九年级上册数学《二次函数》单元综合测试题(附答案)

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷【考试时间：90分钟分数：100分】一．选择题1．若y＝（1﹣m）x是二次函数，且图象开口向下，则m的值为（）A．m＝±2B．0C．m＝﹣2D．m＝22．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．43．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为﹣34．已知二次函数y＝（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（）A．B．C．D．6．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位7．抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y28．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其几对对应值如表，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y0.02﹣0.010.020.04A．0B．1C．2D．1或29．平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A．向左平移1个单位B．向上平移3个单位C．向右平移3个单位D．向下平移3个单位10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题11．如果抛物线y＝（a+1）x2﹣4有最高点，那么a的取值范围是．12．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2019的值为13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是．14．已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为．15．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y＝kx+2交抛物线于E、F两点（E点在F点左边）．使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，则k的值为．三．解答题16．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点H．（1）写出H的坐标．（2）若抛物线经过点A（0，3），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．17．合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：销售单价x/元20253035月销售量y/件3300280023001800（1）求y关于x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？18.某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等．（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y 人制作A，写出y与x之间的函数关系式．（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．19.如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值．答案与解析一．选择题1．D．2．B．3．D．4．C．5．A．6．C．7．D．8．C．9．B．10．D．二．填空题11．a＜﹣112．2020．13．x1＝﹣2，x2＝1．14．0＜m＜．15．0或﹣4．三．解答题16．解：（1）∵y＝x2﹣mx+2m﹣1＝x2﹣4﹣m（x﹣2）+3＝（x+2）（x﹣2）﹣m（x﹣2）+3＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，∴抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点（2，3），故H的坐标为（2，3）；（2）证明：∵抛物线经过点A（0，3），∴2m﹣1＝3，解得m＝2，∴抛物线y＝x2﹣2x+3，设y1＝x2﹣2x+3，y2＝﹣2x﹣1，则y1﹣y2＝（x2﹣2x+3）﹣（﹣2x﹣1）＝x2+4＞0，∴y1＞y2，∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．17．解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）由题意得：解得：∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+5300．（2）设月销售利润为w元，则w＝（x﹣17）（﹣100x+5300）＝﹣100x2+7000x﹣90100＝﹣100（x﹣35）2+32400∵﹣100＜0∴当x＝35时，w有最大值，最大值为32400．答：当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元18.解：（1）设制作一件A获利x元，则制作一件B获利（105+x）元，由题意得：，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的根，当x＝15时，x+105＝120，答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元．（2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则2y人制作C，于是有：y+x+2y＝65，∴y＝﹣x+答：y与x之间的函数关系式为∴y＝﹣x+．（3）由题意得：W＝15×2×y+[120﹣2（x﹣5）]x+2y×30＝﹣2x2+130x+90y，又∵y＝﹣x+∴W＝﹣2x2+130x+90y＝﹣2x2+130x+90（﹣x+）＝﹣2x2+100x+1950，∵W＝﹣2x2+100x+1950，对称轴为x＝25，而x＝25时，y的值不是整数，根据抛物线的对称性和增减性可得：当x＝24或x＝26时，W最大，当x＝24时，y═﹣x+不是整数，不符合题意；当x＝26时，W最大＝﹣2×262+100×26+1950＝3198元．此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．19.解：（1）把A（3，0），B（4，4）代入y＝ax2+bx得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x；（2）设OB的解析式为y＝kx，把B（4，4）代入得4k＝4，解得k＝1，∴直线OB的解析式为y＝x，∴直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的解析式为y＝x﹣m，∵直线y＝x﹣m与抛物线y＝x2﹣3x只有一个公共点D，∴x2﹣3x＝x﹣m有两个相等的实数解，整理得x2﹣4x+m＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，即m的值为4．。

