题中，是真命题的是( )A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补2．[2012·温州]下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )A．a＝－2 B．a＝－1C．a＝1 D．a＝23．下列命题中，错误的是( )A．三角形两边之和大于第三边B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D．若|x|＝5，则x＝5.4．下列命题中，是真命题的是( )A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝05．[2011·广州]已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中真命题是________(填写所有真命题的序号)．6．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题____________________．7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(2)如果a＞b，那么ac＞bc；(3)两个锐角的和是钝角．8．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．9．命题：若a ＞b ，则1a <1b.(1)请判断这个命题是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举一个反例；(2)请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题．10．如图2－2－3，点B ，A ，E 在同一条直线上，(1)AD ∥BC ，(2)∠B ＝∠C ，(3)AD 平分∠EAC .请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造命题，并说明你构造的命题是真命题还是假命题．图2－2－3答案解析1．A 【解析】 对顶角相等，正确；在两条平行线被第三条直线所截的条件下，B 、C 、D 才正确．故选A.2．A 【解析】 用来证明命题“若a 2＞1，则a ＞1”是假命题的反例可以是：a ＝－2，因为(－2)2＞1，但是a ＝－2＜1，所以选项A 正确；故选A. 3．D4．D 【解析】 选项A ，a ·b ＞0可得a 、b 同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B ，a ·b ＜0可得a 、b 异号，所以错误，是假命题；选项C ，a ·b ＝0可得a 、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D ，若a ·b ＝0，则a ＝0，或b ＝0，是真命题．故选D. 5．①②④6．对顶角相等(答案不唯一)7．解：(1)假命题，两直线不平行时不成立，可通过画图说明；(2)假命题，当c ≤0时不成立，如3＞2，但3×0＝2×0等；(3)假命题，如∠α＝20°，∠β＝50°，则∠α＋∠β＝70°不是钝角． 8．解：(1)假命题．反例：a ＝2，b ＝－3，有a ＞b ，但a 2＜b 2； (2)逆命题：若a 2＞b 2，则a ＞b . 此命题为假命题．反例：a ＝－2，b ＝－1，有a 2＞b 2，但a ＜b .9．解：(1)假命题．如a ＝1，b ＝－2符合a ＞b ，但不满足1a <1b.(2)改成：若a ＞b ＞0，则1a <1b.10．解：命题：如果AD ∥BC ，∠B ＝∠C ，那么AD 平分∠EAC .(答案不唯一)它是真命题，理由如下： 因为AD ∥BC ，所以∠B ＝∠EAD ，∠C ＝∠DAC . 又因为∠B ＝∠C ，所以∠EAD ＝∠DAC ，即AD 平分∠EAC . 故是真命题．第2课时矩形的判定【知识与技能】理解并掌握矩形的判定方法，能用判定定理判断一个四边形是否是矩形.【过程与方法】在观察、探究的过程中，逐步感受矩形的判定定理，增强学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】进一步锻炼学生的数学应用能力，增强合作交流，探究创新意识.【教学重点】矩形的判定定理.【教学难点】对角线相等的平行四边形是矩形及对角线相等且互相平分的四边形是矩形的理解.一、情境导入，初步认识问题在前面，我们己探讨出判别一个四边形是平行四边形还是矩形？也可以说，用什么方法来判别一个四边形是矩形呢？想想看，与同伴交流.二、思考探究，获取新知【教学说明】教师提出问题，让学生思考，在相互交流中加深认识.同时，教师可根据学生的探讨结论进行适当评析，帮助学生获取正确认知.请观察图（1），在四边形ABCD 中，尽管AC=BD，但它不是矩形，图（2）中，在ABCD中，若有AC=BD，则此ABCD是一个矩形.你能说明理由吗？【教学说明】教师引导学生对图（2）进行论证，此时只要证明△ABC≌△DCB即可得到∠ABC=∠DCB,又AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB=90°，由定义知，ABCD是矩形.【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.也可以说：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.想一想工人师傅在做门框或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它的对角线是否相等，以确保图形是矩形.请你说说其中的道理，不妨试试看.练一练求证：有三个角是直角的四边形是矩形.【教学说明】这一结论的证明不难，可由学生自己完成.教师应关注学生是否能规范地画图，写已知，求证，并给予证明.【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.三、典例精析，掌握新知例1 如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC=8cm，若AOB是等边三角形，求此平行四边形的面积.解：在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∴OA=OC，OB=OD.又∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，∴ABCD是矩形.又∵AC=8cm,∴OA=OB=AB=4cm.在Rt△ABC中,AC=8cm,AB=4cm，∴BC=43cm.∴S ABCD=AB×BC=4×43=163cm2.例2 如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH为矩形.解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=12×180°=90°，得∠BGC=90°.同理可知∠AFB=∠AED=90°.∴∠GFE=90°.∴四边形EFGH为矩形.【教学说明】以上两例也可先让学生探究，然后教师予以评讲，加深学生对矩形判定定理的理解和应用.四、运用新知，深化理解1.如图，在ABCD中，点E、F为BC边上的点，且BE=CF，AF=DE，求证：ABCD 是矩形.2.如图，O是直线MN上一点，C是射线OP上一点，OA、OB分别平分∠MOP，∠NOP，F 为CO的中点，过F作DE∥MN，交OA、OB于点D、E.求证：四边形CDOE为矩形.【教学说明】让学生自主探究，独立完成，然后相互交流，探寻结论，教师巡视，发现问题及时予以点拨.【答案】1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD，∵BE＝CF，∴BF=CE.又∵AF ＝DE，∴△ABF≌△DCE.∴∠B=∠C，又∵AB∥CD，∠B+∠C＝180°，∴∠B=∠C＝90°.∴ABCD是矩形.2.证明：∵DE∥MN，∴∠1=∠3，而∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴OF=EF.同理可得OF=DF，∴DF=EF.又CF=OF，故FC=FD=FO=FE.∴四边形CDOE为矩形.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获？与同伴交流.【教学说明】学生在反思学习的过程中，巩固矩形的判定定理的理解，系统地掌握本节知识.1.布置作业：从教材“习题18.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时是有关矩形判定的问题.由于有前面的知识作铺垫,教师可让学生自己尝试探讨矩形的判定方法，并将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，再与其他同学交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识.