(完整版)八年级数学四边形证明题专项练习

专题训练(四) 平行四边形性质与判定的综合应用应用一平行四边形与三角形1．如图4－ZT－1，在▱ABCD中，若AD＝8 cm，AB＝6 cm，DE平分∠ADC交BC 边于点E，则BE的长为( )图4－ZT－1A．2 cm B．4 cmC．6 cm D．8 cm2．如图4－ZT－2，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝120°，那么∠BCE 的度数是( )图4－ZT－2A．80°B．50°C．40°D．30°3．xx·丽水如图4－ZT－3，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )图4－ZT－3A. 2 B．2 C．2 2 D．44．已知平行四边形的一边长是14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是( )A．10与16 B．12与16C．20与22 D．10与40应用二平行四边形的性质与全等三角形5．xx·眉山如图4－ZT－4，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )图4－ZT－4A．14 B．13 C．12 D．106．如图4－ZT－5，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是( )图4－ZT－5A．DF＝BE B．AF＝CEC．CF＝AE D．CF∥AE7．如图4－ZT－6，将▱ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，分别连接AD1，BC1.(1)从线段CA1上找出两对相等的线段；(2)求证：△A1AD1≌△CC1B.图4－ZT－6应用三平行四边形的性质与平面直角坐标系8．如图4－ZT－7，在平面直角坐标系中，▱MNEF的两条对角线ME，NF交于原点O，点F的坐标是(4，1)，则点N的坐标是( )图4－ZT－7A．(－4，－1) B．(－4，1)C．(－1，4) D．(1，4)9．如图4－ZT－8，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形的顶点的是( )图4－ZT－8A．(－3，1) B．(4，1)C．(－2，1) D．(2，－1)应用四平行四边形判定中的开放性试题10．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，若再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形，则这个条件可以是________(写出一个条件即可)．11．如图4－ZT－9，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若再增加一个条件______________(只需写一个条件)，就可推得BE＝DF.图4－ZT－912．如图4－ZT－10，点E，F在▱ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件____________(只需写出一个结论，不必考虑所有情况)．图4－ZT－10应用五平行四边形性质与判定的综合应用13．如图4－ZT－11，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC，猜想线段CD与线段AE的数量关系和位置关系，并加以证明．14．如图4－ZT－12，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，求AB的长．图4－ZT－1215．四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BE，CD＝DF.(1)如图4－ZT－13，若点E，F分别在CB，AD的延长线上，求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若点E，F分别在DA，BC的延长线上，(1)中的结论还成立吗？说明理由．图4－ZT－13详解详析1．A [解析] 根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，∴∠EDA ＝∠DEC . 又∵DE 平分∠ADC ，∴∠EDC ＝∠ADE ，∴∠EDC ＝∠DEC ，∴CD ＝CE ＝AB ＝6 cm ，∴BE ＝BC －EC ＝AD －AB ＝8－6＝2(cm)．故选A. 2．D [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝120°，∴∠B ＝180°－120°＝60°. 又∵CE ⊥AB ，∴∠BCE ＝90°－∠B ＝30°.故选D.3．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ，∠D ＝∠ABC ＝∠CAD ＝45°，∴AC ＝CD ＝2，∠ACD ＝90°，即△ACD 是等腰直角三角形，∴BC ＝AD ＝22＋22＝22.故选C.4．C [解析] 如图，假设AB ＝14，由较短两边之和大于第三边可知，只有C 项符合题意，故选C.5．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，周长为18， ∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，OA ＝OC ，AD ∥BC ， ∴CD ＋AD ＝9，∠OAE ＝∠OCF .在△AEO 和△CFO 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OCF ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO (ASA)， ∴OE ＝OF ＝1.5，AE ＝CF ，∴四边形EFCD 的周长＝ED ＋CD ＋CF ＋EF ＝(DE ＋CF )＋CD ＋EF ＝AD ＋CD ＋EF ＝9＋3＝12.故选C.6．C [解析] A 项，当DF ＝BE 时，由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，利用SAS 可判定△CDF ≌△ABE .B 项，当AF ＝CE 时，由平行四边形的性质可得BE ＝DF ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，利用SAS 可判定△CDF ≌△ABE .C 项，当CF ＝AE 时，由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，利用SSA 不能判定△CDF ≌△ABE .D 项，当CF ∥AE 时，由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠CFD ，利用AAS 可判定△CDF ≌△ABE .故选C.7．解：(1)相等的线段：AA 1＝CC 1，A 1C 1＝AC . (2)证明：由题意，得A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， 则∠D 1A 1A ＝∠BCC 1.在△A 1AD 1和△CC 1B 中，∵⎩⎨⎧AA 1＝C 1C ，∠D 1A 1A ＝∠BCC 1，A 1D 1＝CB ，∴△A 1AD 1≌△CC 1B (SAS)．8．A [解析] 在▱MNEF中，点F和点N关于原点对称，∵点F的坐标是(4，1)，∴点N 的坐标是(－4，－1)． 9．A [解析] 因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC 1，▱ABOC 2，▱AOC 3B .根据平行四边形的性质，可知B ，C ，D 三个选项正好是点C 1，C 2，C 3的坐标．故选A.10．答案不唯一，如AD ＝BC [解析] 添加条件AD ＝BC ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出该四边形是平行四边形．11．答案不唯一，如AE ＝CF 12．答案不唯一，如DE ＝BF13．解：猜想：CD ∥AE ，CD ＝AE . 证明：∵CE ∥AB ， ∴∠DAO ＝∠ECO .在△ADO 和△CEO 中，∵⎩⎨⎧∠DAO ＝∠ECO ，AO ＝CO ，∠AOD ＝∠COE ，∴△ADO ≌△CEO (ASA)， ∴AD ＝CE ，∴四边形ADCE 是平行四边形， ∴CD ∥AE ，且CD ＝AE .14．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD . ∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AB ＝DE ＝CD ， 即D 为CE 的中点．∵EF ⊥BC ，∴∠F ＝90°.∵AB ∥CD ，∴∠DCF ＝∠ABC ＝60°， ∴∠CEF ＝30°. ∵EF ＝3，∴CE ＝2，∴AB ＝1.15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD .∵点E ，F 分别在CB ，AD 的延长线上， ∴AF ∥CE .∵AB ＝BE ，CD ＝DF ，∴BE ＝DF ，∴AD ＋DF ＝BE ＋BC ， ∴AF ＝CE ，∴四边形AECF 是平行四边形．(2)成立．.精品 理由：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠DAB ＝∠DCB ，AD ∥BC .∵∠EAB ＋∠DAB ＝180°，∠DCB ＋∠DCF ＝180°， ∴∠EAB ＝∠FCD .∵AB ＝BE ，CD ＝DF ，∴∠BEA ＝∠EAB ＝∠DCF ＝∠DFC .在△EBA 和 △FDC 中，⎩⎨⎧∠EAB ＝∠FCD ，∠BEA ＝∠DFC ，AB ＝CD ，∴△EBA ≌△FDC (AAS)，∴AE ＝CF .∵点E ，F 分别在DA ，BC 的延长线上，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

正方形的证明练习题1.在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD的度数。

2.已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.3.如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.4.P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.5.如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求PAQ∠。

（2）若45∠=︒,求证：PQ=BP+DQ.PAQ6.如图，已知正方形ABCD的对角线相交于O，点E.F分别在AB与BC边上的点，且BE=CF.求证：OE⊥OF.7．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为多少？8．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，求EF的长。

10．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，求线段CH的长。

11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.12．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．13．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．14．如图1，在正方形ABCD中，E.F分别是边AD.DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD 中，M.N.P.Q 分别是边AB.BC.CD.DA 上的点，且MP ⊥NQ ．MP 与NQ 是否相等？并说明理由．15.如图，正方形ABCD 与正方形OMNP的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．16.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A .C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；17.如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C.D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG .线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG .线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；ABCPDE②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2.如图3情形．请你通过观察.测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．18.如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB，EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）求∠AFB的度数．19.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFC GE B图3。

1．（10分）如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP 的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；（2）求证：AG+CG=DG．2．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．3．（9分）如图，在梯形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点．（1）求证：四边形MENF是平行四边形；（2）若四边形MENF的面积是梯形ABCD面积的，问AD、BC满足什么关系？4．如图，在四边形 ABCD 中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，∠ADB=90°．（1）求证：四边形 ABCD 为平行四边形；（2）求四边形 ABCD 的面积．5、四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO.6、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长.7、如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE.(2)若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长.8、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°。