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷（满分120分,考试用时120分钟）一、选择题（共10 小题,每小题 3 分,共30 分）1.下列各式中,y是x的二次函数的是 ( )A. B. C. D.2.抛物线的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线3.向上发射一枚炮弹,经秒后的高度为,且时间与高度的关系式为,若此时炮弹在第秒与第秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A. 第秒B. 第秒C. 第秒D. 第秒4.在同一坐标系中画出,,的图象,正确的是（）A. B. C. D.5.二次函数在平面直角坐标系的图象大致为（）A. B. C. D.6.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.7.下列二次函数的图象中经过原点的是（）A. B. C. D.8.二次函数的图象如图所示,下列结论：①；②；③；④,其中正确的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个9.若二次函数图象关于直线对称,已知当时,有最大值,最小值,则的取值范围应是（）A. B. C. D.10.若点,,在抛物线上,则下列结论正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（共10 小题,每小题 3 分,共30 分）11.若二次函数的最低点的纵坐标是,则的值是________．12.已知函数,下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点,则只能将图象向右移动个单位；③当时,抛物线顶点在第三象限；④若,则当时,随着的增大而增大,其中正确的序号是________．13.写出一个关于的二次函数________．使得当时,；当时,．14.把二次函数化成的形式是________．15.如图,一位篮球运动员在距篮球筐下米处跳起投篮,球的运行线路为抛物线,当球运行到水平距离为米时达到最高高度米,然后准确地落入篮筐,已知篮圈中心到地面的高度为米,该运动员的身高为米,在这次投篮中,球在该运动员的头顶上方米处出手,则当球出手时,该运动员离地面的高度为________米．16.已知二次函数有最大值,则,的大小关系为________．17.抛物线与轴的公共点是,,则此抛物线的对称轴是________．18.如图,已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线y=-x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是．19.如图是某公园一圆形喷水池,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,建立如图所示的坐标系,如果喷头所在处,水流路线最高处,如果不考虑其他因素,那么水池的半径至少要________,才能使喷出的水流不至落到池外．20.形如：的函数叫二次函数,它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程的解可以看成抛物线与直线（轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线与直线________的交点的横坐标；也可以看成是抛物线________与直线的交点的横坐标．三、解答题（共6 小题,每小题10 分,共60 分）21.已知二次函数的部分图象如图所示．求的取值范围；若抛物线经过点,试确定抛物线的函数表达式．22.已知函数是关于的二次函数．求：满足条件的的值；当为何值时,抛物线有最高点？求出这个最高点,这时,为何值时,随的增大而增大？23.如图,在某场足球比赛中,球员甲从球门底部中心点的正前方处起脚射门,足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点,此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．在如图所示的平面直角坐标系中,问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）守门员乙站在距离球门处,他跳起时手的最大摸高为,他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能,他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？24.如图,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,且．求抛物线的解析式及顶点的坐标；判断的形状,证明你的结论；点是轴上的一个动点,当的周长最小时,求点的坐标．25.在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点分别为,．求证：抛物线总与轴有两个不同的交点；若,求此抛物线的解析式．已知轴上两点,,若抛物线与线段有交点,请写出的取值范围．26.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,直线经过,两点．求抛物线的解析式；在上方的抛物线上有一动点．①如图,当点运动到某位置时,以,为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点的坐标；②如图,过点,的直线交于点,若,求的值．参考答案一、选择题（共10 小题,每小题 3 分,共30 分）1.下列各式中,y是x的二次函数的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题解析：由二次函数的定义,可以化为关于的最高次数为2次的整式方程,B项可化为,故选B．2.抛物线的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】C【解析】【分析】对于二次函数的顶点式,它的顶点坐标为(m,k),对称轴为直线x=m．【详解】根据函数解析式可得：函数的对称轴为直线x=2,故选C．【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称轴的求法,属于基础题型．理解二次函数顶点式与对称轴之间的关系是解决这个问题的关键．3.向上发射一枚炮弹,经秒后的高度为,且时间与高度的关系式为,若此时炮弹在第秒与第秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A. 第秒B. 第秒C. 第秒D. 第秒【答案】B【解析】【分析】二次函数是一个轴对称图形,到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的．【详解】根据题意可得：函数的对称轴为直线x=,即当x=10时函数达到最大值．故选B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性,属于中等难度题型．理解“如果两个点到对称轴距离相等,则所对应的函数值也相等”是解决这个问题的关键．4.在同一坐标系中画出,,的图象,正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对于二次函数,当a＞0时,开口向上；当a＜0时,开口向下；越大,则开口越小．【详解】根据题意可得：和开口向上,开口向下,的开口大于的开口,故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数图像与a的关系,属于基础题型．明确开口大小与a的绝对值之间的关系是解决这个问题的根本．5.二次函数在平面直角坐标系的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对于二次函数,当a＞0时开口向上,当a＜0时开口向下；当a、b符号相同时,则对称轴在y轴的左边；当a、b符号相反时,则对称轴在y轴的右边；图像还经过坐标原点．【详解】根据题意可得：图像开口向上,对称轴在y轴左边,经过坐标原点,故选A．【点睛】本题主要考查的是二次函数图像与系数之间的关系,属于中等难度的题型．a的符号决定二次函数的开口方向,a与b的符号共同决定对称轴的位置,c的符号决定二次函数与y轴的交点位置．6.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对于二次函数的顶点式,它的顶点坐标为(m,k)．【详解】根据题意可得：函数的顶点坐标为(1,3),故选A．【点睛】本题主要考查的是通过二次函数的顶点式求函数的顶点坐标,属于基础题型．如果函数解析式不是顶点式时,我们一定要学会将一般式转化为顶点式,然后得出顶点坐标,或者可以直接利用公式求出顶点坐标．7.下列二次函数的图象中经过原点的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题只需要将x=0代入函数解析式,然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案．【详解】A、将x=0代入可得y=1,故不经过原点；B、将x=0代入可得y=0,故经过原点；C、将x=0代入可得y=4,故不经过原点；D、将x=0代入可得y=－3,故不经过原点；故选B．【点睛】本题主要考查的是判断函数图象是否经过某一个点,属于基础题型．在判断点是否在函数图象上时,我们只要将点的横坐标代入函数解析式,看函数值是否相等即可得出答案．