高中数学必修 4平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1 向量的概念:
①向量:既有大小又有方向的量向量一般用a, b, c来表示,或用有向线段的
起点与终点的大写字母表示,如:uuur uuur
AB 几何表示法AB ,a;坐标表示法
a xi yj
uuur
( x, y) 向量的大小即向量的模(长度),记作| AB |即向量的大小,
记作| a |
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为 0 的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向
量 a =0
r r
| a |= 0 由于0的方向是任意的,且规定0 平行于任何向量,故在
有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注
意与 0 的区别)
③单位向量:模为 1 个单位长度的向量
向量 a0为单位向量|a0|=1
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作 a ∥b由于向量可
以进行任意的平移 ( 即自由向量 ) ,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向
量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为
a b 大小相等,方向相同( x1 , y1 ) ( x2 x1 x2
, y2 )
y2
y1
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
uuur r uuur r r uuur uuur uuur
设 AB a, BC b ,则a +b = AB BC =AC
( 1)
0 a a
a ;()向量加法满足交换律与结合律;
2
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与
已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量
(2)三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点指向最后一
个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,
用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB BC CD L PQ QR AR ,但这时必须“首尾相连”.
3向量的减法
①相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量
记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有:(i )( a) = a ; (ii) a +( a )=( a )+ a =0;
(iii) 若a、b 是互为相反向量,则 a = b ,b = a , a +b =0
②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做a与
b
的差,
记作: a b a ( b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法
③作图法: a b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点)
4实数与向量的积:
①实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ) a a ;
(Ⅱ)当0 时,λa的方向与a的方向相同;当0时,λa的方向与a
的方向相反;当0 时,a0 ,方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理:
向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数,使得b= a
6平面向量的基本定理:
如果 e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量
a ,有且只有一对实数 1 ,2使:a1e1 2 e2,其中不共线的向量e1, e2叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底
7特别注意 :
(1)向量的加法与减法是互逆运算
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件
(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只
与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的 运算处理几何问题, 特别是处理向量的相关位置关系, 正确运用共线向量和平面 向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂 直等 由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、 解几等结合 起来进行综合考查,是知识的交汇点
例 1 给出下列命题: r
r r
r ① 若| a | = | b | ,则 a =b ;
uuur uuur
② 若 A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边
形的充要条件;
r
r
r r r r
③ 若 a =b , b = c ,则 a =c ,
r r
r r r r ④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ;
r
r
r r r r
⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c , 其中正确的序号是
解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
② 正确.∵ uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
AB
DC ,∴ |AB | |DC |且 AB// DC ,
又 A , B , C , D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,
uuur uuur uuur uuur
若四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB | | DC |,
uuur uuur
因此, AB DC .
③ 正确.∵ r r r r
a =
b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同;
r r r r 又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同, r r
r r ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c .
④ 不正确.当 r r
r a // b 且方向相反时,即使 | a |=| r r r b | ,也不能得到 a =b ,故 r r r r r
r | a |=| b | 且 a // b 不是 a =b 的充要条件,而是必要不充分条件.
r r
⑤ 不正确.考虑 b =0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.
点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复习一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.
例 2 设 A 、 B 、 C 、 D 、O 是平面上的任意五点,试化简:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ,② DB AC BD
③ OA OC OB CO
解:①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur
uuur ( AB BC ) CD AC CD
AD
②原式 = uuur
uuur uuur r uuur uuur (DB
BD ) AC 0 AC AC
③原式 = uuur
uuur ( uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur
(OB OA) OC CO) AB (OC CO ) AB 0 AB
r 、 r
r
r
r , r r r
,若 r ∥ r ,试 例 3 设非零向量 a
b 不共线, c
d
d
=k a +b = a +k b (k R) c
求 k
r
r
解:∵ c ∥ d
∴由向量共线的充要条件得:
r
r
λ
c λ
d R)
= (
r
r
r
r
r rr 即 k a + b =λ ( a +k b )∴(k λ)
a + (1 λk)
b = 0
r r
又∵ a 、 b 不共线
k 0 k
1
∴由平面向量的基本定理
k
1
二 .平面向量的坐标表示
1 平面向量的坐标表示: 在直角坐标系中,分别取与
x 轴、 y 轴方向相同的两个
r r r 单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示
r r r
r r 成 a xi yj ,由于 a 与数对 (x,y)是一一对应的,因此把 (x,y)叫做向量 a 的坐标,
r r
记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做在 y 轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、 终点的具体位置无关, 只与其相对位置有关
2 平面向量的坐标运算:
(1) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2 ,则 r r x 1 x 2 , y 1 y 2
若 a ,b a b uuur
(2) 若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1
(3) r =(x,y),则 r y)
若 a a =( x,
(4) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2 ,则 r r x 1 y 2 x 2 y 1 0
若 a ,b a // b (5) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2 ,则 r r x 1 x 2 y 1 y 2
若 a ,b a b
r r 0
若 a b ,则 x 1 x 2 y 1 y 2
3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算
的坐标表示和性质
运 几何方法 坐标方法
算 类
型
r
向
1 平行四边形法则 r
量 2 三角形法则
a b (x 1 x,y 21 y)2
的 加 法
向
三角形法则
r r
量
a b (x 1 x 2,y 1 y 2)
的 减 法
向
a 是一个向量 ,
a ( x, y)
量 满足 :
的 >0 时 , a 与 a 同 乘 向;
法
<0 时 , a 与 a 异 向;
=0 时, a =0
向
a ?
