北师大版九年级数学下册第2章 二次函数 章末综合题复习(含答案)

一、选择题1.抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )A．y=(x+1)2+3B．y=(x+1)2−3C．y=(x−1)2−3D．y=(x−1)2+32.把抛物线y=2x2向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为( )A．y=2(x−1)2B．y=2(x+1)2C．y=2x2−1D．y=2x2+13.若y=(m+1)x m2+m是关于x的二次函数，则m的值为( )A．−2B．1C．−2或1D．2或14.已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x...01234...y...41014...点A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数的图象上，则当1<x1<2，3<x2< 4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y25.已知二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0；当1≤x≤2时，总有y≤0，那么c的取值范围是( )A．0≤c≤2B．c≥2C．1≤c≤2D．c≤26.若二次函数y=x2−4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为( )A．6B．4C．3D．17.在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能( )A．B．C．D．8.顶点为(−3.0)，且开口方向，形状与函数y=−12x2的图象相同的抛物线是( )A．y=−12(x−3)2B．y=−12x2+3C．y=−12(x+3)2D．y=12x2−39.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm，总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题11.抛物线的顶点是C(2,√3)，它与x轴交于A，B两点，它们的横坐标是方程x2−4x+3=0的两个根，则AB=，S△ABC=．12.已知a是常数．（1）如果抛物线y=(2a+1)x2的最低点是原点，那么a的取值范围是；（2）如果抛物线y=−2(x−a)2+3a−1的对称轴是直线x=3，那么它的顶点坐标是；（3）若抛物线y=a(x−2)2+a−1的顶点坐标是(2,−4)，则它的开口．13.抛物线y=−2(x−1)2+4可以看作是由抛物线y=−2x2先向平移个单位，再向平移个单位得到的．14.乒乓球竖直落到光滑水平的地面后会竖直弹起，假设每次弹起的最高高度会比上一次降低20%，而且乒乓球每次弹起到落地过程中，其弹起高度ℎ是时间t的二次函数，都可以用ℎ=−5(t−m)2+n表示．如果乒乓球第一次弹起到落地的时间间隔为0.8s，则该乒乓球从第1次最高点到第2次最高点的时间间隔是s．15.将抛物线C:y=x2先向左平移2个单位长度，然后再向上平移1个单位长度后，所得抛物线Cʹ的解析式为．16.若函数y=(a−1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．17.抛物线C1:y=x2−1(−1≤x≤1)与x轴交于A，B两点，抛物线C2与抛物线C1关于点A成中心对称，抛物线C3与抛物线C1关于点B成中心对称．若直线y=−x+b与由C1，C2，C3组成的图形恰有2个公共点，则b的取值或取值范围是．三、解答题18.如图，已知抛物线y=−12x2−32x+2与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．(1) 判断△ABC的形状，并说明理由．(2) 在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．x2+bx+c与x轴交于点A，B，交y轴于点C(0,−2√3)，且抛物线对19.如图，抛物线y1=12称轴x=−2交x轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点．(1) 求抛物线y1的解析式；(2) 将△OCD沿CD翻折后，O点对称点Oʹ是否在抛物线y1上？请说明理由．(3) 若点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴上，过Eʹ作x轴的垂线交抛物线y1于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE−PF|最大？若存在，试写出|PE−PF|最大值．20.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点O正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y= a(x−4)2+ℎ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．(1) 当a=−124时，①求ℎ的值；②通过计算判断此球能否过网．(2) 若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．21.在平面直角坐标系中，顶点为(−4,−1)的抛物线交y轴于点A(0,3)，交x轴于B，C两点，求此抛物线的解析式．22.我们已经知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线．研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示．(1) 你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）(2) 依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．23.某体育用品商场购进一批“乐骑”牌自行车，每辆成本价300元，每辆自行车销售单价x（元）与每月的销售量y（辆）的关系如下表所示：x(元)⋯600550500450⋯y(辆)⋯100110120130⋯若每月的销售量y（辆）是销售单价x（元）的一次函数．(1) 求y与x之间的函数关系式；(2) 设该商场销售“乐骑”牌自行车每月获得的利润为W（元），当销售单价x为何值时，每月可获得最大利润？最大利润是多少元？24.在平面直角坐标系中，将抛物线C1:y=x2−2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．(1) 求新抛物线C2的表达式；(2) 如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△OʹAʹBʹ，点A(0,5)的对应点Aʹ落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点Bʹ的距离．25.如图，抛物线y=ax2+bx−4经过A(−3,0)，B(5,−4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．(1) 求抛物线的表达式．(2) 求△ABC的面积．(3) 抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．答案一、选择题 1. 【答案】D2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】 ∵y =(m +1)x m 2+m是关于 x 的二次函数，∴{m +1≠0,m 2+m =2,解得：{m ≠−1,m =−2或1,∴m =−2或1．4. 【答案】B【解析】 ∵ 当 1＜x ＜2 时，函数值 y 小于 1，当 3＜x ＜4 时，函数值 y 大于 1， ∴y 1＜y 2． 故选B ．5. 【答案】B【解析】 y =x 2+bx +c 函数图象开口向上， 当 x ≤1 时，总有 y ≥0，∴x 2+bx +c =y =0 的较小根 x 1=1， ∴1+b +c =0．当 1≤x ≤2 时，总有 y ≤0，∴x 2+bx +c =y =0 的较大根 x 2≥2． ∵x 1+x 2=−b ，∴x 2=−b −x 1=−b −1≥2， ∴−b ≥3． ∵−b =c +1，∴c +1≥3，即 c ≥2．6. 【答案】C7. 【答案】C8. 【答案】C【解析】 y =−12(x −3)2 的顶点为 (3,0)，故选项A 不符合题意；y=−12x2+3的顶点为(0,3)，故选项B不符合题意；y=−12(x+3)2的顶点为(−3,0)，开口方向，形状与函数y=−12x2的图象相同，故选项C符合题意；y=12x2−3的顶点为(0,−3)，故选项D不符合题意．9. 【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，而抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，∴①正确；∵2≤c≤3，而c=−3a，∴2≤−3a≤3，∴−1≤a≤−23，∴②正确；∵抛物线的顶点坐标(1,n)，∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，∴③正确；∵抛物线的顶点坐标(1,n)，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n−1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，∴④正确．故选D．10. 【答案】B【解析】因为抛物线开口向下，所以a<0，而抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，所以3a+b=3a−2a=a<0，所以①正确．因为2≤c≤3，而c=−3a，所以2≤−3a≤3，所以 −1≤a ≤−23，所以②正确． 因为抛物线的顶点坐标 (1,n )，所以 x =1 时，二次函数值有最大值 n ， 所以 a +b +c ≥am 2+bm +c ， 即 a +b ≥am 2+bm ，所以③正确． 因为抛物线的顶点坐标 (1,n )，所以抛物线 y =ax 2+bx +c 与直线 y =n −1 有两个交点，与 y =n +1 无交点， 所以关于 x 的方程 ax 2+bx +c =n +1 有两个不相等的实数根错误， 所以④错误， 所以①②③正确．二、填空题11. 【答案】 2 ； √312. 【答案】 a >−12 ； (3,8) ；向下13. 【答案】右； 1 ；上； 414. 【答案】10+4√525【解析】 ∵ 乒乓球第一次弹起到落地的时间为 0.8，ℎ=−5(t −m )2+n ， ∴m =0.4，此时 ℎ 取得最大值 n ， ∴ℎ=−5(t −0.4)2+n ， ∵ 该函数过点 (0,0)， ∴0=−5(0−0.4)2+n ， 解得，n =0.8，∵ 每次弹起的最高高度会比上一次降低 20%，∴ 第二次弹起的最大高度是 0.8×(1−20%)=0.64， 令 0.2×0.8=−5(t −0.4)2+0.8， 解得，t 1=10+4√525，t 2=10−4√525， ∴ 该乒乓球从第 1 次最高点到第 2 次最高点的时间间隔是： (0.8−0.4)+(0.4−10+4√525)=10+4√525s ， 故答案为：10+4√525．15. 【答案】 y =(x +2)2+1【解析】原抛物线的顶点为 (0,0)，向左平移 2 个单位长度，然后再向上平移 1 个单位长度， 那么抛物线 Cʹ 的顶点为 (−2,1)，可得抛物线 Cʹ 的解析式为：y =(x +2)2+1．16. 【答案】 −1 或 2 或 1【解析】 ∵ 函数 y =(a −1)x 2−4x +2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b 2−4ac =16−4(a −1)×2a =0，解得：a 1=−1，a 2=2， 当函数为一次函数时，a −1=0，解得：a =1．17. 【答案】b =−54 或 b =−34 或 3≤b <134三、解答题 18. 【答案】(1) 直角三角形，理由如下： 当 y =0 时，−12x 2−32x +2=0，解得 x 1=−4，x 2=1，即 B (−4,0)，A (1,0)． 当 x =0 时，y =2，即 C (0,2)． AB =1−(−4)=5，AB 2=25， AC 2=(1−0)2+(0−2)2=5， BC 2=(−4−0)2+(0−2)2=20， ∵AC 2+BC 2=AB 2， ∴△ABC 是直角三角形． (2) 存在，理由如下：y =−12x 2−32x +2 的对称轴是 x =−32，设 P (−32,n)， PA 2=(1+32)2+n 2=254+n 2，PC 2=94+(2−n )2，AC 2=5．分类讨论：①当 AP =AC 时，AP 2=AC 2，254+n 2=5，方程无解；不存在．②当 PA =PC 时，PA 2=PC 2，254+n 2=94+(2−n )2，解得 n =0，即 P 1(−32,0)；③当 CA =CP 时，CA 2=CP 2，94+(2−n )2=5，解得 n 1=2+√112，n 2=2−√112， 故 P 2(−32,2+√112)，P 3(−32,2−√112)． 综上所述：使得以 A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形，点 P 的坐标 (−32,0)，(−32,2+√112)，(−32,2−√112)．19. 【答案】(1) ∵ 抛物线对称轴 x =−2，∴ −b2×12=−2，解得 b =2，∵ 点 C(0,−2√3) 在抛物线 y 1=12x 2+bx +c 上，∴ c =−2√3，∴ 抛物线解析式为 y 1=12x 2+2x −2√3．(2) O 点对称点 Oʹ 不在抛物线 y 1 上．理由如下：过 Oʹ 点作 OʹH ⊥x 轴于 H ，如图，由（1）得 D (−2,0)，C(0,−2√3)，在 Rt △OCD 中，∵ OD =2，OC =2√3，∴ tan∠ODC =2√32=√3，∴ ∠ODC =60∘，∵ △OCD 沿 CD 翻折后，O 点对称点 Oʹ，∴ OʹD =OD =2，∠OʹDC =∠ODC =60∘，∴ ∠OʹDH =60∘，在 Rt △OʹDH 中，sin∠OʹDH =OʹH OʹD ， ∴ OʹH =2sin60∘=√3，∴ DH =√22−(√3)2=1，∴ Oʹ(−3,−√3)，∵ 当 x =−3 时，y 1=12x 2+2x −2√3=12×9+2×(−3)−2√3≠−√3,∴Oʹ点不在抛物线y1上．(3) ①设E(m,12m2+2m−2√3)(m<0)，过E作EH⊥x轴于H，连接DE，如图，则DH=−2−m，EH=−(12m2+2m−2√3)=−12m2−2m+2√3，由（2）得∠ODC=60∘，∵点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴上，∴DC垂直平分EEʹ，∴DC平分∠EDEʹ，DE=DEʹ，∴∠EDEʹ=120∘，∴∠EDH=60∘，在Rt△EDH中，∵tan∠EDH=EHHD，∴EH=HDtan60∘，即−12m2−2m+2√3=(−2−m)√3，整理得m2+(4−2√3)m−8√3=0，解得m1=2√3（舍去），m2=−4，∴E(−4,−2√3)，∴HD=2，EH=2√3，∴DE=√22+(2√3)2=4，∴DEʹ=4，∴Eʹ(2,0)，而EʹF⊥x轴，∴F点的横坐标为2，当x=2时，y1=12x2+2x−2√3=6−2√3，∴F(2,6−2√3)．② ∵点E关于直线CD的对称点Eʹ恰好落在x轴，∴PE=PEʹ，∴|PEʹ−PF|≤EʹF（当点P，Eʹ，F共线时，取等号），∴直线CD上存在点P，使|PE−PF|最大，最大值为6−2√3．20. 【答案】(1) ① ∵a=−124，P(0,1)，∴−124×(0−4)2+ℎ=1，解得ℎ=53．②把 x =5 代入 y =−124(x −4)2+53，得 y =−124×(5−4)2+53=1.625． ∵1.625>1.55，∴ 此球能过网．(2) 把 (0,1)，(7,125) 代入 y =a (x −4)2+ℎ，得 {16a +ℎ=1,9a +ℎ=125,解得 {a =−15,ℎ=215. ∴a =−15．21. 【答案】根据题意，可设抛物线的解析式为 y =a (x +4)2−1，把点 A (0,3) 代入，得 3=16a −1，解得 a =14，∴ 此抛物线的解析式为 y =14(x +4)2−1．22. 【答案】(1) ①抛物线的开口向下（或者 a <0 )，②抛物线的顶点坐标为 (2,7)，③抛物线的对称轴为直线 x =2，④沿 x 轴的正方向看：直线 x =2 的左侧，图象是上升的（或 y 的值随着 x 的值的增大而增大）；在直线 x =2 的右侧，图象是下降的（或 y 的值随着 x 的值的增大而减小），⑤ b >0，⑥ c >0，⑦ a +b +c >0，⑧ a −b +c >0，⑨ 4a +b =0 等信息．(2) 补充条件：C (0,3)，由题意得，该抛物线的顶点坐标为 D (2,7)，故而可设该抛物线的表达式为 y =a (x −2)2+7因为 C (0,3) 在该抛物线上，所以 3=a (0−2)2+7，解得 a =−1故所求的二次函数的解析式为 y =−(x −2)2+7 或 y =−x 2+4x +3．23. 【答案】(1) 设该函数关系式为 y =kx +b ，由已知得 {600k +b =100,550k +b =110. 解得：{k =−0.2,b =220.∴ 所求的所求的函数关系式为 y =−0.2x +220．(2) 由题意得：W=(x −300)y =(x −300)(−0.2x +220)=−0.2x 2+280x −66000=−0.2(x −700)2+32000.又 ∵−0.2<0，∴ 当 x =700 时，W 取得最大值，最大值为 32000，故销售单价 x 为 700 元/辆时，每月可获得最大利润，最大利润为 32000 元．24. 【答案】(1) 由抛物线 C 1:y =x 2−2x =(x −1)2−1 知，将其向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位得到新抛物线 C 2 的表达式是：y =(x −1+2)2−1−3，即 y =(x +1)2−4．(2) 由平移的性质知，点 A 与点 Aʹ 的纵坐标相等，所以将 y =5 代入抛物线 C 2，得 (x +1)2−4=5，则 x =−4 或 x =2（舍去），所以 AAʹ=4，根据平移的性质知：BBʹ=AAʹ=4，即点 B 与其对应点 Bʹ 的距离为 4 个单位．25. 【答案】(1) 将点 A (−3,0)，B (5,−4) 代入 y =ax 2+bx −4，得，{9a −3b −4=0,25a +5b −4=4,解得，{a =16,b =−56. ∴ 抛物线的解析式为：y =16x 2−56x −4． (2) 在抛物线 y =16x 2−56x −4 中，当 x =0 时，y =−4，∴C (0,−4)，∵B (5,−4)，∴BC ∥x 轴，S △ABC=12BC ⋅OC =12×5×4=10,∴△ABC 的面积为 10．(3) 设点 M (52,m)，①如图 1，当 ∠AMB =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，过点 B 作 BN ⊥x 轴 于点 N ，则 HM =m ，AH =112，AN =8，BN =4，∵∠MAH +∠MAN =90∘，∠MAN +∠ABN =90∘，∴∠MAH =∠ABN ，又 ∵∠AHM =∠BNA =90∘，∴△AHM ∽△BNA ，∴AH BN =HM NA ，即 1124=m 8，解得，m =11， ∴M 1(52,11)．②如图 2，当 ∠ABM =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，BC 与对称轴交于点 N ，由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分 BC ，∴MC =MB ，∴∠BMN =∠AMN ，又 ∵∠AHM =∠BMM =90∘，∴△AHM ∽△BNM ，∴AH BN =HM NM ，∵HM =−m ，AH =112，BN =52，MN =−4−m ， ∴11252=−m −4−m ，解得，m =−223，∴M 2(52,−223)；③如图 3，当 ∠AMB =90∘ 时，设 x 轴与对称轴交于点 H ，BC 与对称轴交于点 N ，则 AM 2+BM 2=AB 2，∵AM 2=AH 2+MH 2，BM 2=BN 2+MN 2，∴AH 2+MH 2+BN 2+MN 2=AB 2，∵HM =−m ，AH =112，BN =52，MN =−4−m ， 即 (112)2+m 2+(52)2+(−4−m )2=42+82，解得，m 1=√712−2，m 2=−√712−2，∴M3(52,√712−2)，M4(52,−√712−2)；综上所述，存在点M的坐标，其坐标为M1(52,11)，M2(52,−223)，M3(52,√712−2)，M4(52,−√712−2)．。