8.二次函数的图象如图所示,下列结论：①；②；③；④,其中正确的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】对于a+b+c的判定只要看x=1时的函数值；对于a－b+c的判定只要看x=－1时的函数值；a看开口方向；b 看对称轴的位置；c看与y轴的交点位置；2a－b看对称轴与－1的大小关系．【详解】①、当x=1时,y＜0,即a+b+c＜0,则错误；②、当x=－1时,y＞0,即a－b+c＞0,则正确；③、开口向上,则a＞0；对称轴在y轴左边,则b＞0；函数经过坐标原点,则c=0,则abc=0,则正确；④函数对称轴为－1,则,即2a－b=0,则正确；则正确的有3个,故选C．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与系数之间的关系,属于中等难度的题型．理解系数与图象之间的关系是根本,解决这个问题时我们一定要学会一些特殊值的使用以及对称轴与1或者－1的大小关系．9.若二次函数图象关于直线对称,已知当时,有最大值,最小值,则的取值范围应是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首求先根据函数的对称轴求出a的值,然后根据函数的增减性求出m的取值范围．【详解】根据对称轴可得：a=4,则,当x=－2时,y=1；当x=0或x=－4时,y=5；∴,故选A．【点睛】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题,属于中等难度的题型．当自变量的取值范围在对称轴一边时,则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时,则顶点取到最大值或最小值．10.若点,,在抛物线上,则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将x的值代入函数解析式求出a、b、c的值,从而得出大小．【详解】当x=－1时,a=1；当x=2时,b=4；当x=3时,c=9,则a＜b＜c,故选D．【点睛】本题主要考查的是函数值的大小比较,属于基础题型．如果是具体数据我们只需要代入计算即可得出答案．含参时,我们要比较点到对称轴的距离以及函数的增减性即可得出答案．二、填空题（共10 小题,每小题 3 分,共30 分）11.若二次函数的最低点的纵坐标是,则的值是________．【答案】5【解析】【分析】首先将二次函数进行配方成顶点式,然后根据最值得出答案．【详解】,∴顶点坐标为(－2,),∵最低点的纵坐标为5,∴,解得：a=5．【点睛】本题主要考查的是二次函数的最值问题,属于基础题型．对于二次函数的最值为k,当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．12.已知函数,下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点,则只能将图象向右移动个单位；③当时,抛物线顶点在第三象限；④若,则当时,随着的增大而增大,其中正确的序号是________．【答案】①③【解析】【分析】把函数解析式化为一般式,再结合方程、函数图象等进行判断即可．【详解】∵y=k(x+1)(x－)=k+(k－3)x－3,∴方程k(x+1)(x－)=－3可化为k+(k－3)x－3=－3,即k+(k－3)x=0,该方程有实数根,故①正确；当函数图象向上平移3个单位时,解析式为y=k+(k－3)x,则其图象过原点,故②不正确；在y=k+(k－3)x－3中,令x=3可得y=－3,当k＞3时,其对称轴为x=－＜0,且过（0,-3）点,此时其顶点坐标在第三象限,故③正确；当k＜0时,抛物线开口向下,且对称轴在y轴的左侧,但无法确定-1与的大小关系,当<-1即k>-3时,当时,不随着的增大而增大故④不正确；综上可知正确的是①③,【点睛】本题主要考查二次函数的性质,属于中等难度的题型．掌握二次函数与方程、图象的平移等知识是解题的关键．13.写出一个关于的二次函数________．使得当时,；当时,．【答案】【解析】【分析】根据已知条件设出二次函数的解析式为：y=a+bx+c,再根据a＜0,a+b+c=0,－4ac=0,求出一组a、b、c 的值,即可得出答案．【详解】根据题意,可设二次函数的解析式为：y=a+bx+c,∵a＜0,a+b+c=0,-4ac=0,可设a=－1,b=2,c=－1时,y关于x的二次函数y=－+2x－1．【点睛】本题考查了二次函数的性质及用待定系数求二次函数解析式,是基础题．此题是开放性试题,考查函数图形及性质的综合运用,本题的结论是不唯一的,其解答思路渗透了数形结合的数学思想．14.把二次函数化成的形式是________．【答案】【解析】【分析】首先提取二次项系数,然后加上一次项系数一半的平方,从而得出顶点式．【详解】．【点睛】本题主要考查的是将二次函数的一般式转化为顶点式,属于基础题型．学会配方的方法是解决这个问题的关键,一元二次方程配方时是在方程两边同时除以二次项系数,而函数配方时就需要提取二次项系数．15.如图,一位篮球运动员在距篮球筐下米处跳起投篮,球的运行线路为抛物线,当球运行到水平距离为米时达到最高高度米,然后准确地落入篮筐,已知篮圈中心到地面的高度为米,该运动员的身高为米,在这次投篮中,球在该运动员的头顶上方米处出手,则当球出手时,该运动员离地面的高度为________米．【答案】0.2【解析】【分析】建立合适的平面直角坐标系,求出二次函数解析式,把相应的x的值代入抛物线解析式,求得球出手时的高度,减去0.25和运动员的身高即为该运动员离地面的高度．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的解析式为y=a+3.5,∵（1.5,3.05）在抛物线上,∴3.05=2.25a+3.5,解得a=－0.2,∴y=－0.2+3.5；当x=－2.5时,y=2.25,∴运动员离地面的高度为2.25－0.25－1.8=0.2m,故答案为0.2．【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用,属于中等难度的题型．建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点；求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键．16.已知二次函数有最大值,则,的大小关系为________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数有最大值判断出a＜0,并得到b的值,然后比较大小即可．【详解】∵函数有最大值,∴a＜0,∵函数的最值为,∴b=,则a＜b．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题,属于基础题．当函数有最小值时则a＞0；当函数有最大值时则a ＜0．17.抛物线与轴的公共点是,,则此抛物线的对称轴是________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的对称性可知－2和6关于对称轴对称,从而得出对称轴．【详解】∵抛物线与x轴的交点为（-2,0）,（6,0）,∴两交点关于抛物线的对称轴对称,则此抛物线的对称轴是直线x= (－2+6)÷2=2．【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性,属于基础题型．关于对称轴对称的两个点的函数值相等．18.如图,已知直线y=-x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线y=-x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是．【答案】-1,4,4+2,4-2．【解析】试题解析：设点P的坐标为（a,-a2+2a+5）, 则点Q为（a,-a+3）,点B为（0,3）,①当点P在点Q上方时,BQ=, PQ=-a2+2a+5-（-a+3）=-a2+a+2,∵PQ=BQ,当a＞0时,∴a=-a2+a+2,整理得：a2-3a-4=0,解得：a=-1（舍去）或a=4,当a＜0时,则-a=-a2+a+2,解得：a=4+2（舍去）或a=4-2；②当点P在点Q下方时,BQ=, PQ=-a+3-（-a2+2a+5）=a2-a-2,由题意得,PQ=BQ,当a＞0时,则a=a2-a-2,整理得：a2-8a-4=0,解得：a=4+2或a=4-2（舍去）．当a＜0时,则-a=a2-a-2,,解得：a=-1或a=4（舍去）,综上所述,a的值为：-1,4,4+2,4-2．考点：二次函数综合题．19.如图是某公园一圆形喷水池,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,建立如图所示的坐标系,如果喷头所在处,水流路线最高处,如果不考虑其他因素,那么水池的半径至少要________,才能使喷出的水流不至落到池外．【答案】2.5【解析】【分析】由水流路线最高处B（1,2.25）可设顶点式,再根据图象过点A（0,1.25）即可得出函数解析式,然后设y=0求出点B的坐标得出答案．【详解】设抛物线的解析式为,∵图象过点A（0,1.25）∴,解得：a=－1,∴抛物线的解析式为,当y=0时,解得：x=2.5或x=－0.5,∴水池半径至少要2.5m．【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用,属于基础题型,是中考常见题,一般难度不大,需熟练掌握．解决这个问题的关键是求出函数解析式．20.