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运筹学课件 第五章多目标规划

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运筹学课件 第五章动态规划

运筹学课件 第五章动态规划


(1) 指标函数
指标函数: 描述问题的数量函数用Vk,n表示.
Vk,n Vk,n (sk,uk ,.....,sn , un , sn1)
k 1,2,..,n
要求Vk,n 满足可分离性及递推关系 .
2020/5/30
22
10 指标和 Vk,n为阶段指标v j (s j , u j )之和
n
n
Vk,n v j (s j , u j ) vk (sk , uk ) v j (s j , u j )
▪
在实际问题中，决策变量的取值往往限制
在某一范围之内，此范围称为允许决策集合。
常用Dk (sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决 策集合。
2020/5/30
20
4.策略
策略：决策按顺序构成的序列，用p表示。
pk,n (sk ) : 第k阶段起至第n阶段止的策略
pk,n (sk ) {uk (sk ), uk1(sk1)..., un (sn )}
23
(2) 最优值函数 最优值函数fk (sk ) : 指标函数的最优值 fk (sk ) opt Vk.n (sk , uk ,...,sn , un , sn1)
uk un
opt : 最优化,取 max或 min
2020/5/30
24
四、动态规划模型的最优性原理和基本方程
1、动态规划的最优性原理
2020/5/30
12
▪ 于是
2020/5/30
13
▪ ▪ (3)在第二阶段 ▪ 在第二阶段，还有三步才能到达终点 ▪ 同理f2 (s2)=min { d2 (s2, X2) +f3 (s3)}
2020/5/30
14
运筹学 第五章 整数规划PPT课件

运筹学 第五章 整数规划PPT课件


x 32
x 42
400
x 13
x 23
x 33
x 43
300
x 14 x 24 x 34 x 44 1 5 0
s
.t
x 11 x 21
x 12 x 22
x 13 x 23
x 14 x 24
400 600
x
31
x 32
x 33
x 34
200 y3
x 41 x 42 x 43 x 44 2 0 0 y 4
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14 x1 9 x2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0且 为 整 数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）
max Z x 1 x 2
14
x1 6x
1
9x2 3x
2
51 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
,
x2
0
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
第五讲_多目标规划模型

第五讲_多目标规划模型


s .t . g i ( X ) 0 hj(X ) 0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 其余的目标满足一定的条件，即 max f 1 ( X )
g i ( X ) 0 , i 1, 2 ,..., n s .t . h j ( X ) 0 , j 1, 2 ,..., m f k ( X ) k , k 1, 2 ,..., p 1
6
j
U * max U U ( X 3 ) 57 . 925
3、分层序列法：
f ( x ), , f ( x 按其重 ) 1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 要程度排序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f , f , , f 先求解 min f ( x ) ( P ) s .t . x S 得最优值 f 1* ，记 S x f ( x ) f S 再解 min f ( x ) ( P ) 得最优值 f ，S x f ( x ) f S s .t . x S 依次进行，直到 * min f ( x ) fp 得最优值 (P )
f2
1 2
5 3
4
6
7 8 f
二、模型结构
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。 多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
多目标规划(运筹学

多目标规划(运筹学


环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
运筹学-第3版-课件-第5章 动态规划

运筹学-第3版-课件-第5章 动态规划


C1
2
1 2 2 3
D1 D2
3
2
A
B2
5
C2
6
E
4
2
B3
C3
3
D3
同样的理由，可以递推得其余阶段的铺设路线，如阶 段3在C1点的决策是D1，阶段4在D1点的决策只有E点； 由于到E点是整个铺设管道的终点，至此，决策过程完成， 铺设一条A点到E点的管道是由四个阶段的管道组成的， 如A---B3---C1---D1---E，它也称为一个策略。
B
阶段2
C
阶段3
D
阶段4
E
5
B1
4 4
6
3 6
C1
2
1 2
2
D1 D2 D3
3 4
2
A
B2
5
C2
6
E
2
3
B3
C3
3
在阶段2，从B3点出发，只有C1、C3两种可 选择的点， 如选C1,则C1就是阶段2在B3点的决策结果； C1点既是阶段2铺设管道的终点，又是阶段3 铺设管道的起点；
5
B1
4 4
6 3 6
使S= f ( xi ) 16 u j =
i 1 6 t
f ( x ) 16(5x
为最小，其中
i 1 i
6
j 1
1
4 x2 3x3 2 x4 x5 185)
100xi ,0 xi 15 f ( xi ) 120xi 300,15 < xi 30
第5章 动态规划
运 筹 帷 幄 之 中 Dynamic Programming
决 胜 千 里 之 外
运筹学多目标规划PPT课件

