2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9
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§9.7抛物线
最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及
简单几何性质.
2.会解决直线与抛物线的位置关系的问题.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的
综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F
和一条定直线l
(l
不经过点F
)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F
叫
做抛物线的焦点，直线l
叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程y2＝2px
(p
>0)y2＝－2px
(p
>0)x2＝2py
(p
>0)x2＝－2py
(p
>0)
p
的几何意义：焦点F
到准线l
的距离
图形
顶点坐标O
(0，0)
对称轴x
轴y
轴
焦点坐标
Fp
2，0
F－p
2，0
F0，p
2
F0，－p
2
离心率e
＝1
准线方程x
＝－p
2x
＝p
2y
＝－p
2y
＝p
2
范围x
≥0，y
∈Rx
≤0，y
∈Ry
≥0，x
∈Ry
≤0，x
∈R
开口方向向右向左向上向下
概念方法微思考
1.若抛物线定义中定点F
在定直线l
上时，动点的轨迹是什么图形？
提示过点F
且与l
垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？
提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有
一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F
和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(×)
(2)方程y
＝ax2
(a
≠0)表示的曲线是焦点在x
轴上的抛物线，
且其焦点坐标是a
4
，0
，准线方程
是x＝－a
4.(×)
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(×)
(4)AB
为抛物线y2＝2px
(p
>0)的过焦点
Fp
2
，0
的弦，若A
(x
1，y
1)，B
(x
2，y
2)，则x
1x
2＝p2
4，
y
1y
2＝－p2，弦长|AB
|＝x
1＋x
2＋p
.(√)
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么
抛物线x2＝－2ay
(a
>0)的通径长为2a
.(√)
题组二教材改编
2.[P69例4]过抛物线y2＝4x
的焦点的直线l
交抛物线于P
(x
1，y
1)，Q
(x
2，y
2)两点，如果x
1
＋x
2＝6，则|PQ
|等于()
A.9B.8C.7D.6
答案B
解析抛物线y2＝4x
的焦点为F
(1，0)，准线方程为x
＝－1.根据题意可得，|PQ
|＝|PF
|＋
|QF
|＝x
1＋1＋x
2＋1＝x
1＋x
2＋2＝8.
3.[P73A组T3]若抛物线y2＝4x
的准线为l
，P
是抛物线上任意一点，则P
到准线l
的距离与
P
到直线3x
＋4y
＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.13
5C.14
5D.3
答案A
解析由抛物线定义可知点P
到准线l
的距离等于点P
到焦点F
的距离，由抛物线y2＝4x
及直线方程3x
＋4y
＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P
到准线l
的距离与点P
到直线3x
＋4y
＋7＝0的距离之和的最小值为点F
(1，0)到直线3x
＋4y
＋7＝0的距离，即|3＋7|
32
＋42＝2.故选
A.
4.[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P
(－2，－4)，则该抛物
线的标准方程为____________________.
答案y2＝－8x
或x2＝－y
解析设抛物线方程为y2＝mx
(m
≠0)或x2＝my
(m
≠0).
将P
(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x
或x2＝－y
.
题组三易错自纠
5.设抛物线y2＝8x
上一点P
到y
轴的距离是4，则点P
到该抛物线焦点的距离是()
A.4B.6C.8D.12
答案B
解析如图所示，
抛物线的准线l
的方程为x
＝－2，F
是抛物线的焦点，过点P
作PA
⊥y
轴，垂足是A
，延长
PA
交直线l
于点B
，则|AB
|＝2.由于点P
到y
轴的距离为4，则点P
到准线l
的距离|PB
|＝
4＋2＝6，所以点P
到焦点的距离|PF
|＝|PB
|＝6.故选B.
6.已知抛物线C
与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()
A.y2＝±22x
B.y2＝±2x
C.y2
＝±4x
D.y2
＝±42x
答案D
解析
由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).
设抛物线方程为y2
＝±2px
(
p
>0)，则p
2＝2，
所以p
＝2
2，所以抛物线方程为y2＝±42x
.故选D.
7.设抛物线y2＝8x
的准线与x
轴交于点Q
，若过点Q
的直线l
与抛物线有公共点，则直线l
的斜率的取值范围是__________.
答案[－1，1]
解析Q
(－2，0)，当直线l
的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l
的方程为y
＝k
(x
＋2)，代入抛物线方程，消去y
整理得k2x2
＋(4k2
－8)x
＋4k2
＝0，
当k
＝0时，符合题意，当k
≠0时，
由Δ
＝(4k2
－8)2
－4k2
·4k2
＝64(1－k2
)≥0，
解得－1≤k
≤1且k
≠0，
综上，k
的取值范围是[－1，1].
题型一抛物线的定义和标准方程
命题点1定义及应用
例1设P
是抛物线y2
＝4x
上的一个动点，若B
(3，2)，则|PB
|＋|PF
|的最小值为________.
答案4
解析如图，过点B
作BQ
垂直准线于点Q
，交抛物线于点P
1，
则|P
1Q
|＝|P
1F
|.
则有|PB
|＋|PF
|≥|P
1B
|＋|P
1Q
|＝|BQ
|＝4，
即|PB
|＋|PF
|的最小值为4.
引申探究
1.若将本例中的B
点坐标改为(3，4)，试求|PB
|＋|PF
|的最小值.
解由题意可知点B
(3，4)在抛物线的外部.
∵|PB
|＋|PF
|的最小值即为B
，F
两点间的距离，F
(1，0)，
∴|PB
|＋|PF
|≥|BF
|＝42
＋2
2
＝25，
即|PB
|＋|PF
|的最小值为25.
2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x
，直线l
的方程为x
－y
＋5＝0，在抛物
线上有一动点P
到y
轴的距离为d
1，到直线l
的距离为d
2，求d
1＋d
2的最小值.
解由题意知，抛物线的焦点为F
(1，0).
点P
到y
轴的距离d
1＝|PF
|－1，
所以d
1＋d
2＝d
2＋|PF
|－1.
易知d
2＋|PF
|的最小值为点F
到直线l
的距离，
故d
2＋|PF|的最小值为|1＋5|
12＋
－12＝32，
