最新九年级中考数学专题：二次函数综合压轴题附答案

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（角度问题）1．如图，抛物线2y ax2x c=++（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当:COD COBS S＝1：3时，求点F的坐标；(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣32），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求OBC∠的度数；(2)若ACO CBD∠=∠，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m=-+++（m是常数，且0m>）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围． 3．如图1，直线y ＝2x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A 、C 两点的抛物线232y ax x c =++与x 轴的另一交点为B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是抛物线在第一象限内的一点，连接OD ，将线段OD 绕O 逆时针旋转90°得到线段OM ，过点M 作MN ∠x 轴交直线AC 于点N ．求线段MN 的最大值及此时点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点E 是点A 关于y 轴的对称点，连接DE ，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得∠PED ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标； (3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线211322y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，D 为线段AB 上一点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)过点D 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ，与直线BC 相交于点F ，求出点E 到直线BC 距离d 的最大值；(3)连接CD ，作点B 关于CD 的对称点B '，连接AB '，B D '．在点D 的运动过程中，ADB ∠'能否等于45°？若能，请直接写出此时点B '的坐标，若不存在请说明理由．6．如图1，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A (﹣2，0)，B (4，0)，抛物线的顶点为C ，作射线AC ，BC ．动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AC 做匀速运动，动点Q 从B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC 运动．(1)填空：b ＝_____，c ＝_____，C 的坐标为_____．(2)点P ，Q 运动过程中，∠CPQ 可能为等腰三角形吗？说明理由．(3)如图2，连接PO ，QO ，当∠POQ ＝30°时，直接写出t 的值．7．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点，1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标； (3)当点P 是抛物线上第一象限上的点，1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______． 8．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点A （-2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求抛物线24y ax bx =+-的表达式； (2)如图2，点E （x ，0）是线段OB 上的点，过点E 作与x 轴垂直的直线与直线BC 交于点F ，与抛物线交于点G ．∠线段FG 的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，说明理由； ∠连接CG ，当∠DCG =∠ACO 时，求点G 的坐标；(3)若点P 是直线BC 下方的抛物线上的一点，点Q 在y 轴上，点M 在线段BC 上，当以C ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是菱形时，直接写出菱形的边长．9．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在这样的点P ，使得∠ACP=∠ABC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点D 为线段BC 上一点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点E ，连结BE ．当∠DBE =90°时，求BEC S ∆．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-2x +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)找出图中与∠DAB 相等的一个角，并证明；(3)若点P 是第二象限内抛物线上的一点，当点P 到直线AC 的距离最大时，求点P 的坐标．11．如图所示：二次函数26y ax bx =+-的图象与x 轴交于()2,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求二次函数表达式及直线BC 的函数表达式；(2)如图1，若点M 为抛物线上线段BC 右侧的一动点，连接CM ，BM ．求四边形ACMB 面积最大时点M 的坐标；(3)如图2，该抛物线上是否存在点P ，使得ACO BCP ∠=∠？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知如图，二次函数23y x bx =++的图像与x 轴相交于点A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，连接AC 、BC ，tan 1ABC ∠=，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点E ，当AE CE +取得最小值时，E 点坐标为________；此时AE 与BC 的位置关系是________，tan ACE ∠=________；(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M ，满足ACB BAM ∠=∠，若存在求M 点的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)若抛物线上一动点Q ，当BAQ ACO ∠=∠时，直接写出Q 点坐标________． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于B ，C 两点（C 在B的左侧），与y 轴交于点A ，已知()0,4A -，2OA OB =．