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拓扑学课程教学大纲【课程编码】JSZX0500【适用专业】数学与应用数学【课时】54课时【学分】3学分【课程性质、目标和要求】本课程是数学与应用数学专业的一门专业课。
它系统而完整地介绍了点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。
其主要任务是使学生获得拓扑学的基本思想与拓扑空间、连续映射、连通性、可数性、分离性、紧致性等方面的系统知识。
它既能从较高的观点总结一、二年级学过的有关概念、理论和方法，又能使学生抽象思维能力和逻辑论证能力得到进一步训练，为今后深入学习拓扑、几何、泛函等学科提供基础。
通过学习本课程，使学生理解拓扑学的一些基本概念，掌握拓扑学的基本理论和基本方法，并能运用这些基本概念、基本理论和基本方法解决拓扑学中的相关问题。
从而，有助于培养学生辨证唯物主义基本观点与学生抽象思维能力。
【教学时间安排】本课程计3学分，54学时, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章集合论初步一、学习目的要求本章属预备知识，集合的概念与运算已经在数学分析课程中学过了，建议由学生自学。
关系与等价关系、映射、集族及其运算作为重点掌握的内容。
通过本章的学习，使学生正确理解关系与等价关系、映射、集族等基本概念，掌握单射、满射、一一映射的等价刻画及集族的基本运算，了解Cantor-Bernstein 定理、连续统假设及广义连续统假设。
二、主要教学内容1、集合的基本概念；2、集合的基本运算；3、关系；4、等价关系5、映射；6、集族及其运算；7、可数集，不可数集，基数；8、选择公理。
第二章拓扑空间与连续映射一、学习目的要求本章属于拓扑学的重要内容，通过本章的学习，使学生理解度量空间的概念，由度量导出的球邻域、开集，闭集、收敛性等概念，度量空间之间的连续映射概念及其等价描述；掌握拓扑空间的定义，由拓扑导出的邻域与邻域系，集合的聚点与闭包，内部与边界等概念，这些概念之间的联系；正确理解拓扑空间的基，以邻域系为基生成拓扑的方法，由闭包公理生成拓扑，子基概念及由子基生成拓扑的方法；拓扑空间的映射的连续性及其等价描述，同胚映射及同胚的概念。
拓扑学分离公理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是空间结构的性质和性质之间的关系。
拓扑学分离公理是拓扑学中的一个重要概念。
分离公理是描述点集在拓扑空间中的分离情况的一组性质。
这些性质刻画了拓扑空间中的点之间的相对位置关系，使得我们能够更好地理解拓扑空间的性质和结构。
拓扑学分离公理分为几种不同的类型，包括T0分离公理、T1分离公理、T2分离公理等。
这些公理描述了不同程度上的点集分离性质，是拓扑学中的基本概念和定理。
下面我们将介绍这些分离公理及其性质。
T0分离公理是拓扑学中最基本的分离公理，它要求拓扑空间中的任意两个不同的点都有一个开集包含其中一个点但不包含另一个点。
换句话说，对于任意两个不同的点x和y，在x点的邻域U中必然包含y或y的邻域V中必然包含x。
这个性质刻画了拓扑空间中点的局部特征，指出了不同点之间的局部关系。
T2分离公理又称为海涅-比雷尔分离公理，它是比T1更强的分离公理。
T2分离公理要求对于任意两个不同的点x和y，存在开集U包含x但不包含y，以及开集V包含y但不包含x，并且U和V是不相交的。
换句话说，T2分离公理要求拓扑空间中的任意两个不同的点都可以被不相交的开集分离出来，强调了点与点之间的完全分离性。
除了上述的三种分离公理外，拓扑学中还有其他分离公理，如T3分离公理、T4分离公理等。
这些分离公理为我们研究拓扑空间提供了重要的工具和方法，帮助我们理解和分析拓扑空间的性质和结构。
在实际应用中，拓扑学分离公理被广泛应用于各个领域，比如几何学、物理学、工程学等。
通过分析拓扑空间中点的分离性质，我们可以更好地研究空间的结构和性质，为实际问题的解决提供有力的支持。
拓扑学分离公理具有重要的理论和应用价值，对于提高我们对空间结构的理解和认识起着重要的作用。
第二篇示例：拓扑学是数学中的一个分支，研究空间的性质和结构的学科。
在拓扑学中，最基本的概念之一就是拓扑空间。
§ 7.2 紧致性与分离性公理本节重点：掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdoff 空间中紧致子集的性质在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发 现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了. 此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdoff 空间的连续映射的一个十分重要的性质.资料个人收集整理，勿做商业用途 定理7.2.1 设X 是一个Hausdoff 空间•如果A 是X 的一个不包含点x €X 的紧 致子集，则点x 和紧致子集A 分别有开邻域U 和V 使得 U Q V 〜. 资料个人收集整理，勿做商 业用途证明 设A 是一个紧致子集，x € 匸.对于每一个 y € A ,由于X 是一个Hausdoff 空间，故存在x 的一个开邻域八和y 的一个开邻域一「「一】集族｛\|y € A ｝明显是紧致子集 A 的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为 ｛ ' ：「’ X - I I'. ｝，覆盖A .令■-1 ",它们分别是点x 和集合A 的开邻域.此外，由于对于每一个所以推论7.2.2 Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.证明 设A 是Hausdoff 空间X 的一个紧致子集.对于任何 x € X ，如果x ：二A ，则根据 定理7.2.1可见x 不是A 的凝聚点.因此凡 A 的凝聚点都在 A 中，从而A 是一个闭集.资料 个人收集整理，勿做商业用途推论7.2.2 结合定理7.1.5可见：推论7.2.3 在一个紧致的Hausdoff 空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集.资料个人收集整理，勿做商业用途为了加强读者对定理 7.1.5 ,推论722和推论723中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下： 资料个人收集整理，勿做商业用途紧致空间：闭集 紧致子集i=1，2，…，n 有：资料个人收集整理，勿做商业用途Hausdorff 空间：闭集一紧致子集紧致的hausdo市空间：闭集二：紧致子集推论7.2.4 每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间.证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点•由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5 ），所以A是一个紧致子集•又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得UQ g；.这就证明了X是一个正则空间.资料个人收集整理，勿做商业用途定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间.如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U Q V。
点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中，最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。
集合是元素的无序集合，而拓扑空间是一个集合，其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。
这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。
1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集，从而为集合赋予了拓扑性质。
具体来说，给定一个集合X，如果满足以下条件：（1）空集和X本身是开集；（2）任意开集的任意并集仍然是开集；（3）有限个开集的任意交集仍然是开集。
那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。
1.3 开集和闭集在拓扑空间中，开集和闭集是两个非常重要的概念。
开集是指每个点都包含在集合内部的集合，闭集则是指包含了其边界的集合。
开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。
1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质，一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并，则称为连通的。
连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。
二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间，度量是一种满足一系列性质的函数，用来度量空间中两点之间的距离。
度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构，这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。
2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。
这种空间具有较强的分离性质，能够更好地描述空间中点的位置关系。
2.3 紧空间在拓扑学中，紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。
紧空间具有重要的性质，例如有限覆盖性质和闭性性质，这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。
2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。
换句话说，连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的，没有间断。
这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。
2.5 分离性和局部性在拓扑学中，还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理，包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。
§6.5分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间本节重点:掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去作．定理6.5.1 设X和Y是两个同胚的拓扑空间．如果X是一个完全正则的空间，则Y也是一个完全正则的空间．证明设h：X→Y是一个同胚．对于Y中的任意一个点和任何一个不包含点x的闭集B，（x）和（B）分别是X中的一个点和一个不包含点（x）的闭集．由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X→[0,1]使得f((x))=0和对于任何y∈（B）有f（y）＝l．于是连续映射g＝f：Y→[0,1]，满足条件：g(x)＝0和对于任何z∈B有g(z)=1．（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．定理6.5.2 正则空间的每一个子空间都是正则空间．证明设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间，设y∈Y和B是Y的一个闭集使得yB．首先，在X中有一个闭集使得∩Y＝B．因此．由于X是一个正则空间，所以y和分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X而言）使得．令，它们分别是y和B在子空间Y中开邻域，此外易见.（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是有限可积性质，证明(略)正规和不是有限可积性质．至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．例6.5.1 由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R中给出一个等价关系～使得对于任意x，y∈R，x～y的充分必要条件是或者x，y∈（-∞，0]；或者x，y∈（0，1）；或者x，y∈[1，∞）．将所得到的商空间记为Y．换言之，Y便是在实数空间中分别将集合A=(-∞，0］，B=（0，l）和C=［1，∞）各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上Y＝{A，B，C}．容易验证Y的拓扑便是{，{A,B},{B},{B,C},{A,B,C}}．考察点A和点B可见，Y不是空间，因此也不是（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及空间．此外，考察两个单点闭集{A}和{C}可见，Y既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y是一个空间．上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空间R的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而例3.3.1并不能代替例6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．作业:P175 1.。