运筹学多目标规划PPT课件

• 全序与半序: 方案di与dj之间 单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况
• 决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对
是不可比较大小 目标的偏好。
第3页/共58页
• 解概念区别
单目标决策的解只有一种（绝对）最优解; 多目标决策的解有下面三种情况： ➢ 绝对最优解
目标值空间
（1）平行直线簇
α1f1+α2f2=c ；
（2）同一条直线上X1与
B
X2有相同的评价值，即有
U*=minU U［F(X1)］=U［F(X2)］。
f12
两个目标的最大化问题： f2 D
C B
A 0
劣解与有效解
E f1
第17页/共58页
§2 多目标规划模型及其解的概念
多目标规划——解的关系
p
定理1 Ra*b Ri* ，其中 Ri* 为单目标 fi (X) 上
最优点集合。 i 1
定理2 Ra*b R*pa Rw*p R
f f1(x) f2(x)
第13页/共58页
§2 多目标规划模型及其解的概念
定义1 设X*∈R，若对任意X∈R，均有 F(X*)≦F(X)，则称X*为问题（VMP）的 绝对最优解。其全体记为R*ab 。
f
f1(x)
f2(x)
0
x*
x
绝对最优解示意图
注：绝对最优解往往不存在！
第14页/共58页
§2 多目标规划模型及其解的概念
(VMP)
XR
向量数学规划 (Vector
Mathematical Programming)
第11页/共58页
大学运筹学经典课件第五章动态规划

大学运筹学经典课件第五章动态规划


生产计划问题的动态规划解法
根据生产阶段和生产量的不同组合，构建动 态规划模型进行求解。
经典案例
多阶段生产问题、批量生产计划问题等。
图像处理与计算机视觉中的应用
图像处理中的动态规划应用
通过动态规划算法对图像进行分割、边缘检测、特征提取等 操作。
计算机视觉中的动态规划应用
在目标跟踪、立体视觉、光流计算等领域，利用动态规划求 解最优路径或策略。
决策的无后效性
在动态规划中，每个阶段的决策只与 当前状态有关，而与过去的状态和决 策无关。
边界条件与状态转移方程
边界条件
动态规划问题的边界条件通常指的是问题的初始状态和终止 状态。
状态转移方程
描述问题状态之间转移关系的方程，通常根据问题的具体性 质建立。通过状态转移方程，可以逐步推导出问题的最优解 。
应用领域
03
适用于具有时序性和阶段性特点的问题，如资源分配、任务调
度、路径规划等。
动态规划与人工智能的融合应用
强化学习
结合动态规划和强化学习算法， 通过智能体与环境交互学习最 优决策策略，实现自适应的动
态规划求解。
深度学习
利用深度学习模型强大的特征 提取和表达能力，对动态规划 中的状态转移和决策规则进行
经典案例
图像分割中的最短路径算法、立体匹配中的动态规划算法等 。
06
动态规划的扩展与前沿研究
随机动态规划
随机动态规划模型
描述随机环境下多阶段决策 问题的数学模型，涉及期望 总收益最大化或期望总成本
最小化。
求解方法
通过引入状态转移概率和决 策规则，将随机动态规划问 题转化为确定性动态规划问 题求解，常用方法有值迭代
自顶向下的求解方法（记忆化搜索）
第5章 多目标规划

第5章 多目标规划


多目标规划
马建华
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如 绝对约束 线性规划问题的所有约束条件。不能满足这些约束条件 的解称为非可行解，所以这些约束就是硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可以把约束右端项看作要追 目标约束 求的目标值。在达到此目标值时发生正或负的偏差，因 此在这些约束中加入正或负偏差变量，则这些约束是软 约束。
线性多目标规划问题：
min(max) Ax s.t.Bx ≤ b
多目标规划
马建华
特征
•约束是线性约束； •目标有两个，均为线性函数； •都为求最小
多目标规划
马建华
有效解
多目标的难点 有效解 弱有效解
多目标规划
马建华
多目标的难点
绝对最优解—使每个目标都达到最优的可行解
多目标规划
马建华
绝对最优解不一定存在 不同的目标在不同的可 行解上达到最优
g(x) − d + ≤ 0 或 g(x) + d − ≥ 0
多目标规划
马建华
优先因子
一个规划问题通常有多个目标，但决策者在要达到这些目标时，有主 次和轻重缓急之分，凡要求第一位的目标赋予优先因子 P1 ，要求第二位的 目标赋予优先因子 P2 ，以此类推，令 P1 >> P2 >> P3 >> L >> Pk ，优先因子不代 表具体数，只代表目标的优先次序。如果同一优先级内部不同目标重要性 也有区别，可以用赋权的方式加以区别。
max z = 8 x1 + 10 x 2 2 x1 + x 2 ≤ 11 s.t. x1 + 2 x 2 ≤ 10 x ,x ≥ 0 1 2
用图解方法可解得：
运筹学第四、五章目标规划