在本课时的教学中，教师应最大限度地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性与主动性.14．3.2 公式法第1课时 运用平方差公式因式分解1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点：运用平方差公式分解因式【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A ．a 2＋(－b )2 B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】 利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4.解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )；(2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【类型三】 底数为多项式或单项式时，运用平方差公式分解因式分解因式：(1)(a ＋b )2－4a 2；(2)9(m ＋n )2－(m －n )2.解析：将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式分解因式．解：(1)原式＝(a ＋b －2a )(a ＋b ＋2a )＝(b －a )(3a ＋b )；(2)原式＝(3m ＋3n －m ＋n )(3m ＋3n ＋m －n )＝(2m ＋4n )(4m ＋2n )＝4(m ＋2n )(2m ＋n )．方法总结：在平方差公式a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )中，a 和b 可以代表单项式、多项式或单独一个数．【类型四】 利用因式分解整体代换求值已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值． 解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．【类型五】 利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型六】 利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可．解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型七】在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式．(1)x2－5；(2)x3－2x.解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x，然后利用平方差公式进行二次分解，即可求得答案．解：(1)x2－5＝(x＋5)(x－5)；(2)x3－2x＝x(x2－2)＝x(x＋2)(x－2)．方法总结：注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的结果可以出现无理数．【类型八】因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计运用平方差公式因式分解1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．。

明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相冲突，或与命题中的已知条件相冲突，或与假定相冲突，从而说明命题结论的反面不行能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出冲突；(3)否定假设，确定结论．[情境导学]王戎小时候，爱和小伴侣在路上玩耍．一天，他们发觉路边的一棵树上结满了李子，小伴侣一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小伴侣们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子肯定是苦的．”这就是有名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法的概念思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最终得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出冲突．反证法引出的冲突有几种状况？答(1)与原题中的条件冲突；(2)与定义、公理、定理、公式等冲突；(3)与假设冲突．思考3反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清楚；②假如从正面证明，需要分成多种情形进行分类争辩，而从反面进行证明，只要争辩一种或很少的几种情形．探究点二用反证法证明几何问题例1已知直线a，b和平面α，假如a⃘α，bα，且a∥b，求证：a∥α.证明由于a∥b，所以经过直线a，b 确定一个平面β.由于a⃘α，而aβ，所以α与β是两个不同的平面．由于bα，且bβ，所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，则P∈α∩β＝b，即点P 是直线a与b的公共点，这与a∥b冲突．所以a∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论假如难以直接证明时，可考虑用反证法．跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交．证明假设b与平面α不相交，即bα或b∥α.①若bα，由于b∥a，a⃘α，所以a∥α，这与a∩α＝A相冲突；②如图所示，假如b∥α，则a，b确定平面β.明显α与β相交，设α∩β＝c，由于b∥α，所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⃘α，cα，则a∥α，这与a∩α＝A相冲突．由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交．探究点三用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，使得2＝mn，从而有m＝2n ，因此m2＝2n2，所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质冲突．由上述冲突可知假设错误，从而2不是有理数．反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不行能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列冲突，故a，b，c不成等差数列．探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．由于α≠β，不妨设α<β，又由于函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)冲突，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，留意精确写出命题的假设．跟踪训练3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0冲突，故a、b、c中至少有一个大于0.1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°答案B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b 答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥bD ．a 与b 相交答案 D5．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．证明 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.假如方程不止一个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ， ① ax 2＝b . ②①－②，得a (x 1－x 2)＝0.由于x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以应有a ＝0，这与已知冲突，故假设错误． 所以，当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根． [呈重点、现规律] 1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设动身，经过规律推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实冲突；(推缪) (3)由冲突判定假设不正确，从而确定原命题的结论是正确的．