完整word版点集拓扑讲义连通性学习笔记4章连通性第局部连通性和弧连本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别通性，并且涉及某些简单的应用．一些互不同胚的空间．连通空间§4.1:本节重点掌握连通与不连通的定义；掌握如何证明一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．）l（0，我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间）20，）∪［l，2）＝（，和［12），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1），1，2），它们的并（00却是一个“整体”；而另外两个区间（，1）和（1）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一，2∪（1）中；而对于后一种情形，两2在［1，种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．X中的两个子集．如果A和B是拓扑空间定义4.1.1 设B是隔离的．A则称子集和页29 共* 页1 第同时成立，也就是明显地，定义中的条件等价于和B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．说，A与）2）和（1，应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1 不是隔离的．[1，2)是隔离的，而子集（0，l）和又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．和A是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集定义4.1.2 设X 是一个连通空间．是一个不连通空间；否则，则称XB使得X=A∪B，则称X显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．是一个拓扑空间．则下列条件等价：设X定理4.1.1是一个不连通空间；）X（l 成立；A∪B＝A∩B=X和中存在着两个非空的闭子集（2）XA和B使得B使得A∩B=成立；A∪B＝X和3（）X中存在着两个非空的开子集A和X中存在着一个既开又闭的非空真子集．（4）中的两个非空的设（条件（l）蕴涵（2）:1）成立．令A和B是X证明，显然，并且这时我们有A∩B=隔离子集使得A∪B＝X中的一个闭子集．这证明也是一个X是X中的一个闭子集；同理A因此B 2）中的要求．和B满足条件（了集合A）中的要求，所2B 满足条件（A）蕴涵（3）．如果X的子集和条件（2AB也是开集，所以和A、AB为闭集，则由于这时有A＝B=，因此、以）中的要求．也满足条件（和B3页29 共* 页2 第条件（3）蕴涵（4）．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所B=易见A和B都是AX＝和中的闭集，因此A、B以A、B 是开集，则由中既开又闭的真（∵A、B≠，A∪B=X，∴A、B≠X）子集，所以条件（4是X）成立．B=．则A．令（l）．设X中有一个既开又闭的非空真子集条件（4）蕴涵A和B 都是X中的非空的闭子集，它们是无交的并且使得A∪B=X．易见两个无交的闭子集必定是隔离的（因为闭集的闭包仍为自己）．因此（l）成立．例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集．定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间．证明我们用反证法来证明这个定理．假设实数空间R是不连通空间．则根据定理4.1.1，在R中有两个非空闭A∩B=和A∪B＝R成立．任意选取a∈A和b∈B，不失一般性B集A和使得和中的两个非空闭=A∩[a,b]，和是=B∩[a,b]．．可设a ＜bR令于是成立．集合b]，并且使得∩==[a和集分别包含∪a和b有上界，，并且因此可见＜∈b是一个闭集，所以，故有上确界，设为．由于b]（矛盾．∩将导致b，因为＝b因此b∈=∩．由，，而这与∈=于∈矛盾．是一个闭集，所以．这又导致，也与∩∩定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集．页29 共* 页3 第拓扑空间X的子集Y是否是连通的，按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即．因此，如果，则Y是X)Y的连通与否与X的连通与否没有关系．的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集．这一点后面要经常用到．定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集，A，BY．则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集．因此，Y是X的一个不连通子集，当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B 使得A∪B＝Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B＝Y．A在Y，分别表示X 证明中的闭包．因为用、因此根据隔离子集的定义可见定理成立．定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B 使得YAUB，则或者YA，或者YB．AUB，则证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集．然而（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y因此根据定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集．如果B∩Y ＝，同理可见YA．BY，据上式立即可见，如果A∩Y= X是拓扑空间满足条件X的一个连通子集，ZY4.1.5 定理设的一个连通子集．也是Z．则X页29 共* 页4 第证明假设Z是X中的一个不连通子集．根据定理4.1.3，在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B，因此YAUB．由于Y是连通的，根据定理4.1.4，或者YA． , 或者YB,同理．这两种情形都与假设矛盾．设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族．如果定理4.1.6是X的一个连通子集．，则使得X中的两个隔离子集，A和B是＝A∪B．，任意选取证明设，由于∈Γ，不失一般性，设连通，根据x∈A．对于每一个γx∈者或理4.1.4；由于，以∩A，所x∈定或者这就证明了，是连通的．．根据定理4.1.3定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x，y∈Y存，y∈Y，则Yx是中的一个连通子集在XX 中的一个连通子集．使得Y≠证明如果是连通的．下设Y=，显然任意选取a∈Y，容易验Y,a ∈．应用定理4.1.6，可见并且Y证Y＝是连通的．所2拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质我们曾经说过，（参见§2．）．乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间谓拓扑不变性质，所具有的性质．事实上，如果拓扑空间的某一个性质，它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的，则此性质必然是拓扑不变性质．页29 共* 页5 第拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质．因为同胚是连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个可商性质．因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射，所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质．以下定理4.1.8指出，连通性（即一个拓扑空间是连通的这一性质）是一个在连续映射下保持不变的性质．因此，它是拓扑不变性质，也是可商性质．定理4.1.8 设f:X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射．则f（X）是Y的一个连通子集．证明如果f（X）是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A）和（B）是X的非空子集，并且和B使得f（X）＝A∪B．于是（A（B）是A所以X）和的非空隔离子集．此外，（=(f(X))=X ）＝A（A∪B））∪B （（这说明X不连通．与定理假设矛盾．页29 共* 页6 第拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质，如果任意n＞0个拓扑空间，蕴涵着积空间也具有性质pp．都具有性质都是离散空间（平庸空例如，容易直接证明，如果拓扑空间也是离散空间（平庸空间），因此我们可以说间），则积空间拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质．根据定理3．2．9以及紧随其后的说明可见：假设已知拓扑空间的某一个性质p 是一个拓扑不变性质．为了证明性质p是一个有限可积性质，我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间．则积空间也n 个连通空间．是设定理4.1.9．是连通空间根据前一段中的说明，我们只要对于证明n=2的情形加以证明．两个点有一个坐标相首先我们指出：如果y x同，则有一个连通子集同时包含和不失一般性，设： k定义映射使得对于任何．有由于是取常值的映射，为恒同映射，页29 共* 页7 第个坐标空间的和第2分别是到第它们都是连续映射，1其中k(k是一个连续映射．根据定理4.1.8，是连通的．此外易)投射．因此，．，因此它同时包含x和y见，同时现在来证明：中任何两个点的某一个连通子集．这是因为这时若令，则属于可见有根据前段结论，同时包含x和z，也有的一个连通子集，z∈，因此根据定理y和z．由于4.1.6同时包含的一个连通子集y．是连通的，它同时包含x和可见于是应用定理4.1.7是一个连通空间．又是一R的笛卡儿积，而实数空间因为n维欧氏空间是n个实数空间R维欧氏空间个连通空间，所以应用这个定理可见，是一个连通空间． n作业:．．6．814． P116 3．5连通性的某些简单应用§4.2本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.页29 共* 页8 第掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，则有[a，b]={x∈R|a≤x≤b}E读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：（-∞，∞），（a，∞），［a，∞），（-∞，a），(-∞，a］（a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果E R是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将E归入以上9类之一在定理4．1．2中我们证明了实数空间R是一个连通空间．因为区间（a，∞），（－∞，a）和（a，b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于根据定理4．1．5可见区间[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是连通的．另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E,也就是说,存在a<c通综合以上两个方面，我们已经证明了：页29 共* 页9 第定理4.2.1 设E是实数空间R的一个子集．E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间．定理4.2.2 设X是一个连通空间，f:X→R是一个连续映射．则f(X)是R中的一个区间．因此，如果x，y∈X，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)≤f(y)时，f(x)≤t≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t≤f(x))，存在z∈X 使得f(z)=t．证明这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4.2.1的明显推论．以下证明第二段．设x，y∈X．如果f（x）＝f（y），则没有什么要证明的．现在设f（x）≠f（y），并且不失一般性，设f（x）＜f（y）．由于f（X）是一个区间，所以［f（x），f（y）］f（X）．因此</c。
《点集拓扑学学习心得》点集拓扑学是由分析、几何、和代数等许多学科的一些基本概念和问题抽象而成的一个数学分支，是理工科相关专业的一门基础课。
它的许多概念、理论、方法广泛的应用与泛函分析、微分几何和微分方程等领域中。
通过这门课程的学习可以加强我们对学习了的数学分析、实变函数、常微分方程等课程的理解。
因此我们有必要努力学好这一门课程。
在学习中我有几点深刻的体会。
第一、这门课程确实很抽象。
它不同于我们学习的其他数学课程，如数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数等，点击拓扑几乎没有计算的内容，逻辑性强。
在学习概念后就是一连串的定理、推论，例子也比较少，且多为证明。
所以学习起来就比较枯燥。
一开始学习的掉以轻心让我后悔不已。
第二、抽象的概念也是有它形成的基础。
点集拓扑学是一门建立在集合论的基础上的一门学科，因此第一章的集合论初步是学习的预备知识。
尤其是映射的像和原像的性质，这些性质对刻画拓扑空间中映射的连续性有重要作用。
而第二章是全书的理论基础，尤其重要。
并且概念和概念之间也是相互联系的。
比如度量给出以后，度量空间的相应概念由此产生。
开集、邻域的概念形成后，导集、闭集、闭包、内部、边界及其性质大都是借助它们来说明的。
因此学习的时候每一个概念都要弄懂。
第三、点集拓扑学中涉及到很多我们已经在其他学科中学习到的知识，因此我们要注意对比分析。
序列的极限、函数的连续性是数学分析的基础，其中涉及两个实数的距离。
数学分析中绝大多数问题都离不开距离。
而点集拓扑学中建立了以距离为出发点的距离空间。
数学分析中我们熟知的欧式空间和欧式空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间的连续映射，抽象到拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
数学分析中数列涉及敛散性、连续性、以及极限存在的条件等，而点集拓扑学中序列也涉及到这些内容，但是它们之间存在着异同之处。
在拓扑空间中一般不能用点列的收敛来刻画聚点，进而拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。
第五章 有关可数性的公理① 几种可数性的关系定理 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。
证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，Β是它的一个可数基。
对于每一个x ∈X ，根据定理，x B ={B ∈B | x ∈B}是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族．于是 X 在点x 处有可数邻域基x B ．定理 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间．证明：设X 是一个满足第二可数性公理的空间，B 是它的一个可数基．在B 中的每一个非空元素B 中任意取定一个点B x B ∈. 令D={∈B x B | B |}φ≠B这是一个可数集．由于X 中的每一个非空开集都能够表示为B 中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D 有非空的交，所以可数集D 是X 的一个稠密子集．定理 （Lindelöff 定理）任何一个满足第二可数性公理的空间都是 Lindelöff 空间．② 可数性的定义定义 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为2A 空间。
定义 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为1A 空间。