运筹学第四、五章目标规划


（1）产品Ⅱ销售疲软，产量不超过产品Ⅰ的一半 （2）原材料短缺，避免过量消耗 （3）最好节约4h设备工时 （4）计划利润不少于48元
min{ P1 d1- ,P2 d2+ ,P3 d3- } 5x1 + 10x2
st.
x1 - 2x2 + d1- - d1+ 4x1 + 4x2 + d 2- - d 2+ 6x1 + 8x2 + d 3x1,x2,di=,di+ ≥0 i=1,2,3
a、对无◎的行√
√ √ b、在已√ 的行中对Ø 所在列√ c、在已√ 的列中对 ◎ 所在行√
d、重复b、c直到无法 打√
e、对没有√的行，有√ 的列画直线
0 0 0 0 0
√
3 1 2 0 2 3 0 1 1 2 0 2
0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 3 4 0 0 11 8 6 6 2 7 7 3 2 1 0 3 2 1 5 0 4 3 4 0
≤60 =0 =36 - d3+ =48
图解法求解目标规划
x2 9
d2+
6
min{ P1 d1- ,P2 d2+ ,P3 d3- } 5x1 + 10x2 ≤60 st. x1 - 2x2 + d1- - d1+ =0 4x1 + 4x2 + d2- - d2+ =36 6x1 + 8x2 + d3- - d3+ =48 x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
d1-
d3x1
0 8 9 12
min{ P1d1- ,P2d2+ ,P3(5d3-+4d4-), P4d1+}
运筹学05目标规划

运筹学05目标规划


录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
目
录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
一、建立模型举例：例5.1
设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 8 元，豪华型为每件 12 元。 8 元，豪华型为每件 12 元。 公司经理提出如下优先次序的要求： 公司经理提出如下优先次序的要求： ．总利润最大（显然的） 1 1 ．总利润最大（显然的） ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） 2 2 ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 3 3 ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 致）。 1.5 倍，因此公 致）。 由于每件豪华型的利润是普通型的 由于每件豪华型的利润是普通型的 1.5 倍，因此公 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 件。 件。
2.目标约束 绝对目标约束（或硬约束）是指必须要严格满 足的等式或不等式约束，如线性规划问题的所有 约束条件，具有最高优先级。 目标约束（软约束）是把约束右端项看作是目 标值，在达到此目标值时允许发生正或负偏差， 在约束中加入正、负偏差变量。 可根据问题的需要将绝对目标约束变换为目标 约束，目标约束的形式为：f ( x) d d b
第五章_多目标规划

第五章_多目标规划


用单纯形表求解多目标线性规划Pareto解集
双目标线性规划问题为 max z1=3x1+2x2 max z2=-x1+2x2 s.t. x1+ x2 ≤6
2x1+ x2 ≤10 x1+2x2 ≤10 x1，x2≥0
多目标线性规划问题的图解。
标准化问题为
min z1=-3x1-2x2
min z2= x1-2x2
当前的解(x1,x2,x3,x4,x5)=(2,4,0,2,0), z1=14, z2=6是 Pareto解。对应于C点。
x3进基，x1离基，z1会变差，z2会改善，进到Pareto解D。
产量（吨）
总产量不低于12吨
总产量12吨
如果允许排放的污染量从25立方米逐步减少，最优解也 将发生变化。变化情况如下表：：
多目标规划的例子(3)
允许排放的 产品A产量 产品B产量 产品C产量 最大利润 污染(m3) （吨） （吨） （吨） （万元）
25
7
5
0
83
19
7
5
0
83
18
6
6
0
78
17
5
7
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四

