课时作业12：滚动训练(二)

滚动训练(二)

一、选择题

1．下列命题为真命题的是( )

A．互余的两个角不相等

B．相等的两个角是同位角

C．如果a2＝b2，则|a|＝|b|

D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

考点 命题的概念及分类

题点 命题真假性判断

答案 C

解析 由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．

2．下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；

②每一个中学生都要接受爱国主义教育；

③有人既能写小说，也能搞发明创造；

④任何一个数除0，都等于0.

其中全称命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

考点 全称量词及全称命题的真假判断

题点 识别全称命题

答案 C

解析 命题①②④都是全称命题．

3．设F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )

A．16 B．18 C．20 D．不确定

答案 B

考点 椭圆的定义

题点 焦点三角形中的问题

解析 △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝25－9＝4，

所以周长为10＋8＝18.

4．“1

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 B

考点 椭圆的标准方程

题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)

解析 当方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有 m－1>0，3－m>0，m－1≠3－m所以1

5．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于( )

A．－14 B．－4

C．4 D.14

考点 双曲线的标准方程

题点 由双曲线方程求参数

答案 A

解析 ∵a2＝1，b2＝1－m，又b2＝4a2＝4，∴m＝－14.

6．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则椭圆C的方程为( )

A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1

C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1

考点 椭圆的几何性质

题点 由椭圆的几何性质求方程

答案 A

解析 △AF1B的周长为43，

由椭圆的定义，得4a＝43，得a＝3，

又由e＝ca＝33，

得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，

故C的方程为x23＋y22＝1. 7．椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为( )

A.53 B.103 C.203 D.53

考点 椭圆的几何性质

题点 椭圆的几何性质的应用

答案 A

解析 易知△ABF2的内切圆的半径r＝12，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝12lr＝12×2c×|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝53.

二、填空题

8．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________．

考点 全称命题

题点 由全称命题的真假求参数的取值范围

答案 (－2，－1)∪(1，2)

解析 ∵f(x)＝(a2－1)x是减函数，

∴0

∴a∈(－2，－1)∪(1，2)．

9．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

考点 直线与椭圆的位置关系

题点 弦长与三角形面积

答案 8

解析 由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，

|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，

∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.

又∵|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.

10．如果双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)两渐近线的夹角是60°，则该双曲线的离心率是________．

考点 双曲线的几何性质

题点 求双曲线的离心率

答案 233或2 解析 易知双曲线的渐近线的斜率是±ba.又两渐近线的夹角为60°，则ba＝tan 30°或ba＝tan 60°，即e2－1＝13或e2－1＝3，又e＞1，所以e＝233或e＝2，故该双曲线的离心率为233或2.

11．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F(2,0)，给出下列四个条件：

①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．

其中可求得椭圆方程为x28＋y24＝1的条件有________．(填序号)

考点 椭圆几何性质的应用

题点 由椭圆的几何性质求方程

答案 ①②③

解析 只需保证a＝22，b＝2，c＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x28＋y24＝1.

三、解答题

12．直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程．

考点 直线与双曲线的位置关系

题点 直线与双曲线的位置关系

解 设直线l的方程为y＝2x＋m，

由 y＝2x＋m，x23－y22＝1，得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)

设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由根与系数的关系，

得x1＋x2＝－65m，x1x2＝310(m2＋2)．

又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，

∴y1－y2＝2(x1－x2)，

∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2

＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]

＝53625m2－4×310m2＋2.

∵|AB|＝4，∴365m2－6(m2＋2)＝16.

∴3m2＝70，m＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m2－240，

把m＝±2103代入上式，得Δ＞0，

∴m的值为±2103.

∴所求l的方程为6x－3y±210＝0.

13.如图，过点B(0，－b)作椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的弦，求这些弦中的最大弦长．

考点 椭圆几何性质的应用

题点 椭圆中的最值问题

解 设M(x，y)是椭圆上任意一点，

|BM|2＝x2＋(y＋b)2＝x2＋y2＋2by＋b2，①

由x2a2＋y2b2＝1，得x2＝a2b2(b2－y2)．②

将②代入①式，整理得

|BM|2＝1－a2b2y2＋2by＋(a2＋b2)

＝1－a2b2·y－b3c22＋a4c2.

∵－b≤y≤b，

(1)当b≤c，即b≤22a时，b3c2≤b，

∴当y＝b3c2时，|BM|的最大值为a2c；

(2)当b>c，即b>22a时，b3c2>b，

∴当y＝b时，点M为(0，b)，即椭圆的上顶点，

|BM|2的最大值为1－a2b2·b－b3c22＋a4c2＝4b2，

∴|BM|的最大值为2b.

综上所述，当b≤c，即b≤22a时，这些弦中的最大弦长为a2c；当b>c，即b>22a时，这些弦中的最大弦长为2b. 四、探究与拓展

14．点P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于( )

A．4 B．5 C．6 D．7

考点 双曲线的几何性质

题点 双曲线的焦点三角形

答案 D

解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a，①

又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②

①2－②得：－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.

又因为△F1PF2的面积是9，所以12mn＝9，

所以c2－a2＝9.

又因为双曲线的离心率ca＝54，

所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.

(1)若点C的坐标为43，13，且|BF2|＝2，求椭圆的方程；

(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

考点 椭圆几何性质的应用

题点 求椭圆的离心率

解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．

(1)因为B(0，b)，所以|BF2|＝b2＋c2＝a.

又|BF2|＝2，故a＝2.

因为点C43，13在椭圆上， 所以169a2＋19b2＝1，解得b2＝1.

故所求椭圆的方程为x22＋y2＝1.

(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，

所以直线AB的方程为xc＋yb＝1.

解方程组 xc＋yb＝1，x2a2＋y2b2＝1，得 x1＝2a2ca2＋c2，y1＝bc2－a2a2＋c2， x2＝0，y2＝b.

所以点A的坐标为2a2ca2＋c2，bc2－a2a2＋c2.

又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，

得点C的坐标为2a2ca2＋c2，ba2－c2a2＋c2.

因为直线F1C的斜率为ba2－c2a2＋c2－02a2ca2＋c2－－c＝ba2－c23a2c＋c3，

直线AB的斜率为－bc，且F1C⊥AB，

所以ba2－c23a2c＋c3·－bc＝－1，

所以a2＝5c2，故e2＝15，又0＜e＜1，

所以e＝55.