吉林省实验中学2013-2014学年高三上学期第四次阶段检测数学(理)试题(含答案)

立体几何三视图及体积表面积的求解一、空间几何体与三视图1. （吉林省实验中学2013—2014年度高三上学期第四次阶段检测）一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）A B C D【答案】C【解析】正视图是含有一条左下到右上实对角线的矩形；侧视图是含有一条从左上到右下的实对角线的矩形，故选C2. (广州2014届高三七校第二次联考)如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（ ） A ．圆锥B ．三棱锥C ．三棱柱D ．三棱台【答案】C【解析】由三视图知，这是一个横放的三棱柱3.（黄冈中学2014届高三十月月考数学试卷）如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（ ）【答案】：D【解析】为。

4. （江西省稳派名校学术联盟2014届高三12月调研考试）如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为，则主视图中三角形的高x 的值为（ ）212 2A32B32 C22 D2A. B. C. 1 D.【答案】C 【解析】5.（石家庄2014届高三第一次教学质量检测）用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形 （2）梯形 （3）直角三角形 （4）矩形 【答案】（1）（2）（4） 【解析】6.（黄冈中学2014届高三十月月考数学试卷）一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ．【答案】123432【解析】：设底面的等腰直角三角形的腰长为，则侧棱长也为，则，解得，则其，宽为。

二、空间几何体的体积和表面积1.（湖北省黄冈中学2014届高三数学（文）期末考试）某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A ．48 B ．56 C ．64 D ．72【答案】C【解析】该组合体由两个棱柱组成，上面的棱柱体积为24540创=，下面的棱柱体积为46124创=，故组合体的体积为642.（四川省泸州市2014届高三数学第一次教学质量诊断性考试）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ） A ．B ．C ．D ．a a 3142V a ==2a =2=3. （2014年福建宁德市普通高中毕业班单科质量检查）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A．8+B．10C．8+．123. （承德市联校2013-2014年第一学期期末联考）把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，连结AC，得到三棱锥C-ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（）A．32B．12C．1 D．22【答案】B【解析】由两个视图可以得到三棱锥如图：其侧视图的面积即t R ACEV的面积，由正方形的边长为2得==1AE CE，故侧视图面积为125.（安徽省六校教育研究会2014届高三2月联考）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）（A) （B）（C）（D）8【答案】D【解析】由三视图可得三棱锥如图所示：底面是边长为4的正三角形，AD BDC ^平面，故四个面的面积中，最大的面积是ABC V 的面积为142创4. （宁夏银川一中2014届高三年级月考）如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）A ．2+3．2+2．8+5．6+3【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和侧棱垂直于底面的三棱柱组成的组合体，该几何体的表面积．5. （湖南省2014届高三第五次联考数学）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A. 16pB. 4pC. 8pD. 2pπ+π+π+π+1212(1)2S ππ=⨯⨯++32π=+7.（西安铁一中2014届高三11月模拟考试试题）一个几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积是（ ）A. B.【答案】B【解析】由三视图知：该几何体为长方体，长方体的棱长分别为3、4、5，所以长方体的体对角线为，所以外接球的半径为，所以外接球的表面积为。

吉林省实验中学2013~2014学年度高三上学期阶段检测（四）化学试题命题人：曹子阳审题人：张琼可能用到的相对原子质量：H-1,C-12,N-14,O-16,Na-23,Al-27, S-32,Cl-35.5,K-39,Ca-40，Mn-55，Fe-56 ，Cu-64,Br-80，Ag-108 ,I-127一、单项选择题（每题2分，共40分）1．某元素只存在两种天然同位素，且在自然界它们的含量相近，其相对原子质量为152.0，原子核外的电子数为63。

下列叙述中错误的是()A．它是副族元素B．它是第六周期元素C．它的原子核内有63个质子D．它的一种同位素的核内有89个中子2．右图中每条折线表示元素周期表中第ⅣA～ⅦA族中的某一族元素氢化物的沸点变化。

每个小黑点代表一种氢化物，其中a点代表的是()A．H2Se B．GeH4C．AsH3D．HBr考点：考查元素周期律与分子间作用力有关问题。

3.X、Y、Z为同一短周期中的元素，其原子半径依次减小，它们的最高价氧化物对应水化物之间，任意两种混合均可反应，M为Y、Z形成的化合物，其溶液显酸性。

下列说法正确的是()A．其简单离子的半径依次增大B．将M溶液加热蒸干并灼烧，最后可得Y的氧化物C．X燃烧的产物中只含离子键D．将少量X单质投入到M溶液中，会置换出Y单质4. 铁镍蓄电池又称爱迪生电池，放电时的总反应为Fe＋Ni2O3＋3H2O=Fe(OH)2＋2Ni(OH)2，下列有关该电池的说法不正确的是()A．电池的电解液为碱性溶液，正极为Ni2O3、负极为FeB．电池放电时，负极反应为Fe＋2OH－－2e－=Fe(OH)2C．电池充电过程中，阴极附近溶液的pH降低D．电池充电时，阳极反应为2Ni(OH)2＋2OH－－2e－===Ni2O3＋3H2O5．用惰性电极电解400 mL一定浓度的硫酸铜溶液(不考虑电解过程中溶液体积的变化)，通电一段时间后，如果向所得的溶液中加入0.05 mol Cu2(OH)2CO3后，使溶液恰好恢复到电解前的浓度和体积(不考虑CO2的溶解)，电解过程中转移的电子物质的量为（）A．0.2 mol B．0.3molC．0.4 mol D．0.6 mol6. 如图所示是验证氯气性质的微型实验，a、b、d、e是浸有相关溶液的滤纸。

