初三数学培优试题(含答案)

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则方程的解为：A. x = 2，x = 3B. x = 1，x = 6C. x = 2，x = 4D. x = 3，x = 52. 下列函数中，是奇函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^43. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 40°，则∠B = ∠C = °。

4. 下列命题中，正确的是：A. 平行四边形的对角线互相平分B. 等腰三角形的底角相等C. 直角三角形的两条直角边相等D. 矩形的对边平行且相等5. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，则a^2 + b^2 + c^2的值为：6. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a、b、c的值分别为：7. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点为B，则点B的坐标为：8. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且BC = 6，AD是BC边上的高，则AD的长度为：9. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2x + 1B. 2x < 3x - 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 2x ≤ 3x - 110. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 27，b^2 = ac，则a、b、c的值分别为：二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2 = ，x1x2 = 。

12. 函数y = 2x - 3的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为（），（）。

13. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 45°，则∠B = ∠C = °。

14. 下列命题中，正确的是：平行四边形的对角线互相平分，等腰三角形的底角相等，矩形的对边平行且相等。

九年级数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、选择题1．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（－2，－1）C ．（2，1）D ．（2，－1）2．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．454．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( ) A ．5 B ．2 C ．5或2 D ．2或7－1 5．一元二次方程x 2＝9的根是（ ）A ．3B ．±3C ．9D ．±9 6．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1 B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜17．把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）A ．22(3)2y x =-+B ．22(3)2y x =++C ．22(3)?2y x =-D ．22(3)?2y x =+8．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）A ．73B ．234+C ．1433D ．22339．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）A ．25°B ．40°C ．45°D ．50°12．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．110°二、填空题13．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ． 14．已知∠A ＝60°，则tan A ＝_____． 15．一元二次方程290x 的解是__．16．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为_____km ．17．抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______. 18．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则tan ADC ∠=______．19．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．20．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．21．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.22．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．23．23x +x 这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x +3＝x 2，解得x 1＝3，x 2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x 1＝39＝3满足题意；当x2＝﹣1时，1＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上x ＝1的解为_____．经验，则方程x+524．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=110°，则∠BOD等于________°.三、解答题25．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，求：（1）cosA；（2）当AB＝4时，求BC的长.26．我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4.试判断点D是不是△ABC 边AB上的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB=5，AC=4.若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2 的图象与x 轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时y﹤0 ?（2）点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，23）、D（0，33），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是；②当点Q与点A重合时，点P的坐标为；（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围．29．抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．（1）求b、c的值；（2）画出抛物线的简图并写出它与y轴的交点C的坐标；（3）根据图象直接写出：点C关于直线x＝2对称点D的坐标；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为（用含m、n的式子表示）．30．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：数量/条平均每条鱼的质量/kg第1次捕捞20 1.6（1）求样本中平均每条鱼的质量；（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x （kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．31．已知二次函数y＝x2+bx+c的函数值y与自变量x之间的对应数据如表：（1）求b、c的值；（2）当x取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？32．A箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5；现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片，请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）两张卡片上的数字恰好相同的概率．（2）如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k）．2．A解析：A 【解析】 【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙 故选：A 【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．3．B解析：B 【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是25. 故选B. 考点：概率.4．D解析：D 【解析】 【分析】分AC 为斜边和BC 为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长. 【详解】第一情况：当AC 为斜边时，如图，设⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD ⊥AC, OE ⊥BC,OF ⊥AB,且OD=OE=OF=r, 在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，由勾股定理得，10AC == ,∵=++ABCAOCBOCAOBS SSS,∴11112222AB BC AB OF BC OE AC OD , ∴11116868102222r r r , ∴r=2.第二情况：当BC 为斜边时，如图，设⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD ⊥BC, OE ⊥AC,OF ⊥AB,且OD=OE=OF=r, 在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，由勾股定理得，2227ACBC AB , ∵=++ABCAOCBOCAOBS SSS,∴11112222AB AC AB OF BC OD AC OE , ∴111162768272222r r r , ∴r=71- .故选：D. 【点睛】本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.5．B解析：B 【解析】 【分析】两边直接开平方得：3x =±，进而可得答案． 【详解】 解：29x =，两边直接开平方得：3x =±， 则13x =，23x =-． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题一般要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成2(0)x a a =的形式，利用数的开方直接求解．6．D解析：D 【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根， ∴()2240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．A解析：A 【解析】将二次函数22y x =的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：22(3)2y x =-+.故选A.8．C解析：C 【解析】 【分析】由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题． 【详解】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点， ∴易证AE ⊥BC ， ∵A 、C 关于BD 对称， ∴PA ＝PC ， ∴PC +PE ＝PA +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长． 观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6， ∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，∴在Rt △AEB 中，BE ＝∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝23， ∵BC ∥AD ， ∴AD PDBE PB= ＝2， ∵BD ＝43， ∴PD ＝2834333⨯=， ∴点H 的横坐标b ＝83， ∴a +b ＝8314323+=； 故选C ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．A解析：A 【解析】 【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数． 【详解】 连接AC ，如图， ∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=， ∵70ACB ADB ︒∠=∠=， ∴907020ABC ︒︒︒∠=-=． 故答案为20︒． 故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．10．C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．B解析：B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．【详解】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．12．C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠D=100°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题13．a＞0．【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．解析：a＞0．【解析】试题分析：∵方程20+=没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．x a考点：根的判别式．14．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tanA=tan60°=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tan A=tan60°．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．15．x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵∴=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一解析：x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】x-=∵290∴2x=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 16．15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离解析：15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离AB=3cm ，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，∴A 、B 两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km ，故答案为15．【点睛】此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．17．(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，解析：(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：2(-1)3y x =+的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解决此题的关键.18．【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=求得所求的值了.详解：∵AB 是 解析：34【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=AC BC 求得所求的值了. 详解：∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴4=，∴tan ∠ABC=34AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ， ∴tan ∠ADC=34. 故答案为：34. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.19．60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC ＝＝10（cm ），∴圆锥的侧面积是：（解析：60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC ＝222268OB OC +=+＝10（cm ），∴圆锥的侧面积是：12610602r l rl ππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm 2）． 故答案为：60π．【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 20．【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再解析：4223-【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．【详解】解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D∵2OP =，6OQ =，∴PQ=OQ －OP=4根据垂径定理，PN=122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4在Rt △OND 中，∠O=45°∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r∵圆C 与OB 相切于点M ，∴∠CMD=90°∴△CMD 为等腰直角三角形∴CM=DM=r ，=∴NC=ND －CD=4根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2即()22242r -+=解得：12r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）故答案为：．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．21．（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）． 解析：（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A ′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）． 22．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4，解得74m=-，724->-，∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，解得m=所以m=，③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．23．x＝﹣1【解析】【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【详解】解：将x移到等号右边得到：＝1﹣x，两边平方，得x+5＝1﹣2x解析：x＝﹣1【解析】【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【详解】解：将x1﹣x，两边平方，得x+5＝1﹣2x+x2，解得x1＝4，x2＝﹣1，检验：x＝4时，＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解，当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．24．140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．解析：140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．三、解答题25．（1）2；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定得到△ABC为等腰直角三角形，则∠A=45°，然后利用特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据∠A的正弦求解即可.【详解】∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A=∠B=45°，∴cosA=cos45°=2，∴BC=A B sin A，【点睛】本题考查解直角三角形及等腰直角三角形的判定，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键.26．（1）是，理由见解析；（2）125；（3）D（0,42）或D（0,6）【解析】【分析】（1）依据边长AC=AB=4，D是边AB的中点，得到AC2=AD AB，可得到两个三角形相似，从而得到∠ACD=∠B；(2)由点D是△ABC的“理想点”，得到∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，分两种情况证明均得到CD ⊥AB ，再根据面积法求出CD 的长；(3)使点A 是B ，C ，D 三点围成的三角形的“理想点”，应分两种情况讨论，利用三角形相似分别求出点D 的坐标即可.【详解】（1）D 是△ABC 边AB 上的“理想点”，理由：∵AB=4，点D 是△ABC 的边AB 的中点，∴AD=2，∵AC 2=8，8AD AB •=，∴AC 2=AD AB ，又∵∠A=∠A ，∴△ADC ∽△ACB ， ∴∠ACD=∠B ，∴D 是△ABC 边AB 上的“理想点”.（2）如图②，∵点D 是△ABC 的“理想点”，∴∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A,当∠ACD=∠B 时，∵∠ACD+∠BCD=90︒，∴∠BCD+∠B=90︒，∴∠CDB=90︒，当∠BCD=∠A 时，同理可得CD ⊥AB ，在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90︒,AB=5，AC=4，∴222254AB AC -=-=3， ∵1122AB CD AC BC ⋅=⋅, ∴1153422CD , ∴125CD =. （3）如图③，存在.过点A作MA⊥AC交CB的延长线于点M，∵∠MAC=∠AOC=90︒,∠ACM=45︒，∴∠AMC=∠ACM=45︒，∴AM=AC,∵∠MAH+∠CAO=90︒,∠CAO+∠ACO=90︒,∴∠MAH=∠ACO,∴△AHM≌△COA∴MH=OA,OC=AH,设C（a，0），∵A(0，2),B(0，-3),∴OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，∵MH∥OC,∴MH BH OC OB，∴253aa，解得a=6或a=-1（舍去），经检验a=6是原分式方程的解，∴C（6,0），OC=6.①当∠D1CA=∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”，设D1(0，m)，∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B,∴△D1AC∽△D1CB,∴2111CD D A D B,∴226(2)(3)m m m，解得m=42，∴D1(0，42)；②当∠BCA=∠CD 2B 时，点A 是△BCD 2“理想点”，可知：∠CD 2O=45︒，∴OD 2=OC=6，∴D 2（0,6）.综上，满足条件的点D 的坐标为D （0,42）或D （0,6）.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，通过证明三角形相似得到点是三角形某条边上的“理想点”，通过点是三角形的“理想点”，从而证明出三角形相似，由此得到点的坐标，相互反推的思想的利用，注意后者需分情况进行讨论.27．（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1234(5,0),(1,0),(2(2--Q Q Q Q【解析】【分析】（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数解析式为24233y x x =--+. 由图像可知，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； 综上：二次函数解析式为24233y x x =--+，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； （2）设点P 坐标为224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，如图连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N.PM=224233m m --+，PN=m -，AO=3. 当x 0=时，24y 002233=-⨯-⨯+=，所以OC=2 111222PAC PAO PCO ACO SS S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()221241132232323322m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭， ∵a 10=-<∴函数23PAC Sm m =--有最大值， 当()33m 212-=-=-⨯-时，PAC S 有最大值，此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 所以存在点35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△ACP 面积最大. （3）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形①若CM 平行于x 轴，如下图，有符合要求的两个点12Q Q 、，此时1Q A =2.Q A CM =∵CM ∥x 轴，∴点M 、点C （0,2）关于对称轴x 1=-对称，∴M （﹣2,2），∴CM=2.由1Q A=22Q A CM==，得到12(5,0),(1,0)--Q Q；②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2My=-.设M（x，﹣2），则有242=233--+-x x，解得：x17=-又QG=3,∴327Q Gx x=+=∴34(27,0),(27,0)Q Q综上所述，存在点P使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为：1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q.【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.28．（1）①（6，33，332）))))243430331333352322335939xxx x xSx xxx+≤≤⎪⎪-+-<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎪⎪>⎪⎩【解析】【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案． 【详解】 解：（1）①∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，∵A （6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）；②如图1：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，∵∠PQO=60°，D （0，33），∴PE=33，∴AE=3tan 60PE =， ∴OE=OA-AE=6-3=3，∴点P 的坐标为（3，33）；故答案为：①（6，23），②（3，33）；（2）①当0≤x ≤3时，如图，OI =x ，IQ =PI •tan 60°=3，OQ =OI +IQ =3+x ；由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，∴31333EF PE DC OQ PO DO ====， ∴EF =133+x （） 此时重叠部分是梯形，其面积为：S 梯形=12（EF +OQ ）•OC =433（3+x ） ∴43433x S =+． 当3＜x ≤5时，如图AQ =OI +IO -OA =x +3-6=x -3AH =3(x -3)S=S 梯形﹣S △HAQ =S 梯形﹣12AH •AQ =433（3+x ）﹣23x （-3） ∴231333232S x x =-+-． ③当5＜x ≤9时，如图∵CE ∥DP∴CO CE DO DP = ∴2333CE x= ∴23CE x = 263BE x =-S=12（BE +OA ）•OC 312﹣23x ） ∴23123S x =+． ④当x ＞9时，如图∵AH ∥PI ∴AO AH OI PI= ∴633x =∴183AH = S=12543． 综上：243430333133335231235935439x x x x x S x x x ⎧+≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪⎪>⎪（）（）（）（）．【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．29．（1）b ＝4，c ＝﹣4；（2）见解析，(0，﹣4)；（3）(4，﹣4)，(4﹣m ，n)【解析】【分析】（1）根据图象写出抛物线的顶点式，化成一般式即可求得b 、c ；（2）利用描点法画出图象即可，根据图象得到C （0，﹣4）；（3）根据图象即可求得．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为（2，0），∴抛物线为y ＝﹣（x ﹣2）2＝﹣x 2+4x ﹣4，∴b ＝4，c ＝﹣4；（2）画出抛物线的简图如图：点C的坐标为（0，﹣4）；（3）∵C（0，﹣4），∴点C关于直线x＝2对称点D的坐标为（4，﹣4）；若E（m，n）为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为（4﹣m，n），故答案为（4，﹣4），（4﹣m，n）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及其对称性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.30．（1）1.78kg；（2）8900kg；（3）y＝14x，0≤x≤8900．【解析】【分析】（1）根据平均数的公式求解即可；（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．【详解】（1）样本中平均每条鱼的质量为20 1.615 2.015 1.81.78201515⨯+⨯+⨯=++（kg）．（2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg，∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝8900（kg）．（3）∵每千克的售价为14元，∴所求函数表达式为y＝14x，∵该种鱼的总质量约为8900kg，∴估计自变量x的取值范围为0≤x≤8900．【点睛】本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．31．（1）b=-4,c=5；（2）当x＝2时，二次函数有最小值为1【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据图象上点的坐标，可得出图象的对称轴及顶点坐标，即可得到答案．【详解】（1）把（0，5），（1，2）代入y =x 2+bx +c 得：512c b c =⎧⎨++=⎩， 解得：45b c =-⎧⎨=⎩， ∴4b =-，5c =；（2）由表格中数据可得：∵1x =、3x =时的函数值相等，都是2，∴此函数图象的对称轴为直线3122x +==， ∴当x =2时，二次函数有最小值为1．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．32．（1）29；（2）59． 【解析】【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验．列举出符合题意：“两张卡片上的数字恰好相同”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．（2）列举出符合题意：“两张卡片组成的两位数能被3整除”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可【详解】（1）由题意可列表：∴一共有9种情况，两张卡片上的数字恰好相同的有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好相同的概率是29； （2）由题意可列表：∴一共有9种情况，两张卡片组成的两位数能被3整除的有5种情况，∴两张卡片组成的两位数能被3整除的概率是5．9考点：列表法与树状图法．。

初三数学培优试题一学校： 班级： 姓名： 分数：一．选择题1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③()10y x x=-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，4）B ．（1，1）C ．（1，2）D ．（2，1）xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不．．在04x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是（ ）（A ）5a >或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或2a ≤-5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。