一、选择题1.对于题目“一段抛物线L：y=−x(x−3)+c与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值”．甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则( )A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确2.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是( )A．y=(x−23)2+155B．y=(x+23)2+155C．y=−(x−23)2−155D．y=−(x+23)2+1553.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)顶点为P，则下列说法中错误的是( )A．不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6B．关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同C．△PAB为等腰直角三角形，则a=−15D．当t≤x≤t+2时，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为at2+bt+c，则t≥04.在二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如表所示：x⋯−1013⋯y⋯−3131⋯则下列说法：①图象开口向下；②图象的顶点坐标为(1,3)；③当x=4时，y的值为−3；④ −1是方程ax2+bx+c+3=0的一个根．其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=l，结合图象给出下列结论：① ac<0；② 4a−2b+c>0；③当x>2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−2；③对于任意实3数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个x的图象如图所示，则方程ax2+ 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23)x+c=0(a≠0)的两根之和( )(b−23A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x= 2．下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③ 8a+7b+2c>0；④若点A(−3,y1)，点B(−2,y2)，点C(8,y3)在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤若方程a(x+1)(x−5)=−3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1<−1<x2<5．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个9.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32)，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34(a≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是( )A．−1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．94<m≤7210.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P 到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y 与x之间的函数关系的是( )A．B．C．D．二、填空题11.已知A(−1,y1)，B(−2,y2)是抛物线y=−2x2上的两点，则y1y2（填>，<，=）．12.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(−1,0)和点(0,−3)，且顶点在第四象限，则a的取值范围是．x+b与函数y=x2+∣2x2−1∣的图象有且只有三个交点，则b的值为．13.直线y=1214.在平面直角坐标系xOy中，函数y1=x(x<m)的图象与函数y2=x2(x≥m)的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P(0,n)且与x轴平行的直线总与图形G有公共点．写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为．16.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为．17.如图，一段抛物线：y=−x2+2x(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180∘得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180∘得C3，交x轴于点A3；⋯如此进行下去，直至得C15，若P(28.5,m)在第15段抛物线C15上，则m的值为．三、解答题18.已知二次函数图象过点A(−2,0)，B(4,0)，C(0,4)．(1) 求二次函数的解析式；(2) 如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90∘？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3) 点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=5，求点K的坐标．319.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,−6)，与x轴的一个交点坐标是A(−2,0)，求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；20.已知抛物线y=2x2−4x+c与x轴有两个不同的交点．(1) 求c的取值范围；(2) 若抛物线y=2x2−4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n)，试比较m与n的大小，并说明理由．21.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．(1) 当矩形边长a为多少米时，矩形面积为200m2？(2) 求出S关于a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；(3) 当a是多少时，场地的面积S最大？22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2−4nx+4n−1(n≠0)，与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．(1) 求抛物线顶点M的坐标；(2) 若点A的坐标为(0,3)，AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；(3) 在（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．若直线y=1223.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3) 在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4) 若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．24.已知函数y=x2−2x−3．(1) 画出此函数的图象；（要求：列表、描点、连线）(2) 若方程x2−2x−3=k有实数解，则实数k的取值范围为．25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A，B，与y轴的负半轴交于点C，点D为OC的中点，DA的延长线交抛物线于另一点E，连接OE．已知点A(1,0)，且S△AOD=2S△AOE．(1) 求点D和点E的坐标（用含字母c的代数式表示）．(2) 若tan∠OED=12，求该二次函数的函数表达式．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】把y=x+2代入y=−x(x−3)+c，得x+2=−x(x−3)+c，即x2−2x+2−c=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(2−c)=−4+4c=0，解得c=1，∴甲的结果正确．2. 【答案】D【解析】A．顶点为(23,155)，在第一象限，且开口向上，所以与x轴无交点；B．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向上，所以与x轴无交点；C．顶点为(23,−155)，在第四象限，且开口向下，所以与x轴无交点；D．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向下，所以与x轴有两个交点．本题选择与x轴有两个交点的二次函数的图象．3. 【答案】D【解析】由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象位于A(−4,−4)，B(6,−4)两点之间部分在y=−4的上方，即不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6，故A正确；由题意知，当x=−4或6时，a(x+4)(x−6)−4=−4，又因二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)，有当x=−4或6时，y=ax2+bx+c=−4，所以a(x+4)(x−6)−4=ax2+bx+c，则关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同，故B正确；=1，由题意得，P点的横坐标为：−4+62则P点纵坐标为：a+b+c=a−2a+c=−a+c，若△PAB为等腰直角三角形，则点P到AB的距离等于AB的一半，(6+4)，得c=1+a，有−a+c+4=12则抛物线的解析式为：y=ax2+bx+x=ax2−2ax+a+1，，故C正确；把A(−4,−4)代入，得−4=16a+8a+a+1，解得a=−15由图象可知，当0≤t<1时，二次函数的最大值顶点的纵坐标>at2+bt+c，故D错误．4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，因此a>0，与y轴交于负半轴，因此c<0，故ac<0，所以①正确；抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(−2,0)，于是有4a−2b+c=0，所以②不正确；x>1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④．6. 【答案】D【解析】利用抛物线的开口方向可得a<0，再由抛物线的对称轴可得b=2a，由此可对①进行判断；利用2≤c≤3结合已知条件可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1的交点个数可对④进行判断．∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，故①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0，∴c=−3a，∵2≤c≤3，∴2≤−3a≤3，，故②正确；∴−1≤a≤−23∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴x=1时，二次函数有最大值为n，∴对于任意实数m，总有a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，故④正确，故选D．7. 【答案】A8. 【答案】A=2，【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−4a，即4a+b=0，∴①正确；∵x=−3时，y<0，∴9a−3b+c<0，即9a+c<3b，∴②错误；∵抛物线经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，而b=−4a，∴a+4a+c=0，则c=−5a，∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，而a<0，∴8a+7b+2c>0，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下且对称轴为x=2，A，B，C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是：(8,y3)，(3,y1)，(−2,y2)，∴y3<y1<y2，∴④错误；∵如图所示：抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0)，∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x−5)，∴方程a(x+1)(x−5)=−3的两根x1和x2为抛物线y=a(x+1)(x−5)与直线y=−3的交点的横坐标，∴x1<−1<5<x2；∴⑤错误．综上所述，其中正确的结论有3个．9. 【答案】C【解析】令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，Δ=32−4ac=0，即4ac=9，又方程的根为−32a =32，解得 a =−1，c =−94，故函数 y =ax 2+4x +c −34=−x 2+4x −3， 如图，该函数图象顶点为 (2,1)，与 y 轴交点为 (0,−3)，由对称性，该函数图象也经过点 (4,−3)，∵ 函数图象在对称轴 x =2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，且当 0≤x ≤m 时，函数 y =−x 2+4x −3 的最小值为 −3，最大值为 1，∴2≤m ≤4．10. 【答案】B【解析】在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =6，BC =10，∴AC =√BC 2−AB 2=8．当 0≤x ≤6 时，AP =6−x ，AQ =x ，∴y =PQ 2=AP 2+AQ 2=2x 2−12x +36；当 6≤x ≤8 时，AP =x −6，AQ =x ，∴y =PQ 2=(AQ −AP )2=36；当 8≤x ≤14 时，CP =14−x ，CQ =x −8，∴y =PQ 2=CP 2+CQ 2=2x 2−44x +260．二、填空题11. 【答案】 >【解析】 ∵A (−1,y 1)，B (−2,y 2) 是抛物线 y =−2x 2 上的两点，∴y 1=−2×(−1)2=−2，y 2=−2×(−2)2=−8，∴y 1>y 2．故答案为：>．12. 【答案】 0<a <3【解析】 ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c (a >0) 过点 (−1,0) 和点 (0,−3)，∴{a −b +c =0,c =−3,∴a −b =3，b =a −3，∵ 顶点在第四象限，∴{−b 2a >0,4ac−b 24a<0, 即 −a−32a >0, ⋯⋯① 4a⋅(−3)−(a−3)24a<0, ⋯⋯② 解不等式①得，a <3，不等式②整理得，(a +3)2>0，∴a ≠−3，∴a 的取值范围是 0<a <3．故答案为：0<a <3．13. 【答案】12+√24 或 171614. 【答案】答案不唯一，如：1(0≤m ≤1)15. 