2021年中考数学 培优专题：三角形压轴专练(含答案)

2021中考数学全等三角形专项培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为()A.16 cmB.17 cmC.20 cmD.16 cm或20 cm2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是()A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形3. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得其中两个角的度数分别为28°，62°，于是他很快判断出这个三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形4. 如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条()A．1根B．2根C．3根D．4根5. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE B．AC＝DFC．∠A＝∠D D．BF＝EC6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．427. 若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是()A．75°B．90°C．105°D．120°8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC9. 如图，已知长方形ABCD，一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形.若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是()A.360°B.540°C.720°D.630°10. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有()A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝________°.12. 已知:∠AOB，求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N;②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是.13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．14. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=°.17. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．18. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．三、解答题（本大题共8道小题）19. 如图，D是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD.求证:∠CDE=∠BAD.20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.22. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．23. 在△ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度数.24. 如图，BE ，CF 都是△ABC 的高，在BE 上截取BD ＝AC ，在射线CF 上截取CG ＝AB ，连接AG ，AD . 求证：(1)△BAD ≌△CGA ； (2)AD ⊥AG .25. 如图，AB为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F . (1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).26. 如图①所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠C >∠B ，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC于点F .(1)试探索∠DEF 与∠B ，∠C 之间的数量关系；(2)如图②所示，当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？2021中考数学全等三角形专项培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】C4. 【答案】C[解析] 添加3根木条以后成为如右所示图形，其由若干三角形组成，具有稳定性．5. 【答案】C[解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项C中添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意．故选C.6. 【答案】B[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD＝12×6×4＋12×9×4＝30.7. 【答案】C[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个三角形的三个内角分别为2x，3x，7x.由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.∴7x＝105°.8. 【答案】D[解析] 在△AFD和△AFB中，∴△AFD≌△AFB.∴∠ADF=∠ABF.∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°.∴∠ADF=∠ABF=∠C.∴FD∥BC.9. 【答案】D[解析] 一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形的情况有以下三种:(1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，∴M+N=540°+180°=720°或M+N=360°+360°=720°;(2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，∴M+N=360°+180°=540°;(3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形，∴M+N=180°+180°=360°.10. 【答案】A[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】150[解析] ∵DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∴AD是∠BAC的平分线．∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝12∠BAC＝20°.∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.12. 【答案】SSS[解析]由作图可得OM=ON，MC=NC，而OC=OC，∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上14. 【答案】∠B＝∠D15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.16. 【答案】68[解析] ∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°.∵FD⊥BC，∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°.∵∠B=∠C，DE⊥AB，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°. ∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.17. 【答案】5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ，∴∠PAQ ＝90°.∴∠C ＝∠PAQ ＝90°.分两种情况：①当AP ＝BC ＝5时， 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，⎩⎨⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)； ②当AP ＝CA ＝10时，在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，⎩⎨⎧AB ＝PQ ，AC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL)．综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．18. 【答案】32°[解析] ∵PD ＝PE ＝PF ，PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，PE ⊥AC于点E ，PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ， ∴CP 平分∠ACF ，BP 平分∠ABC. ∴∠PCF ＝12∠ACF ，∠PBF ＝12∠ABC.∴∠BPC ＝∠PCF －∠PBF ＝12(∠ACF －∠ABC)＝12∠BAC ＝32°.三、解答题（本大题共8道小题）19. 【答案】证明:∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B=∠ADE. 由三角形的外角性质，得∠ADC=∠B+∠BAD. 又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，∴∠CDE=∠BAD.20. 【答案】解:(1)证明:∵CF ∥AB ， ∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F . ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF .(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE +BE=1+2=3.∵AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴AC=AB=3.21. 【答案】证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ＝90°，(3分)∵BE ⊥AC,∴∠CBE ＋∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠BAD.(5分)22. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°.∵CE ⊥BD ，∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°.∴∠ABD ＝∠BCE.在△DAB 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)．∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE.∵BE ＝AD ，∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上．∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°.∵∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°.在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)．∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上．∴AC 是线段ED 的垂直平分线．(3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE.由(2)知CE ＝CD.∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．23. 【答案】解：∵在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，3∠A ＝∠B ＋∠C ，∴4∠A ＝180°，解得∠A ＝45°.∵∠B ＝55°，∴∠C ＝180°－45°－55°＝80°.24. 【答案】证明：(1)∵BE ，CF 都是△ABC 的高，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∠ACF ＋∠BAC ＝90°.∴∠ABE ＝∠ACF.在△BAD 和△CGA 中，⎩⎨⎧AB ＝GC ，∠ABD ＝∠GCA ，BD ＝CA ，∴△BAD ≌△CGA(SAS)．(2)∵△BAD ≌△CGA ，∴∠G ＝∠BAD.∵∠AFG ＝90°，∴∠GAD ＝∠BAD ＋∠BAG ＝∠G ＋∠BAG ＝90°.∴AD ⊥AG .25. 【答案】(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10， ∵∠BAC ＝36°，∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.26. 【答案】解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC.又∵∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠C)，∴∠1＝12[180°－(∠B ＋∠C)]＝90°－12(∠B ＋∠C)．∴∠EDF ＝∠B ＋∠1＝∠B ＋90°－12(∠B ＋∠C)＝90°＋12(∠B －∠C)．∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°.∴∠DEF ＝90°－∠EDF ＝90°－[90°＋12(∠B －∠C)]＝12(∠C －∠B)．(2)当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立．。

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：三角形综合题（三）1．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．2．等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，M、N分别在直线BC、CD上．（1）如图1所示，M、N分别在线段BC、CD上，若AM⊥MN，求证：AM＝MN．（2）若M、N分别在线段BC、CD外（还在直线BC、CD上），根据题意，画出图形，那么（1）的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；（3）如图2，若AM＝MN，求证：AM⊥MN．3．已知等边△ABC边长为8cm，点D是AC的中点，点E在射线BD上运动，以AE为边在AE 右侧作等边△AEF，作射线CF交射线BD于点M，连接AM．（1）当点E在线段BD（不包括端点B，D）上时，求证：BE＝CF；（2）求证：MA平分∠BMN；（3）连接DF，点E在移动过程中，线段DF长的最小值等于（直接写出结果）4．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，AM＝AC，BN＝BC，求MN的长．（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AM＝AC，BN＝BC当∠A＝30°时，求∠MCN的度数．当∠A的度数变化时，∠MCN的度数是否变化，如有变化，请说明理由；如不变，求∠MCN 的度数．（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M、N在边AB上，且∠MCN＝45°，试猜想线段AN、BM、MN之间的数学关系，直接写出你的结论（不要求证明）．5．阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE＝．理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD＝5，BD＝4，CD＝3，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求∠BDC的度数；应用：如图3，在△ABC中，AC＝10，BC＝12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD＝30°时，CD2＝．6．在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线BA运动，同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动，P、Q两点运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PE∥AC交BC于点E，求证：EP＝CQ．（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为F．①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD＝BC．②当点P在线段BA延长线上运动时，直接写出BF、CD与BC之间的数量关系．7．已知△ABC是等边三角形，BC＝4cm．（1）如图1，点P在线段AB上从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度运动，过点P作PE ∥BC交线段AC于点E，同时点Q从点C出发沿BC的延长线以1cm/s的速度运动，连接BE、EQ．设点P的运动时间为t秒．①求证：△APE是等边三角形；②当点P不与点A、B重合时，求证：BE＝EQ．（2）如图2，点K为BC的中点，作直线AK，点S为直线AK上一点，连接CS，将线段CS绕点C逆时针旋转60°得到CT，则点S在直线AK上运动的过程中，AT的最小值是多少？请说明理由．8．用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）如图1，O为AB的中点，则直线OC△ABC的等腰分割线（填“是”或“不是”）．（2）如图2，点P是边AC上一个动点，当直线BP是△ABC的等腰分割线时，求PC的长度．（3）如图3，若将△ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点Q是边AB上的一点，如果直线CQ是△ABC的等腰分割线，则点Q的坐标为．（直接写出答案）．9．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HLⅡ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC ＝3，求线段BF的长．10．小明遇到这样一个问题；如图1，点E是BC中点，∠BAE＝∠CDE，求证：AB＝DC．小明通过探究发现，如图2，过点B作BF∥CD，交DE的延长线于点F．再证明△CDE≌△BEF，使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答△CDE≌△BEF的条件是（填“SSS”“AAS”“ASA”或“HL”）；（2）写出小明的证明过程，参考小明思考问题的方法，解答下列问题；（3）已知，△ABC中，M是BC边上一点，CM＝BM，E，F分别在是AB，AC上．连接EF，点N是线段EF上一点FN＝EN，连接MN并延长交AB于点P，∠BAC＝2∠BPM＝2α，如图3，当α＝60°时，探究的值，并说明理由．参考答案1．解：（1）如图1中，设AD交EC于点O，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝CA，∠ACE＝∠ACB＝∠B，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，故答案为30°．（2）（1）中的结论还成立．理由：如图2中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°，又∵CE＝BD，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠BAC＝120°，即∠DAE＝120°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°．（3）∵AB＝AC，AB＝12，∴AC＝12，∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴，∴AD2＝AF•AC，∴AD2＝12AF，∴，∴当AD最短时，AF最短、CF最长，易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时．，∴CF＝AC﹣AF＝12﹣3＝9，∴CF的最大值为9．2．解：（1）延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，∵AM⊥MN，∴∠NMC+∠AMB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠NMC＝∠BAM，∵等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，∴∠MCD＝135°，∴∠BCH＝45°，∴△BHC为等腰直角三角形，∴BC＝BH，∵AB＝BC，∴AB＝BH，∴BC是AH的垂直平分线，∴AM＝BH，∴∠BHM＝∠BAM，∴∠NMC＝∠BHM，∵∠NMC+∠MNC＝45°，∠BHM+∠MHC＝45°，∴∠MHC＝∠MNC，∴HM＝MN，∴AM＝MN；（2）（1）的结论依然成立，第一种情况：如图3所示，延长DC，交AB的延长线于H，连接HM；由（1）可知，MC是AH的垂直平分线，∴AM＝MH，∴∠BAM＝∠BHM，∵AM⊥MN，∴∠NMC+∠AMB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠NMC＝∠BAM，∴∠BHM＝∠NMC，∵∠MHN＝∠BHM+45°，∠MNH＝∠NMC+45°，∴∠MHN＝∠MNH，∴MN＝MH，∴AM＝MN；第二种情况：如图4所示，仿照第一种情况的证明方法，可以证明AM＝MN；（3）如图2，延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，由（1）可得BC是AH的垂直平分线，∴HM＝AM＝MN，∴∠MAB＝∠MHB，∠MHC＝∠MNC∵∠MHB+∠MHC＝45°，∠MNC+∠NMC＝45°，∴∠MHB＝∠NMC，∵∠MHB＝∠MAB，∴∠BAM＝∠NMC，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠AMB+∠NMC＝90°，∴∠AMN＝90°，∴AM⊥MN．3．（1）证明：∵△ABC，△AEF都是等边三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴BE＝CF．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，∴BD⊥AC，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，MA＝MC，∵△BAE≌△CAF，∴∠ABE＝∠ACF＝30°，∴∠BCM＝90°，∴∠BMC＝90°﹣30°＝60°，∵MA＝MC，MB⊥AC，∴∠AMD＝∠CMD＝60°，∴∠AMN＝60°，∴∠AMN＝∠AMD，∴AM平分∠BMN．（3）解：如图，作DH⊥CN于H．∵∠BCN＝90°，∴点F的运动轨迹是射线CN，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的长最小，∵CD＝AD＝4cm，∠DCH＝30°，∠DHC＝90°，∴DH＝CD＝2cm，∴DF最小值为2cm．