若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．P B A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）7.已知一组数据：12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。

九年级数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、选择题1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．30°或150°D ．45°或135°2．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ．B ．2C ．D ．3．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 5．抛物线y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是( )A ．(0，﹣1)B ．(﹣2，﹣1)C ．(2，﹣1)D ．(0，1)6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，点E 在AB 的延长线上，以A 为圆心，AE 为半径画弧，交AD 的延长线于点F ，且弧EF 经过点C ，则扇形AEF 的面积为（ ）A ．58π B ．58πC ．54πD ．54π 7．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．8．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ） A ．1：2B ．1：4C ．1：2D ．2：19．如图，四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=，AB AD =，4AC BC =，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．2225y x =B ．2425y x =C ．225y x =D ．245y x =10．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．911．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．2的相反数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-二、填空题13．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ．14．某同学想要计算一组数据105，103，94，92，109，85的方差20S ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去100，得到一组新数据5，3，－6，－8，9，－15，记这组新数据的方差为21S ，则20S ______21S （填“>”、“=”或“<”）. 15．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为__________ ．16．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．17．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．18．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).19．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.20．已知正方形ABCD 边长为4，点P 为其所在平面内一点，PD 5，∠BPD ＝90°，则点A 到BP 的距离等于_____．21．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．22．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ． 23．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．24．若函数y ＝（m +1）x 2﹣x +m （m +1）的图象经过原点，则m 的值为_____．三、解答题25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠ 的顶点为()2,0A -，且经过点()5,9B -与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC .（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）点P 为该抛物线上点C 与点B 之间的一动点.①若15PAB ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标. ②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ，连接BP延长交AD 于点N .试说明()DN DM DB +为定值.26．已知二次函数y ＝2x 2+bx ﹣6的图象经过点(2，﹣6)，若这个二次函数与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，求出△ABC 的面积．27．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A 、B 和点C 、D ，先用卷尺量得AB=160m ，CD=40m ，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．28．如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm ，开始的时候BD=1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动．（1）当点B 于点O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）三角板继续向右运动，当B 点和E 点重合时，AC 与半圆相切于点F ，连接EF ，如图2所示．①求证：EF 平分∠AEC ； ②求EF 的长．29．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-- 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）D 为直线AB 下方抛物线上一动点；①连接DO 交AB 于点E ，若DE ：OE=3：4，求点D 的坐标；②是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．30．解方程：3x 2﹣4x +1＝0．（用配方法解） 31．（问题呈现）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①，②，③；（理解运用）如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是ABC的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝；（变式探究）如图3，若点M是AC的中点，（问题呈现）中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．（实践应用）根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．32．如图示，AB是O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦⊥交射线AF于点AF.∠，过点D作DE AFAD平分BAF（1）求证：DE 与O 相切：（2）若8AE =，10AB =，求DE 长；（3）若10AB =，AF 长记为x ，EF 长记为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求出AF EF ⋅的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，连接OA 和OB ，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB ＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】 解：如图所示，连接OA ，OB ， 则OA ＝OB ＝3， ∵AB ＝2， ∴OA 2+OB 2＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°，∴劣弧AB 的度数是90°，优弧AB 的度数是360°﹣90°＝270°， ∴弦AB 对的圆周角的度数是45°或135°， 故选：D ． 【点睛】此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.2．D解析：D【解析】【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．将最大值为2n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，2m=-（n-1）2+5，n=52，∴m=11 8，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣2+52=12．3．C解析：C 【解析】【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.4．C解析：C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可. 【详解】解：∵顶点式y ＝a (x ﹣h )2+k ，顶点坐标是(h ，k )， ∴y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.6．B解析：B 【解析】 【分析】连接AC ，根据网格的特点求出r=AC 的长度，再得到扇形的圆心角度数，根据扇形面积公式即可求解. 【详解】连接AC ，则r=AC=22251=+ 扇形的圆心角度数为∠BAD=45°， ∴扇形AEF 的面积=()2455360π⨯⨯=58π故选B.【点睛】此题主要考查扇形面积求解，解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解. 【详解】已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 2、210 只有选项B 的各边为125B ．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.8．B解析：B【解析】【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，∴它们的面积比是：1：4．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．【详解】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC-AF=AC-DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=5x ， ∴y=S 四边形ABCD =S 梯形ACDE =12×（DE+AC ）×DF =12×（a+4a ）×4a =10a 2 =25x 2． 故选C ．【点睛】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．10．B解析：B【解析】【分析】先把这组数据按顺序排列：4，6，6，6，8，9，12，13，根据中位数的定义可知：这组数据的中位数是6，8的平均数．【详解】∵一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，∴这组数据的中位数是()6821427+÷÷==，故选：B ．【点睛】本题考查中位数的计算，解题的关键是熟练掌握中位数的求解方法：先将数据按大小顺序排列，当数据个数为奇数时，最中间的那个数据是中位数，当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数．11．D解析：D【解析】【分析】连接AO 、BO 、CO ，根据中心角度数＝360°÷边数n ，分别计算出∠AOC 、∠BOC 的度数，根据角的和差则有∠AOB ＝30°，根据边数n ＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO 、BO 、CO ，∵AC 是⊙O 内接正四边形的一边，∴∠AOC ＝360°÷4＝90°，∵BC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠BOC ＝360°÷6＝60°，∴∠AOB ＝∠AOC ﹣∠BOC ＝90°﹣60°＝30°，∴n ＝360°÷30°＝12；故选：D ．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．12．D解析：D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D ．二、填空题13．【解析】【分析】直接利用弧长公式进行计算．【详解】解：由题意得：=,故答案是：【点睛】本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 解析：53π 【解析】【分析】直接利用弧长公式180n R l π=进行计算． 【详解】解：由题意得：605180l π==53π,故答案是：53π 【点睛】 本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键．14．=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数解析：=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，它的平均数都加上或减去这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴2201S S =故答案为：=.【点睛】本题考查的知识点是数据的平均数与方差，需要记忆的是如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的方差不变，但平均数要变，且平均数增加这个常数．15．【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有： ，解得所以解析：16【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n °，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n ，解得360πn =所以22360S==16360360扇形π4πrπn16．y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再解析：y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．故答案为：y=-5（x+2）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．17．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵AB∥EF，∴△ABC∽△解析：1 6【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC ＝x ，则CE ＝1﹣x ，∵AB ∥EF ， ∴△ABC ∽△FEC∴AB EF ＝BC CE ， ∴12＝x 1x- 解得x ＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答. 18．>【解析】【分析】利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点，都在对称轴右侧的抛物线解析：>【解析】【分析】利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，∴1y ＞2y ．故答案为＞．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．19．（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）． 解析：（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A ′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）． 20．或【解析】【分析】由题意可得点P 在以D 为圆心，为半径的圆上，同时点P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP ，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【详解】解析：2或2【解析】【分析】由题意可得点P 在以D P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP ，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【详解】∵点P 满足PD∴点P 在以D∵∠BPD ＝90°，∴点P 在以BD 为直径的圆上，∴如图，点P 是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，∴BD＝2∵∠BPD＝90°，∴BP22BD PD-3，∵∠BPD＝90°＝∠BAD，∴点A，点B，点D，点P四点共圆，∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴AH＝HP，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴16＝AH2+（3AH）2，∴AH 335+AH335-，若点P在CD的右侧，同理可得AH＝3352，综上所述：AH＝3352或3352．【点睛】本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D5BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．21．【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴，∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出AB AE AD AC =，由此即可解决问题． 【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC=90°，∴AC ==∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠ADC ，∵∠E=∠C ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE AD AC =， ∴3AB =∴AB =故答案为：5 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．22．m≤且m≠1．【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥且m≠1.解析：m≤54且m≠1． 【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=240b ac -≥即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥34，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥34且m≠1. 23．【解析】 【分析】分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100 解析：9π 【解析】【分析】 分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算S S 半圆正方形即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100πcm 2，边长为30cm 的正方形ABCD 的面积=302=900cm 2，∴P （飞镖落在圆内）=100==9009S S ππ半圆正方形，故答案为：9π. 【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．24．0或﹣1【解析】【分析】根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】∵函数经过原点，∴m（m+1）＝0，∴m＝0或m ＝﹣1，故答案为0或﹣1．【点解析：0或﹣1【解析】【分析】根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可． 【详解】 ∵函数经过原点， ∴m （m +1）＝0， ∴m ＝0或m ＝﹣1， 故答案为0或﹣1． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道函数图象上的点满足函数解析式．三、解答题25．（1）244y x x =++；（2）①点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -；②()27DN DM DB +=，是定值. 【解析】 【分析】（1）设函数为()()220y a x a =+≠，把()5,9B -代入即可求解；（2）①先求出直线AB 解析式，求出C’点，得到ABC S ∆，再求出PAB S ∆，设点()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，得到()',36P x x --，根据三角形面积公式得()()213644332x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦，解出x 即可求解； ②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，表示出()22,P t t--，故2PE t=，根据//PE BD ，得APEAMD ∆∆，故PE DM AE DA =，即23t DMt =，得到3DM t =.再过P 作BD 的垂线，垂足为点F ，根据 相似三角形的性质得到93DN t=+，可得()DN DM DB +的值即为定值.【详解】（1）解：设()()220y a x a =+≠，把点()5,9B -代入，得()2952a =-+，解得1a =，∴该抛物线对应的函数表达式为()22244y x x x =+=++. （2）①设直线AB 的函数表达式为y kx b =+， 把()2,0A -，()5,9B -代入，得0295k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得36k b =-⎧⎨=-⎩.∴直线AB 的函数表达式为36AB y x =--.设直线AB 与y 轴交于点'C ，则点()'0,6C -，∴'10CC =.()15210152ABC S ∆=⨯-⨯=，1115355PAB ABC S S ∆∆==⨯=.设点()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，则()',36P x x --，∴()()213644332x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦， 13x =-，24x =-，所以点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -.②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，则()22,P t t --，2PE t=，由//PE BD ，得APEAMD ∆∆，PE DM AE DA =，即23t DMt =，故3DM t =. 过P 作BD 的垂线，垂足为点F ， 由//PF ND ，得BPF BND ∆∆，BF DB PF DN =，即2993t t DN-=-，故93DN t =+. 所以()()939273DN DM DB t t+=+=+，是定值.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质. 26．【解析】 【分析】如图，把（0，6）代入y ＝2x 2+bx ﹣6可得b 值，根据二次函数解析式可得点C 坐标，令y=0，解方程可求出x 的值，即可得点A 、B 的坐标，利用△ABC 的面积＝12×AB×OC ，即可得答案．【详解】 如图，∵二次函数y ＝2x 2+bx ﹣6的图象经过点(2，﹣6)， ∴﹣6＝2×4+2b ﹣6， 解得：b ＝﹣4，∴抛物线的表达式为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6； ∴点C （0，﹣6）； 令y ＝0，则2x 2﹣4x ﹣6=0， 解得：x 1＝﹣1，x 2=3，∴点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）， ∴AB=4，OC=6， ∴△ABC 的面积＝12×AB×OC ＝12×4×6＝12．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0，即可得出抛物线与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积． 27．该段运河的河宽为303m ． 【解析】 【分析】过D 作DE ⊥AB ，可得四边形CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH 与直角三角形BDE 中，设CH=DE=xm ，利用锐角三角函数定义表示出AH 与BE ，由AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：过D 作DE AB ⊥，可得四边形CHED 为矩形，40HE CD m ∴==，设CH DE xm ==，在Rt BDE ∆中，60DBA ∠=︒，3BE xm ∴=， 在Rt ACH ∆中，30BAC ∠=︒，3AH xm ∴=，由160AH HE EB AB m ++==，得到3340160x x ++=， 解得：303x =，即303CH m =， 则该段运河的河宽为303m ．【点睛】考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 28．（1）2s （2）①证明见解析，②33√ 【解析】试题分析：（1）由当点B 于点O 重合的时候，BO=OD+BD=4cm ，又由三角板以2cm/s 的速度向右移动，即可求得三角板运动的时间；（2）①连接OF ，由AC 与半圆相切于点F ，易得OF ⊥AC ，然后由∠ACB=90°，易得OF ∥CE ，继而证得EF 平分∠AEC ；②由△AFO 是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm ，可求得AF 的长，由EF 平分∠AEC ，易证得△AFE 是等腰三角形，且AF=EF ，则可求得答案． 试题解析：(1)∵当点B 于点O 重合的时候，BO=OD+BD=4cm ， ∴t=42=2(s)；∴三角板运动的时间为：2s ；(2)①证明：连接O 与切点F ，则OF ⊥AC ，∵∠ACE=90°， ∴EC ⊥AC ， ∴OF ∥CE ， ∴∠OFE=∠CEF ， ∵OF=OE ， ∴∠OFE=∠OEF ， ∴∠OEF=∠CEF ， 即EF 平分∠AEC ； ②由①知：OF ⊥AC ， ∴△AFO 是直角三角形， ∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm ，∴tan30°=3AF ， ∴， 由①知：EF 平分∠AEC ， ∴∠AEF=∠CEF=12∠AEC=30°， ∴∠AEF=∠EAF ，∴△AFE 是等腰三角形，且AF=EF ， ∴29．（1）A(-4，0)、B （0，-2）；（2）213y x-222x =+；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）． 【解析】 【分析】（1）在122y x =--中由0y =求出对应的x 的值，由x=0求出对应的y 的值即可求得点A 、B 的坐标；（2）把（1）中所求点A 、B 的坐标代入212y x bx c =++中列出方程组，解方程组即可求得b 、c 的值，从而可得二次函数的解析式；（3）①如图，过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，由此易得△DFE ∽OBE ，这样设点D 的坐标为213(m,2)22m m +-，点F 的坐标为1(m,2)2m --,结合相似三角形的性质和DE ：OE=3:4，即可列出关于m 的方程，解方程求得m 的值即可得到点D 的坐标；②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC ，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB ，则BD ∥AH ，再求出AH 的解析式可得BD 的解析式，由BD 的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D 的坐标． 【详解】解：（1）在122y x =--中，由0y =可得：1202x --=，解得：4x =-； 由0x =可得：2y =-，∴点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）；（2）把点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）代入212y x bx c =++得： 8402b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =+-；（3）①过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，设点D 213(m,2)22m m +-，F 1(m,2)2m --, 连接DO 交AB 于点E ，△DFE ∽OBE ， 因为DE ：OE=3：4， 所以FD ：BO=3：4，即：FD=34BO=32 ,所以21133m 222222FD m m ⎛⎫⎛⎫=---+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解之得： m 1=-1，m 2=-3 ，∴D 的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形， ∴∠BAH=2∠BAC ，若∠DBA=2∠BAC ，则∠DBA=∠BAH ， ∴AH//DB ，由点A 的坐标（-4，0）和点H 的坐标（0，2）求得直线AH 的解析式为：1y 22x =+， ∴直线DB 的解析式是：1y 22x =-, 将：2113y 2,y 2,222x x x =-=+-联立可得方程组：21y 2213y 222x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得：23x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点D 的坐标（-2，-3）．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，从而构造出△DFE ∽OBE ，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D 的坐标；解第3小题的关键是在x 轴的上方作OH=OB ，连接AH ，从而构造出∠BAH=2∠BAC ，这样由∠DBA=∠BAH 可得AH ∥BD ，求出AH 的解析式即可得到BD 的解析式，从而将问题转化成求BD 和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决． 30．x 1＝1，x 2＝13【解析】 【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解． 【详解】 3x 2﹣4x +1＝0 3（x 2﹣43x ）+1＝0 （x ﹣23）2＝19 ∴x ﹣23＝±13∴x 1＝1，x 2＝13【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．31．（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB ＝CD +BA ；证明见解析；（实践应用）． 【解析】 【分析】（问题呈现）根据圆的性质即可求解；（理解运用）CD ＝DB +BA ，即CD ＝6﹣CD +AB ，即CD ＝6﹣CD +4，解得：CD ＝5，即可求解；（变式探究）证明△MAB ≌△MGB （SAS ），则MA ＝MG ，MC ＝MG ，又DM ⊥BC ，则DC ＝DG ，即可求解；（实践应用）已知∠D 1AC ＝45°，过点D 1作D 1G 1⊥AC 于点G 1，则CG 1′+AB ＝AG 1，所以AG 1＝12（6+8）＝7．如图∠D 2AC ＝45°，同理易得AD 2． 【详解】（问题呈现）①相等的弧所对的弦相等 ②同弧所对的圆周角相等③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案为：1；（变式探究）DB＝CD+BA．证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，∵M是弧AC的中点，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；（实践应用）如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝12（6+8）＝7．所以AD1＝2．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD22．所以AD 的长为72或2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS ）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS ）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧. 32．（1）详见解析；（2）4；（3）252【解析】 【分析】（1）首先连接OD ，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出OD AE ∥，进而得出OD DE ⊥，即可得证；（2）首先连接BD ，得出AED ADB ∆∆∽，进而得出2A D A A E B =⋅，再根据勾股定理得出DE ；（3）首先连接DF ，过点D 作DG AB ⊥，得出AED AGD ∆∆≌，再得EDF GDB ∆∆≌，进而得出2AB AF EF =+，然后构建二次函数，即可得出其最大值. 【详解】（1）证明：连接OD ∵OD OA = ∴12∠=∠∵AD 平分BAE ∠ ∴13∠=∠ ∴32∠=∠ ∴OD AE ∥ ∵DE AF ⊥ ∴OD DE ⊥又∵OD 是O 的半径∴DE 与O 相切（2）解：连接BD ∵AB 为直径 ∴∠ADB=90° ∵13∠=∠ ∴AED ADB ∆∆∽。

