2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第九章 平面解析几何9.9

§9.9 曲线与方程

考情考向分析 以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主．题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题．

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

知识拓展

1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．

2．曲线的交点与方程组的关系

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解．

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √ )

(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( × )

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( × )

(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( × )

(5)y＝kx与x＝1ky表示同一直线．( × )

(6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × )

题组二 教材改编

2．[P64习题T10]已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是________．

答案 y2＝x

解析 由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，

点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其轨迹方程为y2＝x.

3．[P64习题T9]设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹方程为________． 答案 x2＝8y－8

题组三 易错自纠

4．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是________________．

答案 一条直线和一条射线

解析 原方程可化为 2x＋3y－1＝0，x－3≥0或x－3－1＝0，

即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，

故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．

5．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹方程是________．

答案 x2＝28y

6．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是__________．

答案 x2＋y2＝4(x≠±2)

解析 连结OP，则OP＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．

题型一 定义法求轨迹方程

典例 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．

解 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；

圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以PM＋PN＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝MN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．

思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

跟踪训练 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程．

解 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

由O1O2＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，可知MO1＝r－1；

由动圆M与圆O2外切，可知MO2＝r＋2.

∴MO2－MO1＝3<4＝O1O2.

∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支，

∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.

∴点M的轨迹方程为4x29－4y27＝1x≤－32.

题型二 直接法求轨迹方程

典例 已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．

(1)解 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知O1A＝O1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于点H，则H是MN的中点，∴O1M＝x2＋42.

又O1A＝x－42＋y2，

∴x－42＋y2＝x2＋42，

化简得y2＝8x(x≠0)．

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

(2)证明 由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，

P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

将y＝kx＋b代入y2＝8x，

得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，

其中Δ＝－32kb＋64＞0.

由根与系数的关系，得x1＋x2＝8－2bkk2，①

x1x2＝b2k2.②

∵x轴是∠PBQ的角平分线，

∴y1x1＋1＝－y2x2＋1，

即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，

∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 整理得2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③

将①②代入到③中并化简得8(b＋k)＝0，

∴k＝－b，此时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，

即直线l过定点(1,0)．

思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

跟踪训练 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

解 (1)由题意，得c＝5，e＝ca＝53，

因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，

故椭圆C的标准方程是x29＋y24＝1.

(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是y＝k(x－x0)＋y0，

则由 y＝kx－x0＋y0，x29＋y24＝1，

得x29＋[kx－x0＋y0]24＝1，

即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，

Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，

整理得(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直，

设两切线的斜率分别为k1，k2，

于是有k1k2＝－1，即y20－4x20－9＝－1，

即x20＋y20＝13(x0≠±3)．

若两切线中有一条斜率不存在，

则易得 x0＝3，y0＝2或 x0＝－3，y0＝2或 x0＝3，y0＝－2

或 x0＝－3，y0＝－2，

经检验知均满足x20＋y20＝13.

因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.

题型三 相关点法求轨迹方程

典例 如图所示，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.

(1)求p的值；

(2)求动点M的轨迹方程．

解 (1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，

代入y2＝2px，解得p＝1.

(2)由(1)知抛物线E：y2＝2x. 设Cy212，y1，Dy222，y2，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝kx－y212，代入y2＝2x，

得ky2－2y＋2y1－ky21＝0，由Δ＝0，解得k＝1y1，

∴l1的方程为y＝1y1x＋y12，

同理l2的方程为y＝1y2x＋y22.

联立 y＝1y1x＋y12，y＝1y2x＋y22，解得 x＝y1·y22，y＝y1＋y22.

易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足x20＋y20＝8，x0∈[2,22]，

由 y2＝2x，x0x＋y0y＝8，得x0y2＋2y0y－16＝0，

则 y1＋y2＝－2y0x0，y1·y2＝－16x0，代入 x＝y1·y22，y＝y1＋y22，

可得M(x，y)满足 x＝－8x0，y＝－y0x0，可得 x0＝－8x，y0＝8yx，

代入x20＋y20＝8，并化简，得x28－y2＝1，

考虑到x0∈[2,22]，知x∈[－4，－22]，

∴动点M的轨迹方程为x28－y2＝1，x∈[－4，－22]．

思维升华 “相关点法”的基本步骤

(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式

 x1＝fx，y，y1＝gx，y；

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．

跟踪训练 如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1

解 由椭圆C2：x29＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)．

设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，

得B(x0，－y0)，

设点M的坐标为(x，y)，

直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)．①

直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②

由①②相乘得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③

又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y20＝1－x209.④

将④代入③得x29－y2＝1(x<－3，y<0)．

因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x<－3，y<0)．