定义 设X 是一个拓扑空间，X D ⊂．如果X D =，则称D 是X 的一个稠密子集． 定义 设X 是一个拓扑空间，如果X 中有一个可数的稠密子集，则称X 是一个可分空间． 定义 设A 是一个集族，B 是一个集合．如果B A A ⊃⋃A∈则称集族A 是集合B 的一个覆并且当A 是可数族或有限族时，分别称集族A 是集合B 的一个可数覆盖或有限覆盖．设集族A 是集合B 的一个覆盖．如果集族A 的一个子族A1也是集合B 的覆盖，则称集族A1是覆盖A （关于集合B ）的一个子覆盖．设X 是一个拓扑空间．如果由X 中开（闭）子集构成的集族A 是X 的子集B 的一个覆盖，则称集族A 是集合B 的一个开（闭）覆盖．定义 设X 是一个拓扑空间．如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindel öff 空间．③ 可数性与序列定理 设X 是一个拓扑空间．如果在x ∈X 处有一个可数邻域基，则在点x 处有一个可数邻域基{}+∈Zi i U 使得对于任何+∈Z i 有1+⊃i i U U ，即.........21⊃⊃⊃⊃i U U U定理 设X 是一个满足第一可数性公理的空间，X A ⊂.则点x ∈X 是集合A 的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A －{x}中有一个序列收敛于x ．④ 性质 Ⅰ. 拓扑不变性定理 设X 和Y 是两个拓扑空间，f: X →Y 是一个满的连续开映射．如果X 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理），则y 也满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）．Ⅱ. 遗传性定理 满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理（满足第一可数性公理）的空间．定理 Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间。
期末复习学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考．一、点集拓扑学的主要内容：1．一般拓扑空间：（1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）（2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．）（3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？）2．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间．（1）并不是任何空间都可以成为上述空间的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间．（各类空间之间没有必然的联系）（2）R及是上述空间吗？（3）若有两个空间，之间通过连续映射联系起来，则原象空间的哪些性质可以传递到象空间？（4）上述空间的哪些性质可以遗传给子空间？（或闭遗传？）（5）上述空间的哪些性质可以是有限可积的？3．连通性：（1）§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性.(2)两种分支的性质.(3)三种连通性之间的关系．（4）R及的连通性．4．可数性：（1）P．149 图表5.1（2）各空间的性质．（特别，空间中序列的性质及如何构造序列？）（3）哪些常见空间是的？是可分的？Lindeloff的？5．分离性：（1）P．171 图表6.1（2）各分离性空间的定义及等价命题．（3）常见空间及的分离性．（4）中序列的极限点，中点集的凝聚点，正规、完全正则空间与连续映射的关系．（5）遗传性、有限可积性、连续映射的保持性等．6．紧致性：（1）P．191、201、204、208、210、212的图表．（2）各空间的定义及等价命题．（3）紧致性与分离性的关系．（4）紧致、可数紧致的等价命题．（5）中的紧致子集．（6）局部紧致、仿紧致只要求定义与联系图．二、思路：不断剖析，将中的性质作为公理搬到一般拓扑空间中来．考察具备怎样的性质的拓扑空间才能具有与相应的性质．及研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性．三、研究手法：集合的运算与逻辑推理．四、收获收获：复习了这些内容后，对点集拓扑学有何了解？研究目的：研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性．感受：原来具有……性质．提高：对逻辑推理性的证明能力有提高？证明的书写能力有提高？五、几个注意点:1．首先，要熟悉所有的定义、定理的内容．2．涉及度量空间，常利用球形邻域．3.有限个开集的交是开集,任意个开集的并是开集.有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集.4.一个集合的任意个拓扑的交是拓扑,即使有限个拓扑的并也可能不是拓扑.5.拓扑空间中任意个紧致闭子集的交还是紧致子集.有限个紧致子集的并还是紧致子集.6.拓扑空间与它的子集的连通性各自独立.7.不是连续映射所保持的性质,而是拓扑不变的.但是可遗传的,有限可积的.可分空间不可遗传,但是连续映射所保持的,有限可积的.8.Lindeloff空间闭遗传,不可积,但是连续映射所能保持的.紧致空间闭遗传,但是连续映射所能保持的,有限可积的.9.分离性公理空间不是连续映射所保持的,但是拓扑不变的.除正规空间, 是闭遗传外,其余均可遗传. 除正规空间,不可积外,其余均有限可积.均不可商.10．在中构造序列，可利用在x处的邻域基套，在每个中取一点，.就构成序列11.若涉及到连续映射f：X→Y，总是将X中的子集映到Y，或将Y中的子集反射到X．12.常对一个等式或包含关系式两边同取f或或闭包，并注意利用P.23的习题1,2或P.28的定理1.6.3或P.20的定理1.5.213.要对集族构造一个单调上升或单调下降序列,可令:则分别为单调上升或单调下降序列.14．注意拓扑空间{X*，T*}，其中X*=X∪{∞}，但T*有两种构造法：P.55的习题9与P.142的例5.2.115.注意定义中的措辞：是任给还是存在（有一个）．它的反面是什么？（互为反面）16.注意反证法．。
§6.3 Urysohn 引理和Tietze 扩张定理本节重点:掌握Urysohn 引理的内容(证明不要求)；掌握定理6.3.2的证明方法．定理6.3.1 [Urysohn 引理]设X 是一个拓扑空间，[a ，b]是一个闭区间．则X 是一个正规空间当且仅当对于X 中任意两个无交的闭集A 和B ，存在一个连续映射f:X→[a ，b]使得当x ∈A 时f(x)=a 和当x ∈B 时f(x)=b ．证明：由于闭区间同胚于[0,1],因此我们只需对闭区间[0,1]的情形给以证明. 充分性:设B A ,是X 中的两个闭集,]1,0[:→X f 是一个连续映射使得当Ax ∈时,0)(=x f ,B x ∈时1)(=x f .由于集合]1,21(),21,0[是[0,1]中两个不相交的开集,因此.))21,0([1-=f U 和])1,21((1-=f V 是X 中两个不相交的开集,并且,U A ⊆V B ⊆,因此X 是一个正规空间.必要性.设X 是一个正规空间, A ,B 是X 中两个不相交的闭集,证明的主要思想是首先利用X 的正规性在X 中构造一个以[0,1]中的有理数为指标集的一个开集族,然后利用这个开集族定义连续映射]1,0[:→X f ,使得A x ∈时,0)(=x f ,B x ∈时1)(=x f .第一步,设1Q 是[0,1]中的全体有理数集合,对1Q r ∈我们将定义一个与它相对应的开集r U ,使得当q r Q q r <∈,,1时,B X U U U A q r r -⊆⊆⊆⊆,这样,开集族}|{1Q r U r ∈在包含关系下是一个有序集,而且随着开集r U 的指标r 的增大所对应的开集也就越大.由于1Q 是可数集合,我们应用归纳的方式来定义开集族}|{1Q r U r ∈.先将1Q 排列成一个无限序列,即建立一一映射1:Q Z g →+,为了方便,不失一般性,设1)1(=g 和0)2(=g 是这个序列的前两个元素.首先,B X A -⊆,令B X U -=1.又由于X 是一个正规空间,由定理 6.4.2可知存在开集V 使得B X V V A -⊆⊆⊆.记V U =0,假设对于≥n 2,集族},,,,{)()3(01n g g U U U U 已有定义,而且当)()(j g i g <时B X U U U A j g i g i g -⊆⊆⊆⊆)()()(,对于1)1(Q g n ∈+,由于集合,|)({1n i i g ≤≤})()1(+<n g i g 是一个有限集,而且有|)({0)2(i g g ∈=,1n i ≤≤})()1(+<n g i g ,故这个集合必有最大元,设|)({max i g p =,1n i ≤≤})()1(+<n g i g ,又集合,|)({1n i i g ≤≤)}1()(+>n g i g 是一个有限集合,而且|)({1)1(i g g ∈=,1n i ≤≤)}1()(+>n g i g ,令|)({min i g q =,1n i ≤≤})()1(+>n g i g .由归纳假设知一定有B X U U U A q p p -⊆⊆⊆⊆.由于q p U U ⊆,由定理6.4.2知存在X 中开集V 使得q p U V V U ⊆⊆⊆.令V U n g =+)1(,则集族},,,,{)1()()2()1(+n g n g g g U U U U 也满足:当)()(j g i g <时,)(i g U A ⊆)()(j g i g U U ⊆⊆B X -⊆.这是因为对)()(j g i g <：①若},{,,2,1n j i ∈时,由归纳假设知包含关系成立.②若1+=n i 时,由于)()(1j g g n <+,则必有q j g ≥)(.即|)({min )(i g j g ≥,1n i ≤≤)1(+n g )}(i g <,因此由)1(+n g 的定义及归纳假设有B X U V V U A j g n g -⊆⊆⊆=⊆+)()1(.③若1+=n j ,则)()(1+<n g i g ,则必有p i g ≤)(,即max )(≤i g ,1|)({n i i g ≤≤)}()(1+<n g i g .因此由)1(+n g 定义及归纳假设有B X U V U U A n g i g i g -⊆=⊆⊆⊆+)1()()(.因此由归纳原理我们构造了集族}|{1Q r U r ∈满足条件：对,,1Q q p ∈p p U U A ⊆⊆B X U q -⊆⊆,而且随着指标r 的增加,r U 也随着增大(在包含关系的意义下).下面,我们令},{54,53,52,51,41,32,31,21,0,11 =Q 来说明上面的归纳定义集族}|{1Q r U r ∈的过程.在定义了,1B X U -=0U 之后,定义1U 于10,U U 之间使之满足1011U U U U ⊆⊆⊆,再定义1U 于1,0U U 之间,使之满足1110U U U U ⊆⊆⊆.接着定义2U 于1,1U U 之间使之满足1221U U U U ⊆⊆⊆,对于41=r ,由于}{m i n }{m a x 1,32,21,31410<<,定义3141410U U U U ⊆⊆⊆,…至第九步我们定义52U ,由于}{min }{max 1,32,43,215231,41,51,0<<,因此使52U 满足5231U U ⊆2152U U ⊆⊆,….如图6.3.1.第二步,将第一步定义的集族}|{1Q r U r ∈中的指标集扩张成实数空间R 中的有理数Q ,具体作法是令⎩⎨⎧><∅=10p X p U p 这样,易验证开集族}|{Q r U r ∈满足：当q p <时,q p p U U U ⊆⊆.第三步,对X x ∈,定义}|{)(r U x r x Q ∈=,即)(x Q 由所有包含x 的开集r U 的下标构成.则对任意)(x Q r ∈,必有0≥r ,(这是因为0<r 时,r U =∅，因此∈x r U ),且对于1>r ,必有)(x Q r ∈,(因为1>r 时,r U =X ，因此∈x r U ),因此)(x Q 有下界,从而)(x Q 有下确界,且下确界必属于[0,1],定义：}|{inf )(inf )(r U x r x Q x f ∈==第四步,验证第三步中定义的映射f 就是满足要求的映射.(1)设A x ∈,则对0,≥∈r Q r ,均有A x ∈r U ⊆,因此}|{)(0≥=r r x Q ,从而0)(in f )(==x Q x f .设B x ∈,由定义有B X U -=1,且1<r 时,1U U r ⊆,因此对于任意Q r ∈,若r U x ∈必有X U r =,因此必有>r 1,因此}|{)(1>=r r x Q ,从而1)(inf )(==x Q x f .(2) 先证下面两个结论:(a )∈x r x f U r ≤⇒)(,(b )∈x r x f U r ≥⇒)(.如果∈x r U ,由集族}|{Q r U r ∈定义有对任意r s >,s U x ∈,因此}|{}|{)(r s s U x p x Q p >⊇∈=,从而r r s s x Q x f =>≤=}|{inf )(inf )( 如果r U x ∈,则对任意s U x r s ∈<,,因此}|{)(p U x p x Q ∈=}|{r s s >⊆,从而 r r s s x Q x f =>≥=}|inf{)(inf )((3) 证明]1,0[:→X f 是一个连续映射.设X x ∈0,),(d c 是一个含有)(0x f 的R 中的开区间,我们只需证明存在0x 的邻域U 使得),()(d c U f ⊆.为此,取有理数)),(()),(,(00d x f q x f c p ∈∈.令p q U U U -=,(见图6.3.2).①U 是一个开集,这是因为p q U U U -==pq U U ' . ②U x ∈0,这是因为q x f <)(0,且q x f >)(0,由第三步易见p q U x U x ∈∈00,,因此p q U U x -∈0.③),()(d c U f ⊆,这是因为对p q U U U x -=∈,则q q U U x ⊆∈,因此q x f ≤)(,又p U x ∈,因此p U x ∈,从而p x f ≥)(,从而),(],[)(d c q p x f ⊆∈(见图6.3.2),从而由习题§3.2.1可知f 是一个连续映射.Urysohn 引理说明对于正规空间中的任何两个不相交的闭集,存在连续映射]1,0[:→X f 使得},{)(0=A f }{)(1=B f ,也就是说B A ,可用一个连续函数分离,回想一下正则空间的定义6.4.1和定理6.4.1,我们会有这样一个思考:Urysohn 引理可推广到正则空间中去吗？即就是说对于正则空间中的点x 及其中不包含x 的闭集F ,是否一定存在连续映射]1,0[:→X f 使得,)(0=x f 1)(=F f .由定理6.4.1我们可取,1F X U -=0U 为满足F X V V x -⊆⊆∈的开集V ,这和Urysohn 定理的证明是一致的,但要21U (或对于除0,1之外的一个有理数p )满足条件00U ⊆12121U U ⊆⊆⊆,只有X 的正则性显然是不可能的.为此,将正则空间中的点与不含此点的闭集F 要用连续映射分离,我们有下面的分离公理：定义 6.5.1 设X 是一个拓扑空间,如果对于X 中任意点X x ∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集F ,存在一个连续映射]1,0[:→X f 使得=)(x f 0,以及对于任意=∈)(,y f F y 1,则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.定理 6.3.2空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．证明 设C 是空间X 中的一个连通子集．如果C 不只包含着一个点，任意选取，x,y ∈X ,x≠y,对于空间X 中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn 引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1． 由于C 是X 中一个连通子集，因此f （X ）也连通．由于0，1∈f （X ），因此f （X ）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C 也是一个不可数集．作业:P168 1．。