九年级(上)数学培优检测（九）含参考答案数学试题（全卷满分： 150分；答卷时间：120分钟）一、选择题（本大题有7小题，每小题3分，共21分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．下列计算正确的是A.169+＝169+B. 2222=-C. (23)2＝6， D.5315315==2. 二次根式x -3有意义，则x 的取值范围是 A.3.3.,3.,3≥≤<>x D x C x B x3．投掷一个均匀的正六面体骰子，每个面上依次标有1、2、3、4、5和6． 掷得的数是“5”或是“6”的概率等于 A.41.31B C . 11.56D 4．方程232=-x x 的两根之和与两根之积分别是 A ．1和2，B . -1和-2 C. 1212D.3333---和和5. 关于x 的一元二次方程 x 2-2x +m =0没有实数根，则m 的取值范围是A. m >-1B. m <-1C. m >1D. m <16. 的值是则xx x x 1,71-=+A.3 B. 33-或 C. D. 55-或7. 已知在平面直角坐标系中，C 是x 轴上的点，点A(0,3)、B(6,5).则AC+BC 的最小值是 A .10 B. 8 C. 6 D. 102 二、填空题(本大题共10题，每小题4分，共40分).8.=-2)5( ．9. 2x －3x+（ ）=(-x )2．10. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则tan B ＝ . 11. 若53a b =，则=-bba ． 12．cos60°+3tan30°= .13．在比例尺为1:5 0000的地图上，量得A 、B 两地的距离为4厘米，则A 、B 两地的实际距离是 千米.14. 如图，O 是△ABC 的重心， AN 、CM 相交于点O ， 那么△MON 与△AOC 面积的比是____________．15.2x x 00,m n m nx m m ++=≠+是关于的方程的根，且则的值是 . 16．已知是整数，1632+n 则n 的最小整数值是 .17. 如图，△ABC 中，AB =8cm,AC =16cm,点P 从A 出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒3厘米的速度向A 运动。

九年级数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、选择题1．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（－2，－1）C ．（2，1）D ．（2，－1）2．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.3．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据： 组 别 1 2 3 4 5 6 7 分 值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是 A ．88，90 B ．90，90C ．88，95D ．90，954．已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定5．下列图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=α，则∠OBC 等于（ ）A ．180°﹣2αB ．2αC ．90°+αD ．90°﹣α7．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >> B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>8．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位9．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 7210．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，，则:ADE ABC S S ∆∆=（ ），A ．19 B ．14C ．16D ．13 11．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．2x ﹣3＝xB ．2x +3y ＝5C ．2x ﹣x 2＝1D ．17x x+= 12．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ） A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.386cmD ．7.64cm二、填空题13．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ． 14．正方形ABCD 的边长为4,圆C 半径为1，E 为圆C 上一点，连接DE ，将DE 绕D 顺时针旋转90°到DE’，F 在CD 上，且CF=3，连接FE’，当点E 在圆C 上运动，FE’长的最大值为____.15．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，D 是BC 上一点，CD ＝2，过点D 的直线l 将△ABC 分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC 相似，若直线l 与△ABC 另一边的交点为点P ，则DP ＝________．16．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______. 17．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．18．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．19．关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是19x =-，211x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则关于x 的方程2(3)0a x m b +++=的解是________． 20．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．21．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．22．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表 x … －1 0123 … y…－3 －3 －1 39…关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．23．若函数y ＝（m +1）x 2﹣x +m （m +1）的图象经过原点，则m 的值为_____． 24．若把一根长200cm 的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．三、解答题25．已知二次函数216y ax bx =++的图像经过点（-2，40）和点（6，-8），求一元二次方程2160ax bx ++=的根.26．已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．27．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CE ＝163，AB ＝6，求⊙O 的半径．28．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，E 是射线．．DC 上的点，连接AE ，将△ADE 沿直线AE 翻折得△AFE ．（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：△ABF ∽△FCE ；（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若DE ＝1，求△EFC 的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ．29．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图像经过点A （－1，0）、B （0，2）．（1）b ＝ （用含有a 的代数式表示），c ＝ ；（2）点O 是坐标原点，点C 是该函数图像的顶点，若△AOC 的面积为1，则a ＝ ； （3）若x ＞1时，y ＜5．结合图像，直接写出a 的取值范围．30．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB 宽10cm ，水最深3cm ，求输水管的半径．31．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在ABC 中，,90AB AC BAC ∠==,D 是ABC 外一点，且AD AC =,求BDC ∠的度数.若以点A为圆心，AB 为半径作辅助A ，则C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=________.（2）（问题解决）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=,25BDC ∠=,求BAC ∠的度数.（3）（问题拓展）如图3，,E F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =.连接交于点，连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交于点H ,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______.32．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）， ∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）． 故选：D ． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a （x-h ）2+k 顶点坐标是（h ，k ）．2．A解析：A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可． 【详解】由题意得：m ﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选A ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．3．B解析：B【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，90，90，90，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：90．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．故选B．4．B解析：B【解析】【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．5．A解析：A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的知识点是识别轴对称图形与中心对称图形，需要注意的是轴对称图形是关于对称轴成轴对称；中心对称图形是关于某个点成中心对称．6．D【解析】连接OC ，则有∠BOC=2∠A=2α， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ， ∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°， ∴2∠OBC+2α=180°， ∴∠OBC=90°-α， 故选D.7．D解析：D 【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ． 【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．9．B解析：B【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题； 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ， ∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ， ∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ， ∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6， ∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFCABCDS S =四边形, ∴1176824AGHEFCABCDSSS +=+=四边形=7∶24, 故选B. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．10．A解析：A 【解析】 【分析】根据DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，再结合相似比是AD ：AB=1：3，因而面积的比是1：9． 【详解】 解：如图：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴S△ADE：S△ABC=1：9．故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．11．C解析：C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；D、方程x+1x＝7是分式方程，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．12．A解析：A【解析】【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．【详解】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，∴书的宽约为20×0.618＝12.36cm．故选：A．【点睛】本题考查了黄金比例的应用，掌握黄金比例的比值是解题的关键．二、填空题13．a＞0．【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．解析：a＞0．【解析】试题分析：∵方程20+=没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．x a考点：根的判别式．14．【解析】【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.【详解】解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,由题可知,PF=4,DF=解析：171+【解析】【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.【详解】解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,由题可知,PF=4,DF=1,∴DP=22+=17,41∴FE’=171+,+故答案是：171【点睛】本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.15．1，，【解析】【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC 时求出相似三角形，进而得出结果．【详解】BC＝6,CD=2，∴BD=4,①如图解析：1，83，32【解析】【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．【详解】BC＝6,CD=2，∴BD=4,①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，∴PD CDAB BC=,∴236DP=,∴DP=1;②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．∴PD BDAC BC=,∴446DP=,∴DP=83;③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，∴DP DCAB AC=,∴234DP=,∴DP=32;④如图，当∠BPD=∠BAC 时，过点D 的直线l 与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。

