七下数学北师大版第二章第四节教案

平行线的性质一、教学内容解析《相交线与平行线》是北师版教科书《数学》七年级下册的第二章。

它包括四大块内容：一是两直线的位置关系；二是平行线及其判定；三是平行线的性质；四是尺规作图。

前三节主要讨论平面内两条直线的位置关系，第四节是有关尺规作图的内容。

本章内容都是从实际问题出发，引导学生自己多观察、多动手、勤思考，结合当地特点的一些问题，抽象出隐含在这些实际问题中的数学问题，引入本章要学习的相关内容。

通过对数学问题的研究，学习有关的数学概念和方法，并利用所学知识解决更多的实际问题，体现具体——抽象——具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。

本堂课是在学生学习和掌握了平行线的判定的基础上，研究平行线的性质，它既包含了相交线的内容又包含了平行线的内容。

平行线的性质和判定既有联系也有区别，联系在于它们研究的对象都是平行线和角的关系，区别在于它们的题设和结论刚好交换，是一个互逆的命题，这种结构关系也为我们将来学习其它几何图形的性质和判定提供了范例，包括一些特殊三角形的性质与判定，平行四边形的性质和判定等等。

因此，平行线的性质既是平行线的判定的逆用, 又是将来学习几何图形性质与判定的重要基础，在本章中具有举足轻重的地位和作用。

另外，平行线的性质与现实世界中的联系也很紧密，如本节课例题“梯形残片”的问题等，通过学习可以把所学知识和实际联系起来，更好地为实现生产实际服务。

这节课以学生为主体，通过学生自己的观察、建模、操作、讨论得到平行线的性质，并加以说明和验证.锻炼学生的观察能力，动手能力和思维能力，提高学生的分析能力，增强学习数学的兴趣。

二、教学目标设置本节课内容的数学本质是平行线性质的探究与应用。

依据课程标准的要求和我所任教班级学生的实际情况，我制定了一下教学目标：（一）、知识目标：1．探索并掌握平行线的性质。

2．能用平行线的性质定理进行简单的计算、证明。

3．知道对平行线的性质和判定进行的区别。

垂线段及其性质教学目标：1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力。

毛2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离.教学重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.教学难点:对点到直线的距离的概念的理解.教学过程一、创设问题情境1.教师展示课本图5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?学生看图、思考.2.教师以问题串形式,启发学生思考.(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?学生说出:两点间线段最短.(2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢?把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题.问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中,哪一条最短?3.教师演示教具,给学生直观的感受.教具如图:在硬纸板上固定木条L,L外一点P,转动的木条a一端固定在点P. 使木条L与a相交,左右摆动木条a,L与a的交点A随之变化,线段PA长度也随之变化.PA最短时,a与L的位置关系如何?用三角尺检验.4.学生画图操作,得出结论.(1)画出直线L,L外一点P;(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.5.师生交流,得出垂线的另一条性质.教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.关于垂线段教师可让学生思考:(1)垂线段与垂线的区别联系.(2)垂线段与线段的区别与联系.二、点到直线的距离1.师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名.结合课本图形(图5.1-9),深入认识垂线段PO:PO⊥L,∠POA=90°,O为垂足,垂线段PO的长度比其他线段PA1、PA2……中是最短的.按照两点间的距离给点到直线的距离命名,教师板书:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.在图5.1-9中,PO的长度是点P到直线L的距离,其余结论PA、PA2……长度都不是点P到L的距离.2、练习课本练习三、课堂小结：通过这节课，我们主要学习了什么呢？四、布置作业：课本垂线及其性质【教学目标】知识与技能：认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.掌握垂线的性质,会过一点作已知直线的垂线.过程与方法：经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.情感态度与价值观：通过与生活相联系,让学生对数学产生兴趣,认识到数学的实用价值.【教学重难点】重点:垂线、垂线段、点到直线的距离的概念.难点:垂线的性质和点到直线的距离.【教学过程】一、引入设计意图:通过设置问题,引发学生的思考,激发学生的学习兴趣,在回忆旧知识的同时,自然切入本节课所要学习的内容.教师提问学生:能在生活中找到互相垂直的直线吗?学生观察实例,这时教师可以问学生“是通过什么特征来确定它们是垂线的?”帮助学生回忆垂直的形象(小学已接触过垂直).二、做一做设计意图:通过让学生动手操作,加深对垂线的理解,明确垂线的不同画法,锻炼了学生的实际操作能力,开拓了他们的思维,积累了他们的数学活动经验.1.请学生作出两条互相垂直的直线教师鼓励学生用不同的方法画垂线,学生发现用三角尺、量角器都可以来画互相垂直的直线,然后让两位学生各自采用一种作图工具在黑板上演示作图过程.2.引入垂直符号表示通过以上画图过程,使学生明确两条直线相交只有一个交点,当相交所成的角中有一个角是直角时,则此时两条直线互相垂直,若直线AB与CD垂直,则用符号“⊥”表示,即“AB⊥CD”,从而引出垂直的符号表示及垂足的定义.3.在方格纸上画出互相垂直的两条直线,用量角器验证你画出的两条直线是否垂直,如果是,能试着说明一下原因吗?三、想一想设计意图:让学生自主探究,从而经历垂线的性质得出过程,体会到经过一点,有且只有一条直线与已知直线垂直,通过动手测量,从而让学生了解到“垂线段最短”,这样学生得到的知识印象更深,更符合学生对新知识学习的接受过程.1.过点A作l的垂线,你能作出多少条?教师不仅要引导学生运用三角尺,过直线外一点和直线上一点作已知直线的垂线,还要鼓励学生运用自己的语言描述所得的结论,培养学生有条理的表达能力.2.点到直线的距离让学生量取直线外一点到直线的若干个线段的长,比较这一点到直线的垂线段的长度的大小,从而引出点到直线的距离的概念,其性质“垂线段最短”.四、做一做设计意图:让学生做出三角形的高,从而进一步巩固点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度.让学生分别画出三个三角形AB边上的高(三个三角形分别是锐角三角形,直角三角形,钝角三角形),教师在学生的画图过程中注意发现问题,进行针对性的指导.五、巩固练习设计意图:通过练习,让学生进一步理解垂直的定义,怎样过一点画已知直线的垂线,加深对本节知识的理解和应用,从而学以致用,从学到的知识解决问题.1.作一条直线l,在直线l上取一点A,在直线l外取一点B,分别经过点A、B,用三角尺或量角器作l的垂线.2.如图所示,在某村庄中有一条街道,在街道的一侧有一公共汽车站,为了方便村民坐车,村委会决定修一条马路直达车站,你能设计一种方案,使得公共汽车站到街道的路程最近吗?六、课堂小结小结:以下几个方面由学生自己总结:①垂线的定义及垂直的符号表示;②垂线的有关性质;③过一点作已知直线的垂线的方法.七、课后作业1.如图,O是直线AB上一点,∠AOD=53°,∠BOE=37°,则OD与OE的位置关系是什么?【答案】∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=90°,所以OD⊥OE.2.点P为直线l外一点,点A、B、C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离为( )A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm【答案】D【板书设计】一、引入二、做一做三、想一想四、做一做五、巩固练习六、课堂小结七、课后作业相交线与平行线教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．教学过程一、创设情境，引入课题先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题．学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的．教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题．二、探究新知，讲授新课1．对顶角和邻补角的概念学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书．【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？学生口答：∠2和∠4再也是对顶角．紧扣对顶角定义强调以下两点：（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．2．对顶角的性质提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义）， ∴∠1＝∠3（等量代换）．学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。