【答案】 x 1=4，x 2=−2【解析】根据图象可知，二次函数 y =−x 2+2x +m 的部分图象经过点 (4,0)，∴ 该点适合方程 y =−x 2+2x +m ，代入，得 −42+2×4+m =0解得 m =8. ⋯⋯①把 ① 代入一元二次方程 −x 2+2x +m =0，得 −x 2+2x +8=0. ⋯⋯②解 ② 得 x 1=4，x 2=−2．16. 【答案】 x 1=−1，x 2=3【解析】由题意可得：抛物线对称轴是直线 x =1，且图象与 x 轴的一个交点为 (−1,0)，则图象与 x 轴的另一个交点为 (3,0)，故一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的两根为：x 1=−1，x 2=3．17. 【答案】 0.75【解析】令 y =0，则 −x (x −2)=0，解得 x 1=0，x 2=2，∴A 1(2,0)，由图可知，抛物线 C 14 在 x 轴下方，相当于抛物线 C 1 向右平移 4×7=28 个单位得到 C 14，再将 C 14 绕点 A 14 旋转 180∘ 得 C 15，∴ 抛物线 C 15 解析式为 y =−(x −28)(x −30)，∵P (28.5,m ) 在第 15 段抛物线 C 15 上，∴m =−(28.5−28)(28.5−30)=0.75．三、解答题18. 【答案】(1) 二次函数的图象过点 A (−2,0)，B (4,0)，设二次函数解析式为 y =a (x +2)(x −4)，又二次函数的图象过点 C (0,4)，∴−8a =4 即 a =−12．故二次函数解析式为 y =−12x 2+x +4．(2) 线段上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘． 理由如下：设 BC 中点为 Q ，由题意，易知 Q 的坐标为 (2,2)，BC =4√2．若 ∠BMC =90∘，则 MQ =12BC =2√2．∵A (−2,0)，C (0,4)，∴AC 的中点 P 为 (−1,2)．设 PB 所在的直线为 y =kx +b ，则 {−k +b =2,4k +b =0. 得 k =−25，b =85， PB 所在的直线为 y =−25x +85．M 在线段 PB 上，设 M 的坐标为 (a,−25a +85)，其中 −1≤a ≤4．如图 1，分别过 M ，Q 作 y 轴与 x 轴的垂线 l 1，l 2，设 l 1，l 2 相交于点 T ，∴QT =∣∣−25a +85−2∣∣=∣∣25a +25∣∣，MT =∣a −2∣， ∵MQ 2=QT 2+MT 2，∴(25a +25)2+(a −2)2=8， 整理得 29a 2−92a −96=0，解得 a =−2429 或 a =4，当 a =4 时，B ，M 重合，不合题意（舍去），∴a =−2429，则 M 的坐标为 (−2429,5629)．故线段 PB 上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘．(3) 如图 2，过点 D 作 DE ⊥BC 于点 E ，设直线 DK 与 BC 交于点 N ，∵D (1,0)，B (4,0)，∠EBD =45∘，∴DB =3，DE =3√22，E (52,32)． ∵C (0,4)，∴ 直线 BC:y =−x +4．在 Rt △DNE 中，NE =DE tanθ=3√2253=9√210．① 若 DK 与射线 EC 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(52−m)=9√210，∴m =85， ∴N (85,125)， ∴ 直线 DK:y =4x −4，∴{y =4x −4,y =−12x 2+x +4.解得 {x =2,y =4 或 {x =−8,y =−36.② 若 DK 与射线 EB 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(m −52)=9√210， ∴m =175，∴N (175,35)，∴ 直线 DK:y =14x −14．{y =14x −14,y =−12x 2+x +4,解得 {x =3+√1454,y =−1+√14516 或 {x =3−√1454,y =−1−√14516.综上所述，抛物线上符合条件的点 K 坐标为：(2,4) 或 (−8,−36) 或 (3+√1454,−1+√14516) 或(3−√1454,−1−√14516)．19. 【答案】 ∵ 二次函数 y =x 2+bx +c 的图象与 y 轴交于点 C (0,−6)，与 x 轴的一个交点坐标是 A (−2,0)，∴ {c =−6,(−2)2−2b +c =0,解得，{b =−1,c =−6.∴ 该函数的解析式为 y =x 2−x −6，∵ y =x 2−x −6=(x −12)2−254， ∴ 顶点 D 的坐标为 (12,−254)．20. 【答案】(1) b 2−4ac =(−4)2−8c =16−8c ．由题意，得 b −4ac >0，∴16−8c >0，解得 c <2．∴c 的取值范围是 c <2．(2) m <n ．理由如下：∵ 抛物线的对称轴为直线 x =1，又 ∵a =2>0，∴ 当 x ≥1 时，y 随 x 的增大而增大．∵2<3，∴m <n ．21. 【答案】(1) 由题意得 a (30−a )=200．解得 a 1=10，a 2=20．∴ 边长 a 为 10 米或 20 米．(2) S =a (30−a )=−a 2+30a ．0 <a <30．(3) S =−a 2+30a =−(a −15)2+225．∴ 当 a =15 米时，S 最大，最大值为 225 平方米．22. 【答案】(1) M (2,−1)．(2) B (4,3)．(3) ∵ 抛物线 y =nx 2−4nx +4n −1(m ≠0) 与 y 轴交于点 A (0,3)，∴4n −1=3．∴n =1．∴ 抛物线的表达式为 y =x 2−4x +3，由 12x +m =x 2+4x +3，由 Δ=0，得：m =−116， ∵ 抛物线 y =x 2−4x +3 与 x 轴的交点 C 的坐标为 (1,0)，∴ 点 C 关于 y 轴的对称点 C 1 的坐标为 (−1,0)．把 (−1,0) 代入 y =12x +m ，得：m =12；把 (−4,3) 代入 y =12x +m ，得：m =5． ∴ 所求 m 的取值范围是 m =−116 或 12<m ≤5．23. 【答案】(1) 方法一：将 A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3) 代入抛物线 y =ax 2+bx +c 中，得：{a −b +c =0,9a +3b +c =0,c =3,解得：{a =−1,b =2,c =3, ∴ 抛物线的解析式：y =−x 2+2x +3．(2) 方法一：连接 BC ，直线 BC 与直线 l 的交点为 P ；∵ 点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA =PB ，∴BC =PC +PB =PC +PA ．设直线 BC 的解析式为 y =kx +b (k ≠0)，将 B (3,0)，C (0,3) 代入上式，得：{3k +b =0,b =3, 解得：{k =−1,b =3,∴ 直线 BC 的函数关系式 y =−x +3．当 x =1 时，y =2，即 P 的坐标 (1,2)．(3) 符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．(4) 作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H ，作 HG ⊥AO ，垂足为 G ，∴∠AHG +∠GHO =90∘，∠AHG +∠GAH =90∘，∴∠GHO =∠GAH ，∴△GHO ∽△GAH ，∴HG 2=GO ⋅GA ，∵A (−1,0)，C (0,3)，∴l AC ：y =3x +3，H (−910,310)， ∵H 为 OOʹ 的中点，∴Oʹ(−95,35)，∵D (1,4)，∴l OʹD ：y =1714x +3914，l AC ：y =3x +3， ∴x =−325，y =6625，∴Q (−325,6625)．【解析】(1) 方法二：∵A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3)，∴y =−(x +1)(x −3)，即 y =−x 2+2x +3．(2) 方法二：连接 BC ．∵l 为对称轴，∴PB =PA ，∴C ，B ，P 三点共线时，△PAC 周长最小，把 x =1 代入 l BC ：y =−x +3，得 P (1,2)．(3) 方法一：抛物线的对称轴为：x =−b 2a =1，设 M (1,m )，已知 A (−1,0)，C (0,3)，则：MA 2=m 2+4，MC 2=(3−m )2+1=m 2−6m +10，AC 2=10．①若 MA =MC ，则 MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2−6m +10，得：m =1；②若 MA =AC ，则 MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m =±√6；③若 MC =AC ，则 MC 2=AC 2，得：m 2−6m +10=10，得：m 1=0，m 2=6，当 m =6 时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M(1,√6)，(1,−√6)，(1,1)，(1,0)．方法二：设 M (1,t )，A (−1,0)，C (0,3)．∵△MAC 为等腰三角形，∴MA =MC ，MA =AC ，MC =AC ，(1+1)2+(t −0)2=(1−0)2+(t −3)2，∴t =1；(1+1)2+(t −0)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t =±√6；(1−0)2+(t −3)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t 1=6，t 2=0，经检验，t =6 时，M ，A ，C 三点共线，故舍去．综上可知，符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．24. 【答案】(1) 表格及图象如下：x ⋯−10123⋯y ⋯0−3−4−30⋯(2) k ≥−4【解析】(2) 方程 x 2−2x −3=k 有实数解，则 Δ≥0，即：(−2)2−4(−3−k )≥0，解得：k ≥−4．25. 【答案】(1) 如图 1，过 E 作 EH ⊥x 轴于 H ，当 x =0 时，y =c ，∴C (0,c )，∵ 点 D 为 OC 中点，∴D (0,c 2)，∵S △AOD =2S △AOE ，∴EH OD =12，∵OD ∥EH ，∴AE AO =EH OD =12，∴AH =12，EH =−c 4，∴E (32,−c 4)．(2) 如图2，作AM⊥AE，MN⊥OA，垂足分别为M，N，∵tan∠OED=12，∴AMAE =12，证明△AMN∽△EAH，∴MN=12AH=14，AN=12EH=−c8，∴ON=1+c8，∵tan∠EOH=MNON =EHOH，∴c2+8c+12=0，解得c=−2或−6．故解得函数表达式为y=−23x2+83x−2或y=−2x2+8x−6．。

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】期末综合训练(二) 二次函数一、选择题1．抛物线y ＝－(x ＋2)2－5的顶点坐标是( C ) A ．(2，－5) B ．(2，5) C ．(－2，－5) D ．(－2，5)2．将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( B )A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －4)2－2C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －1)2－33．顶点为(6，0)，开口向下，开口的大小与函数y ＝13x 2的图象相同的抛物线所对应的函数是( D )A ．y ＝13(x ＋6)2B ．y ＝13(x －6)2C ．y ＝－13(x ＋6)2D ．y ＝－13(x －6)24．抛物线y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( B ) A ．k >－74 B ．k ≥－74且k ≠0C ．k ≥－74D ．k >－74且k ≠05．图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ．如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( C )A ．y ＝－2x 2B ．y ＝2x 2C ．y ＝－12x 2D ．y ＝12x 26．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a>0)的两个实数根x 1，x 2满足x 1＋x 2＝4和x 1·x 2＝3，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象有可能是( C )7．(2015·遂宁)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a ＋b ＞0；②abc ＜0；③b 2－4ac ＞0；④a ＋b ＋c ＜0；⑤4a －2b ＋c ＜0，其中正确的个数是( B )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题8．若y ＝(2－a)xa 2－2－4x ＋3是二次函数，则a 的值为__－2__．9．(2015·漳州)已知二次函数y ＝(x －2)2＋3，当x__x<2__时，y 随x 的增大而减小． 10．(2015·杭州)函数y ＝x 2＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝__－1__；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而__增大__．(填“增大”或“减小”)11．二次函数y ＝x 2－mx ＋3的图象与坐标轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是__4__．,第11题图) ,第12题图)12．如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12x 2的图象，则阴影部分的面积是__2π__．13．已知二次函数的图象与x 轴的两个交点A ，B 关于直线x ＝－1对称，且AB ＝6，顶点在函数y ＝2x 的图象上，则这个二次函数的表达式为__y ＝29x 2＋49x －169__．14．(2015·营口)某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为__22__元时，该服装店平均每天的销售利润最大．三、解答题15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图，根据图象回答下列问题： (1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根；(2)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：(1)x 1＝1，x 2＝3(2)x>2 (3)观察图象，可知如果抛物线向下平移的单位长度小于2时，抛物线就与x 轴有两个交点，∴要使方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，需使k<216．(2015·宁夏)已知点A(3，3)在抛物线y ＝－13x 2＋433x 的图象上，设点A 关于抛物线对称轴对称的点为B.(1)求点B 的坐标； (2)求∠AOB 的度数．解：(1)B (33，3)(2)过B 作BC ⊥y 轴于C ，则点A 在BC 上，∵A (3，3)，B (33，3)，∴BC ＝33，AC ＝3，OC ＝3，∴tan ∠AOC ＝AC OC ＝33，tan ∠BOC ＝BCOC＝3，∴∠AOC ＝30°，∠BOC＝60°，∴∠AOB ＝30°17．(2015·枣庄)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)y ＝2x 2－8x ＋6 (2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则C 点坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498，∵PC ＞0，∴当n ＝94时，线段PC 最大且为49818．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m )与运行的水平距离x(m )满足关系式y ＝a(x －6)2＋h.已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m .(1)当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量x 的取值范围) (2)当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．解：(1)把x ＝0，y ＝2及h ＝2.6代入到y ＝a (x －6)2＋h 中，得2＝a (0－6)2＋2.6，解得a ＝－160，∴y ＝－160(x －6)2＋2.6 (2)当h ＝2.6时，y ＝－160(x －6)2＋2.6，把x ＝9代入上式，得y ＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45>2.43，∴球能越过网．把x ＝18代入y ＝－160(x －6)2＋2.6，得y ＝－160(18－6)2＋2.6＝0.2>0，∴球会出界(3)把x ＝0，y ＝2代入y ＝a (x －6)2＋h ，得a ＝2－h 36.当x ＝9时，y ＝2－h36(9－6)2＋h ＝2＋3h 4，∴2＋3h 4>2.43①.当x ＝18时，y ＝2－h36(18－6)2＋h ＝8－3h ，∴8－3h ≤0②，联立①②，解得h ≥83中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线()20y ax bx c a =++<的图象过点3,0，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④2、下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =B ．211y x x=++C ．221y x =-D ．