拓扑学中的分离公理
在数学领域中，拓扑学是一门研究空间、连续性和连通性的学科。
它是现代数学的一个重要分支，对于理解和解决各种实际问题有着重要的作用。
在拓扑学中，分离公理是描述一个拓扑空间的性质的重要工具。
首先，我们需要了解什么是拓扑空间。
简单来说，拓扑空间是由一个集合和定义在这个集合上的一个拓扑所组成的。
这个拓扑规定了集合中的哪些子集是“开”的，从而决定了空间的基本结构。
在这个框架下，我们可以引入一些基本的概念，如点、邻域、闭集和开集等。
然后，我们来看分离公理。
分离公理是用来描述拓扑空间中点与点、点与集合、集合与集合之间关系的一种工具。
根据这些关系的不同，我们可以将分离公理分为几个不同的类型。
1. T0分离公理：如果两个不同的点可以由各自的闭邻域来区分，那么这个空间就满足T0分离公理。
2. T1分离公理：如果两个不同的点可以由各自的开邻域来区分，那么这个空间就满足T1分离公理。
3. T2（或Hausdorff）分离公理：如果对于任何两个不同的点，存在分别包含这两个点的不相交的开集，那么这个空间就满足T2分离公理。
这些分离公理在拓扑学中起着关键的作用。
例如，它们可以帮助我们判断一个给定的空间是否是正规的或者完全正规的。
同时，它们也可以用来刻画一些特殊的拓扑空间，如度量空间、豪斯多夫空间等。
总的来说，分离公理是拓扑学中的一个重要概念。
它为我们提供了一种强大的工具，使我们能够更好地理解和研究拓扑空间的性质。
随着数学的发展，我们有理由相信，分离公理将在未来的理论研究和实际应用中发挥更大的作用。
§6.2正则，正规，空间本节重点：掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系．我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．定义6.2.1 设X是一个拓扑空间，A，U X．如果A包含于U的内部，即A，则称集合U是集合A的一个邻域．如果U是A的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域．定义6.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交（即如果x∈X和A X是一个闭集，使得x A，则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正则空间．定理6.2.1 设X是一个拓扑空间．则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X 和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得．证明必要性设X是一个正则空间．如果x∈X，集合U是x的一个开邻域，则U的补集便是一个不包含点x的闭集．于是x和分别有开邻域使得．从而，所以充分性设x∈X和A是一个不包含x的闭集．这时A的补集是x的一个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，有x的开邻域U使得．令，所以V是A的一个开邻域，并且易见．这证明X是一个正则空间．定义6.2.3 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果A，B X都是闭集，则存在A的一个开邻域U和B的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正规空间．定理6.2.2 设X是一个拓扑空间．则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A X和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得．证明证明类似于定理6.2.l，请读者自己写出．正则、正规性质与§6.l中定义的以及Hausdorff诸性质之间并无必然的蕴涵关系．例6.2.1 正则且正规的空间但非空间（因而也是非，非Hausdorff空间）的例子．令X={1,2,3}和T={{1},{2,3},{1,2,3},}．容易验证(X，T)是一个拓扑空间，并且是一个正则且正规的空间．留意点2和点3立即可见它不是一个空间．例6.2.2 Hausdorff空间（因而也是空间）但非正则空间、也非正规空间的例子．(略)拓扑空间的正则性和正规性之间也没有必然的蕴涵关系．例6.2.3 正规空间而非正则空间的简单例子是(X，T)，其中X={1,2,3}和T={,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}定义6.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间．由于空间中的每一个单点集都是闭集，因此空间一定是空间，空间一定是Hausdorff空间．而非空间的一个例子（它自然也是正则而非正规空间的例子）可见于习题第6题．最后，我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些定义（指至，以及正则正规等）．为此，我们只要证明：定理6.2.3 每一个度量空间都是空间．证明设（X，d）是一个度量空间．如果x，y∈X，x≠y，则d（x，y）＞0.令ε=d（x，y），则球形邻域B（x，ε/2）和B（y,ε/2）分别是x和y的开邻域，并且易见它们无交．因此X是一个Hausdorff空间，自然它也是空间．现在设A和B是X中的两个无交的闭集．假如A和B中有一个是空集，例如B= ．这时我们可以取X为A的开邻域，为B的开邻域，它们的交当然是空集．以下假定A和B都不是空集．根据定理2．4．9可见，对于x，y∈X，如果x B，则d（x，B）＞0；如果y A，则d（y，A）＞0．记ε(x)=d(x,B)/2,δ(x)=d(x,A)/2并且令显然U和V分别是A和B的开邻域．以下证明．若不然设,不失一般性，设．于是我们有这与d（，B）的定义（d（，B）＝inf{（，y）|y∈B}）矛盾．这就证明了X 是一个正规空间．作业:P160 1.2.3.。
第6章分离性公理§6.1,Hausdorff空间本节重点:掌握空间的定义及它们之间的不同与联系；掌握各空间的充要条件；熟记常见的各种空间.与前两章的连通性公理和可数性公理一样，分离性公理也是拓扑不变性质。
回到在第二章中提出来的，“什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来”这一问题．为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．我们将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答．引入：例对于度量空间X，如果x，y∈X，∀x、y ，当x ≠y时，x、y之间应该有一个距离，这个距离用d(x,y)表示，定义6.1.1设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果x，y∈X，x≠y,则或者x有一个开邻域U使得y U,或者y有一个开邻域V使得x V)，则称拓扑空间X 是一个空间．拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间．定理6.1.1 拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包．（即如果x，y∈X，x≠y，则．）证明充分性:设定理中的条件成立．则对于任何x，y∈X，x≠y，由于，因此或者成立，或者成立．当前者成立时，必定有．（因为否则).这推出x 有一个不包含y的开邻域．同理，当后者成立时，y有一个不包含x的开邻域．这证明X是一个空间．必要性:设X是一个空间．若x，y∈X，x≠y，则或者x有一个开邻域U 使得或者y有一个开邻域V使得．若属前一种情形，由于，若属后一种情形，同样也有．定义6.1.2设X是一个拓扑空间．如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X是一个空间．空间当然是空间．但反之不然．例如设X={0,1}，T={,{0},X},则T 是X的一个拓扑，并且拓扑空间(X，T)是的但不是的．（请读者自己验证，）定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：（1）X是一个空间；（2）X中每一个单点集都是闭集；（3）X中每一个有限子集都是闭集．证明（1）蕴涵（2）．设x∈X．当X是一个空间时，对于任何y∈X，y≠x，点x有一个邻域U使得，即.这证明单点集{x}是一个闭集．（2）蕴涵（3）．这是显然的.因为有限个闭集的并仍然是闭集.（3）蕴涵（1）．设x,y∈X,x≠y,当(3)成立时单点集{x}和{y}都是闭集．从而分别是y和x的开邻域，前者不包含x，后者不包含y．这就证明了X是一个空间.下面的两个定理表明，空间中关于凝聚点和序列收敛的性质和我们在数学分析中熟知的多了一些类似之处．定理6.1.3 设X是一个空间．则点x∈X是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点,即U∩A是一个无限集．证明定理充分性部分是明显的．以下证明必要性部分．假设x∈X,x∈d(A)．如果x有一个开邻域U使得U∩A是一个有限集，则集合B=U∩A-{x}也是一个有限集，因此是一个闭集．因此U－B是一个开集，并且是x的一个邻域．此外易见(U－B)∩(A-{x})=.这蕴含着x不是A的凝聚点,与假设矛盾．定理6.1.4 设X是一个空间．则X中的一个由有限个点构成的序列{}（即集合{|i∈Z+}是一个有限集）收敛于点x∈X当且仅当存在N＞0使得=x对于任何i≥N成立．证明由于X是一个空间，集合A＝{|≠x,i=1,2…}是一个有限集，所以是一个闭集．从而是x的一个开邻域．于是存在N＞0使得当i≥N有，因而=x.定义6.1.3 设X是一个拓扑空间．如果X中任何两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交（即如果x，y∈X，x≠y，则点x有一个开邻域U，点y有一个开邻域V，使得U∩V=），则称拓扑空间X是一个Hausdorff空间，或空间．hausdorff空间一定是空间，但反之不然．例6.1.1 非Hausdorff的空间的例子．设X是一个包含着无限多个点的有限补空间．由于X中的每一个有限子集都是闭集，因此它是一个空间．然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空的交．这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集，而X又是一个无限集的缘故．由此易见X必然不是一个空间．定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．证明设{}是Hausdorff空间X中的一个序列，并且有于是对于j＝1，2，点有一个开邻域，使得．故存在＞O使得当i≥时有．任意选取M＞max{}．可见，这是一个矛盾．但在空间中定理6.1.5却可以不成立．例如设拓扑空间X如例6.1.1中所述，{}是X中的任何一个由两两不同的点构成的序列，即当i≠j时有.此时对于任何y∈X和y的任一邻域U,由于U的补集是一个有限集，所以存在N＞0使得当i≥N时有∈U．于是lim=y．也就是说，序列{}收敛于X中的任何一个点．作业:P155 3.4.5.§6.2正则，正规，空间本节重点：掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系．我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．定义6.2.1 设X是一个拓扑空间，A，U X．如果A包含于U的内部，即A，则称集合U是集合A的一个邻域．如果U是A的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域．定义6.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交（即如果x∈X和A X是一个闭集，使得x A，则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正则空间．定理6.2.1 设X是一个拓扑空间．则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得．证明必要性设X是一个正则空间．如果x∈X，集合U是x的一个开邻域，则U的补集便是一个不包含点x的闭集．于是x和分别有开邻域使得．从而，所以充分性设x∈X和A是一个不包含x的闭集．这时A的补集是x的一个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，有x的开邻域U使得．令，所以V是A的一个开邻域，并且易见．这证明X是一个正则空间．定义6.2.3 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果A，B X都是闭集，则存在A的一个开邻域U和B的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正规空间．定理6.2.2 设X是一个拓扑空间．则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A X和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得．证明证明类似于定理6.2.l，请读者自己写出．正则、正规性质与§6.l中定义的以及Hausdorff诸性质之间并无必然的蕴涵关系．例6.2.1 正则且正规的空间但非空间（因而也是非，非Hausdorff 空间）的例子．令X={1,2,3}和T={{1},{2,3},{1,2,3},}．容易验证(X，T)是一个拓扑空间，并且是一个正则且正规的空间．留意点2和点3立即可见它不是一个空间．例6.2.2 Hausdorff空间（因而也是空间）但非正则空间、也非正规空间的例子．(略)拓扑空间的正则性和正规性之间也没有必然的蕴涵关系．例6.2.3 正规空间而非正则空间的简单例子是(X，T)，其中X={1,2,3}和T ={,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}定义6.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间．由于空间中的每一个单点集都是闭集，因此空间一定是空间，空间一定是Hausdorff空间．而非空间的一个例子（它自然也是正则而非正规空间的例子）可见于习题第6题．最后，我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些定义（指至，以及正则正规等）．为此，我们只要证明：定理6.2.3 每一个度量空间都是空间．证明设（X，d）是一个度量空间．如果x，y∈X，x≠y，则d（x，y）＞0.