形如：的函数叫二次函数,它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程的解可以看成抛物线与直线（轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线与直线________的交点的横坐标；也可以看成是抛物线________与直线的交点的横坐标．【答案】(1). (2).【解析】【分析】一元二次方程+x－3=0可变形为=－x+3,或者－3=－x,故一元二次方程+x－3=0可以看成是抛物线y=与直线y=－x+3的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y=－3与直线y=－x的交点的横坐标．【详解】根据题意可得：可以看成是抛物线y=与直线y=－x+3的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y=－3与直线y=－x的交点的横坐标．【点睛】本题考查了用函数观点解一元二次方程的一般方法．关键是将方程转化为两个函数式,求两个函数的交点．三、解答题（共6 小题,每小题10 分,共60 分）21.已知二次函数的部分图象如图所示．求的取值范围；若抛物线经过点,试确定抛物线的函数表达式．【答案】（1）c<0；（2）．【解析】【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系即可得到c的范围；（2）把点（0,-1）代入y=x2-2x+c中求出c的值,从而可确定抛物线解析式．【详解】解：∵抛物线与轴的交点在轴下方,∴；∵抛物线经过点,∴,∴抛物线解析式为．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．22.已知函数是关于的二次函数．求：满足条件的的值；当为何值时,抛物线有最高点？求出这个最高点,这时,为何值时,随的增大而增大？【答案】或；时,随的增大而增大．【解析】【分析】(1)、根据二次函数的定义列出关于k的一元二次方程以及不等式,从而得出k的值；(2)、函数有最高点,则抛物线开口向下,即k－2＜0,将k=1代入得出函数解析式,从而根据函数的增减性得出答案．【详解】(1)、函数是关于的二次函数,得：,解得或；(2)、当时,函数有最高点；,最高点的坐标为, 当时,随的增大而增大．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义以及二次函数的增减性,属于基础题型．理解二次函数的定义以及二次项系数不为零是解决这个根本．23.如图,在某场足球比赛中,球员甲从球门底部中心点的正前方处起脚射门,足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点,此时足球飞行的水平距离为．已知球门的横梁高为．在如图所示的平面直角坐标系中,问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）守门员乙站在距离球门处,他跳起时手的最大摸高为,他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能,他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？【答案】（1）能射中球门；（2）他至少后退,才能阻止球员甲的射门．【解析】【分析】(1)、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4,3）,利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)、求出当x=2时,抛物线的函数值,与2.52米进行比较即可判断,再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．【详解】(1)、抛物线的顶点坐标是（4,3）,设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3,把（10,0）代入得36a+3=0,解得a=-,则抛物线是y=-（x-4）2+3,当x=0时,y=-×16+3=3-=＜2.44米,故能射中球门；（2）当x=2时,y=-（2-4）2+3=＞2.52,∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门,当y=2.52时,y=-（x-4）2+3=2.52,解得：x1=1.6,x2=6.4（舍去）,∴2-1.6=0.4（m）,答：他至少后退0.4m,才能阻止球员甲的射门．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式,以及二次函数的应用,属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标,求得函数解析式是解题的关键．24.如图,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,且．求抛物线的解析式及顶点的坐标；判断的形状,证明你的结论；点是轴上的一个动点,当的周长最小时,求点的坐标．【答案】,顶点的坐标为；是直角三角形．理由见解析；．【解析】【分析】(1)、将点A的坐标代入解析式得出b的值,从而得出函数解析式,将解析式进行配方得出顶点坐标；(2)、根据函数解析式得出点B和点C的坐标,从而得出AB、AC和BC的长度,从而得出三角形的形状；(3)、作出点C关于x轴的对应点,连接交轴于点,利用待定系数法求出直线的解析式,从而得出点M的坐标．【详解】∵点在抛物线上,∴,解得,∴抛物线的解析式为．∵,∴顶点的坐标为；是直角三角形．理由如下：当时,,∴,则．当时,,∴,,则,∴,,∴．∵,,,∴,∴是直角三角形；作出点关于轴的对称点,则．连接交轴于点,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,一定,当的值最小时,的周长最小．设直线的解析式为,则,解得,∴．当时,,则,∴．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式,直角三角形的勾股定理以及轴对称的性质,综合性比较强．解决这个问题的关键在于求出函数表达式,作出对称图形．25.在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点分别为,．求证：抛物线总与轴有两个不同的交点；若,求此抛物线的解析式．已知轴上两点,,若抛物线与线段有交点,请写出的取值范围．【答案】证明见解析；；．【解析】【分析】(1)、证明△＞0即可；(2)、利用抛物线与x轴的交点问题,则、为方程m－8mx+16m－1=0的两根,利用根与系数的关系得到+=8,=,再变形||=2得到,然后解出m即可得到抛物线解析式；(3)、先求出抛物线的对称轴为直线x=4,利用函数图象,由于抛物线开口向上,则只要当x=2,y≥0时,抛物线与线段CD有交点,于是得到4m-16m+16m-1≥0,然后解不等式即可．【详解】、证明：, ∵,∴,∴抛物线总与轴有两个不同的交点；、根据题意,、为方程的两根,∴,,∵,∴,∴,∴,∴抛物线的解析式为；、抛物线的对称轴为直线,∵抛物线开口向上, ∴当,时,抛物线与线段有交点,∴,∴．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程,同时也考查了一元二次方程根与系数的关系．26.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,直线经过,两点．求抛物线的解析式；在上方的抛物线上有一动点．①如图,当点运动到某位置时,以,为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点的坐标；②如图,过点,的直线交于点,若,求的值．【答案】（1）；（2）①点的坐标是；②．【解析】【分析】（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标,把A和C的坐标分别代入y=-x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；（2）①若以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,则PQ∥AO,再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标,由（1）中的抛物线解析式,进而可求出其纵坐标,问题得解；②过P点作PF∥OC交AC于点F,因为PF∥OC,所以△PEF∽△OEC,由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长,进而可设点点F（x,x+4）,利用(−x2−x+4)−(x+4)＝,可求出x的值,解方程求出x的值可得点P的坐标,代入直线y=kx即可求出k的值．【详解】解：∵直线经过,两点,∴点坐标是,点坐标是,又∵抛物线过,两点,∴,解得：,∴抛物线的解析式为．①如图∵,∴抛物线的对称轴是直线．∵以,为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上,∴,．∵,都在抛物线上,∴,关于直线对称,∴点的横坐标是,∴当时,,∴点的坐标是；②过点作交于点,∵,∴,∴．又∵,∴,设点,∴,化简得：,解得：,．当时,；当时,,即点坐标是或．又∵点在直线上,∴．【点睛】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,题目综合性较强,难度不大,是一道很好的中考题．。