点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N，连接MD、AN。

(1)求证:四边形AMDN是平行四边形。

(2)当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由。

9.（6 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，且DE∥AC，AE∥B D．求证：四边形AODE 是矩形．10（9 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，E 是AD 边上的中点，过A 点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，连结BF．（1）求证：四边形AFBD 是平行四边形．（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由．10．（7 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，分别过点A、D作AE∥BC、DE∥AB，AE 与DE 相交于点E，连结CE．（1）求证：BD =CD.（2）求证：四边形ADCE 是矩形．11.（9 分）如图，E、F 分别是矩形ABCD 的边BC、AD 上的点，且BE =DF.（1）求证：四边形AECF 是平行四边形.（2）若四边形AECF 是菱形,且CE = 10，AB = 8，求线段BE 的长.12.（7 分）如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E，交AC 于点F，连结DE、DF.（1）求证：∠ADE=∠DAF.（2）求证：四边形AEDF 是菱形.13．【感知】如图①，四边形ABCD、AEFG 都是正方形，可知BE =DG ．【探究】当正方形AEFG 绕点A 旋转到图②的位置时，连结BE、DG．求证：BE =DG ．【应用】当正方形AEFG 绕点A 旋转到图③的位置时，点F 在边AB 上，连结BE、D G．若DG =13 ，AF = 10 ，则AB 的长为．14. （10 分）如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△BCE、△ABF.（1）求证：四边形ADEF 是平行四边形（2）△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？（3）△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？20．如图，将▱ABCD 的边 DC 延长到点 E ，使 CE=DC ，连接 AE ，交 BC 于点 F ． （1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）若∠AFC=2∠D ，连接 AC 、BE ，求证：四边形 ABEC 是矩形．18．（本题8分）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC ，且DE ＝21AC ，连接CE 、OE(1) 求证：四边形OCED 是平行四边形； (2) 若AD ＝DC ＝3，求OE 的长.21．（本题8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝3，BC ＝5，连接BD ，∠BAD 的平分线分别交BD 、BC 于点E 、F ，且AE ∥CD (1) 求AD 的长；(2) 若∠C ＝30°，求CD 的长.27．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）证明：BD=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．28．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．18. (本题满分12分)如图，DB∥AC，且DB＝12AC，E是AC的中点。

北师大版数学八年级下册第六章平行四边形含辅助线证明题——截长补短类1.在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点G，CF=CB=AE．（1）若AB=2√2，BC=√7，求CE的长；（2）求证：BE=CG-AG．2.在平行四边形ABCD中，以边AD为边在平行四边形内作等边△ADE，连接BE.（1）如图1，若点E在对角线BD上，且∠DAB=75°，AB=√6，求BE的长；（2）如图2，若点F是BE的中点，且CF⊥BE，过点E作MN∥CF，分别交AB，CD于点M，N，求证：DN=CN+EN.3.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AE=CE.BF⊥AC，垂足为F，分别与AE，AD交于点G，H.（1）若AG=GE=BE=1，求▱ABCD的面积；（2）若CH平分∠BCD，求证：BC=AG+CH.4.已知在▱ABCD中，AE⊥CD，且AB=AE，F为AE上一点，且BF平分∠ABC，（1）若∠ABC=60°，AB=√3，求EF的长；（2）求证：AF+DE=BC.5.在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上任意一点，连接BE（1）如图①所示，若AB=BE，AC=BC，∠BAC=75°，AB=2√2，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图②所示，延长BE至F，使得EF=EB，连接CF，FD，求证：CE=AE+FD．6.在平行四边形ABCD中，连接BD，过点B作BE⊥BD于点B交DA的延长线于点E，过点B作BG⊥CD于点G．（1）如图1，若∠C=60°，∠BDC=75°，BD=6√2，求AE的长度；（2）如图2，点F为AB边上一点，连接EF，过点F作FH⊥FE于点F交GB的延长线于点H，在△ABE的异侧，以BE为斜边作Rt△BEQ，其中∠Q=90°，若∠QEB=∠BDC，EF=FH，求证：BF+BH=BQ．7.在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG=FB．（1）若CD=6，AF=3，求△ABF的面积；（2）求证：BE=AG+CE．8.如图，在▱ABCD中，点F是对角线BD上一点，且满足AB=AF，过点F作EG交AD于E，交BC于G，作AH⊥BC于点H，交BD于M．（1）若F为MD中点，AF=2，AM=√3，求BC的长度；（2）若∠ABH=∠AFE，求证：BH+FG=HG．9.如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE=∠CDG=∠FDG.（1）∠A=45°，∠ADF=75°，CD=3+√3，求线段BC的长；（2）求证：AB=BF+DF.10.如图，△ABC的高AD与中线BE相交于点F，过点C作BE的平行线，过点F作AB的平行线，两平行线相交于点G，连接BG，FG．（1）若AE＝2.5，CD＝3，BD＝2，求AB的长；（2）若∠CBE＝30°，求证：CG＝AD+EF．11.如图，在□ABCD中，E为BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE.（1）若∠D=100°，∠DAF=30°，求∠FAE的大小；（2）求证：AF=CD+CF.12.已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD=DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若EFDF =12，AF=√13，求DG的长；（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM-EM=2DG．13.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=AD，EG⊥AB于点G，延长GE、DC交于点F，连接AF.（1）若BE=2EC，AB=√13，求AD的长；（2）请猜想线段EG、BG、FC之间的等量关系并证明.14.如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．(1)求线段CF的长度；(2)求证：AB=DG+CE．15.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAC=60°，点E是BC边上一点，连接AE，AE=AB，点F是对角线AC边上一动点，连接EF.（1）如图1，若点F与对角线交点O重合，已知BE=4，OC：EC=5：3，求AC的长度；（2）如图2，若EC=FC，点G是AC边上一点，连接BG、EG，已知∠AEG=60°，∠AGB+∠BCD=180°，求证：BG+EG=DC.16.如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC=AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．（1）若AE=2，CD=5，求△BCF的周长；（2）求证：BC=AG+EG．。

八年级平行四边形专项练习1.如图在Rt△ABC中∠ACB＝90，过点C的直线MN∥AB；D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN 于E垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由2. 如图在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC 的垂线，分别交射线AD、CB 于点E、F，连接AF、CE 求证：四边形AFCE 是菱形3．如图在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG(1）求证：△ABG ≌△AFG(2）求∠EAG 的度数；(3）求BG 的长4.如图▭ABCD 的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F(1）求证：△AOE≌△COF(2）若AB =4 BC =7 OE =3试求四边形EFCD的周长5如图BD 是△ABC 的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB 交BC 于点F(1）求证：四边形BEDF是菱形；(2）若∠ABC =60°∠ACB =45°CD =6√2求菱形BEDF的面积6.如图在△ABC中中线BE、CD 交于点O，F、G 分别是OB、OC 的中点求证：(1) DE ∥FG(2) DG 和EF 互相平分．7. 如图在△ABC 中AB＝AC ,D为BC上一点以AB、BD 为邻边作平行四边形ABDE连接AD、EC(1）求证：△ADC ≌△ECD ;(2）若BD ＝CD 求证：四边形ADCE 是矩形8.如图在Rt△ABC 中∠ACB =90°，过点C 的直线MN ∥AB , D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D在AB中点时，四边BECD是什么特殊四边形？说明你的理由9.如图四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF ⊥AE 于点F 点G在AE 上且∠ABG =∠E求证：AG = DF10. 如图是直角三角尺△ABC 和等腰直角三角尺△ BCD放置在同一平面内,斜边BC重合在一起∠A =∠BDC =90°∠ABC =30°BD = CD DE⊥AB 交AB 于点E 作DF⊥AC 交AC 的延长线于点F (1）求证：四边形AEDF 是正方形(2）当AC =4时，求正方形AEDF 的边长11．如图点0是口ABCD 对角线的交点，过点0作直线分别交AB、CD 的延长线于点E、F求证：BE = DF12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E(1）求证：BE = CD(2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC、DE求证：四边形ACED 是平行四边形13.如图1在正方形ABCD 中，E、F分别是边AD、DC 上的点且AF⊥BE(1）求证：AF = BE(2）如图2在正方形ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 上的点且MP⊥NQ 判断MP 与NQ 是否相等？并说明理由14.如图在平行四边形ABCD中，0为对角线交点，DP 平分∠ADC，CP 平分∠BCD，AB =6 AD =10则OP的长是多少？15. 如图矩形ABCD中延长AB至E,延长CD至F . BE = DF连接EF与BC、AD 分别相交于P、Q两点(1）求证：CP = AQ(2）若BP =1 PQ =2 ∠AEF =45°求矩形ABCD 的面积16.如图在Rt△ABC中∠BAC =90° AD⊥BC于D BG 平分∠ABC EF∥BC交AC 于F求证：AE = CF17.如图将矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；(2）若AB =8 DE =3 , P为线段AC上的任意一点PG⊥AE 于G PH⊥EC于H 试求PG + PH的值并说明理由18.如图在△ABC 中AB = BC ，BD 平分∠ABC 四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点 F 连接CE求证：四边形BECD 是矩形19.如图1将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F 分别在边AB、CD上，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP (1）如图②若M 为AD 边的中点①△AEM 的周长＝cm②求证：EP = AE + DP(2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A、D 重合），△PDM的周长是否发生变化？若发生变化，直接写出△ PDM 的周长，若发生变化，请说明理由。