(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q 是线段AC 下方抛物线上一点，过点Q 作QD 垂直AC 交AC 于点D ，求DQ 的最大值及此时点Q 的坐标；(3)点E 是线段AB 上一点，且14AOE AOC S S =△△；将抛物线212y x bx c =++沿射线AB 的方向平移，当抛物线恰好经过点E 时，停止运动，已知点M 是平移后抛物线对称轴上的动点，N 是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．14．如图，抛物线()()22369=++-+y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知()3,0B ．(1)m 的值是________；(2)P （异于点A ）为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，求点P 的坐标：(3)Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．16．我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ，B 两点）作x 轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x 轴上的“足距”，记作AB ．根据该约定，完成下列各题：（1）若点1(,6)A x ，2(,4)B x -．当点A 、B 在函数2y x =的图象上时，AB =______；当点A ，B 在函数24y x=-的图像上时，AB =______； （2）若反比例函数()11k y k x -=≠的图象上有两点()1,A x k ，()22,B x k k -，当AB k =时，求正整数k 的值． （3）在（2）条件下抛物线223y kx x =+-与x 轴交于1A ，1B 两点，与y 轴交于点C ．如图，点D 是该抛物线的顶点，点(,)P m n 是第一象限内该抛物线上的一个点，分别连接1A D 、1A C 、1A P ，当1112PA B CA D ∠=∠时，求m 的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象与x 轴交于O 、A 两点，其顶点B 的坐标为（2，﹣6）．（1）求a 、b 的值；（2）如图1，点C 是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接BO 、CO ，当∠OBC 是以BC 为腰的等腰三角形时，求点C 的坐标；（3）如图2，P 是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接OP ，与对称轴交于点M ，点Q 在OP 上，满足OQ PQ ＝21，设点P 的横坐标为n ； ∠请用含n 的代数式表示点Q 的坐标（，）；∠连接BQ ，OB ，当∠OBQ 的面积为15时，求点P 的坐标；∠当∠POA ＝2∠OBM 时，直接写出点P 的横坐标．18．如图1，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 与点B ，抛物线212y x bx c =-++经过点A 、B ，在线段OA 上有一动点(),0D m ，点D 不与O 、A 重合，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点C 是DE 的中点时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD '，旋转角为()090αα︒<<︒，连接'D A 、'D B ，直接写出''12D A D B +的最小值．参考答案：1．(1)223y x x =-++；(2)F （35，125）； (3)存在，P （13，329）或（﹣73，﹣649）．2．(1)A （-1，0）；B （2m +1，0）；C （0，2m +1）；45OBC ∠=︒(2)1m =(3)0m <<3．(1)213222y x x =-++ (2)最大值为3；()2,3D(3)存在，11P ⎛ ⎝⎭，()20,2P4．(1)213 2.22y x x (2)79,28D 或121,.28(3)点D 的横坐标为2或2911．5．(1)A （-2，0），B （3，0），C （0，3）；(2)点E 到直线BC 的距离d ；(3)在点D 的运动过程中，∠ADB '能等于45°，此时点B ′的坐标为（0，-或（-，3）．6．；(1， (2)不可能，理由见解析(3)t 的值为：17．(1)2=23y x x --(2)点P 的坐标为()9,0(3)点P 的坐标为()4,58．(1)2142y x x =-- (2)∠当2x =时，FG 有最大值，FG 的最大值=2；∠G （3，－52）或（1，－4.5）． (3)2或49．(1)2=+43y x x --(2)存在点P ，使得∠ACP=∠ABC ，点P 的坐标为7524,⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3△BEC S =10．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，顶点D 的坐标为（﹣1，4）(2)∠ACB ，证明见解析(3)点P 坐标为（32-，154）11．(1)26y x x =--，26y x =-(2)点M 的坐标为321,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)存在，（2，-4）或（8，50）12．(1)y =x 2-4x +3；(2)（2，1）；AE ∠BC ，12； (3)存在，M 点的横坐标为52或72； (4)Q 点的坐标为(103，79)或(83，59-) ．13．(1)2142y x x =+-(2)DQ ()2,4Q -(3)N 点坐标为(2,或(2,-或()2,0-或52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，见解析14．(1)1-(2)()2,1P ，⎝⎭P ，⎝⎭P (3)75,24⎛⎫- ⎪⎝⎭Q15．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或2y x =+或2y x =+． 16．（1）5；10；（2）1；（3）74m =17．（1）a ＝32，b ＝﹣6；（2）点C 的坐标为（2，6--2，6-+2，83-）；（3）∠23n ，n 2﹣4n ；∠P （5，152）；∠点P 的横坐标为92．18．（1）2142y x x =-++；（2）2；（3。