完整版)九年级二次函数综合测试题及答案二次函数单元测评一、选择题（每题3分，共30分）1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)（）A。

y=2x+1 B。

y=x+2 C。

y=x^2 D。

y=1/x2.函数y=x^2-2x+3的图象的顶点坐标是（）A。

(1，-4) B。

(-1，2) C。

(1，2) D。

(0，3)3.抛物线y=2(x-3)^2的顶点在（）A。

第一象限 B。

第二象限 C。

x轴上 D。

y轴上4.抛物线的对称轴是（）A。

x=-2 B。

x=2 C。

x=-4 D。

x=45.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）A。

ab>0，c>0 B。

ab>0，c0 D。

ab<0，c<06.在第6象限，二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则点P的坐标为（）A。

(1，-2) B。

(-1，-2) C。

(-1，2) D。

(1，2)7.如图所示，已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是（）A。

4+m B。

m C。

2m-8 D。

8-2m8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax^2+bx的图象只可能是（）9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A。

y1<y2<y3 B。

y2<y3<y1 C。

y3<y1<y2 D。

y2<y1<y310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A。

y=(x-2)^2+3 B。

y=(x+2)^2+3 C。

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1.抛物线的对称轴是()A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线2.抛物线y=2(x﹣2)2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为( )A. y=2(x﹣2)2+1B. y=﹣2(x﹣2)2+1C. y=﹣2(x﹣2)2﹣1D. y=﹣(x﹣2)2﹣13.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：x …﹣1 0 1 2 3 …y …﹣2 3 6 7 6 …当y＜6时,x的取值范围是( )A. x＜1B. x≤3C. x＜1或x＞0D. x＜1或x＞34.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列正确的是( )A. y=(x﹣1)2+2B. y=(x﹣2)2+4C. y=(x﹣2)2+2D. y=(x﹣1)2+35.若关于x的函数y=(2﹣a)x2﹣x是二次函数,则a的取值范围是( )A. a≠0B. a≠2C. a＜2D. a＞26.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为x=1,下列结论中正确的是( )A. ab＞0B. b=2aC. 4a+2b+c＜0D. a+c＜b7.(﹣1,y1),(2,y2)与(3,y3)为二次函数y=﹣x2﹣4x+5图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )A. y1＜y2＜y3B. y3＜y2＜y1C. y3＜y1＜y2D. y2＜y1＜y38.如图,当ab＞0时,函数y=ax2与函数y=bx+a的图象大致是( )A. B. C. D.9. 如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点,连结DC,DB,则△BCD的面积的最大值是( )A. 7B. 7.5C. 8D. 910.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示(1＜x＝h＜2,0＜x A＜1),下列结论：① 2a＋b＞0；②abc＜0；③若OC＝2OA,则2b－ac = 4；④ 3a﹣c＜0,其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题11.在二次函数y=ax2+2ax+4(a＜0)的图象上有两点(﹣2,y1)、(1,y2),则y1﹣y2_____0(填“＞”、“＜”或“=”)．12.已知函数y=ax2﹣(a﹣1)x﹣2a+1,当0＜x＜3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是_____．13.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x … 3 5 7 …y … 2.5 2.5 ﹣1.5 …则a+b+c=_____．14.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交子点C,且OB=OC=3OA,直线y=﹣x+1与y轴交于点D．求∠DBC﹣∠CBE=_____．15.一个二次函数的图象经过A(0,0)、B(2,4)、C(4,0)三点,该函数的表达式是_____．16.如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点,点关于抛物线的对称轴的对称点为,点,分别在轴和轴上,则四边形周长的最小值为__________．17.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽_____m．18.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论：①c＞0；②若B(﹣,y1),C(﹣,y2)为图象上的两点,则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0,其中正确的结论是_____．三、解答题19.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．(1)求点A的坐标；(2)将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围．20.如图1所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒,设P、Q同时出发t秒时,△BPQ 的面积为ycm2,已知y与t的函数关系图象如图2所示,请回答：(1)线段BC的长为cm．(2)当运动时间t=2.5秒时,P、Q之间的距离是cm．21.如图,一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成,滑雪者在滑坡上滑行的距离y1(单位：m)和滑行时间t1(单位s)满足二次函数关系,并测得相关数据：滑行时间t1/s 0 1 2 3 4滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2(单位：m)和滑行时间t2(单位：s)满足：y2=52t2﹣2t22,滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止,一共用了23s．(1)求y1和t1满足的二次函数解析式；(2)求滑坡AB的长度．22.如图1,已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A,且经过点B(3,﹣3)．(1)求顶点A的坐标(2)若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点,求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；(3)如图2,将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线,新抛物线与射线OA交于C,D两点,请问：在抛物线平移的过程中,线段CD的长度是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由．23.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；(3)在直线BC找一点Q,使得△QOC为等腰三角形,写出Q点坐标．24.如图,一农户要建一矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍的面积最大,最大面积是多少？25.如图,抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A(1,0)、B(b,0)、C(0,c)三点．(1)求b,c的值；(2)在抛物对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点,抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在,直接写出点N的坐标；若不存在,请说明理由．参考答案一、选择题1.抛物线的对称轴是()A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线【答案】C【解析】【分析】由抛物线解析式可直接求得答案．【详解】解：∵抛物线y=x2+1,∴抛物线对称轴为直线x=0,即y轴,故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x-h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k)．2.抛物线y=2(x﹣2)2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为( )A. y=2(x﹣2)2+1B. y=﹣2(x﹣2)2+1C. y=﹣2(x﹣2)2﹣1D. y=﹣(x﹣2)2﹣1【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线y=2(x﹣2)2﹣1关于x轴对称的顶点坐标,再根据关于x轴对称开口大小不变,开口方向相反求出a的值,即可求出答案.