八年级数学下册第二十二章四边形专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变2、如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设PA x，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图所示，则当PCD和PAB△的面积相等时，y的值为（）A B C D3、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），则下列四个说法：①x 2+y 2=49，②x ﹣y =2，③2xy +4=49，④x +y =9．其中说法正确的是（ ）A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①②④4、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，连接AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点M ．AF ⊥BC ，垂足为F ．BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，连接AC 、NE .若AE =BN ，AN =CE ，则下列结论中正确的有（ ）个．①ANB CEA ≌△△；②ABC 是等腰直角三角形；③NFE 是等腰直角三角形；④ANE ECM ≌△△；⑤AD EC =+．A ．1B ．3C ．4D ．55、如图，五边形ABCDE 中，320A B E ∠∠+∠=︒十，CP ，DP 分别平分BCD ∠，CDE ∠，则CPD ∠=（ ）A ．60°B ．72°C ．70°D ．78°6、在平行四边形ABCD 中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D 的值可以是（ ）A ．1∶2∶3∶4B ．1∶2∶2∶1C ．2∶2∶1∶1D ．1∶2∶1∶27、在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，AB ＝6，BC ＝8，则四边形AEDF 的周长是（ ）A ．18B ．16C ．14D ．128、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．四个角相等B ．对角线互相垂直C ．对角互补D ．对角线相等9、若n 边形每个内角都为156°，那么n 等于（ ）A ．8B ．12C ．15D ．1610、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交CD 边于E ，3AD =，5AB =，则EC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A 、B 、C 均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．2、如图，90,ACB AC BC ∠=︒=，D 为ABC 外一点，且,AD BD DE AC =⊥交CA 的延长线于E 点，若1,3AE ED ==，则BC =_______．3、如图，将长方形ABCD 沿AE ，EF 翻折使其B 、C 重合于点H ，点D 落在点G 的位置，HE 与AD 交于点P ，连接HF ，当6AB =，18BC =时，则P 到HF 的距离是______．4、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数______．5、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝120°，E 是边CD 的中点，F 是边AD 上的一个动点，将线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF '，连接AF '、BF '，则△ABF '的周长的最小值是________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知正方形ABCD 与正方形EFGH ，AB a ，()EF b b a =<．(1)如图1，若点C 和点H 重合，点E 在线段CB 上，点G 在线段DC 的延长线上，连接AC 、AG 、CG ，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 的代数式表示）．(2)如图2，若点B 与点E 重合，点H 在线段BC 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接AC 、AG 、CG ，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 的代数式表示）．(3)如图3，若将正方形EFGH 沿正方形ABCD 的边BC 所在直线平移，使得点E 、H 在线段BC 上（点H 不与点C 重合、点E 不与点B 重合），连接AC 、AG 、CG ，设CH x =，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 、x 的代数式表示）．(4)如图4，若将正方形EFGH 沿正方形ABCD 的边BC 所在直线平移，使得点H 、E 在BC 的延长线上，连接AC 、AG 、CG ，设CH x =，将阴影部分三角形ACG 的面积记作S ，则S = （用含有a 、b 、x 的代数式表示）．2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，以点A ，B ，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为1D ，2D ，3D ，如图所示．(1)若1m =-，则点1D ，2D ，3D 的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；(2)若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，①直接写出m 的值； ②若直线12y x b =+与△123D D D 有公共点，求b 的取值范围．(3)若直线y x =与△123D D D 有公共点，求m 的取值范围．3、如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，10OA =，8OC =，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．(1)直接写出B 点的坐标____________________；(2)求D 、E 两点的坐标．4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝5cm ，∠BOC ＝120°，求矩形对角线的长．5、已知在ABC 与CDE △中，,,AB CD B D ACE B =∠=∠∠=∠，点B C D 、、在同一直线上，射线AH EI 、分别平分BAC CED ∠∠、．(1)如图1，试说明AC CE =的理由；(2)如图2，当AH EI 、交于点G 时，设,B AGE αβ∠=∠=，求β与α的数量关系，并说明理由；(3)当AH EI ∥时，求B 的度数．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案． 【详解】解：连接AE ，∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，∴ABCD DEGF S S =矩形，故选：D ． ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE 是解题的关键．2、D【解析】【分析】先结合图象分析出矩形AD 和AB 边长分别为4和3，当△PCD 和△PAB 的面积相等时可知P 点为BC 中点，利用面积相等求解y 值．【详解】解：当P 点在AB 上运动时，D 点到AP 的距离不变始终是AD 长，从图象可以看出AD =4，当P 点到达B 点时，从图象看出x =3，即AB =3．当△PCD 和△PAB 的面积相等时，P 点在BC 中点处，此时△ADP 面积为143=62⨯⨯，在Rt △ABP 中，AP由面积相等可知：162⨯⨯=AP y ，解得y = 故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数图形的认识，分析图象找到对应的矩形的边长，解决动点问题就是“动中找静”，结合图象找到“折点处的数据真正含义”便可解决问题．3、B【解析】【分析】根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．【详解】如图所示，∵△ABC 是直角三角形，∴根据勾股定理：22249x y AB +==，故①正确；由图可知2x y CE -==，故②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为144492xy ⨯⨯+=，即2449xy +=，故③正确；由2449xy +=可得245xy =，又∵2249x y +=， 两式相加得：2224945x xy y ++=+，整理得：()294x y +=，9x y +=≠，故④错误；故正确的是①②③．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．4、C【解析】【分析】证出∠NBF =∠EAF =∠MEC ，再证明△NBF ≌△EAF （AAS ），得出BF =AF ，NF =EF ，证明△ANB ≌△CEA 得出∠CAE =∠ABN ，推出∠ABF =∠FAC =45°；再证明△ANE ≌△ECM 得出CM =NE ，由NF，得出AF+EC ，即可得出结论． 【详解】解：∵BH ⊥AE ，AF ⊥BC ，AE ⊥EM ，∴∠AEB +∠NBF =∠AEB +∠EAF =∠AEB +∠MEC =90°，∴∠NBF =∠EAF =∠MEC ，在△NBF 和△EAF 中，NBF EAF BFN EFA AE BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△NBF ≌△EAF （AAS ）；∴BF =AF ，NF =EF ，∴∠ABC =45°，∠ENF =45°，∴△NFE 是等腰直角三角形，故③正确；∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，∴∠ANB=∠CEA，在△ANB和△CEA中，AN CEANB CEABN AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ANB≌△CEA（SAS），故①正确；∵AN=CE，NF=EF，∴BF=AF=FC，又∵AF⊥BC，∠ABC=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确；在▱ABCD中，CD∥AB，且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形，∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE=45°，∴∠ANE=∠BCD=135°，在△ANE和△ECM中，MEC EAFAN ECANE ECM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ANE≌△ECM（ASA），故④正确；∴CM=NE，又∵NF，∴AF+EC，∴AD=BC=2AF+2EC，故⑤错误．综上，①②③④正确，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据五边形的内角和等于540︒，由320A B E ∠+∠+∠=︒，可求BCD CDE ∠+∠的度数，再根据角平分线的定义可得PDC ∠与PCD ∠的角度和，进一步求得CPD ∠的度数．【详解】 解：五边形的内角和等于540︒，320A B E ∠+∠+∠=︒，540320220BCD CDE ∴∠+∠=︒-︒=︒，BCD ∠、CDE ∠的平分线在五边形内相交于点O ，1()1102PDC PCD BCD CDE ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18011070CPD ∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．6、D【解析】略7、B【解析】略8、B【解析】略9、C【解析】【分析】首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．【详解】解：由题意可知：n 边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，则n =360°÷24°=15．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．10、B【解析】【分析】先由平行四边形的性质得//BA CD ，5CD AB ==，再证3DE AD ==，即可求解．【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，//BA CD ∴，5CD AB ==，DEA EAB ∴∠=∠，AE ∵平分DAB ∠，DAE EAB ∴∠=∠，DAE DEA ∴∠=∠，3DE AD ∴==，532EC CD DE ∴=-=-=，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．