2020中考数学 压轴专题：二次函数与几何综合(含答案)
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
1 / 18 2020中考数学 压轴专题：二次函数与几何综合（含答案）
1. 已知抛物线y＝－x2
＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，
与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.
(1)求抛物线解析式；
(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x
1，y
1)，N(x
2，y
2)(x
1
2)．当|x
1－x
2|最小时，
求抛物线与直线的交点M和N的坐标；
(3)首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L
最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值．
第1题图
解：(1)令y＝0，得x2
－bx－c＝0，
由根与系数的关系可知m－2＋2m＋1＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c，
又∵抛物线的对称轴为x＝b
2＝1，即b＝2，
∴m－2＋2m＋1＝2，解得m＝1，
∴c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝－x2
＋2x＋3；
(2)由
y＝－x2
＋2x＋3
y＝kx＋2可得：x2
＋(k－2)x－1＝0，
∴x
1＋x
2＝2－k，x
1x
2＝－1，
∴|x
1－x
2|＝（x
1＋x
2）2
－4x
1x
2＝（2－k）2
＋4≥2，
当k＝2时，|x
1－x
2|取到最小值2，
此时x
1＝－1，x
2＝1，
∴直线解析式为y＝2x＋2，
∴M(－1，0)，N(1，4)；
第1题解图
(3)如解图，设平移后的O、B两点为O′和B′，以O′B′、PB′为边作平行四边形P′O′B′P，
则有PB′＝P′O′，PP′＝O′B′，再将C点以x轴为对称轴对称到C′点，连接P′C′，O′C′，则有O′C′知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2 / 18 ＝O′C，∴CO′＋PB′＝P′O′＋O′C′≥P′C′，
又由(1)易知P(1，4)，
∵P′P＝O′B′＝OB＝3，C(0，3)，
∴P′(－2，4)，C′(0，－3)，PC＝2，
∴直线P′C′的解析式为y＝－7
2x－3，
直线P′C′与x轴的交点为(－6
7，0)，
∵PC，O′B′为定值，
∴当CO′＋PB′取最小值P′C′时L最小，
此时O′(－6
7，0)，则B′(15
7，0)．
又∵P′C′＝（4＋3）2
＋22
＝53，
∴L
最小值＝P′C′＋PC＋O′B′＝53＋2＋3.
2. 如图，抛物线y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)与直线y＝x＋1相交于A(－1, 0)，B(4，m)两点，且抛物
线经过点C(5，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，
交直线AB于点E.
①当PE＝2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第2题图
解：(1)∵点B(4，m)在直线y＝x＋1上，
∴m＝4＋1＝5，
∴B(4，5)，
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得
a－b＋c＝0
16a＋4b＋c＝5
25a＋5b＋c＝0，解得
a＝－1
b＝4
c＝5，
∴抛物线解析式为y＝－x2
＋4x＋5;
(2)①设P(x，－x2
＋4x＋5)，则E(x，x＋1)，D(x，0)，
则PE＝|－x2
＋4x＋5－(x＋1)|＝|－x2
＋3x＋4|，DE＝|x＋1|，
∵PE＝2ED，
∴|－x2
＋3x＋4|＝2|x＋1|，
当－x2
＋3x＋4＝2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝2，当x＝－1时，P与A重合不合题意，
舍去，
∴P(2，9)； 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
3 / 18 当－x2
＋3x＋4＝－2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝6，当x＝－1时，P与A重合不合题意，
舍去，
∴P(6，－7);
综上可知P点坐标为(2，9)或(6，－7)；
②存在点P的坐标为(3
4，119
16)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)．
【解法提示】设P(x，－x2
＋4x＋5)，则E(x，x＋1)，且B(4，5)，C(5，0)，
∴BE＝（x－4）2
＋（x＋1－5）2
＝2|x－4|，CE＝（x－5）2
＋（x＋1）2
＝
2x2
－8x＋26，
BC＝（4－5）2
＋（5－0）2
＝26，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE＝CE、BE＝BC或CE＝BC三种情况，
当BE＝CE时，则 2|x－4|＝2x2
－8x＋26，解得x＝3
4，此时P点坐标为(3
4，119
16)；
当BE＝BC时，则2|x－4|＝26，解得x＝4＋13或x＝4－13，此时P点坐标为(4＋13，
－413－8)或(4－13，413－8)；
当CE＝BC时，则2x2
－8x＋26＝26，解得x＝0或x＝4，当x＝4时，E点与B点重合，
不合题意，舍去，此时P点坐标为(0，5)；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(3
4，119
16)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413
－8)或(0，5)．
3. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2
－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y
轴交于点C，顶点为D.
