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第四章指数函数与对数函数4.1.1根式 (1)4.1.2指数幂及其运算 (4)4.2.1指数函数及其图象性质 (8)4.2.2指数函数的性质及其应用 (11)4.3.1对数的概念 (16)4.3.2对数的运算 (18)4.4.1对数函数及其图象 (22)4.4.2对数函数的性质及其应用 (26)4.4.3不同函数增长的差异 (30)4.5.1函数的零点与方程的解 (34)4.5.2用二分法求方程的近似解 (38)4.5.3函数模型的应用 (42)4.1.1根式要点整理1．根式的概念一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±na，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.式子na叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)(na)n＝a.(2)当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.温馨提示：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(na n )中a ∈R .题型一根式的意义【典例1】 下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102 C.210D ．±102[思路导引] 利用n 次方根的概念求解．[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④. (2)∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． ∴m ＝±102.[答案] (1)B (2)Dn (n >1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定： ①当n 为偶数时，n a 为非负实数；②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致． 题型二简单根式的化简与求值【典例2】化简下列各式：(1) 5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(－9)2；(4) 4(a－b)4.[思路导引] 利用na n的性质进行化简．[解] (1) 5(－2)5＝－2.(2) 4(－10)4＝|－10|＝10.(3) 4(－9)2＝434＝3.(4) 4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎨⎧a－b(a≥b)，b－a(a<b).根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．题型三有限制条件的根式化简【典例3】设x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3.[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．[解] (4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．[解] (4(x－1))4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．4.1.2指数幂及其运算要点整理1．分数指数幂的意义温馨提示：(1)分数指数幂a mn不可以理解为mn个a相乘．(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．(2)a －b ＝1ab (a >0，b 是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．题型一根式与分数指数幂的互化【典例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b －a 2.根式与分数指数幂互化的规律(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．题型二指数幂的运算【典例2】 计算：[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．题型三条件求值问题[变式] (1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.[答案] (1)±3 5 (2)－3 3解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：4.2.1指数函数及其图象性质要点整理1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1. 2．指数函数的图象和性质温馨提示：(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．(2)指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a ，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的大致图象．题型一指数函数的概念 【典例1】 (1)下列函数：。
必修1第四章石油中学 席静一、选择题1 已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）A 函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B 函数)(x f 在(3,5)内无零点C 函数)(x f 在(2,5)内有零点D 函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点2 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）A 1B 2C 3D 43 已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ）A 有且仅有一个根B 至多有一个根C 至少有一个根D 以上结论都不对4 如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ()6,2-B []6,2-C {}6,2-D ()(),26,-∞-+∞5若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A 若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B 若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C 若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D 若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；6 方程0lg =-x x 根的个数为（ ）A 无穷多B 3C 1D 07若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ）A23 B 32 C 3 D 31 8 设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ） A (1,1.25) B (1.25,1.5)C (1.5,2)D 不能确定9下列函数均有零点，其中不能用二分法求近似解的是（ ）．10函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A 41B 1-C 4D 4-11 直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）A 4个B 3个C 2个D 1个12 若方程0x a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（ ）A (1,)+∞B (0,1)C (0,2)D (0,)+∞二、填空题：13 用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是14 设函数)(x f y =的图象在[],a b 上连续，若满足 ，方程0)(=x f在[],a b 上有实根 .15 已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -的零点是__________16 函数()f x 对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为17已知函数()f x 的图象是连续不断的，有如下,()x f x 对应值表：则函数()f x 在区间 有零点。
第四章对数运算与对数函数单元整合1。
☉％￥￥￥291＃1％☉（2020·安阳一中高一段考)已知集合A =｛y ｜y =log 2x ,x >1}，B ={y |y =(12)x,x >1}，则A ∩B =（ ）。
A.{y |0<y <12} B 。
｛y |0〈y <1｝C 。
{y |12<y <1}D 。
⌀答案：A解析：由题意,根据对数函数的性质，可得集合A ={y ｜y =log 2x ，x 〉1}=｛y ｜y >0},根据指数函数的性质，可得集合B ={y |y =(12)x,x >1}={y |0<y <12},所以A ∩B ={y |0<y <12}.故选A 。
2。
☉%5*678#＃＠％☉(2020·宜宾高三诊断)若函数f (x )=2a x +m -n （a >0且a ≠1）的图像恒过点(—1，4）,则m +n 等于( ）。
A.3 B.1 C 。
-1 D.—2 答案：C解析：由题意，函数f (x ）=2a x +m -n (a 〉0且a ≠1）的图像恒过点（—1,4)，∴m —1=0且2·a m -1-n =4，解得m =1,n =-2,∴m +n =-1。
故选C. 3.☉％＊＊91￥3＃5%☉(2020·成都七中高一期中）函数f （x )=√x (x -1)-ln x 的定义域为( )。
A 。
｛x |x 〉0｝ B 。
{x |x ≥1｝C 。
{x ｜x ≥1或x <0｝D 。
｛x ｜0<x ≤1} 答案：B解析：∵f（x）有意义,∴{x(x-1)≥0,解得x≥1,∴f（x)的定义域为｛x|xx>0,≥1｝。
故选B.4。
☉％＃9@￥8￥46%☉(2020·成都七中高一期中)已知幂函数f （x)=x a（a是常数）,则（).A.f(x)的定义域为RB.f(x）在（0，+∞)上单调递增C。