y 3、若点A （1，y 1），B （2，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y =()21a x c ++（a ≠0）上，且y 1＜y 2＜y 3，则m 的值不可能是（ ）A ．5B ．3C ．－3D ．－5 4、已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋1（a 为常数，且a ＞0）的图象上有三点A （－2，y 1），B （1，y 2），C （3，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 15、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b c -+<C ．420a b c -+>D ．2b a >6、若抛物线27(4)1y x =-+-平移得到27y x =-，则必须（ ）A ．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B ．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C ．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位7、在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －1)2－1B ．y ＝(x －1)2＋1C ．y ＝(x ＋1)2－1D ．y ＝(x ＋1)2＋18、下列关于二次函数()21622y x =-+的说法正确的是（ ） A ．当6x <时，y 随着x 的增大而增大B ．当6x =时，y 有最小值为2C ．该函数图象与x 轴有两个交点D ．该函数图象可由抛物线212y x =向左平移6个单位，再向上平移2个单位得到 9、二次函数2(1)5y x =-++的最大值是（ ）A ．5B ．1-C ．5-D ．110、如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 交x 轴分别于点A （﹣3，0），B （1，0），交y 轴正半轴于点D ，抛物线顶点为C ．下列结论：①2a ﹣b ＝0；②a +b +c ＝0；③当m ≠﹣1时，a ﹣b ＞am 2+bm ；④当△ABC 是等腰直角三角形时，a ＝﹣12；⑤若D （0，3），则抛物线的对称轴直线x ＝﹣1上的动点P 与B 、D 两点围成的△PBD 周长最小值为3． 其中，正确的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线12y x =和抛物线224y x x =-+，当12y y <时，x 的取值范围是______．2、写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．3、如图，“心”形是由抛物线26y x =-+和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C 的对应点为D ，点A ，B 是两条抛物线的两个交点，点E ，F ，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB =_______________．4、如果抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a ______0．（填“＜”或“＞”）5、已知二次函数223y x x n =--+-（n 为常数），若该函数图像与x 轴只有一个公共点，则n =______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝﹣2x +m 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象相交于A ，B 两点，点A （1，4）为二次函数图象的顶点，点B 在x 轴上．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x 的取值范围．2、如图，抛物线2y x bx c =-++经过()()1,0,3,0A B -两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得BCP 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为OC 的中点，若有一动点P 自点M 处出发，沿直线运动至x 轴上的某点(设为点E )，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点F )，最后又沿直线运动至点C ，则点P 运动的总路程最短为______．(请直接写出答案)3、一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y （千克）与售价x （元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？4、小明对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．根据已知条件，列出了下表：（1）根据以上信息求出这个函数的表达式；（2）请将以上表格填全；（3）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；（4）在同一直角坐标系中画出函数y＝-x+1的图象，结合函数图象，写出方程a|x2+bx|+c=-x+1的解：．5、已知二次函数y ＝x 2－2mx+2m 2－1(m 为常数）．（1）若该函数图像与x 轴只有一个公共点，求m 的值；（2）将该函数图像沿过其顶点且平行于x 轴的直线翻折，得到新函数图像．①新函数的表达式为________________________，并证明新函数图像始终经过一个定点；②已知点A （－2，－1）、B （2，－1），若新函数图像与线段AB 只有一个公共点，请直接写出m 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据抛物线的对称性与过点3,0，可得抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0,-可判断②，再依次判断,,a b c 可判断①，由对称轴为直线1x =，可判断③，由函数2y ax bx c =++与1y =-的图象有两个交点，可判断④，从而可得答案.【详解】解： 抛物线()20y ax bx c a =++<的图象过点3,0，对称轴为直线1x =，∴ 抛物线与x 轴的另一个交点为：()1,0,- 则0,a b c -+= 故②符合题意；∴ 抛物线与y 轴交于正半轴，则0,c >10,2b x a则0,b > 0,abc 故①不符合题意；对称轴为直线1x =，∴ 当1x =时，,y a b c 最大值 故③不符合题意；当210ax bx c +++=时，则21,ax bx c而函数2y ax bx c =++与1y =-的图象有两个交点，∴ 方程210ax bx c +++=有实数根．故④符合题意；综上：符合题意的是：②④故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断,,a b c 的符号以及代数式的符号，函数的最值，方程的根”是解本题的关键.2、C【分析】根据二次函数的定义依次判断．【详解】解：A 、21y x =不是二次函数，不符合题意；B 、211y x x=++，不是二次函数，不符合题意； C 、221y x =-，是二次函数，符合题意；D 、y =故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．3、C【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x =-1，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m 的不等式，解不等式即可得出结论．【详解】解：抛物线y =()21a x c ++的对称轴为x =-1，∵点A （1，y 1），B （2，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y =()21a x c ++上，且y 1＜y 2＜y 3，∴当a ＜0，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，点A 、B 都在对称轴右侧，而y 1＜y 2，所以这种情况不存在；当a ＞0，则|m +1|>(2+1)=3，解得m ＜-4或m >2，m 的值不可能是-3．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键．4、D【分析】首先计算出抛物线的对称轴，然后结合开口方向，以及各点和对称轴的远近判断对应函数值大小即可．【详解】 解：由题意，抛物线对称轴为：直线12b x a=-=， ∵a ＞0，则该抛物线开口向上，∴离对称轴越近的点，对应的函数值越小，越远的点，对应函数值越大， ∵()113112-<-<--， ∴231y y y <<，故选：D ．【点睛】本题考查比较二次函数值的大小，当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点，对应的函数值越小，越远的点，对应的函数值越大；相反，当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点，对应的函数值越大，越远的点，对应的函数值越小；掌握此方法是解题关键．5、D【分析】由抛物线开口向下，得到a 小于0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可判断选项A ；由x =-1时，对应的函数值大于0，可判断选项B ；由x =-2时对应的函数值小于0，可判断选项C ；由对称轴大于-1，利用对称轴公式得到b ＞2a ，可判断选项D ．【详解】解：由抛物线的开口向下，得到a ＜0，∵-2b a ＜0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 错误；∵x =-1时，对应的函数值大于0，∴a -b +c ＞0，故选项B 错误；∵x =-2时对应的函数值小于0，∴4a -2b +c ＜0，故选项C 错误；∵对称轴大于-1，且小于0，∴0＞-2b a＞-1，即0＞b ＞2a ，故选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意x =1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．6、B【分析】根据两抛物线的顶点坐标即可确定平移的方向与距离，从而完成解答．【详解】抛物线27(4)1y x =-+-的顶点为(－4，－1)，而抛物线27y x =-的顶点为原点由题意，把抛物线27(4)1y x =-+-的顶点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，即可得到抛物线27y x =-的顶点，从而抛物线27(4)1y x =-+-先向右平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到27y x =-．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住抛物线顶点的平移．7、B【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的规律写出即可．【详解】解：∵向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后的顶点坐标，∴所得抛物线解析式是y =(x -1)2+1，故选：B ．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．8、B【分析】根据二次函数的性质，增减性质可判断A ，函数最值可判断B ，函数图像的位置可判断C ，利用平移的方向可判断D ．【详解】 解：∵二次函数()21622y x =-+ 102a =＞抛物线开口向上， 当6x ＞时，抛物线y 随x 增大而增大，故选项A 不正确；当6x =时，y 有最小值为2，故选项B 正确；函数图像都在x 轴上方，与x 轴没有交点，故选项C 不正确； 该函数图象可由抛物线212y x =向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到，故选项D 不正确． 故选B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质，以及平移法则上加下减，左加右减是解题关键．9、A【分析】根据二次函数的图象与性质求解即可．【详解】 解：该二次函数的顶点式为2(1)5y x =-++，且a =－1＜0，∴该函数的图象开口向下，且顶点坐标为(1,5)-，∴该二次函数的最大值为5， 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．10、C【分析】根据二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短一一判断即可．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 交x 轴分别于点A （﹣3，0），B （1，0），∴a +b +c ＝0，故②正确；对称轴为直线x ＝312-+＝﹣1， ∴﹣2b a ＝﹣1， ∴2a ﹣b ＝0，故①正确；由图象可知，当x ＝﹣1时，y 有最大值，最大值＝a ﹣b +c ，∵m ≠﹣1，∴a ﹣b +c ＞am 2+bm +c ，∴a ﹣b ＞am 2+bm ，故③正确，∵A （﹣3，0），B （1，0），∴AB ＝4，∵△ABC 是等腰直角三角形时，∴C （﹣1，2），∴可设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）2+2，把（1，0）代入得到a ＝﹣12，故④正确，如图，连接AD 交抛物线的对称轴于P ，连接PB ，此时△BDP 的周长最小，最小值＝PD +PB +BD ＝PD +PA +BD ＝AD +BD ，∵AD BD ，∴△PBD 周长最小值为故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，属于中考常考题型．二、填空题1、02x ＜＜【分析】当1y ＜2y 时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，利用函数图像可以得到自变量的取值范围，即不等式的解集．【详解】解：联立方程组12224y x y x x =⎧⎨=-+⎩， 解得02,04x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， 直线12y x =与抛物线224y x x =-+的交点为：()()0,0,2,4,当1y ＜2y 时，一次函数的图像在二次函数的图像的下方，所以此时：02x ＜＜．故答案为：02x ＜＜．【点睛】本题考查的是利用图像法求不等式的解集，掌握利用二次函数与一次函数的图像写不等式的解集是解题的关键．2、22y x =+（答案不唯一）【分析】根据题意，写出一个0,2a c >=的解析式即可【详解】解：根据题意，0,2a c >=故22y x =+符合题意故答案为：22y x =+（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．3、【分析】连接OD ，做BP ⊥x 轴，垂足为M ，作AP ⊥y 轴，垂足为N ，AP 、BP 相交于点P ．根据旋转作图和“心”形的对称性得到∠COB =30°，∠BOG =60°，设OM =m ，得到点B 坐标为()m ，把点B 代入26y x =-+，求出m ，即可得到点A 、B 坐标，根据勾股定理即可求出AB ． 【详解】解：如图，连接OD ，做BP ⊥x 轴，垂足为M ，作AP ⊥y 轴，垂足为N ，AP 、BP 相交于点P ． ∵点C 绕原点O 旋转60°得到点D ，∴∠COD =60°，由“心”形轴对称性得AB 为对称轴，∴OB 平分∠COD ，∴∠COB =30°，∴∠BOG =60°，设OM =m ，在Rt△OBM 中，BM =tan OM BOM ∠=,∴点B 坐标为()m ， ∵点B 在抛物线26y x =-+上，∴26m -+=，解得12m m ==-∴点B 坐标为)，点A 坐标为()6--，∴AP =BP =9，在Rt△ABP 中，AB ==故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质，旋转、轴对称、勾股定理、三角函数等知识，综合性较强，理解题意，表示出点B 坐标是解题关键．4、>根据抛物线y=ax 2+bx+c 在对称轴左侧的部分是下降的，即可得到答案．【详解】解：∵y=ax 2+bx+c 在对称轴左侧的部分是下降的，∴函数图象的开口向上，∴a ＞0，故答案为：＞．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5、4【分析】根据抛物线与x 轴有一个交点，即Δ＝0，即可求出n 的值.【详解】解：∵二次函数223y x x n =--+-图象与x 轴有且只有一个公共点，∴△＝(−2)2−4×（-1）（3-n ）＝0，解得：n ＝4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查二次函数与x 轴的交点个数，△＝b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△＝b 2−4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2−4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2−4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．三、解答题1、（1）2y x 2x 3=-++；（2）13x（1）把点A 代入一次函数解析式，求出一次函数解析式和点B 的坐标，然后设出二次函数顶点式，把点B 代入即可求出二次函数解析式；（2）由图像可知，x 轴上面部分的二次函数值都大于0，根据二次函数与x 轴的交点特征求得二次函数与x 轴的交点即可得出答案．