九年级数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、选择题1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．30°或150°D ．45°或135°2．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒3．如图，等腰直角三角形ABC 的腰长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B 和A →C 的路径向点B 、C 运动，设运动时间为x (单位：s)，四边形PBC Q 的面积为y(单位：cm 2)，则y 与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知∠A ＝80°，则∠C 的度数是（ ）A ．40°B ．80°C ．100°D ．120°5．已知点O 是△ABC 的外心，作正方形OCDE ，下列说法：①点O 是△AEB 的外心；②点O 是△ADC 的外心；③点O 是△BCE 的外心；④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是（ ） A ．②④ B ．①③ C ．②③④D ．①③④6．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =7．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．128．若关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =，则方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=的解为（ ）A ．120,2x x ==B ．122,4x x =-=C ．120,4x x ==D ．122,2x x =-= 9．已知一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π- 11．若二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则c 应满足的条件是（ ） A ．c ＝0B ．c ＝1C ．c ＝0或c ＝1D ．c ＝0或c ＝﹣112．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ） A ．35B ．38C ．58D ．34二、填空题13．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ．若AC ＝2，则cosD ＝________.14．已知矩形ABCD ，AB=3,AD=5,以点A 为圆心，4为半径作圆，则点C 与圆A 的位置关系为 __________.15．数据2，3，5，5，4的众数是____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．17．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．18．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．19．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，D ，E 两点分别在边AC ，AB 上，且DE 与BC 不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）20．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.21．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).22．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.23．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．24．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．三、解答题25．某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t （件）与每件的销售价x （元）之间的函数关系为t=204-3x.（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y （元）与每件售价x （元）之间的函数关系式（毛利润=销售价-进货价）；（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．27．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于10cm ？(2)在(1)中，PQB ∆的面积能否等于27cm ？请说明理由.28．某玩具商店以每件60元为成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件. (1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？29．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下： 甲 10 6 10 6 8 乙79789经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2. （1）求乙进球的平均数和方差；（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？30．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，点P 在AmB 上运动（点P 不与点A 、B 重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y ． （1）⊙O 的半径为 ；（2）若点P 到直线AB 的距离为x ，求y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量x 的取值范围．31．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-- 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式；（3）D 为直线AB 下方抛物线上一动点；①连接DO 交AB 于点E ，若DE ：OE=3：4，求点D 的坐标；②是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．32．已知二次函数y＝ax2+bx﹣16的图象经过点（﹣2，﹣40）和点（6，8）．（1）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（2）当y＞0时，直接写出自变量x的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，则OA＝OB＝3，∵AB＝2，∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，故选：D．【点睛】此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.2．C解析：C 【解析】 【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD 的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解. 【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°, ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C. 【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.3．C解析：C 【解析】 【分析】先计算出四边形PBCQ 的面积，得到y 与x 的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可. 【详解】 由题意得： 22111448222y x x =⨯⨯-=-+(0≤x≤4)， 可知，抛物线开口向下，关于y 轴对称，顶点为（0，8）， 故选：C. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.4．C解析：C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠A=180°，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A=180°，∵∠A=80°，∴∠C=100°，故选：C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质的应用.熟记圆内接四边形对角互补是解决此题的关键. 5．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．【详解】解：如图，连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.6．D解析：D 【解析】 【分析】先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案． 【详解】 x 2﹣3x ＝0， x （x ﹣3）＝0， x 1＝0，x 2＝3， 故选：D ． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB ＝OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论． 【详解】解：连接OB ，OC ， ∵∠BAC ＝30°， ∴∠BOC ＝60°． ∵OB ＝OC ，BC ＝8， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB ＝BC ＝8． 故选：C.【点睛】本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．8．C解析：C 【解析】 【分析】设方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=中，1t x =-，根据已知方程的解，即可求出关于t 的方程的解，然后根据1t x =-即可求出结论． 【详解】解：设方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=中，1t x =- 则方程变为20at bt c ++=∵关于x 的方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =， ∴关于t 的方程20at bt c ++=的解为11t =-，23t =，∴对于方程2(1)(1)0a x b x c -+-+=，11x -=-或3 解得：10x =，24x =， 故选C ． 【点睛】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意由有唯一的众数4，可知x =4，然后根据中位数的定义求解即可． 【详解】∵这组数据有唯一的众数4， ∴x =4，∵将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4， ∴中位数为：3． 故选B ． 【点睛】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．众数是一组数据中出现次数最多的那个数.当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数.10．D解析：D 【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可． 【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，∴△ABC 的面积为12BC•AD=122⨯ S 扇形BAC =2602360π⨯=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣﹣， 故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键． 11．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与x 轴只有一个公共点或者与x 轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c 的值即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，∴二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与x 轴只有一个公共点或者与x 轴有两个公共点，其中一个为原点，当二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与x 轴只有一个公共点时，(﹣2)2﹣4×1×c ＝0，得c ＝1；当二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，则c ＝0，y ＝x 2﹣2x ＝x (x ﹣2)，与x 轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；由上可得，c 的值是1或0，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．12．B解析：B【解析】【分析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．【详解】因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是38．故选B．【点睛】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题13．【解析】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2 =6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形解析：1 3【解析】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA=ACAB=26=13．故答案为13．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．14．点C在圆外【解析】【分析】由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．【详解】解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，∴AC＝厘米，∵半径为4厘米，∴点C在圆A外【点解析：点C在圆外【分析】由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．【详解】解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，∴AC＝22+=厘米，3534∵半径为4厘米，∴点C在圆A外【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．15．5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案解析：5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案为：5．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．16．4【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【详解】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴在Rt△OBD中，OD==4．故答案为4．解析：4【解析】【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【详解】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴在Rt△OBD中，=4．故答案为4．【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．17．【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，∴解析：7 2【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,整理得，22410k k ， ∴21+22k k 2221k k k224k k224k k当21+22k k 时， 224k k142=-+ 72= 故答案为：72. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.18．【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.考点：概率公式．解析：【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为42=147. 考点：概率公式．19．∠B=∠1或【解析】【分析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A ，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可. 【详解】此题答案不唯解析：∠B=∠1或AE AD AC AB=【解析】【分析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.【详解】此题答案不唯一，如∠B=∠1或AD AE AB AC=．∵∠B=∠1，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；∵AD AEAB AC=，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；故答案为∠B=∠1或AD AE AB AC=【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题. 20．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD∥OE，∴∠C解析：16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD ∥OE ，∴∠CDA=∠OBA ，∴△AOB ∽△ECD ， ∴CE OA 16OA ,DE AB 220==， 解得OA=16．故答案为16． 21．>【解析】【分析】利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点，都在对称轴右侧的抛物线解析：>【解析】【分析】利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，∴1y ＞2y ．故答案为＞．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．22．2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求解析：2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF=BFOF=2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．23．【解析】【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．【详解】在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是2，故答案为：2．【点睛解析：【解析】【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．【详解】在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是2，故答案为：2．【点睛】此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．24．y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再解析：y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．故答案为：y=-5（x+2）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．三、解答题25．（1）y= -3x2+330x-8568；（2）每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【解析】【分析】（1）根据毛利润＝销售价−进货价可得y关于x的函数解析式；（2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况．【详解】（1）根据题意,y=(x-42)(204-3x)= -3x2+330x-8568；（2）y=-3x2+330x-8568= -3(x-55)2+507因为-3<0，所以x=55时，y有最大值为507.答：每件销售价为55元时，能使每天毛利润最大，最大毛利润为507元.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26．（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）点Q坐标为：(﹣2，2)或(﹣1或(﹣1)或(2，﹣2)．【解析】【分析】（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．【详解】（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得4202a b cca b c-+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得：112 abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．（2）如图，过点M作y轴的平行线交AB于点D，∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，解得：k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，∵MD∥y轴，∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB＝12 MD•OA＝12×2（m2﹣2m）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∵﹣2＜m＜0，∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．（3）设P（x，x2+x﹣2），①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，∵直线的解析式为y＝﹣x，则Q（x，﹣x），由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，即|﹣x2﹣2x+2|＝2，当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，∴Q（﹣2，2），当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣5x2＝﹣15∴Q（﹣51515，5②如图，当BO 为对角线时，OQ ∥BP ，∵直线AB 的解析式为y=-x-2，直线OQ 的解析式为y=-x ，∴A 与P 重合，OP ＝2，四边形PBQO 为平行四边形，∴BQ ＝OP ＝2，点Q 的横坐标为2，把x=2代入y ＝﹣x 得y=-2，∴Q （2，﹣2），综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，2）或（﹣515155（2，﹣2）．【点睛】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，熟练掌握二次函数的性质把运用分类讨论的思想是解题关键．27．(1)3秒后，PQ 的长度等于210(2)PQB 的面积不能等于27cm .【解析】（1）由题意根据PQ=BP 2+BQ 2=PQ 2，求出即可；（2）由（1）得，当△PQB 的面积等于7cm 2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；【详解】解：(1)设x 秒后，PQ =5BP x =-，2BQ x =，∵222BP BQ PQ +=∴()()(22252x x -+= 解得：13x =，21x =-(舍去)∴3秒后，PQ 的长度等于；(2)设t 秒后，5PB t =-，2QB t =，又∵172PQB S BP QB ∆=⨯⨯=，()15272t t ⨯-⨯=， ∴2570t t -+=，25417252830∆=-⨯⨯=-=-<，∴方程没有实数根，∴PQB ∆的面积不能等于27cm .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于27cm ”，得出等量关系是解决问题的关键．28．(1)每件玩具的售价为80元；(2)每件玩具的售价为85元时，每天盈利最多，最多盈利1250元.【解析】【分析】（1）根据题意，可以得到关于x 的一元二次方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【详解】解：(1)设每件玩具的售价为x 元，()()602021001200x x -+-=⎡⎤⎣⎦，解得：190x =，280x =，∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴80x =，答：每件玩具的售价为80元；(2)设每件玩具的售价为a 元时，利润为w 元，()()()2602021002851250w a a a =-+-=--+⎡⎤⎣⎦，即当85a 时，w 有最大值为1250元，答：当每件玩具的售价为85元时，商店每天盈利最多，最多盈利1250元.本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．29．（1）乙平均数为8，方差为0.8；（2）乙．【解析】【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答．【详解】（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8，乙进球的方差为：15[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=0.8；（2）∵二人的平均数相同，而S 甲2=3.2，S 乙2=0.8，∴S 甲2＞S 乙2，∴乙的波动较小，成绩更稳定，∴应选乙去参加定点投篮比赛．【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 21n=[（x 1x -）2+（x 2x -）2+…+（x n x -）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．30．（1）4；（2）y=2x ＋83π－＜4) 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到△AOB 是等边三角形，求出⊙O 的半径；（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H,先求出AH=BH=12AB=2，再利用勾股定理得出OH 的值，进而求解.【详解】（1）解：（1）∵∠APB=30°，∴∠AOB=60°，又OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴⊙O 的半径是4；（2）解：过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H则∠OHA ＝∠OHB ＝90°∵∠APB ＝30°∴∠AOB ＝2∠APB ＝60°∵OA=OB ，OH ⊥AB ∴AH=BH=12AB=2 在Rt △AHO 中，∠AHO ＝90°，AO ＝4，AH ＝2∴OH 22AO AH -3∴y ＝16×16 π－123＋12×4×x =2x ＋83π－3＜34).【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．31．（1）A(-4，0)、B （0，-2）；（2）213y x-222x =+；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）．【解析】【分析】 （1）在122y x =--中由0y =求出对应的x 的值，由x=0求出对应的y 的值即可求得点A 、B 的坐标； （2）把（1）中所求点A 、B 的坐标代入212y x bx c =++中列出方程组，解方程组即可求得b 、c 的值，从而可得二次函数的解析式；（3）①如图，过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，由此易得△DFE ∽OBE ，这样设点D 的坐标为213(m,2)22m m +-，点F 的坐标为1(m,2)2m --,结合相似三角形的性质和DE ：OE=3:4，即可列出关于m 的方程，解方程求得m 的值即可得到点D 的坐标；②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC ，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB ，则BD ∥AH ，再求出AH 的解析式可得BD 的解析式，由BD 的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D 的坐标．【详解】解：（1）在122y x =--中，由0y =可得：1202x --=，解得：4x =-； 由0x =可得：2y =-， ∴点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）；（2）把点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）代入212y x bx c =++得： 8402b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =+-； （3）①过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，设点D 213(m,2)22m m +-，F 1(m,2)2m --, 连接DO 交AB 于点E ，△DFE ∽OBE ，因为DE ：OE=3：4，所以FD ：BO=3：4，即：FD=34BO=32 , 所以21133m 222222FD m m ⎛⎫⎛⎫=---+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 解之得： m 1=-1，m 2=-3 ，∴D 的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形，∴∠BAH=2∠BAC ，若∠DBA=2∠BAC ，则∠DBA=∠BAH ，∴AH//DB ，由点A 的坐标（-4，0）和点H 的坐标（0，2）求得直线AH 的解析式为：1y 22x =+， ∴直线DB 的解析式是：1y 22x =-, 将：2113y 2,y 2,222x x x =-=+-联立可得方程组：21y 2213y 222x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得：23x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点D 的坐标（-2，-3）．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，从而构造出△DFE ∽OBE ，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D 的坐标；解第3小题的关键是在x 轴的上方作OH=OB ，连接AH ，从而构造出∠BAH=2∠BAC ，这样由∠DBA=∠BAH 可得AH ∥BD ，求出AH 的解析式即可得到BD 的解析式，从而将问题转化成求BD 和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决．32．（1）交点坐标为（2，0）和（8，0）；（2）2＜x ＜8【解析】【分析】（1）把点（﹣2，﹣40）和点（6，8）代入二次函数解析式得到关于a 和b 的方程组，解方程组求得a 和b 的值，可确定出二次函数解析式，令y ＝0，解方程即可；（2）当y ＞0时，即二次函数图象在x 轴上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可得结论．【详解】（1）由题意，把点（﹣2，﹣40）和点（6，8）代入二次函数解析式，得404216836616a b a b -=--⎧⎨=+-⎩， 解得：110a b =-⎧⎨=⎩， 所以这个二次函数的解析式为：21016y x x +=--，当y ＝0时，210160x x +--=，解之得：1228x x ＝，＝，∴这个二次函数图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（8，0）；（2）当y ＞0时，直接写出自变量x 的取值范围是2＜x ＜8．【点睛】本题考查待定系数法求解析式、二次函数图象与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．。

1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m.()()28.122.122=--x x028.06.12=+-x x()36.08.02=-x2.01=x ，4.12=x （舍去）答：花边的宽度是0.2 m.2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。

⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得[(600－10³(x －40))](x －30)＝10000解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时进台灯数为600－10³(x －40)＝200当x ＝50时600－10³(x －40)＝500⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为yy ＝［600－10（x －40）］²（x －30）答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。

⑵3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。

若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8,x =9, x =10不到50人一共4x +15＜50 所以x =8所以应该是4³8+15=47人4、某商场销售某种彩电，每台进价为2500元，市场调查表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每台降低50元时，平均每天就能多售出4台。

初三数学培优试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数不是实数？A. πB. -3C. √2D. i2. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π3. 已知a=3，b=2，求下列表达式的值：a^2 + b^2A. 13B. 17C. 19D. 214. 一个数的平方根等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 45. 下列哪个是二次方程的解？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 3（方程为：x^2 - 4x + 4 = 0）二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。

7. 一个正数的倒数是1/8，这个数是______。

8. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是______。

9. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______或______。

10. 一个二次方程的判别式是36，那么这个方程的根的情况是______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x^2 - 5x - 3 = 0。

12. 证明：如果一个三角形的两边长度分别为a和b，且a < b，那么这个三角形的周长P满足P > 2a。

13. 一个工厂每天可以生产x个产品，每个产品的成本是c元，销售价格是p元。

如果工厂每天的利润是y元，写出y关于x的函数表达式。

四、综合题（每题15分，共20分）14. 一个圆的半径是7，圆心到一个点A的距离是5。

如果点A在圆内，求点A到圆上任意一点B的距离的最大值和最小值。

15. 一个班级有50名学生，其中30名学生喜欢数学，20名学生喜欢英语。

如果一个学生至少喜欢一门科目，求这个班级中同时喜欢数学和英语的学生人数的范围。

答案：一、选择题1. D2. B3. C4. A5. D二、填空题6. 5（根据勾股定理）7. 8（倒数的定义）8. -3（立方根的定义）9. 5，-5（绝对值的定义）10. 有两个不相等的实数根（判别式的定义）三、解答题11. 解：2x^2 - 5x - 3 = 0，使用求根公式，得到x1 = (5 + √41) / 4，x2 = (5 - √41) / 4。

1. 若方程 2x-3=5 的解为 x=a，则 a 的值为（）A. 4B. 2C. 1D. -1答案：A解析：将方程两边同时加3，得到 2x=8，再将两边同时除以2，得到 x=4。

所以a=4。

2. 若 m、n 是方程 x^2-5x+6=0 的两个实数根，则 m+n 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，有 m+n=5。

3. 若等差数列 {an} 的前5项之和为 15，第3项为 3，则该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：设等差数列的公差为 d，则第3项 a3=a1+2d=3。

又因为前5项之和为 15，所以有 5a1+10d=15。

解得 d=1。

4. 若函数 y=2x+1 的图像上任意一点的横坐标为 x，则该点的纵坐标与 x 的关系为（）A. y=x+1B. y=2x+1C. y=2x-1D. y=x-1答案：B解析：由函数表达式可知，纵坐标 y 与横坐标 x 的关系为 y=2x+1。

5. 若 a、b、c 是等差数列 {an} 的前3项，且 a+b+c=12，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：设等差数列的公差为 d，则 a=b-d，c=b+d。

根据题意，有 b-d+b+b+d=12，解得 d=3。

关系为（）A. y=x+1B. y=|x-2|+3C. y=x-1D. y=x+3答案：B解析：由函数表达式可知，纵坐标 y 与横坐标 x 的关系为 y=|x-2|+3。

7. 若等比数列 {an} 的前4项之和为 24，第3项为 6，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：设等比数列的公比为 q，则第3项 a3=a1q^2=6。

又因为前4项之和为 24，所以有 a1+a1q+a1q^2+a1q^3=24。

解得 q=3。

8. 若 a、b、c 是等比数列 {an} 的前3项，且 a+b+c=12，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：A解析：设等比数列的公比为 q，则 a=b/q，c=bq。