(结论) 2．反证法证题与“逆否命题法”的异同反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到冲突即可，可以与题设冲突，也可以与假设冲突，还可以与定义、定理、公式、事实冲突．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出冲突．这个冲突可以是( )①与已知条件冲突 ②与假设冲突 ③与定义、公理、定理冲突 ④与事实冲突A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④答案 D2．否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数 答案 D解析 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”．3．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a 、b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除答案 B解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为______________．答案 a ，b ，c 都不是偶数解析 a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数． 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________． 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根． 证明 设f (x )＝0有一个整数根k ，则 ak 2＋bk ＝－c .①又∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，∴a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，明显与①式冲突；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为偶数，也与①式冲突，故假设不成立，所以方程f (x )＝0无整数根． 二、力量提升8．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1 B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1 C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1 D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )<6.又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相冲突，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10.若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 a ≤－2或a ≥－1解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1. 11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0. 求证：a >0，b >0，c >0. 证明 用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )， ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab ， 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2， ∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0， 即ab ＋bc ＋ca <0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0冲突，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不行能都大于14.证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又由于0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②冲突，所以假设不成立，故原命题成立．三、探究与拓展13.已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.证明(1)由于a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)冲突，所以假设不正确，所以原命题成立．。

高考冲刺 提分必备2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析专题23 数学归纳法与证明【真题感悟】1. 【2010江苏，23】已知△ABC 的三边长都是有理数． （1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数．2. 【2013江苏，23】设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----644474448L 个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数． 3. 【2014江苏，23】已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()222f f πππ+的值；（2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()4442n n nf f πππ-+=都成立. 4．【2015江苏，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【考纲要求】1. 数学归纳法的原理 （考查要求为了解）2. 数学归纳法的简单应用 （考查要求为理解）【考向分析】1. 江苏高考中，经常考有难度的数学归纳法，利用归纳和类比的方法进行推理是新课标倡导的精神，主要考查学生探索创新能力.2. 数学归纳法既是方法，又是思想，更是能力.不仅需要归纳能力，更需要探究能力、创新能力、构造能力.做一些有难度的数学归纳法试题，有助于培养思维品质，提高分析问题及解决问题的能力.【高考预测】近几年没有考查数学归纳法，高考对数学归纳法考查定位在能力，属难题.【迎考策略】1. 明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值0n 的值．(2)由n k =到1n k =+时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k =时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =成立，推证1n k =+时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点0n ，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目； (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由n k =到1n k =+时命题变化的情况． 6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．【强化演练】1．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n N ++∈，． （1）求1a ， 2a ， 3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 2．已知函数，记，当．（1）求证：在上为增函数； （2）对于任意，判断在上的单调性，并证明． 3．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=1sin 12122sin 2n xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin 3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin6π⋅⋅⋅+的值. 4．已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数， *n N ∈.（1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.5．