一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元？⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,解得：x=40,60 - 40 = 20 元,答：这一星期中每件童装降价20元：〔2〕设利润为w,根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000=-10 〔x- 50〕 2+4000,答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,备用图问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式：〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在0P上？【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n；〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ；〔3〕抛物4线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12【解析】试题分析：〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线：〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式；〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.试题解析：解：〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= - x+m+n；〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方4 4形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9将c=m+l 带4入得到m=2, n=3；・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时：根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・N AOP=N AOP=30°,:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,EA 二“2.32 =a,,AF=4-a,设P(4, c) (c>0),,在RS AFP 中,(4-V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线OP解析式为3 3y=匕Lx, ：.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-3 38-2>/7 _1 + 2>/7-3-- -3综上所述：抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3点睛：此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键是用正方形的性质求出点.的坐标.3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标：〔2〕求函数y=±〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值X与相应“中国结〞的坐标；〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边界〕,一共包含有多少个“中国结〞？【答案】〔1〕〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕〔一1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一1〕, 〔一1,1〕 ; 〔3〕 6个.【解析】试题分析：〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.k〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国xk结〃：〔1, 1〕、〔-1、-1〕：然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图X象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-1)]=0,求出X】、X2的值是多少；然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少：最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.试题解析：(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,xHO时,JJx+2不是整数,x=0> y=2,即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2).(2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：x (1, 1)、(-1、-1)：②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：X(1, -1)、( -1, 1).③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结JX(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的x图象上有且只有两个“中国结"矛盾,k综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x 1)、( - 1、- 1)；k=-l时,函数y=七(k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、x (-1、1).(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, kx.= ---------.•・{ ik-\f x 2x) +1• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得XlX2+2X2+l=0t/. xz (xi+2) = T,•••X】、X2都是整数,X)= 1 x, =—1｛- 或｛-玉+2 = _「^+2 = 1匹=T ②当｛X、= —1k ,,/ ------- = -1 ,l — kk=k-l,无解；练上,可得.3K=—, XF-3, x2=l t2y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k3 3 3 3 3 3=[(-)2-3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2--2 2 2 2 2 2①当x=-2时,1 13 1 1 3y= - - x2- — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + —4 2 4 4 2 4_3~4②当X=-1时,=13③当x=0时,y=-,另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、〔 -1、0〕、〔0, 0〕.综上,可得假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结〞,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞：〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.考点：反比例函数综合题4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对称轴为直线/,点"是线段A8的中点.