4．3.2对数的运算 内 容 标 准学 科 素 养1.理解对数的运算性质.数学抽象、逻辑推理 数学运算 2.知道换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数．3.会用对数运算性质进行对数运算.[教材提炼]知识点一对数的运算性质预习教材，思考问题lg2＋lg5如何计算？lg 110能直接计算吗？ 知识梳理如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a M N＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．知识点二对数换底公式预习教材，思考问题lg N 与ln N 之间有联系吗？知识梳理log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．即log a b ＝1log b a. [自主检测]1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案：D2．log 23·log 32的值为( )A.12B ．1 C.32D ．2 答案：B3．lne 2＝________.答案：24．log 312－log 34＝________.答案：1授课提示：对应学生用书第59页探究一对数运算性质的应用[例1]求下列各式的值：(1)lg52＋lg2×lg50＋(lg2)2；(2)log 2748＋log 212－12log 242； (3)lg5·lg8000＋(lg23)2lg600－12lg0.036－12lg0.1； (4)lg(3＋5＋ 3－5)．[解析](1)原式＝2lg5＋lg2×lg(5×10)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2×lg5＋lg2＋(lg2)2＝2lg5＋lg2×(lg5＋lg2)＋lg2＝2lg5＋lg2＋lg2＝2(lg5＋lg2)＝2.(2)原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12. (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋3lg2＝3(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg361000×110＝lg6＋2－lg 6100＝4. ∴原式＝34. (4)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg10＝12. 1．对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数．2．注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的． 3．对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg5＋lg2＝1”解题．计算：(1)2(lg 2)2＋lg 2×lg5＋ (lg 2)2－lg2＋1； (2)log 535＋2log 122－log 5150－log 514. 解析：(1)原式＝lg 2×(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2×(lg2＋lg5)＋(1－lg 2)＝lg 2＋1－lg 2＝1.(2)原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝3－1＝2. 探究二用换底公式求对数值[例2][教材P 126练习3变式探究](1)计算(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432. [解析](log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432 ＝⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39－log 23214log 212＝(12log 23＋13log 23)⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32＋14log 232＝56log 23×32log 32＋54＝56×32×log 23×log 32＋54＝54＋54＝52. (2)计算(log 43－log 83)(log 32－log 92)．[解析]原式＝(lg3lg4－lg3lg8)(lg2lg3－lg2lg9) ＝(lg32lg2－lg33lg2)(lg2lg3－lg22lg3) ＝lg36lg2×lg22lg3＝112. (3)计算(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．[解析](1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二： 原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13. 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．探究三含附加条件的对数式的求值[例3] (1)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.[解析]因为log 189＝a,18b ＝5，所以log 185＝b ，于是法一：log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 法二：因为lg9lg18＝log 189＝a ，所以lg9＝a lg18， 同理得lg5＝b lg18，所以log 3645＝lg45lg36＝lg (9×5)lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝a lg18＋b lg182lg18－a lg18＝a ＋b 2－a . (2)设3a ＝5b ＝15，求1a ＋1b的值． [解析]∵3a ＝5b ＝15，两边取常用对数，得a lg3＝b lg5＝12lg15， ∴a ＝lg152lg3，b ＝lg152lg5， ∴1a ＋1b ＝2lg3lg15＋2lg5lg15＝2(lg3＋lg5)lg15＝2lg15lg15＝2. 应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．左右两边同时取常用对数．1．将本例(1)改为：已知log 23＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 1456.解析：由已知log 32＝1a，log 37＝b ， log 1456＝log 356log 314＝log 3(23×7)log 3(2×7)＝3log 32＋log 37log 32＋log 37＝3a ＋b 1a＋b ＝3＋ab 1＋ab . 2．将本例(2)变为设2x ＝5y ＝m ，且1x ＋1y＝2，则m ＝( ) A ．±10B.10C ．10D ．100 解析：∵2x ＝5y ＝m ，两边取常用对数．得x ＝log 2m ＝lg m lg2，y ＝log 5m ＝lg m lg5， ∴1x ＋1y ＝lg2＋lg5lg m ＝1lg m＝2， ∴lg m ＝12，∴m ＝1012＝10. 答案：B授课提示：对应学生用书第60页一、对数运算性质及换底公式的拓展变形1．换底公式的意义在于把对数的底数改变，把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．2．几个特殊的对数换底公式的拓展变形(a ＞0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈N *)(1)log a nb n ＝log a b ；(2)log a mb n ＝n mlog a b ； (3)log a b ＝1log b a；(4)log a b ·log b c ＝log a c . [典例]已知f (3x )＝4x log23＋234，求f (2)＋f (4)＋…＋f (28)． [解析]f (3x )＝4x log 23＋234，即f (3x )＝4x log 23＋234，即f (3x )＝4log 23x ＋234，∴f (x )＝4log 2x ＋234.∴f (2)＋f (4)＋…＋f (28)＝(4log 22＋234)＋(4log 24＋234)＋…＋(4log 228＋234)＝8×234＋4(log 22＋log 24＋…＋log 228)＝1872＋4(log 22＋2log 22＋…＋8log 22)＝1872＋144＝2016.二、忽略对数的限制条件导致错误[典例]若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． [解析]因为lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )，所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，所以(x －2y )(x ＋y )＝0，所以x y ＝2或x y＝－1. 因为x ＞0，y ＞0，所以x y ＞0，故舍去x y ＝－1，所以x y＝2. 纠错心得 对数式中，若含字母参数，要注意其有意义的隐含条件，此题易忽略x －y ＞0，x ＋2y ＞0，x ＞0，y ＞0，而出现增解x y ＝－1.。