九年级数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、选择题1．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋2x ＋1＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2＋2x －3＝02．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,3)D ．(3,0)3．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)3y x =+-D ．23(2)3y x =--4．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 内部5．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y => 6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD 等于（ ）A ．20°B ．40°C ．70°D ．80°7．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．16k ≤ B ．116k ≤ C ．1,16k ≤且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 8．在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．239．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）A ．25°B ．40°C ．45°D ．50°10．cos60︒的值等于（ ）A ．12B ．22C ．3D ．3 11．设A (﹣2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝﹣(x +1)2+m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 1＞y 3 12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数21y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．0,0a b ><D ．0,0a b <>二、填空题13．若m 是方程2x 2﹣3x ＝1的一个根，则6m 2﹣9m 的值为_____．14．将边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2cm .15．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为_____km ．16．在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽为________cm ．(结果保留根号)17．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣3m+2010的值为_____． 18．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．19．如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____．20．方程290x 的解为________.21．一组数据3，2，1，4，x 的极差为5，则x 为______. 22．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于_____．23．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表x… －1 0 1 2 3 … y … －3 －3 －1 39 … 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．24．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．三、解答题25．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像经过()0,3M ，()2,5N --两点.（1）求该函数的解析式；（2）若该二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点，求ABM ∆的面积；（3）若点P 在二次函数图像的对称轴上，当MNP ∆周长最短时，求点P 的坐标.26．如图，已知矩形ABCD 的边6AB =，4BC =，点P 、Q 分别是AB 、BC 边上的动点.（1）连接AQ 、PQ ，以PQ 为直径的O 交AQ 于点E .①若点E 恰好是AQ 的中点，则QPB ∠与AQP ∠的数量关系是______；②若3BE BQ ==，求BP 的长；（2）已知3AP =，1BQ =，O 是以PQ 为弦的圆.①若圆心O 恰好在CB 边的延长线上，求O 的半径： ②若O 与矩形ABCD 的一边相切，求O 的半径.27．已知二次函数218y x bx c =++（b 、c 为常数）的图像经过点()0,1-和点()4,1A . （1）求b 、c 的值； （2）如图1，点()10,C m 在抛物线上，点M 是y 轴上的一个动点，过点M 平行于x 轴的直线l 平分AMC ∠，求点M 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P 是抛物线上的一动点，以P 为圆心、PM 为半径的圆与x 轴相交于E 、F 两点，若PEF ∆的面积为26P 的坐标.28．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m 比赛，预赛分A 、B 、C 三组进行，运动员通过抽签决定分组．（1）甲分到A 组的概率为 ；（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．29．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m （m 为常数）的图像与x 轴相交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；（2）若点A 、B 位于原点的两侧，求m 的取值范围．30．如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交y 轴于点A (0，4)，交x 轴于点B (4，0)，点P 是抛物线上一动点，试过点P 作x 轴的垂线1，再过点A 作1的垂线，垂足为Q ，连接AP ．(1)求抛物线的函数表达式和点C 的坐标；(2)若△AQP ∽△AOC ，求点P 的横坐标；(3)如图2，当点P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q ′，请直接写出当点Q ′落在坐标轴上时点P 的坐标．31．某网店销售一种商品，其成本为每件30元.根据市场调查，当每件商品的售价为x 元（30x >）时，每周的销售量y （件）满足关系式：10600y x =-+.（1）若每周的利润W 为2000元，且让消费者得到最大的实惠，则售价应定为每件多少元？（2）当3552x ≤≤时，求每周获得利润W 的取值范围.32．如图①，抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知△ABC 的面积为6．（1）求这条抛物线相应的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使得∠POB ＝∠CBO ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，M 是抛物线上一点，N 是射线CA 上的一点，且M 、N 两点均在第二象限内，A 、N 是位于直线BM 同侧的不同两点．若点M 到x 轴的距离为d ，△MNB 的面积为2d ，且∠MAN ＝∠ANB ，求点N 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．【详解】A 、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；B 、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；C 、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；D 、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，故选D ．【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．2．C解析：C【解析】【分析】令x=0，则y=3，抛物线与y 轴的交点为（0，3）．【详解】解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y 轴的交点为（0，3），故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．3．A解析：A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ． 4．D解析：D【解析】【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d 的范围，进而得出d 与r 的数量关系，即可判断点P 和⊙O 的关系..【详解】解：∵关于x 的方程x 2 -2x+d=0有实根，∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d ≥0，解得d ≤1，∵⊙O 的半径为r=1,∴d ≤r∴点P 在圆内或在圆上.故选：D.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r 时，点在圆外，当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内.5．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．6．C解析：C【解析】【分析】连接OD ，根据∠AOD =2∠ACD ，求出∠AOD ，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】连接OD ．∵∠ACD =20°，∴∠AOD =2∠ACD =40°．∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ADO =12（180°﹣40°）=70°． 故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．7．C解析：C【解析】【分析】一元二次方程有实数根，则根的判别式∆≥0，且k≠0，据此列不等式求解．【详解】根据题意，得：∆=1-16k≥0且k≠0，解得：116k≤且k≠0．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意k≠0．8．C解析：C【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，最后根据概率公式计算即可．【详解】根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为612＝12；故选：C．【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率计算题，解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，9．B解析：B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．【详解】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．10．A解析：A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．【详解】解：cos60°=1 2 .故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值.11．B解析：B【解析】【分析】本题要比较y1，y2，y3的大小，由于y1，y2，y3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A点关于对称轴的对称点A'的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出y1，y2，y3的大小关系．【详解】∵抛物线y＝﹣（x+1）2+m，如图所示，∴对称轴为x＝﹣1，∵A（﹣2，y1），∴A点关于x＝﹣1的对称点A'（0，y1），∵a＝﹣1＜0，∴在x＝﹣1的右边y随x的增大而减小，∵A'（0，y1），B（1，y2），C（2，y3），0＜1＜2，∴y1＞y2＞y3，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．12．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A，B，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+1可知图象经过点（0，1），∵二次函数y=ax2+bx+1的图象还经过点A，B，则函数图象如图所示，抛物线开口向下，∴a＜0，，又对称轴在y 轴右侧，即02b a-> ， ∴b ＞0，故选D 二、填空题13．3【解析】【分析】把m 代入方程2x2﹣3x ＝1，得到2m2-3m=1，再把6m2-9m 变形为3（2m2-3m ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 是方程2x2﹣3x ＝1的一个根，解析：3【解析】【分析】把m 代入方程2x 2﹣3x ＝1，得到2m 2-3m=1，再把6m 2-9m 变形为3（2m 2-3m ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 是方程2x 2﹣3x ＝1的一个根，∴2m 2﹣3m ＝1，∴6m 2﹣9m ＝3(2m 2﹣3m)＝3×1＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．【解析】【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BENK 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK 、EN 的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如 解析：133【解析】【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BENK 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如图所示，∵四边形MEGH为正方形，∴NE GH∴△AEN~△AHG∴NE:GH=AE:AG∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4∴NE:4=5:9∴NE=20 9同理可求BK=8 9梯形BENK的面积：1208143 2993⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭∴阴影部分的面积：1413 3333⨯-=故答案为：13 3.【点睛】本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.15．15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离解析：15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，∴A、B两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km，故答案为15．【点睛】此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．16．()【解析】设它的宽为xcm．由题意得.∴ .点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约解析：(10)【解析】设它的宽为x cm．由题意得1x=.:202∴x= .10点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之，近似值约为0.618. 17．2019【解析】【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解解析：2019【解析】【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣1m＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴5m2﹣3m﹣1＝0，∴5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣1m＝3，∴15m﹣3m+2010＝3（5m﹣1m）+2010＝9+2010＝2019，故答案为：2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.18．40°【解析】：在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCQ，在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠解析：40°【解析】：在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCQ，在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°19．6+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两解析：63+π．【解析】【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连接AO ，则Rt △ADO 中，∠OAD ＝30°，OD ＝1，AD 3∴S △ADO ＝12OD •AD ＝32， ∴S 四边形ADOE ＝2S △ADO 3∵∠DOE ＝120°，∴S 扇形DOE ＝3π， ∴纸片不能接触到的部分面积为：333π）＝3﹣π ∵S △ABC ＝1233∴纸片能接触到的最大面积为： 33＝3+π．故答案为3．【点睛】此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式.20．【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这x=±解析：3【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．x=±．故答案为3【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．21．－1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．【详解】解：当x是最大值，则x-（1）=5，所以x=6；当x是最小值，解析：－1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．【详解】解：当x是最大值，则x-（1）=5，所以x=6；当x是最小值，则4-x=5，所以x=－1；故答案为－1或6．【点睛】本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同时注意分类的思想的运用．22．．【解析】【分析】根据概率公式计算概率即可．【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，∴朝上的数字为奇数的概率是＝；故答案为：．【点睛】解析：12．【解析】【分析】根据概率公式计算概率即可．【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，∴朝上的数字为奇数的概率是36＝12；故答案为：12．【点睛】此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键．23．－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3解析：－3【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得3 1 3ca b c a b c-=⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩，解得113abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y=x²+x-3,∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，∴x=122ba-±-±=，∵1x<0,∴1x=−1＜0，∵-4≤-3，∴322 -≤≤-，∴-3≤−1−2≤ 2.5-，∵整数k满足k＜x1＜k+1，∴k=-3，故答案为:-3．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.24．【解析】【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF 的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，解析：25 4【解析】【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．解：设BE ＝x ，CF ＝y ，则EC ＝5﹣x ，∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠FEC ＝90°，而∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEC ，∴Rt △ABE ∽Rt △ECF ，∴AB EC ＝BE CF， ∴55x -＝x y ， ∴y ＝﹣15x 2+x ＝﹣15（x ﹣52）2+54， ∵﹣15＜0， ∴x ＝52时，y 有最大值54， ∴CF 的最大值为54， ∴DF 的最小值为5﹣54＝154， ∴AF 的最小值＝22AD DF +＝221554⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝254， 故答案为254．【点睛】本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF 的最小值．三、解答题25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）6；（3）()1,1P【解析】【分析】（1）将M,N 两点代入2y x bx c =-++求出b,c 值，即可确定表达式；（2）令y=0求x 的值，即可确定A 、B 两点的坐标，求线段AB 长，由三角形面积公式求解.（3）求出抛物线的对称轴，确定M 关于对称轴的对称点G 的坐标，直线NG 与对称轴的交点即为所求P 点，利用一次函数求出P 点坐标. 【详解】解：将点()0,3M ，()2,5N --代入2y x bx c =-++中得，3425c b c =⎧⎨--+=-⎩， 解得，23b c =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为2y x 2x 3=-++； （2）如图，当y=0时，2230x x -++=， ∴x 1=3,x 2= -1, ∴A(-1,0),B(3,0), ∴AB=4,∴S △ABM =14362⨯⨯= . 即ABM ∆的面积是6.（3）如图，抛物线的对称轴为直线2122b xa ， 点()0,3M 关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3), ∴PM=PG,连MG 交抛物线对称轴于点P ，此时NP+PM=NP+PG 最小，即MNP ∆周长最短. 设直线NG 的表达式为y=mx+n, 将N(-2,-5),G(2,3)代入得，2523m n m n -+=-⎧⎨+=⎩， 解得，21m n =⎧⎨=-⎩， ∴y=2m-1,∴P 点坐标为(1,1).【点睛】本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键. 如图，二次函数y=-x ²+bx+c 的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点. 26．（1）①2QPB AQP ∠=∠；②1.5；（2）①5；②53、255，35630、5. 【解析】 【分析】（1）①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ 为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明；②证明△PBQ ∽△QBA ，由对应边成比例求解； （2）①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分O 与矩形ABCD 的四边分别相切，画出图形，利用切线性质，由勾股定理列方程求解. 【详解】解：（1）①如图，PQ 是直径，E 在圆上， ∴∠PEQ=90°， ∴PE ⊥AQ, ∵AE=EQ, ∴PA=PQ, ∴∠PAQ=∠PQA,∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP , ∵∠QPB=2∠AQP .\②解：如图，∵BE=BQ=3，∴∠BEQ=∠BQE,∵∠BEQ=∠BPQ,∵∠PBQ=∠QBA,∴△PBQ∽△QBA,∴BP BQ BQ BA,∴3 36 BP,∴BP=1.5;（2）①如图， BP=3，BQ=1，设半径OP=r,在Rt△OPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2∴32+(r-1)2=r2，∴r=5,∴O的半径是5.②如图，O与矩形ABCD的一边相切有4种情况，如图1，当O与矩形ABCD边BC相切于点Q，过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形，设OP=OQ=r,则PK=3x,由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,解得，r=5 3 ,∴O半径为5 3 .如图2，当O与矩形ABCD边AD相切于点N，延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S，设OS=x，则ON=OP=OQ=3+x，设PS=BL=y,由勾股定理得，2222223331x x yx x y，解得125 2x（舍去），225 2x，∴ON=25 5,∴O半径为25 5.如图3，当O与矩形ABCD边CD相切于点M，延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作OH ⊥BC 于H ，设OH=BR=x ，设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y ， 由勾股定理得，2222223331y x y yx y ，解得163032x （舍去），263032x ，∴OM=35630, ∴O 半径为35630.如图4，当O 与矩形ABCD 边AB 相切于点P ，过O 作OG ⊥BC 于G,则四边形AFCG 为矩形，设OF=CG=x ，，则OP=OQ=x+4, 由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2, 解得，x=1, ∴OP=5, ∴O 半径为5.综上所述，若O 与矩形ABCD 的一边相切，为O 的半径53，2553，35630，5.【点睛】本题考查圆的相关性质，涉及圆周角定理，垂径定理，切线的性质等，综合性较强，利用分类思想画出对应图形，化繁为简是解答此题的关键.27．（1）0b =，1c =-；（2）()0,4M ；（3）()4,1P 或()4,1-或()0,1- 【解析】 【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b ，c 的二元一次方程组求解即可 (2) 过点C 作CD l ⊥，过点A 作AE l ⊥.证明△CMD 相似于△AME ，再根据对应线段成比例求解即可(3)根据题意设点P 的纵坐标为y ，首先根据三角形面积得出EF 与y 的关系，再利用勾股定理得出EF 与y 的关系，从而得出y 的值，再代入抛物线解析式求出x 的值，得出点坐标. 【详解】解：(1)把()4,1A 和()0,1-代入218y x bx c =++得：1241b c c =++⎧⎨-=⎩解方程组得出：01b c =⎧⎨=-⎩所以，0b =，1c =-(2)由已知条件得出C点坐标为2310,2C⎛⎫⎪⎝⎭，设()0,M n.过点C作CD l⊥，过点A作AE l⊥.两个直角三角形的三个角对应相等，∴CMD AME∆∆∽∴CD MDAE ME=∴2310214nn-=-∵解得：4n=∴()0,4M(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出，1262EF y⨯⨯=46EF=∵MP与PE都为圆的半径，∴MP=PE∴()2228y84()2EFy y++-=+整理得出，∴EF46=∵46EF=∴y=±1,∴当y=1时有，21118x=-，解得，x4=±；∴当y=-1时有，21118x-=-，此时，x=0∴综上所述得出P的坐标为：()4,1P或()4,1-或()0,1-【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.28．（1）13；（2）13【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出甲分到A组的概率；（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.【详解】解：（1）1 3（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)＝13．【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．29．（1）m＜1；（2）m＜0【解析】【分析】（1）根据题意可知一元二次方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac＞0然后利用根的判别式确定取值范围；（2）由题意得：x1x2＜0，即m＜0，即可求解；【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴相交于A、B两点则方程x2－2x＋m=0有两个不相等的实数根∴b2-4ac＞0，∴4-4m＞0，解得：m＜1；（2）∵点A、B位于原点的两侧则方程x2－2x＋m=0的两根异号，即x1x2＜0∵12cx x ma==∴m＜0【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目．30．(1)y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；(2)P的横坐标为134或114.(3)点P的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6).【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C 点坐标；(2)利用△AQP ∽△AOC 得到AQ ＝4PQ ，设P (m ，﹣m 2+3m +4)，所以m ＝4|4﹣(﹣m 2+3m +4|，然后解方程4(m 2﹣3m )＝m 和方程4(m 2﹣3m )＝﹣m 得P 点坐标； (3)设P (m ，﹣m 2+3m +4)(m ＞32)，当点Q ′落在x 轴上，延长QP 交x 轴于H ，如图2，则PQ ＝m 2﹣3m ，证明Rt △AOQ ′∽Rt △Q ′HP ，利用相似比得到Q ′B ＝4m ﹣12，则OQ ′＝12﹣3m ，在Rt △AOQ ′中，利用勾股定理得到方程42+(12﹣3m )2＝m 2，然后解方程求出m 得到此时P 点坐标；当点Q ′落在y 轴上，易得点A 、Q ′、P 、Q 所组成的四边形为正方形，利用PQ ＝PQ ′得到|m 2﹣3m |＝m ，然后解方程m 2﹣3m ＝m 和方程m 2﹣3m ＝﹣m 得此时P 点坐标． 【详解】解：(1)把A (0，4)，B (4，0)分别代入y ＝﹣x 2+bx +c 得41640c b c =⎧⎨-++=⎩，解得34b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4，当y ＝0时，﹣x 2+3x +4＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝4， ∴C (﹣1，0)；故答案为y ＝﹣x 2+3x +4；(﹣1，0)； (2)∵△AQP ∽△AOC ， ∴AQ PQAO CO∴=， ∴441AQ AO PQ CO ===，即AQ ＝4PQ ， 设P (m ，﹣m 2+3m +4)，∴m ＝4|4﹣(﹣m 2+3m +4|，即4|m 2﹣3m |＝m ， 解方程4(m 2﹣3m )＝m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝134，此时P 点横坐标为134； 解方程4(m 2﹣3m )＝﹣m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝114，此时P 点坐标为1175,416⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，点P 的坐标为(134，5116)或(114，7516)； (3)设()23,342P m m m m ⎛⎫-++>⎪⎝⎭， 当点Q ′落在x 轴上，延长QP 交x 轴于H ，如图2， 则PQ ＝4﹣(﹣m 2+3m +4)＝m 2﹣3m ， ∵△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q '，∴∠AQ ′P ＝∠AQP ＝90°，AQ ′＝AQ ＝m ，PQ ′＝PQ ＝m 2﹣3m ，∵∠AQ ′O ＝∠Q ′PH ， ∴Rt △AOQ ′∽Rt △Q ′HP ，∴AO AQ Q H PQ '''=，即243m Q H m m '=-，解得Q ′H ＝4m ﹣12， ∴OQ ′＝m ﹣(4m ﹣12)＝12﹣3m ， 在Rt △AOQ ′中，42+(12﹣3m )2＝m 2，整理得m 2﹣9m +20＝0，解得m 1＝4，m 2＝5，此时P 点坐标为(4，0)或(5，﹣6)； 当点Q ′落在y 轴上，则点A 、Q ′、P 、Q 所组成的四边形为正方形， ∴PQ ＝AQ ′， 即|m 2﹣3m |＝m ，解方程m 2﹣3m ＝m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝4，此时P 点坐标为(4，0)； 解方程m 2﹣3m ＝﹣m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝2，此时P 点坐标为(2，6)， 综上所述，点P 的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6)【点睛】本题考查了待定系数法，相似三角形的性质，解一元二次方程，三角形折叠，题目综合性较强，解决本题的关键是：①熟练掌握待定系数法求函数解析式；②能够熟练掌握相似三角形的判定和性质；③能够熟练掌握一元二次方程的解法；④理解折叠的性质.31．（1）售价应定为每件40元；（2）每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250元. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程即可求解；（2）根据题意列出二次函数，根据3552x ≤≤求出W 的取值. 【详解】解：（1）根据题意得()()30106002000x x --+=， 解得140x =，250x =.∵让消费者得到最大的实惠，∴140x =. 答：售价应定为每件40元.（2）()()230106001090018000W x x x x =--+=-+-()210452250x =--+.∵100-<，∴当45x =时，W 有最大值2250. 当35x =时，1250W =；当52x =时，1760W =. ∴每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250元. 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程或二次函数进行求解.32．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）存在，点P 坐标为1322⎛+⎝⎭或51522⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）点N 的坐标为（﹣4，1） 【解析】 【分析】（1）分别令y ＝0 ,x ＝0,可表示出A 、B 、C 的坐标，从而表示△ABC 的面积，求出a 的值继而即可得二次函数解析式；（2）如图①，当点P 在x 轴上方抛物线上时，平移BC 所在的直线过点O 交x 轴上方抛物线于点P ，则有BC ∥OP ，此时∠POB ＝∠CBO ，联立抛物线得解析式和OP 所在直线的解析式解方程组即可求解；当点P 在x 轴下方时，取BC 的中点D ，易知D 点坐标为（12，32-），连接OD 并延长交x 轴下方的抛物线于点P ，由直角三角形斜边中线定理可知，OD ＝BD ，∠DOB ＝∠CBO 即∠POB ＝∠CBO ，联立抛物线的解析式和OP 所在直线的解析式解方程组即可求解．（3）如图②，通过点M 到x 轴的距离可表示△ABM 的面积，由S △ABM ＝S △BNM ，可证明点A 、点N 到直线BM 的距离相等,即AN ∥BM ，通过角的转化得到AM ＝BN ，设点N 的坐标，表示出BN 的距离可求出点N ． 【详解】（1）当y ＝0时，x 2﹣（a +1）x +a ＝0， 解得x 1＝1，x 2＝a ， 当x ＝0，y ＝a∴点C 坐标为（0，a ）， ∵C （0，a ）在x 轴下方 ∴a ＜0∵点A 位于点B 的左侧，∴点A 坐标为（a ，0），点B 坐标为（1，0）， ∴AB ＝1﹣a ，OC ＝﹣a ， ∵△ABC 的面积为6，。