故答案为2cm．4．解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB＝＝13，又∵AC＝12，BC＝5，AM＝AC，BN＝BC，∴AM＝12，BN＝5，∴MN＝AM+BN﹣AB＝12+5﹣13＝4（2）∵∠A＝30°，AC＝AM，∴∠AMC＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠B＝60°，BC＝BN，∴∠CNB＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠MCN＝180°﹣60°﹣75°＝45°．当∠A的度数变化时，∠MCN的度数不变化；理由如下：∵∠AMC＝（180°﹣∠A），∠BNC＝（180°﹣∠B），∴∠MCN＝180°﹣∠AMC﹣∠BNC＝（∠A+∠B）＝45°．（3）AN2+BM2＝MN2 ．理由如下：如图3，作△CAN关于CN所在直线的轴对称△CDN，连接DM．则CD＝CA，ND＝AN，∠ACN＝∠DCN，∠CDN＝∠A，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD＝CB，∠A＝∠B＝45°，∵∠ACB＝90°，∠MCN＝45°，∴∠DCN+∠DCM＝45°，∠ACN+∠BCM＝45°．∴∠DCM＝∠BCM，在△DCM和△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SAS），∴DM＝BM，∠CDM＝∠B＝45°，∴∠NDM＝∠CDN+∠CDM＝90°．∴ND2+DM2＝MN2 ．∴AN2+BM2＝MN2 ．5．阅读：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝∠CDE＝60°，∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，故答案为：AD；理解：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD＝3，∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠BCA﹣∠BCD＝∠ECD+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD＝5，∵BD2+DE2＝42+32＝25，BE2＝25，∴BD2+DE2＝BE2，∴△BDE是直角三角形，∠BDE＝90°，∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°+60°＝150°；应用：解：以CD为边在△ABC的下方作等边三角形CDE，连接AE，如图3所示：则∠CDE＝∠DCE＝60°，CD＝ED，∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝BD，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE和△BDC中，，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴AE＝BC＝12，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝30°+60°＝90°，∴CD2＝AE2﹣AC2＝122﹣102＝44；故答案为：44．6．（1）证明：由题意得：BP＝CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝60°，∠BEP＝∠BCA＝60°，∴∠B＝∠BPE＝∠BEP，∴△BPE是等边三角形，∴EP＝BP，∴EP＝CQ．（2）①证明：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图②所示：由（1）得：EP＝CQ，∠BEP＝∠ACB＝60°，△BPE是等边三角形，∴∠DEP＝∠DCQ＝120°，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，在△DPE和△DQC中，，∴△DPE≌△DQC（AAS），∴ED＝CD，∴BF+CD＝EF+ED＝BC．②解：当点P在线段BA延长线上运动时，BC+2CD＝2BF，理由如下：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图③所示：同①得：△BPE是等边三角形，△DPE≌△DQC，∴ED＝CD，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，∵BC﹣BF＝CF，∴BC﹣BF＝EF﹣2CD＝BF﹣2CD，∴BC+2CD＝2BF．7．解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°．∵PE∥BC，∴∠APE＝∠ABC＝60°．∴∠A＝∠APE＝60°．∴△APE是等边三角形．②如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°．∵△AFE是等边三角形，∴AP＝PE＝AE，∠APE＝60°．∴AB﹣AP＝AC﹣AE，∠BPE＝∠ECQ＝120°．∴BP＝EC．∵AP＝CQ＝t，∴PE＝CQ．∴△BPE≌ECQ（SAS）．∴BE＝EQ．（2）解：连接BT，如图2所示．∵△ABC为等边三角形，且AK为△ABC的对称轴，∴∠ACK＝60°，∠SAC＝30°∵∠SCT＝60°，∴∠ACS＝∠BCT．在△ACS和△BCT中，，∴△ACS≌△BCT（SAS），∴∠CBT＝∠SAC＝30°．∴∠ABT＝90°，∴点T在直线BT上，AT的最小值为4．8．解：（1）∵∠ACB＝90°，O为AB中点，在Rt△ACB中，OC＝AB＝AO＝BO，∴等腰△AOC和等腰△BOC．则直线OC是△ABC的等腰分割线；故答案为：是．（2）①当AP＝BP时，BC＝3，设CP＝x，①当PA＝PB＝4﹣x，在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2，∴32+x2＝（4﹣x）2，解得x＝．即：CP＝．②CP＝CB时，CP＝BC＝3；即CP的长为或3．（3）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，＝BC•AC＝AB•OC，∵S△ABC∴OC＝，∴＝＝，①若△ACQ为等腰三角形，如图1，当AC＝AQ时，AC＝4，AQ＝4，∴OQ＝AQ﹣OA＝4﹣＝．∴Q，如图2，当QC＝QA时，Q为AB中点，AQ＝BQ＝AB＝．∴OQ＝OA﹣AQ＝＝，∴Q（，0），当CA＝CQ时，Q不在边AB上，舍去．②若△BCQ为等腰三角形．如图3，当CQ＝CB时，OQ＝OB＝，∴Q（，0），如图4，当BC＝BQ时，BQ＝BC＝3，∴＝，∴Q（，0），如图2，当QC＝QB时，Q为AB中点，BQ＝AQ＝，此时Q（，0）．综合以上可得点Q的坐标为（﹣，0）或或或．故答案为：（﹣，0）或或或．9．解：（1）（Ⅰ）在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B；（Ⅱ）∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝9∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴4＜AE＜22∴2＜AD＜11，故答案为：2＜AD＜11．（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图②∵AD是△ABC中线，∴BD＝DC，∵在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵∠AFE＝∠AEF，∴AE＝EF＝4，∴AC＝AE+CE＝7，∴BM＝AC＝7，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF＝7．10．解：（1）∵BF∥CD∴∠F＝∠EDC，∠FBE＝∠C∵点E是BC中点∴BE＝CE，∵BE＝CE，∠F＝∠EDC，∠FBE＝∠C∴△CDE≌△BEF（AAS）或∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，∠FBE＝∠C∴△CDE≌△BEF（ASA）故答案为：AAS或ASA（2）∵BF∥CD∴∠F＝∠EDC，∠FBE＝∠C∵点E是BC中点∴BE＝CE，∵BE＝CE，∠F＝∠EDC，∠FBE＝∠C∴△CDE≌△BEF（AAS）或∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，∠FBE＝∠C∴△CDE≌△BEF（ASA）（3）理由如下：如图3，连接EC，取EC的中点H，连接MH，NH，延长CA，MP交于点D，∵CM＝BM，FN＝EN，点H是EC的中点，∴BE＝2MH，MH∥BE，NH∥CD∴∠HMP＝∠BPM＝60°，∠HNM＝∠D∵∠BAC＝2∠BPM＝∠D+∠DPA＝∠D+∠BPM∴120°＝∠D+60°∴∠D＝60°∴∠HNM＝60°∴∠HNM＝∠HMN＝60°∴△MNH是等边三角形∴MH＝MN∴BE＝2MN∴。

九年级数学中考2021年复习分类压轴大题专题：三角形综合题1．在平面直角坐标系中，B（2，2），以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．2．在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．（1）求CD的长．（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．4．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．5．提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为．探究问题：如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l 于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．解决问题：如图3，在△ABC中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F 作直线l的垂线，垂足为M、N．①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝3，BC＝4，五边形EMNFC面积的最大值为．6．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD交于点O，且CD＝CE．（1）如图1，求证：AO＝BO．（2）如图2，F是BD的中点，试探讨AE与CF的位置关系．（3）如图3，F、G分别是BD、AE的中点，若AC＝，CE＝，求△CGF的面积．7．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是直线AC上的一点，连接BP，过点C作CD⊥BP，交直线BP于点D．（1）当点P在线段AC上时，如图①，求证：BD﹣CD＝AD；（2）当点P在直线AC上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD，BD与AD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．几何探究题（1）发现：在平面内，若AB＝a，BC＝b，其中b＞a．当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．①证明：CD＝BE；②若BC＝5，AB＝2，则线段BE长度的最大值为．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．9．如图1，平面直角坐标系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB为直角边作等腰Rt △ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，在图1中过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；（3）如图3，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB ：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请说明理由．10．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）问题发现如图①，若点E、F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，EF，则线段DE与DF的数量关系是，线段DE与DF的位置关系是；（2）拓展探究如图②，若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，连接DE，DF，EF，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题当点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF＝AB＝2，连接DE，DF，EF，直接写出△DEF的面积．参考答案1．（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．2．解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC∴BE＝BC＝2在Rt△ABE中，AE＝＝＝4∵S＝BC•AE＝AB•CD△ABC∴CD＝＝＝8答：CD的长为8．（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：＝AC•BF＝AB•CD∵S△ABC∵AB＝AC∴BF＝CD在Rt△CDP和Rt△BQF中，∵CP＝BQ，CD＝BF∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）∴PD＝QF在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10 ∴AD＝＝6同理可得AF＝6∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0 ∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；当点Q在FC之间时，如图所示：此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6解得t＝4综上得t的值为4．②同①可知：v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，Q在FC之间存在CP＝BQ，Q在F点时，显然CP不等于BQ．∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6整理得v＝∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6所以v＝（2≤t＜6）．3．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．4．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．5．解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°；故答案为：∠1+∠2＝90°；（2）DE＝CE+BD，理由如下：∵BD⊥l于点D，CE⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠ABD，又∵AB＝AC，∠BDA＝∠AEC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；（3）①AB＝EM+FN，理由如下：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝AC，∠EAC＝90°，∵∠EAM+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠ACH＝∠EAM，又∵AE＝AC，∠EMA＝∠AHC＝90°，∴△AEM≌△CAH（AAS），∴EM＝AH，AM＝CH，同理可得：△BCH≌△FBN（AAS），∴BH＝FN，CH＝BN，∴AB＝AH+BH＝EM+FN；②∵△AEM≌△CAH，△BCH≌△FBN，∴S△AEM ＝S△CAH，S△BCH＝S△FBN，∴五边形EMNFC面积＝S△AEC +S△BCF+2S△ABC＝+2S△ABC，∵当AC⊥BC时，△ABC的最大面积为6，∴五边形EMNFC面积的最大值＝+12＝，故答案为：．6．解：（1）如图1中，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB．（2）如图2，设AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，设AE与CF的交点为M，∵AC＝，∴BC＝AC＝，∵CE＝，∴CD＝CE＝，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝，∵点F是BD中点，∴CF＝DF＝BD＝，同理：EG＝AE＝，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH＝CD＝，＝CE•FH＝××＝，∴S△CEF由（2）知，AE⊥CF，＝CF•ME＝×ME＝ME，∴S△CEF∴ME＝，∴ME＝，∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，＝CF•GM＝××＝．∴S△CFG7．解：（1）证明：如图1，在BD上截取BE＝CD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABP+∠APB＝90°，∠ACD+∠DPC＝90°．∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABP＝∠ACD．又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD．∴∠EAD＝∠EAP+∠CAD＝∠EAP+∠BAE＝90°．在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴∴；（2）如图2，CD﹣BD＝AD．在CD上截取CE＝BD，连接AE，由（1）可知△ADB≌△AEC，∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠BAE+∠BAD＝∠BAE+∠CAE＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD﹣BD＝CD﹣CE＝DE＝AD，∴CD﹣BD＝AD．如图3，CD+BD＝AD．延长DC至点E，使得CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ACE＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD+BD＝CD+CE＝DE＝AD．8．解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC﹣AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC﹣AB＝b﹣a，当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC+AB＝b+a，故答案为：b﹣a，b+a；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BE＝CD＝BD+BC＝AB+BC＝5+2＝7；故答案为：7．（3）最大值为5+2；∴P（2﹣，）．如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），∴AO＝2，OB＝7，∴AB＝5，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为 5+2；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣，∴P（2﹣，）．9．解：（1）如图①，∵A（0，4）、B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，过点C作CG⊥y轴于G，∴∠AGC＝90°＝∠BOA，∴∠OAB+∠OBA＝90°∵∠CAB＝90°，∴∠OAB+∠GAC＝90°，∴∠OBA＝∠GAC，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，∴OG＝OA+AG＝5，∴C（4，5）；（2）由（1）知，OA＝4，点C（4，5），∵CD⊥x轴，∴点D（4，0），∴OD＝4，∴OA＝OD，∠OAD ＝45°，∵CD ⊥x 轴，∴CD ∥y 轴，∴∠ADC ＝∠OAD ＝45°；（3）A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化，理由：设点A 的坐标为（0，a ），①当点A 在y 轴正半轴上时，连接CE 交y 轴于F ，∴点C ，E 在y 轴的两侧，即点E 在y 轴左侧，同（1）的方法得，C （a ，a +1），∵△OAE 是等腰直角三角形，∴AE ⊥OA ，∴E （﹣a ，a ），∴直线CE 的解析式为y ＝x +a +，∴F （0，a +）， ∴AF ＝a +﹣a ＝， ∵OB ＝1， ∴＝2；②当点A 在y 轴负半轴上时，同①的方法得，C （﹣a ，a ﹣1），E （a ，a ）， ∴直线CE 的解析式为y ＝x +a ﹣，∴F （0，a ﹣）， ∴AF ＝， ∴＝2．即A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化．10．解：（1）结论：DE＝DF，DE⊥DF．理由：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AE＝EB，AF＝FC，∴DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝AB，DF＝AC，∴DE＝DF．∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF，故答案为：DE＝DF，DE⊥DF．（2）结论成立，DE＝DF；DE⊥DF．证明：如解图①，连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，即DE⊥DF；（3）如图③，连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°，又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠FDA+∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∵，∴AE＝CF＝2+4＝6，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2＝22+62＝40，∴，∴．。