二、填空题1、18【解析】【分析】根据正多边形外角和和内角和的性质，得DAE ∠、144BAE E F ∠=∠=∠=︒；根据四边形内角和的性质，计算得EAC ∠；根据五边形内角和的性质，计算得ABC ∠，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图，延长BA∵正十边形 ∴3603610DAE ︒∠==︒，正十边形内角()102180=14410-⨯︒=︒，即144BAE E F ∠=∠=∠=︒ 根据题意，得四边形ACFE 内角和为：360︒，且EAC FCA ∠=∠ ∴360362E F EAC FCA ︒-∠-∠∠=∠==︒ ∴72DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒根据题意，得五边形ABCFE 内角和为：()52180540=-⨯︒=︒，且ABC FCB ∠=∠ ∴540542BAE E F ABC FCB ︒-∠-∠-∠∠=∠==︒ ∴725418ACB DAC ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：18．【点睛】本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．2、2【解析】【分析】过点D 作DM ⊥CB 于M ，证出∠DAE=∠DBM ，判定△ADE ≌△BDM ，得到DM=DE =3，证明四边形CEDM 是矩形，得到CE=DM =3，由A E =1，求出BC=AC =2．【详解】解：∵DE ⊥AC ，∴∠E=∠C=90°，∴CB ED ∥，过点D作DM⊥CB于M，则∠M=90°=∠E，∵AD=BD，∴∠BAD=∠ABD，∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∴∠DAE=∠DBM，∴△ADE≌△BDM，∴DM=DE=3，∵∠E=∠C=∠M =90°，∴四边形CEDM是矩形，∴CE=DM=3，∵A E=1，∴BC=AC=2，故答案为：2．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边对等角证明角度相等，正确引出辅助线证明△ADE≌△BDM是解题的关键．3、15√6161【解析】【分析】连接FC ，过点H 作HH ⊥HH ，过点P 作HH ⊥HH ，线段PM 长度即为所求，根据折叠及矩形的性质可得∆HHH ≅∆HHH ，∆HHH ≅∆HHH ，∠HHH =∠H =90°，∠HHH =∠HHH =90°，∠H =∠H =90°，HH =HH =18，由全等三角形及平行线的判定得出HH =HH =6，HH =HH =6，HH ∥HH ，点A 、H 、G 三点共线，且12AG =，点H 为AG 中点，设HH =H ，则GF x =，HH =18−H ，利用勾股定理可得5GF =，13AF =，由三角形中位线的判定及性质可得HH =52，HH =HH =132，最后在两个三角形HH ∆HHH 与∆HHH 中，利用等面积法求解即可得．【详解】解：如图所示：连接FC ，过点H 作HH ⊥HH ，过点P 作HH ⊥HH ，线段PM 长度即为所求，∵长方形ABCD 沿AE ，EF 翻折使其B 、C 重合于点H ，点D 落在点G 的位置，∴∆HHH ≅∆HHH ，∆HHH ≅∆HHH ，∠HHH =∠H =90°，∠HHH =∠HHH =90°，∠H =∠H =90°，HH =HH =18，∴HH =HH =6，HH =HH =6，HH ∥HH ，∴点A 、H 、G 三点共线，且HH =HH +HH =12，点H 为AG 中点，设HH =H ，则GF x =，HH =18−H ，在Rt AGF 中，HH 2+HH 2=HH 2，即122+H 2=(18−H )2，解得：5x =，∴5GF =，13AF =，∵HH ∥HH 且点H 为AG 中点，∴HP 为AGF 中位线，∴HH =12HH =52，HH =HH =12HH =132， 在HH ∆HHH 中， HH =√HH 2+HH 2=√61，H ∆HHH =12·HH ·HH =12·HH ·HH ，即12×6×52=12×132×HH ， ∴HH =3013， ∴H ∆HHH =12·HH ·HH =12·HH ·HH ，即12×132×3013=12×√61×HH ， 解得：HH =15√6161， 故答案为：15√6161． 【点睛】题目主要考查矩形及图形折叠的性质，全等三角形的性质及平行线的判定，中位线的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．4、9【解析】【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值．【详解】解：由题意得，n-2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形．故答案为：9．【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．5、【解析】【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD ＝120°，∴∠CAD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，又∵DE ＝DG ，∴△DEG 也为等边三角形．∴DE ＝GE ，∵∠DEG ＝60°＝∠FEF '，∴∠DEG ﹣∠FEG ＝∠FEF '﹣∠FEG ，即∠DEF ＝∠GEF '，由线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF '， 所以EF ＝EF '．在△DEF 和△GEF '中，DE GE DEF GEF EF EF '=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩， ∴△DEF ≌△GEF '（SAS ）．∴∠EGF '＝∠EDF ＝60°，∴∠F 'GA ＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 则点F '的运动轨迹为射线GF '．观察图形，可得A ，E 关于GF '对称，∴AF '＝EF '，∴BF '+AF '＝BF '+EF '≥BE ，在Rt△BCH 中，∵∠H ＝90°，BC ＝4，∠BCH ＝60°，∴12,2CH BC BH ===，在Rt△BEH 中，BE∴BF '+EF∴△ABF '的周长的最小值为AB +BF '+EF '＝故答案为：【点睛】本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．三、解答题1、 (1)12ab (2)212a (3)1()2a b x + (4)1()2a xb -2、 (1)-3，3，1，3，-3，-1(2)①-2；②15b ≤≤(3)m 1≥或3m ≤-【解析】【分析】（1）分别以AC 、BC 、AB 为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点1D ，2D ，3D 的坐标；（2）①根据平行公理得1D ，A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，可得AB 是等腰三角形△123D D D 的中位线，求出22D C AB ==，即可得m 的值；②由①求得的m 的值可得1D ，3D 的坐标，分别求出直线12y x b =+过点1D ，3D 时b 的值即可求解； （3）由题意用m 表示出点1D ，2D ，3D 的坐标，画出图形，求出直线y x =与△123D D D 交于点2D ，3D 时m 的值即可求解．(1)解：(3,1)A -，(1,1)B -，1(3)2AB ∴=---=，//AB x 轴．以AC 为对角线时，四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向左平移2个单位长度可得D ，即1(3,3)D -；以BC 为对角线时，四边形ABDC 是平行四边形，//CD AB ∴，CD AB =，∴将(1,3)C -向右平移2个单位长度可得D ，即2(1,3)D ；以AB 为对角线时，四边形ACBD 是平行四边形，∴对角线AB 的中点与CD 的中点重合， AB 的中点为(2,1)-，(1,3)C -，3(3,1)D ∴--．故答案为：()3,3-，(1,3)，(3,1)--；(2)解：①如图，若△123D D D 是以12D D 为底的等腰三角形，四边形1ABCD ，2ABD C ，3ACBD 是平行四边形，13////BC AD AD ∴，23////AC BD BD ，12AB CD D C ==，1D ∴、A 、3D 在同一直线上，2D 、B 、3D 在同一直线上，1212AB D D =，AB ∴是等腰三角形△123D D D 的中位线，12//AB D D ∴，312CD D D ⊥， (3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，22D C AB ∴==，2m ∴=-；②由①得2m =，1(4,3)D ∴-，3(2,1)D --． 当直线12y x b =+过点1D 时，13(4)2b =⨯-+，解得：5b =，当直线12y x b =+过点3D 时，11(2)2b -=⨯-+，解得：0b =，b ∴的取值范围为05b ； (3)解：如图，(3,1)A -，(1,1)B -，(,3)C m ，1(2,3)D m ∴-，2(2,3)D m +．连接AB 、3CD 交于点E ，四边形3ACBD 是平行四边形，∴点C 、3D 关于点E 对称，3(4,1)D m ∴---，直线y x =与△123D D D 有公共点，当直线y x =与△123D D D 交于点2D ，23m +=，解得：1m =，1m ∴时，直线y x =与△123D D D 有公共点；当直线y x =与△123D D D 交于点3D ，41m --=-，解得：3m =-，3m ∴-时，直线y x =与△123D D D 有公共点；综上，m 的取值范围为1m 或3m -．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．3、 (1)(10，8)(2)D (0，5)，E (4，8)【解析】【分析】（1）根据10OA =，8OC =，可得B 点的坐标；（2）根据折叠的性质，可得AE =AO ，OD =ED ，根据勾股定理，可得EB 的长，根据线段的和差，可得CE 的长，可得E 点坐标；再根据勾股定理，可得OD 的长，可得D 点坐标；(1)解：∵10OA =，8OC =，∴B 点的坐标(10，8)，故答案为：(10，8)；(2)解：依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，在Rt △ABE 中，AE =AO =10，AB =OC =8，由勾股定理，得BE ，CE =BC -BE =10-6=4，E (4，8)．在Rt △DCE 中，由勾股定理，得DC 2+CE 2=DE 2，又∵DE =OD ，CD =8-OD ，(8-OD )2+42=OD 2，解得OD =5，D (0，5)．所以D(0，5)，E(4，8)；【点睛】本题主要考查了、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．4、10cm【解析】【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．【详解】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．5、 (1)理由见解析(2)32180αβ-=︒，理由见解析(3)60B ∠=︒【解析】【分析】（1）ACD ACE ECD A B ∠=∠+∠=∠+∠，B ACE ∠=∠，A ECD ∠=∠可知ABC CDE △≌△，进而可说明AC CE =；（2）如图1所示，连接GC 并延长至点K ，AH EI 、分别平分BAC DEC ∠∠、，则设,CAH BAH a CEI DEI b ∠=∠=∠=∠=，ACK ∠为ACG 的外角，ACK a AGC ∠=+∠，同理ECK b EGC ∠=+∠，ACE ACK ECK B α=∠+∠=∠=，得a b αβ+=-；又由（1）中证明可知2ECD BAC a ∠=∠=，180ECD DEC D ∠+∠+∠=︒，进而可得到结果；（3）如图2所示，过点C 作//MN AH ，则////MN AH EI ，,CAH ACM a CEI ECM b ∠=∠=∠=∠=ACE ACM ECM a b α∠=∠+∠=+=，可得a b α=+，由（1）中证明可得2,ECD BAC a D B α∠=∠=∠=∠=，在CED 中， 180ECD CED D ∠+∠+∠=︒，即22180a b α++=︒，进而可得到结果．(1)证明：ACD ACE ECD A B ∠=∠+∠=∠+∠又B ACE ∠=∠A ECD ∴∠=∠在ABC 和CDE △中B D AB CD A ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC CDE ASA ∴△≌△AC CE ∴=．(2)解：32180αβ-=︒．理由如下：如图1所示，连接GC 并延长至点KAH EI 、分别平分BAC DEC ∠∠、则设,CAH BAH a CEI DEI b ∠=∠=∠=∠=ACK ∠为ACG 的外角ACK a AGC ∴∠=+∠同理可得ECK b EGC ∠=+∠ACE ACK ECK B α∴∠=∠+∠=∠=()()a AGC b EGC a b AGE a b β=+∠++∠=++∠=++即a b αβ=++a b αβ∴+=-．又由（1）中证明可知2ECD BAC a ∠=∠=由三角形内角和公式可得180ECD DEC D ∠+∠+∠=︒即22180a b α++=︒2()180a b α∴++=︒32180αβ∴-=︒．(3)解：当//AH EI 时，如图2所示，过点C 作//MN AH ，则////MN AH EI,CAH ACM a CEI ECM b ∴∠=∠=∠=∠=ACE ACM ECM a b α∴∠=∠+∠=+=，即a b α=+由（1）中证明可得2,ECD BAC a D B α∠=∠=∠=∠=在CED 中，根据三角形内角和定理有180ECD CED D ∠+∠+∠=︒即22180a b α++=︒即2()180a b α+=-︒即3180α=︒，解得：60α=︒故60B ∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接GC 并延长，利用三角形外角性质证得a b αβ+=-是解题的关键．。