【详解】抛物线y=2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标为(2,﹣1),而(2,﹣1)关于x轴对称的点的坐标为(2,1),所以所求抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣2)2+1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的轴对称变换,此图形变换包括x轴对称和y轴对称两种方式.二次函数关于x轴对称的图像,其形状不变,但开口方向相反,因此a值为原来的相反数,顶点位置改变,只要根据关于x 轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标,即可确定解析式. 二次函数关于y轴对称的图像,其形状不变,开口方向也不变,因此a值不变,但是顶点位置改变,只要根据关于y轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标,即可确定解析式.3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：当y＜6时,x的取值范围是( )A. x＜1B. x≤3C. x＜1或x＞0D. x＜1或x＞3【答案】D【解析】【分析】根据表格确定出抛物线的对称轴,开口方向,然后根据二次函数的图像与性质解答即可.【详解】∵当x=1时,y=6；当x=3时,y=6,∴二次函数图象的对称轴为直线x=2,∴二次函数图象的顶点坐标是(2,7),由表格中的数据知,抛物线开口向下,∴当y＜6时,x＜1或x＞3．故选：D．【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质,对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),当a>0时,开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小.4.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列正确的是( )A. y=(x﹣1)2+2B. y=(x﹣2)2+4C. y=(x﹣2)2+2D. y=(x﹣1)2+3【答案】D【解析】【分析】把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,然后再减去一次项系数的一半的平方,以使式子的值不变,把一般式转化为顶点式【详解】y=x2﹣2x+4=(x2﹣2x+1)+3,=(x﹣1)2+3,所以,y=(x﹣1)2+3．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化,熟练掌握和运用配方法是解题的关键. ①一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)；②顶点式：y=a(x-h)2+k(a,b,c为常数,a≠0)；③交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2).5.若关于x的函数y=(2﹣a)x2﹣x是二次函数,则a的取值范围是( )A. a≠0B. a≠2C. a＜2D. a＞2【答案】B【解析】试题解析：∵函数y=(2-a)x2-x是二次函数,∴2-a≠0,即a≠2,故选B．6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为x=1,下列结论中正确的是( )A. ab＞0B. b=2aC. 4a+2b+c＜0D. a+c＜b【答案】D【解析】【分析】由开口方向和对称轴可确定A、B的对错,由特殊点的位置可确定C、D的对错.【详解】由抛物线的开口向下知a＜0,由对称轴为x=﹣=1,得2a=﹣b,∴a、b异号,即b＞0,即ab＜0,b=﹣2a,A、B选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知,当x=2时,y＞0,∴4a+2b+c＞0,故C错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知,当x=﹣1时,y＜0,∴a﹣b+c＜0,故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系,其中a符号由抛物线的开口方向决定；当对称轴在y轴的左侧时,a与b同号；当对称轴在y轴的右侧时,a与b异号；c的符号由抛物线与y轴的交点决定；根的判别式的符号由抛物线与x轴交点个数决定；此外还要找出图像上的特殊点对应的函数值得正负进行判断.7.(﹣1,y1),(2,y2)与(3,y3)为二次函数y=﹣x2﹣4x+5图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是( )A. y1＜y2＜y3B. y3＜y2＜y1C. y3＜y1＜y2D. y2＜y1＜y3【答案】B【解析】【分析】把函数y=﹣x2﹣4x+5变形为：y=﹣(x+2)2+9,然后根据二次函数的增减性解答即可.【详解】把函数y=﹣x2﹣4x+5变形为：y=﹣(x+2)2+9,∵(﹣1,y1),(2,y2)与(3,y3)为二次函数y=﹣x2﹣4x+5图象上的三点,∴由函数图象可知当x=-2时此函数有最大值为9,当x＞﹣2时,y的值随x的增大而减小, ∴y1＞y2＞y3,故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质,对于二次函数y=a(x-h)2+k(a,b,c为常数,a≠0),当a>0时,抛物线开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,此时函数有最小值；当a<0时,抛物线开口向下,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,此时函数有最大值.其顶点坐标是(h,k),对称轴为x=h.8.如图,当ab＞0时,函数y=ax2与函数y=bx+a的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】A、根据一次函数得出a＜0,b＞0,根据二次函数得出a＞0,则ab＜0,故本选项错误；B、根据一次函数得出a＞0,b＜0,根据二次函数得出a＞0,则ab＜0,故本选项错误；C、根据一次函数得出a＜0,b＜0,根据二次函数得出a＜0,则ab＞0,故本选项正确；D、根据一次函数得出a＜0,b＞0,根据二次函数得出a＜0,则ab＜0,故本选项错误；故选：C．9. 如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点,连结DC,DB,则△BCD的面积的最大值是()A. 7B. 7.5C. 8D. 9【答案】C【解析】试题分析：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,∵抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,∴解得∴y=﹣x2+5x﹣4,设过点B(4,0),C(0,﹣4)的直线的解析式为y=kx+m解得即直线BC的直线解析式为：y=x﹣4,设点D的坐标是(x,﹣x2+5x﹣4)∴S△ABC==﹣2(x﹣2)2+8,∴当x=2时,△BCD的面积取得最大值,最大值是8．故选C．考点：二次函数的最值10.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示(1＜x＝h＜2,0＜x A＜1),下列结论：① 2a＋b＞0；②abc＜0；③若OC＝2OA,则2b－ac = 4；④3a﹣c＜0,其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题解析：①∵抛物线的开口向下,∴a＜0．∵抛物线的对称轴-＞1,∴b＞-2a,即2a+b＞0,①成立；②∵b＞-2a,a＜0,∴b＞0,∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c＜0,∴abc＞0,②错误；③点A的横坐标为,点C的纵坐标为c,∵OC=2OA,∴-c=,整理得：2b-ac=4,③成立；④∵抛物线的对称轴1＜-＜2,∴-2a＜b＜-4a,∵当x=1时,y=a+b+c＞0,∴a-4a+c＞0,即3a-c＜0,④正确．综上可知正确的结论有3个．故选C．二、填空题11.在二次函数y=ax2+2ax+4(a＜0)的图象上有两点(﹣2,y1)、(1,y2),则y1﹣y2_____0(填“＞”、“＜”或“=”)．【答案】＞【解析】【分析】分别把x=-2,x=1代入y=ax2+2ax+4,用含a的代数式表示出y1和y2,然后作差判断即可.【详解】把点(﹣2,y1)、(1,y2)代入y=ax2+2ax+4得y1=4a﹣4a+4=4,y2=a+2a+4=3a+4,所以y1﹣y2=3a+4﹣4=3a,而a＜0,所以y1﹣y2＜0．故答案为＜．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征,二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式,本题也考查了作差法比较代数式值的大小.12.已知函数y=ax2﹣(a﹣1)x﹣2a+1,当0＜x＜3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是_____．【答案】﹣≤a≤1．【解析】【分析】分a=0时,为一次函数,再根据一次函数的增减性解答；a≠0时,再分a＜0和a＞0两种情况,利用二次函数的对称轴根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．【详解】根据题意得：当a＜0时,﹣≥3,解得：﹣≤a＜0；当a=0时,原函数为一次函数y=x+1,∵1＞0,∴y随x的增大而增大,∴a=0符合题意；当a＞0时,﹣≤0,解得：0＜a≤1．综上所述：a的取值范围是﹣≤a≤1．【点睛】本题考查了二次函数的性质,一次函数的性质及分类讨论的数学思想,主要利用了二次函数的增减性,难点在于分情况讨论．