模块综合质量测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．[2013·长春外国语高一模拟]tan(－300°)的值为( ) A. 33 B. －33 C. 3D. － 3[解析] tan(－300°)＝－tan300°＝－tan(360°－60°) ＝tan60°＝ 3. [答案] C2．若tan(α－3π)>0，sin(－α＋π)<0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由已知得tan α>0，sin α<0，∴α在第三象限． [答案] C3．设角α的终边过点P (－4,3)，则2sin α＋cos α的值是( ) A.25 B.25或－25 C ．－25D ．－34[解析] ∵sin α＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25. [答案] A4．下列命题中正确的是( ) A ．若λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0 B ．若a ·b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |D ．若a ⊥b ，则a ·b ＝(a ·b )2[解析] 根据平面向量基本定理，必须在a ，b 不共线的情况下，若λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0；选项B 显然错误；若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |或－|a |，平行时分两向量所成的角为0°和180°两种；a ⊥b ⇒a ·b ＝0，(a ·b )2＝0.[答案] D5．若3OC →－2OA →＝OB →，则( ) A.AC →＝13AB → B.AC →＝23AB → C.AC →＝－13AB →D.AC →＝－23AB →[解析] 原式化为3(OC →－OA →)＝OB →－OA →， ∴3AC →＝AB →，AC →＝13AB →. [答案] A6．[2013·哈师大附中高一月考]若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|≤π2)的图象如下图所示，则函数f (x )＝( )A. sin(2x －π6)B. sin(x ＋π6)C. sin(2x ＋π6) D. sin(x －π6)[解析] 由图知A ＝1，T 4＝π6＋π12＝π4， ∴T ＝π，ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． ∴f (π6)＝sin(2×π6＋φ)＝1， 即π3＋φ＝2k π＋π2，(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∵|φ|≤π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin(2x ＋π6)． [答案] B7．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值[解析] 令t ＝sin x ，t ∈(0,1]，则函数f (x )＝sin x ＋asin x (0<x <π)的值域为函数y ＝1＋a t ，t ∈(0,1]的值域．又a >0，所以y ＝1＋at ，t ∈(0,1]是一个减函数，故选B.[答案] B8．[2013·吉林实验高一联考]若f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋a ，对任意实数x 都有f (π3＋x )＝f (π3－x )，且f (π3)＝－4，则实数a 的值等于( )A. －1B. －7或－1C. 7或1D. ±7[解析] 由f (π3＋x )＝f (π3－x )，得 f (x )的图象关于直线x ＝π3对称． ∴2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝k π－π6(k ∈Z )． ∵f (π3)＝－4，∴f (π3)＝3sin(2×π3＋φ)＋a ＝3sin(2π3＋k π－π6)＋a ＝3sin(k π＋π2)＋a ＝3cos k π＋a ＝－4.当k 为奇数时，－3＋a ＝－4，得a ＝－1； 当k 为偶数时，3＋a ＝－4，得a ＝－7. [答案] B9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)且a ≠±b ，那么a ＋b 与a －b 的夹角大小为( )A.π3B.π6C.π2D ．π[解析] ∵|a |＝1，|b |＝1，∴|a |＝|b |，∴(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0. ∴夹角为π2. [答案] C10．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( )A ．－6B ．6C ．－145D.145[解析] a ·b ＝1×2×cos60°＝1，∵c ⊥d ，∴c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －b )＝2k a 2－2a ·b ＋3k a ·b －3b 2＝2k －2＋3k －12＝0，∴k ＝145.[答案] D11．已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB →＝m ＋n ，AC →＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD →|＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 由题意知：|AD →|＝12|AB →＋AC →|＝12|2m －2n |＝|m －n |＝|m －n |2＝|m |2＋|n |2－2|m ||n |cos π6＝1.[答案] A12．已知f (x )＝sin(x ＋π2)，g (x )＝cos(x －π2)，则下列结论中正确的是( )A ．函数y ＝f (x )g (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值为1C ．将y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得y ＝g (x )的图象 D ．将y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得y ＝g (x )的图象 [解析] f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ，g (x )＝cos(x －π2)＝sin x ，故只能选D.[答案] D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．)13．设向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,2)，若a ＋λb 与a 垂直，则实数λ＝__________.[解析] 若a ＋λb 与a 垂直，则(a ＋λb )·a ＝0，即a 2＋λa ·b ＝0.a 2＝13，a ·b ＝－1.所以13－λ＝0，即λ＝13.[答案] 1314．[2013·南京市高一第二次联考]已知α为第三象限角，且 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，则sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．[解析] 由1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，得|1－sin α||cos α|＋1cos α＝2.∵α为第三象限角，∴1－sin α－cos α＋1cos α＝2，即sin α＝2cos α，tan α＝2. sin α－cos αsin α＋2cos α＝tan α－1tan α＋2＝2－12＋2＝14.[答案] 1415．[2013·南昌市高一月考]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．[解析] 由对称轴完全相同知两函数周期相同， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤56π. ∴－32≤f (x )≤3.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 16．[2013·温州十校高一检测]下面有五个命题： ①终边在y 轴上的角的集合是{β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }．②设一扇形的弧长为4 cm ，面积为4 cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2.③函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是2π.④为了得到y ＝3sin2x 的图象，只需把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6.⑤函数y ＝tan(－x －π)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2上是增函数．所有正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[解析] 终边在y 轴上的角的集合为{β|β＝k π＋π2，k ∈Z }，故①不正确；由S ＝12lR ，得4＝12×4×R ，R ＝2，所以α＝l R ＝42＝2，故②正确；y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，所以周期为π，故③不正确；④正确：y ＝tan(－x －π)＝－tan x 在[－π，－π2)上不可能是增函数，故⑤不正确．[答案] ②④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本题满分10分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(－2,1)、(2，－1)、(0,1)，且CP →＝3CA →，CQ →＝2CB →，求点P 、Q 和向量PQ →的坐标．[解] ∵A (－2,1)、B (2，－1)、C (0,1)， ∴CA →＝(－2,0)，CB →＝(2，－2)． 于是CP →＝3CA →＝(－6,0)， CQ →＝2CB →＝(4，－4)．设P (x ，y )，则有CP →＝(x ，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝1. 即P 点的坐标为(－6,1)． 同理可得Q (4，－3)． 因此向量PQ →＝(10，－4)．18．(本题满分12分)已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin (α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值．[解] sin (α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)2sin αcos α＋2cos 2α ＝2(sin α＋cos α)4cos α(sin α＋cos α)， 因α为第二象限角，且sin α＝154，所以cos α＝－14. ∴sin α＋cos α≠0，∴原式＝24cos α＝－ 2.19．(本题满分12分)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7. (1)求a ，b 的夹角θ； (2)求|3a ＋b |的值．[解] (1)由已知得(3a －2b )2＝7， 即9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝7. 又|a |＝1，|b |＝1代入得a ·b ＝12. ∴|a ||b |cos θ＝12， 即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. ∴向量a ，b 的夹角θ＝π3.(2)由(1)知，(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13.∴|3a ＋b |＝13.20．(本题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos2x ，求函数g (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解] (1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 所以T ＝π. 所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin(2×π6＋φ)＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f (x )的解析式为f (x )＝sin(2x ＋π6)． (2)g (x )＝f (x )－cos2x ＝sin(2x ＋π6)－cos2x ＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6－cos2x＝32sin2x －12cos2x＝sin(2x －π6)．因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )有最大值，最大值为1；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，g (x )有最小值，最小值为－12.21．(本题满分12分)[2013·吉林实验高一模拟]关于x 的方程8sin(x ＋π3)cos x －23－a ＝0在开区间(－π4，π4)上．(1)若方程有解，求实数a 的取值范围；(2)若方程有两个不等实数根，求实数a 的取值范围．[解] (1)令y ＝8sin(x ＋π3)cos x －2 3＝8sin x cos π3·cos x ＋8cos x ·sin π3cos x －2 3＝4sin x cos x ＋43cos 2x －2 3＝2sin2x ＋23(cos2x ＋1)－2 3＝2sin2x ＋23cos2x＝4sin(2x ＋π3)，要使方程有解，即使4sin(2x ＋π3)＝a 有解．∵x ∈(－π4，π4)，∴2x ＋π3∈(－π6，56π)．∴4sin(2x ＋π3)∈(－2,4]，∴a ∈(－2,4]．(2)作出y ＝4sin(2x ＋π3)的图象如下图要使方程有两解由图知2<a <4，故a 的取值范围为(2,4)．22．(本题满分12分)已知向量OA →＝(λsin α，λcos α)，OB →＝(cos β，sin β)，且α＋β＝5π6，其中O 为原点．(1)若λ<0，求向量OA →与OB →的夹角；(2)若λ∈[－2,2]，求|AB →|的取值范围．[解] (1)因为|OA →|＝(λsin α)2＋(λcos α)2＝－λ，|OB →|＝1，OA →·OB →＝λsin αcos β＋λcos αsin β＝λsin(α＋β)＝λsin 5π6＝12λ.设OA →与OB →夹角为θ，则cos θ＝12λ－λ×1＝－12. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝2π3，所以OA →与OB →的夹角为2π3.(2)|AB →|＝|OB →－OA →| ＝(cos β－λsin α)2＋(sin β－λcos α)2 ＝1＋λ2－2λ(sin αcos β＋cos αsin β) ＝1＋λ2－2λsin (α＋β)＝1＋λ2－2λsin 5π6 ＝1＋λ2－λ＝(λ－12)2＋34. 因为λ∈[－2,2]，所以当λ＝12时有最小值32，λ＝－2时有最大值7.所以|AB →|的取值范围是[32，7]．。