2.1 两条直线的位置关系第1课时对顶角、补角和余角主要师生活动一、创设情境，导入新知观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.复习回顾我们知道，在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：对顶角的概念及其性质议一议：(1) 如图，直线AB、CD相交于O，∠1 和∠2 有什么位置关系?(2) 它们的大小有什么关系?师生活动：教学中，教师应引导学生在观察和独立思考的基础上，在与同伴交流的过程中，用自己的语言表达自己的发现，并说明理由.关于对顶角概念的教学，要紧紧抓住两条直线相交这个条件，不要在“有公共顶点、互为反向延长线”上纠缠.知识要点：典例精析例1下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是( ).例2如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2 的度数.设计意图：目的是让学生认识对顶角、引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论.设计意图：通过在图形中辨认对顶角，培养学生的识图能力，进一步巩固对对对顶角概念的理解.设计意图：通过解题运用、巩固对顶角的性质.师生活动：选一名学生回答例1，其他同学判断正误；学生独立完成计算，选一名学生板书，教师巡视，适时引导——注意：隐含条件“对顶角相等”.知识点二：补角和余角的概念想一想：如图，∠1与∠3有什么数量关系？师生活动：学生共同作答——∠1 + ∠3 = 180°，教师总结讲授互为补角的概念.归纳总结：类似地：如图∠1 + ∠3 = 90°.知识点三：补角和余角的性质如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 1 简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON = ∠CON = 90°，∠1 = ∠2.小组合作交流，解决下列问题：在图2 中，(1) 哪些角互为补角？哪些角互为余角？(2) ∠3 与∠4 有什么关系？为什么？(3) ∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？师生活动：图1给出的是台球桌面的实景图，图2则是由实景图抽象出的几何图形，教学时要注意引导学生了解抽象的必要性和抽象的过程(含图形中字母的标注)；对于结论的归纳，要注意对“等角”的理解.至于理由，则不要求学生表述得完整、严密、规范，教师应鼓励学生用自己的语言表达自己的发现，并说明理由.总结：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.三、当堂练习，巩固所学1. 下列说法中，正确的有（）∠对顶角相等；∠相等的角是对顶角；∠不是对顶角的两个角就不相等；∠不相等的角不是对顶角.A．1 个B．2 个C．3 个D．0 个2. 如图，已知直线AB与CD交于点O，∠EOD= 90°，回答下列问题：(1)∠AOE的余角是，补角是；(2) ∠AOC的余角是，补角是，对顶角是.3. 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数.4. 要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入围墙，如何测量？第1课时对顶角、补角和余角教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识汇总图.2.1 两条直线的位置关系第2课时垂线主要师生活动二、创设情境，导入新知观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？四、小组合作，探究概念和性质知识点一：垂直的概念取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b，a、b所成的夹角α .转动木条的同时观察其夹角的变化.师生活动：教师做示范，这里只让学生拿出事先准备好的木架，保证课堂安全；学生跟随教师一起拨动木架，转动木条的同时观察其夹角的变化.合作探究：(1) 当∠α 分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？(2) 当∠α 为90°的位置关系有几个？此时，木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？师生活动：学生独立思考解答问题(1)；观察木条位置关系，经过独立思考和小组讨论，选派代表解答问题(2)，预设：当∠α 为90°的位置关系只有一个；学生在教师的引导下共同总结此时两根木条的位置关系——a与b垂直，记作a⊥b.归纳总结：做一做活动1你能借助直角三角板在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？活动2如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？活动3你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?师生活动：选胜独立思考完成作图. 鼓励学生探索画垂线的方法，积累数学活动经验.(1)方法不唯一，只要正确、可操作即可.(2)只用直尺，可以在方格纸上画两条互相垂直的直线，方法不唯一.设计意图：学生在操作和交流的过程中，将积累有关两条直线垂直的经验，发展有条理的思考；培养作图能力，发展几何直观.参考如下：(3)用下面的方法可以折出互相垂直的线.知识点二：垂线的画法及基本事实合作探究：(1) 画已知直线l的垂线能画几条?(2) 点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条(3) 如果点A在直线l外呢?师生活动：学生独立思考，作图后回答问题，在教师的引导下学习垂线的画法无论点A在直线l上，还是在直线l外，过点A均只能画一条l的垂线，教师要鼓励学生用自己的语言描述所得到的结论.问题1：这样画l的垂线可以画几条？(1) 如图，已知直线l，画l的垂线.预设：无数条.问题2：如图，点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条? 如果点A在直线l外呢?(2) 如图，已知直线l和l上的一点A，过点A 画l的垂线.(3) 如图，已知直线l和l外的一点M，过点M 画l的垂线.预设：都只能画一条垂线.问题3：如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足. 点A，B，C在直线l上，比较线段PO，P A，PB，PC的长短，你发现了什么?师生活动：学生思考后积极发言，教师鼓励学生用自己的语言总结结论，教师适当规范指导；点到直线的距离是十分重要的概念，也是初学者易错之处,教学中要注意引导学生在学习垂线性质的基础上引出点到直线的距离的概念.归纳总结：练习 1. 如图，下列说法正确的是（）A.线段AB叫做点B到直线AC的距离B.线段AB的长度叫做点A到直线BC的距离C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离师生活动：学生思考后积极发言，选学生做的，其他同学判断正误.议一议你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗?你能说说其中的道理吗?师生活动：学生思考后积极发言，教师引导学生总结该测量方式的数学本质——“点到直线的距离”这一概念的应用.五、当堂练习，巩固所学1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是( )A. 有两个角相等B. 有两对角相等C. 有三个角相等D. 有四对补角2. 过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是( )3. (1) 如图1，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则m n；(2) 若直线AB、CD 相交于点O，且AB∠CD，那么∠BOD = _____°；(3) 如图2，BO∠AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么∠COA＝_____°，∠BOC的补角为°.第2课时垂线教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识汇总图.垂线的性质和定义，都是通过操作、探究获得的. 为了获得垂线的性质，2.2 探索直线平行的条件第1课时利用同位角判定两条直线平行主要师生活动三、创设情境，导入新知如图，装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？