平行四边形证明典型题1．如下图，已知平行四边形ABCD，E为AD上的点，且AE=AB,BE和CD的延长线交于F，且∠BFC=40°，求平行四边形ABCD各内角的度数.2.已知平行四边形一组邻角的比是2∶3，求它的四个内角的度数.3.如下图所示，ABCD是平行四边形，以AD、BC为边在形外作等边三角形ADE和CBF，连结BD、EF，且它们相交于O，求证：EO=FO，DO=BO.4.已知：平行四边形ABCD中，AD=2AB，延长AB到F，使BF=AB，延长BA到E使AE=AB，求证：CE⊥DF5.如图所示，已知平行四边形ABCD，直线FH与AB、CD相交，过A、B、C、D向FH作垂线，垂足为E、H、G、F，求证：AE-DF=CG-BH6.平行四边形ABCD中，E为DC中点，延长BE与AD的延长线交于F，求证：E为BF中点，D为AF的中点.7.如图所示，平行四边形ABCD中，以BC、CD为边向内作等边三角形BCE和CDF.求证：△AEF为等边三角形.8.如图所示，在△ABC中，BD平分∠B，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，求证：BE=FC9.如图所示，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是CD中点，分别延长BA和DC到G、H，使AG=CH，连结GF、EH，求证：GF∥EH10.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于G，CE与DF相交于H.求证：EF与GH互相平分11.在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于O，EF过O交AB于E，交DC于F，且OE=OF，求证：四边形ABCD是平行四边形.12.如图所示，已知△ABC，分别以AB、BC、AC为边向BC同侧作等边三角形ABE、BCD、ACF.求证：DEAF为平行四边形.13.已知：如下图，在四边形ABCD中，AB=DC,AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，AE=CF,求证：四边形ABCD是平行四边形.14.点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB的面积为7cm2，求平行四边形ABCD 的面积.15.有两个村庄A和B位于一条河的两岸，假定河岸是两条平行的直线，现在要在河上架一座与河岸垂直的桥PQ，问桥应架在何处，才能使从A到B总的路程最短.【中考真题演练】1.(河南省中考题)已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的平行线MN分别交DA、DC延长线于点M、N，交AB、BC于点P、Q.求证：MQ＝NP.2.(黄冈市中考题)如图所示，平行四边形ABCD中，G、H是对角线BD上两点，且DG＝BH，DF＝BE.求证：四边形EHFG是平行四边形.3.(江西省中考题)已知：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，G、H分别是AD、BC的中点，GH交BD于点O.求证：GH与EF互相平分.。