九年级数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题1．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）A ．2：3B ．2：3C ．4：9D ．16：812．sin 30°的值为（ ）A ．3B ．3C ．12D ．223．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 4．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( ) A ．5 B ．2 C ．5或2 D ．2或7－1 5．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ）A ．3(1)10x +=B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=6．函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－27．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠AOC ＝80°，则∠ABC 的大小是（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50° 8．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤ 9．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．12D 2：110．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1611．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+ 二、填空题13．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．14．二次函数y=x 2−4x+5的图象的顶点坐标为 ．15．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．16．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.17．把抛物线22(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是__________．18．甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差S 甲2＝6.5分2，乙同学成绩的方差S 乙2＝3.1分2，则他们的数学测试成绩较稳定的是____（填“甲”或“乙”）．19．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．20．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．21．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．22．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．23．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．24．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为_____．三、解答题25．画图并回答问题：（1）在网格图中，画出函数2y x x 2=--与1y x =+的图像；（2）直接写出不等式221x x x -->+的解集.26．已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．27．如图，已知菱形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8．点E 是AB 边上一点，求作矩形EFGH ，使得点F 、G 、H 分别落在边BC 、CD 、AD 上．设 AE ＝m ．（1）如图①，当m ＝1时，利用直尺和圆规，作出所有满足条件的矩形EFGH ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）写出矩形EFGH 的个数及对应的m 的取值范围．28．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB 宽10cm ，水最深3cm ，求输水管的半径．29．国庆期间，某风景区推出两种旅游观光活动付费方式：若人数不超过20人，人均缴费500元；若人数超过20人，则每增加一位旅客，人均收费降低10元，但是人均收费不低于350元．现在某单位在国庆期间组织一批贡献突出的职工到该景区旅游观光，支付了12000元观光费，请问：该单位一共组织了多少位职工参加旅游观光活动？30．解方程：（1）3x 2－6x －2＝0； （2）(x －2)2＝(2x ＋1)2．31．已知关于x 的一元二次方程()222140x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设方程两根分别为1x 、2x ，且21x 、22x 分别是边长为5的菱形的两条对角线，求m 的值．32．如图，点P 是二次函数21(1)14y x =--+图像上的任意一点，点()10B ,在x 轴上.（1）以点P 为圆心，BP 长为半径作P .①直线l 经过点()0,2C 且与x 轴平行，判断P 与直线l 的位置关系，并说明理由. ②若P 与y 轴相切，求出点P 坐标；（2）1P 、2P 、3P 是这条抛物线上的三点，若线段1BP 、2BP 、3BP 的长满足12323BP BP BP BP ++=，则称2P 是1P 、3P 的和谐点，记做()13,T P P .已知1P 、3P 的横坐标分别是2，6，直接写出()13,T P P 的坐标_______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果.【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，∴它们的周长比为23. 故选B.【点睛】本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方. 2．C解析：C【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：sin 30°＝12故选C【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键． 3．A解析：A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．故选A．【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．4．D解析：D【解析】【分析】分AC为斜边和BC为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长.【详解】第一情况：当AC为斜边时，如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,∴OD⊥AC, OE⊥BC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，2210AC AB BC=+= ,∵=++ABC AOC BOC AOBS S S S ,∴11112222AB BC AB OF BC OE AC OD ,∴1111686810 2222r r r ,∴r=2.第二情况：当BC为斜边时，如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,∴OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，2227AC BC AB ,∵=++ABC AOC BOC AOB S S S S , ∴11112222AB AC AB OF BC OD AC OE , ∴111162768272222r r r , ∴r=71- .故选：D.【点睛】本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.5．D解析：D【解析】【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 6．D解析：D【解析】【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值.7．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.【详解】∵∠AOC ＝80°， ∴102ABCAOC 4. 故选：C.【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 8．D解析：D【解析】【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+=∴42x ±= ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.9．B解析：B【解析】【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，∴它们的面积比是：1：4．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．A解析：A【解析】【分析】根据红球的个数以及球的总个数，直接利用概率公式求解即可.【详解】因为共有6个球，红球有2个，所以，取出红球的概率为2163 P==，故选A.【点睛】本题考查了简单的概率计算，正确把握概率的计算公式是解题的关键.11．B解析：B【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选B．点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．12．D解析：D【解析】【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣12（a+3），故选：D．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．二、填空题13．y＝2(x－2)2＋3【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为解析：y＝2(x－2)2＋3【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，故答案为：y＝2(x－2)2＋3.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．14．（2，1）【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】将二次函数配方得则顶点坐标为（2，1）考点：二次函数的图象和性质．解析：（2，1）【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.【详解】将二次函数245y x x =-+配方得22()1y x =-+则顶点坐标为（2，1）考点：二次函数的图象和性质． 15．2【解析】【分析】首先根据平均数确定x 的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn ﹣）2]，计算方差即可．【详解】∵组数据的平均数是10，∴(9+10+12+x+8解析：2【解析】【分析】首先根据平均数确定x 的值，再利用方差公式S 2＝1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]，计算方差即可．【详解】∵组数据的平均数是10， ∴15(9+10+12+x+8)＝10， 解得：x ＝11，∴S 2＝15[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]， ＝15×（1+0+4+1+4）， ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2＝1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD∥OE，∴∠C解析：16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD∥OE，∴∠CDA=∠OBA，∴△AOB∽△ECD，∴CE OA16OA==，,DE AB220解得OA=16．故答案为16．17．【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律平移即可．【详解】抛物线向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是即故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函解析：22(1)2y x =+-【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律平移即可．【详解】抛物线22(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是 22(12)13y x =-++-即22(1)2y x =+-故答案为：22(1)2y x =+-．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 18．乙【解析】【分析】根据方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S 甲2 ＞S 乙2，所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．故答案为：乙．【解析：乙【解析】【分析】根据方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S 甲2 ＞S 乙2， 所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．故答案为：乙．【点睛】本题考查方差的性质，方差越小数据越稳定．19．24π【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，解析：24π【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，∴圆锥的侧面积=12×8π×6=24π（cm2）．故答案为：24π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=12•l•R，（l为弧长）．20．5【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB＝＝10，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这解析：5【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB＝10，∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为5．【点睛】本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.21．【解析】【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．【详解】在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是2，故答案为：2．【点睛解析：【解析】【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．【详解】在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是2，故答案为：2．【点睛】此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．22．15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解析：15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，所以这个圆锥的侧面积=12×5×2π×3=15π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.23．【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、解析：1 4【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，所以恰好能搭成一个三角形的概率＝14．故答案为14．【点睛】本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．24．y＝﹣（x+1）2﹣2【解析】【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为，再把点（0，﹣3）代入即可求解a 的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．【详解】解析：y ＝﹣（x +1）2﹣2【解析】【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为()212y a x +-=，再把点（0，﹣3）代入即可求解a 的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．【详解】由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2），设平移后函数的解析式为()212y a x +-=，∵所得的抛物线经过点（0，﹣3），∴﹣3＝a ﹣2，解得a ＝﹣1，∴平移后函数的解析式为()212y x +=--，故答案为()212y x +=--．【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握坐标平移规律：“左右平移时，横坐标左移减右移加，纵坐标不变；上下平移时，横坐标不变，纵坐标上移加下移减”。