13.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x … 3 5 7 …y … 2.5 2.5 ﹣1.5 …则a+b+c=_____．【答案】﹣1.5．【解析】【分析】先根据表中数据求出抛物线的对称轴,然后根据抛物线的对称性可知,当x=1时,y的值是1.5,可求出a+b+c 的值.【详解】∵x=3,y=2.5；x=5,y=2.5,∴抛物线的对称轴为直线x=4,∴当x=1和x=7时函数值相等,而x=7时,y=﹣1.5,∴x=1时,y=﹣1.5,即a+b+c=﹣1.5．故答案为﹣1.5．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,二次函数图像上点的坐标特征,熟练掌握如果两个点关于对称轴对称,那么这两点的函数值相等是解答本题的关键.14.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交子点C,且OB=OC=3OA,直线y=﹣x+1与y轴交于点D．求∠DBC﹣∠CBE=_____．【答案】45°．【解析】【分析】先求出点D、点C的坐标,得出点B、A的坐标,求出抛物线的解析式,得出抛物线的顶点坐标,根据勾股定理求出BC、CE、BE,由勾股定理的逆定理证明△BCE为直角三角形,∠BCE=90°,由三角函数证出∠DBO=∠CBE,即可得出∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°．【详解】将x=0代入y=−x+1,y=1,∴D(0,1),将x=0代入y=ax2+bx-3得：y=-3,∴C(0,-3),∵OB=OC=3OA,∴B(3,0),A(-1,0),∠OBC=45°,对于直线y=−x+1,当y=0时,x=3,∴直线y=−x+1过点B．将点C(0,-3)的坐标代入y=a(x+1)(x-3),得：a=1,∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线y=x2-2x-3的顶点为E(1,-4)．于是由勾股定理得：BC=3,CE=,BE=2．∵BC2+CE2=BE2,∴△BCE为直角三角形,∠BCE=90°,因此tan∠CBE==．又tan∠DBO==,则∠DBO=∠CBE,∴∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°．故答案为：45°.【点睛】本题考查了坐标与图形性质、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的解析式的求法及顶点坐标、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角函数,本题综合性强,有一定难度．15.一个二次函数的图象经过A(0,0)、B(2,4)、C(4,0)三点,该函数的表达式是_____．【答案】y=﹣x2+4x．【解析】【分析】设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把A(0,0)、B(2,4)、C(4,0)三点代入,用待定系数法求解即可. 【详解】设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把A(0,0)、B(2,4)、C(4,0)三点代入,得,解得．所以这个二次函数的解析式为y=﹣x2+4x．故答案为：y=﹣x2+4x．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．16.如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点,点关于抛物线的对称轴的对称点为,点,分别在轴和轴上,则四边形周长的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线解析式求得点D(1,4)、点E(2,3),作点D关于y轴的对称点D′(﹣1,4)、作点E关于x轴的对称点E′(2,﹣3),从而得到四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′,当点D′、F、G、E′四点共线时,周长最短,据此根据勾股定理可得答案.【详解】如图,在y＝﹣x2＋2x＋3中,当x＝0时,y＝3,即点C(0,3),∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x－1)2＋4,∴对称轴为x＝1,顶点D(1,4),则点C关于对称轴的对称点E的坐标为(2,3),作点D关于y轴的对称点D′(﹣1,4),作点E关于x轴的对称点E′(2,﹣3),连结D′、E′,D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点,四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′＝DE＋D′E′＝＝∴四边形EDFG周长的最小值是.【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及两点间的距离公式,解题的关键是熟练掌握抛物线的性质,利用数形结合得出答案.17.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,水面下降2m,水面宽_____m．【答案】4．【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案．【详解】建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),到抛物线解析式得出：a=﹣0.5,所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,当水面下降2米,通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离, 可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2=﹣0.5x2+2,解得：x=±2,所以水面宽度增加到4米,故答案为：4．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．18.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论：①c＞0；②若B(﹣,y1),C(﹣,y2)为图象上的两点,则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0,其中正确的结论是_____．【答案】①③【解析】【分析】①由抛物线交y轴于正半轴可得出c＞0,结论①正确；②由点B,C的横坐标可得出点C离对称轴远,结合抛物线开口向下,即可得出y1＞y2,结论②错误；③由抛物线的对称轴为直线x=-1,可得出b=2a,即2a-b=0,结论③正确；④由抛物线顶点的纵坐标大于0,可得出＞0,结论④错误．综上即可得出结论．【详解】①∵抛物线交y轴于正半轴,∴c＞0,结论①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴-1-(-)＜--(-1)．又∵抛物线的开口向下,B(-,y1),C(-,y2)为图象上的两点,∴y1＞y2,结论②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴b=2a,即2a-b=0,结论③正确；④∵抛物线的顶点纵坐标在x轴上方,∴＞0,结论④错误．故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征,观察函数图象,逐一分析四条结论的正误是解题的关键．三、解答题19.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．(1)求点A的坐标；(2)将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围．【答案】(1)(2,5)．(2)A'(4,5),O'(2,0)；(3)﹣＜m＜0．【解析】【分析】(1)将抛物线解析式配成顶点式,即可得出顶点坐标;(2)先由(1)求出点A的坐标,根据平移的性质即可得出结论;(3)结合图象,判断出抛物线和四边形AOOˊAˊ只有两个公共点的分界点即可得出;【详解】解：(1)∵y=mx2﹣4mx+4m+5=m(x2﹣4x+4)+5=m(x﹣2)2+5,∴∴抛物线的顶点A的坐标为(2,5)．(2)由(1)知,A(2,5),∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．∴A'(4,5),O'(2,0)；(3)如图,∵抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOO′A′有且只有两个公共点,∴m＜0．由图象可知,抛物线是始终和四边形AOO'A'的边O'A'相交,∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点,∴将(0,0)代入y=mx2﹣4mx+4m+5中,得m=﹣．∴﹣＜m＜0．【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的转化,二次函数的图像与性质,平移的性质及数形结合的数学思想,熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.20.如图1所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒,设P、Q同时出发t秒时,△BPQ 的面积为ycm2,已知y与t的函数关系图象如图2所示,请回答：(1)线段BC的长为cm．(2)当运动时间t=2.5秒时,P、Q之间的距离是cm．【答案】(1)5；(2)；【解析】【分析】(1)根据图2可得,当点P到达点E时,点Q到达点C,从而可求出BC=BE=5cm；(2)过点P作PF⊥BC于点F,根据面积不变时△BPQ的面积为10,可得AB=4,利用三角函数求出PF的长,再结合勾股定理求解即可.【详解】解：(1)根据图2可得,当点P到达点E时,点Q到达点C,∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s,∴BC=BE=5cm．