令ε=d（x，y），则球形邻域B（x，ε/2）和B（y,ε/2）分别是x和y的开邻域，并且易见它们无交．因此X是一个Hausdorff空间，自然它也是空间．现在设A和B是X中的两个无交的闭集．假如A和B中有一个是空集，例如B= ．这时我们可以取X为A的开邻域，为B的开邻域，它们的交当然是空集．以下假定A和B都不是空集．根据定理2．4．9可见，对于x，y∈X，如果x B，则d（x，B）＞0；如果y A，则d（y，A）＞0．记ε(x)=d(x,B)/2,δ(x)=d(x,A)/2并且令显然U和V分别是A和B的开邻域．以下证明．若不然设,不失一般性，设．于是我们有这与d（，B）的定义（d（，B）＝inf{（，y）|y∈B}）矛盾．这就证明了X是一个正规空间．作业:P160 1.2.3.§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理本节重点:掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；掌握定理6.3.2的证明方法．定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．证明(略)定理6.3.2 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．证明设C是空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点，任意选取，x,y∈X,x≠y,对于空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1．由于C是X中一个连通子集，因此f（X）也连通．由于0，1∈f（X），因此f（X）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集．作业:P168 1．§6.4完全正则空间，Tychonoff空间本节重点:掌握完全正则空间与空间的定义；掌握正则,正规及完全正则空间之间的关系.定义6.4.1 设X是一个拓扑空间．如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)＝0以及对于任何y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间．完全正则的空间称为Tychonoff空间，或空间．定理6.4.1 每一个完全正则空间都是正则空间．证明设X是一个完全正则空间．设x∈X，B是中的一个不含点x的闭集．则存在连续映射f：X→[0,1]，使得f(x)=0和对任何b∈B有f(b)=1.于是([0,1/2))和((1/2,1])分别是点x和闭集B的开邻域，并且它们无交．这表明X是一个正则空间．根据定理6.4.1明显可见，每一个Tychonoff空间都是空间．根据Urysohn引理也容易看出，每一个空间都是Tychonoff空间，但反之不真，有关的例子可以参见§6.2习题第5题．定理6.4.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间．证明设X是一个既正则又正规的空间．设x∈X，B是X中的一个不包含点x的闭集．由于X是一个正则空间，根据定理6. 2．l，点x有一个开邻域U使得．令则A和B是X中无交的两个闭集．由于X是一个正规空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f: X→[0，l]使得对于任何y∈A有f（y）＝0和对于任何y∈B有f（y）＝1．由于x∈A，故f（x）=0，这就证明了X是一个完全正则空间．定理6.4.3[Tychonoff定理] 每一个正则的Lindeloff空间都是正规空间．证明设X是一个正则的Lindeloff空间．设A和B是X中的两个无交的闭集．对于每一个x∈A，由于，根据定理6.2.1可见，存在x的一个开邻域使得即．集族{|x∈A}是闭集A的一个开覆盖．由于Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间（参见定理5.3.4），易见A的开覆盖{|x∈A}中有一个可数子族，设为，仍然覆盖A．注意：对于每一个i∈Z+，有．同理，集合B也有一个可数开覆盖现在，对于每一个n∈Z+，令显然都是开集．对于任何m，n∈Z+，因为若设m≤n，则有令它们都是开集，并且现在只剩下证明和了．不失一般性，我们验证前者：如果x∈A，则存在n∈Z+使得x∈．另一方面，由于诸与A无交，所以对于任意i∈Z+有．§6.1，§6.2和本节中定义的（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等拓扑空间的性质统称为分离性公理．现将满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴涵关系列为图表6.1．作业:P171 1.2.3§6.5分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间本节重点:掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去作．定理6.5.1 设X和Y是两个同胚的拓扑空间．如果X是一个完全正则的空间，则Y也是一个完全正则的空间．证明设h：X→Y是一个同胚．对于Y中的任意一个点和任何一个不包含点x的闭集B，（x）和（B）分别是X中的一个点和一个不包含点（x）的闭集．由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X→[0,1]使得f((x))=0和对于任何y∈（B）有f（y）＝l．于是连续映射g＝f：Y→[0,1]，满足条件：g(x)＝0和对于任何z∈B有g(z)=1．（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．定理6.5.2 正则空间的每一个子空间都是正则空间．证明设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间，设y∈Y和B是Y的一个闭集使得y B．首先，在X中有一个闭集使得∩Y＝B．因此．由于X是一个正则空间，所以y和分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X而言）使得．令，它们分别是y和B在子空间Y 中开邻域，此外易见.（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是有限可积性质，证明(略)正规和不是有限可积性质．至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．例6.5.1 由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R中给出一个等价关系～使得对于任意x，y∈R，x～y的充分必要条件是或者x，y∈（-∞，0]；或者x，y∈（0，1）；或者x，y∈[1，∞）．将所得到的商空间记为Y．换言之，Y便是在实数空间中分别将集合A=(-∞，0］，B=（0，l）和C=［1，∞）各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上Y＝{A，B，C}．容易验证Y的拓扑便是{，{A,B},{B},{B,C},{A,B,C}}．考察点A和点B可见，Y不是空间，因此也不是（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及空间．此外，考察两个单点闭集{A}和{C}可见，Y既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y是一个空间．上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空间R的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而例3.3.1并不能代替例6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．作业:P175 1.§6.6可度量化空间本节重点:掌握三个定理的结论(前两个定理的证明不要求)先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义．一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来．我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具有的．在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题．定理6.6.1[Urysohn嵌入定理] 每一个满足第二可数性公理的空间都同胚于Hilbert空间H的某一个子空间．证明(略）定理6.6.2 Hilbert空间H是一个可分空间．证明(略)定理6.6.3 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（1）X是一个满足第二可数性公理的空间；（2）X同胚于Hilbert空间H的某一个子空间；（3）X是一个可分的可度量化空间．证明（l）蕴涵（2）．此即定理6.6.1．（2）蕴涵（3）．由于Hilbert空间H是一个可分的度量空间，而可分的度量空间的每一个子空间都是可分的度量空间（参见推论5.2.5），与一个可分的度量空间同胚的拓扑空间是可分的（参见§5.2习题第4题），也是可以度量化的（参见§2.2习题12）．（3）蕴涵（1）．可分的度量空间满足第二可数性公理参见定理5.2.4），可度量化空间是一个空间（参见定理6.2.3）．因此更是一个空间．作业:P180 1.本章总结：（1）性质是描述点的分离性的,熟记各空间的定义、性质、与实数空间的区别.注意它们的充要条件，往往是证明的出发点．（2）正则、正规是描述点、闭集与闭集之间关系的性质．注意它们的充要条件．（3）完全正则、Tychonoff只有一种定义，一定要用映射来描述．（4）有了Urysohn引理，可将正规空间与实数空间联系起来，给证明提供了极大的方便．（完全正则与Tychonoff空间也是如此）（5）掌握它们的关系图及是否是连续映射所能保持的、有限可积的、可遗传的．从而会判断一个空间是哪种空间．。
《点集拓扑学教案》word版第一章：点集拓扑基本概念1.1 拓扑空间拓扑空间的定义拓扑空间的性质1.2 开集与闭集开集的定义与性质闭集的定义与性质1.3 拓扑的邻域与开覆盖邻域的定义与性质开覆盖的定义与性质第二章：连通性2.1 连通空间的定义与性质连通空间的定义连通空间的性质2.2 连通性的判定定理判定定理的介绍判定定理的证明与运用2.3 道路连通性与弧连通性道路连通性的定义与性质弧连通性的定义与性质第三章：紧性3.1 紧空间的定义与性质紧空间的定义紧空间的性质3.2 紧性的判定定理判定定理的介绍判定定理的证明与运用3.3 紧空间的开覆盖与乘积空间开覆盖与紧性的关系乘积空间的紧性第四章：度量空间与完备性4.1 度量空间的定义与性质度量空间的定义度量空间的性质4.2 完备度的定义与性质完备度的定义完备度的性质4.3 完备度与紧性的关系完备度与紧性的定义完备度与紧性的关系证明第五章：连通度与分类5.1 连通度的定义与性质连通度的定义连通度的性质5.2 连通度与紧性的关系连通度与紧性的关系证明连通度与紧性的应用5.3 拓扑空间的分类分类的定义与方法分类的应用与示例第六章：拓扑变换与同伦6.1 拓扑变换的定义与性质拓扑变换的定义拓扑变换的性质6.2 同伦的定义与性质同伦的定义同伦的性质6.3 同伦性与同伦分类同伦性的判定定理同伦分类的应用与示例第七章：同调与同伦理论的应用7.1 同调群的定义与性质同调群的定义同调群的性质7.2 同伦群的应用同伦群与同调群的关系同伦群在拓扑学中的应用7.3 同伦理论与拓扑学其他领域的联系同伦理论与其他拓扑学领域的联系同伦理论的实际应用示例第八章：纤维丛与纤维序列8.1 纤维丛的定义与性质纤维丛的定义纤维丛的性质8.2 纤维序列的定义与性质纤维序列的定义纤维序列的性质8.3 纤维丛的同伦分类纤维丛同伦分类的定义纤维丛同伦分类的应用与示例第九章：代数拓扑与同调代数9.1 代数拓扑的定义与性质代数拓扑的定义代数拓扑的性质9.2 同调代数的定义与性质同调代数的定义同调代数的性质9.3 代数拓扑与同调代数在拓扑学中的应用代数拓扑与同调代数在其他拓扑学领域的应用代数拓扑与同调代数的实际应用示例第十章：拓扑学在其他学科的应用10.1 拓扑学在数学其他领域的应用拓扑学在代数、分析等数学领域的应用拓扑学在数学物理等交叉领域的应用10.2 拓扑学在计算机科学中的应用拓扑学在计算机图形学、网络结构等领域的应用拓扑学在机器学习、数据挖掘等领域的应用10.3 拓扑学在生物学、化学等领域的应用拓扑学在生物学中的细胞结构研究、遗传网络分析等领域的应用拓扑学在化学中的分子结构分析、材料科学等领域的应用重点和难点解析重点一：拓扑空间的定义与性质拓扑空间是现代数学中的基础概念，涉及到空间的性质和结构。
紧致性第7章7.1 紧致空间§本节重点：（这些方法哪些掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即在§5.3空间定义中的“可数LindeloffLindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的任何一个子集为有界闭集的充分必R的Heine－Borel定理断言：实数空间中我们将要推广要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3 这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．的每一个开覆盖有一个有限子X7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果定义 X是一个紧致空间．覆盖，则称拓扑空间空间．但反之不然，例如包含着Lindeloff明显地，每一个紧致空间都是空间，但它不是一个紧致空间．无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff不是一个紧致空间．这是因为如果我们设实数空间R例7.1.1AA）R|b∈Z+},则的任何一个有限子族，＝{（－nn由于它的并为{ },})(-max{},max{ 1A的开覆盖没有任何一个有限子覆盖．R的一个子覆盖．因此R所以不是的X中的一个子集,如果Y作为定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X 的一个紧致子集．子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的紧致子集意味着每一个由子X拓扑空间X中的一个子集Y是根据定义，这并不明显地意味着由的开覆盖有一个有限子覆盖，空间Y中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要YX中的开集构成的每一个的．的一XX中的一个子集．则Y是X定理7.1.1 设是一个拓扑空间，Y是此的覆盖都有有限子覆盖．（个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）A是Y,中的一个紧致子集的一个覆盖，它证明必要性设Y是拓扑空间XA}也是中的开集构成．则容易验证集族Y由X的一个覆盖，它A有一个有限子覆盖，设为由Y中的开集构成．因此A的有限子族覆盖Y{},于是．充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设AA存在X中的一个中的开集构成．则对于每一个A∈的一个覆盖，是Y它由YA}是由X中的开集构成的A=∩Y．