高三年级数学学科第一次月考试卷（2024.10）一､单选题1.已知角的终边过点，则（）C.D.2.已知数列满足：且，则（）A. B. C.0 D.13.若，则（ ）A. B. C. D.4.已知，则（ ）B.D.5.设满足，则（ ）A.C. D.6.数列是递增的等差数列，前项和为，满足，则下列选项不正确的是（）A.B.C.当时，最小D.时，的最小值为77.锐角､满足，若，则（ ）A.D.8.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的α(-cos α={}n a 11a =()*1101n na n a ++=∈+N 2022a =2-12-π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2425-2425725725-44π1,0,sin cos 22x x x ⎛⎫∈-+= ⎪⎝⎭sin cos x x -=αsin 2αα=-()cos π2α-=1212-{}n a n n S 853a a =0d >10a <4n =n S 0n S >n αβ()sin cos sin βαβα=+1tan 2α=()cos αβ+=12ABC ,,A B C ,,a b c ,,cos cos cos a b c A B C sin cos cos AB C最小值为（ ）A.3B.4C.5D.6二､多选题9.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减10.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）A.点第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点距离水面1米C.当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米D.点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为11.已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）A.当或10时，取得最大值B.()π2sin 2(01)3f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭π6()y g x =12ω=()f x π,03⎛⎫-⎪⎝⎭()y g x =π4x =π23y g x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,99⎡⎤-⎢⎥⎣⎦O P 0P P P P P h t ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭{}n a n 1,0n S a >316S S =9n =n S 190S >C.成立的的最大值为20D.三､填空题12.已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为__________.13.为了测量隧道口间的距离，开车从A 点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.则隧道口间的距离是__________.14等差数列的前项和分别为，且，则__________；若的值为正整数，则__________.四､解答题15.锐角的内角所对的边分别为，若，且.（1）求边的值；（2）求内角的角平分线的长.16.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.17.已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.0n S <n 9110a a <{}n a 11089100,2a a a a ==-n T {}n a n n T nA B ､D D C C B BD AB {}{},n n a b n ,n n S T 313n n S n T n +=+220715a a b b +=+nna b n =ABC ,,A B C ,,a b c 2cos 2b a B c +=3a b ==c A AD ()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()f x 12π6()g x ()65g α=-π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭cos2αABC ,,A B C ,,a b c sin sin 2A Ca b A +=B ABC b =ABC18.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.已知数列的前项和.若，且数列满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：数列的前项和；（3）若对一切恒成立，求实数的取值范围.高三年级数学学科第一次月考试卷答案1.【答案】C 【详解】由题意，.{}n a n ()()()*11,1,221nnn n n n S n a S S S +∈==--N {}n a ()()11211n n n n b a a -+=++{}n b n n T {}n a n ()()*113nn S a n =-∈N 1423log n n b a +={}n c n n nc a b =⋅{}n b {}n c n 23n T <()2114n c t t ≤+-*n ∈N t cos α==2.【答案】A 【详解】因为，所以，故数列为周期是3的数列，所以.3.【答案】D 【详解】由可知，即.4.【答案】B 【详解】解：，，又，即，5.【答案】C【详解】依题意，，则，于是，即，所以.6.【答案】C 【详解】由是递增的等差数列，得，选项A 正确；由，得，则，选项B 正确；由，得当时，有最小值，且最小值为选项错*1111,,1n na a n a +==-∈+N 234123111111,2,1112111212a a a a a a =-=-=-=-=-=-=-=+++--{}n a 2022367432a a a ⨯===-π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22ππ47cos 22cos 12166525αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππ7sin 2sin 2cos 2662625ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()2442222221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2x x x xx x x x +=+-=-=221sin cos 4x x ∴=π,0,sin 0,cos 02x x x ⎛⎫∈-∴<> ⎪⎝⎭1sin cos 2x x =-sin cos x x -====1sin 12αα=-πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ππ2π,32k k α-=-+∈Z π2π,6k k α=-∈Z ()ππ1cos π2cos2cos 4πcos 332k αα⎛⎫-=-=--=-=- ⎪⎝⎭{}n a 0d >853a a =()11734a d a d +=+1502a d =-<()2119(3)222n n n d S na d n d -=+=--3n =nS 9,C 2d -误；又，解得，所以时，的最小值为7，选项D 正确；7.【答案】B 【详解】由，所以，所以；又､均为锐角，所以，所以.所以.8.【答案】A【详解】由题知，由正弦定理得，即，因为，所以，又，所以，得，所以最多有一个是钝角，所以，因为，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3.()()116022n n n dS na d n n -=+=->()6N n n +>∈0n S >n ()()()sin cos sin sin cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+⇒+-=+⎣⎦()()()()()sin cos cos sin cos sin sin cos 2cos sin αβααβααβααβααβα+-+=+⇒+=+()tan 2tan 1αβα+==αβ()0,παβ+∈π4αβ+=()cos αβ+=2cos cos cos a c bA C B+=sin sin 2sin cos cos cos A C BA C B+=()sin sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos cos cos cos cos A C A C A C B BA C A C A C B++===()0,π,sin 0B B ∈>cos 2cos cos B A C =()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+cos cos sin sin 2cos cos A C A C A C -+=tan tan 3A C =,A C tan 0,tan 0A C >>()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos B C AB C B C B CB C B C B C++===+()tan tan 13tan tan tan tan tan 1tan tan 22A C A C C C A C A C +=-++=+=+-13tan tan 322A C +≥=13tan tan 22tan tan 3A CA C ⎧=⎪⎨⎪=⎩tan 3,tan 1A C ==sin cos cos AB C二､多选题9.【答案】ABD 【详解】因为点在函数的图象上，所以，且，所以.故A 正确；因为，由，得函数的对称中心为：，当时，得对称中心为：，故B 正确；.其对称轴为：，所以不是函数的对称轴，故C 错误；，由.所以函数的单调减区间为：，因为，所以函数在区间上单调递减，故D正确.10.【答案】ACD 【详解】设点距离水面的高度为（米）和（秒）的函数解析式为，由题意，，解得，，则.当时，，则，又，则.综上，，故D 正确；π,26⎛⎫⎪⎝⎭()f x πππ2sin 1633f ω⎛⎫⎛⎫=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01ω<<12ω=()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,3x k k +=∈Z ()f x ππ,0,3k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z 0k =π,03⎛⎫-⎪⎝⎭()ππππ2sin 2sin 2cos 6632g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π,x k k =∈Z π4x =()g x ππ22cos 233y g x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2π22ππ,ππ,363k x k k k x k k ≤+≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z π23y g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ,π,63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ππππ,π,π,9963k k k ⎡⎤⎡⎤-⊆-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z π23y g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,99⎡⎤-⎢⎥⎣⎦P h t ()πsin ,0,0,2h A t B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭max min 66,2,2A B h h A B +=⎧==-∴⎨-+=-⎩42A B =⎧⎨=⎩2π2ππ60,30T T ωω==∴== π4sin 230h t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭0t =0,4sin 20h ϕ=∴+=1sin 2ϕ=-π2ϕ<π6ϕ=-ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭令，则，若，得秒，故A 正确；当秒时，米，故B 不正确；当秒时，，故C 正确.11.【答案】AD 【详解】因为，则，且数列为等差数列，则，可得，即，又因为，可知：当时，；当时，；对于选项A ：由可知，所以当或10时，取得最大值，故A 正确；对于选项B ：因为，故B 错误；对于选项C ：由的符号性可知：①当时，单调递增，则；②当时，单调递减；且，可知：当时，；当时，；所以成立的的最小值为20，故C 错误；对选项D ：因为，所以，故D 正确；三､填空题12.【答案】7 【详解】设等比数列的公比为，其中，因为，可得，所以，解得或（舍去），则，又当时，，当时，所以当取最大值时的值为7.13.【答案】1000 【详解】在中，，由正弦定理得ππ4sin 26306h t ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ππsin 1306t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ3062t -=20t =155t =ππ4sin 15524sin5π22306h ⎛⎫=⨯-+=+=⎪⎝⎭50t =ππ3π4sin 5024sin 223062h ⎛⎫=⨯-+=+=-⎪⎝⎭316S S =45160a a a +++= {}n a 416515102a a a a a +=+== 10130a =100a =10a >9n ≤0n a >11n ≥0n a <100a =910S S =9n =n S 1910190S a ==n a 9n ≤{}n S 110n S S a >=>10n …{}n S 190S =18n ≤0n S >20n ≥0n S <0n S <n 9110,0a a ><9110a a <{}n a q 0q >10892a a a =-9781112a q a q a q =-2210q q +-=12q =1q =-111002n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭7n =67110012a ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭8n =78110012a ⎛⎫=⨯< ⎪⎝⎭n T n BCD 400,1000,45BC BD BCD ∠=== sin BDC ∠==而，则中，，由余弦定理得：.14.【答案】或3【详解】因为都是等差数列，所以，，它为正整数，则为整数，又是正整数，所以或4，即或3.四､解答题15.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，即，又因为，则，可得，又因为，所以.余弦定理可得，即，则，解得：，或，由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取，故.（2）根据面积关系可得，即，解得：16.【详解】（1）CD AD ⊥cos sin ADB BDC ∠∠==ABD AD =1000AB ==82/2331{}{},n n a b ()()1212201212171512121121213211822121332a a a a a a Sb b b b T b b +++⨯+=====++++()1212112121321123143221311n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T n n n -----++-======-+-+++41n +n 12n +=1n =2cos 2b a B c +=()sin 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A B C A B A B A B +==+=+sin 2cos sin B A B =0πB <<sin 0B ≠1cos 2A =0πA <<π3A =2222cos a b c bc A =+-227323cos60c c =+-⨯⨯⨯ 2320c c -+=1c =2c =2220a c b +->220c ->2c =2c =ABC AABD ACD S S S =+ 11123sin602sin303sin30222AD AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ AD =()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ11sin coscos sin cos cos sin sin cos cos cos cos 663322x x x x x x x x x x ⎛⎫=+--+=+-+ ⎪⎝⎭.由，解得即时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，所以.若，则.由，得，又，所以，则，故.故17.【详解】（1）由及正弦定理得，故，在中，，所以πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z π4π2π,2π,33x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x π4π2π,2π,33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x 12()π22sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π6()g x ()πππ2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()65g α=-()π6π32sin 2,sin 26565g ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π5π,612α⎛⎫∈-⎪⎝⎭ππ2π2,623α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭πsin 206α⎛⎫-< ⎪⎝⎭ππ2,062α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭ππππππ431cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666552αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos2αcossin 2B a b A =sin cos sin sin 2BA B A =sin cos2sin cos sin 222B B BA A =vABC 0π,0πAB <<<<sin 0,cos02BA ≠≠可得，而，故即.（2）由正弦定理的得，因为，则所以，因为为锐角三角形，则，故，所以周长的取值范围.18.【详解】（1）由，得，即，当时，，两式相减得，化简得，当时，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，所以，所以.19.【详解】（1）由题意知，1sin 22B =π022B <<π26B =π3B =22sin sin sin a c b R AC B =====2sin ,2sin c A b B ==π3B =2π2π,33A C C A +==-2ππ2sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC ππππ2ππ,,,,sin 626336A A A ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+∈+∈⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦(3,a c +∈ABC (3+()()1221n n n n n S S S +=--()1112n n n n S S S +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1112n n n S a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭2n ≥11112n n n S a --⎛⎫=-⎪⎝⎭()111111222n n n n n a a a n +-⎛⎫⎛⎫=---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122n n a n a +=≥1n =112112S a a ==⨯={}n a 12n n a -=12n n a -=()()()()1111122111121212121n n n n n n n n n b a a ----+===-++++++0112011111111112121212121212121221n nt n n n T =-+-+⋅⋅+-=-=-+++++++++1133n n S a =-当时，，所以.当时，，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为，所以，所以，令，可得，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）由（1）知，所以，所以，两式相减，可得，所以，所以.（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于.因为，所以，所以数列的最大项为和，且.2n ≥111133n n n n n a S S a a --=-=-114n n a a -=1n =1111133S a a =-=114a ={}n a 1414()*14n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N 1423log n n b a +=114413log 23log 2324nn n b a n ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭11b =()11n b b n d =+-3d ={}n b ()1324n n n n c a b n ⎛⎫=⋅=⨯- ⎪⎝⎭()()211211111435324444n n n n T c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()2311111114353244444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231311111133332444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()21111114411113233214424414n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭-2321334n n n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭23n T <()2114n c t t ≤+-*n ∈N n c ()2114t t +-()()111119931320444n nn n n n c c n n +++-⎛⎫⎛⎫-=+⨯-+⨯=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1234c c c c =>>> {}n c 1c 2c 1214c c ==所以，即，解得或，即实数的取值范围是.()211144t t ≤+-220t t +-≥1t ≥2t ≤-t ][(),21,∞∞--⋃+。