故答案是：5；(2)如图1,过点P作PF⊥BC于点F,根据面积不变时△BPQ的面积为10,可得AB=4,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠PBF,∴sin∠PBF=sin∠AEB==,∴PF=PB•sin∠PBF=2.5×=2,∴在直角△PBF中,由勾股定理得到：BF===1.5,∴FQ=2.5﹣1.5=1．∴在直角△PFQ中,由勾股定理得到：PQ===．故答案是：．【点睛】本题考查了矩形的性质,动点问题的函数图像,锐角三角函数的知识,勾股定理等知识,正确从图像获取信息是解答本题的关键.21.如图,一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成,滑雪者在滑坡上滑行的距离y1(单位：m)和滑行时间t1(单位s)满足二次函数关系,并测得相关数据：滑行时间t1/s 0 1 2 3 4滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2(单位：m)和滑行时间t2(单位：s)满足：y2=52t2﹣2t22,滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止,一共用了23s．(1)求y1和t1满足的二次函数解析式；(2)求滑坡AB的长度．【答案】(1)y1=2.5t12+2t1；(2)331m．【解析】【分析】(1)设y1=at12+bt1,把(1,4.5)和(2,14)代入用待定系数法即可求出(2)把y1与y2联立即可求出滑行到点B时的时间,把求得的时间代入y1,即可求出AB的长度.【详解】解：(1)设y1=at12+bt1,把(1,4.5)和(2,14)代入函数解析式得,,解得：,∴二次函数解析式为：y1=2.5t12+2t1；(2)将y=52t﹣2t2与y=2.5t2+2t联立,解得：t=,即：B点位置时用的时间,把t=代入函数：y1=2.5t12+2t1,则AB=y1≈330.86≈331m,答：滑坡AB的长度331m．【点睛】本题考查了二次函数的应用,涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式,二次函数图像上点的坐标特征.熟练掌握待定系数法是解(1)的关键,求出滑行到点B时的时间是解(2)的关键.22.如图1,已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A,且经过点B(3,﹣3)．(1)求顶点A的坐标(2)若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点,求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；(3)如图2,将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线,新抛物线与射线OA交于C,D两点,请问：在抛物线平移的过程中,线段CD的长度是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由．【答案】(1)(﹣1,1)；(2)P(,)；(3).【解析】【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式,根据配方法,可得顶点坐标；(2)过点P作y轴的平行线交OB与点Q,求出直线BP的解析式,表示出点Q的坐标,根据三角形的面积公式列出函数关系式,利用二次函数的最值可得P点坐标；(3)根据平移规律,可得新抛物线,根据联立抛物线与OA的解析式,可得C、D点的横坐标,根据勾股定理,可得答案．【详解】解：(1)把B(3,﹣3)代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2,解得m=2,∴y=﹣x2+2x=﹣(x+1)2+1,∴顶点A的坐标是(﹣1,1)；(2)过点P作y轴的平行线交OB与点Q.∵直线OB的解析式为y=﹣x,故设P(n,﹣n2+2n),Q(n,﹣n),∴PQ=﹣n2+2n﹣(﹣n)=﹣n2+3n,∴S△OPB=(﹣n2+3n)=﹣(n﹣)+,当n=时,S△OPB的最大值为．此时y=﹣n2+2n=,∴P(,)；(3)∵直线OA的解析式为y=x,∴可设新的抛物线解析式为y=﹣(x﹣a)2+a,联立,∴﹣(x﹣a)2+a=x,∴x1=a,x2=a﹣1,即C、D两点间的横坐标的差为1,∴CD=．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,三角形的面积公式,利用二次函数求最值,勾股定理二次函数与一次函数的交点问题,难度适中,是常见题型.23.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；(3)在直线BC找一点Q,使得△QOC为等腰三角形,写出Q点坐标．【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3；(2)P点的坐标为(,﹣),四边形ABPC的面积的最大值为；(3)Q点坐标为(,﹣3)、(﹣,﹣﹣3)、(3,0)或(,﹣)．【解析】【分析】(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b,c的值,故可得出二次函数的解析式;(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P(x,x2﹣2x﹣3),易得,直线BC的解析式为y=x ﹣3,则Q点的坐标为(x,x﹣3),再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论；(3)分当OC=QC时,当OC=QO时,当QC=QO时三种情况求解即可.【详解】解：(1)将B、C两点的坐标代入得,解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；(2)如图,过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x2﹣2x﹣3),设直线BC的解析式为：y=kx+d,则,解得：,∴直线BC的解析式为y=x﹣3,则Q点的坐标为(x,x﹣3)；由0=x2﹣2x﹣3,解得：x1=﹣1,x2=3,∴AO=1,AB=4,S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF=×4×3+(﹣x2+3x)×3=﹣(x﹣)2+．当x=时,四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为(,﹣),四边形ABPC的面积的最大值为；(3)设点Q的坐标为(m,m﹣3),∵O(0,0),C(0,﹣3),∴OC=3,QC==|m|,QO=．△QOC为等腰三角形分三种情况：①当OC=QC时,3=|m|,解得：m=±,此时点Q的坐标为(,﹣3)或(﹣,﹣﹣3)；②当OC=QO时,3=,解得：m=3或m=0(舍去),此时点Q的坐标为(3,0)；③当QC=QO时,有|m|=,解得：m=,此时点Q的坐标为(,﹣)．综上可知：Q点坐标为(,﹣3)、(﹣,﹣﹣3)、(3,0)或(,﹣)．【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式,利用二次函数求最值,三角形的面积公式,等腰三角形的性质,勾股定理及分论讨论的数学思想,难度适中.24.如图,一农户要建一矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍的面积最大,最大面积是多少？【答案】矩形猪舍的长、宽分别为12米、7米,猪舍的面积最大,最大面积是84平方米．【解析】【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25﹣2x+1)m,根据矩形的面积公式建立函数解析式求出其最值即可．【详解】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25﹣2x+1)m,由题意得y=x(25﹣2x+1)=﹣2,对称轴为x=,∵25﹣2x+1≤12,25﹣2x+1>0,∴7≤x<13,在y=﹣2中,-2<0,在对称轴右侧y随着x的增大而减小,所以当x=7米时,即矩形猪舍的长、宽分别为12米、7米时,猪舍的面积最大,最大面积是84平方米．【点睛】本题考查了二次函数的应用,矩形的面积公式的运用及二次函数的最值,正确列出函数表达式并确定出自变量的取值范围是解题的关键.25.如图,抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A(1,0)、B(b,0)、C(0,c)三点．(1)求b,c的值；(2)在抛物对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点,抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在,直接写出点N的坐标；若不存在,请说明理由．【答案】(1)b=﹣3；(2)P(﹣1,﹣2)；(3)存在点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形．符合条件的点N的坐标为(﹣2,﹣3),(﹣1+,3)或(﹣1﹣,3)．【解析】【分析】(1)先把A(1,0)代入抛物线y=ax2+2x﹣3a,求出a的值,然后再分别把B(b,0)、C(0,c)的值代入即可求出b,c 的值；(2)根据轴对称的性质找出点P的位置,然后求出直线BC的解析式和对称轴方程,二者联立可求出点P的坐标；(3)分当点N在x轴下方时和当点N在x轴上方时两种情况求解即可.【详解】解：(1)把A(1,0)代入抛物线y=ax2+2x﹣3a,可得：a+2﹣3a=0解得a=1．∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；把B(b,0),C(0,c)代入y=x2+2x﹣3,可得：b=1或b=﹣3,c=﹣3,∵A(1,0),∴b=﹣3；(2)∵抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3,∴其对称轴为直线x=﹣=﹣1,连接BC,如图1所示,。