2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第九章 平面

第2课时 定点、定值、探索性问题

题型一 定点问题

典例 (2017·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3,4)，B(9,0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.

(1)若AC＝4，求直线CD的方程；

(2)求证：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O)．

(1)解 由题意可知OA＝5，

因为AC＝4，所以OC＝1，所以C－35，45，

由题意可知D(5,0)，

显然，直线CD的斜率存在，

设直线CD的方程为y＝kx＋b，

将C，D两点坐标代入方程得直线CD的方程为x＋7y－5＝0.

(2)证明 设C(－3m,4m)(0

则AC＝OA－OC＝5－5m，

所以OD＝OB－BD＝5m＋4，

所以D点坐标为(5m＋4,0)．

设△OCD的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则有 F＝0，9m2＋16m2－3mD＋4mE＋F＝0，5m＋42＋5m＋4D＋F＝0，

所以△OCD的外接圆的方程为x2＋y2－4x－3y－5m(x＋2y)＝0，

令 x2＋y2－4x－3y＝0，x＋2y＝0，

解得x＝0，y＝0(舍)或x＝2，y＝－1.

△OCD的外接圆恒过定点(2，－1)．

思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．

(2)求定点坐标：不妨设方程中所含参变量为λ，把方程写为形如f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，然后解关于x，y的方程组 fx，y＝0，gx，y＝0，得到定点坐标．

跟踪训练 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足PM→＝λ1MQ→，PN→＝λ2NQ→.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．

(1)解 设椭圆的焦距为2c，

由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，

又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.

∴椭圆的方程为x23＋y2＝1.

(2)证明 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

设l方程为x＝t(y－m)，

由PM→＝λ1MQ→知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，

∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，

∴λ1＝my1－1.

同理由PN→＝λ2NQ→知λ2＝my2－1.

∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①

联立 x2＋3y2＝3，x＝ty－m，得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，

∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②

且有y1＋y2＝2mt2t2＋3，y1y2＝t2m2－3t2＋3，③

③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，

∴(mt)2＝1，

由题意mt<0，

∴mt＝－1，满足②，

∴直线l的方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．

题型二 定值问题

典例 椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，a＋b＝3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．

(1)解 因为e＝32＝ca，故c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝34，

所以a＝2b.

再由a＋b＝3，得a＝2，b＝1，

故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.

(2)证明 因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则可设BP的方程为y＝k(x－2)k≠0且k≠±12.①

将①代入x24＋y2＝1，解得P8k2－24k2＋1，－4k4k2＋1.

又直线AD的方程为y＝12x＋1，②

①与②联立解得M4k＋22k－1，4k2k－1.

由D(0,1)，P8k2－24k2＋1，－4k4k2＋1，N(x,0)三点共线可解得N4k－22k＋1，0.

所以MN的斜率为m＝2k＋14，

则2m－k＝2k＋12－k＝12(定值)．

思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

跟踪训练 (2018届江阴中学质检)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离的最小值为2－1.

(1)求椭圆方程；

(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M－54，0，证明：MA→·MB→为定值．

(1)解 将圆的方程化成标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，

则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.

又椭圆上的点到点F的距离的最小值为2－1，

所以a－c＝2－1，即a＝2.

故所求椭圆的方程为x22＋y2＝1.

(2)证明 ①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.

可求得A－1，22，B－1，－22.

此时，MA→·MB→＝－1＋54，22·－1＋54，－22＝－716.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，

由 y＝kx＋1，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.

因为MA→·MB→＝x1＋54，y1·x2＋54，y2

＝x1＋54x2＋54＋y1y2

＝x1x2＋54(x1＋x2)＋542＋k(x1＋1)·k(x2＋1)

＝(1＋k2)x1x2＋k2＋54(x1＋x2)＋k2＋2516

＝(1＋k2)·2k2－21＋2k2＋k2＋54－4k21＋2k2＋k2＋2516

＝－4k2－21＋2k2＋2516＝－2＋2516＝－716.

所以MA→·MB→为定值，且定值为－716. 题型三 探索性问题

典例 (2018届江苏徐州一中调研) 如图，已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，过左焦点F(－3，0)且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x＋4ky＝0交椭圆E于C，D两点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)求证：点M的直线l上；

(3)是否存在实数k，使得△BDM的面积是△ACM面积的3倍？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

(1)解 由题意知e＝ca＝32，c＝3，于是a＝2，b＝1.

所以椭圆E的标准方程为x24＋y2＝1.

(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

联立直线AB的方程与椭圆方程，得 y＝kx＋3，x24＋y2＝1，

即(4k2＋1)x2＋83k2x＋12k2－4＝0，

显然方程有两个不等实根．

所以x1＋x2＝－83k24k2＋1，x0＝x1＋x22＝－43k24k2＋1，

y0＝k(x0＋3)＝3k4k2＋1，

于是M－43k24k2＋1，3k4k2＋1.

因为－43k24k2＋1＋4k·3k4k2＋1＝0，

所以点M在直线l上．

(3)解 当k＝±24时，满足条件．

由(2)知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等．

若△BDM的面积是△ACM面积的3倍，

则DM＝3CM， 因为OD＝OC，于是M为OC的中点．

设点C的坐标为(x3，y3)，则y0＝y32，

即y3＝2y0＝23k4k2＋1.

由 x3＝－4ky3，x234＋y23＝1，解得y3＝±14k2＋1，

于是124k2＋1＝3|k|4k2＋1，

∴k2＝18，即k＝±24.

思维升华 解决探索性问题的注意事项

探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．

跟踪训练 已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为32，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|GF→|＋|CF→|＝4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP→2＝4PA→·PB→成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解 (1)由椭圆的对称性知|GF→|＋|CF→|＝2a＝4，∴a＝2.

又原点O到直线DF的距离为32，

∴bca＝32，∴bc＝3，

又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝3，c＝1.

故椭圆E的方程为x24＋y23＝1.

(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．

故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，