4.3.2对数的运算必备知识·探新知基础知识知识点1对数的运算性质条件a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0性质log a(MN)＝__log a M＋log a N__log aMN＝__log a M－log a N__log a M n＝__n log a M__(n∈R)思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，log a(MNQ)＝log a M＋log a N＋log a Q，积的对数运算性质可以推广到真数是n 个正数的乘积．知识点2换底公式若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有log a b＝__log c blog c a__.思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log Nn M m＝mn log N M吗？提示：(1)log a b＝lg blg a，log a b＝ln bln a.(2)log N n M m＝lg M mlg N n＝m lg Mn lg N＝mn·lg Mlg N＝mn log N M.基础自测1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是(A)①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log axy＝log a x÷log a y；④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A ． 2．log 62＋log 63等于( A ) A ．1 B ．2 C ．5D ．6[解析] log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝log 66＝1.3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：log 25·log 32·log 59＝__2__. [解析] 原式＝lg5lg2·lg2lg3·lg9lg5＝lg5lg2·lg2lg3·2lg3lg5＝2. 4．求下列各式的值： (1)log 3(27×92)；(2)lg5＋lg2； (3)ln3＋ln 13；(4)log 35－log 315.[解析] (1)方法一：log 3(27×92)＝log 327＋log 392＝log 333＋log 334＝3log 33＋4log 33＝3＋4＝7；方法二：log 3(27×92)＝log 3(33×34)＝log 337＝7log 33＝7. (2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1. (3)ln3＋ln 13＝ln(3×13)＝ln1＝0.(4)log 35－log 315＝log 3515＝log 313＝log 33－1＝－1.关键能力·攻重难题型探究题型一 对数的运算性质的应用例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示：(1)log a (xy 2)；(2)log a (x y )；(3)log a3x yz 2. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y . (2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y .(3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13[log a x －log a (yz 2)] ＝13(log a x －log a y －2log a z )． [归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【对点练习】❶ 用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式： (1)log a (x 3y 5)； (2)log ax yz. [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5 ＝3log a x ＋5log a y . (2)log axyz＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12－(log a y ＋log a z )＝12log a x －log a y －log a z . 题型二 利用对数的运算性质化简、求值例2 化简下列各式： (1)log 2(23×45)； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)log 28＋43＋log 28－43； (5)log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3)．[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析] (1)log 2(23×45)＝log 223＋log 245＝3＋5log 24＝3＋5×2＝13.(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.(3)方法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0. 方法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg14×7(73)2×18＝lg1＝0.(4)log 28＋43＋log 28－4 3＝log 2[(8＋43)(8－43)]＝log 264－48＝log 24＝2.(5)log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3) ＝log 2[(1＋2)2－(3)2]＝log 2(3＋22－3) ＝log 222＝log 2232＝32. [归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则 (1)正用或逆用公式，对真数进行处理．(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 【对点练习】❷ 计算下列各式的值：(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log 327＋lg 25－lg4；(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50. [解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg 254＝32＋lg 110＝32＋lg10－1 ＝32－1＝12.(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10) ＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5) ＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝lg10＝1. 题型三 换底公式的应用例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519；(2)若log 34·log 48·log 8m ＝log 42，求m 的值．[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝lg m lg3＝12，∴lg m ＝12lg3，即lg m ＝lg312 ，∴m ＝ 3.[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a ；log a a n ＝n ，log am b n ＝nmlog a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【对点练习】❸ 计算下列各式的值： (1)log 89·log 2732； (2)log 927；(3)log 21125·log 3132·log 513.[解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1 ＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.误区警示忽视真数大于零致误例4 解方程：log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1. [错解] 原方程变形为log 2(x ＋1)－12log 2(x ＋4)＝1，∴log 2(x ＋1)－log 2x ＋4＝1，∴log 2x ＋1x ＋4＝log 22， ∴x ＋1x ＋4＝2，∴x 2－2x －15＝0，∴x ＝－3或x ＝5， 故原方程的解为x ＝－3或x ＝5.[错因分析] 解题过程中忽视对数log a N 中真数N 必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解] ∵log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1， ∴log 4(x ＋1)2x ＋4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＋1>0，x＋4>0，(x＋1)2x＋4＝4，解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.[方法点拨]在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力例5 (1)设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值；(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.[分析](1)欲求2x＋1y的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log a n b m＝mn log a b，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．[解析](1)由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝log3636log363＝1log363，y＝log3636log364＝1log364，∴1x＝log363，1y＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log 1256＝log 2a ＋223＋ab ＝3＋aba ＋2. 解法二：因为log 23＝a ，所以log 32＝1a .又3b ＝7，所以log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a ＝ab ＋3a ＋2.[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．课堂检测·固双基1．2log 510＋log 50.25的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4[解析] 原式＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝log 552＝2.2．(2019·北京丰台区高一期末测试)lg25＋lg4＋(19)－12的值为( B )A ．73B ．5C ．313D ．13[解析]原式＝lg(25×4)＋(3－2)－12＝lg100＋3 ＝2＋3＝5.3.12log 612－log 62＝__12__. [解析] 原式＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12. 4．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log 222； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋32log 32＋log 32)＝53log 23×92log 32＝152.。