1.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.求证:DE=BF2.如图,在平行四边形ABCD中,将△BCD沿BD翻折,使点C落在点E处,BE和AD相交于点O.求证:OA=OE.3.如图所示,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在点D1处,折痕为EF,若∠BAE=55°,求∠D1AD 的度数4.如图(1),▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F,则OE=OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图(2)和图(3)),OE与OF还相等吗?若相等,请你说明理由.5.如图,点E为▱ABCD的边AB上一点,将△BCE沿CE翻折得到△FCE,点F落在对角线AC上,且AE=AF,若∠BAC=28°,求∠BCD的度数。

6.如图,在▱ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于F.(1)求证:CF=CD;(2)若AF平分∠BAD,连接DE,试判断DE与AF的位置关系,并说明理由.7.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.8.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC的中点,EF经过点O交AD,BC于E,F.四边形AFCE是平行四边形吗?请说明理由.9.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,与CD、CB的延长线分别交于点E、F,与AB、AD交于点G、H.(1)求证:四边形FBDH为平行四边形;(2)求证:FG=EH.10.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.11.如图①,已知在△ABC中,AB=AC,点P为底边BC上(端点B、C除外)的任意一点,且PE∥AC,PF∥AB.(1)线段PE、PF、AB之间有什么数量关系?并说明理由;(2)如图②,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其他条件不变,上述结论还成立吗?如果不成立,你能得出什么结论?请说明你的理由.12.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.13.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.(1)求证:四边形MNCD是平行四边形;(2)求证:BD=3MN.14.如图,已知△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.15.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°.将△ADE沿DE折叠,使点A落在点A1处,求∠BDA1的度数.16.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.(1)求证:BN=DN;(2)求△ABC的周长.17.如图,在△ABC中,BC=AC,E、F分别是AB、AC的中点,延长EF交∠ACD的平分线于点G.(1)AG与CG有怎样的位置关系?说明你的理由;(2)求证:四边形AECG是平行四边形.18.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线,通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系,并证明你的结论.19.如图,四边形纸片ABCD中,∠A=70°,∠B=80°,将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C',D'处,折痕为MN,求∠AMD'+∠BNC' 的度数20.如图所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．21.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 ㎝，BC＝26㎝，动点P从点A开始沿AD边以每秒1㎝的速度向D点运动，动点Q从点C开始沿CB边以每秒3㎝的速度向B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形?（3）t为何值时，四边形ABQP为矩形?22.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3 （1）求证：BN＝DN；（2）求△ABC的周长．23.（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI＝FG．答案1.证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠CBA.∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,∴∠ADE= ∠ADC,∠CBF= ∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,∴△ADE≌△CBF(ASA).∴DE=BF.证法二:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED, ∴AE=AD.同理,CF=CB,又AD=CB,∴AE=CF,∵AB=CD,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.2.证法一:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,由折叠可知∠EBD=∠CBD,BE=BC,∴∠EBD=∠ADB,AD=BE,∴BO=DO,∴AD-DO=BE-BO,即OA=OE.证法二:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C,且AB=DC.由折叠可知∠E=∠C,DE=DC,∴∠A=∠E,AB=DE.在△AOB和△EOD中,∴△AOB≌△EOD,∴OA=OE.3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠性质知,∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°.4.题图(2)中OE=OF.理由:在▱ABCD中,AB∥CD,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF题图(3)中OE=OF.理由:在▱ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF5.∵∠BAC=28°,AE=AF,∴∠AFE=∠AEF= =76°,∴∠EFC=180°-76°=104°,由折叠的性质知,∠B=∠EFC=104°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-104°=76°.6. (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵点F为DC的延长线上一点,∴AB∥DF,∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,∵E为BC的中点,∴BE=CE,则在△BAE和△CFE中,∴△BAE≌△CFE(AAS),∴AB=CF,∴CF=CD.(2)DE⊥AF.理由:∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DA=DF,又由(1)知△BAE≌△CFE,∴AE=EF,∴DE⊥AF.7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠ADF=∠CBE.又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,∴DF=BE.∴△ADF≌△CBE.∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.8.四边形AFCE是平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵O是AC的中点,∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∵OE=OF,OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.9. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∵EF∥BD,∴四边形FBDH为平行四边形.(2)由(1)知四边形FBDH为平行四边形,∴FH=BD,∵EF∥BD,AB∥DC,∴四边形BDEG是平行四边形,∴BD=EG,∴FH=EG,∴FH-GH=EG-GH,∴FG=EH.10. (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°∴△BEF是等边三角形∴EB=EF∠ABE=60°又∵EF=DC∴BE=DC∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.11. (1)PE+PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠EPB=∠C,四边形PEAF是平行四边形,∴PF=AE,∵AC=AB,∴∠B=∠C,∴∠EPB=∠B,∴PE=BE.∵BE+AE=AB,∴PE+PF=AB.(2)(1)中结论不成立.此时结论为PE-PF=AB.理由:∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠FPC=∠ABC,四边形PEAF是平行四边形,∴PE=AF,又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠FPC=∠ACB=∠FCP,∴PF=FC,∴PE-PF=AF-FC=AC=AB.12. (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△BEF是等边三角形.∴EB=EF,∠ABE=60°.又∵EF=DC,∴BE=DC.∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.13. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵M、N分别是AD、BC的中点,∴MD=NC,又MD∥NC,∴四边形MNCD是平行四边形.(3)如图,连接DN.∵N是BC的中点,BC=2CD,∴CD=NC.∵∠C=60°,∴△DCN是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=∠NDC=60°.∴ND=NB=CN.∴∠DBC=∠BDN=30°.∴∠BDC=∠BDN+∠NDC=90°.∴∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=CD.∴BD= MN.14.∵D,E 分别为AC 、AB 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC,且DE=21BC,又∵F 、G 分别是OB 、OC 的中点, ∴FG 是△BCO 的中位线,∴FG ∥BC,且FG= 21BC,∴DE ∥FG,DE=FG,∴四边形DEFG 是平行四边形. 15.∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,∴DE ∥BC,∴∠ADE=∠B=50°(两直线平行,同位角相等),又∵∠ADE=∠A1DE,∴∠A1DA=2∠B,∴∠BDA1=180°-2∠B=80°.16. (1)证明:∵AN 平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BN ⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,又AN=AN,∴△ABN ≌△ADN,∴BN=DN.(2)由△ABN ≌△ADN 知,AD=AB=10,点N 为BD 的中点,又M 是BC 的中点,∴MN 为△BCD 的中位线,∴CD=2MN=6,∴AC=AD+CD=16,∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=10+15+16=41.17. (1)AG ⊥CG.理由:∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点,∴EF 是△ABC 的中位线,AF=CF,∴EF ∥BC,∴∠FGC=∠GCD, ∵CG 平分∠ACD,∴∠FCG=∠GCD,∴∠FCG=∠FGC,∴FG=FC,又∵AF=CF,∴AF=FG,∴∠FAG=∠AGF,∵∠FAG+∠AGC+∠ACG=180°,∴∠AGC=90°,∴AG ⊥CG.(2)证明:由(1)知,FG= 21AC,∵EF 是△ABC 的中位线,∴EF= 21BC,∴FG=EF,又∵AF=CF,∴四边形AECG 是平行四边形. 18. 结论:EF ∥AD ∥BC,EF= 21(AD+BC).证明如下:如图所示,连接AF 并延长交BC 的延长线于点G,∵AD ∥BC,∴∠DAF=∠G,在△ADF 和△GCF 中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=FC,∴△ADF ≌△GCF(AAS),∴AF=FG,AD=CG,又∵AE=EB,∴EF ∥BG,EF= 21BG,即EF ∥AD ∥BC,EF= 21(AD+BC).19.四边形纸片ABCD 中,∠A=70°,∠B=80°,∴∠D+∠C=360°-∠A-∠B=210°.∵将纸片折叠,使C,D 落在AB 边上的C',D'处,∴∠MD'B=∠D,∠NC'A=∠C,∴∠MD'B+∠NC'A=210°,∴∠AD'M+∠BC'N=150°,∴∠AMD'+∠BNC'=360°-∠A-∠B-∠AD'M-∠BC'N=60°20. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC （平行四边形对边平行且相等）．∴∠EDH ＝∠FBG ． 又∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴DE ＝BF ．又∵BG ＝DH ，∴．△DEH ≌△BFG （SAS ），∴EH ＝FG ，∠DHE ＝∠BGF ． ∴∠EHG ＝∠FGH （等角的补角相等）．∴EH ∥FG ．∴四边形EGFH 是平行四边形21.由已知得AP ＝t ，CQ ＝3t ，PD ＝24－t ，BQ ＝26－3t ．（1）∵PD ∥CQ ，∴当PD ＝CQ 时，即3t ＝24－t 时，四边形PQCD 为平行四边形，解得t ＝6．故当t ＝6时，四边形PQCD 为平行四边形． （2）如图3—38所示，作DE ⊥BC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则CE ＝2．当QF ＝CE 时，即QF+CE ＝2CE ＝4时，四边形PQCD 是等腰梯形．此时有CQ －EF ＝4，即3t —（24一t ）＝4，解得t ＝7．故当t ＝7时，四边形PQCD 为等腰梯形．（3）若四边形ABQP 为矩形，则AP ＝BQ ，即t ＝26—3t ，解得t ＝213．故当t ＝213时，四边形ABQP 为矩形．22.（1）证明：在△ABN 和△ADN 中， ∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABN ≌△ADN ， ∴BN ＝DN ．（2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB ， 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝6， 故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41．23.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠1＝∠2，∵在△AOE 和△COF 中，1234OA OC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE ＝CF ； （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，由（1）得AE ＝CF ，由折叠的性质可得：AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B ，∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D ，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∵在△A 1IE 与△CGF 中，1156A C A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI＝FG．。

八年级数学下册几何证明题练习1.已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N ，分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ； (1)证明：MN 垂直平分ED ； (2))若∠EBD=∠DCE=45°，判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论；2.四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ；(1)如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及GCEC的值； (2)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=2，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长；3.已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的关系为-----------------------------------------------； （2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由； （3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．4.如图正方形ABCD ，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ；(1)如图l ，写出线段AF 、BF 、EF 之间的数量关系：------------------------------；(不要求写证明过程)（2）如图2，若点G 是BC 的中点，求GFEF的比值； （3）如图3，若点O 是BD 的中点，连OE ，求EFOF的比值；5.在△ABC中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）.（1）如图1，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四边形；（2）如图2，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND.求证：∠EMD=∠FND.6.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC 为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．7.菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF=∠B；⑴如果∠B=60°，求证：AE=AF；⑵如果∠B=α（0°<α<90°），（1）中的结论：AE=AF是否依然成立，请说明理由；⑶如果AB长为5，菱形ABCD面积为20，BE=a，求AF的长；（用含a的式子表示）F EDC B A8.在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A ⇒B ⇒C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ． （1）如图1，当点M 在AB 边上时，连接BN ： ①求证：△ABN ≌△ADN ； ②若∠ABC=60°，AM=4，求点M 到AD 的距离； （2）如图2，若∠ABC=90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．9. 如图，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，动点M 从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以1cm/s 的速度运动． （1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E 在线段BC 上，且BE=2cm ，若动点M 、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形？10. 如图，矩形ABCD 中，AB=6 ，∠ABD=30°，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB 上运动，设点P 运动的时间是t 秒，以AP 为边作等边△APQ （使△APQ 和矩形ABCD 在射线AB 的同侧）.(1)当t 为何值时，Q 点在线段BD 上？当t 为何值时，Q 点在线段DC 上？当t 为何值时，C 点在线段PQ 上？(2)设AB 的中点为N ，PQ 与线段BD 相交于点M ，是否存在△BMN 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ⑶（选做）设△APQ 与矩形ABCD 重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式.。

2024年数学八年级几何证明专项练习题1（含答案）试题部分一、选择题：1. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，则AC 的长度为（）。

A. 2cmB. 10cmC. 4cmD. 5cm2. 下列哪个条件不能判定两个三角形全等？（）A. SASB. ASAC. AASD. AAA3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）。

A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列哪个比例式是正确的？（）A. 若a∥b，则∠1 = ∠2B. 若a∥b，则∠1 + ∠2 = 180°C. 若a⊥b，则∠1 = 90°D. 若a⊥b，则∠1 + ∠2 = 180°5. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，∠B = 70°，则∠C的度数为（）。

A. 70°B. 40°C. 55°D. 110°6. 下列哪个条件可以判定两个角相等？（）A. 对顶角B. 邻补角C. 内错角D. 同位角7. 在平行四边形ABCD中，若AD = 8cm，AB = 6cm，则对角线AC 的长度（）。

A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 15cm8. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 矩形D. 梯形9. 在三角形ABC中，若a = 8cm，b = 10cm，c = 12cm，则三角形ABC是（）。

A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定10. 下列哪个条件不能判定两个直线平行？（）A. 内错角相等B. 同位角相等C. 同旁内角互补D. 两直线垂直二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