因此Y的一个使得开集覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{}A{此时易见的子族 Y｝覆盖Y．这证明是X的一个紧致子集．下面介绍关于紧致性的一个等价说法．页26 共** 页2 第AA（即定义7.1.3 设的每一个有限子族都有非空的交是一个集族．如果AA是一个具有有限交性的一个有限子族，则如果），则称是质的集族．中的是一个紧致空间当且仅当X设X是一个拓扑空间．则X定理7.1.2每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．F中的一个具有有是设X 是一个紧致空间．用反证法．设X证明 :F≠限交性质的闭集族．设．如果AF={ ，则令}．由于∈AA{设为的一个开覆盖．是X于是有一个有限子覆盖，所以．}从而F 不具有有限交性质．矛盾．这说明中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证”，设“X AA有一个有限子的一个开覆盖．我们需要证明是X是一个紧致空间，设明X AA的的每一个子族都是以及=X，则，这蕴涵覆盖．如果X=AAF中的一个非空闭集族，并且便是覆盖．以下假定}．此时={|A∈≠X设也就是说，它不具有有限交性质．它有一个有限子族其交为空集．因此，F，则的这个有限子族为{}的一个有限子覆盖．是X 3BB的一个覆盖当X的一个基，那么由X中的元素构成的如果是紧致空间然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．B*B*中的元素构成是拓扑空间X的一个基，并且X的由定理7.1.3 设X是一个紧致空间．的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则B*A*A* 的一个子族X的一个开覆盖．对于每一个A∈证明存在设是使得令由于B*的一个覆盖，所以有一个有限子覆是一个由X 故的元素构成的设为盖，，i=1,2,…n，一,对于每，个A* {} 于是对于的有限于族有A*是一个紧致}也就是说．这证明有一个有限子覆盖{ X 空间．A是一个连续映射．如果X7.1.4 定理设和Y是两个拓扑空间，f:X→Y Y）是的一个紧致子集．AX是的一个紧致子集，则f（CC，C∈中的开集组成．它由）（是证明设*fA的一个覆盖，Y对于每一个*）是（f由于是一个连续映射，CX中的一个开集页26 共** 页4 第CA的一个紧致子集，XA是*}所以是＝A{的一个开覆盖．(C)|C∈由于A{有一个有限子族，设为}，覆盖A所以C的）是Y）．这证明f（}是A*的一个子族并且覆盖f（即{A 一个紧致子集．由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚由此可见，由于实数空间R 的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．定理A的一个覆盖，它由中的一个闭子集．如果Y是证明设Y是紧致空间X BB的一个有限子1X 的一个开覆盖．设是X中的开集构成．则是AB的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y便是}是族并且覆盖X．则X1-{的一个紧致子集．每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间．定理7.1.6T)的元素．令是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X设证明:(X, X*=X∪{∞}TT∪{X*}*=∪T})中的一个紧致闭集是拓扑空间={E 其中X*|X*-E(X,T*是集合X*的一个拓扑．首先验证 (略)5T:(X*,是一个紧致空间*)其次．证明C*C*X*-CC∈是X*的一个开覆盖．则存在C ∈,使得∞∈C．于是设因此C*C*设为是紧致的,并且有一个有限子族-{C}是它的一个开覆盖．于是,-{C}C*CC X*-C．易见1∪{C}是．的一个有限子族,并且覆盖X*1,覆盖TT的一个开子空间．这是)是拓扑空间我们指出拓扑空间(X,(X*,*)最后,T及 =X是X*的一个开集．因为TT通常(X*,*),)构造出来的紧致空间在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T的一点紧化．称为拓扑空间(X,)由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的．以下定理表明紧致性是可积性质．空空n≥1是个紧致定间理7.1.7 设．则积间是一个紧致空间．) 证明 (略作业: ．5．P188 14．§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.页26 共** 页6 第在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后空间的连续映射的一个十分重要的Hausdorff半部分，我们给出从紧致空间到性质．x∈X的一个不包含点A是X定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间．如果．和V使得的紧致子集，则点xU∩V=和紧致子集A分别有开邻域U 是一个．对于每一个y∈A，由于是一个紧致子集，x∈证明设AX域个开邻故存在x的一Hausdorffy和的一个开邻域空间，它有一个A的一个开覆盖，．集族{|y∈A}明显是紧致子集，它们分A．令}有限子族，设为 {，覆盖有：i=1，2，…，n别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个所以Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．推论7.2.2x∈X，如果的一个紧致子集．对于任何设A是Hausdorff空间X 证明中，的凝聚点都在A因此凡x，xA则根据定理7.2.1可见不是A的凝聚点．A A从而是一个闭集．结合定理推论7.2.2 可见：7.1.5空间中，一个集合是闭集的充分必Hausdorff在一个紧致的推论7.2.3要条件是它是一个紧致子集．7中的几个简单而常7.2.3和推论7.1.5，推论7.2.2为了加强读者对定理用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致子集紧致空间：闭集空间：闭集紧致子集 Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间都是正则空间．7.2.4 每一个紧致的Haudorff推论中的一个不Xx是设证明 A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，），所7.1.5A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理属于集合VU和A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域以 X使得是一个正则空间．U∩V=．这就证明了的两个无交的B是X和定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间．如果A ．V 使得紧致子集，则它们分别有开邻域U U∩V=和x∈A，根据定理X的两个无交的紧致子集．对于任何A 设和B是证明|x∈A}是{．集族和集合B分别有开邻域7.2.1，点x A它有一个有限子族，设为{．令}，覆盖A紧致子集的一个开覆盖，有，2，…，n由于对于每一个i＝1 U∩V=∩V=，所以．7.2.5空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理由于Hausdorff 立即有：7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是推论的，页26 共** 页8 第根据这个推论联6.4.3直接推出．这个结论也可以根据推论7.2.4和定理我们可空间这一事实，并且留意到每一个紧致空间都是系着表6.1Lindeloff 在紧致空间中分离性公理显得特别简单．有图表7.1．从这个图表中可以看出，：紧致空间中的分离性公理图表7.1是UX是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，定理7.2.7 设使得的一个开邻域，则存在．A的一个开邻域AV的一个开邻域．对于A中的一个紧致子集，是正则空间XU是证明设A的|x∈A}是紧致子集集族{x∈A，点任何xA有一个开邻域使得．令A}，它一个开覆盖，它有有限子族，设为，覆盖{A是的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并空间，所以它明显地蕴Lindeloff不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是涵于定理6.4.3中．．在那个正．3然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2 规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．9是一个连Y是一个紧致空间，是一个Hausdorff空间，f:X→Y证明设X A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理续映射．如果中的一个紧致子集（参见Hausdorff空间Y）是7.1.5），因此它的象集f（A ）．这证明f是一个闭映射．定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：空间的任何一个既单且满的（即—7.2.9 从紧致空间到Hausdorff推论一的）连续映射都是同胚．:作业 1.2. P192n 维欧氏空间§7.3中的紧致子集使＞0AX．如果存在实数M定义7.3.1 设（X，ρ）是一个度量空间，的一个有界子集；如果XA是对于所有x，y∈A得ρ（x，y）＜M成立，则称X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，ρ）是一个有界度量空间．定理7.3.1 紧致度量空间是有界的．证明设（X，ρ）是一个紧致度量空间．由球形邻域构成的集族{B（x，1）|x ∈X}是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{B（x1，1），B（x2，1），…，B（xn，1）}．令M＝rnax{ρ(xi，xj）|1≤i，j≤n}十2如果x，y∈X，则存在i，j，1≤i，j≤n，使得x∈B（xi，l）和y∈B（xj，l）．于是ρ（x，y）＜ρ（x，xi）＋ρ（xi，xj）十ρ（xj，y）＜M页26 共** 页10 第的n维欧氏空间因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集．特别每一个紧致子集都是有界的．是一个紧致空间的证明．尽管读者可[0,1]下面作为引理给出单位闭区间能早已熟知这个结论．引理7.3.2 单位闭区间[0,1]是一个紧致空间．A是[0，1] 设的一个开覆盖．令证明A有一个有限子族覆盖[0，P＝{x∈[0，l]|x]}它是[0，1]的一个子集．对于集合P，我们依次证明，P．因为显然0∈P;（l）（2）P是一个开集．A{}，覆盖[0，设x∈P．则x]有一个有限子族，设为．当x=1时，易见P＝[0，l]，它是一个开集．因此x是P的一个内点．下设x＜1．这由于是[0，i0,1≤i0≤n,有x1]∈.中的一个开集，所以时对于某一个)ε)x＋[0，．于是[0，.．这蕴涵使得存在实数ε＞0[x，x+εPx+ε)．由于[0，x＋ε）是[0，1]中的一个包含x的开集，所以x是P的一个内点．以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点，所以它是一个开集.（3）P是一个闭集．1]．另外根据(1)的定义可见，[x设，x∈=[0,1]-P．根据集合P A使得x∈A．由于A是一个开集，所以存在实数ε0可见．＜x.选取选取A∈,x]∩P≠，设z ∈（x－ε（A．假如x－ε，x]∩P．则x]－0＞使得（xε，AAAA1∪{A}覆盖[0，x]有一个有限子族，这1覆盖[0,z]，因此的有限子族,1],从而,(x-ε,x]－（，即xεεx所以P与x矛盾．（－，x]∩P=的一个内点．这证明x因此是是一个开集，即P是一个闭集．11是一[0,1]，l]中的一个既开又闭的非空子集．由于根据上述三条，P是[0A有一个有限子族覆盖个连通空间，所以P=[0,1]，特别，1∈P．这也就是说是一[0，1]，［0，1］．以上证明了[01]的任何一个开覆盖有有限子覆盖，故个紧致空间．］同胚，所，1b任何一个闭区间[a，b]（a＜），由于它和单位闭区间［0中任何一个闭维欧氏空间以是紧致的．并且作为紧致空间的积空间，可见n方体（a＜b）也是紧致空间．是一个紧致子集n维欧氏空间则A定理7.3.3 中的一个子集．设A是是一个有界闭集．当且仅当A设证明ρ是n维欧氏空间的通常度量．，它是有界”:如果7.3.1A是一个紧致子集，则根据定理“，它是一个闭集．的；由于是一个Hausdorff空间，根据推论7.2.2是紧致的．下设是一个有界闭集．如果”:设AA=，则“A ．任意选取(xM，yA）＜＞．于是存在实数M0使得对于任何x，y∈A有ρ）∈0），其中，x00=，…，（0，0（x0∈A，并且令．容易验证N=M十ρ0作为紧致空间．（根据三角不等式）A中的一个闭子因此A 集必定是紧致的．则存是一个连续映射．设7.3.4 X是一个非空的紧致空间，f:X→R定理有x0在，x1∈X使得对于任意x∈X ）≤f(x)≤f(x1) f（x0换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点．页26 共** 页12 第中的一Rf（X）是实数空间由于X紧致，故根据定理7．1．4可见证明Mf(X)是一个闭集．设m和个紧致子集．由于R是一个Hausdorff空间，所以使得，M∈f(X)．因此存在x0，x1∈Xm分别为集合f（X）的下，上确界，则f．根据上，下确界的定义立即可见，对于任何x∈X有f(x0)＝m和f(x1)=M （x0）≤f(x)≤f(x1).维欧氏空是一个有界闭集，所以是紧致的，此外，由于mn 维单位球面不是紧致的，而紧致性又是一个拓扑不变性质，所以：间维单位球面与n不同胚．设定理7.3.5 m，n∈Z+．则m维欧氏空间这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子．作业:1. 2. P196几种紧致性以及其间的关系§7.4:本节重点掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．实数空间中的一个子集读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：A如果满足以下条件（l）～（4）中的任何一条，则满足其他的几条．（l）A是一个有界闭集；（2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；（4）A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点．13不难发现这四条中以读者应当早就有所体会了．这几个条件的重要意义，）三条中所涉及惟有（l）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（4的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是（2），（3）和（4一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下 5）作为讨论的中间站．