〔1〕求抛物线的表达式：〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式；〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是平行四边形时,求.,.两点的坐标.【答案】〔1〕y = --x2+4x-5t〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5：〔3〕点夕、.的坐 2标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.【解析】【分析】〔1〕函数表达式为：〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解：〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为：y = ^-5,将点4坐标代入上式,即可求解；〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解：〔1〕函数表达式为：y = a〔x = 4〕2+3,将点4坐标代入上式并解得：.=2故抛物线的表达式为：y = -l x2+4x-5:乙(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),设直线A8的表达式为：y = /oc-5,将点A坐标代入上式得：3 =必一5,解得：k = 2,故直线A8的表达式为：y = 2x-5：( i \(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,①当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P；"?,-：〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),即：团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2解得：m = 6 ♦ s = —3,故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3)：②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得：4+2 = 〃z+4, 3-1 = --//r +4w-5 + 5,2解得：〞1 = 2, 5 = 1 >故点尸、.的坐标分别为(2/)、(4,1)；故点尸、.的坐标分别为(6,1), (4,一3)或(2,1)、(分-3), (2,1)或(4,1).【点睛】此题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,防止遗漏.5.如图,某足球运发动站在点0处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出 (点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y= at2 + 5t+c,足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.⑴足球飞行的时间是多少时,足球离地而最高？最大高度是多少？⑵假设足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x = 10t,己知球门的高度为2.44m,如果该运发动正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？8【答案】(1)足球飞行的时间是一s时,足球离地而最高,最大高度是4.5m： (2)能.5【解析】(2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8,251・•・当 t=2.8 时,y=-a2・8?+5乂2・8令2・25 V2/4, •L . 乙^ 他能将球直接射入球门. 考点：二次函数的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2x+c 与x 轴交于A ( - 1, 0) B (3, 0)两 点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C 为顶点,AC 为直角边的三角形 是直角三角形？假设存在,请求出符合条件的点P 的坐标：假设不存在,请说明理由.试题分析：(1)由题意得：函数y=atz+5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 35),于是得0. 5二.到 n,求得抛物线的解析式为:3. 5=0.8 4+5X0. 8+c 、 y=-衰2+514,当t=|时,y 破大=4.5；1(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=- 竿2.82+5、2.8哈2・25V2.44,于是得 16 2到他能将球直接射入球门.解：(1)由题意得：函数y=a&5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),"0. 5二c• «, 、3. 5=0. 8 &2+5 X 0. g+c '3=解得：_ 251612・•・抛物线的解析式为：y=・•,y【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；直线AC 的解析式为丫=3x+3； (2)点M 的 坐标为(0, 3)：7 20 1013〔3〕符合条件的点P 的坐标为〔或,2〕或〔“,-"〕, 3 93 9【解析】分析：〔1〕设交点式y=a 〔x+1〕 〔x-3〕,展开得到-2a=2,然后求出a 即可得到抛物线解 析式：再确定C 〔0, 3 〕,然后利用待定系数法求直线AC 的解析式：〔2〕利用二次函数的性质确定D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点W,连接DB 咬y 轴于M,如图1,那么B ,〔-3, 0〕,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小,那么此时△ BDM 的周长最小,然后求出直线DB ,的解析式即可得到点M 的坐标：〔3〕过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-lx +b,把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为再解方程组, 1得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物y=--x + 3 I 3线于另一点P 时,利用同样的方法可求出此时P 点坐标. 