2020中考数学 压轴专题：二次函数与几何综合(含答案)

1 2020中考数学 压轴专题：二次函数与几何综合

1. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.

(1)求抛物线解析式；

(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1

(3)首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值．

第1题图

解：(1)令y＝0，得x2－bx－c＝0，

由根与系数的关系可知m－2＋2m＋1＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c，

又∵抛物线的对称轴为x＝b2＝1，即b＝2，

∴m－2＋2m＋1＝2，解得m＝1，

∴c＝3，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)由y＝－x2＋2x＋3y＝kx＋2可得：x2＋(k－2)x－1＝0，

∴x1＋x2＝2－k，x1x2＝－1，

∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2－k）2＋4≥2，

当k＝2时，|x1－x2|取到最小值2，

此时x1＝－1，x2＝1，

2 ∴直线解析式为y＝2x＋2，

∴M(－1，0)，N(1，4)；

第1题解图

(3)如解图，设平移后的O、B两点为O′和B′，以O′B′、PB′为边作平行四边形P′O′B′P，则有PB′＝P′O′，PP′＝O′B′，再将C点以x轴为对称轴对称到C′点，连接P′C′，O′C′，则有O′C′＝O′C，∴CO′＋PB′＝P′O′＋O′C′≥P′C′，

又由(1)易知P(1，4)，

∵P′P＝O′B′＝OB＝3，C(0，3)，

∴P′(－2，4)，C′(0，－3)，PC＝2，

∴直线P′C′的解析式为y＝－72x－3，

直线P′C′与x轴的交点为(－67，0)，

∵PC，O′B′为定值，

∴当CO′＋PB′取最小值P′C′时L最小，

此时O′(－67，0)，则B′(157，0)．

又∵P′C′＝（4＋3）2＋22＝53，

∴L最小值＝P′C′＋PC＋O′B′＝53＋2＋3.

2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝x＋1相交于A(－1, 0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.

3 ①当PE＝2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

解：(1)∵点B(4，m)在直线y＝x＋1上，

∴m＝4＋1＝5，

∴B(4，5)，

把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得a－b＋c＝016a＋4b＋c＝525a＋5b＋c＝0，解得a＝－1b＝4c＝5，

∴抛物线解析式为y＝－x2＋4x＋5;

(2)①设P(x，－x2＋4x＋5)，则E(x，x＋1)，D(x，0)，

则PE＝|－x2＋4x＋5－(x＋1)|＝|－x2＋3x＋4|，DE＝|x＋1|，

∵PE＝2ED，

∴|－x2＋3x＋4|＝2|x＋1|，

当－x2＋3x＋4＝2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝2，当x＝－1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P(2，9)；

当－x2＋3x＋4＝－2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝6，当x＝－1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P(6，－7);

综上可知P点坐标为(2，9)或(6，－7)；

②存在点P的坐标为(34，11916)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)．

【解法提示】设P(x，－x2＋4x＋5)，则E(x，x＋1)，且B(4，5)，C(5，0)，

∴BE＝（x－4）2＋（x＋1－5）2＝2|x－4|，CE＝（x－5）2＋（x＋1）2＝2x2－8x＋26，

BC＝（4－5）2＋（5－0）2＝26，

4 当△BEC为等腰三角形时，则有BE＝CE、BE＝BC或CE＝BC三种情况，

当BE＝CE时，则 2|x－4|＝2x2－8x＋26，解得x＝34，此时P点坐标为(34，11916)；

当BE＝BC时，则2|x－4|＝26，解得x＝4＋13或x＝4－13，此时P点坐标为(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)；

当CE＝BC时，则2x2－8x＋26＝26，解得x＝0或x＝4，当x＝4时，E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为(0，5)；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(34，11916)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)．

3. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.