【详解】解：（1）∵点A （1，4）在一次函数y ＝﹣2x +m 上，∴把点A （1，4）代入y ＝﹣2x +m ，得，4＝﹣2×1+m ，解得：m ＝6，∴一次函数解析式为：y ＝﹣2x +6，令y ＝0时，则﹣2x +6＝0，解得：x ＝3，∴点B 的坐标为：（3，0），∵点A （1，4）为二次函数图象的顶点，点B 在x 轴上，∴设二次函数解析式为：()214y a x =-+， 把点B （3，0）代入()214y a x =-+，解得：a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为：()221423y x x x =--+=-++； （2）由（1）求得二次函数解析式为2y x 2x 3=-++，令y ＝0，即2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，由图像可知x 轴上面部分的二次函数值都大于0，且二次函数与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0）， ∴自变量x 的取值范围：13x ．【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，根据顶点坐标设出二次函数顶点式是求出二次函数的关键．2、（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）32【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分两种情况：①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，得到PH=CH ，设P （2,23a a a -++），则2233a a a =-++-，求出a 即可；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ，求出OB=OR =3，PG=RG ，设P （2,23a a a -++），则2233a a a -=---，求出a 即可；（3）当点E 与点O 重合时，点P 运动的路径最短，作点E 关于抛物线对称轴的对应点为T ，连接CT 交对称轴于点F ，则点P 运动的路径为ME+EF+CF ，由轴对称求出T （2,0），勾股定理求出CT ，即可求出点P 运动的路径ME+EF+CF =ME+CT 得到答案．【详解】解：（1）将()()1,0,3,0A B -代入2y x bx c =-++，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴该抛物线的函数表达式是2y x 2x 3=-++；（2）存在．①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，∵OB=OC ，∠BOC=90°，∴△BOC 为等腰直角三角形，∠BCO =45°，∴∠PCH =45°，∴△PHC 为等腰直角三角形，即PH=CH ，设P （2,23a a a -++），则2233a a a =-++-，解得121,0a a ==（舍去），此时2234a a -++=，∴P （1,4）；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ， ∵∠CBO =45°，∴∠GPR =∠OBR =45°，∴△PRG 为等腰直角三角形，∴OB=OR =3，PG=RG ，设P （2,23a a a -++），则2233a a a -=---，解得122,3a a =-=（舍去），此时2235a a -++=-，∴P （-2，-5）；综上，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）当点E 与点O 重合时，点P 运动的路径最短，如图，作点E 关于抛物线对称轴的对应点为T ，连接CT 交对称轴于点F ，则点P 运动的路径为ME+EF+CF ， ∵2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线x =1，∴T （2,0），∵C（0,3）∴CT =∴点P 运动的路径ME+EF+CF =ME+CT =32，故答案为：32【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，最短路径问题，综合掌握各知识点是解题的关键．3、（1）150y x =-+；（2）批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克70元；（3）产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w （元）最大.【分析】（1）设一次函数为,y kx b =+ 把50,100,60,90代入，再列方程组，解方程组即可；（2）由每千克商品的利润乘以销售的数量=4000，列方程，再解方程并检验即可得到答案；（3）由总利润等于每千克商品的利润乘以销售的数量，建立二次函数关系式为：2201501703000,w x x x x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】解：（1）由题意设：,y kx b =+把50,100,60,90代入可得：501006090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1,150k b 所以：y 与x 的函数关系式为：150,y x（2）由题意得：201504000,x x整理得：217070000,x x701000,x x解得：1270,100,x x该产品每千克售价不得超过90元，所以100x =不符合题意，取70,x即批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克70元.（3）由题意得：2201501703000,wx x x x 10,a w 有最大值， 当1708521x时， 85208515065654225,w 最大值所以产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w （元）最大.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一元二次方程的应用，列二次函数关系式，二次函数的性质，掌握“总利润等于每千克商品的利润乘以销售的数量”是解本题的关键.4、（1）y ＝|x 2﹣4x |﹣3；（2）见解析；（3）见解析；（4）1231,1,4x x x =-==【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；（2）将x =-1，2，5分别代入解析式计算即可；（3）描点，用平滑的曲线连接即可；（4）结合图形写出交点横坐标即可；【详解】解：（1）将（0，-3）（1，0）（3，0）代入y ＝a |x 2+bx |+c 得301093c a b c a b c ⎧-=⎪=++⎨⎪=++⎩解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 所以表达式为y ＝|x 2﹣4x |﹣3（2）当x =-1时，y =2；当x =2时，y =1当x =5时，y =2（3）如图：（4）y ＝-x +1与y ＝|x 2﹣4x |﹣3图象的交点即为方程a |x 2+bx |+c =-x +1的解，由图可知交点为：（-1，2）（1，0）（4，-3）即答案为：1231,1,4x x x =-==【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的关系解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．5、（1）m 的值为±1；（2）①221y x mx =-+-，新函数过定点(0,1)-；②m 的取值范围为：1m 或1m <-或0m =．【分析】（1）△22(2)4(21)0m m =---=，即可求解；（2）①翻折后的抛物线的解析式的顶点不变，开口相反，可得新函数的表达式，当0x =时，1y =-，即可求解；②当0m >时，如上图实线部分，新函数图象与线段AB 只有一个公共点，则函数不过点B ，即1m ；当0m <时，同理可得：1m <-，即可求解．【详解】解：（1）△22(2)4(21)0m m =---=，1m ∴=±，即函数图象与x 轴只有一个公共点时，m 的值为±1；（2）①2222221()1y x mx m x m m =-+-=-+-，顶点坐标为2(,1)m m -，图像翻折后，顶点坐标不变，开口向下，1a =-，∴翻折后抛物线的表达式为：222()121y x m m x mx =--+-=-+-，故答案为：221y x mx =-+-；当0x =时，1y =-，故新函数过定点(0,1)-；②设定点为(0,1)C -，而点(2,1)A --、(2,1)B -，即点A 、B 、C 在同一直线上，新抛物线的对称轴为x m =，当0m >时，如上图实线部分，新函数图象与线段AB 只有一个公共点，则函数不过点B ，即1m ， 当0m <时，同理可得：1m <-，从图象看，当0m =时，也符合题意，故m 的取值范围为：1m 或1m <-或0m =．【点睛】此题是抛物线的交点坐标题，主要考查抛物线与直线的交点，解本题的关键是画出图象，分析抛物线与线段AB 只有一个交点是解本题的难点．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)一、选择题：1.若(2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）3.下列函数中，是二次函数的有( )①y=1－x2；②y=；③y=x(1－x)；④y=(1－2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个4.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )A.直线y=x上B.直线y=－x上C.x轴上D.y轴上5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2－2C.y=x2+2D.y=x2－26.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D. 28米7.二次函数y=x2+2x－3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（－1,－4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（－1,﹣4）8.在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）9.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）A.60元B.80元C.60元或80元D.30元10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2C．3D．211.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒 D．第15秒12.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大二、填空题：13若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x－h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k= ．14.抛物线y=(x－1)2+2的顶点坐标是.15.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1的图象上，且x1＜x2＜2，则1,y1、y2的大小关系是．16.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是bc（用“＞”或“＜”号填空）17.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．18.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．三、解答题：20.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．21.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．22.如图，一次函数y 1＝kx ＋1与二次函数y 2＝ax 2＋bx －2交于A ，B 两点，且A (1，0)，抛物线的对称轴是x ＝－32.(1)求k 和a ，b 的值；(2)求不等式kx ＋1＞ax 2＋bx －2的解集．23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求∠BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．24.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。

北师大版数学九年级下册第二章： 二次函数 单元综合试题 (含答案)时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中是二次函数的是( B )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －32．若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b ，k 的值分别为( D )A ．0，5B ．0，1C ．－4，5D ．－4，13．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( B )A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－24．若(2，5)，(4，5)是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的两个点，则它的对称轴是( C )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝45．对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是( B ) A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点6．同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是( C )7．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( A )A ．4B ．6C ．8D ．108．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，∠OBC ＝45°，则下列各式成立的是( B )A ．b －c －1＝0B ．b ＋c ＋1＝0C ．b －c ＋1＝0D ．b ＋c －1＝09．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －1 3 5 3下列结论：①ac ＜0；②当x ＞1时，y 的值随x 的增大而减小；③3是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的一个根；④当－1＜x ＜3时，ax 2＋(b －1)x ＋c ＞0.其中正确的个数为( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，坐标平面上，二次函数y ＝－x 2＋4x －k 的图形与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0.若△ABC 与△ABD 的面积比为1∶4，则k 值为何？( D )A ．1 B.12 C.43 D.45二、填空题(每小题3分，共24分)11．二次函数y ＝x 2＋2x －4的图象的开口方向是__向上__，对称轴是__x ＝－1__，顶点坐标是__(－1，－5)__．12．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x (单位：cm )的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S (单位：cm 2)随x 的变化而变化．则S 与x之间的函数关系式为__S ＝－12x 2＋20x __． 13．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是A (2，1)，且经过点B (1，0)，则抛物线的函数关系式为__y ＝－x 2＋4x －3__．14．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s (m )与时间t (s )的函数关系式为s ＝20t －5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性的作用，汽车要滑行__20__米才能停下来．15．如图，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2，4)，B (8，2)，则使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是__x ＜－2或x ＞8__．16．隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋3.25，一辆车高3 m ，宽4 m ，该车__不能__通过该隧道．(填“能”或“不能”)17．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．这个函数解析式为__y ＝－x 2＋5__．(写出一个即可)18．若二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则1x 1＋1x 2的值为__－4__．三、解答题(共66分)19．(9分)已知二次函数y ＝－x 2－2x ＋3.(1)求它的顶点坐标和对称轴；(2)求它与x 轴的交点；(3)画出这个二次函数图象的草图．解：(1)顶点(－1，4)，对称轴x ＝－1 (2)(－3，0)，(1，0) (3)图略20.(8分)如图，二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)，B (0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．解：(1)y ＝－12x 2＋4x －6 (2)∵该抛物线对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)，∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝621．