详解：〔1〕设抛物线解析式为y=a 〔x+1〕〔x-3〕, KP y=ax 2 - 2ax - 3a,,2a=2,解得 a=- 1,・•・抛物线解析式为y= - X 2+2X +3： 当 x=0 时,y= - x 2+2x+3=3,那么 C (0, 3), 设直线AC 的解析式为y=px+q.q = 0把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得〈q = 3直线AC 的解析式为y=3x+3；〔2〕 •/ y= - X 2+2X +3= - 〔x- 1〕 2+4, •1•顶点D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点B",连接DB ,交y 轴于M,如图1,那么夕〔-3, 0〕,MB=MB',/. MB+MD=MB /+MD=DB /,此时 MB+MD 的值最小, 而BD 的值不变,・•,此时△ BDM 的周长最小,y=-x 2 +2x + 31 y=- -x+3, 3易得直线DB ,的解析式为y=x+3, 当 x=0 时,y=x+3=3> ・ ・•点M 的坐标为〔0, 3〕；〔3〕存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,把C 〔0, 3 〕代入得b=3,・ ,・直线PC 的解析式为y=- -x+3,过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,直线PC 的解析式可设为y=-点+b, 把A ( -1, 0)代入得1+b=0,解得b=- L 3 3・ •・直线PC 的解析式为y=- ：x- 1点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题：会运用分类讨论的思想解决数学问题.直线PC 的解析式可设为y=- —x+b,3解方程组?y=-x 2+2x + 31 ,解得?y=——x + 33x = 0)=3或,7x =一3 7 20 ,那么此时P 点坐标为〔一,—〕：2.39y =解方程组?y=-x 2+2x + 31 1 y=——x ——33x = -ly = 010x =—3 13那么此时P 点坐标为〔—, 3综上所述,符合条件的点p 的坐标为〔N, 310 T-?>•直线AC 的解析式为y=3x+3.7.如图,直线A8与抛物线C ：),=⑪2+21+.相交于人(—1,0)和点8(2,3)两点.⑴求抛物线.的函数表达式；⑵假设点M 是位于直线A3上方抛物线上的一动点,以M4、/W8为相邻两边作平行四边形 M4N8,当平行四边形M4N8的而积最大时,求此时四边形M4N8的而积S 及点M 的 坐标： ⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点尸,使抛物线.上任意一点夕到点尸的距离等于到 直线y ="的距离,假设存在,求出定点厂的坐标：假设不存在,请说明理由.41 27 【答案】〔1〕 y =—厂 + 2x + 3 ：〔2〕当 〃 =—,S ZMANB = 2S △ ABM =—,此时2 415 \ :⑶存在.当/A — 时,无论％取任何实数,均有= 理由见解析. \ 4 )【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,将A, B 的坐标代入y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； (2)过点M 作MH_Lx 轴于H,交直线AB 于K,求出直线AB 的解析式,设点M (a,- a?+2a+3),那么K (a, a+1),利用函数思想求出MK 的最大值,再求出△ AMB 面积的最大 值,可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标：17(3)如图2,分别过点B, C 作直线y=—的垂线,垂足为N. H,设抛物线对称轴上存在 4点F,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=—的距离,其中F (1, a), 4 连接BF, CF,那么可根据BF=BN, CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组,解方程组即 可.【详解】(1)由题意把点(-1, 0)、(2, 3)代入 y=ax2+2x+c, .- 2 + c = 0得, ,4a + 4 + c = 3 解得 a=-l, c=3,,此抛物线c 函数表达式为：y=*2+2x+3：〔2〕如图1,过点M 作MHLx 轴于H,交直线AB 于K,MH4 〕>>将点〔・1, 0〕、〔2, 3〕代入y=kx+b中, 一k+b=0得,2y 解得,k=l, b=l,/.Y AB=X+1,设点M (a, -a2+2a+3),那么K (a, a+1), 贝lj MK=-a2+2a+3- (a+1)=-(a- - ) 2+—, 2 41 9根据二次函数的性质可知,当合二彳时,MK有最大长度丁, 2 4S A AMB以大=S A AMK+S A BMK=—MK*AH+ —MK> (x B-x H)2 2=—MK e (XB-XA)21 9=x — x32 4_27-—,8以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,27 27 1 15s 餐大=2S A AMB 4U=2X —=—,M (-, —).(3)存在点F,•/ y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,「・对称轴为直线x=l.当y=0 时,xi=-l, X2=3,,抛物线与点x轴正半轴交于点C (3, 0),17如图2,分别过点B, C作直线y:一的垂线,垂足为N, H, 4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=—的距4离,设 F (1, a ),连接BF, CF,IT1 17 5 17那么BF=BN二一-3二一,CF=CH=—, 4 4 4(5、(2-1)2+3—3)2 =由题意可列:(3 — 1)2+/=阴【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,aABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.如图,己知二次函数%=a' + "过(-2, 4) , ( - 4. 4)两点.〔1〕求二次函数力的解析式：〔2〕将为沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线及,直线y=m 〔m>0〕交及于M、N 两点,求线段MN的长度〔用含m的代数式表示〕：〔3〕在〔2〕的条件下,力、及交于A、B两点,如果直线y=m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于C、D两点〔C在左侧〕,直线y=-m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于E、F两点〔E在左侧〕,求证：四边形CEFD是平行四边形.1yi =_/2_3%【答案】〔1〕2【解析】〔2〕 5 +范〔3〕证实见解析.试题分析：〔1〕根据待定系数法即可解决问题.〔2〕先求出抛物线yz的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.〔3〕用类似〔2〕的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析：⑴・•・二次函数月=°/ + "过〔-2, 4〕 , 〔-4, 4〕两点,4a - 2b = 416a -4b = 4解得:1a=~2=_1 2_ -「.二次函数力的解析式为一寸3X2-3% -# + 3)2 +9,二顶点坐标〔-3, >〕 , ,「将力沿x釉翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线〞,9.