章末综合测评(四) 对数运算与对数函数(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x >1}，则A ∩B ＝( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0<y <12 B ．{y |0<y <1} C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪12<y <1 D ．∅A [∵A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0<y <12. ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪0<y <12.] 2．函数y ＝log 12()5x －3的定义域是( ) A ．⎝⎛⎭⎫35，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫35，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．RA [要使函数有意义则5x －3＞0， ∴x ＞35，函数的定义域为⎝⎛⎭⎫35，＋∞.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，ln x ，x >1，那么f (ln 2)的值是( )A ．0B ．1C ．ln (ln 2)D ．2 B [∵0<ln 2<1，∴f (ln 2)＝e ln 2－1＝2－1＝1.] 4．函数f (x )＝2||log 2 x 的图象大致是( )A B C DC [∵f (x )＝2||log 2 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1∴选C.]5．0.32，log 20.3，20.3三个数的大小关系为( ) A ．0.32＜20.3＜log 20.3B ．0.32＜log 20.3＜20.3C ．log 20.3＜0.32＜20.3D ．log 20.3＜20.3＜0.32C [0.32＝0.09，log 20.3＜0，20.3＞1，∴log 20.3＜0.32＜20.3.]6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)C [当x 0≥2时，∵f (x 0)>1，∴log 2(x 0－1)>1， 即x 0>3；当x 0<2时，由f (x 0)>1得⎝⎛⎭⎫12x 0－1>1，⎝⎛⎭⎫12x 0>⎝⎛⎭⎫12－1， ∴x 0<－1.∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞).]7．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0，10]，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．10 C ．1D ．110C [由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0，10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ，又当0<x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.]8．设x 、y 、z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5zD [令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ∴2x 3y ＝2lg k lg 2·lg 33lg k ＝lg 9lg 8>1，则2x >3y ， 2x 5z ＝2lg k lg 2·lg 55lg k ＝lg 25lg 32<1，则2x <5z ，故选D.] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值不可能是( )A ．14B ．12C ．2D ．4ACD [当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝12(舍去).当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＝－1，a ＝12.]10．函数f (x )＝2x ＋log a (x ＋1)＋3不过点为( ) A ．(0，3) B ．(0，4) C ．⎝⎛⎭⎫－1，72 D ．(－1，4)ACD [当x ＝0时，log a 1＝0，所以此时函数值f (0)＝4，故恒过定点(0，4).] 11．设函数f (x )＝log 12x ，下列四个命题正确的是( )A ．函数f (|x |)为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|其中a >0，b >0，a ≠0，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1，3)上为单调递增函数D ．若0<a <1，则|f (1＋a )|<|f (1－a )| ABD [f (x )＝log 12x ，x >0.函数f (|x |)＝log 12|x |，∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)为偶函数，A 正确；若f (a )＝|f (b )|其中a >0，b >0，∵a ≠b ， ∴f (a )＝|f (b )|＝－f |b |，∴log 12a ＋log 12b ＝log 12(ab )＝0，∴ab ＝1.因此B 正确．函数f (－x 2＋2x )＝log 12(－x 2＋2x )＝log 12[－(x －1)2＋1]，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，∴函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C 不正确；若0<a <1，∴1＋a >1－a ，∴f (1＋a )<0<f (1－a )，故|f (1＋a )|－|f (1－a )|＝－f (1＋a )－f (1－a )＝－log 12(1－a 2)<0，则|f (1＋a )|<|f (1－a )|，因此D 正确．故选ABD.]12．关于函数f (x )＝|ln |2－x ||下列描述正确的有( ) A ．函数f (x )在区间(1，2)上单调递增 B ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称 C ．若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4 D ．函数f (x )有且仅有两个零点ABD [函数f (x )＝|ln |2－x ||的图象如下图所示：由图可得：函数f (x )在区间(1，2)上单调递增，A 正确； 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确； 若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4，C 错误； 函数f (x )有且仅有两个零点，D 正确． 故选ABD.]三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上． 13．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝________．(用a ，b 表示) ab [由于log 37＝log 27log 23＝b ，又log 23＝a ，所以log 27＝ab .]14．若1m ＝log 35，，则5m ＋5－m 的值为________．103 [∵m log 35＝1，∴m ＝1log 35＝log 53， ∴5m ＋5－m ＝5log53＋5－log53＝3＋5log 513＝3＋13＝103.]15．如图所示，四条曲线分别是：y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与0，1的大小关系是________．0<c <d <1<a <b [画一条直线y ＝1，与图象的四个交点横坐标从左到右依次是c <d <a <b .] 16．已知函数f (x )的图象与函数g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列命题：①h (x )的图象关于原点(0，0)对称； ②h (x )的图象关于y 轴对称； ③h (x )的最小值为0；④h (x )在区间(－1，0)上单调递增．其中正确的是________．(把正确命题的序号都填上) ②④ [∵f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于y ＝x 对称， ∴两者互为反函数，f (x )＝log 2x (x >0)， ∴h (x )＝f (1－|x |)＝log 2(1－|x |).又h (－x )＝h (x )，∴h (x )＝log 2(1－|x |)为偶函数，故h (x )的图象关于y 轴对称，∴②正确，而①不正确． ∵当1－|x |的值趋近于0时，h (x )的函数值趋近于－∞， ∴h (x )的最小值不是0，∴③不正确． 设－1<x 1<x 2<0，则1－|x 2|>1－|x 1|， 又∵y ＝log 2x 是单调增函数，∴log 2(1－|x 2|)>log 2(1－|x 1|)，∴h (x 2)>h (x 1)，∴h (x )在区间(－1，0)上单调递增，∴④正确．] 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258). [解] 原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25 ＝13.18．(本小题满分12分)已知x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z . (1)求使2x ＝py 的p 的值； (2)求证：12y ＝1z －1x.[解] (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ， 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(ax 2＋2x ＋1). (1)当a ＝0，2时，分别求函数的定义域和值域； (2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝log 2(2x ＋1). 由2x ＋1>0，得x >－12，此时f (x )∈R .