2021 年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练1.现有两块等腰直角形三角板，如图，把其中一块三角板A′B′C′的一个锐角顶点B'放在另一块三角板ABC 斜边AB 的中点处，并使三角板A′B′C′绕着点B′旋转．（1）当两块三角板相对位置如图①，即AC 与A′B′交于点D，BC 与B′C′交于点E 时，求证：△AB′D∽△BEB′：（2）当两块三角板相对位置如图②，即AC 边的延长线与A′B′交于点D，BC 与B′C′交于点E 时，△AB′D 与△BEB′还相似吗？（直接给出结论．不需证明）（3）在图②中，连结DE，试探究△AB′D 与△B′ED 是否相似，并说明理由或给出证明．（4）在图①中，若△ABC 改为角C 等于150°的等腰三角形，那么△A′B′C′只要满足∠A′B′C′＝°时，仍有△AB′D∽△BEB′．2.已知Rt△ABC 中，AC＝BC＝2．一直角的顶点P 在AB 上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC 于E．F 两点（1）如图1，当＝且PE⊥AC 时，求证：＝；（2）如图2，当＝1 时（1）的结论是否仍然成立？为什么？（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF 绕点P 旋转，设∠BPF＝α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF 的周长等于2+ 时，请直接写出α的度数．3.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，动点P 从A 点出发，沿AC 向点C移动，速度为每秒2 个单位长度，同时，动点Q 从C 点出发，沿CB 向点B 移动，速度为每秒1 个单位长度，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）当t＝2.5 秒时，求△CPQ 的面积；（2）求△CPQ 的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P、Q 移动的过程中，当t 为何值时，△CPQ 是等腰三角形？4.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝4：3，点P 从点A 出发沿AB方向向点B 运动，速度为1cm/s，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC 的长；（2）当点Q 在BC 上运动时，若△PBQ 与△ABC 相似，求时间t 的值；（3）当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，△PBQ 与△ABC 是否相似，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8），sin∠CAB＝，E 是线段AB 上的一个动点（与点A、点B 不重合），过点E 作EF∥AC 交BC 于点F，连接CE．（1）求AC 和OA 的长；（2）设AE 的长为m，△CEF 的面积为S，求S 与m 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下试说明S 是否存在最大值？若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．6.如图1，等腰△ABC 中，AC＝BC，DE∥AB，AD＝DE＝EB＝5，AB＝11．一个动点P从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线AD﹣DE﹣EC 方向运动，当点P 到达点C 时，运动结束，过点P 作PQ⊥AB 于点Q，以PQ 为斜边向右作等腰直角三角形PMQ，设点P 的运动时间为t 秒（t＞0）．（1）当t＝时，点M 落在线段BD 上；当t＝时，点P 到达点C；（2）在整个运动过程中，设△PMQ 与△ABD 重叠部分的面积为S，请直接写出S 与t的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；（3）如图2，当点P 在线段DE 上运动时，线段PQ 与对角线BD 交于点F，作点P 关于BD 的对称点G，连接FG、GQ，得到△FGQ．是否存在这样的t，使△FGQ 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．7.如图，已知在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，斜边AB＝2，若将△ABC 翻折，折痕EF分别交边AC、边BC 于点E 和点F（点E 不与A 点重合，点F 不与B 点重合），且点C 落在AB 边上，记作点D．过点D 作DK⊥AB，交射线AC 于点K，设AD＝x，y＝cot∠CFE，（1）求证：△DEK∽△DFB；（2）求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结CD，当＝时，求x 的值．8.等边△ABC 的边长为2，P 是BC 边上的任一点（与B、C 不重合），连接AP，以AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边AB、AC 交于点M、N（如图1）．（1）求证：AM＝AN；（2）设BP＝x．①若BM＝，求x 的值；②记四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为S，求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；③如图2，当x 取何值时，∠BAD＝15°？9.已知：如图①，△ABC 中，AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E，联结CI．（1）设∠BAC＝2α．如果用α表示∠BIC 和∠E，那么∠BIC＝，∠E＝；（2）如果AB＝1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长；（3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F，如果∠α＝30°，sin∠F＝，设BC＝m，试用m 的代数式表示BE．10.如图，已知△ABC 是等边三角形，AB＝4，D 是AC 边上一动点（不与A、C 点重合），EF 垂直平分BD，分别交AB、BC 于点E、F，设CD＝x，AE＝y．（1）求证：△AED∽△CDF；（2）求y 关于x 的函数解析式．并写出定义域；（3）过点D 作DH⊥AB，垂足为点H，当EH＝1 时，求线段CD 的长．11．（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ 时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB＝6，AD＝BD＝5，点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC＝∠A，设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．12.已知△ABC 中，∠ABC＝90°，点M 为BC 上一点，点E、N 在AC 上，且EB＝EM，NM＝NC，（1）求证：∠EMN＝∠BEC；（2）探究：AE、EN、CN 之间的数量关系，并给出证明；（3）如图2，过点B 作BH∥EM 交NM 的延长线于H，当＝n 时，求的值．13．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．直接写出线段AF 与BD 之间的数量关系．（2）类比猜想：如图②，当△ABC 为以BC 为斜边的等腰直角三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为斜边在BC 上方作等腰直角△FDC，连接AF．请直接写出它们的数量关系．（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当△ABC 为以BC 为底边的等腰三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为底边在BC 上方作等腰△FDC，∠BC A＝∠DCF，且∠BAC＝α，连接AF．线段AF 与BD 之间的有什么数量关系？证明你发现的结论；Ⅱ．如图④，当△ABC 为任意三角形，D 是△ABC 边BA 上一动点（点D 与点 B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作△FDC∽△ABC，且＝k，连接AF．线段AF 与BD 之间的有什么数量关系？直接写出你发现的结论．14.已知矩形ABCD 的一条边AD＝8cm，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，已知折痕与边BC 交于点O，连结AP、OP、OA．（1）如图1，若点P 恰好是CD 边的中点，①判断△ADP 与△APO 是否相似，并说明理由；②求边AB 的长；（2）如图2，若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，动点G 从点D 出发以每秒1cm 的速度沿DP 向终点P 运动，同时动点H 从点P 出发以每秒2cm 的速度沿PA 向终点A 运动，运动的时间为t（0＜t＜5），①求边AB 的长；②问是否存在某一时刻t，使四边形ADGH 的面积S 有最小值？若存在，求出S 的最小值；若不存在，请说明理由．15.在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 是AC 边上的中线．（1）如图1，点D 在BC 边上，＝，AD 与BE 相交于点P，则的值为；（2）如图2，点D 在BC 的延长线上，BE 的延长线与AD 交于点P，DC：BC：AC＝1：2：3．①求的值；②若CD＝2，则BP＝．16.如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点，正方形的边长为4，EF⊥DE 交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）AE＝x，BF＝y．当x 取什么值时，y 有最大值？并求出这个最大值；（3）已知D、C、F、E 四点在同一个圆上，连接CE、DF，若sin∠CEF＝，求此圆直径．答案1．证明：（1）由等腰直角三角形的性质可知：∠A＝∠B＝∠A′B′C′＝45°，∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣45°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣45°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．（2）相似．如图：理由：由等腰直角三角形的性质可知：∠A＝∠B＝∠A′B′C′＝45°，∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣45°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣45°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．（3）由（2）可知∴△AB′D∽△BEB′，∴，又∵BB′＝AB′，∴，又∵∠A＝∠A′B′C′＝45°．∴△AB′D∽△B′ED．（4）当∠A′B′C′＝15°时，△AB′D∽△BEB′．理由：∵∠C＝150°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝15°．∵∠BB′D＝∠ADB′+∠A，∠BB′D＝∠A′B′C′+∠EB′B，∴∠ADB′＝∠BB′D﹣∠A＝∠BB′D﹣15°，∠EB′B＝∠BB′D﹣∠A′B′C′＝∠BB′D﹣15°．∴∠ADB′＝∠EB′B．又∵∠A＝∠B，∴△AB′D∽△BEB′．2．解：（1）如图1，∵PE⊥AC，∴∠AEP＝∠PEC＝90°．又∵∠EPF＝∠ACB＝90°，∴四边形PECF 为矩形，∴∠PFC＝90°，∴∠PFB＝90°，∴∠AEP＝∠PFB．∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠FPB＝∠B＝45°，△AEP∽△PFB，∴PF＝BF，＝，∴＝＝；（2）（1）的结论不成立，理由如下：连接PC，如图2．∵＝1，∴点P 是AB 的中点．又∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴CP＝AP＝AB．∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°，CP⊥AB，∴∠APE+∠CPE＝90°．∵∠CPF+∠CPE＝90°，∴∠APE＝∠CPF．在△APE 和△CPF 中，，∴△APE≌△CPF，∴AE＝CF，PE＝PF．故（1）中的结论＝不成立；（3）当△CEF 的周长等于2+ 时，α的度数为75°或15°．提示：在（2）的条件下，可得AE＝CF（已证），∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝2．∵EC+CF+EF＝2+ ，∴EF＝．设CF＝x，则有CE＝2﹣x，在Rt△CEF 中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2＝（）2，整理得：3x2﹣6x+2＝0，解得：x1＝，x2＝．①若CF＝，如图3，过点P 作PH⊥BC 于H，易得PH＝HB＝CH＝1，FH＝1﹣＝，在Rt△PHF 中，tan∠FPH＝＝，∴∠FPH＝30°，∴α＝∠FPB＝30+45°＝75°；②若CF＝，如图4，过点P 作PG⊥AC 于G，同理可得：∠APE＝75°，∴α＝∠FPB＝180°﹣∠APE﹣∠EPF＝15°．3.解：（1）如图1，过点P，作PD⊥BC 于D．在Rt△ABC 中，AB＝6 米，BC＝8 米，由勾股定理得：AC＝10 米由题意得：AP＝2t，则CQ＝t，则PC＝10﹣2t∵t＝2.5 秒时，AP＝2×2.5＝5 米，QC＝2.5 米∴PD＝AB＝3 米．∴S＝QC•PD＝3.75 平方米；（2）如图1 过点Q，作QE⊥PC 于点E，∵∠C＝∠C，∠QEC＝∠ABC，∴Rt△QEC∽Rt△ABC．∴．解得：QE＝，∴S＝PC•QE＝（10﹣2t）•＝﹣t2+3t（0＜t＜5）（3）①当PC＝QC 时，PC＝10﹣2t，QC＝t，即10﹣2t＝t，解得t＝秒；②当PQ＝CQ 时，如图1，过点Q 作QE⊥AC，则CE＝＝5﹣t，CQ＝t，由（2）可知△CEQ∽△CBA，故，即，解得t＝秒；③当PC＝PQ 时，如图2，过点P 作PE⊥BC．∵PQ＝PC，PE⊥QC，∴EC＝．∴CE＝．∵PE⊥QC，∴∠PEC＝90°．∴∠PEC＝∠ABC．∵∠C＝∠C，∠PEC＝∠ABC，∴△PCE∽△ACB．∴，即＝，解得t＝秒．4.解：（1）设AC＝4x，BC＝3x，在Rt△ABC 中，AC2+BC2＝AB2，即：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴AC＝8cm，BC＝6cm；（2）若△PBQ 与△ABC 相似，由已知条件得：AP＝t，BQ＝2t，∴PB＝10﹣t，①如图1，∠PQB＝∠C＝90°，∴，即，解得：t＝；②如图2，∠QPB＝∠C＝90°，∴，即，解得：t＝＞3．综上所述：当t＝时，△PBQ 与△ABC 相似；（3）如图3，当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 不相似．理由如下：∵AP＝x，∴AQ＝14﹣2x，∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴＝，即：，解得：x＝，PQ＝，∴PB＝10﹣x＝，∴＝＝≠，∴当点Q 在CA 上运动，使PQ⊥AB 时，以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 不相似．5．解：（1）∵点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8），∴OB＝2，OC＝8，在Rt△AOC 中，sin∠CAB＝＝，∴．∴AC＝10，∴．（2）依题意，AE＝m，则BE＝8﹣m，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．∴＝．即＝，∴EF＝，过点F 作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝，∴＝，∴FG＝×＝8﹣m，∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝＝﹣m2+4m，自变量m 的取值范围是0＜m＜8．（3）S 存在最大值．∵S＝﹣m2+4m＝，且﹣＜0，∴当m＝4 时，S 有最大值，S 最大值＝8，∵m＝4，∴点E 的坐标为（﹣2，0），∴△BCE 为等腰三角形．6．解：（1）如图1 中，作DT⊥AB 于T，EN⊥AB 于N，CH⊥AB 于H，MK⊥PQ 于K，则四边形DENT 是矩形，由△DTA≌△ENB，可得DE＝NT＝PQ＝5，AT＝BN＝3，∵AD＝EB＝5，∴DT＝EN＝4，当点M 在BD 上时，∵PK＝KQ，KM∥AB，∴DM＝MB，易知KM＝PK＝KQ＝2，DP＝2，∴t＝7 秒时，点M 在BD 上，∵EN∥CH，∴△ENB∽△CHB，∴＝，∴＝，∴BC＝，EC＝，∴点P 到达点C 时间为：5+5+ ＝秒．故答案为7 秒，秒．（2）①如图2 中，作DT⊥AB 于T，当0＜t≤5 时，重叠部分是△PQM，∵sin A＝＝，∴PQ＝t，∴S＝S△PQM＝•t•t＝t2．②如图3 中，当5＜t≤7 时，重叠部分是四边形QMHK．取BD 的中点M′，作M′P′∥PM 交DE 于P′∵KQ∥DT，∴＝，∴＝，∴KQ＝，PK＝4﹣＝，∵P′M′∥PH，∴＝，∴＝，∴DH＝（t﹣5），∵DK＝，∴HK＝DH﹣DK＝（t﹣5），∴S＝S△PMQ﹣S△PKH＝4﹣××＝﹣t2+t+．③如图4 中，当7＜t≤10 时，重叠部分是△QHK．GK，M′G′分别是△QHK、△Q′H′M′的高．由△QHK∽△Q′H′M′，得到，＝，∴＝，∴GK＝，∴S＝××＝t2﹣t+．④如图5 中，10＜t≤时，重叠部分是△QKH．由△QHK∽△Q′H′M′，得＝，可得GK＝{5﹣，∴S＝•HQ•GK＝•{5﹣2＝﹣t+ ．综上所述，S＝．（3）存在．①如图6 中，当FG＝FQ 时，∵PF＝FG＝FQ＝2，∴DP＝4，∴t＝5+4＝9．②如图7 中，当GF＝GQ 时，作GK⊥PQ，DN⊥AB 于N．由△DAN∽△GFK，得＝，∴＝，∴FK＝（t﹣5），∵GF＝GQ，GK⊥FQ，∴FQ＝2FK＝，∵PF+FQ＝4，∴（t﹣5）+ （t﹣5）＝4，∴t＝．③如图8 中，当QF＝QG 时，作QK⊥GF 于K．DN⊥AB 于N．由△ADN∽△FQK，得到＝，∴＝，∴FQ＝（t﹣5），∵PF+FQ＝4，∴（t﹣5）+ （t﹣5）＝4，∴t＝，综上所述，当△FGQ 是等腰三角形时，t 的值为9s 或s 或s．7．（1）证明：如图1，由折叠可得：∠EDF＝∠C＝90°，∠DFE＝∠CFE．∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°．∵DK⊥AB，∴∠ADK＝∠BDK＝90°，∴∠AKD＝45°，∠EDF＝∠KDB＝90°，∴∠EKD＝∠FBD，∠EDK＝∠FDB，∴△DEK∽△DFB；（2）解：∵∠A＝∠AKD＝45°，∴DK＝DA＝x．∵AB＝2，∴DB＝2﹣x．∵△DFB∽△DEK，∴＝，∴y＝cot∠CFE＝cot∠DFE＝＝＝．当点F 在点B 处时，DB＝BC＝AB•sin A＝2×＝，AD＝AB﹣BD＝2﹣；当点E 在点A 处时，AD＝AC＝AB•cos A＝2×＝；∴该函数的解析式为y＝，定义域为2﹣＜x＜；（3）取线段EF 的中点O，连接OC、OD，∵∠ECF＝∠EDF＝90°，∴OC＝OD＝EF．设EF 与CD 交点为H，根据轴对称的性质可得EF⊥CD，且CH＝DH＝CD．∵＝，∴sin∠HOC＝＝，∴∠HOC＝60°①若点K 在线段AC 上，如图2，∵CO＝EF＝OF，∴∠OCF＝∠OFC＝∠HOC＝30°，∴y＝cot30°＝，∴＝，解得：x＝﹣1；②若点K 在线段AC 的延长线上，如图3，∵OC＝OF，∠FOC＝60°，∴△OFC 是等边三角形，∴∠OFC＝60°，∴y＝cot60°＝，∴＝，解得：x＝3﹣；综上所述：x 的值为﹣1 或3﹣．8．（1）证明：∵△ABC、△APD 和△APE 是等边三角形，∴AD＝AP，∠DAP＝∠BAC＝60°，∠ADM＝∠APN＝60°，∴∠DAM＝∠PAN．在△ADM 和△APN 中，，∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM＝AN．（2）解：①∵△ABC、△ADP 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠DAP＝∠BAC＝60°，∴∠DAM＝∠PAC，∵∠ADM＝∠B，∠DMA＝∠BMP，∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA＝180°﹣∠B﹣∠BMP，∴∠DAM＝∠BPM ，∴∠BPM＝∠NAP，∴△BPM∽△CAP，∴，∵BM＝，AC＝2，CP＝2﹣x，∴4x2﹣8x+3＝0，解得x1＝，x2＝．②∵四边形AMPN 的面积即为四边形ADPE 与△ABC 重叠部分的面积，△ADM≌△APN，∴S△ADM＝S△APN，∴S 四边形AMPN＝S△APM+S△APN＝S△AMP+S△ADM＝S△ADP．过点P 作PS⊥AB，垂足为S，在Rt△BPS 中，∵∠B＝60°，BP＝x，∴PS＝BP sin60°＝x，BS＝BP cos60°＝x，∵AB＝2，∴AS＝AB﹣BS＝2﹣x，∴AP2＝AS2+PS2＝（x）2+（2﹣x）2＝x2﹣2x+4（0＜x＜2）；∴S＝PA2＝x2﹣x+（0＜x＜2）．③连接PG，设DE 交AP 于点O．若∠BAD＝15°，∵∠DAP＝60°．∴∠PAG＝45°．∵△APD 和△APE 都是等边三角形．∴AD＝DP＝AP＝PE＝EA．∴四边形ADPE 是菱形．∴DO 垂直平分AP．∴AG＝GP．∴∠APG＝∠PAG＝45°．∴∠PAG＝90°．设BG＝t，在Rt△BPG 中，∠B＝60°．∴BP＝2t，PG＝t．∴AG＝PG＝t．∴t+t＝2．解得t＝﹣1．∴BP＝2t＝2 ﹣2．故，当x＝2﹣2 时，∠BAD＝15°．9．解：（1）在△BCE 中有：∠E＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE，又∵AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC．∴CI 是∠ACB 的平分线，∵CE 是∠ACD 的平分线，∴∠ECI 是平角∠BCD 的一半，∴∠ECI＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BCI﹣∠CBI，在△ABC 中，∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝90°﹣∠BCI﹣∠CBE＝α，即∠E＝α．在三角形BIC 中，由外角性质得到：∠BIC＝90°+α，综上所述，∠BIC＝90°+α，∠E＝α．故填：90°+α，α；（2）由题意易证得△ICE 是直角三角形，且∠E＝α．当△ABC∽△ICE 时，可得△ABC 是直角三角形，有下列三种情况：①当∠ABC＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴只能∠E＝∠BCA，可得∠BAC＝2∠BCA．∴∠BAC＝60°，∠BCA＝30°．∴AC＝2 AB．∵AB＝1，∴AC＝2．②当∠BCA＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴只能∠E＝∠ABC，可得∠BAC＝2∠ABC．∴∠BAC＝60°，∠ABC＝30°．∴AB＝2 AC．∵AB＝1，∴AC＝．③当∠BAC＝90° 时，∵∠BAC＝2α，∠E＝α；∴∠E＝∠BAI＝∠CAI＝45°．∴△ABC 是等腰直角三角形．即AC＝AB．∵AB＝1，∴AC＝1．∴综上所述，当△ABC∽△ICE 时，线段AC 的长为1 或2 或．（3）∵∠E＝∠CAI，由三角形内角和可得∠AIE＝∠ACE．∴∠AIB＝∠ACF．又∵∠BAI＝∠CAI，∴∠ABI＝∠F．又∵BI 平分∠ABC，∴∠ABI＝∠F＝∠EBC．又∵∠E 是公共角，∴△EBC∽△EFI．在Rt△ICF 中，sin∠F＝，设IC＝3k，那么CF＝4k，IF＝5k．在Rt△ICE 中，∠E＝30°，设IC＝3k，那么CE＝3k，IE ＝6k．∵△EBC∽△EFI．∴＝＝．又∵BC＝m，∴BE＝m．10．解：（1）证明：如图1，∵EF 垂直平分BD，∴EB＝ED，FB＝FD．在△BEF 和△DEF 中，，∴△BEF≌△DEF（SSS），∴∠EBF＝∠EDF．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∴∠EDF＝60°，∴∠ADE+∠FDC＝180°﹣60°＝120°．又∵∠AED+∠ADE＝180°﹣60°＝120°，∴∠AED＝∠FDC，∴△AED∽△CDF；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4．∵CD＝x，AE＝y，∴AD＝4﹣x，ED＝EB＝4﹣y．