【真题】2017年北京市高考数学(理)试题精品解析含答案解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（四）

本试题卷共2页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2|MxxxR，1,0,1N，则MN（ ）

A．0 B．1 C．0,1 D．1,0,1

2．设i1i1z，21fxxx，则fz（ ）

A． B．i C．1i D．1i

3．已知22log111sin13xxfxxx≥，则31322ff（ ）

A．52 B．52 C．32 D．12

4．已知等差数列na的前项和为nS，且96S，则5tana（ ）

A．33 B．3 C．3 D．33 5．执行如图所示的程序框图，如果输入的100t，则输出的n（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．已知函数sinfxAx(0,0,)2A在一个周期内的图象如图所示，则4f（ ）

A．22 B．22 C．2 D．2

7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）

A．21;nn B．21;1nn C．121;nn D．121;1nn

8．若P是圆22:331Cxy上任一点，则点P到直线1ykx距离的最大值（ ） 开始输入t输出n结束k≤t否是0,2,0SanSSa31,1aann班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

此卷只装订不密封 A．4 B．6 C．32+1 D．1+10

9．已知偶函数fx在0,单调递减，若20f，则满足10xfx的的取值范围是（ ）

A．,10,3 B．1,03,

C．,11,3 D．1,01,3

10．已知,xyR，在平面直角坐标系xOy中，点,)xy（为平面区域2040≤≥≥yxyx内任一点，则坐标原点与点,)xy（连线倾斜角小于3的概率为（ ）

A．116 B．316 C．3316 D．3332

11．某几何体的直观图如图所示，AB是O的直径，BC垂直O所在的平面，且10ABBC，Q为O上从A出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧AQ的长为，CQ的长度为关于的函数fx，则yfx的图像大致为（ ）

A． B．

C． D．

12．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，122FFc，过2F作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知3,2aQc，22FQFA，点P是双曲线C右支上的动点，且11232PFPQFF恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A．10,2 B．71,6 C．710,62 D．101,2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13． 612xx展开式中的常数项为__________．

14．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面积是________2cm．

15．在等腰梯形ABCD中，已知ABDC∥，2AB，1BC，60ABC，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BEBC，14DFDC，且238AEAF，则=_________．

16．设二次函数2fxaxbxc的导函数为fx，若对任意xR，不等式fxfx≥恒成立，则2222bac的最大值__________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC△内，角A，B，C所对的边分别为，，，且coscoscosbAcBcaB．

（1）求角B的值； （2）若ABC△的面积为33，13b，求ac的值．

18．某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤．

（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（3）项的概率．

（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为921,1,1,,103，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．

①求该学员能通过“科二”考试的概率；

②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．

19．如图，已知DEF△与ABC△分别是边长为1与2的正三角形，ACDF∥，四边形BCDE为直角梯形，且DEBC∥，BCCD，点G为ABC△的重心，N为AB中点，AG平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点．

（1）求证：GM∥平面DFN；

（2）若二面角MBCD的余弦值为74，试求异面直线MN与CD所成角的余弦值．

20．已知椭圆1C，抛物线2C的焦点均在轴上，1C的中心和2C的顶点均为原点O，从1C，2C 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：

3 -2 4 2

y 23 0 -4 62

（1）求1C，2C的标准方程；

（2）若直线:0lykxmk与椭圆1C交于不同的两点,MN，且线段MN的垂直平分线过定点1,08G，求实数的取值范围．

21．已知函数21ln2fxxxmxxmR．

（1）若函数fx在0,上是减函数，求实数m的取值范围；

（2）若函数fx在0,上存在两个极值点1x，2x，且12xx，证明：12lnln2xx．

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．选修4-4：坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为221164yx，以O为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin33．

（1）求直线的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；

（2）设,Mxy为椭圆C上任意一点，求231xy的最大值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数1fxxx．

（1）若1fxm恒成立，求实数m的最大值；

（2）记（1）中m的最大值为M，正实数，满足22abM，证明：2abab．

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷

理科数学（四）答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分

1．C 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C

7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．1516 14．27 15．23 16．62

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【答案】（1）3B；（2）7．

【解析】（1）∵coscoscosbAcBcaB．

∴由正弦定理，得sincossincossinsincosBACBCAB．···········1分

∴sincoscossin2sincosABABCB．

sin2sincosABCB．···········3分

又ABC，∴sinsinABC．···········4分

又∵0C，1cos2B．··········5分

又0，B，3B．··········6分

（2）据（1）求解知3B，∴222222cosbacacBacac．①··········8分

又1sin332SacB，·········9分