当a ＝2时，f (x )＝log 2(2x 2＋2x ＋1)＝log 2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12， ∵2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥12对一切x ∈R 都成立， 故f (x )≥－1.故当a ＝0时，f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，值域为R ； 当a ＝2时，f (x )的定义域为R ，值域为[－1，＋∞). (2)f (x )的定义域为R ⇔ax 2＋2x ＋1>0对任意x ∈R 恒成立．由上述可知a ≠0，依题意，得⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1.∴当a ∈(1，＋∞)时，f (x )的定义域为R .20．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a (a －a x )(a ＞1)， (1)求f (x )的定义域、值域； (2)判断f (x )的单调性，并证明．[解] (1)为使函数有意义，需满足a －a x ＞0，即a x ＜a ，又∵a ＞1，∴x ＜1，故定义域为(－∞，1).又∵log a (a －a x )＜log a a ＝1， ∴f (x )＜1，即函数值域为(－∞，1).(2)证明：在(－∞，1)上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2， f (x )在(－∞，－1)为减函数，f (x 1)－f (x 2)＝log a (a －ax 1)－log a (a －ax 2)＝log a a －ax 1a －ax 2，∵a ＞1，x 1＜x 2＜1，∴ax 1＜ax 2＜a ，∴0＜a －ax 2＜a －ax 1，∴a －ax 1a －ax 2＞1，∴log a a －ax 1a －ax 2＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，1)上为减函数．21．(本小题满分12分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m ，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y ＝12log 3x 100，单位是m/s ，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；(3)若鲑鱼A 的游速大于鲑鱼B 的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由． [解] (1)令x ＝8 100，代入函数关系式，得y ＝12log 381＝12×4＝2，即游速是2 m/s.(2)令y ＝0，得12log 3x 100＝0，即x100＝1，x ＝100，所以一条鲑鱼静止时耗氧量为100个单位．(3)设鲑鱼A 的游速为y A ，耗氧量的单位数为x A ，鲑鱼B 的游速为y B ，耗氧量的单位数为x B .由y A ＞y B ，得12log 3x A 100＞12log 3x B100，即log 3x A ＞log 3x B ，x A ＞x B ， 所以鲑鱼A 的耗氧量较大．22．(本小题满分12分)已知a >0且a ≠1，f (log a x )＝aa 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1，1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )<0，求m 的取值范围． [解] (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1(a t－1a t )，所以f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(x ∈R ).(2)因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，且x ∈R ，所以f (x )为奇函数．当a >1时，a x －a －x 为增函数，并且注意到aa 2－1>0，所以这时f (x )为增函数．当0<a <1时，类似可证f (x )为增函数． 所以f (x )在R 上为增函数．(3)因为f (1－m )＋f (1－2m )<0，且f (x )为奇函数，所以f (1－m )<f (2m －1). 因为f (x )在(－1，1)上为增函数． 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<2m －1<1，1－m <2m －1.解之，得23<m <1，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，1.。
新版高一数学必修第一册第四章全部配套练习题（含答案和解析）4.1 指 数基 础 练巩固新知 夯实基础1．下列各式中正确的个数是( )①n a n ＝(na )n ＝a (n 是奇数且n >1，a 为实数)； ②n a n ＝(na )n ＝a (n 是正偶数，a 是实数)； ③3a 3＋b 2＝a ＋b (a ，b 是实数)． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．化简3a a 的结果是( )A ．aB ．a 21 C ．a2 D ．a 31 3.4(－2)4运算的结果是( ) A ．2B ．－2C ．±2D ．不确定4.614－ 3338＋30.125的值为________． 5．化简(π－4)2＋3(π－4)3的结果为________． 6．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 7．写出使下列各式成立的x 的取值范围： (1) 3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3； (2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.8．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)； (2)计算：221-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·832.能 力 练综合应用 核心素养9．下列各式成立的是( ) A.3m 2＋n 2＝(m ＋n )32B ．(ba )2＝a 21b 21C.6(－3)2＝(－3)31D.34＝23110．x －2＋x 2＝22且x >1，则x 2－x－2的值为( )A ．2或－2B ．－2 C. 6 D ．2 11.设a 21－a21-＝m ，则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 212．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1 D.x x －113．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则a22yx +＝________.14．已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是________．(只填式子的序号即可)15．若代数式2x －1＋2－x 有意义，化简4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4.16．根据已知条件求下列值：(1)已知x ＝12，y ＝23，求x ＋y x －y －x －y x ＋y 的值；(2)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值．【参考答案】1. B 解析 对①，由于n 是大于1的奇数，故①正确；对①，由于n 是偶数，故na n 中a 可取任意实数，而(na )n 中a 只能取非负数，故①错误；对①，b 2＝|b |，故结果错误． 2. B 解析 原式＝321aa ＝323a ＝a 21. 3. A 解析 根据根式的性质得4－24＝|－2|＝2，选A.4. 32解析 原式＝f(522)－ 错误!＋ 错误! ＝错误!－错误!＋错误!＝错误!.5. 0 解析 原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.6. 1 解析 ①x <0，①原式＝－x －(－x )＋－x－x ＝－x ＋x ＋1＝1.7. 解 (1)由于根指数是3，故1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3.(2)①x －5x 2－25＝x －52x ＋5＝(5－x )x ＋5，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0x －5≤0，①－5≤x ≤5.8.解 (1)原式＝[xy 2·(xy －1) 21]31·(xy )21·(xy )－1＝x 31·y 32|x |61|y |61-·|x |21-·|y |21-＝x 31·|x |31-＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0－1， x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 9. D 解析 被开方数是和的形式，运算错误，A 选项错；(b a )2＝b 2a 2，B 选项错；6－32>0，(－3)31<0，C 选项错．故选D.10.D 解析因为x －2＋x 2＝22且x >1，所以x 2>x －2，x 2－x －2>0，故x 2－x －2＝x 2＋x－22－4＝8－4＝2.11. C 解析 将a 21－a 21-＝m 平方得(a 21－a21-)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a＝m 2＋2①a 2＋1a＝m 2＋2. 12. D 解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b ＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.13. 9 5 解析 a22yx +＝(a x )2·(a y )21＝32·521＝9 5.14. ① 解析 ①中，(－2)2n >0，①6－22n 有意义；①中，根指数为5，①5a 2有意义；①中，(－3)2n ＋1<0，①6－32n ＋1没有意义；①中，根指数为9，①9－a 4有意义．15.解 由2x －1＋2－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即12≤x ≤2.故4x 2－4x ＋1＋24x －24＝2x －12＋24x －24＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3.16.