已知()()()()()()01111nknnnn k m n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ，其中R x ∈，*N n ∈， N k ∈， k n ≤.（1）试求()1f x ， ()2f x ， ()3f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论. 6．设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，； （2）求证：对任何正整数，.7．数列{}n a 满足11a =且()1211112n nna a n n n +⎛⎫=++≥ ⎪+⎝⎭. （1）用数学归纳法证明： ()22n a n ≥≥；（2）已知不等式()ln 1x x +<对0x >成立，证明： ()3421n a e n <≥（其中无理数）.8．记.（1）求的值； （2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.9．设个正数满足且. （1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到 且个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.10．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N *，都有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =． （1）求1a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明． 11．在数列E 中，已知F ，23-，2n n a b =(2n na b =，．（1，13a =时，分别求（212（Ⅰ）求(1)f -及(2)f 的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．13．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足 （1）1n n x x +<； （2 14．设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a +++⋅⋅⋅+⎡⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．。

24.2全等三角形的识别(B 卷)(综合应用创新训练题)一、学科内综合题：(每题5分,共20分)1.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm 现将直角边 AC 沿直线AD 折 叠,使它落在叙边 AB上，且与AE 重合,求CD 的长.2.如图所示,已知D 是等腰△ ABC 底边BC 上的一点，它到两腰ABAC 的距离分别为 DE DF,CM 丄AB,垂足为M,请你探索一下线段 DE DF 、CM 三者之间的数量关系，并给予证明.4. 如图所示,在Rt △ ABC 中，/ B=90° , / A 的平分线交 BC 于点D,E 为AB 上的一点，DE=DC, 以D 为圆心,DB 的长为行径作O D.求证:(1)AC 为O D 的切线；(2)AB+EB=AC.3.如图所示,△ ABC 中,/ ACB=90 ,AC=BC,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF 丄AE, 过B 作BDL BC 交CF 的延长线于 D.求证:(1)AE=CD;(2)若 AC=12cm 求 BD 的长.垂足为F,二、学科间综合题：（7分）5. 如图所示,已知在斜面AC上有一重物G重10N,用力F去拉到A,机械效率为80%,BD垂直平分AC,CD=2cm求力F的大小（精确到0.1）三、实践应用题：（每小题5分,共25分）6. 如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小，形状完全相同的玻璃，那么他可以带哪块去？7. 如图所示,牧童在A处放牛，其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC= 400米,BD=300米,CD的距离为800米.牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走的路程最短？最短路程是多少?（精确到1米）\DB8. 如图所示,有两个长度相同的滑梯（即BC=EF）,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的C1AAC长度为DF 相等，求/ ABC+Z DFE 的度数.9. 如图所示,要测量河两岸相对的两点 A B 的距离,可以在AB 的垂线BF 上取两点C D,使 CD=BC 再定出BF 的垂线DE,使A 、C 、E 在同一条直线上,这时测得的DE 的长就是AB 的长, 写出已知和求证，并且进行证明.10.工人师傅常用角尺平分一个任意角 ，做法如下：如图所示，Z AOB 是一个任意角，在边0A0B 上分别取OM=Oh 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M N 重合.过角尺顶点P 的射线0P 便是Z AOB 的平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、证明•四、创新题:（15分） （一）教材中的变型题（5分）11. 教材P91页习题24.2第6题为：如图所示,AD 是Z BAC 的角平分线,DE 丄AB,DF 丄AC,你能 找出图中的全等三角形吗 ？如果再加上AB=AC 呢?（1） 一变:AD 是/ BAC 的角平分线，DE 丄AB,DF 丄AC,AB=AC 连接EF 交AD 于M,你能找出FA图中的全等三角形吗？⑵二变：在变形（1）的基础上，当/ BAC=90时，你能找出图中的全等三角形吗（二）多解题（5分）12. 已知在四边形ABCD中,AB // CD,AB=CD求证:四边形ABCD是平行四边形（三）多变题（5分）13. 如图所示，已知点C为线段AB上一点，△ ACM △ BCN是等边三角形⑴求证:AN=BM;⑵若把原题中“△ ACM^A BCN是两个等边三角形”换成两个正方形（如图所示）,AN 与BM的关系如何？请说明理由A C B五、中考题：（14、15、16、18、20、22每题3分,17、19、21题每题5分,共33分）14. （2003,北京海淀区）如图1所示，点D在AB上，点E在AC上,CD与BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC若 / B=20° ,则/ C= ________ .15. （2003,天津）如图2所示,0为.BC分别交于点E、F,若BF=DE则图中的全等三角形最多有（）A.2 对B.3 对C.5 对D.6 对16. （2003,黑龙江）如图3所示，△ ABC中,AD丄BC,CE1 AB,垂足分别为D、E,AD CE交于点H,请你添加一个适当的条件__________,使厶AEH^A CEB.17. （2003,哈尔滨）如图所示,已知点A、E、F、C在同一条直线上，AD// BC,AD= CB,AE=CF,求证:BE=DF.18. （2003,济南）如图4 所示,△ ABC中，已知AB=AC要使AD=AE,需要添加的一个条件是19. （2003,青岛）如图所示,在矩形ABCD中,F是BC边上一点,AF的延长线交DC的延长线于G,DE丄AG于E,且DE=DC.根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.且与边AD20. （2003,呼和浩特）如图5所示,在厶ABC与厶DEF中，如果AB=DE,BC=EF只要再找出/_______ = / ________ 或__________ = ________ ,就可证明这两个三角形全等•21.（2003,福州）如图所示,已知点A 求证:AE=BF.,AB=CD,Z D= / ECA,EC=FD,22.（2003,长沙）如图所示,若AC BD EF两两互相平分于点形（只需写一对即可）_________ .O,请写出图中的一对全等三角AB、C、D在同一条直线上E卷答案1. 解：•/△ ADE是由厶ADC折叠而得到的，•••△ADE^A ADC,•••/ DEA玄DCA=90 ,DE=DC,AE=AC,设CD=xcm则DE=x,DB=BC-CD=8-x,••• AC=6,BC=8, • AB=、. AC2 BC^ :；62 8^10,•BE=AB-AE=AB-AC=10-6=4(cm),在Rt △ DBE中，由勾股定理得BD=BE+DE,•(8-x) =4 +x ,解得x=3(cm),即CD=3cm.2. CM=DE+DF,证明：作DN L MC,垂足为N,•/ CML AB,DE± AB, •四边形EDNM!