六、小组合作，探究概念和性质知识点一：同位角的概念做一做如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b，c，转动木条a.观察∠2 的变化以及它与∠1 的大小关系，(1) 木条a与木条b的位置关系发生了什么变化(2) 木条a何时与木条b平行?师生活动：教师做示范，这里只让学生拿出事先准备好的木架，保证课堂安全；学生跟随教师一起拨动木架，转动木条的同时观察其夹角的变化并思问题.问题：∠1 与∠2 的大小满足什么关系时，木条a 与木条b平行? 与同伴进行交流.师生活动：学生独立思考解答问题(1)；观察木条位置关系，经过独立思考和小组讨论，选派代表解答问题，师生共同总结归纳.合作探究：观察∠1 与∠2 的位置关系：师生活动：学生独立思考并作答，教师顺势指出，有这类位置关系的两个角，互为同位角；教师在黑板上画出仅含∠1 与∠2 的图形，并让学生指出图中的同位角还有哪些；学生独立思考，小组讨论后，总结答案.动手实践自己动手画一画几组同位角.师生活动：学生独立思考完成作图，选几名学生板书他们认为的同位角，如：教师从旁指点纠正，顺势引导学生观察这些同位角的共同点并总结.知识点二：利用同位角判定两条直线平行教师提问：通过做一做我们知道，当∠1＝∠2 时，直线a和b平行；通过合作探究我们知道，∠1与∠2 是同位角.你能得出什么结论呢？预设：同位角相等，两直线平行.归纳总结：想一想：你能借助三角尺画平行线吗? 小明按如下方法画出了两条平行线，请说明其中的道理.用三角尺和直尺画平行线的方法：师生活动：学生对画法合理性的解释，只要正确即可，对表述的语言不必过于苛求.典例精析例1如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？师生活动：学生思考后共同作答——同位角相等，两直线平行.做一做：(1) 你能过直线AB外一点P能画直线AB的平行线吗？能画出几条？(2) 分别过点C，D画直线AB的平行线EF，GH，那么直线EF，GH平行吗？师生活动：学生先独立画图（如下）教师鼓励学生在画平行线的过程中展开思考，发现平行线的两条性质，并用自己的语言加以描述.要注意引导学生关注有关性质的符号表示，但不要求说明理由. 最后教师引导学生进行要点总结.要点总结设计意图：锻炼抽象能力和应用能力.设计意图：通过作图，让学生在观察客观事实的过程中归纳平行线的传递性.五、当堂练习，巩固所学七、当堂练习，巩固所学1. 如图，∠1 和∠2不构成同位角的图形是( )2. 由∠5 =∠ (只填一个角)，可以推出AB∠CD，理由是.3. 完成下列推理，并在括号内注明理由.（1）如图所示，因为AB∠DE，BC∠DE（已知），所以A，B，C三点______________，理由是( ).（2）如图所示，因为AB∠CD，CD∠EF（已知），所以_____∠_____，理由是( ).设计意图:考查对同位角的识别的掌握.设计意图:题2、3考查对利用同位角判定两条直线平行的条件的掌握.板书设计第1课时利用同位角判定两条直线平行两直线平行，用“∠” 表示. 如：a∠b.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理汇总知识要点.学生在前两个学段已初步接触了平行线，所以本节课重点内容是通过学生2.2 探索直线平行的条件第2课时利用内错角、同旁内角判定两条直线平行二、探究新知八、小组合作，探究概念和性质知识点一：内错角、同旁内角的概念小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗?合作探究：观察∠1 与∠2 的位置关系：观察∠1 与∠3 的位置关系：设计意图：设置的目的是希望引导学生测量它们的度数，观察相互间的数量关系，探索除同位角以外，还可以利用哪些角之间的数量关系判断直线是否平行. 此时，内错角、同旁内角的描述性说明的出现就是顺理成章、十分自然的了.设计意图：内错角、同旁内角的描述性说明和适当练习.师生活动：学生积极思考并作答，教师总结说明有这两种位置关系的角分别为内错角、同旁内角.教师在黑板上画出仅含∠1 与∠2 及∠1 与∠3 的图形，并让学生指出图中的内错角、同旁内角还有哪些；与同位角一样，对于内错角、同旁内角的识别也不要做过多练习，特别是一些人为编造的繁难练习要尽量避免.动手实践自己动手画一画几组内错角和同旁内角.师生活动：学生独立思考完成作图，选几名学生板书他们认为的内错角和同旁内角，教师从旁指点纠正，顺势引导学生观察这些内错角和同旁内角的共同点.典例精析例1如图，直线DE截AB，AC，构成8 个角，指出其中所有的同位角，内错角，同旁内角.师生活动：学生独立思考积极发言，教师总结归纳答案，顺势介绍三线八角手势记忆法.知识点二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行议一议(1) 内错角满足什么关系时，两直线平行?为什么?(2) 同旁内角满足什么关系时，两直线平行?为什么?师生活动：教学中应该鼓励学生用自己的语言说出这一发现，并用自己的方式说明其正确性.在上述过程中，学生可能表现出不同的思维习惯和水平.有的学生可能利用“同位角、内错角、同旁内角之间的关系”获得结论；有的学生可能通过测量、剪纸拼接等操作活动观察、探索、猜想出它们之间的关系.教师不必急于评判各种做法的优劣，而应鼓励学生之间进行充分交流，引导学生在与他人交流中获益，在与他人的交流中逐步学会用推导的方法得出结论.证一证：(1) 如图，∠1 和∠2 互为内错角，由∠1 =∠2，能推得a∥b 吗？(2) 如图，∠1 和∠2 互为同旁内角，如果∠1 + ∠2 = 180°，能判定a∥b 吗?师生活动：学生独立完成证明，选两名学生板书，教师巡视；学生完成证明后，师生共同完成总结.归纳总结：做一做：如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由.师生活动：教学时要注意让不同的学生都能得到发展，既要鼓励程度较好的学生增加思维深度，六、当堂练习，巩固所学通过分析图中角与角之间的关系，尽可能找出所有的平行线；又要鼓励学习有困难的学生利用拼摆三角尺，在拼摆过程中发现某些角之间的位置关系和数量关系，至少找出一组平行线.九、当堂练习，巩固所学1. 如图，可以确定AB∠CE的条件是( )A. ∠2 =∠BB. ∠1 =∠AC. ∠3 =∠BD. ∠3 =∠A2. 如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件____________________，则a∠b.3. 如图.（1）从∠1 = ∠4，可以推出∥，理由是.(2)从∠ABC +∠ = 180°，可以推出AB∠CD，理由是.(3) 从∠ =∠ 2 ，可以推出AD∠BC，理由是.(4) 从∠5 =∠ ，可以推出AB∠CD，理由是..设计意图：考查学生对平行线三个判定定理的掌握.设计意图：题2、3考查学生的转化、推理能力，及对平行线三个判定定理的掌握与应用.判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识汇总图.上节课我们学习了平行线的定义和画法，这节课仍用平行线的定义和画法2.3 平行线的性质第1课时平行线的性质二、探究新知思考反过来，如果已知两条平行线被第三条直线所截，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么等量关系呢十、小组合作，探究概念和性质知识点一：平行线的性质探究1：画两条平行线a∥b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角. 任选一组同位角度量，把结果填入下表，由此猜想两条平行线被第三条直线所截的同位角有什么关系：师生活动：学生按照要求绘制平行线，并度量相应角度填写表格；完成表格后小组交流讨论，选派代表回答问题——同位角相等.探索和交流的时间要充分，要鼓励学生运用多种方法进行探索.想一想如果改变截线位置，你的猜想是否还成立？师生活动：学生独立思考并作答(对于感兴趣的学生可以鼓励他们课后在进行测量等操作).预设：猜想结果仍然成立.设计意图：引导学生通过测量，归纳出平行线的性质.结论当然是重要的，但是探究结论的过程，更应该重视，这不仅因为结论的得出依赖于过程，而且因为探究的过程也是运用、体验归纳推理的过程，是积累基本的数学活动经验的过程.设计意图：让学生在实践操作中，培养自主学习能力，发展观察能力和归纳总结能力；在直观数据中感悟平行线的性质.归纳总结：类比探究(2) 图中有几对内错角?它们的大小有什么关系? 为什么?(3) 图中有几对同旁内角?它们的大小有什么关系? 为什么?师生活动：对于内错角之间、同旁内角之间的关系，放手让学生自己选择探究方法，如测量、剪贴，也可以引导学生通过与同位角进行比较，用推理的方法得到有关结论.