∵△AED∽△CDF，∴＝＝，∴＝＝，∴DF＝，CF＝．∵DF+CF＝BF+CF＝BC＝4，∴+＝4，整理得：y＝（0＜x＜4）；（3）如图2，①H 在线段AE 上时，在Rt△AHD 中，∵AH＝AE﹣EH＝y﹣1，AD＝4﹣x，∠A＝60°，∴cos A＝＝＝，∴y＝3﹣x，∴＝3﹣x，整理得：x2﹣14x+24＝0，解得：x1＝2，x2＝12，∵0＜x＜4，∴x＝2，②当H 在线段BE 上时，同理可求得x＝9﹣即CD 的长为2 或9﹣．11．解：（1）如图1，∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP+∠APD＝90°，∠BPC+∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD•BC＝AP•BP；（2）结论AD•BC＝AP•BP 仍然成立．理由：如图2，∵∠BPD＝∠DPC+∠BPC，∠BPD＝∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC＝∠A+∠ADP．∵∠DPC＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC＝∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴＝，∴AD•BC＝AP•BP；（3）如图3，过点D 作DE⊥AB 于点E．∵AD＝BD＝5，AB＝6，∴AE＝BE＝3．由勾股定理可得DE＝4．∵以点D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切，∴DC＝DE＝4，∴BC＝5﹣4＝1．∴∠A＝∠B，∴∠DPC＝∠A＝∠B．由（1）、（2）的经验可知AD•BC＝AP•BP，∴5×1＝t（6﹣t），解得：t1＝1，t2＝5，∴t 的值为1 秒或5秒．12．解：（1）∵EB＝EM，NM＝NC，∴∠EBM＝∠EMB，∠NMC＝∠NCM，∴∠EMB+∠NCM+∠EMN＝180°，∵∠EBM+∠NCM+∠BEC＝180°，∴∠EMN＝∠BEC；（2）如图1，作DE⊥BC，NF⊥BC 分别交BC 于D，F，作GM⊥BC，交AC 于点G，∵EB＝EM，∠ABC＝90°，∴BD＝MD，∴DE 为梯形ABMG 的中位线，∴AE＝EG，同理可得CN＝NG，∴EG+GN＝AE+CN，即EN＝AE+CN；（3）如图2，作GM⊥BC，交AC 于点G，作NF∥EM，∴＝＝n，∵AE＝EG，CN＝NG，∴＝n，即NG＝CN＝nEG，∵NF∥EM，∴＝，即＝，∴CF＝MC，∴MF＝MC﹣MC＝MC，∵BH∥EM，NF∥EM，∴BH∥NF，∴＝，∵＝n，即BM＝CM，∴＝＝．13.解：（1）∵等边△ABC，等边△DCF，∴FC＝DC，AC＝BC，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，∴∠FCA＝∠DCB，在△FCA 和△DCB 中，，∴△FCA≌△DCB，∴BD＝AF；（2）∵（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，△DCF 是等腰直角三角形，∴＝，＝，∴＝，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝45°，∴∠FCA＝∠DCB，∴△FCA∽△DCB，∴＝；（3）Ⅰ．∵△ABC 为以BC 为底边的等腰三角形，△FDC 为以DC 为底边的等腰三角形，∠BCA＝∠DCF，∴△ABC∽△FDC，∴＝，∠ACF＝∠BCD，∴△BCD∽△ACF，∴＝，如图③，作AP⊥BC，＝＝2sin∠BAC＝2sin α，∴＝2sinα；Ⅱ、∵△FDC∽△ABC，∴，∠FCA+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，∴∠FCA＝∠DCB，∴△FCA∽△DCB，∴＝＝k．14.解：（1）①∵点P 恰好是CD 边的中点，设DP＝PC＝y，则DC＝AB＝AP＝2y，在Rt△ADP 中，AD2+DP2＝AP2，即：82+y2＝（2y）2，解得：y＝，∵∠OPA＝∠B＝90°，∴△ADP∽△PCO，∴AD：PC＝DP：CO，∴8：y＝y：CO，则AC＝＝，∴OB＝8﹣＝，∵AB＝2y＝，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°；∴∠OAP＝∠DAP＝30°，∵∠OPA＝∠D＝90°，∴△ADP∽△APO；②由①可知AB＝，（2）∵△ADP∽△PCO，△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，∴＝，即DP＝2CO，＝．AD＝2PC，∵AD＝8，∴PC＝4，在RT△ADP 中，AP2＝AD2+DP2，∵AP＝DC＝AB，∴AB2＝64+（AB﹣4）2，解得AB＝10．②∵GP＝6﹣t，PH＝2t，设△GPH 的高为h，则有h＝•2t＝．∴S 四边形ADGH＝S△ADP﹣S△GHP＝DP•DA﹣GP•h＝×8×6﹣×（6﹣t）×t＝（t﹣3）2+，∴当t＝3 时，四边形ADGH 的面积S 有最小值为．15.解：（1）如图1，作DF∥AC 交BE 于F，∴＝＝，∴＝＝＝，故答案为：；（2）①如图2，作CH∥AD 交BP 于H，∴＝，又AE＝EC，∴CH＝AP，∵CH∥AD，∴＝＝，∴＝；②∵DC：BC：AC＝1：2：3，CD＝2，∴BC＝4，AC＝6，EC＝AC＝3，由勾股定理得，BE＝5，∵CH∥AD，AE＝EC，∴HE＝EP，设HE＝EP＝x，则BH＝5﹣x，BP＝5+x，∵CH∥AD，∴＝，即＝，解得x＝1，则BP＝5+x＝6．16．（1）证明：∵∠DEF＝90°，∴∠AED+∠BEF＝90°，又∠AED+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，又∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEF；（2）解：∵△ADE∽△BEF，∴＝，又AE＝x，BF＝y，AD＝4，∴＝，解得，y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2 时，y 有最大值，最大值为1；（3）解：∵D、C、F、E 四点共圆，∴∠CEF＝∠CDF，∴sin∠CEF＝sin∠CDF＝＝，又CD＝4，∴DF＝5，∵∠DCF＝90°，∴DF 为此圆直径，∴此圆直径为5．。

20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：2021年中考数学压轴题专项训练《三角形》1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．（1）求证：△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．证明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab，故答案为：ab．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．7．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△A DC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3 ．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB+AC＝BD，∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．13．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．解：（1）补全示意图如图所示，（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等，∴AB＝DF，又∵AD＝FE，∴∠ABD＝∠FDE，∴BD＝DE．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，∵∠AFD＝40°，∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，∵DF＝＝，∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．。

2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：解直角三角形综合1、黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）2、“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m．如图，DE∥BC，BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m）3、如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）4、如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： =1.414， =1.732）5、如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）6、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB 的高.他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E F D在同一条直线上.求旗杆AB的高.（计算结果精确到0.1米，参考数据：,,≈=）1.737、如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）8、如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D 点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）9、如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？10、如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数） （参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）11、如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船.此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向.已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：，，，）A B C B A A C 45︒B C 53︒A B C 4sin 535︒≈3cos535︒≈4tan 533︒≈1.41≈12、如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD ）靠墙摆放，高cm AD 80=，宽cm AB 48=.小强身高cm 166，下半身cm FG 100=，洗漱时下半身与地面成080（080=∠FGK ），身体前倾成0125（0125=∠EFG ），脚与洗漱台距离cm GC 15=（点K G C D ,,,在同一直线上）.（1）此时小强头部E 点与地面DK 相距多少？（2）小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 中点O 的正上方，他应向前或后退多少？ （41.12,17.080cos ,98.080sin 00≈≈≈，结果精确到1.0）13、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB 和引桥BC 两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A 处正上方97m 处的P 点，测得B 处的俯角为30°（当时C 处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B 处正上方的D 处时能看到C 处，此时测得C 处俯角为80°36′．（1）求主桥AB 的长度；（2）若两观察点P 、D 的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC 的长． （长度均精确到1m ，参考数据：≈1.73，s in80°36′≈0.987，cos80°36′3≈0.163，tan80°36′≈6.06）14、风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源．风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C 的仰角是55︒，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45︒．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高⊥，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55 1.4︒≈，⊥，CH AHBG为10米，BG HG︒≈）︒≈，sin350.6︒≈，sin550.8tan350.715、小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上.（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度.16、图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为cm；（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：解直角三角形综合1、黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，则CH=CD•cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD•sin∠DCH=4×sin60°=2，∵DH⊥BG，∠G=30°，∴HG===6，∴CG=CH+HG=2+6=8，设AB=xm，∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°，∴BC=x，BG===x，∵BG﹣BC=CG，∴x﹣x=8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．2、“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m．如图，DE∥BC，BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m）【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°，在Rt△DFB中，sin80°=，则DF=BD•sin80°，AM=AC﹣CM=1790﹣1700•sin80°，在Rt△AME中，sin29°=，故AE==≈238.9（m），答：斜坡AE的长度约为238.9m．3、如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）【解答】解：作CM⊥BD于M，如图所示：∵∠A=90°，∠ABD=60°，∴∠ADB=30°，∴BD=2AB=400m，∴AD=AB=200m，∴△ABD的面积=×200×200=20000（m2），∵∠CMB=90°，∠CBD=54°，∴CM=BC•sin54°=300×0.809=242.7m，∴△BCD的面积=×400×242.7=48540（m2），∴这片水田的面积=20000+48540≈83180（m2）．4、如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： =1.414， =1.732）【解答】解：由题意得，AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=BC=10，在Rt△DBC中，∠CDB=30°，∴DB==10，∴DH=AH﹣AD=AH﹣（DB﹣AB）=10﹣10+10=20﹣10≈2.7（米），∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．5、如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）【解答】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠DCF=i==，∴∠DCF=30°，∵CD=4，∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，∴BF=BC+CF=2+2=4，过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan∠AEG=4•tan37°，则AB=AG+BG=4•tan37°+3.5=3+3.5，故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．6、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB 的高.他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E F D在同一条直线上.求旗杆AB的高.（计算结果精确到0.1米，参考数据：,,≈=）1.73【答案】∴∠MAC=∠ACM=45°，∴MA=MC，∵ED=CM，∴AM=ED，∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF﹣∴，∴AB=AE﹣1≈18.4米．答：旗杆AB的高度约为18.4米．7、如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，∴CO=AO•tan60°=200（米）（2）设PE=x米，∵tan∠PAB==，∴AE=3x．在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=200﹣x，PF=OA+AE=200+3x，∵PF=CF，∴200+3x=200﹣x，解得x=50（﹣1）米．答：电视塔OC的高度是200米，所在位置点P的铅直高度是50（﹣1）米．8、如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D 点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）【解答】解：如图，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，∵=tan∠DBC，∴CD=BC•tan60°=30m，∴乙建筑物的高度为30m；在Rt△AFD中，∠DAF=45°，∴DF=AF=BC=30m，∴AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，∴甲建筑物的高度为（30﹣30）m．9、如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12海里，∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴CD=AD=6海里，由勾股定理得：AC==6≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．10、如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）【解答】解：假设点D 移到D ′的位置时，恰好∠α=39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，作D ′E ′⊥AC 于点E ′，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD •sin60°=12×=6米，CE=CD •cos60°=12×=6米．∵DE ⊥AC ，D ′E ′⊥AC ，DD ′∥CE ′，∴四边形DEE ′D ′是矩形，∴DE=D ′E ′=6米．∵∠D ′CE ′=39°，∴CE ′=≈≈12.8，∴EE ′=CE ′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．11、如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船.此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向.已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：，，，）A B C B A A C 45︒B C 53︒A B C 4sin 535︒≈3cos535︒≈4tan 533︒≈1.41≈∴B 船到达C 船处约需时间：25÷25=1（小时）在Rt △ADC 中，1.41×20=28.2∴A 船到达C 船处约需时间：28.2÷30=0.94（小时）而0.94<1，所以C 船至少要等待0.94小时才能得到救援.12、如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD ）靠墙摆放，高cm AD 80=，宽cm AB 48=.小强身高cm 166，下半身cm FG 100=，洗漱时下半身与地面成080（080=∠FGK ），身体前倾成0125（0125=∠EFG ），脚与洗漱台距离cm GC 15=（点K G C D ,,,在同一直线上）.（1）此时小强头部E 点与地面DK 相距多少？2x ≈（2）小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 中点O 的正上方，他应向前或后退多少？ （41.12,17.080cos ,98.080sin 00≈≈≈，结果精确到1.0）【答案】：过点F 作FN ⊥DK 于点N ，过点E 作EM ⊥FN 于点M ，∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，又∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°-125°-10°=45°，∴FM=66cos45°=332≈46.53，∴MN=FN+FM ≈144.5.∴他头部E 点与地面DK 相距约144.5cm 。