・・抛物线y2的顶点坐标〔-1, -、〕,•,・抛物线均为1 9y=#+i)2_] 消去y整理得到/ + 2x_8_2m = 0,设打,也是它的两个根,那么"21A〔q+ x2〕-似/2=、阳而千J5：〔3〕由y = my =一/2-3欠,消去y整理得到x +6%+2m = 0,设两个根为打,0那么y =-m1 9______ y =—〔x --CD」"I一亚15〔修+ OF - 4町2«36 -所,由2 2,消去丫得到x2 + 2x-8 + 2m = 0,设两个根为勺,％2,那么EF」X1 - "zlK,dl + 工2〕2 - 4XI%2=«36 - 8m, ... EF=CD, EFII CD,四边形CEFD 是平行四考点：二次函数综合题.9 .抛物避= a/ + M + c,假设a, b, c满足b=a+c,那么称抛物线,=.壮+必+ c为“恒定〞抛物线. 〔1〕求证："恒定"抛物线'=°/ +丘+,必过*轴上的一个定点人；〔2〕"恒定〃抛物线y = -于的顶点为P,与X轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形？假设存在,求出抛物线解析式：假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕证实见试题解析：〔2〕 y = \/^2 + 4v-^x + 3-V3 那么=- v取2 + y3.【解析】试题分析：〔1〕由"恒定〞抛物线的定义,即可得出抛物线恒过定点〔-1, 0〕:〔2〕求出抛物线F = W"一小的顶点坐标和B的坐标,由题意得出PAII CQ, PA=CQ：存在两种情况：①作QMXAC于M,那么QM=0P=\3,证实RtA QM〔^ RtA POA. MC=OA=1,得出点Q的坐标,设抛物线的解析式为,=矶" + 2〕2-\/3,把点A坐标代入求出a的值即可：②顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合：证实△0QS4 0PA,得出OQ=OP=\B,得出点Q坐标,设抛物线的解析式为' =以2+«3,把点C坐标代入求出a的值即可.试题解析：〔1〕由“恒定〃抛物线,二仙2 +%+ 4得：b=a+c,即a-b+c=0,二•抛物线y = ax2 + bx + c t当x=-l时,y=0, 恒定〞抛物线,=必+八+〔；必过乂轴上的一个定点 A 〔 - 1, 0〕：〔2〕存在：理由如下：：“恒定"抛物线卜"*丫一道,当尸0时,\8/-、6=0,解得：x=±l, V A ( - 1, 0) , /. B (1, 0):.・x=O 时,y=一\'3,顶点P 的坐标为(0, 一\3),以PA, CQ为边的平行四边形,PA、CQ是对边,「.PAII CQ, PA=CQ, .,.存在两种情况：①如图1所示：作QM_LAC 于M,那么QM=0P=y3, Z QMC=90°=Z POA,在RtA QMC 和RtA POA 中,: CQ=PA, QM=OP,J RtA QMC合RtA POA (HL) , /. MC=OA=1, OM=2, 丁点 A 和点C 是抛物线上的对称点,AM=MC=1, .,.点Q的坐标为(-2, 一\3),设以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a(% + 2)2-«3,把点A(-l, 0)代入得：aS% .•.抛物线的解析式为：丫 = \乃(% + 2)273,即,=\访2 + 4、%+3日②如图2所示：顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合,.•.点C坐标为(1, 0),CQII PA, /. Z OQC=Z OPA,在^ OQC 和4 OPA 中,: Z OQC=Z OPA, Z COQ=Z AOP,CQ=PA,OQC2△ OPA (AAS) ,「・0Q=0P=、3,「•点Q 坐标为(0, \§),设以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a%2 + g3,把点C(l, 0)代入得：a=-W, .•.抛物线的解析式为：?=一臼2 + 口；综上所述：存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形,抛物线的解析式为：«3/ + 4\,做+3\3,或y =-%即 + 0考点：1.二次函数综合题：2.压轴题：3.新定义：4.存在型：5.分类讨论.3 910 .二次函数y=—-x2+bx+c的图象经过A (0, 3) , B ( - 4,--)两点.(1)求b, c的值.3(2)二次函数y= -「xZ+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标：假设没有,请16说明情况.【答案】⑴j 8 : 〔2〕公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕. c = 3【解析】【分析】〔1〕把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；〔2〕利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程-3 o—X2+-X+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.16 89 3【详解】(1)把 A (0, 3) , B ( - 4,--)分别代入y=- - x2+bx+c,2 16c = 3得4 39------ x l6-4〃 + c =——16 26 = ?解得彳8 ；[c = 33 9〔2〕由〔1〕可得,该抛物线解析式为：y=- -x2+-x+3, 1 o 83 225-4x ( - -- ) x3= >0»16 6483所以二次函数y=- - x2+bx+c的图象与x轴有公共点, 163 9.「- -x2+-x+3=0 的解为：x产・2, X2=8,16 8公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.。

九年级中考数学专题复习---二次函数压轴题1、已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y=0.5x+b(b<k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.为方程y1-y2=0的两个根，点M(t,T)在函数y2的图象上．2、已知函数y1=x,y2=x2+bx+c,ɑ,β（1）若，求函数y2的解析式；（2）在（1）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A,B，当△ABM的面积为1/12时，求t的值；（3）若0<ɑ<β<1,当0<t<1时，试确定T,ɑ,β三者之间的大小关系，并说明理由．3.如图，抛物线F：y=ax2+bx+c的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x 轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a/x2+b/x+c/，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．⑴当a=1，b=-2，c=3时，求点C的坐标(直接写出答案)；⑵若a、b、c满足了b2=2ac.①求b：b′的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．4.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数.5.