（）2. 在等腰三角形中，底角相等。

（）3. 平行线的同位角相等，内错角相等。

（）4. 若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。

18.1 专题训练平行四边形的证明1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC 上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：(1)BF＝DC；(2)四边形ABFD是平行四边形．5．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．7．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．8．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE ＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.9．如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD 于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE∥DF，要证明四边形EGFH是平行四边形，只需证GF∥EH．由(1)可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边形EGFH是平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．11．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.13．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：四边形MFNE是平行四边形．14．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.15.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．16.如图，已知□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ， F.求证：四边形BFDE是平行四边形．17.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B 以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？参考答案18.1 专题训练平行四边形的证明1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即BE∥DC.又∵EC∥BD，∴四边形BECD是平行四边形．3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC 上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：连接BD交AC于O，∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO，BO＝DO.∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．4．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：(1)BF＝DC；(2)四边形ABFD是平行四边形．证明：(1)∵DE是△ABC的中位线，∴CE＝BE.在△DEC和△FEB中，⎩⎨⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，∴△DEC ≌△FEB(SAS )． ∴BF ＝DC.(2)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB. 又∵EF ＝DE ， ∴DE ＝12DF. ∴DF ＝AB. 又∵DF ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．5．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE .又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．6．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．证明：∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴DF，DE为△ABC的中位线．∴DF∥BC，DE∥AC.∴四边形DECF是平行四边形．7．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.在△OAE和△OCF中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )．∴OE ＝OF.同理可证得OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．8．已知：如图，在▱ABCD 中，延长AB 至点E ，延长CD 至点F ，使得BE ＝DF.连接EF ，与对角线AC 交于点O.求证：OE ＝OF.证明：证法一：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF.∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴∠E ＝∠F.又∵∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF(AAS )．∴OE ＝OF.证法二：连接AF ，CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF.∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∴OE＝OF.9．如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD 于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE∥DF，要证明四边形EGFH是平行四边形，只需证GF∥EH．由(1)可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边形EGFH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝12∠ABC.∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC.∴∠EBC＝∠ADF.∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.∴∠AEB＝∠ADF.∴EB∥DF.又∵ED∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．10．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线．∴OE∥BC，且OE＝12BC.又∵CF＝12BC，∴OE＝CF.又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF.∴四边形OCFE是平行四边形．11．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：连接BD.∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH＝12BD，EH∥BD.同理FG＝12BD，FG∥BD.∴EH＝FG，EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.13．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：四边形MFNE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.∴四边形BEDF是平行四边形．∴BE∥DF，BE＝DF.∵M，N分别是BE，DF的中点，∴EM＝12BE＝12DF＝NF.∴四边形MFNE是平行四边形．14．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠HCF ＝∠GAE.又∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝FC ，DE ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∴∠BED ＝∠BFD.∴∠AEG ＝∠CFH.在△AGE 和△CHF 中，⎩⎨⎧∠GAE ＝∠HCF ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AGE ≌△CHF(ASA )．∴AG ＝CH.15.如图，在▱ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，试判断四边形AECF 是不是平行四边形，并说明理由．解：四边形AECF 是平行四边形． 理由如下：∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行），在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）16.如图，已知□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，直线EF经过点O ，且分别交AB ，CD于点E ， F.求证：四边形BFDE是平行四边形．证明：∵□ABCD的对角线AC ，BD相交于点O ，∴OA＝OC ，OB＝OD ，∠DCO=∠BAO又∵∠AOE=∠COD，∴△AOE≌△COF ，得OE＝OF ，∴四边形BFDE是平行四边形．17.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．证明：在△AFB和△DCE中，{AB=DE∠A=∠DAF=DC∴△AFB≌△DCE（SAS），∴FB=CE，∴∠AFB=∠DCE，∴FB∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形．18．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B 以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？解：设当P，Q两点同时出发t s后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．根据题意，得AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t)cm(0≤t≤15)．①若四边形ABQP是平行四边形，∵AD∥BC，∴还需满足AP＝BQ.∴t＝30－2t.解得t＝10.∴10 s后四边形ABQP是平行四边形；②若四边形PQCD是平行四边形，∵AD∥BC，∴还需满足PD＝CQ.∴24－t＝2t.解得t＝8.∴8 s后四边形PQCD是平行四边形．综上所述：当P，Q两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．。

八年级上册几何证明题专项练习1 如图，△ ABC △ CDE匀为等腰直角三角形，/ ACB=Z DCE=90，点E在AB上.求证: △ CDA^^ CEB2.如图，BD丄AC于点D, CEL AB于点E, AD=AE求证：BE=CD3.如图，已知点B, E, C, F在一条直线上，AB=DF AC=DE / A=Z D.(1)求证：AC// DE(2 )若BF=13 EC=5 求BC的长./ B=Z D.FC// AB求证：AE=CE&如图，在△ ABC 中，AC=BC / C=90°, D 是 AB 的中点，DEI DF,点 E , F 分别在AC, BC 上，求证：DE=DF AEc F9.如图，点 A C D 、B 四点共线，且 AC=BD Z A=Z B,Z ADE=/ BCF,求证：DE=CF10.如图，已知/ CAB / DBA / CBD / DAC 求证：BC=ADAB=ACCE// DF , EC=BD AC=FD 求证: AE=FBE , D, BE=CD 求证: D 在同一条直线上,AB=DE AC=DF BE=CF 求证：AB// DE.BE交AD于点F, EF=BF 求证：AF=DF13. 已知△ ABN和厶ACM位置如图所示，AB=AC AD=AE /仁/2.(1)求证：BD=CE(2 )求证：/ M=Z N.14. 如图，/ ACB=90 , AC=BC AD丄CE, BE X CE 垂足分别为D, E.15. 如图，四边形ABCD中 , E点在AD上 , / BAE=/ BCE=90 ,且BC=CE AB=DE 求证：△ ABC^A DEC16. 如图，在△ ABC中，AB=CB / ABC=90 , D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD 连结AE、DE DC.①求证：△ABE^A CBD②若/ CAE=30，求/ BDC的度数.17. 如图，在四边形ABCD中, A D// BC E 为CD的中点，连接AE、BE, BE X AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1) FC=AD18. 如图，在△ ABC中, DM EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M N两点，DM与EN相交于点F.(1 )若厶CMN勺周长为15cm,求AB的长；(2)若/ MFN=70，求/ MCN勺度数.19. 已知△ ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F.20. 如图所示，在Rt △ ABC中，/ ACB=90 , AC=BC D为BC边上的中点，CEL AD于点E, BF// AC 交CE的延长线于点F,求证：AB垂直平分DF.21. 如图：在△ ABC 中，/ C=90°, AD 是/ BAC的平分线，DE L AB 于E, F 在AC上, BD=DF 说明：(1)CF=EB(2)AB=AF+2EB22. 如图，点E是/ AOB的平分线上一点，EC丄OA ED± OE,垂足分别为C、D. 求证：(1)ZECD=Z EDC(2)OC=OD(3)OE是线段CD的垂直平分线.23. 如图，四边形ABCD中, Z B=90°, AB// CD M为BC边上的一点，且AM平分/ BAD DM 平分/ ADC求证：BE L AC于点E.求证：Z CBE ZBAD(1) AML DMAB=AC AD是BC边上的中线,26. 如图，已知△ ABC中, AB=AC BD CE是高，BD与CE相交于点0(1)求证：OB=OC(2)若/ ABC=50，求/ BOM度数.27. 如图，在△ ABC中, AB=AC 点D E、F 分别在AB BC AC边上，且BE=CF BD=CE(1)求证：△ DEF是等腰三角形；(2)当/ A=40。

初二几何证明题练习一、三角形1.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． (1)求证：ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数．2.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .3. 如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形.证明：BD=CE.二、平行四边形1. 如图，平行四边形ABCD 中、E 、F 分别为对角线BD 上的点，且BF=DE. 求证：四边形AECF 是平行四边形。

OCEBDAABCDEABFCDE2. 已知：如图，AB=CD ，BC=DA ，AE=CF ． 求证：BF=DE ．3. 在ABCD 中，E 、F 分别在DC 、AB 上，且DE ＝BF 。

求证：四边形AFCE 是平行四边形。

三、菱形1. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 与E ，EF ⊥BC 于F 。

求证：四边形AEFG 为菱形。

2. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GCF ．求证：BE=DG ．3. 将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．四、矩形1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 、CH 、DG 分别为内角平分线，这四条角平分线分别交于点M 、N 、P 、Q 求证：四边形MNPQ 是矩形A B CDE F D ′2.如图，将矩形ABCD 沿直线EF 对折，点D 恰好与BC 边上的点H 重合，∠GFP=62°，那么∠EHF 的度数等于——3. .如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．.五、正方形1.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ． （1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．2. 如图：已知在A B C △中，A B A C =，D 为B C 边的中点，过点D 作D E AB D F AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，. （1） 求证：B E D C F D △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形D FAE 是正方形.DCBE AFAB CD EF3. 、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：△BCG ≌△DCE ； （2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．六、 梯形：1. 已知：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是BC 边上的高， 求证：四边形DEFH 是等腰梯形2. .如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE =CF ，AF 、BE 交于点P ． （1）求证：AF =BE ；3．如图，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，AB AD D C ==，AC AB ⊥，将C B 延长至点F ，使B F C D =．（1）求A B C ∠的度数；（2）求证：C A F △为等腰三角形．DE F P BAC D A F BCABCD EF E 'G。

