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中考数学压轴题专题-二次函数与三角函数综合问题

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专题17二次函数与三角函数综合问题

【例1】（2021•盘锦）如图，抛物线y

＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与

y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．

（1）点F的坐标为；

（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥

BC于点N

，若

＝，求点P的坐标；

（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线

DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG

＝时，求点G的运动时间t．

【例2】（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点

C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；

（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD

＝MN，求N点的坐标．

【例3】（2021•荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，

连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．

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（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；

（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；

（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA

的面积为，当t

＝时，求抛物线的解析式．

【例4】（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E

，设

＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．

（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．

①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；

②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ

＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．

1．（2021•镇江二模）已知抛物线y＝ax2+bx+10交x轴于点A（﹣10，0）和点B（2，0），其对称轴为直

线l，点C在l上，坐标为（m，﹣3），射线AB沿着直线AC翻折，交l于点F，如图（1）所示．

（1）a＝，b＝；

（2）如图（2），点P在x轴上方的抛物线上，点E在直线l上，EP＝EB且∠BPE＝∠BAF，求证：AB

•BE＝PB•AF．

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（3）在（2）的条件下，直接写出tan∠BAF的值＝；直接写出点P的坐标（，）．

2．（2021•慈溪市校级四模）如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线

经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标

为（0，3），连接PQ．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝，小聪猜想：对于A，C间的任意一点P，PQ与

PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；

（3）延长MP交BC于点N，当∠NPQ为锐角，cos∠NPQ

＝时，求点P的坐标．

3．（2021•道里区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2交y轴于点

A，该抛物线的顶点为B（2，﹣4）．

（1）如图（1），求a，b的值；

（2）如图（2），过点B作x轴的垂线，点C为垂足，横坐标为t的点P在抛物线上，点P在第四象限

且位于BC右侧，连接PA，PC，△ACP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t

的取值范围；

（3）如图（3），在（2）的条件下，连接PB，点D与点A关于原点对称，过点D作x轴的平行线与抛

物线在第二象限交于点E，点F在第三象限，点G在CB的延长线上，若EF＝PC，∠DEF+∠BCP＝

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150°，∠DEG﹣∠PFG＝30°，tan∠EGF

＝，求点P的坐标．

4．（2021•金坛区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y

＝﹣（x﹣2）2

的图象与y轴

交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作CD⊥BA交x轴于点C，交抛物线于点D，

连接AD．将线段AB沿线段AD平移得到EF（点E与点A对应、点F与点B对应），连接BF．

（1）填空：线段OA＝；

（2）若点F恰好落在直线L上，求AF的长；

（3）连接DF并延长交抛物线于点Q，若tan∠ADF

＝，求点Q的坐标．

5．（2021•仙桃校级模拟）如图，已知抛物线C

1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，

2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．

（1）求抛物线C

1的解析式；

（2）将抛物线C

1向上平移两个单位得到新抛物线C

2，过点A的直线交抛物线C

2于M、N两点（M位

于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C

2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点；

（3）图3中，在（1）的条件下，x轴正半轴上有一点B（1，0），M为抛物线C

1上在第一象限内的点，

若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，直接写出点M的横坐标x的取值范围．

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6．（2021•台安县模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，

0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得

到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F．

（1）求抛物线解析式．

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合），

①求线段EH的长；

②连接DF，求tan∠FDE的值；

③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，

请说明理由．

7．（2021•江阴市模拟）已知二次函数y＝ax2

﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于点A、B两点（A在B左侧），

与y轴交于点C，与其对称轴交于点D，直线BD交y轴于点E，BD＝2DE．

（1）求点A的坐标；

（2）①连接AC，BC，若△ABC外接圆的圆心正好在x轴上，求二次函数表达式；

②连接CD，若tan∠CDB＝tan∠OBD，求此时二次函数表达式．

8．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且

OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；

（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值；

（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E

为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

6/10理由．

9．（2020•海安市一模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2

﹣2ax+a（a＞0）与y轴相交于A

点，过点A作x轴的平行线与抛物线L的另一交点为B点．直线y＝kx﹣k（k＞a）与抛物线L相交于C，

D两点（点C在点D的左侧），与y轴交于E点，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接EH交x轴于G