已知二次函数y=x2+ax+a-2.（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a ＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；（3）在满足第(2)问的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.6.已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12＋2kx2＋k＋2=4x1x2．＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．①求k的值；②当k≤x≤ｋ7.如图，经过点A(0，-4)的抛物线y=0.5x2＋bx＋c与x轴相交于点B(-1，0)和C，O为坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y=0.5x2＋bx＋c向上平移 3.5个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求AM的长．8.已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1<0<x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO-tan∠CBO=1.．（1）求证：n+4m=0；（2）求m,n的值；（3）当p﹣０且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．9.已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．10.如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣ｔ）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A ，k ；（2）随着三角板的滑动，当a=时：①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣ｔ）的顶点在函数y=-0.25x2的图象上；②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣ｙ1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣ｙ1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．11.已知：函数y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)．(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；(2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴相交于点C，且x2－x1＝2．①求抛物线的解析式；②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．12.如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n （m＜0，n＞0）．（1）当m=﹣１，n=4时，k= ，b= ；当m=﹣２，n=3时，k= ，b= ；（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．①当m=﹣３，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为 ；当四边形AOED为正方形时，m= ，n= ．13.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠０）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠０）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；）也经过A点，求a与t之间的关系式；（2）若抛物线y=tx2（t≠０（3）当点A在抛物线y=x2﹣ｘ上，且﹣2≤ｈ＜1时，求a的取值范围．参考答案1.2.3.4.5. 6.7.解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=0.5x2+bx+c中，得：0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0，解得：b=-1 c=-4∴抛物线的解析式：y=0.5x2-x-4．（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=0.5（x+m）2-（x+m）-4+3.5，即：y=0.5x2+（m-1）x+0.5m2-m-0.5 ；它的顶点坐标P：（1-m，-1）；由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m=2.5；当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜2.5；又∵m＞0，∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜2.5 ．（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN?AM1；易得：AB2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6；而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2．综上，AM的长为6或2．8.9.（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由y=x2,y=1，得A（﹣１，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由y=x2,y=x+1，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1x2=﹣１，∴AB=AC=|x2﹣ｘ1|==，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．由y=x2,y=kx+1，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1x2=﹣１，∴AB2=（x1﹣ｘ2）2+（y1﹣ｙ2）2=（x1﹣ｘ2）2+（kx1﹣kx2）2=（1+k2）（x1﹣ｘ2）2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2kk+2=k4+5k2+4，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB为直角三角形．10.11.12.13.。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．