探究2：能否利用两条直线平行来证明内错角、同旁内角之间的数量关系呢？1.如图，如果a∠b，能得出∠4 = ∠5 吗？师生活动：学生独立思考并回答——可以；教师引导学生分析证明思路，学生独立完成证明，选一名学生板书，教师巡视.设计意图：经历实践探究得出结论，重视学生的实际操作以及在操作过程中的思考，这对于发展学生的空间观念、理解平行线的性质非常重要.设计意图：锻炼学生的归纳和证明能力，加深对平行线性质的理解与掌握.2.如图，如果a∥b，能得出∠4 +∠6 = 180° 吗？师生活动：学生独立思考并回答——可以；学生独立完成证明，选一名学生板书，教师巡视.解：如果a∠b，那么∠1 = ∠5，因为∠5+∠6 = 180° (平角的定义)，所以∠2+∠4 = 180°.要点总结：做一做：如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1 =∠2，∠3 =∠4.(1)∠1 与∠3的大小有什么关系? ∠2 与∠4 呢?(2)反射光线BC与EF也平行吗?七、当堂练习，巩固所学师生活动：教科书设置的判断∠1与∠3，∠2与∠4的大小关系，以及光线BC与EF是否平行三个问题，教学中宜逐次递进，对全体学生不宜跳步进行. 教学时要鼓励学生用自己的语言说明理由，并鼓励他们充分进行交流，对于全体学生，只要求能看懂这种形式，说明每一步的理由即可，不必强求学生按照此种方式书写理由.练一练1. 如图，如果AB∠CD∠EF，那么∠BAC + ∠ACE +∠CEF＝( )A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°师生活动：学生独立思考，学生代表回答，教师引导学生阐述思路并给予适当的评价.十一、当堂练习，巩固所学1. 如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截.(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？2. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行. 若第一次拐弯时∠B是142°，则第二次拐弯时∠C 是多少度？为什么？3. 如图，直线a∠b，直线b垂直于直线c，那么直线a垂直于直线c吗？为什么？设计意图：锻炼学生思考能力与对平行线的性质的掌握，提高学生的解题技巧与表达能力.设计意图：考查学生对平行线的性质的掌握，锻炼应用能力.设计意图：锻炼应用平行线性质解决实际问题的能力，发展阅读能力和空间想象能力.设计意图：考查学生对平行线性质的掌握，锻炼推理能力和应用能力.第课时平行线的性质性质3：两直线平行，同旁内角互补.教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识汇总图.本课提供了通过测量同位角探索两直线平行关系的活动，教师还可以鼓励2.3 平行线的性质第2课时平行线性质与判定的综合运用教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、复习导入二、探究新知六、复习回顾，导入新知思考1 平行线的判定与性质之间的关系.师生活动：学生独立思考回顾，共同完成填空；教师播放课件，引导学生思考，选几名学生学生回答.预设1：平行线的判定条件是平行线的性质；平行线的性质可以用来判定两直线是否平行.预设2：平行线的判定与性质是互逆的.思考2请用几何语言表示平行线的其他判定方法.预设：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.十二、小组合作，探究概念和性质知识点一：平行线的性质与判定的综合应用例1 根据如图所示回答下列问题：(1) 若∠1 =∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？(2) 若∠2 =∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？(3) 若∠2 +∠3 = 180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？设计意图：通过回顾平行线的判定定理和性质，让学生自主观察，探究；这个阶段的学生的思维逻辑不够清晰，让学生多思考、多表述，逐步完善对平行线的判定与性质之间的关系的理解，发展推理意识和能力.设计意图：进一步巩固对其他平行线判定方法的理解，发展用符号语言表达的能力.设计意图：例1是对判断直线平行条件的直接应用.师生活动：教学时首先应引导学生分析已知角的位置关系，然后对照两直线平行的条件作出判断.重要的是分析问题的思路与方法.例2如图，AB∥CD，如果∠1 = ∠2，那么EF 与AB平行吗？说说你的理由．例3 如图，已知直线a∠b，直线c∠d，∠1 = 107°，求∠2，∠3 的度数.师生活动：教科书给出的解答过程，提供了说理的一种方式，供学生阅读理解，也为今后培养推理能力做铺垫，但是，不要求学生现在就按照例题解答的格式书写.希望在教学中要注意把握尺度，不可操之过急.练一练：1. (1) 如图1，若AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.解：因为AB∥DE ( )，所以∠A =_______ ( ).因为 AC ∥DF ( ) ，所以∠D =______ ( ). 所以∠A =∠D ( ).(2) 如图 2，若 AB ∥DE ，AC ∥DF ， 试说明∠A+∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.解：因为 AB ∥DE ( )， 所以 ∠A = ______ ( ).因为 AC ∥DF ( ) ， 所以∠D + _______ = 180° ( ). 所以∠A +∠D = 180° ( ). 师生活动：学生独立思考完成证明，选几名学生作答，其他同学判断正误. 2.如图，∠1 + ∠2 = 180°，∠4 = 35° ，则∠3 等于______°. 师生活动：学生独立思考并完成计算，教师安排学生观察计算过程，小组讨论这类型计算的解题思路，选派代表回答小组的发现； 预设1：先由题目给出的角的关系，判定得到两直线平行. 预设2：再用平行线的性质，计算角之间关系. 4321C D E AB八、当堂练习，巩固所学十三、当堂练习，巩固所学1. 如图，∠A =∠D，如果∠B = 20°，那么∠C为()A．40°B．20°C．60°D．70°2. 如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1 =∠2，∠3 = 70°，则∠4 的度数是()A．35° B．70° C．90° D．110°3. 如图，AE∠CD，若∠1 = 37°，∠D = 54°，求∠2和∠BAE的度数.设计意图：题1、2考查学生对平行线的性质和判定的掌握.设计意图：考查学生灵活学生运用平行线的性质和判定解决问题的能力.板书设计第2课时平行线性质与判定的综合运用教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识导图.本节课的目的，除了锻炼、提高学生灵活运用平行线的性质和判定解决数2.4 用尺规作角主要师生活动七、创设情境，导入新知如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.（1）请过C点画出与AB平行的另一条边；（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？师生活动：“过直线外一点作已知直线的平行线”相当于“过点C作∠ECD等于已知的∠CAB”.十四、小组合作，探究概念和性质知识点一：用尺规作角利用尺规，作一个角等于已知角．已知：∠AOB（如图）．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′ =∠AOB．师生活动：作一个角等于已知角的作图过程比较复杂，教学时，应要求学生按照作图步骤亲自操作.对于“作法”，只要求学生能看懂即可，不要求学生写作法.作法：(1)作射线O′A′；(2)以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；(3)以点O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′A′于点C′；(4)以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于点D′；(5)过点D′作射线O′B′ . 则∠A′O′B′就是所求的角.思考：用尺规作一个角等于已知角是尺规作图中的基本作图，你能利用它作出其他图形吗？师生活动：学生思考后，可小组讨论，选派代表作答，教师总结；学生思考有偏差时可做出如下提示：可以作角的和、差、倍角及与角有关的图.。