矩形,• DE=MN,•/ BA! MC,DNL MC,「. DN// BA, N DC M ABC,•/ AB= AC, ABC2 ACB/-Z NDC M FCD,•/ DNL MC,DF L AC, DNC M CFD=90 .在厶DNC 和厶CFD中，/ DNC M CFD,Z NDC2 FCD,CD=DC,•△DNC^A CFD,「. CN=DF,•/ CM=MN+NC「CM=DE+DF.3. 证明:(1) •••/ ACB=90，•/ 1 + Z 3=90° ,•/ CF L AE, 2+Z 3=90° ,•••/ 仁/2,•/ BD L BC,「./ DBC=90 , / DBC2 ECA=90 ,在CBD中，/仁/2,AC=CB,•••/ ECAN DBC, ACE^A CBD,「. AE=CD.(2) •••△CAE^A BCD,：CE=BD,1 1•/ CE— BC,BC=AC,/. BD=— AC,2 2•/ AC=12,：BD=6(cm)4. 证明:(1)作DF L AC,垂足为F,则/ DFA=90 ,•••/ B=90 ° , B=Z DFA=90 .在厶ABD和△ AFD中，/ 仁/ 2, / B=Z DFA,AD=AD,•△ABD^A AFD, • DB=DF,又••• DF L AC,：AC为O D的切线.(2) •••/ B=Z DFC=90 ,•••在Rt △ BED和Rt△ FCD中,DE=DC,DB=DF,•Rt △ BED 也Rt △ FCD/. BE=FC,•/△ABD^A AFD,z AB=AF,•/ AC=AF+FC「AC=AB+BE._ 、5. 解：•••在△ ABC中,BD 垂直平分AC, • AD=DC,又•••在△ ADB和△ CDB中,AD= CD, / ADB=/ CDB,BD=BD, •••△ADB^A CDB,z BA=BC.■/ CD=2cm「AD=2cm,v/ DBC=45，// C=45° ,• BD=2cm在Rt△ BCD中,有BD+DC=B C,二 BC=、BD 2 DC 2 = .22 22 = 2.2, ••• AB=2、、2,10 2'2=80%,. F ： 8.8（N ）F 46. 带③去.解：③中已知两角及其夹边作三角形是成立的 ，即已知：/ A 、/ B 及AB,求作的△ ABC 是惟的，因此，应带③去.7. 解：作A 点关于直线CD 的对称点A ,连结A B,交CD 于 P, 则P 点为饮水处，线段AP+PB 即为最短路程， 理由：在厶 PAC 和△ PA' C 中,CA=CA' , / ACP / A ' CP,PC=PC, • △ PAC^ PA' C, • AP=A P,AC=A' C, •// A CP=/ BDP=90 , / A PC= / BPD,•/ CD=PC+PD=800米）,A ' C=AC=400,BD=300,•PC 400800 - PC 一 300，• PO 457（米）,• PD=CD-PC=800-457=343（米）.在 Rt △ APC 中,PA= . AC 2 PC 2 二 4002 4572 : 607 （米）,在 Rt △ BDP 中,PB= . BD 2 PD 23002 3432 455.6,• PA+PB=607+455.6^ 1063（米）.8. 解：•/ ACL AB,ED 丄 DF, •/ CAB 玄 FDE=90 . 在 Rt △ ABC 和 Rt △ DEF 中,BC=EF,AC=DF,• Rt △ ABC^ Rt △ DEF,/ / BCA 玄 EFD,•/ AC L AB, •/ ABC+ / BCA=90，•/ ABC+Z DFE=90 .9. 已知:AB L BF,ED L BF,垂足分别为 B,D,AE 交 BF 于 C,BC=DC.求证:DE=AB.证明：•/ AB 丄 BF,ED L BF, •/ ABC / EDC=90 . 又•••/ BCA Z DCE,BC=DE,• △ BCA^A DCE,/ AB=DE.10. 已知:OM=ON,PM=PN.求证:OP 平分/ AOB.证明：在厶 OPM^A OPN 中,OM=ON,PM=PN,OP=OP,•••△ OPI W^ OPN,• / POM Z PON,故 OP 平分/ AOB.四、（一）11. 解：原题答案：△ AED^A AFD A AED^A AFD,^ BED ◎△ CFD,^ ABD^A ACD.•••Gh FsP3A BPD/.PCA CPD BD（1）答案：△ ABD^ ACD,^ ADE^A ADF,^ BDE^A CDF,^ AEM^A AFM,^ DEM^^ DFM. （2）答案：△ ABD^A ACD,A ADE^A ADF^A BDE^A CDF,A AEM^A AFM ◎△ DE曜DFM. （二）12. 证法一：连结AC,由AB// CD,有/ BAC=/ DCA,又AB=CD,AC= CA（得△ ABC^A CDA,••• BC=DA/.四边形ABCD是平行四边形•证法二：由法一知厶ABC^CDA,： / ACB玄CAD,•BC// AD, •四边形ABCD是平行四边形•证法三：由法一知厶ABC^A CDA,•/ B=/ D.又•••/ BAC=/ DCA,/ BCA=/ DAC,•••/ BAC+/ DAC=/ DCA/ BCA即/ BAD= / BCD,•四边形ABCD是平行四边形•证法四：连结AG BD,相交于点0,•/ AB// CD,•/ BAC=/ DCA,•••/ ABO/ CDO又T AB=CD/. △ABO^A CDO「AO=CO,BO=DO,•四边形ABCD是平行四边形•证法五：分别由A、D作BC的垂线,E、F为垂足,•/ AB// CD,•/ ABE= / DCF,又••• AB=CD「Rt △ AB參 Rt△ DCF,•AE=DF,：四边形AEFD为矩形，•AD=EF= EF+BE-CF=BCJ卩AD=BC,•四边形ABCD是平行四边形•（三）13・（1）证明：•••△ ACM A BCN是等边三角形，•/ 1=/2=60°,BC=CN,AC=CM,•/ 1+/3=/2+/3,即/ ACN=/BCM,在^ ACN^D A MCB中,AC=MC, / ACN=/ MCB,CN=CB,•△ACN^A MCB,/. AN=MB・（2）AN=BM・理由如下，•••四边形ACMF BCNE为正方形，• AC=MC,CN= CB/ 2=/ 1・在A ACN和A MCB中,AC=MC,/ 2= / 1,CN=CB,• A ACN^A MCB,/. AN=BM.五、14.20 °15.D 16.AH=CB（只要符合要求即求）17. 证明：如答图所示,T AD// BC, •/ A=/ C,••• AE=CF「AE+EF=CF+EF,. AF=CE.在A ADF和A CBE中，AD=CB, / A=/ C,AF=CE,• A ADF^A CBE,「. DF=BE.18. BD=CE.（只要能满足A ABD与A ACE全等的条件即可）.19. A ABF^A DEA.证明：T矩形ABCD,•AB=CD,•/ B=90° ,AD // BC,•/ AFB=/ DAE,又T DE=CD「AB=DE,•/ DE L AF, •••/ DAE=90 ,•••/ B=Z DEA.在厶AFB和△ DAE中,/ AFB= / DAE,/ B=Z DEA,AB=DE, •△AFB^A DAE.20. / B=/ DEF或AC=DF21. 证明：T AB=CD,「. AB+BC=CD+BC,・ AC=BD.在厶EAC和△ FBD中,AC=BD,/ ECA= / D,EC=FD,•△EAC^A FBD,「. AE=BF.22. △DOF^A BOE.。

初中数学命题与证明专题训练50题含参考答案一、单选题1．下列命题是真命题的是（ ）A ．同旁内角相等，两直线平行B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．相等的两个角是对顶角D ．菱形的对角线相等且互相垂直2．用反证法证明“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设（ ）A ．a b <B ．a b ≤C ．a b =D ．a b ≥ 3．下列四个命题中，属于真命题的是（ ）A ．同角（或等角）的补角相等B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．同旁内角相等，两直线平行D ．如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角4．下列语句不是命题的是( )A ．画两条相交直线B ．互补的两个角之和是180°C ．两点之间线段最短D ．相等的两个角是对顶角 5．下列定理中，不存在逆定理的是( )A ．等边三角形的三个内角都等于60°B ．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C ．同位角相等，两直线平行D ．全等三角形的对应角相等6．下列命题：∠相等的两个角是对顶角；∠邻补角互补；∠同位角相等，两直线平行；∠过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中，真命题的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7．