九年级培优竞赛1．在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．(1)求点C 的坐标；(2)若抛物线y ＝－14x 2＋ax ＋4经过点C ． ①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P(点C 除外)使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】C 的坐标为（3，﹣1）；（2）①抛物线的解析式为y=﹣12x 2+12x+2； ②存在点P ，△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点有P 1（﹣1，1），P 2（﹣2，﹣1）两点．【解析】试题分析：（1）过点C 作CD 垂直于x 轴，由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ，根据旋转的旋转得到AB=AC ，且∠BAC 为直角，可得∠OAB 与∠CAD 互余，由∠AOB 为直角，可得∠OAB 与∠ABO 互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA 可证明三角形ACD 与三角形AOB 全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB ，CD=OA ，由A 和B 的坐标及位置特点求出OA 及OB 的长，可得出OD 及CD 的长，根据C 在第四象限得出C 的坐标；（2）①由已知的抛物线经过点C ，把第一问求出C 的坐标代入抛物线解析式，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出抛物线的解析式；②假设存在点P 使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i ）A 为直角顶点，过A 作AP 1垂直于AB ，且AP 1=AB ，过P 1作P 1M 垂直于x 轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP 1，利用AAS 可证明三角形AP 1M 与三角形ACD 全等，得出AP 1与P 1M 的长，再由P 1为第二象限的点，得出此时P 1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii ）当B 为直角顶点，过B 作BP 2垂直于BA ，且BP 2=BA ，过P 2作P 2N 垂直于y 轴，如图所示，同理证明三角形BP 2N 与三角形AOB 全等，得出P 2N 与BN 的长，由P 2为第三象限的点，写出P 2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii ）当B 为直角顶点，过B 作BP 3垂直于BA ，且BP 3=BA ，如图所示，过P 3作P 3H 垂直于y 轴，同理可证明三角形P 3BH 全等于三角形AOB ，可得出P 3H 与BH 的长，由P 3为第四象限的点，写出P 3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P 的坐标． 试题解析：（1）过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），∴OA=CD=1，OB=AD=2，∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，∴C的坐标为（3，﹣1）；（2）①∵抛物线y=﹣12x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1），∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣92+3a+2，解得：a=12，则抛物线的解析式为y=﹣12x2+12x+2；②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示，∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°，∴△AMP1≌△ADC，∴AM=AD=2，P1M=CD=1，∴P1（﹣1，1），经检验点P1在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图，同理可证△BP2N≌△ABO，∴NP2=OB=2，BN=OA=1，∴P2（﹣2，﹣1），经检验P2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图，同理可证△BP3H≌△BAO，∴HP3=OB=2，BH=OA=1，∴P3（2，﹣3），经检验P3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣12x2+12x+2上；则符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．考点：1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形．2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD 沿PD翻拆，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD(1)求证：△PCF的周长=2CD；(2)设DE交AC于G，若53PEEF=，CD=6，求FG的长【答案】（1）证明见解析；（2）FG的长为152 14．【解析】试题分析：.(1)连接CE，根据三角形的角边关系可以得到∠FCE=∠FEC，从而FC=FE，△PCF的周长＝2CD；(2) 由.(1)结论CP+PF+CF=2CD，和PF5EF3=，CD=6，求出CF=EF=322，作GK⊥EF于点K，易得FG的长为152 14．试题解析：.(1)连接CE，∵CA=CB,D 为AB 中点，∴∠BCD=∠ACD=45°，由翻折可知∠B=∠DEP=45°，∴∠DCF=∠DEF=45°，CD=BD=DE ，∴∠DCE=∠DEC ，∴∠DCE-∠DCA=∠DEC-∠DEF ，即∠FCE=∠FEC ，∴FC=FE ，∴CF+PF=PE=BP ，∴，∴△PCF；(2)∴设PF=5x,EF=CF=3x ，在Rt △FCP 中,PF 2=CP 2+CF 2，∴CP=4x ，∵，∴作GK ⊥EF 于点K ，∵tan ∠GFE=tan ∠ 设GK=4a,FK=3a,EK=4a ， G F D AB PC KFDAB PC∴EF=7a=322， a=3214， FG=5a=15214， ∴FG 的长为15214． 考点：三角形综合．3．如图，抛物线y=－x 2+4x+5交x 轴于A 、B （以A 左B 右)两点，交y 轴于点C.(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 为抛物线第一象限函数图象上一点，设P 点的横坐标为m ，△PBC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，连接AP ，抛物线上是否存在这样的点P ，使得线段PA 被BC 平分，如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P 的坐标.【答案】(1) y=5x -+ (2) S=252522m m -+ (3)存在，P(2,9)或P(3,8) 【解析】试题分析：（1）令y=0，解关于x 的一元二次方程即可得到点A 、B 的坐标，再令x=0求出点C 的坐标，设直线BC 解析式为y=kx+b （k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于H ，交BC 于F ，根据抛物线和直线BC 的解析式表示出PF ，再根据S △PBC =S △PCF +S △PBF 整理即可得解；（3）设AP 、BC 的交点为E ，过点E 作EG ⊥x 轴于G ，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG ∥PH ，然后判断出△AGE 和△AHP 相似，根据相似三角形对应边成比例可表示出EG 、HG ，然后表示出BG ，根据OB=OC 可得∠OCB=∠OBC=45°，再根据等角对等边可得EG=BG ，然后列出方程求出m 的值，再根据抛物线解析式求出点P 的纵坐标，即可得解．试题解析：（1）当y=0时，x 1=5，x 2=－1，∵A 左B 右，∴A(-1，0),B(5，O)当x=0时，y=5，∴C （0,5），设直线BC 解析式为y=kx+b,∴5005k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩ ∴15k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 解析式为:y=5x -+；(2)作PH ⊥x 轴于H ，交BC 于点F ，P(m ，-m 2+4m+5)，F(m,-m+5)PF=-m 2+5m ，S △PBC =S △PCF +S △PBF(3)存在点P ，作EG ⊥AB 于G,PH ⊥AB 于H ，∴EG ∥PH ，∴△AGE ∽△AHP ，∵P(m ，-m +4m+5)，AH=m-(-1)=m+1，HB=5-m ，GB=152mm ++-，∵OC=OB=5，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴EG=BG，∴2452m m-++=152mm++-，∴m1=2m2=3，当m=2时，P(2,9)，当m=3时，P(3,8)，∴存在这样的点P, 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．考点：二次函数综合题．4．如图：在等腰△ABC中,AB=AC，AD上BC，垂足为D，以AD为直径作⊙0，⊙0分别交AB、AC于E、F.(1)求证：BE=CF；(2)设AD、EF相交于G，若EF=8，BC=10,求⊙0的半径．【答案】(1)证明见解析；（2）⊙O的半径为5．【解析】试题分析：（1）连接DE，DF，由AB=AC，且AD为BC边上的高，利用三线合一得到D为BC的中点，AD为顶角平分线，再由AD为圆O的直径，利用直角所对的角为直角得到一对直角相等，利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=CF，得证；（2）由EB=CF，AB=AC，得出AE=AF，确定出AE：AB=AF：AC，且夹角相等，得到三角形AEF与三角形ABC相似，由相似三角形的对应边成比例得到AG：AD=8：10，设AG=8x，AD=10x，连接OE，在直角三角形OEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆O的半径．试题解析：(1)连接DE、DF，∵AB=AC,AD⊥BC，∴∠B＝∠C,BD=CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA=∠DFA=90°，∴△DBE≌△DCF，∴BE=CF；(2)∵BE=CF，∴AE=AF，AE AFAB AC=且∠BAC=∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴设AG=8x,AD=10x，连接EO，在Rt△OEG中，∴OE2=OG2+EG2，∴(5x)2=(3x)2+42，x=1，∴5x=5，∴⊙O的半径为5．考点：1.相似三角形的判定与性质，2.全等三角形的判定与性质，3.勾股定理，4.圆周角定理．5．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（-4，0），点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF ．90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x+4 （2）①见解析x （3）存在，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）【解析】解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=-1，则直线AB的函数解析式为y=-x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BDO≌△COD，∴∠BDO=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②如图，连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，∴∠DFE=∠DPE=45°，第11页，总68页∵DF 是⊙Q 的直径， ∴∠DEF=90°，∴△DEF 是等腰直角三角形， ∴DE ，即x ； （3）当BD ：BF=2：1时，如图，过点F 作FH ⊥OB 于点H ，∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°， ∴∠DBO=∠BFH ，又∵∠DOB=∠BHF=90°， ∴△BOD ∽△FHB ， ∴=2， ∴FH=2，OD=2BH ，∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°， ∴四边形OEFH 是矩形， ∴OE=FH=2， ∴EF=OH=4-OD ， ∵DE=EF ， ∴2+OD=4-OD ， 解得：OD=，∴点D 的坐标为（0，）， ∴直线CD 的解析式为y=x+， 由，得：， 则点P 的坐标为（2，2）； 当时， 连结EB ，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP ，OB OD BDHF HB FB==12124343134314334y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩22x y =⎧⎨=⎩12BD BF =试卷第12页，总68页而∠ADB=∠DEB+∠DBE ，∠EDP=∠DAP+∠DPA ， ∵∠DEP=∠DPA ，∴∠DBE=∠DAP=45°，∴△DEF 是等腰直角三角形， 如图，过点F 作FG ⊥OB 于点G ，同理可得：△BOD ∽△FGB ， ∴， ∴FG=8，OD=BG ， ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°， ∴四边形OEFG 是矩形， ∴OE=FG=8， ∴EF=OG=4+2OD ， ∵DE=EF ，∴8-OD=4+2OD ， OD=， ∴点D 的坐标为（0，-）， 直线CD 的解析式为：， 由，得：， ∴点P 的坐标为（8，-4），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（8，-4）．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ．点D 、E 、F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，连接DE ，DF ，动点P ，Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，点P 沿AFD 的方向运动到点D 停止；点Q 沿BC 的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M ，以点P ，M ，Q 为顶点作12OB OD BD GF GB FB ===1243431433y x =--14334y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩84x y =⎧⎨=-⎩第13页，总68页平行四边形PMQN ．设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分的面积为y （cm 2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P 运动的时间为x （s ）（1）当点P 运动到点F 时，CQ= cm ；（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】（1）5 （2）（cm ） （3）当3≤x＜4时，y=-x 2+x 当4≤x＜时，y=-6x+33 当≤x≤7时，y=6x-33 【解析】 解：（1）当点P 运动到点F 时， ∵F 为AC 的中点，AC=6cm ， ∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ， ∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm-3cm=5cm ， 故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t-3=8， t=， 11234214112112112试卷第14页，总68页BQ 的长度为×1=（cm ）； （3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点， ∴DE=AC=×6=3， DF=BC=×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°， ∵∠QBM=∠CBA ， ∴△MBQ ∽△ABC ， ∴， ∴， MQ=x ， 分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD =x （7-x ） 即y=-x 2+x ； ②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，如图3， 11211212121212BQ MQBC AC =86x MQ =343434214112第15页，总68页y=3[（8-X ）-（X-3））] 即y=-6x+33； ③当≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x ）] 即y=6x-33．8．已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平行四边形ABCD 的内部作Rt △AED ，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED 的周长；（2）若△AED 以每秒2个单位长度的速度沿DC 向右平行移动，得到△A 0E 0D 0，当A 0D 0与BC 重合时停止移动，设运动时间为t 秒，△A 0E 0D 0与△BDC 重叠的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED 停止移动后得到△BEC ，将△BEC 绕点C 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B 的对应点为B 1，E 的对应点为E 1，设直线B 1E 1与直线BE 交于点P 、与直线CB 交于点Q ．是否存在这样的α，使△BPQ 为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）S 与t 之间的函数关系式为：112试卷第16页，总68页S= （3）存在，α=75°【解析】 解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC=6．在Rt △ADE 中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3， ∴△AED 的周长为：6+3+3=9+3．（2）在△AED 向右平移的过程中：（I ）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D 0NK ．∵DD 0=2t ，∴ND 0=DD 0•sin30°=t，NK=ND 0•tan30°=t ，∴S=S △D0NK =ND 0•NK=t•t=t 2；（II ）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D 0E 0KN ．∵AA 0=2t ，∴A 0B=AB-AA 0=12-2t ， ∴A 0N=A 0B=6-t ，NK=A 06-t ）．∴S=S 四边形D0E0KN =S △ADE -S △A0NK =×（6-t ）×（6-t ）=-t 2；（III ）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D 0IJKN ．222(0 1.5) 4.5)--6)6t S t t ≤≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩333312123321231231233363332第17页，总68页∵AA 0=2t ，∴A 0B=AB-AA 0=12-2t=D 0C ， ∴A 0N=A 0B=6-t ，D 0N=6-（6-t ）=t ，BN=A 0B•cos30°=（6-t ）； 易知CI=BJ=A 0B=D 0C=12-2t ，∴BI=BC-CI=2t-6， S=S 梯形BND0I -S △BKJ =[t+（2t-6）]• （6-t ）-•（12-2t ）•（12-2t ）=-t 2+20t-42．综上所述，S 与t 之间的函数关系式为：S=． （3）存在α，使△BPQ 为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ ∽△B 1QC ，故当△BPQ 为等腰三角形时，△B 1QC 也为等腰三角形． （I ）当QB=QP 时（如答图4），则QB 1=QC ，∴∠B 1CQ=∠B 1=30°， 即∠BCB 1=30°， ∴α=30°；（II ）当BQ=BP 时，则B 1Q=B 1C ，若点Q 在线段B 1E 1的延长线上时（如答图5），∵∠B 1=30°，∴∠B 1CQ=∠B 1QC=75°，12312312331336332223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t t S t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩试卷第18页，总68页即∠BCB 1=75°， ∴α=75°．9．如图1，已知直线y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t 值．【答案】（1）y=-x 2-2x+3；（2）（3212--，3212--） （3）当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形 【解析】 试题分析：（1）先由直线AB 的解析式为y=x+3，求出它与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B 的坐标，再将A 、B 两点的坐标代入y=-x 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点F 的坐标为（m ，-m 2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ，连接FG ，根据S △AEF =S △AEG +S △AFG -S △EFG =3，列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得出点F 的坐标；（3）设P 点坐标为（-1，n ）．先由B 、C 两点坐标，运用勾股定理求出BC 2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB 2+BC 2=PC 2，据此列出关于n 的方程，求出n 的值，再计算出PD 的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t 值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t 值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t 值．试题解析：（1）∵y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当y=0时，x=-3，即A 点坐标为（-3，0）， 当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3），将A （-3，0），B （0，3）代入y=-x 2+bx+c ，得930c 3b c --+==⎧⎨⎩， 解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3； （2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），则m＜0，-m2-2m+3＜0．∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．∵直线AB的解析式为y=x+3，∴当x=-1时，y=-1+3=2，∴E点坐标为（-1，2）．∵S△AEF=S △AEG+S△AFG-S△EFG=12×2×2+12×2×（m2+2m-3）-12×2×（-1-m）=m2+3m，∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，解得：1321 2m--=，23212m-+=（舍去），当3212m--=时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=3212--，∴点F的坐标为（3212--，3212--）；（3）设P点坐标为（-1，n）．∵B（0，3），C（1，0），∴BC2=12+32=10．分三种情况：①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，第19页，总68页化简整理得6n=16，解得n=83，∴P点坐标为（-1，83），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4-83=43，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t1=43；②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），∵顶点D的坐标为（-1，4），∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，∵点P的速度为每秒1个单位长度，∴t2=2，t3=3；③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，化简整理得6n=-4，解得n=-23，∴P点坐标为（-1，-23），试卷第20页，总68页第21页，总68页 ∵顶点D 的坐标为（-1，4）， ∴PD=4+23=143， ∵点P 的速度为每秒1个单位长度，∴t 4=143； 综上可知，当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形．考点: 二次函数综合题.10．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点P 是边BC 上的任意一点，E 是BC 延长线上一点，联结AP ，作PF AP ⊥交DCE ∠的平分线CF 上一点F ，联结AF 交边CD 于点G ．（1）求证：AP PF =；（2）设点P 到点B 的距离为x ，线段DG 的长为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当点P 是线段BC 延长线上一动点，那么（2）式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．【答案】（1）证明见解析；（2）()42022x y x x -=≤≤+；（3）改变，()24>22x y x x -=+. 【解析】试题分析：（1）欲证AP PF =利用原图无法证明，需构建三角形且使之全等，因此在边AB 上截取线段AH ，使AH PC =，连接PH ，证明AHP ∆与PCF ∆全等即可．（2）由APM ∆∽GAN ∆列式化简即可得.（3）在AD 延长线上取点N ，令ND DG =，∴NDG ∆是等腰直角三角形.∴22,2NG DG y AN y ===+ .同理，2,2PM x AM x ==- ，∵45,45APM PAM NAG PMA ANG ∠=︒+∠=∠∠=∠=︒ ，∴APM ∆∽GAN ∆.∴AM NG PM AN =，即2222x y yx -=+. 整理，得()24>22x y x x -=+.试卷第22页，总68页 试题解析：（1）在边AB 上截取线段AH ，使AH PC =，连接PH ，由正方形ABCD ，得90B BCD D AB BC AD ∠=∠=∠=︒==，，∵90APF ∠=︒，∴APF B ∠=∠.∵APC B BAP APF FPC ∠=∠+∠=∠+∠，∴PAH FPC ∠=∠.又∵90BCD DCE ∠=∠=︒，CF 平分DCE ∠，∴45FCE ∠=︒.∴135PCF ∠=︒. 又∵AB BC AH PC ==，，∴BH BP =，即得45BPH BHP ∠=∠=︒.∴135AHP ∠=︒，即得AHP PCF ∠=∠.在AHP ∆和PCF ∆中，PAH FPC AH PC AHP PCF ∠=∠=∠=∠，，，∴AHP ∆≌PCF ∆，∴AP PF =．（2）在AD 上取点N ，令ND DG =，∴NDG ∆是等腰直角三角形.∴22,2NG DG y AN y ===- .同理，2,2PM x AM x ==- ，∵45,135APM PAM NAG PMA ANG ∠=︒-∠=∠∠=∠=︒ ，∴APM ∆∽GAN ∆.∴AM NG PM AN =，即2222x y y x-=-. 整理，得()42022x y x x -=≤≤+. （3）改变，()24>22x y x x -=+. 考点：1.正方形的性质；2. 等腰直角三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定与性质；4.由实际问题列函数关系式.11．如图，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、C 两点，抛物线y=-2x 2+bx+c(a ≠0)经过点A 、C.（1）求抛物线的解析式;（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;（3）点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=-2x2+2x+4；（2）Q（0，4）或（1，4）-4）或-4）；（3）存在，点F坐标为（0M，点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．【解析】试题分析：1）根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ 的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．试题解析：（1）令x=0，则y=4，令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，所以，点A（2，0），C（0，4），∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C，∴24204b cc-⨯++=⎧⎨⎩＝，解得24bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4；（2）∵y=-2x2+2x+4=-2（2第23页，总68页∴点P的坐标为（12，92），如图，过点P作PD⊥y轴于D，又∵C（0，4），∴PD=12，CD=91422-=，∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，=12×（12+2）×92-12×2×4-12×12×12=4514 88--=32，令y=0，则-2x2+2x+4=0，解得x1=-1，x2=2，∴点B的坐标为（-1，0），∴AB=2-（-1）=3，设△ABQ的边AB上的高为h，∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，∴12×3h=4×32，解得h=4，∵4＜92，∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，即点Q的纵坐标为4或-4，当点Q的纵坐标为4时，-2x2+2x+4=4，解得x1=0，x2=1，此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），当点Q的纵坐标为-4时，-2x2+2x+4=-4，解得x1=1172+，x2=1172-，试卷第24页，总68页此时点Q的坐标为（1172+，-4）或（1172-，-4）综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（1172+，-4）或（1172-，-4）；（3）存在．理由如下：如图，∵点M在直线y=-2x+4上，∴设点M的坐标为（a，-2a+4），①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|=|-2a+4|，即a=-2a+4或a=-（-2a+4），解得a=43或a=4，∴点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；②∠MFE=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|=12|-2a+4|，即a=12（-2a+4），解得a=1，-2a+4=2×1=2，此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），或a=12-（-2a+4），此时无解，综上所述，点F坐标为（0，43）时，点M的坐标为（43，43），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．考点: 二次函数综合题.12．已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个第25页，总68页试卷第26页，总68页单位的速度向点B 运动；点N 从点C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥CD 交AC 于点Q ． （1）设△AMQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（2）在梯形ABCD 的对称轴上是否存在点P ，使△PAD 为直角三角形？若存在，求点P 到AB 的距离；若不存在，说明理由．（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使△AMQ 为等腰三角形？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由．【答案】（1）233=-62S t t +（0＜t ≤2），233=-123S t t +（2≤t ＜4）；（2）233；（3）t=65，12-63，2. 【解析】试题分析：（1）求出t 的临界点t=2，分别求出当0＜t ≤2时和2≤t ＜4时，S 与t 的函数关系式即可，（2）作梯形对称轴交CD 于K ，交AB 于L ，分3种情况进行讨论，①取AD 的中点G ，②以D 为直角顶点，③以A 为直角顶点，（3）当0＜t ≤2时，若△AMQ 为等腰三角形，则MA=MQ 或者AQ=AM ，分别求出t 的值，然后判断t 是否符合题意．试题解析：（1）当0＜t ≤2时，如图：过点Q 作QF ⊥AB 于F ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，∵AB ∥CD ，∴QF ⊥CD ，∵NQ ⊥CD ，∴N ，Q ，F 共线，∴△CQN ∽△AFQ ，∴ CN NQ AF QF=， ∵CN=t ，AF=AE-CN=3-t ，∵NF=3，∴QF=33t 3-，第27页，总68页 13(323t - 23362t + 当2≤t ＜4时，如图：△FQC ∽△PQA ，∵DN=t-2，∴FD=DN •cos ∠FDN=DN •t-2）， ∴t-2） ∴FQ=FC •tan ∠FCQ=FC •tan30°=t+2）， ∴ 13[326t -23=-123t + （2）作梯形对称轴交CD 于K ，交AB 于L ，情况一：取AD 的中点G ，GD=1，过G 作GH ⊥对称轴于H ，GH=1.5，∵1.5＞1，∴以P 为直角顶点的Rt △PAD 不存在，情况二：以D 为直角顶点：KP1 ∴P 1情况三：以A 为直角顶点，LP 2综上：P 到AB PAD 为Rt △， （3）0＜t ≤2时， 若MA=MQ ，∴试卷第28页，总68页若AQ=AM ，则t=23233t -， 解得t=12-63， 若QA=QM ，则∠QMA=30°而0＜t ≤2时，∠QMA ＞90°，∴QA=QM 不存在；2≤t ＜4（图中）若QA=QM ，AP ：AD=3：2，∴t=2，若AQ=AM ，23-33（t+2）=t ， ∴t=23-2，∵23-2＜2，∴此情况不存在若MA=MQ ，则∠AQM=30°，而∠AQM ＞60°不存在．综上：t=65，12-63，2时，△AMQ 是等腰三角形． 考点: 1.等腰梯形的性质；2.等腰三角形的判定；3.直角三角形的性质. 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，3-）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP’C，那么是否存在点P ，使四边形POP’C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】（1）y=x 2﹣2x ﹣3；（2）存在，（2102+，32-）；（3）（32，-154），758. 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；第29页，总68页（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C 为菱形，那么P 点必在OC 的垂直平分线上，据此可求出P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标；（3） 由于△ABC 的面积为定值，当四边形ABPC 的面积最大时，△BPC 的面积最大；过P 作y 轴的平行线，交直线BC 于Q ，交x 轴于F ，易求得直线BC 的解析 式，可设出P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q 、P 的纵坐标，即可得到PQ 的长，以PQ 为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积，由此可得到关于四边形ACPB 的面积与P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标．试题解析：（1）将B 、C 两点的坐标代入得 9303b c c ++=-⎧⎨⎩＝解得：23b c =-⎧⎨=-⎩； 所以二次函数的表达式为：y=x 2﹣2x ﹣3.（2）存在点P ，使四边形POPC 为菱形；设P 点坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），PP′交CO 于E若四边形POP′C 是菱形，则有PC=PO ；连接PP′，则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC=32∴y=32-； ∴x 2﹣2x ﹣3=32- 解得:12102x +=，22102x -=（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（2102+，32-） （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2﹣2x ﹣3），易得，直线BC 的解析式为y=x ﹣3则Q 点的坐标为（x ，x ﹣3）；S 四边形ABPC=S △ABC+S △BPQ+S △CPQ=12AB•OC+12QP•OF+12QP•BF 21143(3)322x x =⨯⨯+-+⨯试卷第30页，总68页 23375()228x =--+ 当32x =时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点坐标为（32，-154）四边形ABPC 的面积的最大值为758. 考点: 二次函数综合题.14．如图，直角坐标系中Rt △ABO ，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到Rt △A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．【答案】（1）y=-x 2+x+2；（2）P （1，2）；（4）四边形PB′A′B 为等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等.【解析】试题分析：（1）利用旋转的性质得出A ′（-1，0），B ′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B =S △B′OA′+S △PB′O +S △POB ，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可；（3）利用P 点坐标以及B 点坐标即可得出四边形PB′A′B 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．试题解析：（1）（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的， 又A （0，1），B （2，0），O （0，0），∴A′（-1，0），B′（0，2）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c （a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B ，∴0=2=c 042a b c a b c ⎧-+=++⎪⎨⎪⎩，解得：112a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x 2+x+2．（2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=-x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，12×1×2+1212-x2+x+2）+1=-x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：12×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=-x2+2x+3，即x2-2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=-12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．考点: 二次函数综合题．15．已知在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=-2x²+bx+c的图像经过点A（-3,0）和点B（0,6）。