2021届中考数学压轴题专题突破09 三角形问题【含答案】一、单选题1．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A 同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】D【关键点拨】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．2．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE.试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2 .正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，故正确的结论有①②④，故选C.【关键点拨】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E是BC上的两点，且∠DAE=30°，将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，连接DF.下列结论中正确的个数有（）①∠FBD=60°；②△ABE∽△DCA；③AE平分∠CAD；④△AFD是等腰直角三角形.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B∴∠BAD＋∠EAC＝120°−∠DAE＝90°，∴∠ABC＋∠BAD＜90°，∴∠ADC＜90°，∴∠DAC＞60°，∴∠EAC＞30°，即∠DAE≠∠EAC，∴③错误；∵将△AEC绕点A顺时针旋转120°后，得到△AFB，∴AF＝AE，∠EAC＝∠BAF，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，∴∠BAD＋∠EAC＝90°，∴∠DAB＋∠BAF＝90°，【关键点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．4．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【答案】C【解析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH、BE与相交于点G，以下结论中正确的结论有（）（1）△ABC是等腰三角形；（2）BF＝AC；（3）BH：BD：BC＝1：：；（4）GE2+CE2＝BG2．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵CD⊥AB，∴∠ABE+∠A＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCA，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形；故（1）正确；，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF＝AC；故（2）正确；（3）∵在△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝45°，∴∠DCB＝45°，∴BD＝CD，BC＝BD．由点H是BC的中点，∴DH＝BH＝CH＝BC，∴BD＝BH，∴BH：BD：BC＝BH：BH：2BH＝1：：2．故（3）错误；（4）由（2）知：BF＝AC，∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB，在△ABE与△CBE中，【关键点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行线的性质，勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．7．如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M、N分别为OA、OB 边上动点，则△MNP周长的最小值为( )A．2B．4C．D．【答案】B【解析】【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称-最短路线问题的应用，正确作出辅助线，确定M、N的位置，证明△OP1P2是等边三角形是解题关键．8．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【关键点拨】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．9．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC 的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A．B．C．D．【答案】A【关键点拨】本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.10．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④【答案】C③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．在△AEF和△BED中，∵，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．故选C．【关键点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．11．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【答案】D【解析】A、连接OA、OC，由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，【关键点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键. 12．如图，点D 是等腰直角△ABC 腰BC 上的中点，点B 、B′ 关于AD 对称，且BB′ 交AD 于F，交AC 于E，连接FC 、AB′，下列说法：①∠BAD=30°；②∠BFC=135°；③AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=BC=AB，∴tan∠BAD=，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【关键点拨】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．13．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【答案】A【关键点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）A．②③④B．①②C．①④D．①②③④【答案】B【解析】如图【关键点拨】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.15．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C∴△AOE≌△AOD（HL），∴∠OAC=∠OAB，∵∠B=∠C，AB=AC，∠OAC=∠OAB，∴△AOC≌△AOB.（ASA）∵∠B=∠C，BE=CD，∠ODC=∠OEB=90°，∴△BOE≌△COD（ASA）．综上：共有4对全等三角形，故选C.【关键点拨】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．二、填空题16．如图所示，已知：点A(0，0)，B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第个等边三角形的边长等于__________．【答案】【关键点拨】本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律．17．如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n B n+1C n的面积为__．（用含正整数n的代数式表示）【答案】（）2n﹣2×…，△A n B n+1C n的边长为（）n﹣1×，∴△A n B n+1C n的面积为×[（）n﹣1×]2=（）2n﹣2×，故答案为：（）2n﹣2×.【关键点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的面积公式、解直角三角形等知识，熟练掌握相关性质得出等边三角形的边长的规律是解题的关键.18．如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n=_____．【答案】【关键点拨】本题考查了规律题，涉及等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，有一定难度，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质、勾股定理等解本题的关键．19．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．【答案】∴A(,0);∴OA=,设D(x,) ,∴E(x,- x+2),延长DE交OA于点F，∴EF=-x+2,OF=x,在Rt△OEF中利用勾股定理得：,解得：x1=0(舍），x2=；∴EF=1,∴S△AOE=·OA·EF=2.故答案为：.【关键点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.20．如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD 与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④．③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短为2，∴S△PCQ最小===，∴③错误；④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形，∴④正确，故答案为：①②④．21．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.（1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是_______；（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角。

通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：三角形的动点问题1.如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB 以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点Q到达终点时，点P也停止运动．以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM ，使点M与点C在PQ的同侧．设P、Q两点的运动时间为t秒（t>0）．（1）用含t的代数式表示线段BQ的长．（2）当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值．（3）当∠AQM为锐角时，求t的取值范围．（4）当点M与△ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值．2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且BC，AC，AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝3AN．点D，E分别是边AC，BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，当Q为AB中点时，y=2．（1）求BC，AC，AB的长．（2）求y关于x的函数表达式．（3）①连结PQ，当PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过点P作PH⊥AB于点H，当△PQH为等腰三角形时，求x的值.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AC−CB−BA方向绕行△ABC一周，动直线l从AC开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交AB、BC于D、E两点．当点P运动到点A时，直线l也停止运动．（1）求点P到AB的最大距离；（2）当点P在AC上运动时，①求tan∠PDE的值；②把△PDE绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点P′落在ED上时，ED的对应线段ED′恰好与AB垂直，求此时t的值．（3）当点P关于直线DE的对称点为F时，四边形PEFD能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．，AB＝10，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上4.如图，已知∠BAC ，且cos∠BAC＝35的动点，且AQ＝BP＝x ，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED ，以线段BP为边在AB 上方作正三角形PBM ．（1）如图2，当点E在射线AC上时，求x的值；（2）如果⊙P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；（3）如果点E在∠MPB的边上，求AQ的长．5.如图，△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC′=120° .动点P从点A出发，在AB边上以每秒1cm的速度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，沿BC以每秒√3cm的速度向终点C匀速运动，连接PQ，设运动时间为t（秒）.（1）当t=2秒时，则△BPQ的面积S△BPQ=________ cm2；（直接写出答案）（2）以PQ为直径作圆O，在点P，Q的运动过程中，当圆O与△ABC的一边所在直线相切时，求t的值.6.如图，已知A，B两点的坐标分别为A(18,0)，B(8,6)，点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒.（1）求t的取值范围；（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，求此时t的值；（3）是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t；若不存在，请说明理由.7.已知：如图①，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=6cm，BC=10cm，将△ABC绕AC中点旋转180°得到△CDA .如图②，再将△CDA沿AC的方向以1cm/s的速度平移得到△NDP；同时，点Q从点C出发，沿CB方向以2cm/s的速度运动，当点Q停止运动时，△NDP也停止平移，设运动时间为t(s)(0<t<5) .解答下列问题.（1）当t为何值时，PQ//AB？（2）在运动过程中，t为何值时△PQC的面积最大？并求面积的最大值；（3）是否存在某一时刻t，使PQ⊥DQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.8.如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，沿AB以每秒√2个单位长度2的速度向点B运动，点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作AC的平行线与过点Q作AB的平行线交于点D，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为S，运动的时间为t（秒）（1）点P到AC的距离为________（用含t的代数式表示）（2）当点D落在BC上时，求t的值（3）当△PQD与△ABC重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式（S＞0）.点D从点A出发，以每秒1个单位长9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠A＝35度的速度沿AC向终点C运动，同时点E从点B出发，以相同速度沿BA方向运动，过点E作EF⊥AB，过点D作DF⊥EF垂足为F，连结ED，当点D运动到终点时，点E也停止运动.设△EDF与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点D的运动时间为t秒.（1）线段AC的长为________；（2）当直线EF经过点D时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围.10.如图ΔABC是等边三角形，AB＝10．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右作矩形PDEF，且PA＝PF．设矩形PDEF与ΔABC 重叠部分的面积为S，点P运动的时间为t（t＞0）秒．（1）填空：PD＝________；（用含t的代数式表示）（2）当点F落在BC上时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式．11.如图，在△ABC中，∠C=90∘,AC=6,BC=8，点P从点B出发沿BA−AC以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向终点B运动，运动时间为t(t> 0)，连结PQ．（1）求AP的长（用含有t的代数式表示）；（2）当点P在AB上运动时，过点P作PH⊥BC于点H，求PH的长（用含有t的代数式表示）；（3）当点P运动到AC上且△PCQ的面积为12时，求t的值．（4）直接写出运动过程中以PQ为一边的三角形与△ABC相似时t的值．12.（如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3与y轴、x轴分别交于A、B两点，动点P从点4A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（秒）．（1）直接写出A、B两点的坐标．（2）当△APQ与△AOB相似时，求t的值．（3）设△APQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点为A(8,0)、C(0,4)，点B在第一象限．现有两动点P和Q，点P从原点O出发沿线段OA(不包括端点O，A)以每秒2个单位长度的速度匀速向点A运动，点Q从点A出发沿线段AB(不包括端点A，B)以每秒1个单位长度的速度匀速向点B运动．点P、Q同时出发，当点P运动到点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t(秒)．（1）直接写出点B的坐标，并指出t的取值范围；（2）连结CQ并延长交x轴于点D，把CD沿CB翻折交AB延长线于点E，连结DE．①ΔCDE的面积S是否随着t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值；②当t为何值时，PQ//CE？14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB 于点Q，过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R．设点P运动的时间为t秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S．（1）直接写出线段PQ的长．（用含t的代数式表示）（2）当点R落在边AC上时，求t的值．（3）当△PQR与△ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）直接写出AQ或PC平分△PQR面积时t的值．15.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm ，BC＝3cm ，点P由B出发沿BA 方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．16.已知△ABC为等边三角形，AB=6,P是AB上的一个动点，（与A、B不重合），过点P作AB 的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E 在BC上，F在AC上，（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；（2）当BP=2时，求CF的长；（3）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．17.如图（1）所示，直线m⊥n，A、B分别为直线m、n上两点．（1）当OA=OB时，作直线OQ，过点A、B两点分别作AM⊥OQ于点M，BN⊥OQ于点N，若AM=4，BN=3，求MN的长．（2）如图（2），OA=5，点B为直线m上方直线n上动点，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点，在△ABO外侧作等腰直角三角形OBF和等腰直角三角形ABE，∠ABE=∠ABF=900，联结EF交直线m于点P，问：当点B运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由．18.如图1，Rt △ABC中，∠C=90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点D是BC上的一个定点.动点P从点C出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动.点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止.图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S（cm2）与点P的运动时间t（s）的函数图象.（1）CD=________，S=________cm2；（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？（3）运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值.19.如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）.（1）点E的坐标为________，F的坐标为________；（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.20.在平面直角坐标系中，点A( 2 ， 0 )，点B (2 ， 2)．将△OAB绕点B顺时针旋转，得△O′A′B，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．（1）如图①，当α=45°时，求点A′的坐标；（2）如图②，当α=60°时，求点A′的坐标；（3）连接 O A′，设线段OA′的中点为M，连接O′M，求线段O′M的长的最小值（直接写出结果即可）．21.在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果CD上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称CD为△ABC的中线弧．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧CD，直接写出△ABC的中线弧CD所在圆的半径r的最小值；②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧CD的弧长l ．（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧CD所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．设点P运动时间为x （s），△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y（cm2）．（1）AE＝________cm，AF＝________cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣BC＝2，D为AB的中点.（1）求a的值.（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的t的值.。