六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ）A. B.C. D.3.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）A.8B.12C.16D.64.已知数列的首项，则（ ）A.48B.80C.63D.655.已知等差数列满足，前项和为，若，则与最接近的整数是（ ）A.5B.4C.2D.16.已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（）,αβ,m n m ∥,n m α⊥n α⊥,m m αβ⊥⊥α∥β,m m αβ⊥⊂αβ⊥m ∥,n ααβ⋂=m ∥nP ABCD -ABCD E PD ,,PA a PB b PC c === BE =111222a b c -+ 111222a b c -- 131222a b c -+ 113222a b c -+ {}n a 110,1n n a a a +==++8a ={}n a 131,3a a ==n n S 12111n nT S S S =+⋯+9T {}n a *712,8,2,8n n a n n a n a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N *n ∈N 1n n a a +>aA. B. C. D.7.在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为B.存在点使得异面直线与所成角为C.存在点使得二面角的平面角为D.当时，平面截正方体所得的截面面积为8.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（）A.1B.2C.D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法∙商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）A. B.C. D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭113,220⎛⎫ ⎪⎝⎭13,120⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -M 11A C M BM AC 90 M BM AC 30 M M BD C --451114A M AC =BDM 92a a ⋯n n a n n S 34S a =132n n n a a ++-=11n n a a n +-=+1055a =10.在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（ ）A.B.C.D.11.对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（ ）A.底面半径为高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体B.C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为高为的圆锥D.的圆锥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据的平均数是1，则这组数据的中位数为__________.13.已知四棱锥平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且为的中点，则到直线的距离为__________.14.若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设三角形的内角的对边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求三角形的周长.16.（本小题满分15分）已知无穷等比数列的前项和为（1）求的值；ABCD π3A ∠=ABD V BD PBD V P BD C --P BCD -58π45π48π55πm 1m,1m 0.5m,0.8m 31,2,0,1,,1x -,A EBCD AE -⊥BCDE EBCD E ∠EB ∥DC 224,CD EB AE DE ====F AD F BC 1111ABCD A B C D -13,2,4AB BC AA ===11ABB C 11AC BD ABC A B C ､､a b c ､､()2sin 2AB C +=A 3,b BC =ABC {}n a n 3nn S b=+1,b a（2）设，求数列的前项和.17.（本小题满分15分）如图所示，在三棱柱中，平面，点是的中点（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2.（1）求证：平面；（2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值.19.（本小题满分17分）若存在非零常数，使得数列满足，则称数列为“数列”.（1）判断数列：是否为“数列”，并说明理由；（2）若数列是首项为1的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，证明：221,1,2,3,n n c a n n =+-= {}n c n n T 111ABC A B C -112,AC BC AB AB ===⊥ABC 1,AC AC D ⊥AC 11AC B C ⊥1A D 11BB C C ABCD AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠===,E F AD »»»AE EFFD ==AD EF ∥ABCD ABE DCF -ABE CDF t {}n a ()11231,n n a a a a a t n n +-=≥∈N {}n a ()H t 1,3,5,11,152()2H {}n a ()H t {}n b {}n a {}n b 212321log ni n n i aa a a ab ==+∑ t {}n b {}n a ()H t n S {}n a n 11,0a t >>1e n S nn n t S S -+>--六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷参考答案1.D2.C3.A4.C5.C6.C7.D8.D9.ACD 10.AD 11.BD 12.【答案】114.15.（1）因为为的内角，所以，因为，所以可化为：，即，即解得：，即.（另解：由；得.）（2）由三角形面积公式得代入得：，所以，故为正三角形，，周长等于16.（1）当时，，因为是等比数列，所以，又因为，所以（2）由（1）知，43,,A B C ABC V ()sin sin B C A +=21cos sin22A A -=()2sin 2A B C +=)sin 1cos A A =-sin A A =πππ4πsin ,3333A A ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π33A +=π3A =2sin 2sincos 222A A A A =⋅=πtan 226A A ==11sin ,322b c A b ⋅==1π13sin 232c ⨯⋅=a c =ABC V 3a b c ===9.2n ≥1123n n n n a S S --=-=⨯{}n a 12a =113a S b ==+1b =-123n n a -=⨯因为，且，所以是以6为首项，9为公比的等比数列，.17.解析：（1）由题意，平面平面，所以，又，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）法一（坐标法）：由（1）知，又，所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，设平面的法向量为，则，所以，从而故直线与平面法二（几何法）：取中点，则，26a =2229n na a +={}2n a ()()2421321n n T a a a n ⎡⎤=+++++++-⎣⎦()291236919124n n n n n -⋅=⨯+=-+-1AB ⊥,ABC AC ⊂ABC 1AC AB ⊥1AC AC ⊥11AB AC ⊂､1111,AB C AB AC A ⋂=AC ⊥11AB C 11B C ⊂11AB C 11AC B C ⊥11AC B C ⊥BC ∥11B C AC BC ⊥C ()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0C B B A ()0,1,0D ()()()12,0,0,2,2,2,0,1,0CB BB DA ==-=()()()1110,1,02,2,22,3,2DA DA AA DA BB =+=+=+-=-11BC C C (),,n x y z =1202220n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ()0,1,1n =- 111cos ,DA n DA n DA n⋅===⋅1A D 11BB C C 11C A M CM ∥1A D记与面所成角为，则由知解得，又，所以18.（1）连由等边三角形可知分布在同一个圆周上，且，则六边形为正六边形，面面（2）在图1中连交于，则，连交于，则，故在图2中面面记面与面所成角为，则故，即面面法一（几何法）：延长交于延长交于则为面与面交线且取中点，连接，则即为面与面所成角在中，，故，故面与面所成角的余弦值为法二（坐标法）：以为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，CM 11BB C C θ1111112sin A CC B BM CC B Bd d CMCMθ--==111111A B C C C A B C V V --=11111111133B C C A A B C S d S AB ⋅=⋅1A d =CM ===sin θ=OB OC ､A B C D F E ､､､､､AE EF FD DC CB BA =====ABCDFE EF ∴∥AD ∥,BC EF ⊄ABCD,BC ⊂ABCD EF ∴∥ABCDEB AD 1O AD EB ⊥FC AD 2O AD FC ⊥AD ⊥1,EO B AD ⊥2FO CABE CDF θ1212,6sin EO B FO C EO B FO C S S ∠∠θθ====V 1221ABE DCF EO B FO C D FO CA EOB V V V V ----=++锥112121132sin 3233EO B EO B FO C S AO S EF S DO θ=⨯+⨯+⨯==V πsin 1,2θθ==AEFD ⊥ABCDAB DC ､,Q F AE D ､,P PQ ABE CDF 8,8AP AQ PD QD ====PQ M AM DM ､AMD ∠ABE CDF AMD V 8AM DM AD ===1cos 5AMD ∠==ABE CDF 151O 111,,O B O D O E ,,x y z ()()(()()(0,2,0,,0,0,,4,0,0,6,0,0,4,A B E C D F -，有令得同理可得面法向量，设面与面所成角为，故19.【详解】（1）根据”数列“的定义，则，故，因为成立，成立，不成立，所以不是”数列“.（2）由是首项为2的”数列“，则，由是等比数列，设公比为，由，则.两式作差可得，即，由是”数列“，则，对于恒成立，所以，即对于恒成立，则，即，因为解得，，又由，则，即，故所求的，数列的通项公式.（3）设函数，则，令，解得，当时，，则在区间单调递减，且，又由是”数列"，即，对于恒成立，()(2,0,0,2,AB AE ==2020AB n y AE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,x=()1,n =CDF ()m =ABE CDF α1cos 5m n m n α⋅==⋅ ()H t 2t =11232n n a a a a a +-= 212a a -=3212a a a -=43211113542a a a a -=-⨯⨯=-≠1,3,5,11,152()2H {}n a ()H t 231,21a t a t =+=+{}n b q 212321log nn n i iaa a a ab ==+∑ 121231211log n i n n n i a a a a a a b +++==+∑ ()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=-+- ()21123121log n n n a a a a a a q ++=-+ {}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1,n n ≥∈N ()()211121log n n n a a t a q +++=--+()12121log log n n n t a t b b +++=+-1,n n ≥∈N ()()22321log 1log t a t q t a t q ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩()()222(1)log 121log t t qt t t q ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩0t ≠1,2t q =-=2111211,log a a a b ==+11b =12n n b -=1t =-{}n b 12n n b -=()ln 1f x x x =-+()11f x x'=-()0f x '=1x =1x >()0f x '<()ln 1f x x x =-+()1,∞+()1ln1110f =-+={}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1,n n ≥∈N因为，则，再结合，反复利用，可得对于任意的，则，即，则，即，相加可得，则，又因为在上单调递增，所以，又，所以，即，故.11,0a t >>211a a t =+>121,0,1a t a >>>1123n n a a a a a t +=+ 1,,1n n n a ≥∈>N ()()10n f a f <=ln 10n n a a -+<ln 1n n a a <-1122ln 1,ln 1,,ln 1n n a a a a a a <-<-⋯<-1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ()12ln n n a a a S n <- ln y x =()0,x ∞∈+12en S nn a a a -< 1123n n a a a a a t +-= 1e n S nn a t -+-<1en S nn n S S t -+--<1en S nn n t S S -+>--。