第五章运筹学目标规划分析


解：设 x1， x2 分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性 规划模型为： max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12 x1 2 x2 8 s.t . 4 x1 16 4 x2 12 x1 , x2 0
它的最优解为: x1 =4, x2 =2, z =14
3. 对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条 件中，组成新的约束条件；
4. 引入目标的优先等级和加权系数；建立使组合偏差最 小的目标函数。
1.确定目标函数的期望值 每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。
根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 2.设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
解：设 x1, x2 分别表示彩色和黑白电视机的产量。该问 题的目标规划模型为：
min z P1d1 P2d 2 P3 (2d 3 d4 )
x1 x2 d1 d1 40 x1 x2 d 2 d 2 50 s.t . x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0 ( i 1, 2, 3, 4) 1 2 i i
P1 ：企业利润目标； P2 ：甲、乙产品的产量尽可能达到1∶1的要求；
P3 ：设备A、B尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备A的重 要性是设备B的三倍。
min z P1d1 P2 (d 2 d2 ) 3 P3 (d 3 d3 ) P3d 4
4 x1 16 (1) (2) 4 x2 12 2 x 3 x d d 12 (3) 2 1 1 1 (4) x1 x2 d 2 d 2 0 2 x 2 x d d (5) 2 3 3 12 1 x 2x d d 8 (6) 1 2 4 4 x , x 0, d , d i i 0 ( i 1, 2, 3, 4) 1 2
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目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变 量及相应的优先因子、权系数构成的，其中不含决策变量。 因为决策者的愿望总是尽可能缩小偏差，实现目标。故总 是将目标函数极小化，其基本形式有三种。
线性规划问题的局限性：
1. 要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际问 题中并非所有约束都需严格满足；
2. 只能处理单目标的优化问题，因此线性规划模型 认为地将一些次要目标转为约束。而实际问题中，目标和 约束可以互相转化，处理时不一定严格区分；
3. 线性规划中各个约束条件都处于同等重要的地位， 但实际问题中，各目标的重要性是有差别的；
绝对约束是指必须严格满足的等式约束或不等式
约束；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些条 件的解称为非可行解，所以绝对约束是硬约束。
目标约束是目标规划所特有的一种约束，它把要
追求的目标值作为右端常数项，在追求此目标值时允许发 生正偏差和负偏差。因此，目标约束是由决策变量，正、 负偏差变量和要追求的目标值组成的软约束。
目标约束不会不满足，但可能偏差过大。
假设问题中甲、乙两产品的产量分别为 x1 和 x2 。 绝对约束：问题中的目标 2，在原料供应受严格限制
的基础上考虑，可写成绝对约束为
2x1 x2 11
目标约束：问题中的目标 4 可写成目标约束为
8x1 10 x2 56 d1 d1
化为标准形式是： 8x1 10 x2 d1 d1 56
min
d
i
d
i
加入优先因子和权系数后，建立目标函数，其一般形 式为：
K
L
min z
pk
kl
dl
kl
d
l
k 1 l 1
前述问题的目标规划模型可以写为：
min z p1d1 p2
d
2
d
2
p3
d
3
2x1 x2 11，
x1
x2
d1
d1
0，
s.t.
x1
2x2
根据目标函数中的优先因子次序，首先考虑具有优先
因子 p1 的目标的实现。目标函数要求实现 min d1+，从图 中可见，可以满足d1+=0 ，这时，只能在三角形 OBC的区 域上取值；
对于第 i 个目标:
fi X
d
i
d
i
bi
(1) 若要求决策值超过目标值，则相应的负偏差变量
要尽可能地小，而对正偏差变量不加限制，目标函数的形
式为 ：
min
d
i
(2) 允许达不到目标值，就是相应的正偏差变量要尽 可能地小， 目标函数的形式为 ：
min
d
i
(3) 恰好达到目标，则相应的正、负偏差变量都要尽 可能地小， 目标函数的形式为 ：
4. 线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找 出满意解就可以了。
一、问题的提出
最佳生产计划问题 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品的有关 数据如下表所示。
工厂在作决策பைடு நூலகம்，要实现如下的目标： 目标1 ：根据市场信息，产品甲的销售量有下降的趋 势，故考虑产品甲的产量不大于产品乙；
目标2 ：超过计划供应的原料时，需要高价采购，使 成本增加，因而只采购计划供应的原料；
d
2
d
2
10，
8x1
10x2
d
3
d
3
56，
x1
, x2
,
d
i
,
d
i
0,i
1, 2,3。
目标规划的一般数学模型，见教材 135~136页。
§2．目标规划的图解分析法
对于只有两个决策变量的线性目标规划的数学模型， 可以用图解法来分析求解。传统的线性规划一般只是寻求 一个点，在这个点上得到单目标的最优值，目标规划一般 是寻求一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折 衷方案。
步骤1 建立直角坐标 系，令各偏差变量为0，作 出所有的约束直线 。满足 所有绝对约束条件的区域， 用阴影标出。
步骤2 作图表示差变量增减对约束直线的影响 在所有目标约束直线旁标上 d +， d - ，如图所示。这 表明目标约束直线可以沿d +， d - ，所示的方向平移。
步骤3 根据目标函数中的优先因子次序，逐步分析求 解。
第五章 多目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型 § 2．目标规划的图解分析法 § 3．用单纯形法求解目标规划 § 4．求解目标规划的层次算法 § 5．应用举例
§1．问题的提出与 目标规划的数学模型
线性规划、整数规划和后面将要学习的动态规划都是 解决单个目标函数在一组约束条件下的极值问题。但在许 多实际问题中，在一组约束条件下，往往要求实现多个目 标。例如，在企业安排生产问题中，既要利润高，又要消 耗低，还要考虑市场需求，等等。这些目标的重要性各不 相同，目标规划正是为了解决这类多目标规划问题而产生 的，它能把决策者的意愿反映到数学模型中去。