b 是一个数
r r
x 1x 2 y 1y 2
量
a?b
的
a
0 或 b 0时,
数
量
a?b =0
积
a
0且 b 0 时,
a?b | || b |cos ,
a
a b
例 1 r r r r r r 已知向量 a (1,2), b ( x,1),u a 2b , v 值 r r r r r r r r
解:因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b , v 2a
b
r
(2 x 1,4) r
2(1,2) (x,1) 所以 u (1,2) 2( x,1)
, v r r
又因为 u // v
所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ,即 10x 5
运算性质
a b b
a
(a b) c a (b c) uuur uuur uuur AB BC AC
a b
a (
b )
uuur uuur AB
BA
uuur uuur uuur OB OA AB
( a) (
)a
(
)a
a a ( a
b )
a b
a ∥ b
a
b a ? b b ? a ( a) ?b a?( b)
(a?b)
(a b) ?c a ?c b ?c
a 2 | a |2 , | a| x 2 y 2
| a ? b | | a || b | r r r r
2a b ,且 u // v ,求实数 x 的
(2 x,3)
解得 x
1 2
例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原 点)交点 P 的坐标 uuur uuur
解:设 P( x, y) ,则 OP ( x, y), AP (x 4, y)
因为 P 是 AC 与OB 的交点
所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上
uuur uuur uuur uuur
即得 OP // OB, AP // AC
uuur
uuur 由点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) 得, AC ( 2,6), OB (4, 4) 得方程组
6( x
4) 2y 0
4 x 4 y 0
解之得
x
3 y 3
故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3)
三.平面向量的数量积 1 两个向量的数量积:
已知两个非零向量 r 与 r ,它们的夹角为 ,则 r r
r ︱·︱ r ︱cos
b
· ︱
b a a b = a
r r r r
叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 a 0
r r r r r
=
a r
2 向量的投影: ︱ b ︱ cos
b ∈R ,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对
| a |
值称为射影
3 数量积的几何意义: r r r r r
a ·
b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
4 向量的模与平方的关系: r r
r 2 r 2 a a
a | a |
5 乘法公式成立:
r r r r r 2 r 2 r a b a b a b
a r r 2 r 2
r r r 2 r a b
a
2a b b a 2 r 2 b ;
2 r r r 2 2a b
b
6 平面向量数量积的运算律:
r
r
r
r
①交换律成立: a b b a
②对实数的结合律成立:
r r r r r r a b
a b
a
bR
r r
r r r r r r r r ③分配律成立: a b
c a c b c
c a b
特别注意 :(1)结合律不成立: r r r
r r r a b c
a b c ;
( 2)消去律不成立 r r r r
不能得到 r r
a b a c
b c
r
r
r
r
r r
( 3) a b =0 不能得到 a = 0 或 b =0
7 两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量
r r
r r
a ( x 1 , y 1 ),
b ( x 2 , y 2 ) ,则 a · = x 1x 2 y 1 y 2
b
8 向量的夹角: 已知两个非零向量
r
r uuur r uuur r
a 与
b ,作 OA = a , OB = b , 则∠ AOB=
( 0 0 180 0
r r )叫做向量 a 与 b 的夹角
r r r r x 1 x 2 y 1 y 2
cos = cos a ?b =
a,b r r 2 2 2 2
a ?