(8分)已知二次函数y ＝x 2＋bx －c 的图象与x 轴两交点的坐标分别为(m ，0)，(－3m ，0)(m ≠0)．(1)求证：4c ＝3b 2；(2)若该函数图象的对称轴为直线x ＝1，试求二次函数的最小值．解：(1)由题意，m ，－3m 是一元二次方程x 2＋bx －c ＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m ＋(－3m )＝－b ，m ·(－3m )＝－c ，∴b ＝2m ，c ＝3m 2，∴4c ＝12m 2，3b 2＝12m 2，∴4c ＝3b 2 (2)由题意得－b 2＝1，∴b ＝－2，由(1)得c ＝34b 2＝34×(－2)2＝3，∴y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴二次函数的最小值为－422．(9分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为x (s )，△PBQ 的面积为y (cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)求△PBQ 的面积的最大值．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0＜x ≤4) (2)由(1)知：y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－(x －92)2＋814，∵当0＜x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0＜x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 223．(9分)如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？解：(1)A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，3) (2)y ＝－3(x －2)2＋3 (3)设抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋k ，代入D (0，3)，可得k ＝53，平移后的抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋53，∴平移了53－3＝43个单位24．(11分)(2016·宿迁)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m (30＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0＜x ≤30），[120－（x －30）]x （30＜x ≤m ），[120－（m －30）]x （m ＜x ≤100）(2)由(1)可知当0＜x ≤30或m ＜x ≤100时，函数值y 都是随着x 的增加而增加，当30＜x ≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5625，∵a ＝－1＜0，x ≤75时，y 随x 的增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m ≤7525．(12分)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：(1)抛物线的解析式：y＝x2－2x－3(2)当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A，点B的距离之和最短，此时x＝－b2a＝1，故P(1，0)(3)如图所示，抛物线的对称轴为x＝－b2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA2＝m2＋4，MC2＝(3＋m)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±6；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，不能构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M点的坐标为(1，6)(1，－6)，(1，－1)，(1，0)。

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。

北师大九下第二章二次函数-总复习一、单选题1．函数y ＝mx 2+（m +2）x +12m +1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A ．0B ．0或2C ．0或2或﹣2D ．2或﹣22．对于二次函数y =(x -1)2+2的图象，下列说法正确的是（） A ．开口向下B ．对称轴是x =-1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．把抛物线y ＝﹣x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝﹣（x ﹣1）2﹣3 B ．y ＝﹣（x +1）2﹣3 C ．y ＝﹣（x ﹣1）2+3D ．y ＝﹣（x +1）2+34．下列图像中，当0ab >时，函数2y ax =与y ax b =+的图象时（）A ．B ．C ．D ．5．已知二次函数2115y x 7x 22=--+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 16．二次函数224y x x =-++的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（） A ．y ＝－2(x －1)2＋3 B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3 C ．y ＝－(2x ＋1)2＋3D ．y ＝－(2x －1)2＋38．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h (单位：m )与水流运动时间t (单位:s )之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( ) A ．6 sB ．4 sC ．3 sD ．2 s9．二次函数y =ax 2+bx ﹣1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则a +b +1的值是（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．310．如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是（ ）A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．x ＜－1或x ＞511．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最大值，最大值为5；（2）0ac <；（3）1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；（4）3是方程2(1)0ax b x c +-+=的一个根；（5）当13x 时，2(1)0ax b x c +-+>.则其中正确结论的个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．112．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③若m 为任意实数，则a +b ＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＝2．其中，正确结论的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．413．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值14．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．415．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（）A．6 B．8 C．12 D．16二、填空题16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若B（﹣32，y1），C（﹣14，y2）为图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝0；④244ac ba＜0，其中正确的结论是_____．17．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为__18．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是_______.19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c 的最小值是_____．20．以40/m s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：2205h t t=-，那么球从飞出到落地要用的时间是________．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣23（x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为_____．22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．三、解答题23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A（m，﹣1），点A 关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及a的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W．①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．某水产养殖户，一次性收购了20000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系式为()()200000501001500050100tmt t≤≤⎧⎪=⎨+≤⎪⎩＜，y与t的函数关系如图所示①求y与t的函数关系式；②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润=销售总额－总成本）26．已知：如图所示，在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积．27．某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y（件）与每件的销售价格x（元）满足函数关系：y＝﹣2x+200．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件．（1）写出每天的销售利润w（元）与销售价格x（元）的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元？28．如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D 在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．29．如图①，已知抛物线2=++经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．y ax bx c（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．30．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．31．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．32．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．参考答案一、单选题1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D 11．B 12．B 13．C 14．B 15．B 二、填空题16．①③17．618．519．﹣15．20．4s 21．1822．③④ 三、解答题23．解：（1）变形得：()()22432y a x x a a x a =-+=--.∴对称轴为2x =．∴点A 的坐标为()2,1-可得抛物线顶点为()2,1 把点A 坐标代入抛物线可得：1a =-．（2）①当1k =时，区域W 内的整点个数为2个． ②若0k >，当直线过()1,2-，()2,1-时，3b =-．当直线过()0,4-，()2,1-时，4b =-． ∴43b -≤<-． 若0k <，由对称性可得：12b <≤．∴b 的取值范围是：43b -≤<-或12b <≤． 24．解：（1）由题意，得：w =（x ﹣20）•y =（x ﹣20）•（﹣10x +500） =21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x ≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x =7002(10)-⨯-=35．又∵a =﹣10＜0，抛物线开口向下． ∴当20≤x ≤32时，W 随着X 的增大而增大， ∴当x =32时，W =2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． （3）取W =2000得，210700100002000x x -+-= 解这个方程得：1x =30，2x =40． ∵a =﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵20≤x ≤32，∴当30≤x ≤32时，w ≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P =20（﹣10x +500）=﹣200x +10000 ∵k =﹣200＜0， ∴P 随x 的增大而减小，∴当x =32时，P 的值最小，P 最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．25．解：（1）由题意，得1030.4,2030.8.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得0.04,30.a b =⎧⎨=⎩∴a 的值为0．04,b 的值为30(2)①当0≤t ≤50时, 设y 与t 的函数关系式为11y k t n =+, ∵11y k t n =+过点(0,15)和(50,25)，∴11115,2550.n k n =⎧⎨=+⎩解得111,515.k n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴y 与t 的函数关系式为1155y t =+ 当50＜t ≤100时, 设y 与t 的函数关系式为22y k t n =+, ∵22y k t n =+过点(50,25)和(100,20)，∴22222550,20100.k n k n =+⎧⎨=+⎩解得221,1030.k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴y 与t 的函数关系式为13010y t =-+ ∴y 与t 的函数关系式为115(050)5130(50100)10⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩t t y t t ②当0≤t ≤50时,120000(15)(400300000)36005w t t t =+-+=． ∵3600＞0, ∴当50t =时,w最大值=180000；当50＜t ≤100时, 1(10015000)(30)(400300000)10w t t t =+-+-+ 2210110015000010(55)180250t t t =-++=--+∵-10＜0, ∴当55t =时,w最大值=180250．综上所述，当t 为55天时,w 最大，最大值为180250元． 26．解：如图，设HG =x ，PD =y ， ∵四边形EFGH 是矩形， ∴HG ∥EF ，∴△AHG ∽△ABC∴AP AD =HGBC , 即1616y -=20x, ∴y =-45x +16， ∴矩形EFGH 的面积=xy =x (-45x +16) =-45(x -10)2+80， ∴当x =10时，即HG =10时，内接矩形EFGH 的面积最大，为80.27．解：（1）由题意可得：w ＝（x ﹣50）（﹣2x +200）＝﹣2x 2+300x ﹣10000； （2）由题意可得：1200＝﹣2x 2+300x ﹣10000， 解得：x 1＝70（不合题意舍去）， x 2＝80，答：每件小电器的销售价格定为80元时，才能使该款小电器每天获得的利润是1200元． 28．解：（1）设抛物线解析式为()10y ax x =-， 当2t =时，4AD =，∴点D 的坐标为()2,4，∴将点D 坐标代入解析式得164a -=，解得：14a =-， 抛物线的函数表达式为21542y x x =-+；（2）由抛物线的对称性得BE OA t ==，102AB t ∴=-，当x t =时，21542AD t t =-+， ∴矩形ABCD 的周长()2AB AD =+()215210242t t t ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，21202t t =-++，()2141122t =--+， 102-<， ∴当1t =时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412； （3）如图，当2t =时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为()2,0、()8,0、()8,4、()2,4，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为()5,2，直线GH 平分矩形的面积，∴点P 是GH 和BD 的中点，DP PB ∴=，由平移知，//PQ OBPQ ∴是ODB ∆的中位线，142PQ OB ∴==，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．