解 (1)x ＋y x －y －x －yx ＋y＝错误!－错误!＝错误!. 将x ＝12，y ＝23代入上式得：原式＝4 12×2312－23＝413－16＝－2413＝－83； (2)①a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，①⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6ab ＝4，①a >b >0，①a >b . ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， ①a －ba ＋b＝15＝55.4.2 第1课时 指数函数及其性质基 础 练巩固新知 夯实基础1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；①y ＝a x (a >0，且a ≠1)；①y ＝1x；①y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个2．当x ①[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( )A ．(－89，8]B ．[－89，8]C ．(19，9)D ．[19，9]3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)4．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )5．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________．7.函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域是(－∞，0]，求实数a 的取值范围.8．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．能 力 练综合应用 核心素养9．函数y ＝5－|x |的图象是( )10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．311.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <012．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 14．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________． 15．求函数y ＝(12)x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域．16．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2×3x ＋1－9x 的最大值和最小值．【参考答案】1. B 解析 由指数函数的定义可判定，只有①正确．2. A 解析 y ＝3－x －1，x ①[－2,2)上是减函数，①3－2－1＜y ≤32－1，即－89＜y ≤8.3. C 解析 由2x －1≥0，得2x ≥20，①x ≥0.4. A 解析 当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.5. (5,2) 解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．6. (－1,0)①(0,1) 解析 由x <0，得0<2x <1；由x >0，①－x <0,0<2－x <1，①－1<－2－x <0，①函数f (x )的值域为(－1,0)①(0,1)．7.解 由题意，当x ≤0时，a x ≥1，所以0<a <1，故实数a 的取值范围是0<a <1. 8.解 (1)①f (x )的图象过点(2，12)，①a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝(12)x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＜(12)x －1≤(12)－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]． 9. D 解析 当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x ＝(15)x ，又原函数为偶函数，故选D.10. A 解析 依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2，①2x ＞0，①a ≤0，①f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3，所以选A.11. D 解析 从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x(0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 12. 1 解析 由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.13. 7 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7 14. a ≥1或a ＝0 解析 作出y ＝|2x －1|的图象，如图， 要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，①a ≥1或a ＝0.15. 解 令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝(12)t ，又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，①0≤x ≤3，①当x ＝1时，t min ＝1，当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，①(12)5≤y ≤(12)1，故所求函数的值域[132，12]．16. 解 设t ＝3x ，①－1≤x ≤2，①13≤t ≤9，则f (x )＝g (t )＝－(t －3)2＋12，故当t ＝3，即x ＝1时，f (x )取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，f (x )取得最小值－24.4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用基 础 练巩固新知 夯实基础1．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)2．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 3．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋14．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.325．函数y ＝12221-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)6．满足方程4x ＋2x －2＝0的x 值为________． 7.比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4； (3)1.90.4与0.92.4.8．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．能 力 练综合应用 核心素养9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23 10．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]11．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数12．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C .174 D ．a 213．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的关系为( ) A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________________．15．函数y ＝32x ＋2·3x －1，x ①[1，＋∞)的值域为______________．16．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．17. 已知f (x )＝x (12x －1＋12)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (3)求证：f (x )>0.18. 已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)若对于任意t ①R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的范围．【参考答案】1. B 解析 ①函数y ＝(12)x 在R 上为减函数，①2a ＋1>3－2a ，①a >12.2. B 解析 由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.故选B. 3. D 解析 由题意知f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，－x >0，则f (－x )＝e －x －1＝－f (x )，得f (x )＝－e －x ＋1.故选D.4. C 解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.5. C 解析 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t 为关于t 的减函数，所以0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．6. 0 解析 设t ＝2x (t >0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0，①t ＝1或t ＝－2.①t >0，①t ＝－2舍去．①t ＝1，即2x ＝1，①x ＝0. 7.解 (1)①y ＝0.7x 在R 上为减函数，又①－0.3>－0.4，①0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y ＝2.5x 与y ＝1.2x 的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)①1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，①1.90.4>0.92.4. 8. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数， ①f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，故当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 9. B 解析 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1，故选B.10. B 解析 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 11. A 解析 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x >2时，f (x )>1，所以当t <0时，a t >1.所以0<a <1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.12. B 解析 ①f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，①由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，① ①＋①，得g (x )＝2，①－①，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，①a ＝2，①f (x )＝2x －2－x ，①f (2)＝22－2－2＝154.13. D 解析 ①0<5－12<1，①f (x )＝a x ＝(5－12)x，且f (x )在R 上单调递减，又①f (m )>f (n )，①m <n . 14.(－∞，－1) 解析 ①f (x )是定义在R 上的奇函数，①f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ①①；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ①(－∞，－1)．15.[14，＋∞) 解析]令3x ＝t ，由x ①[1，＋∞)，得t ①[3，＋∞)．①y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.故所求函数的值域为[14，＋∞)．16. 4 解析 经过第一次漂洗，存留量为总量的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝⎛⎭⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫143，…，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝⎛⎭⎫14x ，故解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫14x .由题意，⎝⎛⎭⎫14x ≤1100，4x ≥100,2x ≥10，①x ≥4，即至少漂洗4次． 17. (1)解 由于2x －1≠0和2x ≠20，故x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x ①R |x ≠0}． (2)解 函数f (x )是偶函数．理由如下：由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，因为f (x )＝x (12x －1＋12)＝x 2·2x ＋12x －1，所以f (－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝－x 2·2－x ＋1·2x 2－x－1·2x＝－x 2·1＋2x 1－2x ＝x 2·2x ＋12x －1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明 由(2)知f (x )＝x 2·2x ＋12x －1.对于任意x ①R ，都有2x ＋1>0，若x >0，则2x>20，所以2x－1>0，于是x 2·2x ＋12x －1>0，即f (x )>0，若x <0，则2x<20，所以2x－1<0，于是x 2·2x ＋12x －1>0，即f (x )>0，综上知：f (x )>0.18.解 (1)①f (x )为R 上的奇函数，①f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.(2)任取x 1，x 2①R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝122112212211+--+-x x x x ＝)12)(12()12)(21()12)(21(211221+++--+-x x x x x x ＝)12)(12()22(22112++-x x x x ①x 1＜x 2，①1222xx-＞0，又(12x＋1)(22x＋1)＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0①f (x )为R 上的减函数．(3)①t ①R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，①f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k ) ①f (x )是奇函数，①f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)，①f (x )为减函数，①t 2－2t ＞k －2t 2. 即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3(t －13)2－13≥－13.①k ＜－13.4.3.1 对数的概念基 础 练巩固新知 夯实基础1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；①ln(ln e)＝0；①若10＝lg x ，则x ＝10；①若e ＝ln x ，则x ＝e2.其中正确的是( ) A.①① B.①① C.①① D.①①2.ln e 等于( )A.0B.12 C.1 D.2 3.已知log x 16＝2，则x 等于( )A.±4B.4C.256D.2 4.若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)＝________. 5.＝________.6.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. (1)35＝243；(2)2－5＝132； (3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.7.已知6a ＝8，试用a 表示下列各式. ①log 68；①log 62；①log 26.8.求下列各式中的x 的值.(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23； (3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0；能 力 练综合应用 核心素养9.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( )A.107B.710C.1049D.491010.1)log (3t -= 等于( )A.－2B.－4C.2D.411.已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则ab 的值为( ) A.1 B.－1 C.5D.1512.方程3log 2x ＝127的解是________. 13.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________.14.求32log 92log 3223-++的值.15.若x ＝log 43，求(2x －2－x )2的值.16.已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x.【参考答案】1.C 解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①①正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故①错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故①错误.2. B 解析 设ln e ＝x ，则e x＝e ＝12e ，①x ＝12.3. B 解析 ①log x 16＝2，①x 2＝16，①x ＝±4，注意到x >0，①x ＝4.4. 1 解析 由log 3(a ＋1)＝1得a ＋1＝3，即a ＝2，所以log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 21＝1＋0＝1.5. 8 解析 设t =，则(3)t ＝81,4233t =，t2＝4，t ＝8.6.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)⎝⎛⎭⎫13－4＝81；(4)27＝128. 7.解 ①log 68＝a .①由6a＝8得6a＝23，即362a = ，所以log 62＝a3.①由362a =得326a= ，所以log 26＝3a .8.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，①x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，①x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，①x ＝(3＋22)－12＝2－1. (4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.①x ＝21＝2. 9. A 解析 3a －b ＝3a ÷3b ＝3log 310÷3log 37＝10÷7＝107.10. A 解析 3－22＝2－22＋1＝(2)2－22＋12＝(2－1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝(2＋1)－2.设1)log (3t -=，则(2＋1)t＝3－22＝(2＋1)－2，①t ＝－2. 11. A 解析 由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故ab ＝1. 12. 