吉林省实验中学2013-2014学年高三上学期第四次阶段检测数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A B 等于 （ ） A.{|1}x x ≤ B.{|12}x x ≤< C.{|01}x x <≤ D.{|01}x x <<2.已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.下列说法正确的是 （ ）A. 命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B. “1>a ”是“)1,0(log )(≠>=a a x x f a 在),0(+∞上为增函数”的充要条件 C. “p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件 D. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)aaa⋅⋅⋅⋅= （ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．2+log 25 5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）6.如果)(x f '是二次函数, 且 )(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ7.设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 （ ）A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称 D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数 8.如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 （ ）A ．125 B ．21C ．32 D ．43 9.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆C 22650x y x +-+=相切,则该双曲线离心率等于 ( ) A.553 B. 26 C. 23 D. 5510.若a ,b ,c 均为单位向量，a · b 21-=，c=x a + y b ),(R y x ∈，则y x +的最大值是 ( ) A ． 2B.CD. 111.高为42的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （ ） A ．42 B. 22 CD. 1 12.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ）A.10,5,5+∞ （]（）B. 10,[5,5+∞ （））C.11,]5,775 （（）D.11,[5,775 （））第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省实验中学2013-2014学年高三年级阶段测试（一）物理学科试卷一．选择题（本大题共20个小题，共60分，在每个小题的四个选项中，至少有一项是符合题意的，全部选对的得3分，少选的得2分，有错选的得零分。

）1. 如图所示，木块A 、B 并排且固定在水平桌面上，A 的长度是L ，B 的长度是2L ，一颗子弹沿水平方向以速度v 1射入A ，以速度v 2穿出B ，子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动，则子弹穿出A 时的速度为 ( )A ．3212v v +B ．322122v v +C ．322221v v + D ．132v2. 某人用手表估测火车的加速度，先观测3分钟，发现火车前进540米，隔3分钟后，又观测1分钟，发现火车前进360米，若火车在这7分钟内做匀加速直线运动，则火车的加速度为 ( )A ．0. 03m/s 2B ．0.01 m/s 2C ．0.5 m/s 2D ．0. 6 m/s 23. 如图为一段某质点做匀变速直线运动的x －t 图线。

从图中所给的数据可以确定质点在运动过程中，经过图线上P 点所对应位置的瞬时速度大小一定 ( )A ．大于2m/sB ．等于2m/sC ．小于2m/sD ．无法确定4. 在反恐演习中，中国特种兵进行了飞行跳伞表演，某伞兵从静止的直升飞机上跳下，在t 0时刻打开降落伞，在3t 0时刻以速度v 2着地。

伞兵运动的速度随时间变化的规律如图所示。

下列结论中正确的是 ( ) A ．在0～t 0时间内加速度保持不变，在t 0～3t 0时间内加速度逐渐减小B ．降落伞打开后，降落伞和伞兵所受阻力越来越小C ．在t 0～3t 0的时间内，平均速度v >v 1＋v 22D ．若第一个伞兵在空中打开降落伞时第二个伞兵立即跳下，则他们在空中的距离先增大后减小5. 酒后驾驶会导致许多安全隐患，是因为驾驶员的反应时间变长。

反应时间是指驾驶员发现情况到采取制动的时间。

吉林省吉林地区普通高中2023-2024学年高三第四次模拟考试数学试题一、单选题1．已知命题:1,1p x x ∀>>，则命题p 的否定为（ ） A ．1,1x x ∃>≤ B ．1,1x x ∃≤≤ C ．1,1x x ∀><D ．1,1x x ∀≤>2．已知复数z 满足226z z ++-=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹为（ ） A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线3．如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，一直以来是吉林市的重要地标之一.该时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成的角的最大值为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o二、多选题4．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ） A ．10倍B ．100倍C ．1000倍D ．10000倍三、单选题5．已知双曲线C ：()222103y x b b-=>的一条渐近线为y =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2 CD ．26．越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示，,A B 两个地区分别有3%,8%的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为2:3．若从这两个地区中任意选取一人，则此人参加户外极限运动的概率为1p ；若此人参加户外极限运动，则此人来自A 地区的概率为2p ，那么（ ） A ．1211310011p p ==， B ．12335011p p ==， C ．121111005p p ==， D ．1231505p p ==， 7．已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =，2DC BD =u u ur u u u r ，3b =，1c =，则线段AD 的长为（ ） ABCD8．如图所示，曲线C 是由半椭圆221:1(0)43x y C y +=<，半圆()222:(1)10C x y y -+=≥和半圆()223:(1)10C x y y ++=≥组成，过1C 的左焦点1F 作直线1l 与曲线C 仅交于,A B 两点，过1C 的右焦点2F 作直线2l 与曲线C 仅交于,M N 两点，且12//l l ，则AB MN +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6四、多选题9．从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（ ）A ．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有28129C C 种B ．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为3983100C 1C -C ．抽出的产品中至少有1件是次品的概率为3983100C 1C -D ．抽出的产品中次品数的数学期望为35010．已知在公差不为0的等差数列{}n a 中，455,a a =-是2a 与6a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11n n n b a a +=，则（ ） A ．213n a n =- B ．*N ,1n n b ∀∈≥- C ．1111211n S n =--- D ．*65N ,n n S S S ∀∈≤≤11．已知函数()sin221cos2x x f x x=-+，则（ ） A ．函数()f x 一个周期是πB ．函数()f x 递减区间为()πππ,π22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 有无数多个对称中心D ．过点()2,0作曲线()y f x =的切线有且只有一条五、填空题12．已知随机变量,X Y ，满足()2,32D X Y X ==-，则()D Y =. 13．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，将函数()f x 的图象向右平移π3ω个单位得到函数()g x 的图象，点,,A B C 是函数()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC V 是钝角三角形，则ω的取值范围是.14．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为.六、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,23n n a S a m ==+. (1)求实数m 的值和数列{}n a 的通项公式； (2)若31log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．已知函数()()2e xf x x ax a =--.(1)当0a =时，求函数()f x 的极值； (2)求证：当01,0a x <<>时，()1a f x a >-. 17．某商场为庆祝开业十周年，开展了为期一个月的有奖促销活动，消费者一次性消费满200元，即可参加抽奖活动．抽奖盒子中装有大小相同的2个黄球和2个白球，规则如下：每次从盒子中任取两个球，若取到的两个球均为黄球，则中奖并获得奖品一份，活动结束；否则将取出的两个球放回盒中，并再放入一个大小相同的红球，按上述规则，重复抽奖，参加抽奖的消费者最多进行三次，即使第三次没有中奖，抽奖也会结束．(1)现某消费者一次性消费200元，记其参加抽奖的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；(2)随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，该商场对活动前5天参加抽奖活动的人数进行统计，得到数据如下：经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．（i ）计算相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关程度的强弱；（结果精确到0.01）（ii ）请用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程ˆˆˆybx a =+，并据此估计第10天参加抽奖的消费者人数．附：①相关系数：()()nniii ix x y y x y nxyr ---==∑∑最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆˆˆ,nniii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑ ②参考数据：()()()55522111160,2890,4890i i i i i i i x x y y y y y ===--=-==∑∑∑．18．如图所示，半圆柱1OO 与四棱锥A BCDE -拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC 上（不含,B C ）的动点，FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，122,OB OO AB AC ====(1)求证：CG BF ⊥；(2)若//DF 平面ABE ，求平面FOD 与平面GOD 夹角的余弦值； (3)求点G 到直线OD 距离的最大值.19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如()()210k x y ---='表示过点 2,1 且斜率存在的直线族，y x t =+'表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若直线族()10,mx ny m n ++=∈R 的包络曲线是圆22:16O x y +=，求,m n 满足的关系式；(2)若点()00,M x y 不在直线族()2:280x y λλλΦ--=∈R 的任意一条直线上，对于给定的实数0x ，求0y 的取值范围和直线族Φ的包络曲线E ；(3)在（2）的条件下，过直线480x y --=上一个动点P 作曲线E 的两条切线，切点分别为,A B ，求原点O到直线AB距离的最大值.。