29．解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3），∴c 3{9a 3b c 016a 4b c 3=++=++=，解得a 1{b 4c 3==-=．∴抛物线的函数表达式为2y x 4x 3=-+． （2）∵()22y x 4x 3x 21=-+=--，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x =2． （3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP ′=1．又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形A ′APP ′的面积， 而平行四边形A ′APP ′的面积=1×2=2．∴阴影部分的面积=2．30．解：（1）∵y ＝x 2+6x ﹣1＝（x +3）2﹣10， ∴关联直线为y ＝x +3﹣10＝x ﹣7；（2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与它的关联直线y ＝2x +3都经过y 轴上同一点， ∴a ＝2，c ＝3，可设抛物线的顶点式为y ＝2（x ﹣m ）2+k ， 则其关联直线为y ＝2（x ﹣m ）+k ＝2x ﹣2m +k ，∴22323m k m k -+=⎧⎨+=⎩，解得03m k =⎧⎨=⎩或11m k =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y ＝2x 2+3或y ＝2（x +1）2+1； （3）由题意：A （1，4a ）B （2，3a ）C （﹣1，0）， ∴AB 2＝1+a 2，BC 2＝9+9a 2，AC 2＝4+16a 2，显然AB 2＜BC 2且AB 2＜AC 2，故AB 不能成为△ABC 的斜边， 当AB 2+BC 2＝AC 2时：1+a 2+9+9a 2＝4+16a 2解得a ＝±1，当AB 2+AC 2＝BC 2时：1+a 2+4+16a 2＝9+9a 2解得a = ∵抛物线的顶点在第一象限，∴a ＞0，即a =1或a =31．解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y =x 2+bx +c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b =﹣4，c =3，∴二次函数的表达式为：y =x 2﹣4x +3； （2）令y =0，则x 2﹣4x +3=0， 解得：x =1或x =3， ∴B （3，0），∴BC ，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP =CB 时，PC ，∴OP =OC +PC 或OP =PC ﹣OC ﹣3∴P 1（0，），P 2（0，3﹣）； ②当PB =PC 时，OP =OB =3， ∴P 3（0，-3）； ③当BP =BC 时， ∵OC =OB =3∴此时P 与O 重合， ∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，）或（0，3﹣）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．32．解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴点C坐标为（0，3），∵抛物线的对称轴是直线x=﹣2，且B、C关于对称轴对称，∴点B坐标为（﹣4，3），∵y=kx+b经过点A、B，∴43k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解得11kb=-⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．。

二次函数综合题类型一有关图象变换问题1．已知抛物线y＝a(x－1)2＋3(a≠0)与y轴交于点A(0，2)，顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M.(1)填空：a的值为______，点B的坐标为______；(2)有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒，求t为何值时P A＋PB最小；(3)将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1、l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．第1题图解：(1)－1，(1，3)；【解法提示】把A(0，2)代入抛物线的解析式可得，2＝a＋3，∴a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3，∴抛物线的顶点B的坐标为(1，3)．(2)如解图①，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，点P 即为所求．第1题解图①∵A ′(0，－2)，B (1，3)，易得直线A ′B 的解析式为y ＝5x －2， 令y ＝0得，x ＝25，∴P (25，0)， ∴2t ＝25，∴t ＝15时，P A ＋PB 最小；(3)设抛物线向右平移后的解析式为y ＝－(x －m )2＋3.由⎩⎨⎧y ＝－（x －1）2＋3y ＝－（x －m ）2＋3，解得x ＝m ＋12， ∴点C 的横坐标为m ＋12，∵MN ＝m －1，四边形MDEN 是正方形，如解图②，当点C 在x 轴的上方时，C (m ＋12，m －1)，第1题解图②把点C 的坐标代入y ＝－(x －1)2＋3， 得到m －1＝－（m －1）24＋3，解得m ＝3或m ＝－5(舍去)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －3)2＋3；当点C 在x 轴下方时，C (m ＋12，1－m )， 把点C 的坐标代入y ＝－(x －1)2＋3， 得到1－m ＝－（m －1）24＋3，解得m ＝7或m ＝－1(舍去)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－(x －7)2＋3. 综上所述，平移后的解析式为y ＝－(x －3)2＋3或 y ＝－ (x －7)2＋3.2．已知抛物线y ＝x 2－2ax ＋a 2(a 为常数，a >0)，G 为该抛物线的顶点． (1)如图①，当a ＝2时，若抛物线与y 轴交于点M ，则△GOM 的面积为________；(2)如图②，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90°后，所得新图象与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方)，D 为x 轴的正半轴上一点，以OD 为一对角线作平行四边形OQDE ，其中Q 点在第一象限，QE 交OD 于点C ，若QO 平分∠AQC ，AQ ＝2QC .求证：△AQO ≌△EQO ；(3)在(2)的条件下，若QD ＝OG ，试求a 的值．图① 图②第2题图解：(1)4；【解法提示】当a ＝2时，令x ＝0，则y ＝a 2＝4，∴点M (0，4)，∵y ＝x 2－2ax ＋a 2＝(x －a )2，∴当a ＝2时，顶点G (2，0)，∴OM ＝4，OG ＝2，S △GOM ＝12OM ·OG ＝12×4×2＝4.(2)证明：∵四边形OQDE 为平行四边形， ∴QC ＝CE ＝12QE ，又∵AQ ＝2QC ，∴AQ ＝EQ ，∵QO 平分∠AQC ，∴∠AQO ＝∠EQO ，∵在△AQO 和△EQO 中，⎩⎨⎧AQ ＝EQ∠AQO ＝∠EQO QO ＝QO，∴△AQO ≌△EQO (SAS)； (3)∵由题意知G (a ，0)， ∴OG ＝a ，∴OA ＝a ， ∵QD ＝OG ，∴QD ＝a ，∵四边形OQDE 为平行四边形，∴OE ＝QD ＝a ， 即A (0，a )，由旋转知，旋转前抛物线点A 的坐标为(2a ，a )， 把(2a ，a )代入y ＝x 2－2ax ＋a 2得，4a 2－2a ·2a ＋a 2＝a ， 即a 2＝a ，解得a ＝1或0. ∵a 为常数，a >0，∴a＝0不合题意，舍去，∴a＝1.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－33x2＋233x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D.(1)求直线BC的解析式；(2)如图②，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC.当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE＋12BE的值最小，求点P的坐标和PE＋12BE的最小值；(3)如图③，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝－33x2＋233x＋3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为F.在抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②图③第3题图解：(1)当x＝0时，y＝－33x2＋233x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)，当y＝0时，有﹣33x2＋233x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点B的坐标为(3，0)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将B (3，0)、C (0，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝3，解得：⎩⎨⎧k ＝－33b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣33x ＋3；(2)如解图①中，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点F .作EN ⊥x 轴，设P (a ，－33a 2＋233a ＋3)，则F (a ，－33a ＋3)，第3题解图①∴PF ＝－33a 2＋3a ，∴S △PBC ＝12×PF ×3＝－32a 2＋332a ， ∴当a ＝32时，S △PBC 最大 ， ∴P (32，534)， ∵C (0，3)，B (3，0)， ∴tan ∠CBO ＝33，∴∠CBO ＝30°，∵EN ⊥x 轴，∴EN＝12BE，∴PE＋12BE＝PE＋EN，∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当P，E，N三点共线且垂直于x轴时，PE＋12BE的值最小．此时PE＋12BE＝PE＋EN＝PM＝534；(3)存在，点Q坐标为(3，32)或(3，－235)，∵D是对称轴x＝1与x轴的交点，G是BC的中点，∴D(1，0)，G(32，32)，∴直线DG解析式y＝3x﹣3，∵抛物线y＝－33x2＋233x＋3＝－33(x－1)2＋433沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，∴原抛物线向右平移了2个单位，∴y′＝－33(x－3)2＋433，∴F(3，43 3)，∴对称轴为x＝3，∵△FGQ为直角三角形，∴∠FGQ＝90°或∠FQG＝90°，∠GFQ＝90°(不合题意，舍去)，当∠FQG＝90°，则QG∥x轴，∴Q(3，3 2)；当∠FGQ＝90°，设点Q坐标(3，y)，∵FQ 2＝FG 2＋GQ 2，∴(433－y )2＝(3－32)2＋(433－32)2＋(3－32)2＋(32－y )2. ∴y ＝－235， ∴Q (3，－235)，综上所述，Q 的坐标可能为(3，32)或(3，－235)．4．如图，已知二次函数y 1＝ax 2＋bx 的图象经过(－2，4)，(－4，4)两点． (1)求二次函数y 1的解析式；(2)将y 1沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y 2，直线y ＝m (m >0)交y 2于M 、N 两点，求线段MN 的长度(用含m 的代数式表示)； (3)在(2)的条件下，y 1、y 2交于A 、B 两点，如果直线y ＝m 与y 1、y 2的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点(C 在左侧)，直线y ＝－m 与y 1、y 2的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点(E 在左侧)，求证：四边形CEFD 是平行四边形．第4题图解：(1)将点(－2，4)，(－4，4)代入y 1＝ax 2＋bx ，得 ⎩⎨⎧4a －2b ＝416a －4b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－3，∴y1＝－12x2－3x；(2)将y1配方，得y1＝－12(x＋3)2＋92，∴顶点坐标是(－3，9 2)．此顶点沿x轴翻折后为(－3，－92)，再向右平移2个单位后的点是(－1，－92)．翻折后抛物线的方向改变，但开口大小不变，∴翻折后抛物线解析式的二次项系数是1 2.∴y2＝12(x＋1)2－92，即y2＝12x2＋x－4.令y2＝m，得12x2＋x－4＝m，即x2＋2x－2(4＋m)＝0.设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2(4＋m)．∵x1，x2是点M，N的横坐标，∴MN＝|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4＋8（4＋m）＝29＋2m；(3)设点A的纵坐标为y0.①当y0≤m＜92时，如题图．对于直线y＝m和函数y1＝－12x2－3x，由第(2)问的方法求得CD＝29－2m.对于直线y＝－m和函数y2＝12x2＋x－4，由第(2)问的方法可知EF＝29－2m.∴CD＝EF.又CD∥EF，∴四边形CEFD是平行四边形．②当0＜m ＜y 0时，如解图，此时直线y ＝m 与y 1的右交点为D ，与y 1的左交点为C ，直线y ＝－m 与y 2的右交点为F ，与y 2的左交点为E .第4题解图由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝－12x 2－3x ， 消去y ，得－12x 2－3x ＝m ，即x 2＋6x ＋2m ＝0. 解此方程，得x ＝－3±9－2m . 点D 的横坐标为x D ＝－3＋9－2m . 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝－12x 2＋x －4，消去y ，得 12x 2＋x －4＝m ，即x 2＋2x －2(4＋m )＝0. 解此方程，得x ＝－1±9＋2m . 点C 的横坐标为x C ＝－1－9＋2m . ∴CD ＝x D －x C ＝9－2m ＋9＋2m －2.同理，x F＝－3＋9＋2m，x E＝－1－9－2m.∴EF＝x F－x E＝9－2m＋9＋2m－2.∴CD＝EF.∴四边形CEFD是平行四边形．综上所述，当m＞0时，所构成的四边形CEFD是平行四边形．类型二有关图形规律问题5．如图，在平面直角坐标系中，B(－2，0)，C(0，4)，将△BOC绕原点O顺时针旋转90°得到△DOA，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A，B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)将△ADO以每秒一个单位的速度沿x轴的负半轴向左平移，平移后的三角形记为△D′O′A′，平移时间为t秒．①当D′落在抛物线上时，求t的值；②t为何值时，△D′A′C的周长最小？直接写出t的值和△D′A′C周长的最小值；③设△D′O′A′与△BOC重叠部分的面积为S，当0≤t≤4时，请直接写出S与t的函数关系式．第5题图解：(1)根据题意得OA＝OC＝4，BO＝DO＝2，∴D(0，2)，A(4，0)．∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，∵抛物线过点C(0，4)，∴4＝－8a，∴a＝－1 2，∴抛物线的解析式是y＝－12x2＋x＋4；(2)①设D′的坐标是(－t，2)，当D′落在抛物线上时，－12t2－t＋4＝2，解得：t1＝－1＋5，t2＝－1－5(不合题意，舍去)，∴t＝－1＋5；②如解图①，过点A作AE⊥AB，在AE上截取AF＝CD＝2，连接DD′、A′F、CD′、CA′，第5题解图①∵AF＝CD＝2，DD′＝AA′＝t，∠CDD′＝∠A′AF＝90°，∴△AA′F≌△DD′C，∴CD′＝A′F，∵OD＝2，AO＝4，∴AD＝OD2＋AO2＝25，∴A′D′＝25，∵△CD′A′的周长＝A′D′＋CD′＋CA′＝25＋A′F＋CA′，由两点之间线段最短可知，当CA′，A′F共线时，A′F＋CA′值最小，最小值为CF的长度，此时C(0，4)，F(4，－2)，∵CF＝62＋42＝213，∴△CD′A′的周长的最小值为213＋2 5.∵C(0，4)，F(4，－2)，∴直线CF的解析式y＝－32x＋4，当y＝0，则x＝83，∴t＝4－83＝43.③当0≤t≤1时，S＝（2＋4－t2）t2＝－t24＋2t；当1＜t＜2时，S＝－2120t2＋185t－45；当2≤t≤4时，S＝－120t2－25t＋165.【解法提示】当0≤t≤1，如解图②，第5题解图②∵tan∠A′＝24＝12＝OEOA′，∴OE＝4－t 2，∴S重叠部分＝（2＋4－t2）t2＝－t24＋2t；当1＜t＜2，如解图③，可求S重叠部分＝－2120t2＋185t－45；当2≤t≤4时，如解图④，可求S重叠部分＝－120t2－25t＋165.图③图④第5题解图6．已知直线y＝2x＋m与抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1，0)，且a ＜b.(1)抛物线顶点Q的坐标为________(用含a的代数式表示)；(2)猜想直线y＝2x＋m与抛物线的交点情况，并证明你的猜想；(3)设直线y＝2x＋m与抛物线的另一个交点为N，若－1≤a≤－12，求线段MN长度的取值范围．