八年级上册几何证明题专项练习1．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．2．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．4．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．5．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．6．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．7．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF．9．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．10．如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．11．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．12．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．13．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．15．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE=∠BCE=90°，且BC=CE，AB=DE．求证：△ABC≌△DEC．16．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．19．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．21．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．22．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．23．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．25．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．26．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．27．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．28．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．29．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．30．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．。

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题专题训练1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形EBFD 是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF= 1AB，连接DE，AD，EF，DF．2（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，3．如图所示，ABCDF．求证：四边形AFCE是菱形．AC BD交于点,O过点O任作直线分别交4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线,AB CD于点E F,、．求证：OE OF =．5．已知：如图，在ABCD 中，,E F 是对角线BD 上两个点，且BE DF =．求证：.AE CF =6．已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是菱形？并给出证明．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）求证：四边形AEBO 的为矩形；（2）若OE ＝10，AC ＝16，求菱形ABCD 的面积．8．已知：如图，在ABC 中，中线,BE CD 交于点,,O F G 分别是,OB OC 的中点．求证：（1）//DE FG ；（2）DG 和EF 互相平分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，且AB ＝AC ，CF 是∠ACB 的角平分线交AB 于点F ，在AD 上取一点E ，使AB ＝AE ，连接BE 交CF 于点P ．（1）求证：BP ＝CP ；（2）若BC ＝4，∠ABC ＝45°，求平行四边形ABCD 的面积．10．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．11．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF；（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．12．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．13．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD 和CB于点E，F连接AF，CE．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：四边形AFCE是菱形．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；　（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．19．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC，（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．参考答案：1．解：证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形．2．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=12 AB，∵AF=12 AB，∴DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，∴EF=AD，∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=12BC=5，∴EF=AD=5．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AE FC ，AO CO =，∴EAC FCA ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴EF AC ⊥，在AOE △与COF 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AOE COF ≌△△，∴EO FO =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF AC ⊥，∴四边形AFCE 为菱形．4．解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠EAO =∠FCO ，在△AEO 和△CFO 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE =∠CDF ．在△ABE 和△CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDF （SAS ）∴AE =CF ．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形． 证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．7．解：（1）证明：∵//BE AC ，//AE BD ，∴四边形AEBO 为平行四边形，又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴平行四边形AEBO 为矩形；（2）∵四边形AEBO 为矩形，∴AB ＝OE ＝10，又∵四边形ABCD 为菱形，∴AO ＝12AC ＝8，∴90AOB ∠=︒，∴6BO ==，∴BD ＝2BO ＝12，∴菱形ABCD 的面积＝12121696⨯⨯=．8．（1）在△ABC 中，∵BE 、CD 为中线∴AD =BD ，AE =CE ，∴DE ∥BC 且DE =12BC ．在△OBC 中，∵OF =FB ，OG =GC ，∴FG ∥BC 且FG =12BC ．∴DE ∥FG（2）由（1）知：DE ∥FG ，DE =FG ．∴四边形DFGE 为平行四边形．∴DG 和EF 互相平分9．解：（1）设AP 与BC 交于H ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝12BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．10．证明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD；（2）∵E是OC中点，F是OD中点，∴OE=12OC，OF=12OD，∵OC=OD，∴OE=OF，又∵OA=OB，∴四边形AFBE是平行四边形．11．（1）证明：∵ABCD是菱形，∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AD ﹣AF ，∴BE ＝DF ，在△BCE 与△DCF 中，∵BE DF B D BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF ，∴CE ＝CF ；（2）结论是：BC ＝CE ．理由如下：∵ABCD 是菱形，∠B ＝80°，∴∠A ＝100°，∵AE ＝AF ，∴180100402AEF AFE ︒-︒∠=∠==︒由（1）知CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠CEF ＝60°，∴∠CEB ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B ＝∠CEB ，∴BC ＝CE ．12．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠A =∠D =90°，∵M 为AD 中点，∴AM =DM ，在△ABM 和△DCM ，AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）；（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由：当四边形MENF 是正方形时，则∠EMF =90°，∵△ABM ≌△DCM ，∴∠AMB =∠DMC =45°，∴△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，∴AM =DM =AB ，∴AD =2AB ，即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．13．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∵AC 的中点是O ，∴OA ＝OC ，在EOA △和FOC 中，AOE COF AO COEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EOA FOC ASA ∴ ≌，∴OE ＝OF ；（2）∵OE ＝OF ，AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．14．证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBF ，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝12∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，DF，DH，∴FH＝12∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC DH＝6，∴DF＝，∴菱形BEDF的边长为15．（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩，∴△ABG ≌△AFG （HL ）；（2）∵△ABG ≌△AFG ，∴∠BAG ＝∠FAG ，∴∠FAG ＝12∠BAF ，由折叠的性质可得：∠EAF ＝∠DAE ，∴∠EAF ＝12∠DAF ，∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠FAG ＝12（∠DAF ＋∠BAF ）＝12∠DAB ＝12×90°＝45°；（3）∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝12×6＝3，设BG ＝x ，则CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，∵GE 2＝CG 2＋CE 2∴（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解得：x ＝2，∴BG ＝2．16．（1）证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ，∴AC ∥DE ，∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE ＝AD ；（2）解：四边形BECD 是菱形，理由是：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD ，∵CE ＝AD ，∴BD ＝CE ，∵BD ∥CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD ，∴四边形BECD 是菱形．17．（证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴AB ∥DE ，AB ＝DE （平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B ＝∠EDC （两直线平行，同位角相等）；又∵AB ＝AC （已知），∴AC ＝DE （等量代换），∠B ＝∠ACB （等边对等角），∴∠EDC ＝∠ACD （等量代换）；∵在△ADC 和△ECD 中，AC ED ACD EDC DC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；（2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD ＝AE （平行四边形的对边平行且相等），∴AE ∥CD ；又∵BD ＝CD ，∴AE ＝CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC （等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC ＝90°，∴▱ADCE 是矩形．18．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF =⎧⎨=⎩,∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠CBE=∠AEB ，∵EB 平分∠AEC ，∴∠CBE=∠BEC ，∴CB=CE ，∴△CBE 是等腰三角形；（2）如图2中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，在Rt △ECD 中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，3AB CD ∴====，在Rt AEB 中，∵∠A=90°，AB=3．AE=1，BE ∴===20．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）D经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB AA CBPD经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

⼋年级数学平⾏四边形梯形和平⾏性质的证明题A C BD学⽣姓名彭年级初三授课时间教师姓名刘课时 2课题四边形教学⽬标掌握特殊四边形的性质和判定⽅法重点特殊四边形的性质和判定⽅法难点综合应⽤平⾏、三⾓形全等、四边形性质进⾏综合的证明【知识点】：(必须熟记在⼼)1、平⾏四边形定义：有两组对边分别平⾏的四边形叫做平⾏四边形。

平⾏四边形的性质：平⾏四边形的对边相等；平⾏四边形的对⾓相等。

平⾏四边形的对⾓线互相平分。

平⾏四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形2.对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形；3.两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形；4.⼀组对边平⾏且相等的四边形是平⾏四边形。

2、矩形的定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形。

矩形的性质：矩形的四个⾓都是直⾓；矩形的对⾓线平分且相等。

AC=BD 矩形判定定理： 1.有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形。

2.对⾓线相等的平⾏四边形是矩形。

3.有三个⾓是直⾓的四边形是矩形。

直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半。

3、菱形的定义：邻边相等的平⾏四边形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对⾓线互相垂直，并且每⼀条对⾓线平分⼀组对⾓。

菱形的判定定理： 1.⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。

2.对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形。

3.四条边相等的四边形是菱形。

S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对⾓线）4、正⽅形定义：⼀个⾓是直⾓的菱形或邻边相等的矩形。

正⽅形的性质：四条边都相等，四个⾓都是直⾓。

正⽅形既是矩形，⼜是菱形。

正⽅形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正⽅形。

2.有⼀个⾓是直⾓的菱形是正⽅形。

5、梯形的定义：⼀组对边平⾏，另⼀组对边不平⾏的四边形叫做梯形。

直⾓梯形的定义：有⼀个⾓是直⾓的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：等腰梯形同⼀底边上的两个⾓相等；等腰梯形的两条对⾓线相等。

等腰梯形判定定理：同⼀底上两个⾓相等的梯形是等腰梯形。