中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕

1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后 该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.

⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装 降价多少元？

⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？

【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销 售利润最大,最大利润4000元.

【解析】

【分析】

〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.

〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.

【详解】

解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,

解得：x=40,

60 - 40 = 20 元,

答：这一星期中每件童装降价20元：

〔2〕设利润为w,

根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000

=-10 〔x- 50〕 2+4000,

答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.

【点睛】

此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.

2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴 夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,

备用图 问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在

x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.

〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：

〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式：

〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点 々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平 移多少距离,其顶点落在0P上？

【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n； 〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ； 〔3〕抛物 4

线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12

【解析】

试题分析：〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线：

〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式；

〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.

试题解析：解：〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= -

x+m+n；

〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为

了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方

4 4

形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9 将 c=m+l 带 4

入得到m=2, n=3；

・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.

〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时：

根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・ N AOP=N AOP=30°,

:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•

②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,

EA 二 “2.32 =a,,AF=4-a,设 P(4, c) (c>0),,在 RS AFP 中,(4-

V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线 OP解析式为 3 3

y=匕Lx, ：.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-

3 3

8-2>/7 _1 + 2>/7

-3-- -3 综上所述：抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3

点睛：此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键 是用正方形的性质求出点.的坐标.

3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.

〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标：

〔2〕求函数y=± 〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值 X

与相应“中国结〞的坐标；

〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴

相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边 界〕,一共包含有多少个“中国结〞？

【答案】〔1〕 〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕 〔一 1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一 1〕, 〔一 1,1〕 ; 〔3〕 6个.

【解析】

试题分析：〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是 整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.

k

〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国

x

k

结〃：〔1, 1〕、〔-1、-1〕：然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图

X

象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.

(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-

1)]=0,求出X】、X2的值是多少；然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少：最后 根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的 平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.

试题解析：(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,

xHO时,JJx+2不是整数,

x=0> y=2,

即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2). (2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃： x

(1, 1)、(-1、-1)：

②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：

X

(1, -1)、( -1, 1).

③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结J

X

(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的 x

图象上有且只有两个“中国结"矛盾,

k 综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x

1)、( - 1、- 1)；

k=-l时,函数y=七 (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、 x

(-1、1).

(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,

那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, k

x.= ---------

.•・{ i

k-\

f x 2x) +1

• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得

XlX2+2X2+l=0t

/. xz (xi+2) = T,

•••X】、X2都是整数,

X)= 1 x, =—1

｛- 或｛-

玉+2 = _「^+2 = 1

匹=T ②当｛ X、= —1

k , ,/ ------- = -1 ,

l — k k=k-l,无解；

练上,可得

.3

K=— , XF-3, x2=lt 2

y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k

3 3 3 3 3 3 =[(-)2 - 3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2-- 2 2 2 2 2 2

①当x=-2时,

1 13 1 1 3 y= - - x2 - — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + — 4 2 4 4 2 4

_3

~4

②当X=-1时,

=1

3

③当x=0时,y=-,

另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、 〔 -1、0〕、 〔0, 0〕.

综上,可得

假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两 个不同的"中国结〞,

该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞：〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕 〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.

考点：反比例函数综合题

4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对

称轴为直线/,点"是线段A8的中点.

〔1〕求抛物线的表达式：

〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式；

〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是 平行四边形时,求.,.两点的坐标.

【答案】〔1〕 y = --x2+4x-5t 〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5： 〔3〕点夕、.的坐 2

标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.

【解析】

【分析】

〔1〕函数表达式为：〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解：

〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为：y = ^-5,将点

4坐标代入上式,即可求解；

〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解 即可.

【详解】

解：〔1〕函数表达式为：y = a〔x = 4〕2+3,

将点4坐标代入上式并解得：.=

2

故抛物线的表达式为：y = -lx2+4x-5:

乙

(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),

设直线A8的表达式为：y = /oc-5,

将点A坐标代入上式得：3 =必一5,解得：k = 2,

故直线A8的表达式为：y = 2x-5：

( i \

(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,

①当AM是平行四边形的一条边时,

点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,

同样点P； "?,-：〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),

即：团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2

解得：m = 6 ♦ s = —3,

故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3)：