2022-2023学年吉林省吉林市第一中学高一上学期第四次（1月）教学质量检测数学试题一、单选题1．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（ ）A ．15B ．12C ．23D ．25【答案】D【分析】根据简单随机抽样每个个体被抽到的概率nP N=直接计算，即可得答案； 【详解】简单随机抽样每个个体被抽到的概率n P N=， ∴含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为25， 故选：D.【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，考查对概念的理解，属于基础题.2．已知||4a =，||3b =，且a ､b 的夹角为60，如果(2)()a b a mb +⊥-，那么m 的值为（ ） A ．76B ．35C ．14D ．23【答案】A【分析】求得6a b ⋅=，根据(2)()a b a mb +⊥-可得(2)()0a b a mb +⋅-=，展开化简，可得答案. 【详解】由题意可得cos606a b a b ⋅=⨯=， 由 (2)()a b a mb +⊥-，可得(2)()0a b a mb +⋅-=， 即22(2)20a m a b mb +-⋅-=， 即16126180m m +--=，即76m =，故选：A3．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=i A “向上的点数为i ”，其中1,2,3,4,5,6i =，B =“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．1A 与B 互斥 B ．2A B +=ΩC ．3A 与B 相互独立D ．4A B =∅【答案】D【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可. 【详解】对于A ，{}12,3,4,5,6A =，{}1,3,5B =，1A 与B 不互斥，故A 错误； 对于B ，{}{}{}221,3,51,2,3,5ΩA B +=⋃=≠，故B 错误；对于C ，3A 与B 不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C 错误； 对于D ，{}44A =，{}1,3,5B =，4A B =∅，故D 正确.故选：D.4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（ ） A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状. 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，而cos cos a b A B =， ∴sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =， 又∵A 、B 为ABC ∆的内角，∴A B =， 又∵222c a b ab =+-，∴222ab a b c =+-，∴由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=，∴ABC ∆为等边三角形. 故选：B.5．已知复数1z 和2z ，则“12z z >”是“120z z ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可. 【详解】12z z >，∴复数1z 和2z 是实数，120z z ∴->成立， 当120z z ->时，例如(23i)(53i)70----=>，推不出23i 53i ->--， 所以“12z z >”是“120z z ->”的充分不必要条件. 故选：A6．中国营养学会把走路称为“最简单､最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能､血管弹性､肌肉力量等，甲､乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中错误的是（）A．甲走路里程的极差等于11B．乙走路里程的中位数是27C．甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D．甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【答案】D【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】由图可知，712-月甲走路的里程为：31，25，21，24，20，30，乙走路的里程为：25，26，26，28，28，29，所以甲走路里程的极差等于312011-=，故A正确；乙走路里程的中位数是2628272+=，故B正确；甲下半年每月走路里程的平均数为31252124203015166 +++++=，乙下半年每月走路里程的平均数为29282628252616236+++++=，故C正确；由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，故D错误．故选：D.7．如图，在ABC中，25,210,213AB BC AC===D，E，F分别为三边中点，将,,BDE ADF CEF分别沿,,DE EF DF向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥P DEF-的外接球表面积为（）A ．72πB ．7143π C ．14π D ．56π【答案】C【分析】将三棱锥P DEF -补充成一个长方体，进而求出该长方体的外接球表面积即可.【详解】由题意可知，10,13,5PE DF PF DE PD EF ======，即三棱锥P DEF -的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：设,,FH x HD y HP z ===，则22222210,5,13x y y z x z +=+=+=，所以22214x y z ++=，于是三棱锥P DEF -1414，所以该三棱锥外接球的表面积为：2144142.故选：C.8．大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段AB 的长度）.他在该雕塑塔的正东C 处沿着南偏西60的方向前进若干米后达到D 处（A 、C 、D 三点在同一个水平面内），测得图中线段AB 在东北方向，且测得点B 的仰角为71.565，他计算出该雕塑的高度约为21米，那么线段CD 的长度大约是（精确到整数，参考数据：tan 71.5653≈2 1.414≈）（ ）A ．9米B ．10米C ．11米D ．12米【答案】B【分析】计算出AD 的长，然后在ACD 中，利用正弦定理可求得CD 的长. 【详解】在Rt ABD 中，71.565BDA ∠=，21AB =，所以217tan 71.565AD =≈（米）.在ACD 中，135CAD ∠=，30ACD ∠=， 由正弦定理sin sin AD CDACD CAD=∠∠，得sin 7210sin AD CAD CD ACD ∠=≈≈∠（米）. 故选：B.9．已知用斜二测画法画梯形OABC 的直观图O A B C ''''如图所示，3O A C B ''''=，C E O A ''''⊥，8OABC S =四边形，//C D y '''轴，22C E ''=，D 为O A ''的三等分点，则四边形OABC 绕y 轴旋转一周形成的空间几何体的体积为（ ）A ．152π3B ．48πC ．38π3D ．12π【答案】B【分析】根据题意由直观图与原图的关系，得到四边形OABC 是等腰梯形，即可得四边形OABC 绕轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，即可得到结果. 【详解】在直观图中，21C D C E ''''==，∴在真实图中，2CD =．如图：在直观图中，3O A C B ''''=，D 为O A ''的三等分点，∴在真实图中，3OA CB =，D 为OA 的三等分点．在直观图中，//C D y '''轴，∴在真实图中，//CD y 轴，∴()11244822OABC S CD OA CB CB CB =⨯+=⨯⨯==四边形，∴2CB =，∴6OA =，∴123OD OA ==，∴四边形OABC 是等腰梯形，∴四边形OABC 绕y 轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，即()22311152π8ππ24466π248π3333V =⨯+⨯+-⨯=-=． 故选:B.10．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22224121741213b bc c b bc c -+-+的取值范围为（ ）． A ．973,437⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2819,1815⎛⎤⎥⎝⎦ C ．732,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．281,2181⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】利用()222S a b c =--，三角形面积公式和余弦定理可得4sin 5A =，故可得到3cos 5A =，4tan 3A =，然后利用正弦定理可得435tan 5b c C =+，利用换元法即可求解 【详解】ABC 中，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积为1sin 2S bc A =，由()222S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=；又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1A A +=，所以sin 2A +=，化简得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（不合题意，舍去）； 因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5A ==，sin 4tan cos 3A A A == 所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+， 由πB C A +=-，且π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,π2A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，解得ππππ,π0,,2222C A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈--⋂=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以πsin π132tan tan π2tan 4cos 2A C A A A ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭>-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 设b t c=，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22222241217412174121341213b b b bc c c c y b bc c b b c c ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222241217441141213412133442t t t t t t t -+==+=+-+-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，又335523<<，所以32t =时，y 取得最大值为max 2y =， 35t =时，281181y =；53t =时，7337y =，且2817318137<．所以281,2181y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即22224121741213b bc c b bc c-+-+的取值范围是281,2181⎛⎤ ⎥⎝⎦， 故选：D【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值二、多选题11．下列说法正确的是（ ） A ．直线()24R y ax a a =-+∈恒过定点 B ．直线13y x +=在y 轴上的截距为1C ．直线10x +=的倾斜角为150°D ．已知直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为60x y +-= 【答案】AC【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断A ，由直线的斜截式可判断B ，根据直线的斜率可判断C ，分截距为0或不为0可求出直线方程判断D.