(1)请直接写出点A，C，D的坐标；

(2)如图①，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

(3)如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

解：(1)A(－3，0)，C(0，3)，D(－1，4)；

(2)如解图①，作点C关于x轴的对称点M，则M(0，

－3)，连接DM，DM与x轴的交点为E，连接CE，此时△CDE的周长最小，

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第3题解图①

设直线DM的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将D(－1，4)，M(0，－3)代入y＝kx＋b，

得－k＋b＝4b＝－3，解得k＝－7b＝－3，

∴直线DM的解析式为y＝－7x－3，

令y＝0，则y＝－7x－3＝0，

解得x＝－37，

∴点E的坐标为(－37，0)．

(3)存在．

由(1)知，OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，

∴∠CAB＝45°，如解图②，

6 第3题解图②

①当∠AFP＝90°时，即∠AF1P1＝90°，

∴点P1既在x轴上，又在抛物线上，则点P1与点B重合，点P1的坐标为(1，0)；

②当∠FAP＝90°时，即∠F2AP2＝90°，则∠P2AO＝45°，设AP2与y轴的交点为点N，

∴OA＝ON＝3，则N(0，－3)，

∴直线AP2的解析式为y＝－x－3，

联立抛物线与直线AP2的解析式，得方程组y＝－x－3y＝－x2－2x＋3，

解得x＝－3y＝0或x＝2y＝－5，

∵A(－3，0)，

∴P2(2，－5)；

③当∠APF＝90°时，即∠AP3F3＝90°，点P3既在x轴上，又在抛物线上，则点P3与点B重合，点P3的坐标为(1，0)．

综上所述，抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，其坐标为P(1，0)或(2，－5)．

4. 在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．

(1)求抛物线C1，C2的函数表达式；

(2)求A、B两点的坐标；

(3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

第4题图

解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，

7 ∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，

∴a＝1，n＝－3，

∴C1的对称轴为x＝1，

∴C2的对称轴为x＝－1，

∴m＝2，

∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为

y＝x2＋2x－3；

(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，

∴A(－3，0)，B(1，0)；

(3)存在．

∵AB的中点为(－1，0)，且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，

∴AB只能为平行四边形的一边，

∴PQ∥AB且PQ＝AB，

由(2)可知AB＝1－(－3)＝4，

∴PQ＝4，

设P(t，t2－2t－3)，则Q(t＋4，t2－2t－3)或(t－4，t2－2t－3)，

①当Q(t＋4，t2－2t－3)时，则t2－2t－3＝(t＋4)2＋2(t＋4)－3，

解得t＝－2，

∴t2－2t－3＝4＋4－3＝5，

∴P(－2，5)，Q(2，5)；

②当Q(t－4，t2－2t－3)时，则t2－2t－3＝(t－4)2＋2(t－4)－3，

解得t＝2，

∴t2－2t－3＝4－4－3＝－3，

∴P(2，－3)，Q(－2，－3)；

综上可知，存在满足条件的点P、Q，其坐标为P(－2，5)，Q(2，5)或P(2，－3)，Q(－2，－3)．

5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3.若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为(3，0)(0，1)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)猜想△EDB的形状并加以证明；

(3)点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上．请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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第5题图

解：(1)∵在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，

∴A(4，0)，C(0，3)，

∵抛物线经过O、A两点，且顶点在BC边上，

∴抛物线顶点坐标为(2，3)，

∴可设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋3，

把A点坐标代入可得0＝a (4－2)2＋3，解得a＝－34，

∴抛物线解析式为y＝－34(x－2)2＋3，即y＝－34x2＋3x；

(2)△EDB为等腰直角三角形，

证明：由(1)可知B(4，3)，且D(3，0)，E(0，1)，

∴DE2＝32＋12＝10, BD2＝(4－3)2＋32＝10，BE2＝42＋(3－1)2＝20，

∴DE2＋BD2＝BE2，且DE＝BD，

∴△EDB为等腰直角三角形；

(3)存在，理由如下：

设直线BE解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

把B、E坐标代入可得3＝4k＋b1＝b，

解得k＝12b＝1，

∴直线BE解析式为y＝12x＋1，

当x＝2时，y＝2，