条件（ A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖．（5）的每一个可数开覆盖都有有限定义7.4.l 是一个拓扑空间．如果X设X 子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间．以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证．每一个紧致空间都是可数紧致空间．定理7.4.1的可数紧致空间都是紧致空间．定理7.4.2 每一个Lindeloff的每一个无限子集都有凝聚点，X是一个拓扑空间．7.4.2 设X如果定义 X是一个列紧空间．则称拓扑空间定理7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间．证明设X是一个可数紧致空间．为了证明它是一个列紧空间，我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点．首先这蕴涵A是一个闭集．此外对于所以存在a的一个开邻域使得不是每一个a∈A，由于aA的凝聚点，}是|a ∈A}∪{X的一个开覆盖．由于X是可数紧致∩A={a}．于是集族{页26 共** 页14 第无交，由于{与A} 空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为所以必定覆盖{A．因此，})∩A={a1,a2,…an}是一个有限集．这是一个A=(矛盾．是一个由集合构成的序列，如果它满足条件：定义7.4.3 设 i∈Z+成立，即对于每一个则称序列是一个下降序列．在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．是一个可数紧致空间当是一个拓扑空间．则拓扑空间X引理7.4.4 设X集下降序列，有非个任何一非空空闭的交，即且中仅当由X得使序列降闭中空证明数设可紧致间X的非空集下于是}{ 设为的一个开覆盖，X是它有一个有限子覆盖，由此可得这是一个矛盾．中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交．如X另一方面，设拓扑空间没有{ 有一个可数开覆盖，X则X果不是一个可数紧致空间，设为}， i∈Z+，令有限子覆盖．对于每一个15的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：X}则也是{．由此因此是一个非空闭集下降序列，所以．也就是说}{不是的一个覆盖，这是一个矛盾．可见X每一个列紧的7.4.5 定理空间都是可数紧致空间．不是一个可数紧致空间，则根据空间．如果证明 X设X是一个列紧的中有一个非空闭集下降序列，,使得在每一个引理7.4.4X A={中选取一点}，并且考虑集合，和一个正整数的严格递增序列n1如果A是一个有限集，则必有一点x∈A ．这是因为，n2，…使得于是对于任何i∈Z+有x∈，这与反证假设矛盾．于是x∈有一个凝聚点，设为是一个无限集．由于X是一个列紧空间，所以AA设空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个．由于X是一个y于由凝个聚点；又也i∈Z+，点y合是集的一．这也与反证假定矛盾．中的每一个序列都有一个收敛X设X是一个拓扑空间．如果定义7.4.4是一个序列紧致空间．的子序列，称拓扑空间X定理7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间．页26 共** 页16 第{}是X设X是一个序列紧致空间，中的一个非空闭集下降证明．在每对于每一个i∈Z+，序列．．根据引理7.4.4X是一个可数紧致空间．定理7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间．证明设X是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设．于是i∈Z+，令和．对于每一个是拓扑空间X中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理7.4.4，我们有．由于X满足第一可数性公理，根据定理5.1.8，在点x处有一个可数邻域满足条件：}对于任基{ 意j∈Z+成立．令l，令对于每一个i＞是一个严格递增的于是 ,对于每一个正整数序列．并且i∈Z+成立．存在U设是x的一个邻域．：收敛于的子序列}我们来证明序列{{}x时我们有k i某一个k∈Z+,使得，于是当＞7.2根据本节中的各个定理，我们可以得到图表．17根据这个表立即可以知：的一个子设X是一个满足第二可数性公理的X空间，推论A7.4.8 是集．则下列条件等价：的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（Al）（）2A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；中的点；（3）A中的每一个序列都有子序列收敛于A （ 4）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中．的子集以上推论成立，并且推论中的每维欧氏空间特别，对于n 是一个有界闭集．一个条件都等价于A作业:P201 1度量空间中的紧致性§7.5本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff页26 共** 页18 第本并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间．空间，因此从定理7.4.2 节研究这个问题并给出肯定的回答．的直径）中的一个非空子集．集合，ρA定义7.5.1 设A是度量空间（X （A）定义为diam (x,y)|x,y∈A}若A是有界的 diam(A)=sup{ρ A是无界的diam(A)=∞若AλX的一个开覆盖．实数定义7.5.2 设（X，ρ）是一个度量空间，是A只要中的任何一个子集A＞0称为开覆盖，的一个Lebesgue数，如果对于X A包含于开覆盖的某一个元素之中．diam（A）＜λ，则 A Lebesgue的开覆盖数不一定存在．例如考虑实数空间R {(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}数．（请读者自补证明．）则任何一个正实数都不是它的Lebesgue序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有数定理] 定理7.5.1[Lebesgue一个Lebesgue数．A是XX设是一个序列紧致的度量空间，的一个开覆盖．假若开覆证明AA的Lebesgue不是数，所数,则对于任何i∈Z+,实数1/i盖没有LebesgueA的任何元素之中．不包含于 EiE）＜1/i并且E,以X有一个子集使得diam（之中任意选取一个点,由于在每一个X是一个序列紧致空间，所以序A是X列．由于的一个开覆盖，故有一个收敛的子序列A使得y∈A，并且存在实数ε＞0使得球形邻域B（yA．由存在A∈，ε）时．令k为任＞于，所以存在整数M0使得当i>M 则对于任何,M+2/有 k意一个整数，使得＞ε19εy ρ）＜（（x，y）≤ρ（x，，）＋ρ这证明A的选取矛盾．与每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间．定理7.5.2A的一个开覆盖．根据定理是X 设X是一个序列紧致的度量空间，证明A 0．Lebesgue数，设为λ7.5.1，X的开覆盖＞有一个BB有一个有的一个开覆盖．我们先来证明/3)}．它是令X={B(x,λ限子覆盖．B，假定点1．对于i假设＞没有有限子覆盖．任意选取一点∈X 已经取定，由于．按照归纳原则，序列,选取不是X的覆盖(i,j∈Z+,i≠j，有ρλ/3．序列已经取定．易见对于任何)>中最λ/6)没有任何收敛的子序列．（因为任何y∈X的球形邻域B(y, X是序列紧致空间相矛盾．多只能包含这个序列中的一个点．）这与B的一个有限子覆{}是开覆盖现在设存在i=1,2,…,n盖．由于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个使得A的一个子覆盖．{}λB(,是/3)．于是以及前一节中的讨论可见：因此，根据定理7.5.2定理7.5.3 设X 是一个度量空间．则下列条件等价：页26 共** 页20 第是一个紧致空间；）X （1 ）X是一个列紧空间；（2 ）X是一个序列紧致空间；（3 X是一个可数紧致空间．）（4以示强调．的结论列为图表我们将定理7.5.37.3作业: P205 1．本章总结： 1）重点是紧致性、紧致性与分离性的关系．（ 2）度量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握．（）紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的？证明时牵（3 涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集．仿紧致空间§7.6 局部紧致空间,:本节重点掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义．性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系．21中的每一个点都有一个紧致的如果X定义7.6.1 设X是一个拓扑空间, 则称拓扑空间X是一个局部紧致空间．邻域,因为紧致空间本身每一个紧致空间都是局部紧致空间,,由定义立即可见便是它的每一个点的紧致邻域．因为其中的任何一个球形邻域的闭包都维欧氏空间也是局部紧致空间,n 是紧致的．定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间．的一个开邻x∈X,U是x是一个局部紧致的Hausdorff空间,设证明设X中的是XHausdorff空间X的紧致子集,DD域．令是x的一个紧致邻域,作为所以是一个空间,闭集．由推论7.2.4,D 作为子空间是一个紧致的Hausdorff在拓是集合中的一个开邻域,D其中正则空间．是x在子空间D中DD中有一个开邻域V使得它在子空间扑空间X中的内部．从而x在子空间V因此,并且又包含于W,．一方面的闭包包含于WV是子空间D中的一个开集另也是X中的开集．是WX中的一个开集,所以V 是子空间W中的一个开集,而因此点中的闭包D中的闭包便是V在X的闭集一方面,由于D是X,所以V在使得是一个正则空间．．因此Vx在X中的开邻域X的所有紧致邻定理7.6.2 设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x 域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基．是则x的一个开邻域．设证明 U是x∈X令D为的一个紧致邻域,闭使得．Vx,X的一个开邻域．x因为是正则空间所以存在的开邻域页26 共** 页22 第以上证并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的．集是x的一个闭邻域,中包含着某一个紧致邻域的任何开邻域U．明了在x:从前面两个定理立即可以推出的所是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X．则点xX推论7.6.3 设处的一个邻域基．有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间．定理是一个完全正则空间我们验证X设X是一个局部紧致的正则空间．证明:如下由的一个开邻域．使得是B和是X中的一个闭集,x设x∈X 的一个子空间是使得XV作为7.6.2,定理存在x的一个紧致闭邻域V,．因此是完全正则的．因而存在连续映射),(正则是可遗传的紧致的正则空间g(y)=1．g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有定义映射hh:是一个连续映射使得．显然 f:X→[0,1],使得对于任何z∈X定义映射因为如果,f首先,映射的定义是确切的其,则有g(z)=1=h(z)．f(x)=0,显。
第6章分离性公理§6.1,Hausdorff空间本节重点:掌握空间的定义及它们之间的不同与联系；掌握各空间的充要条件；熟记常见的各种空间.与前两章的连通性公理和可数性公理一样，分离性公理也是拓扑不变性质。
回到在第二章中提出来的，“什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来”这一问题．为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．我们将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答．引入：例对于度量空间X，如果x，y∈X，∀x、y ，当x ≠y时，x、y之间应该有一个距离，这个距离用d(x,y)表示，定义6.1.1设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果x，y∈X，x≠y,则或者x有一个开邻域U使得y U,或者y有一个开邻域V使得x V)，则称拓扑空间X 是一个空间．拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间．定理6.1.1 拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包．（即如果x，y∈X，x≠y，则．）证明充分性:设定理中的条件成立．则对于任何x，y∈X，x≠y，由于，因此或者成立，或者成立．当前者成立时，必定有．（因为否则).这推出x 有一个不包含y的开邻域．同理，当后者成立时，y有一个不包含x的开邻域．这证明X是一个空间．必要性:设X是一个空间．若x，y∈X，x≠y，则或者x有一个开邻域U 使得或者y有一个开邻域V使得．若属前一种情形，由于，若属后一种情形，同样也有．定义6.1.2设X是一个拓扑空间．如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X是一个空间．空间当然是空间．但反之不然．例如设X={0,1}，T={,{0},X},则T 是X的一个拓扑，并且拓扑空间(X，T)是的但不是的．（请读者自己验证，）定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：（1）X是一个空间；（2）X中每一个单点集都是闭集；（3）X中每一个有限子集都是闭集．证明（1）蕴涵（2）．设x∈X．当X是一个空间时，对于任何y∈X，y≠x，点x有一个邻域U使得，即.这证明单点集{x}是一个闭集．（2）蕴涵（3）．这是显然的.因为有限个闭集的并仍然是闭集.（3）蕴涵（1）．设x,y∈X,x≠y,当(3)成立时单点集{x}和{y}都是闭集．从而分别是y和x的开邻域，前者不包含x，后者不包含y．这就证明了X是一个空间.下面的两个定理表明，空间中关于凝聚点和序列收敛的性质和我们在数学分析中熟知的多了一些类似之处．定理6.1.3 设X是一个空间．则点x∈X是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点,即U∩A是一个无限集．证明定理充分性部分是明显的．以下证明必要性部分．假设x∈X,x∈d(A)．如果x有一个开邻域U使得U∩A是一个有限集，则集合B=U∩A-{x}也是一个有限集，因此是一个闭集．因此U－B是一个开集，并且是x的一个邻域．此外易见(U－B)∩(A-{x})=.这蕴含着x不是A的凝聚点,与假设矛盾．定理6.1.4 设X是一个空间．