【详解】直线()24R y ax a a =-+∈即直线()()24R y a x a =-+∈，当2x =时，4y =， 即直线()24R y ax a a =-+∈恒过定点()2,4，A 正确； 直线13y x +=，即31y x =-在y 轴上的截距为1-，B 错误；直线10x +=的斜率为=150°，C 正确；因为直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，当截距都为0时，直线l 方程为2y x =，当截距不为0时，可设直线方程为1x ya a +=，则241a a+=，即6a =，则直线方程为60x y +-=，所以直线l 的方程为2y x =或60x y +-=，故D 错误. 故选：AC.12．如图所示的电路由1S ，2S 两个系统组成，其中M ，N ，P ，Q ，L 是五个不同的元件，若元件M ，N ，P ，Q ，L 出现故障的概率分别为12，13，14，15，16，则下列结论正确的是（ ）A ．元件M ，N 均正常工作的概率为16B ．系统1S 正常工作的概率为56C ．系统2S 正常工作的概率为130D ．系统1S ，2S 均正常工作的概率为2936【答案】BD【分析】对于A ，利用独立事件的概率公式求解即可，对于B ，先求出系统1S 不能正常工作的概率，然后利用对立事件的概率公式求解，对于C ，先求出系统2S 不能正常工作的概率，然后利用对立事件的概率公式求解，对于D ，利用独立事件的概率公式求解即可，【详解】设事件A ，B ，C ，D ，E 分别表示M ，N ，P ，Q ，L 元件出现故障，则()12P A =，()13P B =，()15P D =，()16P E =，所以元件M ，N 均正常工作的概率为121()()233P A P B =⨯=，A 错误，系统1S 正常工作的概率为2115113466-⨯=-=，B 正确；系统2S 正常工作的概率为1112911563030-⨯=-=，C 错误；系统1S ，2S 均正常工作的概率为2952930636⨯=，D 正确. 故选：BD.13．如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，2BD =，1DE =，点P 在线段上．下列命题正确的是（ ）A ．存在点P ，使得直线DP ∥平面ACF ；B ．存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ；C ．直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是5,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦；D ．三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8． 【答案】ACD【分析】当点P 是线段EF 中点时判断A ；假定存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ，推理导出矛盾判断B ；利用线面角的定义转化列式计算判断C ；求出ACF △外接圆面积判断D. 【详解】取EF 中点G ，连DG ，令ACBD O =，连FO ，如图，在正方形ABCD 中，O 为BD 中点，而BDEF 是矩形， 则//DO GF 且DO GF =，即四边形DGFO 是平行四边形， 即有//DG FO ，而FO ⊂平面ACF ，DG ⊄平面ACF ，于是得//DG 平面ACF ，当点P 与G 重合时，直线//DP 平面ACF ，故A 正确； 假定存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ，而FO ⊂平面ACF ， 则DP FO ⊥，又//DG FO ，从而有DP DG ⊥，在Rt DEF △中，90DEF ∠=︒，DG 是直角边EF 上的中线，显然在线段EF 上不存在点与D 连线垂直于DG ，因此，假设是错的，故B 不正确； 因平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =， 则线段EF 上的动点P 在平面ABCD 上的射影在直线BD 上， 于是得PDB ∠是直线DP 与平面ABCD 所成角的， 在矩形BDEF 中，当P 与E 不重合时，PDB DPE ∠=∠， 222sin sin 1DEPDB DPE DPDE EPEP∠=∠==++02EP <≤5sin 1PDB ≤∠<； 当P 与E 重合时，π2PDB ∠=，sin 1PDB ∠=5sin 1PDB ≤∠≤，故C 正确； 因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =，BF BD ⊥，BF ⊂平面BDEF ，所以BF ⊥平面ABCD，BC =在ACF △中，AF CF ==显然有FO AC ⊥，sin FOFAC AF∠==， 由正弦定理得ACF △外接圆直径2sin CF R FAC ==∠R =三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截得的截面是ACF △的外接圆，其面积为29ππ8R =，故D 正确. 故选：ACD.14．在△ABC 中，,52ABC AC π∠==，F 是AC 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．若3BC =，点D 在线段BC 的延长线上，则16AB AD ⋅= B ．若E 是AB 的中点，BF 与CE 相交于点Q ，则1233AQ BA BC =-C ．若点P 在线段AC 上，则BP AP ⋅的值可以是－254D ．若E 是线段AB 上一动点，则2EA EB EF ⋅+为定值 【答案】AD【分析】以{}AB BC ，为基底，按题中要求表示出相关的向量，用数量积的公式计算即可. 【详解】选项A ：若3BC = ，则4AB = ，则216AB AD AB ⋅== ，故A 正确. 选项B ：令EQ EC λ= ，则1122AQ AE EQ AB AB BC λ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭所以122AQ AB BC λλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；令BQ BF μ= ，则122AQ AB BQ AB BC μμ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭.所以1113222223λμλμλμ⎧⎧=+=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即2133AQ BA BC =-+ ，故B 不正确.选项C ：设AP AC λ= ，[]01λ∈，，则 ()()1BP AP AB BC AB BC λλλ⎡⎤⋅=-+⋅+⎣⎦不妨设43AB BC ==，，则2167BP AP λλ⋅=- 当254BP AP ⋅=-时，2251674λλ-=- ，即26428250λλ-+=()228464250∆=--⨯⨯< ，所以不存在，故C 不正确.选项D ：设AE AB λ= ，则()21EA EB AB λλ⋅=- 因为1122EF EA AF AB BC λ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以22222211112524244EF AB BC AB λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以2254EA EB EF ⋅+= (定值)，故D 正确. 故选：AD.三、填空题 15．复数21i-的虚部为____________． 【答案】1【解析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部. 【详解】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 故答案为：1.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知AOB 为等腰三角形，OA AB =，()1,3A ，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为__________． 【答案】360x y +-=【分析】根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式即可求解直线方程.【详解】因为OA AB =，所以AOB ABO ∠=∠，即3AB OA k k =-=-，所以直线AB 的方程为()331y x -=--，即360x y +-=．故答案为：360x y +-=17．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x ，掷第二次，将朝上一面的点数记为y ，则点(,)x y 落在直线6y x =-+上的概率为_____ 【答案】536【分析】根据古典概率模型求解.【详解】由题可得, 点(,)x y 所有的可能为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共有36种不同的可能, 点(,)x y 落在直线6y x =-+上,即6x y +=包含: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5种不同可能,所以点(,)x y 落在直线6y x =-+上的概率为536. 故答案为：536. 18．在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB mAE =，AC nAF =(0m >，0n >)，若()210t t m n+>的最小值为3，则正数t 的值为___________.【答案】3【分析】由平面向量基本定理可得2133AO mAE nAF =+，进而又由点E ，O ，F 三点共线，则21133m n +=，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得t 的值． 【详解】解：在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，||2||OC OB =， ∴1121()3333AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，AB mAE =，AC nAF =，∴2133AO mAE nAF =+， O ，E ，F 三点共线，∴21133m n +=， ∴2222222112122222()()233333393333t t n mt t t t t m n m n m n mn+=++=+++++=+，当且仅当2233n mt m n =，即2222m t n =时取等号，∴21t m n +的最小值为2233t +，即22333t +=，0t >，3t ∴=故答案为：3．四、解答题19．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B A C B C +-⋅--=-，4b =．若ABC 为直角三角形，则ABC 的面积为________． 【答案】23或83【分析】根据题意，由正弦定理化简，再结合余弦定理即可求得π3A =，然后根据ABC 为直角三角形，分π2B =或π2C =，再由三角形的面积公式即可得到结果.【详解】由正弦定理，()()sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B A C B C +-⋅--=-可化为：()()a b c b a c bc +---=-，即222bc a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，()0,πA ∈，所以π3A =， 又4,b ABC =为直角三角形， 若π2B =，则π6C =，2c =，23a =，112322322S ac ==⨯⨯=， 若π2C =，则π6B =，8c =，43a =，114348322S ab ==⨯⨯=．20．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 105【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出13AB ，进而得到22211BB AB AB =+，由勾股定理逆定理得到1AB AB ⊥，结合AC AB ⊥，得到线面垂直，证明出1AB B C ⊥； （2）证明出1AB AC ⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】（1）证明: 连接1AB ， 在1ABB 中，111260AB BB ABB ==∠=，，，由余弦定理得，22211111214223cos 2AB AB BB AB BB ABB ⋅=+-⋅∠=+-⨯⨯=， 13AB ∴=，22211BB AB AB ∴=+，1AB AB ∴⊥.又ABC 为等腰直角三角形，且AB AC =，AC AB ∴⊥，1ACAB A =，1,AC AB ⊂平面1AB C ，AB ∴⊥平面1AB C .