北师大版初一（下）数学第二章相交线与平行线教案：相交线与平行线讲义（含解析）把握对顶角和邻补角的概念；把握垂线段的定义及其画法；3.把握三线八角的定义和找法；4.把握平行线的性质与判定.相交线在同一平面内，两条直线的位置关系有_________和________。

（2）相交：在同一平面内，有__________的两条直线称为相交线。

（3）邻补角：①定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。

②性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）（4）对顶角：①定义：有一个公共顶点，同时有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角②性质：对顶角相等几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对显现的，对顶角是具有专门位置关系的两个角；⑵假如∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之假如∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶假如∠α与∠β互为邻补角，则一定有_____________；反之假如∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2.垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做_______。

符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O垂线性质1：过一点_______________一条直线与已知直线垂直。

垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：_______________。

3.垂线的画法：（1）过直线上一点画已知直线的垂线；（2）过直线外一点画已知直线的垂线。

《用尺规作角》教学设计用尺规作角是北师版初中数学七年级下册第二章第四节内容，本章主要研究两直线的位置关系；本节要求掌握能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学目标【知识与能力目标】能用尺规作一个角等于已知角；理解文字语言与图形语言的转换；【过程与方法目标】经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识；【情感态度价值观目标】使学生在积极参与探索、交流、推理、归纳等数学活动中，进一步体会数学的严密性，提高自己的逻辑思维能力.重点难点【教学重点】能用尺规作一个角等于已知角；【教学难点】作图步骤和作图语言的叙述.课前准备【教师准备】课件、学案（每生一份）；【学生准备】直尺、圆规、铅笔、练习本.教学方法学生动手操作，小组合作交流，微课辅助教学教学过程一、导入【生活情境】设计平行四边形班级布置照片墙，需要长方形、正方形、圆形、平行四边形等各种图形的纸板. 负责设计的班长遇到了难题，平行四边形如何裁出呢？【数学问题】过一点作已知直线平行线班长找来一个长方形木板，准备在上面截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.过C点画出与AB平行的另一条边CD，你有多少种方法？【问题解决】学生尝试多种方法1.用直尺与三角板画平行线.2.用量角器画一个相等的角.（依据：同位角相等两直线平行）有其他做法，只要合理即给予肯定鼓励.小结：过直线外一点作已知直线的平行线，相当于过这点作一个与已知角相等的同位角.【问题变式】摆脱平行四边形的背景，已知一个角，让你作一个角等于这个角（已知角与所求作的角未必在一个平行四边形内，甚至未必在同一平面内），你还能用哪些方法？【问题升级】尺规作图如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？【温馨提示】“尺”“规”各有什么功能？尺—画直线、射线、线段规—画圆、弧、截取线段二、回顾【提出问题】之前的学习中，曾经用尺规作过什么图形？怎样利用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段?已知：线段a．求作：线段AB ，使A B＝a．【尝试练习】学生独立完成，并简单交流.三、新课【学生探究】如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能作一个角等于已知角吗？已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' =∠AOB．学生先尝试独立思考，然后小组内交流探究.【温馨提示】1.为了作出这个角，显然需要先作_________.2.为了作出另一边，只需要确定_________.3.分析刚才作图的方法，如何用尺规达到同样的效果？【汇报展示】找若干小组代表上台展示，并讲解作图步骤.附：作法与示范：（1）作射线O'A' ；（2）以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 于点C，交OB 于点D；（3）以点O' 为圆心，以OC 为半径画弧，交O'A' 于点C' ；（4）以点C' 为圆心，以CD 长为半径画弧，交前面的弧于点D' ；（5）过点D' 作射线O'B'. ∠A'O'B' 就是所求作的角.【视频总结】【问题解决】用尺规过点C作CD∥AB.四、练习【练习1】已知∠1，∠2，利用尺规作图，比较它们的大小．口述作法、保留作图痕迹.【练习2】已知∠1，∠2. 求作：∠AOB，使得∠AOB= ∠1+∠2.变式：你会作两个角的差吗？【练习3】已知∠AOB，利用尺规作∠A'O'B'，使∠A'O'B' =2∠AOB．五、应用打台球时，球的反射角总是等于入射角.反弹之后，红球能被击入右下角的袋中吗？(用尺规作图检验)六、拓展【尺规作图的历史】中国--“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字。

北师大七年级数学第二章教案文案教学重点是教材中举足轻重、关键性的、最基本的、最重要的中心内容，是课堂结构的主要线索，掌控了这部分内容，对于巩固旧知识和学习新知识都起着决定性作用。

今天作者在这里整理了一些北师大七年级数学第二章教案202X文案，我们一起来看看吧!北师大七年级数学第二章教案202X文案1相反数教学目标 1，掌控相反数的概念，进一步知道数轴上的点与数的对应关系;2，通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特点，培养归纳能力;3，体验数形结合的思想。

教学难点归纳相反数在数轴上表示的点的特点知识重点相反数的概念教学进程(师生活动) 设计理念设置情境引入课题问题1：请将下列4个数分成两类，并说出为何要这样分类4， -2，-5，+2答应学生有不同的分法，只要能说出道理，都要难予鼓励，但教师要做适当的引导，逐渐得出5和-5，+2和-2分别归类是具有较特点的分法。

(引导学生视察与原点的距离)摸索结论：教科书第13页的摸索再换2个类似的数试一试。

归纳结论：教科书第13页的归纳。

以开放的情势创设情境，以学生进行讨论，并培营养类的能力培养学生的视察与归纳能力，渗透数形思想深化主题提炼定义给出相反数的定义问题2：你怎样知道相反数定义中的“只有符号不同”和“互为”一词的含义?零的相反数是什么?为何?学生摸索讨论交换，教师归纳总结。

规律：一样地，数a的相反数可以表示为-a摸索：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系?练一练：教科书第14页第一个练习体验对称的图形的特点，为相反数在数轴上的特点做准备。