下列命题中，真命题有（ ）（1）如果一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；（2）一个数的立方根等于它本身，则这个数是﹣1，0，1；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．8．下列命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．等边三角形的三个内角都相等；C．等腰三角形的底角可以是直角；D．直角三角形的两锐角互余．9．下列各命题的逆命题成立的是（）．A．正方形是轴对称图形B．如果两个角是直角，那么它们相等C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D．同旁内角互补，两直线平行10．已知下列命题：∠抛物线y=3x2+5x-1与两坐标轴交点的个数为2个；∠相等的圆心角所对的弦相等；∠任何正多边形都有且只有一个外接圆；∠三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；∠圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（）A．这个命题是真命题B．条件是“一个三角形有两个角相等”C．结论是“这两个角所对的边也相等”D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题12．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等D．在同一个三角形中，等边对等角13．下列说法正确的是（）A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个14．下列句子中，是命题的是（）A．延长线段AB到点CB．正数都大于负数C．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？D．作线段AB∠CD15．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”时，首先假设这个三角形中（）A．三个内角都小于60°B．只有一个内角大于或等于60°C．至少有一个内角小于60°D．每一个内角都小于或等于60°16．下列命题中，假命题是()A ．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B ．矩形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形17．平面内，下列命题为真命题是（ ）A ．经过半径外端点的直线是圆的切线B ．经过半径的直线是圆的切线C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线18．下面给出四个命题：①各边相等的六边形是正六边形；②顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；③顺次连结一个四边形各边中点所成的四边形是矩形，则原四边形是菱形；④正五边形既是中心对称图形又是轴对称图形其中真命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 19．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ） A ．∠1=50°，∠2=40°B ．∠1=45°，∠2=45°C ．∠1=60°，∠2=30°D ．∠1=50°，∠2=50°20．已知下列命题：∠对角线互相垂直的四边形是菱形；∠若x a =，则()20x a b x ab -++=；∠两个位似图形一定是相似图形；∠若22x x =，则2x =；其中原命题是真命题逆命题是假命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题21．命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是 ；逆命题是 命题（填“真”或“假”）．22．“互余的两个角相等”的逆命题是______________________________．23．“相等的角是对顶角”是命题．__（判断对错）24．“同位角相等”改写成“如果那么”的形式25．写出命题“对顶角相等”的逆命题：______．（写成“如果…那么…”的形式） 26．用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需________ 分钟．27．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是______．28．如果12∠=∠，23∠∠=，那么13∠=∠；该命题的结论是_______．29．“如果1a ＞1b，那么a＜b．”是假命题，举一个反例，其中a＝_____，b＝_____．30．命题“如果两个角的和为180 ，那么这两个角互补”的逆命题是_______. 31．A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩．A说：“如果我得优，那么B也得优”B说：“如果我得优，那么C也得优”C说：“如果我得优，那么D也得优”D说：“如果我得优，那么E也得优”大家都没有说错．如果C得优，那么A、B、D、E中还有________也一定得优（填字母）．32．将命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”改写“如果……那么……”的形式__________________.33．一个命题由“条件”和“结论”两部分组成，则命题“同角的余角相等”的条件是________________．34．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设______．35．命题“等腰三角形底边上的高线和中线互相重合”是__________．（填“真命题”或“假命题”）36．写出“两直线平行内错角相等”的逆命题：_______________，此逆命题是__________（填“真”或“假”）命题．37．有下列五个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤一个非负实数的绝对值是它本身，其中是真命题的是______.(只填序号)38．把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式是_____，它是_____命题．（填“真”或“假”）39．下列说法中，正确的个数有_____个．（1）三点确定一个圆（2）相等的圆心角所对的弧相等（3）四边形都有一个外接圆（4）三角形有且只有一个外接圆（5）正五边形是轴对称图形．40．命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是________，该逆命题是______（填真、假）命题．三、解答题41．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：∠AB∠CD；∠AM∠EN；∠∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．(1)请按照：“∠ ，；∠ ”的形式，写出所有正确的命题；例如命题1：∠AB∥CD，AM∥EN；∠∠BAM＝∠CEN．(2)在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．42．如图，已知直线AB CD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF∥．分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：ME NF解：∠AB CD，（已知）∠∠AMN＝∠DNM（）∠ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）∠∠EMN＝∠AMN，∠FNM＝∠DNM（角平分线的定义）∠∠EMN＝∠FNM（等量代换）∥（）∠ME NF（1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对角的平分线互相．（2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来．43．说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．44．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）末位数字是0的数，一定能被5整除；（3）直角都相等；（4）同角的余角相等．45．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三边对应相等的两个三角形全等．46．