∵1B C ⊂平面1AB C ， ∴1AB B C ⊥ （2）11312AB AB AC BC ====，，， 22211B C AB AC ∴=+，1AB AC ∴⊥，如图， 以 A 为原点， 1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()(()()10,0,0,3,1,0,0,0,1,0A B B C ， ()()11,0,3,1,1,0.BB BC ∴=-=-设平面1BCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由100BB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得300x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，得3x y ==，∴平面1BCB 的一个法向量为()331n =，，.()()()1110,1,01,0,31,1,3AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，设1AC 与平面1BCB 所成角的大小为θ，()()1111,1,33313105sin cos 3511333157AC n AC n AC nθ-⋅∴=====++⨯++⨯⋅⋅，，，， 1AC ∴与平面1BCB 所成角的正弦值为10535.21．已知在锐角ABC 中，M 是BC 的中点，且4AB =，2AC =． (1)求sin sin BAMMAC∠∠的值；(2)若6cos 4MAC ∠=，求ABC 的面积． 【答案】(1)12 (2)15【分析】（1）由题意有BM MC =，sin sin AMB AMC ∠=∠，在ABM 和AMC 中，利用正弦定理，可求sin sin BAMMAC∠∠的值；（2）由()sin sin BAC BAM MAC ∠=∠+∠求出sin BAC ∠的值，再利用面积公式1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠求解即可. 【详解】（1）锐角ABC 中，M 是BC 的中点，且4AB =，2AC =，如图所示：∴BM MC =，()sin sin πsin AMB AMC AMC ∠=-∠=∠， 在ABM 中，由正弦定理，有sin sin =∠∠AB BMAMB BAM，在AMC 中，由正弦定理，有sin sin AC MCAMC MAC=∠∠，则sin sin 1sin sin 2BM AMBBAM AC AB MC AMC MAC AB AC ∠∠===∠∠ （2）锐角ABC 中，由cos MAC ∠∴sin MAC ∠=，有sin BAM ∠=，cos BAM ∠=， ∴()sin sin BAC BAM MAC ∠=∠+∠sin cos cos sin BAM MAC BAM MAC =∠∠+∠∠==所以ABC 的面积为1115sin 4215224ABCSAB AC BAC22．新冠疫苗有三种类型：腺病毒载体疫苗､灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗，腺病毒载体疫苗只需要接种一针即可产生抗体，适合身体素质较好的青壮年，需要短时间内完成接种的人群，突发聚集性疫情的紧急预防.灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗安全性高，适合老､幼､哺､孕及有慢性基础病患者和免疫缺陷人群，灭活疫苗需要接种两次.重组蛋白亚单位新冠疫苗需要完成全程三针接种，接种第三针后，它的有效保护作用为90%，人体产生的抗体数量提升5-10倍，甚至更高（即接种疫苗第三针后，有90%的人员出现这种抗疫效果）．以下是截止2021年12月31日在某县域内接种新冠疫苗人次（单位：万人，忽略县外人员在本县接种情况）统计表：其中接种腺病毒载体疫苗的统计情况如下：(1)遭遇3月疫情突发､服务6月高考考务､参加7月抗洪救灾的人都是不同的人，在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，求这个人参加了抗洪救灾的概率；(2)在已接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员中，以人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据，用分层抽样的方法抽取4人，再从这4人随机抽取2人，求这2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的概率． 【答案】(1)12 (2)12【分析】（1）参加了抗洪救灾的接种人数为2500，总接种腺病毒载体疫苗的人数有5000，根据古典概型即可求解；（2）接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人，接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人，比率为9031204=，所以抽取4人中有1人人体产生的抗体数量不足以提升5-10倍，由列举法即可求解结果．【详解】（1）在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，这个人参加了抗洪救灾的概率为 250011500100025002P ==++；（2）截止2021年12月31日在某县域内接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人 其中接种灭活疫苗有10万人，接种重组蛋白亚单位疫苗有110万人，这110万人中只有100 万人接种了第三针，根据有效保护率只有90万人人体产生的抗体数量至少提升5-10倍， 比率为9031204=.所以以人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据，用分层抽样的方 法抽取4人，有1人人体产生的抗体数量不足以提升5-10倍，3人人体产生的抗体数量至少 提升5-10倍．设抽取4人中不足以提升5-10倍的那个人为A ，其他3人分别为123,,,B B B 故从这4人中 随机抽取2人，所有可能结果分别为123121323,,,,,AB AB AB B B B B B B 共有6个结果，其中 2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的结果有121323,,B B B B B B 共有 3个结果．所以2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的概率为3162P ==. 23．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCD -的体积的最大值；(2)设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面P AM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．【答案】(1)24(2)1111【分析】（1）取AM 的中点G ，连接PG ，即当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，即可得到结果；（2）连接DG ，过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别DA 以DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果.【详解】（1）取AM 的中点G ，连接PG ，因为PA PM =，则PG AM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，此时PG ⊥平面ABCM ，且1222PG AM ==， 底面ABCM 为梯形，面积为()1312122+⨯⨯=，则四棱锥P ABCM -的体积最大值为13223224⨯⨯=（2）连接DG ，因为DA DM =，所以DG AM ⊥，所以PGD ∠为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=， 过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()1,0,0A ，()0,1,0M ，()0,2,0C ，过P 作PH DG ⊥于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ， 设()000,,P x y z，因为2PG =，所以2PH θ=，GH θ=，)1cos DH θ=-，所以)()0011cos 1cos 2x y θθ==-=-，0z θ=，所以()()111cos ,1cos 22P θθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()1,1,0AM =-，1cos cos 1,,222PA θθθ⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面P AM 的法向量为()1111,,n x y z =，则111111cos cos 1022x y x y θθ-+=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩，令1z(1tan ,tan n θθ=， 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，因为()1,0,0CB =，cos 1cos 3,,22PC θθθ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则22220cos 1cos 3sin 022x x y z θθθ=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2y θ，可得：()20,,3cos n θθ=+，设两平面夹角为α，则(1212cos 2n n n n α⋅===⋅==令11cos 3t θ=+，π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3,34t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以cos α=因为280609y t t =+-的对称轴为38t =-，所以当3t =时，cos α所以平面P AM 和平面PBC五、双空题24．在空间四边形ABCD 中，4AB BC AC ===，AD AC ⊥，π6ADC ∠=，二面角D AC B --的平面角为2π3，E 为CD 的中点，则BE 与AD 所成的角为___．若点G 为ACD 的重心，则B ACG V -＝___． 【答案】π6##30︒；. 【分析】对于第一空，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，根据平移法得出BEF ∠为异面直线BE 与AD 所成的角（或补角），根据二面角的平面角定义得出BFE ∠为二面角D AC B --的平面角，进而利用解三角形知识求BEF ∠；对于第二空，利用等体积法将B ACG V -转化为G ABC V -，结合点G 为ACD 的重心则有23AG AE =，再根据线面垂直的判定定理得出EM ⊥平面ABC ，从而得到GN ⊥平面ABC ，进而确定出GN 为所求几何体的高，再通过解三角形知识以及体积公式进行求解即可. 【详解】根据已知条件，作出图形，如下，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ， 在ABC 中，4AB BC AC ===，BF AC ∴⊥，3423BF == 在Rt ADC 中，AD AC ⊥，π6ADC ∠=，4AC =，443πtan tan 6AC AD ADC ∴===∠，//EF AD ，且12EF AD =， EF AC ∴⊥，23EF =BEF ∴∠为异面直线BE 与AD 所成的角（或补角）， BFE ∴∠为二面角D AC B --的平面角，2π3BFE ∠=， 又23BF EF ==12πππ236BEF ⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭， 连接AE ，如下图，点G 为ACD 的重心，∴G 在中线AE 上，且23AG AE =， 过点作EM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连接AM ， 过点G 作//GN EM 交AM 于点N ， ,BF AC EF AC ⊥⊥，⋂=BF EF F ， 又BF ⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，AC ∴⊥平面BEF ，EM ⊂平面BEF ，AC EM ∴⊥， 又AC ⊂平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，AC BF F =， EM ∴⊥平面ABC ，GN ∴⊥平面ABC ， 在Rt EFM △中，3EF =ππ3EFM BFE ∠=-∠=，π2FME ∠=， 3sin 233EM EF EFM ∴=⋅∠==， 在Rt AEM △中，23GN AG EM AE ==，223233GN EM ∴==⨯=， 2113834233B ACG G ABC ABC V V S GN --∴=⋅⋅⨯===π6.故答案为：。