深化相反数的概念;“零的相反数是零”是相反数定义的一部分。

强化互为相反数的数在数轴上表示的点的几何意义给出规律解决问题问题3：-(+5)和-(-5)分别表示什么意思?你能化简它们吗?学生交换。

分别表示+5和-5的相反数是-5和+5练一练：教科书第14页第二个练习利用相反数的概念得出求一个数的相反数的方法小结与作业课堂小结 1，相反数的定义2，互为相反数的数在数轴上表示的点的特点3，怎样求一个数的相反数?怎样表示一个数的相反数?本课作业 1，必做题教科书第18页习题1.2第3题2，选做题教师自行安排本课教育评注(课堂设计理念，实际教学成效及改进假想)1，相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述，也揭示了两个特别数的特点.这两个特别数在数量上具有相同的绝对值，它们的和为零，在数轴上表示时，离开原点的距离相等等性质均有广泛的运用.所以本教学设计环绕数量和几何意义展开，渗透数形结合的思想.2，教学引人以开放式的问题人手，培养学生的分类和发散思维的能力;把数在数轴上表示出来并视察它们的特点，在复习数轴知识的同时，渗透了数形结合的数学方法，数与形的相互转化也能加深对相反数概念的知道;问题2能帮助学生准确掌控相反数的概念;问题3实际上给出了求一个数的相反数的方法.3，本教学设计体现了新课标的教学理念，学生在教师的引导下进行自主学习，自主探究，视察归纳，重视学生的思维进程，并给学生留有发挥的余地.北师大七年级数学第二章教案202X文案2教学目标1，掌控绝对值的概念，有理数大小比较法则.2，学会绝对值的运算，会比较两个或多个有理数的大小.3.体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想.教学难点两个负数大小的比较知识重点绝对值的概念教学进程(师生活动) 设计理念设置情境引入课题星期天黄老师从学校动身，开车去游玩，她先向东行20千米，到朱家尖，下午她又向西行30千米，回到家中(学校、朱家尖、家在同一直线上)，如果规定向东为正，①用有理数表示黄老师两次所行的路程;②如果汽车每公里耗油0.15升，运算这天汽车共耗油多少升?学生摸索后，教师作以下说明：实际生活中有些问题只关注量的具体值，而与相反意义无关，即正负性无关，如汽车的耗油量我们只关心汽车行驶的距离和汽油的价格，而与行驶的方向无关;视察并摸索：画一条数轴，原点表示学校，在数轴上画出表示朱家尖和黄老师家的点，视察图形，说出朱家尖黄老师家与学校的距离.学生回答后，教师说明以下：数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关，而与它所表示的数的正负性无关;一样地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a|例如，上面的问题中|20|=20，|-10|=10明显，|0|=0 这个例子中，第一问是相反意义的量，用正负数表示，后一问的解答则与符号没有关系，说明实际生活中有些问题，人们只需知道它们的具体数值，而并不关注它们所表示的意义.为引入绝对值概念做准备.并使学生体验数学知识与生活实际的联系.由于绝对值概念的几何意义是数形转化的典型模型，学生初次接触较难接受，所以配置此视察与摸索，为建立绝对值概念作准备.合作交换探究规律例1求下列各数的绝对值，并归纳求有理数a的绝对有什么规律?、-3，5，0，+58，0.6要求小组讨论，合作学习.教师引导学生利用绝对值的意义先求出答案，然后视察原数与它的绝对值这两个数据的特点，并结合相反数的意义，最后总结得出求绝对值法则(见教科书第15页).巩固练习：教科书第15页练习.其中第1题按法则直接写出答案，是求绝对值的基本训练;第2题是对相反数和绝对值概念进行辨别，对学生的分析、判定能力有较高要求，要注意摸索的周密性，要让学生体会出不同说法之间的区分. 求一个数的绝时值的法则，可看做是绝对值概念的一个运用，所以安排此例.学生能做的尽量让学生完成，教师在教学进程中只是组织者.本着这个理念，设计这个讨论.结合实际发觉新知引导学生看教科书第16页的图，并回答相干问题：把14个气温从低到高排列;把这14个数用数轴上的点表示出来;视察并摸索：视察这些点在数轴上的位置，并摸索它们与温度的高低之间的关系，由此你觉得两个有理数可以比较大小吗?应怎样比较两个数的大小呢?学生交换后，教师总结：14个数从左到右的顺序就是温度从低到高的顺序：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.在上面14个数中，选两个数比较，再选两个数试试，通过比较，归纳得出有理数大小比较法则想象练习：想象头脑中有一条数轴，其上有两个点，分别表示数一100和一90，体会这两个点到原点的距离(即它们的绝对值)以及这两个数的大小之间的关系.要求学生在头脑中有清楚的图形. 让学生体会到数学的规定都来源于生活，每一种规定都有它的公道性数在大小比较法则第2点学生较难掌控，要从绝对值的意义和数轴上的数左小右大这方面结合起来来了解，所以配置想象练习，加强数与形的想象。