则X中的一个由有限个点构成的序列{}（即集合{|i∈Z+}是一个有限集）收敛于点x∈X当且仅当存在N＞0使得=x对于任何i≥N成立．证明由于X是一个空间，集合A＝{|≠x,i=1,2…}是一个有限集，所以是一个闭集．从而是x的一个开邻域．于是存在N＞0使得当i≥N有，因而=x.定义6.1.3 设X是一个拓扑空间．如果X中任何两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交（即如果x，y∈X，x≠y，则点x有一个开邻域U，点y有一个开邻域V，使得U∩V=），则称拓扑空间X是一个Hausdorff空间，或空间．hausdorff空间一定是空间，但反之不然．例6.1.1 非Hausdorff的空间的例子．设X是一个包含着无限多个点的有限补空间．由于X中的每一个有限子集都是闭集，因此它是一个空间．然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空的交．这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集，而X又是一个无限集的缘故．由此易见X必然不是一个空间．定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．证明设{}是Hausdorff空间X中的一个序列，并且有于是对于j＝1，2，点有一个开邻域，使得．故存在＞O使得当i≥时有．任意选取M＞max{}．可见，这是一个矛盾．但在空间中定理6.1.5却可以不成立．例如设拓扑空间X如例6.1.1中所述，{}是X中的任何一个由两两不同的点构成的序列，即当i≠j时有.此时对于任何y∈X和y的任一邻域U,由于U的补集是一个有限集，所以存在N＞0使得当i≥N时有∈U．于是lim=y．也就是说，序列{}收敛于X中的任何一个点．作业:P155 3.4.5.§6.2正则，正规，空间本节重点：掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系．我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．定义6.2.1 设X是一个拓扑空间，A，U X．如果A包含于U的内部，即A，则称集合U是集合A的一个邻域．如果U是A的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域．定义6.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交（即如果x∈X和A X是一个闭集，使得x A，则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正则空间．定理6.2.1 设X是一个拓扑空间．则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得．证明必要性设X是一个正则空间．如果x∈X，集合U是x的一个开邻域，则U的补集便是一个不包含点x的闭集．于是x和分别有开邻域使得．从而，所以充分性设x∈X和A是一个不包含x的闭集．这时A的补集是x的一个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，有x的开邻域U使得．令，所以V是A的一个开邻域，并且易见．这证明X是一个正则空间．定义6.2.3 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果A，B X都是闭集，则存在A的一个开邻域U和B的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正规空间．定理6.2.2 设X是一个拓扑空间．则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A X和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得．证明证明类似于定理6.2.l，请读者自己写出．正则、正规性质与§6.l中定义的以及Hausdorff诸性质之间并无必然的蕴涵关系．例6.2.1 正则且正规的空间但非空间（因而也是非，非Hausdorff 空间）的例子．令X={1,2,3}和T={{1},{2,3},{1,2,3},}．容易验证(X，T)是一个拓扑空间，并且是一个正则且正规的空间．留意点2和点3立即可见它不是一个空间．例6.2.2 Hausdorff空间（因而也是空间）但非正则空间、也非正规空间的例子．(略)拓扑空间的正则性和正规性之间也没有必然的蕴涵关系．例6.2.3 正规空间而非正则空间的简单例子是(X，T)，其中X={1,2,3}和T ={,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}定义6.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间．由于空间中的每一个单点集都是闭集，因此空间一定是空间，空间一定是Hausdorff空间．而非空间的一个例子（它自然也是正则而非正规空间的例子）可见于习题第6题．最后，我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些定义（指至，以及正则正规等）．为此，我们只要证明：定理6.2.3 每一个度量空间都是空间．证明设（X，d）是一个度量空间．如果x，y∈X，x≠y，则d（x，y）＞0.令ε=d（x，y），则球形邻域B（x，ε/2）和B（y,ε/2）分别是x和y的开邻域，并且易见它们无交．因此X是一个Hausdorff空间，自然它也是空间．现在设A和B是X中的两个无交的闭集．假如A和B中有一个是空集，例如B= ．这时我们可以取X为A的开邻域，为B的开邻域，它们的交当然是空集．以下假定A和B都不是空集．根据定理2．4．9可见，对于x，y∈X，如果x B，则d（x，B）＞0；如果y A，则d（y，A）＞0．记ε(x)=d(x,B)/2,δ(x)=d(x,A)/2并且令显然U和V分别是A和B的开邻域．以下证明．若不然设,不失一般性，设．于是我们有这与d（，B）的定义（d（，B）＝inf{（，y）|y∈B}）矛盾．这就证明了X是一个正规空间．作业:P160 1.2.3.§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理本节重点:掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；掌握定理6.3.2的证明方法．定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．证明(略)定理6.3.2 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．证明设C是空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点，任意选取，x,y∈X,x≠y,对于空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1．由于C是X中一个连通子集，因此f（X）也连通．由于0，1∈f（X），因此f（X）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集．作业:P168 1．§6.4完全正则空间，Tychonoff空间本节重点:掌握完全正则空间与空间的定义；掌握正则,正规及完全正则空间之间的关系.定义6.4.1 设X是一个拓扑空间．如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)＝0以及对于任何y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间．完全正则的空间称为Tychonoff空间，或空间．定理6.4.1 每一个完全正则空间都是正则空间．证明设X是一个完全正则空间．设x∈X，B是中的一个不含点x的闭集．则存在连续映射f：X→[0,1]，使得f(x)=0和对任何b∈B有f(b)=1.于是([0,1/2))和((1/2,1])分别是点x和闭集B的开邻域，并且它们无交．这表明X是一个正则空间．根据定理6.4.1明显可见，每一个Tychonoff空间都是空间．根据Urysohn引理也容易看出，每一个空间都是Tychonoff空间，但反之不真，有关的例子可以参见§6.2习题第5题．定理6.4.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间．证明设X是一个既正则又正规的空间．设x∈X，B是X中的一个不包含点x的闭集．由于X是一个正则空间，根据定理6. 2．l，点x有一个开邻域U使得．令则A和B是X中无交的两个闭集．由于X是一个正规空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f: X→[0，l]使得对于任何y∈A有f（y）＝0和对于任何y∈B有f（y）＝1．由于x∈A，故f（x）=0，这就证明了X是一个完全正则空间．定理6.4.3[Tychonoff定理] 每一个正则的Lindeloff空间都是正规空间．证明设X是一个正则的Lindeloff空间．设A和B是X中的两个无交的闭集．对于每一个x∈A，由于，根据定理6.2.1可见，存在x的一个开邻域使得即．集族{|x∈A}是闭集A的一个开覆盖．由于Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间（参见定理5.3.4），易见A的开覆盖{|x∈A}中有一个可数子族，设为，仍然覆盖A．注意：对于每一个i∈Z+，有．同理，集合B也有一个可数开覆盖现在，对于每一个n∈Z+，令显然都是开集．对于任何m，n∈Z+，因为若设m≤n，则有令它们都是开集，并且现在只剩下证明和了．不失一般性，我们验证前者：如果x∈A，则存在n∈Z+使得x∈．另一方面，由于诸与A无交，所以对于任意i∈Z+有．§6.1，§6.2和本节中定义的（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等拓扑空间的性质统称为分离性公理．现将满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴涵关系列为图表6.1．作业:P171 1.2.3§6.5分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间本节重点:掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去作．定理6.5.1 设X和Y是两个同胚的拓扑空间．如果X是一个完全正则的空间，则Y也是一个完全正则的空间．证明设h：X→Y是一个同胚．对于Y中的任意一个点和任何一个不包含点x的闭集B，（x）和（B）分别是X中的一个点和一个不包含点（x）的闭集．由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X→[0,1]使得f((x))=0和对于任何y∈（B）有f（y）＝l．于是连续映射g＝f：Y→[0,1]，满足条件：g(x)＝0和对于任何z∈B有g(z)=1．（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．定理6.5.2 正则空间的每一个子空间都是正则空间．证明设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间，设y∈Y和B是Y的一个闭集使得y B．首先，在X中有一个闭集使得∩Y＝B．因此．由于X是一个正则空间，所以y和分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X而言）使得．令，它们分别是y和B在子空间Y 中开邻域，此外易见.（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是有限可积性质，证明(略)正规和不是有限可积性质．至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．例6.5.1 由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R中给出一个等价关系～使得对于任意x，y∈R，x～y的充分必要条件是或者x，y∈（-∞，0]；或者x，y∈（0，1）；或者x，y∈[1，∞）．将所得到的商空间记为Y．换言之，Y便是在实数空间中分别将集合A=(-∞，0］，B=（0，l）和C=［1，∞）各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上Y＝{A，B，C}．容易验证Y的拓扑便是{，{A,B},{B},{B,C},{A,B,C}}．考察点A和点B可见，Y不是空间，因此也不是（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及空间．此外，考察两个单点闭集{A}和{C}可见，Y既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y是一个空间．上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空间R的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而例3.3.1并不能代替例6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．作业:P175 1.§6.6可度量化空间本节重点:掌握三个定理的结论(前两个定理的证明不要求)先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义．一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来．我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具有的．在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题．定理6.6.1[Urysohn嵌入定理] 每一个满足第二可数性公理的空间都同胚于Hilbert空间H的某一个子空间．证明(略）定理6.6.2 Hilbert空间H是一个可分空间．证明(略)定理6.6.3 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（1）X是一个满足第二可数性公理的空间；（2）X同胚于Hilbert空间H的某一个子空间；（3）X是一个可分的可度量化空间．证明（l）蕴涵（2）．此即定理6.6.1．（2）蕴涵（3）．由于Hilbert空间H是一个可分的度量空间，而可分的度量空间的每一个子空间都是可分的度量空间（参见推论5.2.5），与一个可分的度量空间同胚的拓扑空间是可分的（参见§5.2习题第4题），也是可以度量化的（参见§2.2习题12）．（3）蕴涵（1）．可分的度量空间满足第二可数性公理参见定理5.2.4），可度量化空间是一个空间（参见定理6.2.3）．因此更是一个空间．作业:P180 1.本章总结：（1）性质是描述点的分离性的,熟记各空间的定义、性质、与实数空间的区别.注意它们的充要条件，往往是证明的出发点．（2）正则、正规是描述点、闭集与闭集之间关系的性质．注意它们的充要条件．（3）完全正则、Tychonoff只有一种定义，一定要用映射来描述．（4）有了Urysohn引理，可将正规空间与实数空间联系起来，给证明提供了极大的方便．（完全正则与Tychonoff空间也是如此）（5）掌握它们的关系图及是否是连续映射所能保持的、有限可积的、可遗传的．从而会判断一个空间是哪种空间．。