(1)请直接写出点A，C，D的坐标；
(2)如图①，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
(3)如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三
角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第3题图
解：(1)A(－3，0)，C(0，3)，D(－1，4)；
(2)如解图①，作点C关于x轴的对称点M，则M(0，
－3)，连接DM，DM与x轴的交点为E，连接CE，此时△CDE的周长最小， 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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第3题解图①
设直线DM的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将D(－1，4)，M(0，－3)代入y＝kx＋b，
得
－k＋b＝4
b＝－3，解得
k＝－7
b＝－3，
∴直线DM的解析式为y＝－7x－3，
令y＝0，则y＝－7x－3＝0，
解得x＝－3
7，
∴点E的坐标为(－3
7，0)．
(3)存在．
由(1)知，OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAB＝45°，如解图②，
第3题解图②
①当∠AFP＝90°时，即∠AF
1P
1＝90°，
∴点P
1既在x轴上，又在抛物线上，则点P
1与点B重合，点P
1的坐标为(1，0)；
②当∠FAP＝90°时，即∠F
2AP
2＝90°，则∠P
2AO＝45°，设AP
2与y轴的交点为点N，
∴OA＝ON＝3，则N(0，－3)，
∴直线AP
2的解析式为y＝－x－3，
联立抛物线与直线AP
2的解析式，得方程组
y＝－x－3
y＝－x2
－2x＋3，
解得
x＝－3
y＝0或
x＝2
y＝－5，
∵A(－3，0)，
∴P
2(2，－5)；
③当∠APF＝90°时，即∠AP
3F
3＝90°，点P
3既在x轴上，又在抛物线上，则点P
3与点B
重合，点P
3的坐标为(1，0)． 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
5 / 18 综上所述，抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，其坐标为P(1，0)或(2，
－5)．
4. 在同一直角坐标系中，抛物线C
1：y＝ax2
－2x－3与抛物线C
2：y＝x2
＋mx＋n关于y轴对
称，C
2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
(1)求抛物线C
1，C
2的函数表达式；
(2)求A、B两点的坐标；
(3)在抛物线C
1上是否存在一点P，在抛物线C
2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且
A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，
请说明理由．
第4题图
解：(1)∵C
1、C
2关于y轴对称，
∴C
1与C
2的交点一定在y轴上，且C
1与C
2的形状、大小均相同，
∴a＝1，n＝－3，
∴C
1的对称轴为x＝1，
∴C
2的对称轴为x＝－1，
∴m＝2，
∴C
1的函数表示式为y＝x2
－2x－3，C
2的函数表达式为
y＝x2
＋2x－3；
(2)在C
2的函数表达式为y＝x2
＋2x－3中，令y＝0可得x2
＋2x－3＝0，解得x＝－3或x
＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)；
(3)存在．
∵AB的中点为(－1，0)，且点P在抛物线C
1上，点Q在抛物线C
2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴PQ∥AB且PQ＝AB，
由(2)可知AB＝1－(－3)＝4，
∴PQ＝4，
设P(t，t2
－2t－3)，则Q(t＋4，t2
－2t－3)或(t－4，t2
－2t－3)，
①当Q(t＋4，t2
－2t－3)时，则t2
－2t－3＝(t＋4)2
＋2(t＋4)－3，
解得t＝－2，
∴t2
－2t－3＝4＋4－3＝5，
∴P(－2，5)，Q(2，5)；
②当Q(t－4，t2
－2t－3)时，则t2
－2t－3＝(t－4)2
＋2(t－4)－3，
解得t＝2，