解：(1)(－12，－9a4)；【解法提示】∵抛物线过点M (1，0)，∴a ＋a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∵y ＝ax 2＋ax ＋b ＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋12)2－9a 4，∴抛物线顶点Q 的坐标为(－12，－9a4)． (2)直线y ＝2x ＋m 与抛物线有两个交点．证明如下： ∵直线y ＝2x ＋m 经过点M (1，0)， ∴0＝2×1＋m ，解得m ＝－2，联立⎩⎨⎧y ＝2x －2y ＝ax 2＋ax －2a ，得ax 2＋(a －2)x －2a ＋2＝0①， ∴Δ＝(a －2)2－4a (－2a ＋2)＝9a 2－12a ＋4， 又∵a ＜b ，b ＝－2a ， ∴a ＜0，b ＞0，∴Δ＝9a 2－12a ＋4＝(3a －2)2＞0， ∴方程①有两个不相等的实数根， ∴直线y ＝2x ＋m 与抛物线有两个交点；(3)由(2)得M 、N 的横坐标为方程ax 2＋(a －2)x －2a ＋2＝0的解，即x 2＋(1－2a )x －2＋2a ＝0，∴[x ＋(12－1a )]2＝(1a －32)2，解得x 1＝1，x 2＝2a －2，将x ＝2a －2代入y ＝2x －2得y ＝4a －6，∴点N (2a －2，4a －6)， 根据两点间的距离公式得，MN 2＝[(2a －2)－1]2＋(4a －6)2＝20a 2－60a ＋45＝20(1a －32)2，∵－1≤a ≤－12，则－2≤1a ≤－1，∴1a －32＜0， ∴MN ＝25(32－1a )＝35－25a ， 又∵－1≤a ≤－12，∴55≤MN ≤7 5.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c ，经过A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于C 点．已知M (0，1)，E (a ，0)，F (a ＋1，0)，点P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标； (3)若△PCM 是以CM 为底边的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．第7题图 备用图解：(1)将点A (－1，0)，B (5，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得：⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0－25＋5b ＋c ＝0，解得：⎩⎨⎧b ＝4c ＝5，∴此抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)当a ＝1时，E (1，0)，F (2，0)，OE ＝1，OF ＝2. 设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，如解图①，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4.第7题解图①S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12(PN ＋OF )·ON －12PN ·MN －12OM ·OE＝12(x ＋2)(－x 2＋4x ＋5)－12x (－x 2＋4x ＋4)－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92＝－(x －94)2＋15316，∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316， 当x ＝94时，y ＝－(94－2)2＋9＝14316. 此时点P 坐标为(94，14316)；(3) ∵M (0，1，)，C (0，5), △PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形， ∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6. ∵点P 在第一象限，∴P (2＋6，3)．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如解图②，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)； 作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)；连接PM 2，与x 轴交于点F ，此时ME ＋PF ＝ PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P (2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得：⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，第7题解图②解得：m ＝46－45，n ＝－46＋15，∴y ＝46－45x －46＋15，当y ＝0时，解得x ＝6＋54.∴F (6＋54，0)．∵a＋1＝6＋5 4，∴a＝6＋1 4.∴当a＝6＋14时，四边形PMEF周长最小．8．如图，已知直线l：y＝13x＋b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，B n(n，y n)(n为正整数)依次在直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，A n＋1(x n＋1，0)，设x1＝d(0<d<1)．(1)求b的值；(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)；(3)当d(0<d<1)的大小变化时，是否存在顶点与x轴的两个交点所构成的三角形是直角三角形的抛物线？若存在，请你求出相应的d的值，若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)∵M(0，14)在直线y＝13x＋b上，∴14＝13×0＋b，∴b＝1 4；(2)由(1)得：y＝13x＋14，∵B1(1，y1)在l上，∴当x＝1时，y1＝13×1＋14＝712，∴B1(1，7 12)．∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋712(a≠0)，又∵x1＝d，∴A1(d，0)，∴0＝a(d－1)2＋7 12，∴a＝－712（d－1）2，∴经过点A1，B1，A2的抛物线的解析式为：y＝－712（d－1）2(x－1)2＋712；(3)存在．由抛物线的对称性可知，所构成的三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0<d<1，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.∵当x＝1时，y1＝13×1＋14＝712<1，当x＝2时，y2＝13×2＋14＝1112<1，当x＝3时，y3＝13×3＋14＝114>1，∴该抛物线的顶点只有B1，B2，①若B1为顶点，由B1(1，7 12)，则d＝1－712＝512；②若B2为顶点，由B2(2，11 12)，则d＝1－[(2－1112)－1]＝1112，综上所述，d的值为512或1112时，存在满足条件的抛物线．类型三有关新定义问题9．如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)在图①中，抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与L2：y＝a(x－4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a的值为________；(2)在图②中，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L4，若L3与y轴交于点C，点C关于L3的对称轴对称点为D，请求出以点D为顶点的L4的解析式；(3)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2(x －h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．图① 图②第9题图解：(2，1)，1； 【解法提示】(1)∵抛物线L 1：y ＝－x 2＋4x －3，∴此抛物线的顶点坐标A (2，1)，∵抛物线L 2过点A (2，1)，∴1＝a (2－4)2－3，∴a ＝1.(2)由L 3：y ＝2x 2－8x ＋4化成顶点式，得y ＝2(x －2)2－4，∴C (0，4)，对称轴为x ＝2，顶点坐标(2，－4)，∴点C 关于对称轴x ＝2的对称点D (4，4)，设L 4：y ＝a (x －h )2＋k则L 4：y ＝a (x －4)2＋4，再将点(2，－4)代入得，－4＝4a ＋4，解得：a ＝－2，L 3的伴随抛物线L 4的解析式为：y ＝－2(x －4)2＋4；(3)a 1＝－a 2.理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上，设A (m ，n )，B (h ，k )，∴可以列出两个方程⎩⎨⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k ①k ＝a 1（h －m ）2＋n ②， ①＋②得：(a 1＋a 2)(m －h )2＝0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴a 1＝－a 2.10．在平面直角坐标系中，将抛物线L 1：y ＝12x 2，沿x 轴向右平移m (m ＞0)个单位长度，得抛物线L 2，顶点为P ，交L 1于点Q .(1)抛物线L 2的表达式为________(用字母m 表示)；(2)连接OQ 、PQ ，当∠OQP ＝60°时，点Q 的坐标为________；(3)若将抛物线L 1与L 2其中任意一条沿着x 轴方向水平向左(或向右)平移得到另一条，记抛物线L 1的顶点为O ，抛物线L 2的顶点为P ，抛物线L 1与L 2的交点为点Q ，连接OQ 、PQ ，当∠OQP ＝90°时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线”．①当L 1和L 2是“共轭抛物线”时，求m 的值；②请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”．第10题图解：(1)y ＝12(x －m )2；【解法提示】将抛物线L 1沿x 轴向右平移m (m ＞0)个单位长度，得到抛物线L 2：y ＝12(x －m )2. (2)(23，6)；【解法提示】如解图①，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，由点Q 到L 1与L 2的对称轴的距离相等，可得：OG ＝PG ＝12OP ＝12m ，当x ＝m 2时，y ＝18m 2，即点Q 的坐标为(12m ，18m 2)，∵∠OQP ＝60°，∴根据抛物线的性质可知：△OPQ 为等边三角形，∴tan ∠QOP ＝QG OG ＝tan60°＝18m 212m ＝3，第10题解图①解得：m ＝43，∴点Q 坐标为(23，6)；(3)①∵∠OQP ＝90°，OQ ＝PQ ，∴∠QOG ＝45°，OG ＝PG ＝12OP ＝12m ，当x ＝12m 时，y ＝12×(12m )2＝18m 2，故点Q 的坐标为(12m ，18m 2)，由∠QOG ＝45°，∠OGQ ＝90°，得：OG ＝GQ ，∴|12m |＝|18m 2|，解得：m ＝0(不符合题意，舍去)，m ＝±4，当m ＝4时，抛物线向右平移；当m ＝－4时，抛物线向左平移，综上所述，当L 1和L 2是“共轭抛物线”时，m 的值为±4；②如解图②，∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，第10题解图②∴设抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”为：y ＝－(x ＋1－m )2＋4， ∵△PEQ 是等腰直角三角形，∴PF ＝FQ ，则PF ＝|m 2|，当x ＝－1＋12m 时，y ＝－14m 2＋4，即Q (－1＋12m ，－14m 2＋4)，FQ ＝4－(－14m 2＋4)＝14m 2，由PF ＝FQ 可知：|12m |＝14m 2，解得：m ＝±2或m ＝0(不符合题意，舍去)，则抛物线y ＝－x 2－2x ＋3向右平移所得的“共轭抛物线”为：y ＝－(x －1)2＋4； 抛物线y ＝－x 2－2x ＋3向左平移所得的“共轭抛物线”为：y ＝－(x ＋3)2＋4， 综上所述，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的“共轭抛物线”为y ＝－(x －1)2＋4或y ＝－(x ＋3)2＋4.。

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元练习题（含答案）1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( )A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位2．抛物线y＝2x2－5x＋3与坐标轴的交点共有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)、B(2，y2)、C(5，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y24．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为( )A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0,2或－25．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( )A．b＞1 B．b＜1 C．b≥1 D．b≤16．设计师以y＝2x2－4x＋8的图形为灵感设计杯子如图所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE 等于( )A．17 B．11 C．8 D．77．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为 .8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是 .9. 二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是 .10. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1y2(填“＞”“＜”或“＝”)．11. 已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过A(－1,1)、B(2,4)两点，顶点坐标(m，n)，有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜12；④n≤1.则所有正确结论的序号是 .12. 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为A(－2，－2)，且过点B(0,2)，则二次函数的表达式为 .13. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是 m2.14. 如图，抛物线的顶点为A(2,1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15. 某工厂制作A、B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B 数量相等．(1)制作一件A和一件B分别获利多少元？(2)工厂安排65人制作A、B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B.现在在不增加工人的情况下，增加制作C.已知每人每天可制作1件C(每人每天只能制作一种手工艺品)，要求每天制作A、C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式；(3)在(1)(2)的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W(元)的最大值及相应x的值．参考答案：1-6 BBBDDB 7. －5≤y ≤4 8. x ＞5或x ＜－1 9. (－1,8) 10. ＞11. ① ② ④12. y ＝(x ＋2)2－2 13. 11214. 解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，把(0,0)代入得4a ＋1＝0，解得a ＝－14.所以抛物线的解析式为y ＝－14(x －2)2＋1，即y ＝－14x 2＋x ；(2)存在．因为抛物线的对称轴为直线x ＝2，则B(4,0)，设M(x ，－14x 2＋x)，根据题意得12×4×|－14x 2＋x|＝12×4×1×3，所以－14x 2＋x ＝3(舍)或－14x 2＋x ＝－3，解－14x 2＋x ＝－3得x 1＝－2，x 2＝6，此时M 点的坐标为(－2，－3)或(6，－3)．15. (1) 解：设制作一件A 获利x 元，则制作一件B 获利(105＋x)元，由题意得：30x ＝240x ＋105，解得：x ＝15，经检验，x ＝15是原方程的根，当x ＝15时，x ＋105＝120，答：制作一件A 获利15元，制作一件B 获利120元；(2) 解：设每天安排x 人制作B ，y 人制作A ，则2y 制作C ，于是有：y ＋x ＋2y ＝65，∴y ＝－13x＋653，答：y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－13x ＋653； (3) 解：由题意得：W ＝15×2×y ＋[120－2(x －5)]x ＋2y ×30＝－2x 2＋130x ＋90y ，又∵y ＝－13x＋653， ∴W ＝－2x 2＋130x ＋90y ＝－2x 2＋130x ＋90(－13x ＋653)＝－2x 2＋100x ＋1950，∵W ＝－2x 2＋100x ＋1950，对称轴为x ＝25，而x ＝25时，y 的值不是整数，根据抛物线的对称性可得：当x ＝26时，W 最大＝－2×262＋100×26＋1950＝3198元，此时制作A 产品的13人，B 产品的26人，C 产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．。