点．

（1）若a＝1，k＝2，求DH的长；

（2）当a=13时，求cos∠AHE的值；

（3）连接BC，求证：四边形BCGH是平行四边形．

10．（2020•惠山区二模）已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2+2mx﹣4（m≠0）的图象与x

轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数的图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求出点

P的横坐标．

11．（2020•肥城市四模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴A（﹣4，

0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE，D是第二象限内的抛物线上一动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求△ADE面积的最大值并写出此时点D的坐标；

（3）若tan∠AED=13，求此时点D的坐标．

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12．（2020•历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，

0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED=13，求此时点D坐标；

（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点

Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．

14．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于

点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，

与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC=12时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1

个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t

（0≤t≤5），请直接写出S与t的函数关系式．

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【中考数学压轴题专题突破01】二次函数中的定值问题

【中考数学压轴题专题突破01】二次函数中的定值问题

第1页（共13页）

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的定值问题

1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D．

①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由；

②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t的值．

第2页（共13页）

2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B（3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．

（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；

（2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值；

（3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．

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3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”

（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．

（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；

（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

中考数学二次函数专题复习超强整理

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初三——二次函数归类复习

一、二次函数与面积

面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

x y

O M

E

N

A

图五 O x y

D C

图四 x y

O D C

E B

图六 P

x y

O A B

D

图二 E

x y

O A B

C 图一 x y

O A B

图三

2、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD，

（1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

3、已知抛物线4212xxy与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，

（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC的面积.

4、已二次函数322xxy与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得ABCNABSS,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

A

xy

B O

C

变式一图 C

P x O A B y

变式二：在双曲线3yx上是否存在点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

5、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．

中考数学总复习《二次函数与直角三角形综合压轴题》专项测试卷及答案

中考数学总复习《二次函数与直角三角形综合压轴题》专项测试卷及答案

第 1 页 共 8 页 中考数学总复习《二次函数与直角三角形综合压轴题》专项测试卷及答案

1．如图，一次函数112yx的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数212yxbxc的图象与一次函数112yx的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为(1,0)．

(1)点B坐标为（______，______）

(2)求二次函数的解析式；

(3)求四边形BDEC的面积S；

(4)在x轴上是否存在点P，使得PBC△是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2．如图，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点A的坐标是(4,0)，并且4OAOCOB．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上AC之间的动点，过点P作PE垂直于x轴于点E，交直线AC于点D，连接PA、PC，当PAC的面积最大时，求出点P的坐标； 第 2 页 共 8 页 (3)抛物线上是否存在点P，使得ACP△是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

3．在平面直角坐标系中，抛物线24yaxbx与x轴交于(10)(40)AB，,，两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图（乙），动点P运动到什么位置时，P到BC距离的最大，求出此时P到BC距离的最大值及此时点P的坐标．

4．如图，抛物线23yaxbx经过1,0A，与y轴交于点C，过点C作BCx∥轴，交抛物线于点B，连接ACABAB、，交y轴于点D，且2BCOA．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线CB的距离是7时，求m的值；

二次函数综合题--二次函数与直角三角形有关的问题(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总

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二次函数综合题-中考数学重难点题型

二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）

1.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223yxx与x轴相交于点A、

B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接,ACBC．

(1)求线段AC的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PAPC时，求点P的坐

标；

(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当BCM为直角三角形时，求点M的坐标．

【答案】(1)10(2)

11，-(3)

14，或

25，

或1555

22





，-

或1555

22





，-

【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出

对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点

M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当222CMBCBM，222BMBCCM，222BMCMBC

分别列出等式求解即可．

(1)223yxx与x轴交点：

令y=0，解得

121,3xx

，

即A（-1，0），B（3，0），

223yxx与y轴交点：

令x=0，解得y=-3，

即C（0，-3），

∴AO=1,CO=3,∴2210ACAOCO;

(2)抛物线223yxx的对称轴为：x=1，

设P（1，t），

∴22221104PAtt，222210313PCtt，

∴24t213t

∴t=-1，

∴P（1，-1）；

(3)设点M（m,m2-2m-3），



22222223230323BMmmmmmm，

222222202332CMmmmmmm，

222300318BC,

①当222CMBCBM时，



222222218323mmmmmm，