课时作业10：滚动训练(一)

滚动训练(一)

一、选择题

1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b3cos B＝asin A，则cos B等于(

)

A.－12 B.12

C.－32 D.32

考点 正弦定理及其变形应用

题点 正弦定理的变形应用

答案 B

解析 由正弦定理asin A＝bsin B，可得b3cos B＝bsin B，

∴tan B＝3，B∈(0，π)，∴B＝π3，cos B＝12.

2.在△ABC中，c＝3，b＝1，B＝π6，则△ABC的形状为( )

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰三角形或直角三角形

考点 用正弦定理解三角形

题点 已知两边及其中一边对角解三角形

答案 D

解析 由正弦定理可知，sin C＝sin Bb·c＝121·3＝32，

∴C＝π3或C＝2π3，

当C＝π3时，A＝π－B－C＝π2，△ABC为直角三角形，

当C＝2π3时，A＝π－B－C＝π6，△ABC为等腰三角形.

3.若钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC等于(

)

A.5 B.5

C.2 D.1 考点 用正弦定理解三角形

题点 已知面积求边或角

答案 B

解析 (利用钝角三角形验解)由题意知

S△ABC＝12AB·BC·sin B，

即12＝12×1×2sin B，解得sin B＝22，

∴B＝45°或B＝135°.

当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.

此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；

当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋(2)2－2×1×2×－22＝5，解得AC＝5，符合题意.

4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为( )

A.π6 B.π3

C.π6或5π6 D.π3或2π3

考点 正弦、余弦定理解三角形综合

题点 正弦、余弦定理解三角形综合

答案 D

解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，

∴a2＋c2－b22ac·tan B＝32，

即cos B·tan B＝sin B＝32.

∵0

5.在△ABC中，sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，则△ABC为( )

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰或直角三角形

考点 判断三角形形状

题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状

答案 C 解析 由已知得cos B＋cos C＝sin B＋sin Csin A，

由正弦、余弦定理得a2＋c2－b22ac＋a2＋b2－c22ab＝b＋ca，

即a2(b＋c)－(b＋c)(b2－bc＋c2)＝bc(b＋c)，

即a2＝b2＋c2，

故△ABC是直角三角形.

6.在△ABC中，asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b且a>b，则B等于( )

A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

考点 用正弦定理解三角形

题点 利用正弦定理、三角变换解三角形

答案 A

解析 由正弦定理，得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝12sin B.

∵0

∴sin Acos C＋sin Ccos A＝12，即sin(A＋C)＝12，

即sin B＝12.∵a>b，∴B＝π6.

7.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为32，那么b等于( )

A.1＋32 B.1＋3

C.2＋22 D.23

考点 余弦定理及其变形应用

题点 用余弦定理求边或角的取值范围

答案 B

解析 ∵S△ABC＝12ac·sin 30°＝32，

∴ac＝6.

由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cos B

＝(a＋c)2－2ac－2ac·32＝4b2－12－63，

∴b2＝4＋23＝(3＋1)2，

∴b＝3＋1 8.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝6，cos A＝78，则△ABC的面积等于( )

A.17 B.15

C.152 D.3

考点 解三角形求面积

题点 综合利用正弦、余弦定理求面积

答案 C

解析 ∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.

又a＝6，cos A＝b2＋c2－a22bc＝78，解得c＝2，b＝4.

∴S△ABC＝12bcsin A＝12×4×2×1－782＝152.故选C.

二、填空题

9.在△ABC中，已知BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________.

考点 正弦定理及其变形应用

题点 正弦定理的变形应用

答案 25

解析 由正弦定理，得AB＝sin Csin ABC＝2BC＝25.

10.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.

考点 用正弦定理解三角形

题点 已知两角及一边解三角形

答案

1

解析 由sin B＝12，解得B＝π6或B＝5π6.

根据三角形内角和定理，舍去B＝5π6，

所以B＝π6，A＝2π3.

根据正弦定理asin A＝bsin B，得3sin 2π3＝bsin π6，

解得b＝1.

11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝________. 考点 用正弦定理解三角形

题点 已知两边及其中一边对角解三角形

答案 1

解析 ∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝π3.

由正弦定理asin A＝bsin B，得1sin A＝3sin π3.

∴sin A＝12.

又a

∴C＝π2，∴sin C＝1.

三、解答题

12.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的长.

考点 正弦、余弦定理解三角形综合

题点 正弦、余弦定理解三角形综合

解 (1)∵bsin A＝3acos B，

∴由正弦定理可得sin Bsin A＝3sin Acos B.

∵sin A≠0，∴tan B＝3，又∵0

(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，

∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得9＝a2＋4a2－2a·2acos π3，

解得a＝3(负值舍去)，∴c＝2a＝23.

13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋3bc＝0,2bsin A＝a，BC边上中线AM的长为14.

(1)求角A和角B的大小；

(2)求△ABC的面积.

考点 解三角形求面积

题点 综合利用正弦、余弦定理求面积

解 (1)由a2－b2－c2＋3bc＝0，得a2－b2－c2＝－3bc， 所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝32，A∈(0，π)，A＝π6.

由2bsin A＝a，得sin B＝12，B∈(0，π)，故B＝π6.

(2)设AC＝BC＝x，

得AM2＝x2＋x24－2x·x2·－12＝(14)2，

解得x＝22(负值舍去)，

故S△ABC＝12×22×22×32＝23.

四、探究与拓展

14.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，E在AC上，若BE⊥AC，则ED＝________.

考点 几何图形中的计算问题

题点 四边形有关的几何图形计算问题

答案 212

解析 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，

所以∠BAC＝60°.

因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝32.

在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，

由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝34＋9－2×32×3×32＝214，

故ED＝212.

15.如图经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).问如何设计，可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂对村庄的距离最远)?

考点 解三角形的实际综合应用

题点 解三角形的实际综合应用 解 设∠AMN＝θ，则在△AMN中，由正弦定理得MNsin 60°＝AMsin120°－θ，

因为MN＝2，所以AM＝433sin(120°－θ).

在△APM中，∠AMP＝60°＋θ，

则AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP

＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)

＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4

＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4

＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203

＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)，

当且仅当2θ＋150°＝270°，

即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23.