b x 1 y 1 x 2 y 2 当且仅当两个非零向量 r r 同方向时,θ
r r a 与 b =00,当且仅当 a 与 b 反方向时
θ r
=1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
r r 0
r r r r 9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
10 两个非零向量垂直的充要条件 :
a ⊥ b
a ·
b = O x 1x 2 y 1 y 2 0 平面向量数量积的性质
例 1 判断下列各命题正确与否:
( 1) r r r 0 ;
0 a 0 ;(2) 0 a
( 3)若 r r r
r r r
r
a 0, a
b a
c ,则 b c ;
⑷若 r r r r r r r r 时成立; a b
a c ,则
b
c 当且仅当 a 0
( 5) r r r r r r 对任意 r r r
(a b )
c a (b c) a,b ,c 向量都成立;
r r 2 r 2
( 6)对任意向量 a ,有 a a
解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对
r r 120 0
,若 r r r r r r
r 与
例 2 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 c 2a
b, d 3b a ,试求 c
r
d 的夹角
解:由题意,
r
r
r r 0
,
a
b
1 ,且 a 与 b 的夹角为 120
r
r
r r
1 , 所以, a b
a b cos120 r 2 r r r r r r 2 r
r r
r 2
2
7 ,
Q c c c
(2a b) (2 a b)
4a 4a b b
r 7 , c
r 13
同理可得
d
r
r
r rr r r r r 2 r 2 17
,
而 c d
(2 a b ) (3b a) 7a b 3b
2a 2
r
r
设 为 c 与 d 的夹角,
则 cos
2 17 1
3 17 91 arccos 17
91
7 182
182 点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑
例 3 r 4,3
r 1,2 r r r r r r 已知 a , b , m a b , n 2a b ,按下列条件求实数
的值
r r r r r r (1) m n ;(2) m // n ; (3) m n r r r 4 ,3 2 r r r 7,8
解: m a b , n 2a b
r r 4 7 3 2 8 0 52 ;
( 1) m n 9
r r 4 8 3 2 7 0 1 ;
(2) m // n
2
r r 4 2 3 2 2 2 5 2 4 88 0 (3) m n 2 7 8
2 2 11
5
点评:此例展示了向量在坐标形式下的基本运算
(七)向量中一些常用的结论:
1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
r r r r r r r r
2. ||a| | b|| | a b| | a| |b|,特别地,当a、b同向或有
r r r r r r r r r
0 |a b| |a| |b| ||a| |b|||a b|;
r r r r r r r r r r r
当 a、b反向或有
0 |a b| |a| |b| ||a| |b|| |a b|;
r r r r r r r r
当 a、b不共
线||a| |b|| |a b| |a| |b|(这些和实数比较类似).
3.在 ABC 中,①若A x1, y1, B x2, y2, C x3, y3,则其重心的坐标为
G x1 x2 x3, y1 y2 y3。
3 3
uuur 1 uuur uuur uuur
② PG 3 (PA PB PC)
G 为ABC的重心,特别地
uuur uuur uuur r
P 为ABC的重心;
PA PB PC 0
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
③PA PB PB PC PC PA P 为ABC的垂心;
uuur uuur
AB AC )( 0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分
④向量 ( uuur uuur
|AB| |AC|
线所在直线 ) ;
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来 是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+,211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
高中数学必修4知识点汇总 第一章:三角函数 1、任意角①正角:按逆时针方向旋转形成的角 ②负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限 对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制),半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S 则αr l =,l r C +=2,221 21r lr S α== 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离 是() 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法:https://www.doczj.com/doc/9e330010.html, 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集:N*或N+ 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数: 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α, 即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即 tan (0)y x x α=≠。 (二)设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠.