18 解析 3log 2x ＝3－3，①log 2x ＝－3，x ＝2－3＝18.13. －3 解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2，解得x ＝0或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 故x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3.14.解 32232log 92log 3log 322log 9323223-++=⨯+＝4×3＋99＝12＋1＝13.15. 解析 (2x －2－x )2＝(2x )2－2＋(2－x )2＝4x ＋14x －244log 3log 31424=+- ＝3＋13－2＝43.16.解 由x ＝log 23，得2x ＝3，①2－x ＝12x ＝13，①23x ＝(2x )3＝33＝27,2－3x ＝123x ＝127， ∴23x－2－3x2x －2－x＝27－1273－13＝272－13×27－9＝72872＝919.4.3.2 对数的运算基 础 练巩固新知 夯实基础1．若a>0，且a≠1，则下列说法正确的是( )A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a NB ．若log a M ＝log a N ，则M ＝NC ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝ND ．若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2 2.log 29log 23＝( ) A.12B ．2 C.32 D.923．(多选题)下列等式不成立的是( )A ．ln e ＝1B ．13a 2＝a －23C ．lg(MN )＝lg M ＋lg ND ．log 2(－5)2＝2log 2(－5)4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a)2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －15．计算：2713 ＋lg4＋2lg5－e ln3＝__ __.6．lg 5＋lg 20的值是________．7．若log a b·log 3a ＝4，则b 的值为________．8．溶液的酸碱度是通过pH 刻画的，已知某溶液的pH 等于－lg[H ＋]，其中[H ＋]表示该溶液中氢离子的浓度(单位：mol/L)，若某溶液的氢离子的浓度为10－5 mol/L ，则该溶液的pH 为__ __.9．已知log a 2＝m ，log a 3＝n .(1)求a 2m－n的值；(2)求log a 18.能 力 练综合应用 核心素养10．若ab>0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga ＋lgb; ①lg ab ＝lga －lgb ；①12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ；①lg(ab)＝1log ab 10. 其中一定成立的等式的序号是( )A ．①①①①B ．①①C ．①①D ．①11．已知2a ＝5b ＝M ，且2a ＋1b＝2，则M 的值是( )A ．2B ．2 5C ．±25D ．40012．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．3B ．8C ．4D ．log 4813．若x log 34＝1，则4x ＋4－x 的值为( )A ．83B ．103 C ．2D ．114．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( ) A ．2a ＋b 1＋a ＋b B ．2a ＋2b 1＋a ＋b C ．2a ＋b 2－a ＋b D ．2a ＋b1－a ＋b15．(多选题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a16．lg 52＋2lg2－(12)－1＝__ __.17．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝_ _. 18．求下列各式的值：(1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)； (3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.19．设a ，b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(log a b ＋log b a)的值．【参考答案】1. B [解析] 在A 中，当M ＝N≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M>0，N>0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2＝log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2＝N 2，即|M|＝|N|，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M≠N ，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立，故D 错误．2. B [解析] 原式＝log 29log 23＝log 232log 23＝2.3.CD [解析] 根据对数式的运算，可得ln e ＝1，故A 成立；由根式与指数式的互化可得13a 2＝a －23 ，故B 成立；取M ＝－2，N ＝－1，发现C 不成立；log 2(－5)2＝log 252＝2log 25， 故D 不成立，故选CD ．4. A [解析] ①a ＝log 32，①log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5. 2 [解析] 2713 ＋lg4＋2lg5－e ln3＝(33)13 ＋(lg4＋lg25)－e ln3＝3＋2－3＝2. 6. 1 [解析] lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg10＝1.7. 81 [解析] log a b·log 3a ＝lgb lga ·lga lg3＝lgblg3＝4，所以lgb ＝4lg3＝lg34，所以b ＝34＝81.8. 5 [解析] 由题意可知溶液的pH 为－lg[H ＋]＝－lg10－5＝5.9. [解析] (1)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝2，a n ＝3.所以a 2m －n ＝a 2m ÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .10. D [解析] ①ab>0，①a>0，b>0或a<0，b<0，①①①中的等式不一定成立；①ab>0，①a b >0，12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝12×2lgab ＝lg ab ，①①中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab)＝0，但log ab 10无意义，①①中等式不成立．故选D.11. B [解析] ①2a ＝5b ＝M ，①a ＝log 2M ＝lg M lg2，b ＝log 5M ＝lg Mlg5，①1a ＝lg2lg M ，1b ＝lg5lg M ，①2a ＋1b ＝2lg2lg M ＋lg5lg M ＝lg4＋lg5lg M ＝lg20lg M ＝2， ①2lg M ＝lg20，①lg M 2＝lg20，①M 2＝20，①M >0，①M ＝2 5.12. A [解析] x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 49＋log 4(83)2＝log 4(9×649)＝log 464＝3，故选A ．13.B [解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x ＝3＋13＝103，故选B ．14. D [解析]lg12lg15＝lg3＋2lg2lg3＋1－lg2＝2a ＋b 1－a ＋b. 15. AD [解析] 由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，①a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c ＝log M 9，①log M 4＋log M 9＝2log M 6，①1c ＋1a ＝2b，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac ，故选AD ． 16. -1 [解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52＋lg4－2＝－1. 17. 1 [解析] ①log a x ＝1log x a ＝2，①log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13. ①log (abc )x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 18.[解] (1)①2log 525＝2log 552＝4log 55＝4，3log 264＝3log 226＝18log 22＝18，①2log 525＋3log 264＝4＋18＝22.(2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg10＝12. (3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.19.[解] 原方程可化为2(lgx)2－4lgx ＋1＝0.设t ＝lgx ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，①t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又①a ，b 是方程2(lgx)2－lgx 4＋1＝0的两个实根，①t 1＝lga ，t 2＝lgb ，即lga ＋lgb ＝2，lga·lgb ＝12. ①lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝(lga ＋lgb)·⎝⎛⎭⎫lgb lga ＋lga lgb ＝(lga ＋lgb)·(lgb )2＋(lga )2lga·lgb＝(lga ＋lgb)·(lga ＋lgb )2－2lga·lgblga·lgb ＝2×22－2×1212＝12， 即lg(ab)·(log a b ＋log b a)＝12.。
