高考数学一轮复习 解析几何【配套文档】第九章 9.1

§9.1 直线的方程

2014高考会这样考 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式；2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)；3.在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线．

复习备考要这样做 1.理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；2.会根据直线的特征量画直线，研究直线性质．

1． 平面直角坐标系中的基本公式

(1)两点间的距离公式：

已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝x2－x12＋y2－y12.

(2)中点公式：

已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.

2． 直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．

(2)倾斜角的范围：[0°，180°)．

3． 直线的斜率

(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在；

(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1 (x1≠x2)．若直线的倾斜角为θ (θ≠π2)，则k＝tan_θ.

4． 直线方程的形式及适用条件

名称 几何条件 方程 局限性

点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线

斜截式 斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线

两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1

(x2≠x1，y2≠y1) 不包括垂直于坐标轴的直线

截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b (a，b≠0) xa＋yb＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的直线都适用

[难点正本 疑点清源]

(1)直线的倾斜角与斜率的关系

斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．

(2)①求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．②在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．

1． 若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为____________________．

答案 45°或135°

解析 由|k|＝|tan α|＝1，知：k＝tan α＝1或k＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.

2． 若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________________．

答案 4

解析 由a－35－4＝5－36－4＝1，得a＝4.

3． 过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．

答案 x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0

解析 ①若直线过原点，则k＝－43，

∴y＝－43x，即4x＋3y＝0.

②若直线不过原点．

设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.

∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.

4． 直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为________．

答案 0，π4∪π2，π

解析 直线l的斜率k＝m2－11－2＝1－m2≤1.

若l的倾斜角为α，则tan α≤1.

又∵α∈[0，π)，∴α∈0，π4∪π2，π.

5． 如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过

( )

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案 C

解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.

题型一 直线的倾斜角与斜率

例1 (1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 ( )

A.13 B．－13

C．－32 D.23

(2)直线xcos α＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是 ( )

A.π6，π2∪π2，5π6 B.0，π6∪5π6，π

C.0，5π6 D.π6，5π6

思维启迪：斜率公式和倾斜角的定义是解决这类问题的基础，范围可结合图形考虑．

答案 (1)B (2)B

解析 (1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，

则有 a＋7＝2b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，

从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13.

(2)由xcos

α＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cos α.

∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k≤33.

设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33.

结合正切函数在0，π2∪π2，π上的图象可知，

0≤θ≤π6或5π6≤θ

探究提高 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．

已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围．

解 如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，

当m≠0时，kQA＝32，kPA＝－2，kl＝－1m.

∴－1m≤－2或－1m≥32，

解得0

当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点，

所以，实数m的取值范围为－23≤m≤12.

题型二 求直线的方程

例2 求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；

(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.

思维启迪：选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．

解 (1)方法一 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，

∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.

若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，

∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

方法二 由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，

设直线方程为y－2＝k(x－3)，

令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，

由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，

∴直线l的方程为

y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，

即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.

(2)设所求直线的斜率为k，依题意

k＝－14×3＝－34.

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.

解方程组 x＝12x＋y－6＝0，

求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，

即x＝1为所求．

设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为

y＋1＝k(x－1)，

解方程组 2x＋y－6＝0y＋1＝kx－1，

得两直线交点为

x＝k＋7k＋2y＝4k－2k＋2.

(k≠－2，否则与已知直线平行)．

则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.

由已知k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52，

解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，

即3x＋4y＋1＝0.

综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2，3)，求：

(1)BC所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE的方程．

解 (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.

(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，

则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.

BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.

(3)BC的斜率k1＝－12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.

题型三 直线方程的综合应用

例3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

思维启迪：抓住直线过定点这个特征，找直线不经过第四象限的条件，表示△AOB的面积，然后求最值．

(1)证明 直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令 x＋2＝01－y＝0，解得 x＝－2y＝1，

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．

(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 －1＋2kk≤－21＋2k≥1，解之得k>0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.

(3)解 由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)．