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)绝对值相等的两个数一定相等；(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点．47．“如果a＞b，那么ac＞bc”是真命题还是假命题？如果是假命题，举一个反例并添加适当的条件使它成为真命题．48．说出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(2)直角三角形只有两个锐角．(3)有一条边和这条边上的中线对应相等的两个三角形全等．49．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差22+-等于这两个连续整数的n n(1)和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由.50．如图所示，在∠DE∠BC；∠∠1＝∠2；∠∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．参考答案：1．B【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由菱形的性质得出D是假命题；综上，即可得出答案．【详解】解：A．同旁内角互补，两直线平行，原说法错误，是假命题，不符合题意．B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，是真命题，符合题意．C．相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题，不符合题意．D．菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，原说法错误，是假命题，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、菱形的性质；熟练掌握相关性质和定理、定义是解决本题的关键．2．B【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a ＞b”，第一步应假设a≤b，故选：B．【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．A【详解】解：A、同角（或等角）的补角相等，正确，为真命题；B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题错误，为假命题；C、同旁内角互补，两直线平行，原命题错误，为假命题；D、如果∠1=∠2，那么∠1和∠2不一定是对顶角，原命题错误，为假命题，故选A.4．A【分析】根据命题的定义对四个语句分别进行判断即可．【详解】A．画两条相交直线不是对一件事情的判断，不是命题；B．互补的两个角之和是180°是命题；C．两点之间线段最短是命题；D．相等的两个角是对顶角是命题．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．5．D【分析】根据逆命题的定义先写出各选项中原命题的逆命题,再对得到的逆命题判断真假.【详解】A的逆命题：三个内角都是60°，那么这个三角形是等边三角形，正确；B的逆命题：在同一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确；C的逆命题：两直线平行，同位角相等，正确；D的逆命题：对应角相等，两个三角形全等，错，是相似；故答案为D【点睛】本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题.6．C【分析】根据对顶角、邻补角的定义，平行线的判定定理，垂线的性质逐个分析判断即可求解．【详解】解：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，则相等的角不一定是对顶角，故∠是假命题；两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角或两个角有一个公共顶点并且一个角的两条边是另一个叫两条边的反向延长线叫做邻补角，则邻补角互补，故∠是真命题；同位角相等，两直线平行，∠是真命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∠是假命题，故∠∠是真命题，共2个．故选：C．【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．7．C【分析】利用0的算术平方根为0可对（1）进行判断；利用立方根的定义可对（2）进行判断；根据垂直公理可对（3）进行判断；根据平行线的判定方法可对（4）进行判断．【详解】解：（1）如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是0或1，所以（1）为假命题；（2）一个数的立方根等于它本身，则这个数是-1，0，1，所以（2）为真命题；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以（3）为真命题；（4）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以（4）为真命题．综上，（2）（3）（4）三个正确，故选：C．【点睛】本题考查了命题，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．C【分析】根据平行线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质分别判断即可.【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，正确；B. 等边三角形的三个内角都相等，正确；C. 由于等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和是180°，故等腰三角形的底角不可以是直角，错误；D. 直角三角形的两锐角互余，正确，故选：C.【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握各性质是解题关键.9．D【分析】分别写出各个命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A、命题正方形是轴对称图形的逆命题为：轴对称图形是正方形，该逆命题是假命题，不符合题意；B、命题如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角，该逆命题为假命题，不符合题意；C、命题如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为，如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，该逆命题是假命题，不符合题意；D、命题同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，该逆命题是真命题，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，判断命题真假，轴对称图形的定义，实数的性质，平行线的性质与判定，直角的定义等等，正确写出每个命题的逆命题是解题的关键．10．B【分析】分别利用二次函数的性质、圆的性质、多边形的性质及圆内接四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：∠抛物线y=3x2+5x-1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；∠相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；∠任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；∠三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；∠圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故选B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解二次函数的性质、圆的性质、多边形的性质及圆内接四边形的性质，难度不大．11．D【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”，则选项A、B、C正确，不符合题意，不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键．12．A【分析】分别写出逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题；B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，是真命题；C．逆命题为：内错角相等，两直线平行，正确，是真命题；D．