1北师大版七年级下数学第二章《相交线与平行线》教案 《2.1两条直线的位置关系》教案一：教学目标1、掌握两条直线平行与垂直的条件；2、会运用条件判断两直线是否平行或垂直；3、能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数.二：教学重点、难点两条直线平行与垂直的条件， 两条直线平行与垂直的条件的应用.三：教学设计（一）情景引入A ：两条直线位置关系当中平行为简单；现在我们来研究平面内两条直线平行的关系. ①先入为主的思想；在研究直线问题时首先考虑特殊情况：α=90°时，画图.这个情况很简单：当α=90°时只要x 1≠x 2，则两条直线平行.②一般情况：α≠90°时，则k 存在，∴y 1=kx +b 1 y 2=kx +b 2已知直线l 1，l 2的斜截式方程为：l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2，若l 1//l 2，则有α1=α2且b 1≠b 2，∴tan α=tan α [α1∈[0，180°），α2∈[0，180°）]∴k 1=k 2反之，是否成立？若k 1=k 2且b 1≠b 2则有tan α=tan α，∵0≤α1，α2＜π，∴α1=α2且b 1≠b 2，∴l 1//l 2结论一：①特殊情况：若两条直线l 1，l 2斜率都不存在也不重合，则两直线l 1，l 2平行； ②有斜率的两条直线l 1//l 2 <=> k 1=k 2且b 1≠b 2∴判断不重合的两条直线平行的程序：两条直线方程——两条直线斜率都不存在且不重合→平行.两条直线方程——化为斜截式方程→求两条直线斜率.若k 1=k 2且b 1≠b 2→平行若k 1≠k 2→相交或者若A 1B 2≠B 1A 2且B 1C 2≠B 2C 1或A 1B 2=A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1 则两条直线平行.例1：已知两条直线l 1:4x +2y -7=0，l 2:2x -y -5=0求证l 1∥l 212122∵l 1的斜率为，l 2的斜率为 ∴k 1=k 2∴l 1∥l 2 例2：求过点A （1，-4）且与直线2x +3y +5=0平行的直线的方程？解：已知直线的斜率为-，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是-. 根据点斜式，得到所求直线的方程是：y +4=-（x -1）即2x +3y +10=0 例3：如果直线ax +2y +2=0与3x -y -2=0平行，那么系数a =（）A .3B .-6C .-D . 例4：求与直线3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线l 的方程？ 法一：设直线方程为3x +4y +m =0，交x 轴于点（-，0）交y 轴于点（0，-），由题意可得（-）+（-）=即m =-4， ∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0， 法二：设直线方程为+=1， ∴a +b =，-=-，可得a =，b =1， ∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0B ：平时我们已经理解了；接下来我们来研究两直线相互垂直的关系.①同样的先考虑特殊情况：若已知一条直线的倾斜角为90°，x =x 1，则求其另一条与它垂直的直线方程.②一般情况：若已知两条直线l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2 x +b 2，相互垂直则k 1与k 2有何关系？ α+（π-β）= ∴α-β=- ∴β=α+ 21213232322332373m 4m 3m 4m 37a x b y 37a b 43342π2π2π3tan β=tan （α+）=-cot α ∴tan α·tan β=tan α·（-cot α）=-1∴最后我们得证:若两条直线垂直则k 1k 2=-1.③α=90°时=>β=0°（特殊情况）k 1=0，k 2不存在.或者k 1不存在，k 2=0.例4:已知直线l 1：ax -y +2a =0与l 2：（2a -1）x +ay +a =0互相垂直，求a 的值一、①当α=90°即a =0时，l 2：x =0 ∴l 1：y =0 ∴l 1⊥l 2②当α≠90°则k 1·k 2=a ·（-）=-1 ∴a =1 二、A 1A 2+B 1B 2=0 =>a （2a -1）-a =0 2a ²-2a =0 =>a =1或a =0例5：求与3x +4y +1=0平行，且在两坐标轴上截距之和为7/3的直线l 的方程.（一）设直线方程为3x +4y +m =0，交x 轴于点（-，0）交y 轴于点（0，-） ∴（-）+（-）= ∴m =-4∴所求直线l 的方程为3x +4y -4=0（二）设直线方程为+=1 =>a +b =；-=-=>a =，b =1 ∴l ：3x +4y -4=0例6：已知三角形两条高线为x +y =0和2x -3y +1=0且一个顶点C （1，2），求三角形AC ，BC 边所在直线的方程.∵AC ，BC 与两条高线垂直∴AC ，BC 的斜率为1和- ∴边AC ，BC 所在直线的方程为y -2=1（x -1），y -2=-（x -1） 即x -y +1=0，3x +2y -7=0《2.2探索直线平行的条件》教案一、导学目标1.使学生能够熟练识别同位角；2πaa )12(-3m 4m 3m 4m 37a xb y 37a b 433423232.使学生会用同位角相等判定二条直线平行.二、重点难点1.重点（1）识别同位角.（2）用同位角相等判定二条直线平行.2.难点用同位角相等判定二条直线平行.三、导学过程一、自主学习：操作---观察---探索如图：3根木条（或硬纸条）相交成∠1、∠2，固定木条b、c，转动木条a.问：1.在木条a的转动过程中，木条a、b的位置关系发生了什么变化？∠2与∠1的大小关系发生了什么变化？2.改变图中∠1的大小，按照上面的方式再试一试，当∠2与∠1的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？二、合作探究：活动一：利用平移三角尺的方法画平行线，探索直线平行的条件.当∠1与∠2相等，直线a、b就；当∠1与∠2不相等时，直线a、b平行吗？活动二：通过观察、比较，认识“同位角”，探索直线平行的条件.直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为.请问图中还有没有其他的同位角？4归纳：相等，两直线.活动三：例题讲解.例：如图，∠1=∠C，∠2=∠C，请找出图中互相平行的直线，并说明理由.三、拓展提高：1.∠1与∠C、∠2与∠B、∠ 3与∠ C分别是哪两条直线被哪一条直线截成的同位角？2.如图，直线a、b被直线c所截，∠1=35°，∠2=145°，问：直线a与b平行吗？四、达标检测：1.如图，∠1与∠B是直线和被直线所截构成的同位角；∠2与∠A直线和被直线所截构成的同位角.2.如图，∠1、∠2、∠3中，和是同位角.3.如图，如果∠B=∠1，根据，那么可得DE//BC；如果∠B=∠2，根据同位角相等，两直线平行，那么可得// .4.如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠DNF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，为什么？AB CD EF13256《2.3平行线的性质》教案教学目标：理解平行线的性质的推导，掌握平行线的性质.教学重点：平行线的性质以及应用.教学难点：平行线的性质公理与判定公理的区别.教学过程：一、梳理旧知，引出新课平行线的判定：判定方法1、同位角相等，两直线平行.判定方法2、内错角相等，两直线平行.判定方法3、同旁内角互补，两直线平行.问题：反过来也成立吗？过去我们学过：如果两个数的和为0，这两个数互为相反数.反过来，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0.这两个句子都是正确的.现在换一个例子：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.它是对的.反过来，如果两个角相等，这两个角是对顶角.对吗？再看下面的例子：“如果一个整数个位上的数字是5，那么它一定能够被5整除.”对吗？这句话反过来怎么说？对不对？【结论】如果一个句子是正确的，反过来说（因果对调），就未必正确.二、动手操作，归纳性质上一节课，我们学过：同位角相等，两直线平行.反过来怎么说？它还是对的吗？（板书）性质1、两直线平行，同位角相等.P Q M N21F ED C B A7如果把平行线性质1：“两直线平行，同位角相等”看作是基本事实（公理），我们可以利用这个公理证明平行线性质2：“两直线平行，内错角相等”.【例】如图，已知：直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，求证：∠1=∠2.证明：∵a ∥b ，∴∠1=∠3（__________________）.∵∠3=∠2（对顶角相等），∴∠1=∠2（等量代换）.（板书）性质2、两直线平行，内错角相等【变式】下面我们来证明平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补.请模仿范例写出证明.如图，已知：直线a 、b 被直线c 所截，且a ∥b ，求证：∠1+∠2=180º.证明：（略）（板书）性质：两直线平行，同旁内角互补三、巩固新知，深化理解例1、如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截.（1）从∠1=110º．可以知道∠2是多少度吗？为什么？（2）从∠1=110º可以知道∠3是多少度吗？为什么？（3）从∠1=110º可以知道∠4是多少度吗？为什么？例2、如图，已知AB ∥CD ，AE ∥CF ，∠A = 39°，∠C 是多少度？为什么？ab1 2 3 c ab 1 23c ED CB A12348方法一解：∵AB ∥CD ， ∴ ∠C=∠1．∵ AE ∥CF ，∴ ∠A=∠1．∴ ∠C=∠A ．∵∠A = 39º，∴∠C = 39º．方法二解：∵AB ∥CD ，∴ ∠C=∠2.∵ AE ∥CF ，∴ ∠A=∠2.∴ ∠C=∠A .∵∠A = 39º，∴∠C = 39º．练习1：如图，已知直线a 、b 被直线c 所截，在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据： （1）∵a ∥b ，∴∠1=∠3（___________________）；（2）∵∠1=∠3，∴a ∥b （_________________）.（3）∵a ∥b ，∴∠1=∠2（__________________）；（4）∴a ∥b ，∴∠1+∠4=180º（_____________________________________）（5）∵∠1=∠2，∴a ∥b （___________________）；（6）∵∠1+∠4=180º，∴a ∥b （_______________）.练习2：教材第51页 随堂练习四、盘点收获，布置作业1、（1）平行线的性质是什么？（2）你能用自己的语言叙述研究平行线性质的过程吗？（3）性质2和性质3是通过简单推理得到的，在推理论证中需要注意哪些问题？2、作业G FED C B Aa b12 3 c 49《2.4用尺规作角》教案教学目的：1、经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识.2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学重点：能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学难点：作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用.教学过程：一、问题的提出如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB .（1）请过点C 画出与AB 平行的另一条边.（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？二 、新课内容一：（请按作图步骤和要求操作，别忘了留下作图痕迹）（一） 用尺规作一个角等于已知角.（1）已知：∠AOB求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB（2）已知：∠10求作：∠AOB ，使∠AOB=∠（二）用尺规作一个角等于已知角的倍数：（3）已知：∠1求作：∠MON ，使∠MON=2∠1∠COD ，使∠COD=3∠1（三）用尺规作一个角等于已知角的和：（4） 已知：∠1、∠2、∠3求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠1+∠2②∠POQ ，使∠POQ=∠1+∠2+∠3③∠MON ，使∠MON=2∠1+∠2（四）用尺规作一个角等于已知角的差：已知：∠、∠、∠求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠－∠②∠POQ ，使∠POQ=∠－∠－∠③求作一个角，使它等于2∠－∠（五） 综合练习：（通过以下练习，意味着你掌握了作角的真本领，多动一下脑筋，你一定会完成得很出色的）1、已知：线段AB 、 ∠、∠αα1αβγαβγαβαβγβγαβ13211求作：分别过点A 、点B 作∠CAB=∠、∠CBA=∠2、如图，点P 为∠ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线EF//BC .3、已知：直线L 和L 外一点P ，求作：一条直线，使它经过点P ，并与已知直线L 平行.4、已知：△ABC ，求作：直线MN ，使MN 经过点A ，且MN//BC .5、如图，以点B 为顶点，射线BA 为一边，在∠ABC 外再作一个角，使其等于∠ABC .（六）小结（七）作业αβLA αβ。