2021中考数学几何专项：三角形培优训练一、选择题1. 下列式子错误．．的是()A. cos40°＝sin50°B. tan15°·tan75°＝1C. sin225°＋cos225°＝1D. sin60°＝2sin30°2. 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店()A.①B.②C.③D.④3. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是()A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°5. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种6. 如图,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B,C处开工挖出“V”字形通道.如果∠DBA=130°,∠ECA=135°,那么∠A的度数是()A.75°B.80°C.85°D.90°7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 68. 如图,在△ABC中,BC边不动,点A竖直向上运动,∠A越来越小,∠B,∠C越来越大.若∠A减小x°,∠B增加y°,∠C增加z°,则x,y,z之间的关系是()A.x=y+zB.x=y-zC.x=z-yD.x+y+z=1809. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为()A．70°B．108°C．110°D．125°二、填空题11. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．12. 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了________m.13. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=°.14. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=6，BP=8，CP=10，则S△ABP+S△BPC=.15. 如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．三、解答题16. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？17. 如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，作EC⊥AD于点C，FB ⊥AD于点B，且AE=DF.(1)求证:EF平分线段BC;(2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立?请说明理由.18. 如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.(1)求∠APB的度数．(2)求证：点P在∠C的平分线上．(3)求证：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.19. 如图所示，∠BAC＝∠BCA，AD为△ABC中BC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝AB，连接AE.求证：∠CAD＝∠CAE.20. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？2021中考数学几何专项：三角形培优训练-答案一、选择题选项逐项分析正误A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50°√ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D ∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30°×2. 【答案】D [解析] 第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块玻璃碎片不能配一块与原来完全一样的玻璃;第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块玻璃碎片中的任一块均不能配一块与原来完全一样的玻璃;第④块玻璃碎片不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一条完整的边，则可以根据“ASA”来配一块完全一样的玻璃.最省事的方法是带④去.3. 【答案】B[解析]过点D 作DH ⊥AB 交BA 的延长线于H.∵BD 平分∠ABC ，∠BCD=90°， ∴DH=CD=4，∴四边形ABCD 的面积=S △ABD +S △BCD =AB ·DH +BC ·CD=×6×4+×9×4=30.4. 【答案】C 【解析】由CD 为腰上的高，I 为△ACD 的内心，则∠IAC ＋∠ICA ＝12(∠DAC ＋∠DCA)＝12(180°－∠ADC)＝12(180°－90°)＝45°，所以∠AIC ＝180°－(∠IAC ＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB ≌△AIC ，得∠AIB ＝∠AIC ＝135°.5. 【答案】C6. 【答案】C[解析] ∵∠DBA=130°,∠ECA=135°,∴∠ABC=180°-∠DBA=50°,∠ACB=180°-∠ECA=45°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-45°=85°.7. 【答案】B【解析】如解图，连接OC ，由已知条件易得∠A ＝∠OCE ，CO ＝AO ，∠DOE ＝∠COA ，∴∠DOE －∠COD ＝∠COA －∠COD ，即∠AOD ＝∠COE ，∴△AOD ≌△COE (ASA)，∴AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝CD ＋AD ＝AC＝22AB ＝3，故选B.8. 【答案】A[解析] 根据题意,得∠A+∠ABC+∠ACB=180°①,变化后的三角形的三个角的度数分别是∠A-x°,∠ABC+y°,∠ACB+z°,∴∠A-x°+∠ABC+y°+∠ACB+z°=180°②,①②联立整理可得x=y+z.9. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.10. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠BCP＝∠1＋∠BCP＝∠ACB＝70°.∴∠BPC＝180°－∠2－∠BCP＝180°－70°＝110°.二、填空题11. 【答案】答案不唯一，如AB ＝DE[解析] ∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS)．12. 【答案】2(3－2) 【解析】开始时梯子顶端离地面距离为4×sin 45°＝4×22＝22，移动后梯子顶端离地面距离为4×sin 60°＝4×32＝23，故梯子顶端沿墙面升高了 23－22＝2(3－2)m .13. 【答案】68[解析] ∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°. ∵FD ⊥BC ， ∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°. ∵∠B=∠C ，DE ⊥AB ，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°. ∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.14. 【答案】16+24 [解析]将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°到△CBP'，连接PP'，所以P'C=P A=6，BP=BP'，∠PBP'=60°，所以△BPP'是等边三角形，其边长BP 为8，所以PP'=8，S △BPP'=16，因为PC=10，所以PP'2+P'C 2=PC 2， 所以△PP'C是直角三角形，S △PP'C =24，所以S △ABP +S △BPC =S △BPP'+S △PP'C =16+24.15. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行三、解答题16. 【答案】解：在△BDE 和△FDM 中，⎩⎨⎧BD ＝FD ，∠BDE ＝∠FDM ，DE ＝DM ，∴△BDE ≌△FDM(SAS)． ∴∠BEM ＝∠FME.∴BE ∥MF. 又∵AB ∥MF ，∴A ，C ，E 三点在一条直线上．17. 【答案】解:(1)证明:∵EC ⊥AD ，FB ⊥AD ，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD ，∴AB+BC=BC+CD ， 即AC=DB.在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，∴Rt △ACE ≌Rt △DBF (HL).∴EC=FB. 在△CEG 和△BFG 中，∴△CEG ≌△BFG (AAS). ∴CG=BG ，即EF 平分线段BC. (2)EF 平分线段BC 仍成立. 理由:∵EC ⊥AD ，FB ⊥AD ，∴∠ACE=∠DBF=90°.∵AB=CD，∴AB-BC=CD-BC，即AC=DB.在Rt△ACE和Rt△DBF中，∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL).∴EC=FB.在△CEG和△BFG中，∴△CEG≌△BFG(AAS).∴CG=BG，即EF平分线段BC.18. 【答案】解：(1)∵AE，BD是△ABC的角平分线，∴∠BAP＝12∠BAC，∠ABP＝12∠ABC.∴∠BAP＋∠ABP＝12(∠BAC＋∠ABC)＝12(180°－∠C)＝60°.∴∠APB＝120°.(2)证明：如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，垂足分别为F，G，H.∵AE，BD分别平分∠BAC，∠ABC，∴PF＝PG，PF＝PH.∴PH＝PG.又∵PG⊥AC，PH⊥BC，∴点P在∠C的平分线上．(3)证明：①∵∠C＝60°，PG⊥AC，PH⊥BC，∴∠GPH＝120°.∴∠GPE＋∠EPH＝120°.又∵∠APB ＝∠DPE ＝∠DPG ＋∠GPE ＝120°，∴∠EPH ＝∠DPG .在△PGD 和△PHE 中，⎩⎨⎧∠PGD ＝∠PHE ＝90°，PG ＝PH ，∠DPG ＝∠EPH ，∴△PGD ≌△PHE.∴PD ＝PE.②如图，在AB 上截取AM ＝AD.在△ADP 和△AMP 中，⎩⎨⎧AD ＝AM ，∠DAP ＝∠MAP ，AP ＝AP ，∴△ADP ≌△AMP.∴∠APD ＝∠APM ＝60°.∴∠EPB ＝∠MPB ＝60°.在△EBP 和△MBP 中，⎩⎨⎧∠EPB ＝∠MPB ，BP ＝BP ，∠EBP ＝∠MBP ，∴△EBP ≌△MBP.∴BE ＝BM.∴AB ＝AM ＋BM ＝AD ＋BE.19. 【答案】证明：如图，延长AD 到点F ，使得DF ＝AD ，连接CF.∵AD 为△ABC 中BC 边上的中线，∴BD ＝CD.在△ADB 和△FDC 中，⎩⎨⎧AD ＝FD ，∠ADB ＝∠FDC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△FDC(SAS)．∴AB ＝CF ，∠B ＝∠DCF.∵CE ＝AB ，∴CE ＝CF.∵∠ACE ＝∠B ＋∠BAC ，∠ACF ＝∠DCF ＋∠BCA ，∠BAC ＝∠BCA ， ∴∠ACE ＝∠ACF.在△ACF 和△ACE 中，⎩⎨⎧AC ＝AC ，∠ACF ＝∠ACE ，CF ＝CE ，∴△ACF ≌△ACE(SAS)．∴∠CAD ＝∠CAE.20. 【答案】【思路分析】(1)因为点C 是x 轴上的一动点，且∠ACB ＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C 必在以AB 为直径的圆上，所以以AB 为直径画圆，与x 轴相交于两点，除点C 的另一点就是所求；(2)因为∠ACB ＝90°，∠AOC ＝90°，所以过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m 2－5m ＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A 的横坐标与点B 的横坐标的和的相反数；常数项是点A 的纵坐标与点B 的纵坐标的积，先把方程ax 2＋bx ＋c ＝0，化为 x 2＋b a x ＋c a ＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P 、Q 两点分别在AD 、BD 上，过P 、Q 分别作x 轴垂线，垂足为M 、N ，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．图① 图②(1)解：如解图①，先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；(4分)(2)证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDE ＝90°，∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝∠BDE ，∵∠AOD ＝∠DEB ＝90°，∴△AOD ∽△DEB ，(6分)∴AO DE ＝OD EB ，即15－m＝m 2， ∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实根；(8分)(3)解：(0，1)，(－b a ，c a )或(0，1a )，(－b a ，c )；(10分)(4)解：在解图②中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N.由(2)知△PMD ∽△DNQ ，∴n 1m 2－x ＝x －m 1n 2，(12分) ∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解，∴－b a ＝m 1＋m 2；c a ＝m 1m 2＋n 1n 2.(14分)【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题．本题解题的突破口要抓住∠ACB ＝90°保持不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为桥梁，以此获得关于m 的等量关系，从而使问题得以解决．。

2021年九年级中考数学复习专题：【三角形综合】培优训练（二）一．选择题1．判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）A．8，10，7 B．2，3，4 C．12，15，20 D．，1，2 2．在下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A．一个锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．一条斜边和另外一条直角边对应相等3．如图，若AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠A＝65°，∠C＝85°，则∠E的度数是（）A．30°B．40°C．65°D．85°4．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，若CE＝1，则AE＝（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA6．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE 并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（）A．4 B．6 C．8 D．107．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M是BC边上的动点，过M作MN ∥AB交AC于点N，P是MN的中点，当PA平分∠BAC时，BM＝（）A．B．C．D．8．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）A．8.5 B．15 C．17 D．349．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为（）A．40.5 B．48.5 C．50 D．52.510．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD ＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中不正确的结论有（）个．A．3 B．2 C．1 D．0二．填空题11．已知△ABC的三边长分别是5cm，12cm，13cm，则△ABC的面积是．12．如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为．13．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝°．14．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝．15．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是．16．如图，△ABC中，D，E是AB边上两点，且∠A＝∠B＝∠DCE＝45°，若AD＝1，EB＝2，则△CDE与△ADC的面积之比为．三．解答题17．如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）探索BM和BN的关系，并证明你的结论．18．如图，在△ABC中，AB＜AC，边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角∠CAM的平分线于点D，垂足为E，DF⊥AC于点F，DG⊥AM于点G，连接CD．（1）求证：BG＝CF；（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．19．（1）如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，E在一条直线上，连结BD和AE，直线BD，AE相交于点P．则线段BD与AE的数量关系为；BD与AE相交构成的锐角的度数为．（2）如图②，点B，C，E不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由．（3）应用：如图③，点B，C，E不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有∠AEC＝30°．设直线AE交CD于点Q，请把图形补全．若PQ＝2，则DP＝．20．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D从B点出发，沿射线CB 方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB，且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MQ方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D，Q两点同时出发，记时间为t．（1）当t＝10时，△DMQ是等腰三角形，求a的值；（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形；（3）若△DMQ与△ABC全等，求a的值．21．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，连结AE．（1）如图①，当点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：AE＝BD．（2）如图②，当点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE＝1，AB＝4，则AD＝．（3）如图③，当点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧时，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系：．22．在平面直角坐标系中，B（2，2），以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．参考答案一．选择题1．解：A、82+72≠102，故不能作为直角三角形三边长；B、22+32≠42，故不能作为直角三角形三边长；C、122+152≠202，故不能作为直角三角形三边长；D 、（）2+12＝22，故能作为直角三角形三边长；故选：D．2．解：A、一个锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、两锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、一条边对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、一条斜边和另外一条直角边对应相等能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．3．解：∵AD＝BE，∴AB＝DE，且AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠FDE＝65°，∠C＝∠F＝85°，∴∠E＝180°﹣∠FDE﹣∠F＝30°，故选：A．4．解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC，∴∠DAC＝30°，∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠DEC＝90°，∴∠CDE＝30°，∵CE＝1，∴CD＝2，∴AC＝4，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，故选：C．5．解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：D．6．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．7．解：作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，MF⊥AB于F，由勾股定理得，AB＝＝5，∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，∴PD＝PE，∵PE⊥AB，MF⊥AB，MN∥AB，∴四边形PMFE为矩形，∴PE＝MF，设PD＝PE＝MF＝3x，∵∠B＝∠B，∠BFM＝∠BCA，∴△BMF∽△BAC，∴＝，即＝，解得，BM＝5x，∵PD∥BC，P是MN的中点，∴BC＝6x+5x＝11x，由题意得，11x＝4，解得，x＝，∴BM＝5x＝，故选：A．8．解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，∴点O到△ABC各边的距离相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴点O到△ABC各边的距离为4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周长为17．故选：C．9．解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，∴∠F＝∠AGB＝∠EAB＝90°，∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∴∠FEA＝∠BAG，在△FEA和△GAB中∵，∴△FEA≌△GAB（AAS），∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝2，同理CG＝DH＝3，BG＝CH＝2，∴FH＝2+6+3+2＝13，∴梯形EFHD的面积是×（EF+DH）×FH＝×（6+3）×13＝，∴阴影部分的面积是S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC＝﹣×6×2﹣×（6+3）×2﹣×3×2＝40.5．故选：A．10．解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①结论正确，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②结论正确，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即BD⊥CE，故③结论正确，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④结论正确，∴不正确的结论有0个．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：∵△ABC的三边长分别是5cm，12cm，13cm，∴52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，直角边为5cm和12cm，∴△ABC的面积为cm×12cm＝30cm2，故答案为：30cm2．