逆命题为：在同一个三角形中，等角对等边，正确，是真命题，故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键，难度不大．13．D【详解】试题分析：依次分析各项，判断是否为真命题即可.A、经验、观察或实验完全不一定能判断一个数学结论的正确与否，B、我们每个人都有学习推理的必要，C、对于自然数n，n2+n+37不一定是质数，故错误；D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，本选项正确.考点：命题与定理点评：此类问题对常识性知识要求较高，贴近生活，在中考中较常见，常以选择题形式出现，属于基础题，难度一般.14．B【分析】根据命题的特点可知，命题是判断一件事情的句子，这个判断可能是正确的也可能是错误的，而不做判断的句子肯定不是命题．【详解】A．延长线段AB到点C不是判断句，没有做出判断，不是命题；B．正数都大于负数，是命题；C．直于同一条直线的两条直线平行吗？不是判断句，没有做出判断，不是命题；D．作线段AB∠CD不是判断句，没有做出判断，不是命题．故选B．【点睛】本题考查了命题的定义：在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，比较简单．15．A【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，据此解答即可．【详解】∠要证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”，∠用反证法证明时，首先假设这个三角形中三个内角都小于60°，故选：A．【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．16．C【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案.【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．17．D【分析】利用切线的判定方法逐一判断即可得到答案，也可举出反例进行说明.【详解】解：根据切线的判定定理：“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”得到D正确，故选D.【点睛】本题考查了命题与定理的知识，牢记这些命题与定理是解决本类问题的关键. 18．B【分析】根据正六边形六条边相等且六个角也相等可对∠进行判断，利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定定理可对∠进行判断；利用三角形中位线的性质，根据四边形的对角线不一定互相平分对∠进行判断；根据轴对称图形和中心对称图形的定义对∠进行判断，综上即可得答案.【详解】∠正六边形六条边相等且六个角也相等，∠各边相等的六边形不一定是正六边形，故∠不是真命题，∠等腰三角形的顶角对应相等，∠两个等腰三角形的两个底角对应相等，∠底边对应相等，∠两个等腰三角形全等(ASA)，故∠是真命题，∠如图，由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∠FG∠BD，EF∠AC∠HG；∠四边形EFGH是矩形，即EF∠FG，∠AC∠BD．∠四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，不一定是菱形，故∠不是真命题，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故∠不是真命题，综上所述：是真命题的有∠，共1个，故选B.【点睛】本题考查了命题的判断，涉及的知识点有正多边形的定义、全等三角形的判定、菱形的判定及轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关性质与定理是解题关键. 19．B【详解】A ． 当∠1=50°，∠2=40°时，∠1+∠2=90°，∠1≠∠2；B ． 当∠1=45°，∠2=45°时，∠1+∠2=90°，∠1=∠2，与∠1≠∠2矛盾；C ． 当∠1=60°，∠2=30° 时，∠1+∠2=90°，∠1≠∠2；D ． ∠1=50°，∠2=50°时，∠1+∠2≠90°．故选B ．20．B【分析】根据菱形的判定及性质、一元二次方程的解法、位似图形的性质逐一判断即可．【详解】解：∠的原命题：对角线互相垂直的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，如果只有垂直，不能判定为菱形，故∠的原命题为假命题，∠的逆命题：菱形是对角线互相垂直的四边形，这是菱形的性质，故∠的逆命题是真命题，故∠不符合题意； ∠的原命题：若x a =，则20x a b x ab -++=（）；若x a =，则220x a b x ab a a b a ab -++=-++=（）（），故∠的原命题是真命题：∠的逆命题：若 20x a b x ab -++=（）．则x a =．解方程20x a b x ab -++=（），得：()()0x a x b --=，解得：1x a =，2x b =，故∠的逆命题为假命题；故符合题意；∠的原命题：两个位似图形一定是相似图形，根据位似图形的性质知：（1）两个图形必须是相似形；（2）对应点的连线都经过同一点：（3）对应边平行．故两个位似图形一定是相似图形，故∠的原命题是真命题：∠的逆命题：两个相似图形一定是位似图形．很显然，根据位似图形的性质知其不符合位似图形的性质（2）和（3），故∠的逆命题是假命题，符合题意；∠的原命题：若22x x =，则2x =；解方程22x x =，10x =，22x =．故∠的原命题是假命题；∠的逆命题：若2x =，则22x x =，等式左边224==，等式右边224=⨯=：故当2x =时，22x x =，故∠的逆命题是真命题，故∠不符合题意，满足题意的命题是∠∠，共2个．故答案为：B ．【点睛】本题考查了命题的判断，涉及原命题与逆命题、菱形的判定及性质、一元二次方程的解法、位似图形的性质，解题的关键是掌握上述知识点并灵活运用．21．如果两个角相等，那么它们是直角；假．【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到其逆命题，然后根据直角的定义判断逆命题的真假．【详解】解：命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，此逆命题是假命题．故答案为：如果两个角相等，那么它们是直角；假．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．22．相等的两个角互余【分析】根据逆命题的定义即可得．【详解】由逆命题的定义得：相等的两个角互余，故答案为：相等的两个角互余．【点睛】本题考查了逆命题，掌握理解定义是解题关键．23．对【分析】根据命题的概念判断即可．【详解】解：判断一件事情的语句，叫做命题，所以相等的角是对顶角是命题，对 故答案为：对．【点睛】本题考查了命题与定理，命题是指可以判断真假的陈述语句，加深对相关概念的理解是解此类问题的关键．24．如果两个角是同位角，那么这两个角相等．【分析】命题有题设与结论组成，把命题的题设写在如果的后面，结论写在那么的后面即可．【详解】解：命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．25．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【分析】由题意将原命题写成条件与结论的形式，进而将结论和条件进行互换即可.【详解】解：命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，为假命题．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．【点睛】本题考查命题与定理的知识，解决本题的关键是将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，并将结论和条件进行互换．26．3【分析】若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎．【详解】应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只并同时熟，共需3分钟．故答案为3．【点睛】本题考查了推理与论证，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费．27．同旁内角互补【分析】根据命题的概念解答即可．【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，故答案为：同旁内角互补．【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果⋯，那么⋯”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，即条件，“那么”后面解的部分是结论．28．13∠=∠。