初三培优竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac的描述，正确的是（）。

A. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根B. 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根C. 当Δ<0时，方程没有实数根D. 以上说法均正确答案：D2. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：A3. 已知函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，2）和（-1，0），则k和b的值分别是（）。

A. k=1，b=1B. k=-1，b=1C. k=1，b=-1D. k=-1，b=-1答案：B4. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，那么这个三角形的周长是（）。

A. 14B. 16C. 18D. 205. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，那么△ABC是（）。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B6. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是（）。

A. 5B. 6C. 7D. 87. 一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1或-1答案：D8. 已知一个等差数列的首项为a₁，公差为d，那么这个数列的第n项可以表示为（）。

A. a₁+(n-1)dB. a₁-(n-1)dC. a₁+ndD. a₁-nd答案：A9. 已知一个二次函数的顶点坐标为（2，3），且经过点（1，1），那么这个二次函数的解析式是（）。

A. y=(x-2)²+3B. y=(x-2)²-3C. y=(x-1)²+3D. y=(x-1)²-3答案：A10. 一个圆的半径为5，那么这个圆的面积是（）。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1）和（2，-3），那么这个二次函数的解析式为：________。

2023-2024学年华东师大版数学九年级上册期末综合培优检测试题一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )A. B. C. D.2.计算的结果是( )A. B. C. D.3.用配方法解方程时，下列配方错误的是( )A. 化为B. 化为C. 化为D. 化为4.关于的方程有实数根，则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且5.如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为，的面积为，则四边形的面积是( )A. B. C. D.6.如图，四边形中．，，为的平分线，，，分别是，的中点，则的长为( )A. B. C. D.7.如图，点，，在正方形网格的格点上，则等于( )A. B.C. D.8.若和两点关于轴对称，则的值是( )A. B. C. D.9.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，长米，坡度为：，的坡度为：，则长为米．( )A. B. C. D.10.用如图所示的两个转盘分别进行四等分和三等分，设计一个“配紫色“的游戏，任意转动两个指针，当指针停止，分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功则能配紫色成功的概率为( )A. B. C. D.11.如图所示，有一天桥高为米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使，则的长度约为参考数据：，( )A. 米B. 米C. 米D. 米12.如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转之后，点的坐标为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13.若、为实数，且，则______．14.设、为关于的方程的两个实数根，则______ ．15.如图，于点，于点，，当时，∽．16.如图，已知点，，以点为位似中心，按：的比例把缩小，则点的对应点的坐标为___________17.如图，在一笔直的海岸线上有相距的，两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是．三、计算题：本大题共2小题，共16分。

1. 下列各数中，有理数是（）。

A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $-3.14$D. $i$2. 已知 $a=5$，$b=-2$，则 $a^2 + b^2$ 的值为（）。

A. 17B. 23C. 29D. 333. 下列函数中，一次函数是（）。

A. $y=2x^2+3$B. $y=x+1$C. $y=\sqrt{x}$D. $y=3x^3+2$4. 若 $\angle A$ 是等腰三角形 $ABC$ 的顶角，则 $\angle BAC$ 的度数可能是（）。

A. $40^\circ$B. $50^\circ$C. $60^\circ$D. $70^\circ$5. 在平面直角坐标系中，点 $P(2,3)$ 关于 $y$ 轴的对称点坐标是（）。

A. $(-2,3)$B. $(2,-3)$C. $(-2,-3)$D. $(2,3)$6. 已知 $x^2 - 5x + 6 = 0$，则 $x$ 的值为（）。

A. $2$ 或 $3$B. $1$ 或 $4$C. $2$ 或 $1$D. $3$ 或 $2$7. 下列各组数中，成等差数列的是（）。

A. $1, 3, 5, 7$B. $1, 4, 9, 16$C. $2, 4, 8, 16$D. $1, 5, 10, 20$8. 若 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，且 $a+b+c=12$，$abc=27$，则 $b$ 的值为（）。

A. $3$B. $6$C. $9$D. $12$9. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）。

A. 正方形B. 等腰三角形C. 圆D. 长方形10. 若 $\sin \theta = \frac{1}{2}$，则 $\cos \theta$ 的值为（）。

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$C. $\frac{1}{2}$D. $-\frac{1}{2}$11. 若 $x^2 - 4x + 3 = 0$，则 $x^2 - 6x + 9$ 的值为______。

初三数学培优试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.33333…D. 22/7答案：B2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是多少？A. 11B. 13C. 16D. 8答案：B3. 已知函数y=2x+3，当x=2时，y的值是多少？A. 7B. 5C. 4D. 3答案：A4. 一个圆的半径为4，那么这个圆的面积是多少？A. 16πB. 32πC. 64πD. 100π答案：C5. 下列哪个是二次函数的一般形式？A. y=ax^2+bx+cB. y=ax^3+bx^2+cx+dC. y=ax+bD. y=a(x-h)^2+k答案：A6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A7. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 0D. 以上都有可能答案：D8. 一个数的立方根是2，那么这个数是多少？A. 8B. 2C. 4D. 1/8答案：A9. 一个数的平方根是3，那么这个数是多少？A. 9B. 3C. -3D. 6答案：A10. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是多少？A. 3B. 1/3C. -3D. -1/3答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的平方是25，那么这个数是______。

答案：±52. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。

答案：-23. 一个角的补角是120°，那么这个角是______。

答案：60°4. 一个角的余角是30°，那么这个角是______。

答案：60°5. 一个等腰三角形的顶角是100°，那么它的底角是______。

答案：40°6. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______。

答案：90°7. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第5项是______。

．．． ．．p + qC ．2 pqp + qD ． p + q + 2 pq3．由 ⎨得 a>－3,则 m 的取值范围是（ ） x > y A 1初三数学培优练习题 131、自然数 4 、5 、 5 、 x 、 y 从小到大排列后，其中位数为 4 ，如果这组数据唯一的众数是 5 ,那么，所有满足条件的 x 、 y 中， x + y 的最大值是（）（A ） 3（B ） 4 （C ） 5（D ） 62、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是 p :1 ，而在另一个瓶子中是 q :1 ，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（）A ．p + q2B ．p 2 + q 2p + q + 2⎧ x - y = a + 3 ⎪2 x + y = 5a⎪ ⎪⎩a > mA m>－3B m ≥ －3C m ≤ －3D m<－34、在 ∆ABC 中， BC = a, AB = c, CA = b 。

且 a 、 b 、 c 满足： a 2 - 8b = -23 ， b 2 - 10c = -34 ，c 2 - 6a = 7 。

则 2sin A + sin B =（ ）A ．1B ． 75C ．2D ． 1255．将一副三角板如下图摆放在一起，连结D ，则∠ADB 的正 切值为( )A ． 3 - 1B ． 3 + 1C ． 3 + 1D ． 3 -122BD6．给出下列四个命题：A C（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；（2）若点 A 在直线 y =2x-3 上，且点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 在第一或第四象限； （3）半径为 5 的圆中，弦 AB=8，则圆周上到直线 AB 的距离为 2 的点共有四个； （4）若 A （a ，m ）、B （a –，n ）(a > 0)在反比例函数 y = 4 x的图象上，则 m < n .其中，正确命题的个数是( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D ． 4 个7．已知抛物线 y=ax 2+2ax+4(0<a<3)，A （x 1，y 1），B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若 x 1<x 2，且 x 1+x 2=1－a ，则（ ）A y 1< y 2 By 1= y 2Cy 1> y 2 D y 1 与 y 2 的大小不能确定B C D C D B C D B8． 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C ，共用时 30 秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间 为 t （单位：秒），他与教练的距离为 y （单位：米），表示 y 与 t 的函数关系的图象大致 如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的（ ） A ．点 M B ．点 N C ．点 P D ．点 Q9、已知方程 x -1 + x - 2 + x -10 + x - 11 = m 无解，则实数 m 的取值范围是 ．10．如图，等腰梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°， AD＝DC ＝10，点 E ，F 分别在 AD ，BC 上，且 AE ＝4，BF ＝ x ， 设四边形 DEFC 的面积为 y ，则 y 关于 x 的函数关系式是ED CF（不必写自变量的取值范围）． 11．如图，对面积为 1 的 ABCD 逐次进行以下操作：第一次操AB作，分别延长 AB 、BC 、CD 、DA 至点 A 1、 1、 1、 1，使得 A 1B =2AB ， B 1C =2BC ，C 1D =2CD ，D 1A =2AD ，顺次连接 A 1、B 1、C 1、D 1，B1 得到 A 1B 1C 1 D 1，记其面积为 S 1；第二次操作，分别延长 A 1B 1、B 1C 1、1D 1、1A 1 至点 A 2、 2、 2、 2，使得 A 2B 1=2A 1B 1， 2C 1=2B 1C 1， DCBA1C 2D 1=2C 1D 1，D 2A 1=2A 1D 1，顺次连接 A 2、B 2、C 2、D 2 记其面积 为 S 2；…；按此规律继续下去，可得到 A 5B 5C 5D 5，则其面积 S 5=__ _ ．12、如右图所示，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，C1 AA DD1BC ＝3，CD ＝4，EF 是梯形的中位线，DH 为梯形的高， 则下列结论正确的有 （填序号）． ①四边形 EHCF 为菱形； ②∠BCD=60°；E F③ S△BEH = 1S 2 △CEH； ④以 AB 为直径的圆与 CD 相切于点 F ．A BFH C 13、如图所示，已知 △Rt ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，D ，E ，F 分别是三边 AB ，BC ，AC 上的点，则 DE ＋EF ＋FD 的最小值为_____ __．14. 如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过 ΔABC 的内切圆圆心 O ， 且点 E 在半圆弧上 . ①若正方形的顶点 F 也在半圆弧上，则半圆 的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形 DEFG 的面积为 100，且 ΔABC 的内切圆半径 r =4，则半圆的直径 AB = __________ .DBE C15、某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额w（元）的范围200≤w＜400400≤w＜500500≤w＜700700≤w＜900…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。