12．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+EA+EC＝BC+AC＝11，故答案为：11．13．解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°，故答案为：40．14．解：∵CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，CA＝CA，∴△CAB≌△CAD（SAS），∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∵CD＝CB，AD＝AB，∴AC垂直平分线段BD，∴DG＝BG＝AG，∵AC＝DF，∴CG＝GF，设CG＝GF＝x，AG＝BG＝DG＝y．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠BGC＝∠AGF＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∠BCG+∠FAG＝90°，∴∠CBG＝∠FAG，∵BG＝AG，∴△BGC≌△AGF（ASA），∴AF＝BC＝CE+BE＝5+12＝17，则有x2+y2＝172①，由△BEF∽△AGF，可得＝，∴＝，∴12×17＝y（y﹣x）②，①×12得到：172×12＝12x2+12y2，②×17得到172×12＝17y2﹣17xy，∴12x2+12y2＝17y2﹣17xy，∴12x2+17xy﹣5y2＝0，∴（3x+5y）（4x﹣y）＝0，∵3x+5y≠0∴y＝4x，∴12×17＝4x×3x，∴x2＝17，连接CF，可得CF2＝2x2＝34，∴EF＝＝＝3，∴AE＝EF+AF＝3+17＝20，故答案为20．15．解：∵OA＝8，OB＝6，C点与A点关于直线OB对称，∴BC＝AB＝＝5，分为3种情况：①当PB＝PQ时，∵C点与A点关于直线OB对称，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ与△CBP中，，∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此时OP＝5﹣4＝1；②当BQ＝BP时，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴这种情况不存在；③当QB＝QP时，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x＝；∵点P在AC上，∴点P在点O左边，此时OP＝．∴当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是1或．故答案为：1或．16．解：∵∠A＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，把△ADC逆时针旋转90°得到△BCF，如图所示：则CD＝CF，BF＝AD＝1，∠DCF＝90°，∠CBF＝∠A＝45°，∵∠DCE＝45°，∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DCE＝∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE＝FE，在△BEF中，∵∠ABC＝45°，∠CBF＝45°，∴∠EBF＝90°，∴EF＝＝＝，∴DE＝，∴△CDE与△ADC的面积之比＝＝＝；故答案为：．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：∵DB是高，∴∠ABE＝∠DBC＝90°．在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC．（2）解：BM＝BN，MB⊥BN．证明如下：∵△ABE≌△DBC，∴∠BAM＝∠BDN．在△ABM和△DBN中，∴△ABM≌△DBN（SAS）．∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°．∴MB⊥BN．18．（1）证明：连接BD，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，∴DG＝DF，在Rt△BDG和Rt△CDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG＝CF；（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，∴AC＝AF+AB+AG，∴AC＝2AG+AB，∵AB＝10cm，AC＝14cm，∴AG＝＝2cm．19．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，由三角形的外角性质，∠DPE＝∠AEC+∠BDC，∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°；故答案为：相等，60°；（2）成立．证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，又∵∠DNA＝∠ENC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°．（3）补全图形如图③，由（1）（2）可知△AEC≌△BDC，∴∠AEC＝∠BDC＝30°，∵△DEC为等边三角形，∴∠DEC＝∠EDC＝60°，∴∠DEP＝∠DEC﹣∠CEP＝60°﹣30°＝30°，∠PDE＝∠BDC+∠EDC＝60°+30°＝90°，∴∠DPQ＝60°，∴∠DQP＝90°，∵PQ＝2，∴DP＝2PQ＝2×2＝4．故答案为：4．20．解：（1）当t＝10时，DB＝30，∵BM＝10，∴DM＝20，∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，∴DM＝MQ，即20＝10a，∴a＝2；（2）①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，∵AB⊥CD，∴BD＝BC＝3，∴t＝1，②当AC＝CD＝5时，△DCA为等腰三角形，∵BC＝3，∴BD＝1，∴t＝，③当AD＝CD＝3+3t时，△DCA为等腰三角形，∵∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2，即42+（3t）2＝（3+3t）2，∴t＝，综上所述：t＝1，，时，△DCA为等腰三角形；（3）当△DMQ与△ABC全等，①△DMQ≌△ABC，∴MQ＝BC＝3，DM＝AB＝4，∵BM＝10，∴BD＝6或BD＝14，∴t＝2或t＝，∴a＝，a＝；②△DMQ≌△CBA，∴DM＝BC＝3，MQ＝AB＝4，∴BD＝7或13，∴t＝或，∴a＝或，综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝，，，．21．（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD；（2）解：如图②，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∴AD＝AB+BD＝AB+AE＝5，故答案为：5；（3）解：同（2）的证明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∴AB+BD＝BD＝AE，故答案为：AB+AD＝AE．22．（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．。

2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形专题复习1、如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F 分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．4、如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．（1）求证：AD=BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．5、如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a．（1）计算A1C1的长；（2）当α=30°时，证明：B1C1∥AB；（3）若a=，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．（参考数据：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）6、如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC 与S四边形AFBD的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．7、如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a= ，b= ．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= ，b= ．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．9、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．11、两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC 沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x （cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x= cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．12、已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．13、已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB= ，PC= ；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）参考答案2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形专题复习1、如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F 分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．解答:（1）证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的一条角平分线，∴OE=OM，∵四边形OECF是正方形，∴OE=OF，∴OF=OM，∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∴AB===13，设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，∴，解得：，∴OE=2．3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G为BD的中点，∴BG=BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，在△BCE与△CAD中，，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．4、如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．（1）求证：AD=BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．解答（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB，同理：GD=GC，在△AGD和△BGC中，，∴△AGD≌△BGC（SAS），∴AD=BC；（2）证明：∵∠AGD=∠BGC，∴∠AGB=∠DGC，在△AGB和△DGC中，，∴△AGB∽△DGC，∴，又∵∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF；（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则AH⊥BH，∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD=∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，∴∠AGB=∠AHB=90°，∴∠AGE=∠AGB=45°，∴，又∵△AGD∽△EGF，∴==．5、如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a．（1）计算A1C1的长；（2）当α=30°时，证明：B1C1∥AB；（3）若a=，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．（参考数据：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣，sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）解：（1）在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=a，由特殊锐角三角函数可知：，∴BC=．∴B1C=在Rt△A1B1C1，∠B1=∠45°，∴．∴A1C1==．（2）∵∠ACM=30°，∠A=60°，∴∠BMC=90°．∴∠C1=∠BMC．∴B1C1∥AB．（3）如下图：由（1）可知：A1C1===3+∴△A1B1C1的面积==∵∠A1B1C1=45°，∠ABC=30°∴∠MBC1=15°在Rt△BC1M中，C1M=BCtan15°=（3+）（2﹣）=3﹣，∴Rt△BC1M的面积===3．∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3+3．（4）由（1）可知：BC=，A1C1=，∴C1F=A1C1•tan30°=a，∴==×a×a=a2，∵∠MCA=60°，∠A=60°，∴∠AMC=60°∴MC=AC=MA=a．∴C1M=C1A1﹣MC=．∵∠MCA=60°，∴∠C1A1B=30°，∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°在Rt△DC1M中，由特殊锐角三角函数可知：C1D=C1M•tan60°=a，∴=C1M•C1D=a2，两个三角板重叠部分图形的面积=﹣=C1M=a2﹣a2=a2．6、如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC 与S四边形AFBD的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．解：（1）S△ABC =S四边形AFBD，理由：由题意可得：AD∥EC，则S△ADF =S△ABD，故S△ACF =S△ADF=S△ABD，则S△ABC =S四边形AFBD；（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，理由如下：∵F为BC的中点，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形，∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，∴平行四边形AFBD为矩形，∵∠BAC=90°，F为BC的中点，∴AF=BC=BF，∴四边形AFBD为正方形；（3）如图3所示：由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=k，sin∠CGF===．7、如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，在△MAC和△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，∴∠NDE=90°；（2）不变，在△MAC≌△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，∴∠N=∠AMC，又∵∠MFD=∠NFC，∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；（3）作GK⊥BC于K，∵∠EAC=15°，∴∠BAD=30°，∵∠ACM=60°，∴∠GCB=30°，∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，∠AMG=75°，∴AM=AG，∵△MAC≌△NBC，∴∠MAC=∠NBC，∴∠BDA=∠BCA=90°，∵BD=，∴AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，∴a+a=+1，∴a=1，∴KB=KG=1，BG=，AG=，∴AM=．8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a= 2，b= 2．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= 2，b= 2．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．解：（1）∵AH⊥BE，∠ABE=45°，∴AP=BP=AB=2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF=1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF==，∴AC=BC=2，∴a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=×4=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB=4，∠ABP=30°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为：2，2，2，2；（2）猜想：a2+b2=5c2，如图3，连接EF，设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=ccosα，由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，∴a2+b2=5c2；（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EF∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴∠EAH=∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=AD，BF=BC，∴AE=BF=CF=AD=，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=3，AP=PF，在△AEH和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH，∴EH=FH，∴EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，∴AF2=5﹣EF2=16，∴AF=4．9、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC 于点P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，在△ABC和△CDA中，∴BP=DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ，∴四边形BDQP为矩形，∴BD=PQ=AC﹣AP﹣CQ==．综上所述，BD的长为4或10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．解答：（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．∵α=90°，∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，∴∠APP1=∠BPP2=45°，∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°；（2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣，∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°）=α，在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，又∵∠PP2P1=∠AP2P，∴△P2P1P∽△P2PA．（3）证明：如图，连接QB．∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线，∴EB=BP，FB=BP2．又BP=BP2，∴EB=FB．在Rt△QBE和Rt△QBF中，，∴Rt△QBE≌Rt△QBF，∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=，由中垂线性质得：QP=QB，∴∠QPB=∠QBE=，由（2）知∠APP1=90°﹣，∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣）=90°，即 P1P⊥PQ．11、两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC 沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x （cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x= 15 cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．，在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得BC==6．在Rt△BCG中，BG=BC•cos30°=9．四边形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案为：15；（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．，∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DG•BG=×x×x=x2②当6≤x＜12时，如图3所示．，BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．重叠部分的面积为y=S△BDG ﹣S△BEH=DG•BG﹣BE•EH，即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）化简，得y=﹣x2+2x﹣6；③当12＜x≤15时，如图4所示．，AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），重叠部分的面积为y=S△ABC ﹣S△BEG=AC•BC﹣BE•EG，即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），化简，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；综上所述：y=；（3）如图5所示作NG⊥DE于G点．（4），点M在NG上时MN最短，NG是△DEF的中位线，NG=EF=．MB=CB=3，∠B=30°，MG=MB=，MN最小=3﹣=．12、已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．解：（1）①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN．