第2章 滚动训练三(§1～§4)
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滚动训练三(§1～§4)
一、选择题
1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则随机变量可以是( )
A．第一次出现的点的种数
B．第二次出现的点的种数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
考点 随机变量及离散型随机变量的概念
题点 随机变量的概念
答案 C
2．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为( )
A.112 B.13
C.8384 D.184
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 B
解析 记事件A为“第一支抽取为好的”，事件B为“第二支是坏的”，则
P(A)＝710，
P(AB)＝710×39＝730，
∴P(B|A)＝PABPA＝13.
3．若ξ～B10，12，则P(ξ≥2)等于( )
A.111 024 B.501512
C.1 0131 024 D.507512
考点 二项分布的计算及应用
题点 利用二项分布求概率
答案 C 解析 P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)
＝1－C010120×1210－C110121×129
＝1－11 024－101 024＝1 0131 024.
4．离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X＝i 1 2 3 4 5
6
P(X＝i) 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则P32
A．0.25 B．0.35
C．0.45 D．0.55
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求概率
答案
B
解析 根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率和为1，因此0.x＋0.05＋0.1＋0.0y＝0.4，
即10x＋y＝25，
由x，y是0～9间的自然数可解得x＝2，y＝5.
故P32
5．某人进行射击训练，射击1次中靶的概率为34.若射击直到中靶为止，则射击3次的概率为( )
A.343 B.342×14
C.142×34 D.143
考点 同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
答案 C
解析 由题意得，射击3次说明前2次未中，第3次击中，所以射击3次的概率为142×34. 6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为( )
A．0.998 B．0.046
C．0.002 D．0.954
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 D
解析 三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为P＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝0.046，
由对立事件的概率公式知
至少有两枚导弹命中目标的概率为
P＝1－0.046＝0.954.
7．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局．若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为( )
A.8125 B.12125
C.36125 D.54125
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
答案 C
解析 由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P＝1025＝25，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C23252×351＝36125.
8．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是23(相互独立)，经计算，5名学生中恰有k名学生同时达标的概率是80243，则k的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．3或4
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用 答案 D
解析 设X表示这5名学生中达标的人数，则P(X＝k)＝Ck5×23k×135－k，k＝0,1,2,3,4,5.
由已知，得P(X＝k)＝80243，即Ck5×23k×135－k＝80243，解得k＝3或k＝4.
二、填空题
9．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元；则P(ξ＝6)＝________，P(ξ＝9)＝________.
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 排列、组合知识在分布列中的应用
答案 715 715
解析 ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的，
所以P(ξ＝6)＝C38C310＝715，
ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，
所以P(ξ＝9)＝C28C12C310＝715.
10．某仪表内装有m个同样的电子元件，有一个损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是p，则这个仪表不能工作的概率为________．
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
答案 1－(1－p)m
解析 由题意知，设电子元件损坏的个数为X，
则X～B(m，p)，则这个仪表不能工作的概率
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C0m(1－p)m＝1－(1－p)m.
11.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则：
(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________.
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
答案 (1)2π (2)14
解析 (1)由几何概型概率计算公式可得
P(A)＝S正S圆＝2π.
(2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝S△EOHS圆＝12×12π＝12π.由条件概率的计算公式可得P(B|A)＝PABPA＝12π2π＝14.
12．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是12，构造数列{an}，使得an＝ 1当第n次出现正面时，－1当第n次出现反面时，记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N＋)，则S4＝2的概率为________．
考点 独立重复试验的计算
题点 n次独立重复试验概率的应用
答案 14
解析 S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝C34×123×12＝14. 三、解答题
13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．记X为第二天开始时该商品的件数，求X的分布列．
考点 离散型随机变量的分布列
题点 求离散型随机变量的分布列
解 由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.
故X的分布列为
X 2 3
P 14 34
四、探究与拓展
14．实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；
(2)求按比赛规则甲获胜的概率．
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与分布列
解 (1)甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.
记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，
记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，
记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．所以甲打完3局取胜的概率P(A)＝C33×123＝18.
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负．所以甲打完4局才能取胜的概率P(B)＝C23×122×12×12＝316.
③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负．所以甲打完5局才能取胜的概率P(C)＝C24×122×122×12＝316.
(2)设事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A∪B∪C.
因为事件A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝18＋316＋316＝12，
故按比赛规则甲获胜的概率为12.
15．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
考点 二项分布的计算及应用
题点 二项分布的实际应用
解 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
∵P(A)＝12×12＝14，
P(B)＝2×12×1－12＝12，
P(C)＝310，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，