一,向量重要结论 (1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a a a ?== (2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos |||| a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。 (4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= (5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += (6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥? (7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y + (8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等 向量:长度相等且方向相同的向量。 (10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a = 0 ?|a |=0 由于0的方向是任意的, 且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) (11)、单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?| 0a |=1 (12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b (即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率; (2)给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; (4)给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①AC AB //;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. (6) 给出λλ++=1OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 ( 8)给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形;
高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落 在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈?+=,360| αββ} 4、弧度制: (1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. (2)度数与弧度数的换算:π2360o =,π= 180 rad ,1 rad '185730.57)180 ( =≈=π 注:角度与弧度的相互转化:设一个角的角度为o n ,弧度为α;
①角度化为弧度: 180180ππ n n n o o o = ? =,②弧度化为角度:o o 180180?? ? ??=?=παπαα (3)若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数),半径为r ,则: 弧长公式: ①,180 (用度表示的)π n l = ② (用弧度表示的)r l ||α=; 扇形面积:①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇(用弧度表示的) 5、三角函数: (1)定义①:设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点 是(),x y ,它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>, 则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠ 定义②:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦,记作cos α,即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时, x y 叫做α的正切,记作tan α, 即tan α=x y . (2)三角函数值在各象限的符号:口诀:全正,S 正,T 正,C 正。 口诀:第一象限全为正; 二正三切四余弦. (3)特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意:不能说向量就是有向线段,为什么?提示:向量可以平移. 举例 1 已知A(1,2),B(4,2),则把向量u A u B ur按向量a r( 1,3)平移后得到的向量是. 结果:(3,0) 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作:0r,规定:零向量的方向是任意的; 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量(与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ); | AB| 4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量,记作:a r∥b r, 规定:零向量和任何向量平行 . 注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性!(因为有r0); ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题:(1)若|a r | |b r | ,则a r b r. (2)两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同,终点相同 . (3)若u A u B ur u D u C u r,则ABCD是平行四边形 . (4)若ABCD是平行四边形,则u A uu B r u D u C uur. (5)若a r b r,b r c r,则a r c r. (6)若a r / /b r,b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果:(4)(5) 二、向量的表示方法
高一数学必修一知识点整理 【导语】高一新生要作好充分思想准备,以自信、宽容的心态,尽快融入集体,适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住:是你主动地适应环境,而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》,希望你不负时光,努力向前,加油!【篇一】高一数学必修一知识点整理 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a:A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
高中数学必修4知识点自测题 一、填空题(每空1分,共100分) 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l =__________,C=_________,S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是r ,则r=__________sin α=_______,cos α=________,tan α=________. 3、三角函数在各象限的符号:第一象限________为正,第二象限__________为正,第三象限___________为正,第四象限______________为正. 4、三角函数线:sin α=________,cos α=____,tan α 5、同角三角函数的基本关系:(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________. 6、三角函数的诱导公式: (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____(_____)平移?个单位长度,得到函数()sin y x ?=+的图象;再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的_______倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ω?=+的图象;
高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角,与角终边相同的 角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制,弧度与角度的换算, 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==, 二:任意角的三角函数定义:任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(x,y),它与原点的距离是 22r x y =+(r>0),那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。 三:同角三角函数的关系式与诱导公式: 1.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系: sin tan cos α αα = 3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x
2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为: 、 、 、 、 。
3、图象的基本变换:相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换:sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换:sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定,ω有周期确定,φ有特殊点确定。 基础练习: 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ,该圆心角是1弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4、函数 y =的定义域是_____ __ 5、. 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ) (A)向左平移个6π单位 (B )向右平移个6π单位(C )向左平移个3π单位 (D )向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,cosα)在第三象限,则角α的终边在 9、下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) A .sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D .sin()23 π =+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是( ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P(-4,3),求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值
数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量:既有大小又有方向的量。 2. 向量的模:向量的大小即向量的模(长度),如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量:长度为0的向量,记为0r ,其方向是任意的,0r 与任意向量平行, 零向量a =0r |a |=0。由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别) (2)单位向量:模为1个单位长度的向量,向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量,如a r 的单位向量为: ||a a e a r r r (3)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定:0r 与任何向量平等, 任意一组平行向量都可以移到同一直线上,由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 (4)相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有:① 零向量的相反向量仍是零向量, ②)(a =a ; ③ ()0a a v v v ; ④若a 、b 是互为相反向量,则 a = b ,b =a ,a +b =0 。
新人教版高中数学必修4知识点总结经典
新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<+∈Z o o o 第二象限角的集合为 {}36090 360180,k k k α?++∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k α α?+<+∈Z o o o o 第四象限角的集合为 {}360270 360360,k k k αα?+<+∈Z o o o o 区域角怎么表示: 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z o 终边在y 轴上的角的集合为 {}18090,k k αα=?+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z o 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z o 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=o ,1180 π=o ,180157.3 π??=≈ ??? o o . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、三角函数概念:(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的 正弦,记做sin α,即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切, 记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。
集合与函数知识点讲解 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||2 2301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30555 501539252 2 ∈----≥?∈? ? ????M a a M a a a 补充:数轴标根法解不等式 5. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 6 . 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 7. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()(答:,,,)022334 8. 如何求复合函数的定义域? [] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 6、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 7、若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT . 11、角三角函数的基本关 系
高中 数 学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的 起点与终点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法 ),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模(长度) ,记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向 量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在 有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可 以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记 为b a 大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量
高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 (Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(文氏图): 4、常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集合A 记作 a ?A 6、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A ?B 注意: 有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?B 或B ? A 集合A 中有n 个元素,则集合A 子集个数为2n . 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合B ,即:A=B A B B A ???且 ① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A ?B(或B ?A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B
必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以构成一个集合:{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法: 第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α