理由如下：在△ADN与△ABM中，，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，∴∠NAD=∠MAB=（360°﹣135°﹣90°）=67.5°，作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°．在△ADN与△AEN中，，∴△ADN≌△AEN（AAS），∴DN=EN，∵BM=DN，MN=2EN，∴MN=BM+DN．故答案为MN=BM+DN；②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM与△ANP中，，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；（2）如图3，以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDA=∠DBA=45°，∴∠MDA=∠NBA=135°．∵∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，∴∠1=∠3．在△ANB与△MAD中，，∴△ANB∽△MAD，∴=，∴AB2=BN•MD，∵AB=DB，∴BN•MD=（DB）2=BD2，∴BD2=2BN•MD，∴MD2+2MD•BD+BD2+BD2+2BD•BN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MD•BD+2BD•BN+2BN•MD，∴（MD+BD）2+（BD+BN）2=（DM+BD+BN）2，即MB2+DN2=MN2，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．13、已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB= ，PC= 2 ；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为PA2+PB2=PQ2；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）解：（1）如图①：①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+∴AB===+，∵PA=，∴PB=，作CD⊥AB于D，则AD=CD=，∴PD=AD﹣PA=，在RT△PCD中，PC==2，故答案为，2；②如图1．∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB．∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DC•PD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC •PD+PD2∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，∴AP2+BP2=2PC2．∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2=PQ2．∴AP2+BP2=PQ2（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB．∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC•PD+PD2，PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DC•PD+PD2，∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，∴AP2+BP2=2PC2．∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2=PQ2．∴AP2+BP2=PQ2．（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．①当点P位于点P处时．1∵，∴．∴．D中，由勾股定理得：==DC，在Rt△CP1在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，∴=．处时．②当点P位于点P2∵=，∴．D中，由勾股定理得：==，在Rt△CP2在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC，∴=．综上所述，的比值为或已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．。

2020-2021中考数学备考之直角三角形的边角关系压轴突破训练∶培优易错试卷篇含答案(1)一、直角三角形的边角关系1．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB 的最小值：如图作点B 关于CD 的对称点E ，连接AE 交CD 于点P ，此时PA+PB 最小，且等于A ．作直径AC′，连接C′E ，根据垂径定理得弧BD=弧DE ．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC 为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=22． ∴AP+BP 的最小值是22．（2）首先在斜边AC 上截取AB′=AB ，连接BB′，再过点B′作B′F ⊥AB ，垂足为F ，交AD 于E ，连接BE ，则线段B′F 的长即为所求．2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP = 【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠．在AOP ∆和ODQ ∆中， {OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<；（3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE=1cm ．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN 为边在BC 的上方作正方形MNGH ．点M 到达点D 时停止运动，点N 到达点C 时停止运动．设运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，点G 刚好落在线段AD 上？（2）设正方形MNGH 与Rt △ABC 重叠部分的图形的面积为S ，当重叠部分的图形是正方形时，求出S 关于t 的函数关系式并写出自变量t 的取值范围．（3）设正方形MNGH 的边NG 所在直线与线段AC 交于点P ，连接DP ，当t 为何值时，△CPD 是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s 或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.4．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米．【解析】【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离.【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米，在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BN DN =≈o米， ∴215.6MN MD DN AB =+=≈米即A ，B 两点之间的距离约为215.6米．【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.5．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C ，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .(Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标；(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H .①求证BDE DBA ∆≅∆；②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒.【解析】【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，225OB OA AB +=，过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ，∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =， ∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-，在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=.∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF 为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB ，FO ⊥AB ，∴OA=12AB=2， ∴cos ∠BAF=OA AF =12， ∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时， 同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.6．如图，已知，在O e 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且»»AC BD=. （1）求证：AB CD =；（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；（3）如图，在（2）的条件下，点P 在»CG上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O e 的半径的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O e 10.【解析】【分析】(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论； （3）如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，求出22FL =HM n =，则有22LK KG ==，2222FK FL LK n =+=，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，KG HF FK HM=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 10．【详解】 解：（1）证明：∵»»AC BD =，∴»»»»AC CBBD CB +=+， ∴»»AB CD =，∴AB CD =.（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，∴90AJO DQO ∠=∠=︒，1122AJ AB CD DQ ===， 又∵AO DO =，∴AOJ DOQ ∆≅∆，∴OJ OQ =，又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥，∴EO 平分AED ∠.（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒，由（2）知，1452AEF AED ∠=∠=︒， 如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =， 在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒，∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =，在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+，22FL =设HM n =，2HL MG ==，∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==，在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+，22LK KG n ==，2222FK FL LK n =+=+， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠，∵1452AEF AED ∠=∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒，∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠，∴tan tan KFG HMF ∠=∠，∴KG HF FK HM =，∴2222222n nn =+，4n =， ∴6HG HM MG =+=，在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+，210FG =，10FO =.即O e 的半径的长为10.【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．7．如图，直线y ＝12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为 C ．（1）求抛物线的解析式； （2）根据图象，直接写出满足12x +2≥﹣12x 2+bx +c 的x 的取值范围； （3）设点D 为该抛物线上的一点、连结AD ，若∠DAC ＝∠CBO ，求点D 的坐标．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）当x ≥0或x ≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y ＝12x +2求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x 的取值范围；（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，先求出CO ＝1，AO ＝4，再由∠DAC ＝∠CBO ，得出tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，从而有，DE CO AE BO =,最后分类讨论确定点D 的坐标． 【详解】解：（1）由y ＝12x +2可得： 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，0），B （0，2），把A 、B 的坐标代入y ＝﹣12x 2+bx +c 得： 322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--+ （2）当x ≥0或x ≤﹣4时，12x +2≥﹣12x 2+bx +c （3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ， 由213222y x x =-+令y ＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，∴CO ＝1，AO ＝4，设点D 的坐标为（m ，213222m m --+）， ∵∠DAC ＝∠CBO ，∴tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，∴在Rt △ADE 和Rt △BOC 中有DE CO AE BO =， 当D 在x 轴上方时，213212242--+=+m m m 解得：m 1＝0，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D 的坐标为（0，2）．当D 在x 轴下方时，213(2)12242---+=+m m m解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'10，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，∴FN＝t，F'N＝3t，∵MH'＝FN＝t，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中， 43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10t ，∵PF ＝310，∴PF'＝10t ﹣310，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．9．如图1，以点M （－1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－x －与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得10．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中， ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFH ≌△ABE （AAS ），∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH ，∵∠FHC ＝90°，∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，∴EH ＝AD ＝BC ＝8，∴CH ＝BE ， ∴EH FH FH AB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．11．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；②求出使为直角三角形时的值；（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．【答案】（1），；（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为3或；（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.【解析】【分析】（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝−3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．【详解】解：（1）把点坐标代入直线表达式，解得：，则：直线表达式为：，令，则：，则点坐标为，将点的坐标代入二次函数表达式得：，把点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的解析式为：，故：答案为：，；（2）①∵在线段上，且轴，∴点，，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，有最大值是3，②当时，点的纵坐标为-3，把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），∴；当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，设：直线的表达式为：，把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），当时，不合题意舍去，故：使为直角三角形时的值为3或；（3）∵，，在中，，则：，，∵轴，∴，若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点，点的坐标为，设：点坐标为：，则：，过点作的平行线，则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，解得：过点直线表达式为：，将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，，将代入上式并整理得：，解得：，则点的坐标为，则：点坐标为，则：，∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：，解得：，则点、的横坐标分别为，，作交直线于点，则，作轴，交轴于点，则：，，，则：，同理：，故：点，，，构成的四边形的面积为：6或或.【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过△＝0，确定图中N点的坐标．。

2021年中考九年级数学第三轮冲刺：三角形压轴题专题复习训练（含答案）1、如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．2、已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．3、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．4、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN=√2AM．5、如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q 同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．6、如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．7、如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=，请直接写出线段AD和DF的长．8、阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A 1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．9、如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．【问题引入】（1）若点O是AC的中点， =，求的值；温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．【探索研究】（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：=1；【拓展应用】（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若=， =，求的值．10、如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．（1）求证：BD=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．11、我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．（3）应用拓展：如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．13、在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC=n，M是BC上一点，连接AM．（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN．（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q．①如图2，若n＝1，求证：CPPQ =BMBQ．②如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值．（用含n的式子表示）14、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A 出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC 于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x= ；（2）当点M落在AD上时，x= ；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．。