ABC D回顾与思考教学目标： 知识与技能目标：1．经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化。

2．在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等基本几何模型，从而进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说明几何图形。

过程与方法目标：1.经历把现实物体抽象成几何对象（点、线、面等）的数学化过程. 2．在探究说理过程中，锻炼学生的语言表达能力以与逻辑思维能力。

3．通过多个角度去思考问题，既提高学生的识图能力，又可以开阔思维，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度价值观：1. 感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣. 2．通过一题多变，一题多解，多解归一的练习，让学生学会挖掘题目资源，用发展的眼光看问题，观察运动中的异同， 揭示知识间内在联系。

一、 教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境；第二环节：归纳总结；第三环节：知识应用；第四环节：拓展升华；第五环节：纵向延伸；第六A BDEO 小节：查缺补漏。

第一环节：创设情境 第二环节：归纳总结活动内容：师：你们能从这个标志中发现我们学过的基本图形么？ 生1：相交直线。

师：两条相交直线有4个形影不离的朋友，他们都有很漂亮的性质， 你们知道是什么么？生2：他们的朋友是对顶角和互补的角。

生3：性质是对顶角相等，互补角相加为1800。

师：在这个标志中，除了相交线，还有没有其他重要但是很简单的结构？ 生（几乎不约而同）平行线。

师：图案中告诉我们∥了么？ 生：没有。

师：则怎么来判定呢？生：还得请相交直线和它的朋友来帮忙。

师：所以设计师让这两条直线都被第三条直线所截，多有先见之明！现在请同学们归纳一下，判定∥的方法有哪些？同位之间交流。

师：在整个大众图标中，若∥，∥,图中共有几对相等的角，几对互补的角。

四人小组讨论归纳，并说明理由。

师：通过对大众标志的研究，你会发现，我们总是要在复杂图形中找出最原始而不失去重要性的结构来解决问题。

教学设计用尺规作角一．教材分析《用尺规作角》是北师大版初中数学七年级下册第二章第四节，属于“图形与几何”知识领域。

它是在学生已经学习了基本图形及平行线的基础上进行教学的，学生学好这部分知识将为今后进一步学习三角形和尺规作角平分线等知识打好基础，因此，这部分内容起着承上启下的作用，要使学生切实学好。

二．学情分析新课标指出，数学的学习活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，学生虽然已经学习了基本图形及平行线的知识，且具备了一定的观察、推理和归纳概括的能力，但是根据学生的认知规律和年龄特点，他们的逻辑思维正处于由经验型向理论型发展的阶段，因此，在认知上还存在着一定的思维障碍，需要教师加强指导。

三．教学目标1．能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。

2．能利用尺规作角的和、差、倍等问题3．在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。

四．教学重难点重点：利用尺规作一个角等于已知角的方法及作图语言描述；难点：作图方法及作图语言的掌握；五．教学过程第一环节情景引入：观察课本如图2—14，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB。

⑴请过C点画出与AB平行的另一边。

⑴如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？活动目的：通过创设“作一个角等于已知角”的情境，将平行线的识别与作角的问题比较自然地联系在了一起。

教师引导学生将课本问题转化为：过直线外一点作已知直线的平行线，让学生思考“平行线的判定定理”，进而得到解决方案为“过点C作一个角等于已知∠CAB”。

第二环节用尺规作出一个角等于已知角内容一：利用尺规，作一个角等于已知角已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.（教师在黑板上分五步完成用尺规作一个角等于已知角，学生跟着操作，每完成一步都要求学生口述作法.）内容二：请用没有刻度的直尺和圆规,完成课本中图2-14 的问题活动三：我们已经学会怎样作一个角等于已知角，那么，你能利用尺规作图，比较两个角的大小吗？请完成课本56页的‘议一议’.如图所示,已知∠AOB，∠EO′F,利用尺规作图,比较它们的大小.活动目的：让学生学会使用尺规作一个角等于已知角，并独立完成问题情境中的问题。

第二章相交线与平行线1两条直线的位置关系（第1课时）课时安排说明:《两条直线的位置关系》共分两课时，第一课时，主要内容是探索两条直线的位置关系，了解对顶角、余角、补角的定义及其性质；第二课时，主要内容是垂直的定义、表示方法、性质及其简单应用.一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识。

这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。

学生活动经验基础：在前面知识的学习过程中，教师为学生提供了广阔的可供探讨和交流的空间，学生已经经历了一些动手操作，探索发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的图形认识能力和借助图形分析问题解决问题的能力；能够将直观与简单推理相结合；在合作探究的过程中，学生在以前的数学学习中学生已经经历了小组合作的学习过程，积累了大量的方法和经验，具备了一定的合作与交流能力。

二、教学任务分析针对七年级学生的学情，本节从学生熟悉的、感兴趣的情境出发，引导学生自主提炼归纳出同一平面内两直线的位置关系，了解补角、余角、对顶角的概念及其性质并能够进行简单的应用；通过“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程”，发展学生的空间观念及推理能力；能从实际情境中抽象出数学模型，为后续学习“空间与图形”这一数学领域而打下坚实的基础;激发学生从数学的角度认识现实，能够敏锐的发现问题、提出问题，并运用所掌握的数学知识初步解决问题；引导学生在思考、交流、表达的基础上逐步达成有关情感与态度目标. 本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。

因此，本节课的目标是：1．知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。

2．过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。