(1)求ABC 的面积；(2)如图2，点P 为直线上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ∥交直线BC 于点D ，过点P 作直线PE x ∥轴交直线BC 于点E ，求PD PE +的最大值及此时P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将原抛物线234y x x =-++沿射线AC 方向平移M 是新抛物线与原抛物线的交点，N 是平面内任意一点，若以P 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标．3．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ，设该抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标；(2)若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标；(3)连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EF CD ⊥交CD 于点F ，若12=DF CF ，求点E 的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，直线4y x =-+经过B 、C 两点，4OB OA =．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作PD x ⊥轴交BC 于点D ，垂足为N ，连接PC 交x 轴于点E ，设点P 的横坐标为t ，PCD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)在（2）的条件下，如图3，过点P 作PF PC ⊥交y 轴于点F ，PF PE =．点G 在抛物线上，连接PG ，45CPG ∠=︒，连接BG ，求直线BG 的解析式．5．如图1，已知二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点为()0,1D ，且经过点()2,2A ．(1)求二次函数的解析式；(2)过点A 的直线与二次函数图象的另一交点为B ，与y 轴交于点C ，若BDC 的面积是ADC △的两倍，求直线AB 的解析式；(3)如图2，已知(),0E m ，是x 轴上一动点（E ，O 不重合），过E 的两条直线1l ，2l 与二次函数均只有一个交点，且直线1l ，2l 与y 轴分别交于点M 、N ．对于任意的点E ，在y 轴上（点M 、N 上方）是否存在一点()0,F t ，使N FEM F E △∽△恒成立．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．7．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．(1)求抛物线解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使得△CBP＝△ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求DQ EQ QFAD BE CF++的值．8．如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；(1)求k 的值；(2)点C 为抛物线上一点，连接BC 、AC ，作CD △x 轴于D ，当△BCA ＝90°时，设CD 长度为d ，求d 与a 的函数关系式；(3)抛物线顶点为S ，作S T 垂直AB 于T ，点Q 为第一象限抛物线上一点，连接AQ 交S T 于点P ，过B 作x 轴的垂线交AQ 延长线于点E ，连接OE 交BQ 于点G ，过O 作OE 的垂线交AQ 于点F ，若OF ＝OG ，tan△ABQ ＝2时，连接S Q ，求证：S Q ＝S P ．9．已知抛物线23y x bx =-++的图象与x 轴相交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，图象的对称轴为直线=1x -．连接AC ，有一动点D 在线段AC 上运动，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交x 轴于点F ．设点D 的横坐标为m ．(1)求AB 的长度；(2)连接AE CE 、，当ACE △的面积最大时，求点D 的坐标； (3)当m 为何值时，ADF △与CDE 相似．10．如图，抛物线28y ax bx =++与x 轴交于()2,0A -和点()8,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，设四边形PBOC 和AOC 的面积分别为PBOC S 四边形和AOCS，记AOC PBOC S S S =-△四边形，求S 最大值点P 的坐标及S 的最大值；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线24y ax bx =+-经过点()1,0C -，点()4,0B ，交y 轴于点A ，点H 是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE △x 轴于点E ，交线段AB 于点D ，HQ △y 轴，交y 轴于点Q ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若四边形HQOE 是正方形，求该正方形的面积．(3)连接OD 、AC ，抛物线上是否存在点H ，使得以点O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点为()10A -，，顶点为B ．点()5C m ，在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E ．(1)求抛物线的表达式及点E 的坐标； (2)连接AB ，求△B 的余切值；(3)点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标．13．如图所示，抛物线2=23y x x --与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．(1)求点C 及顶点M 的坐标．(2)若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN ，求BCN △面积的最大值． (3)直线CM 交x 轴于点E ，若点P 是线段EM 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B ，C 的坐标分别为(2，0)，(0，3)，点D 与点C 关于x 轴对称，P 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接PD 、交AC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式及点A 的坐标； (2)在点P 运动的过程中，求PQ ：DQ 的最大值；(3)在y 轴上是不存在点M ，使45AMB ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得△CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．17．如图（1），直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B （3，0）、点C （0，3），经过B 、C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．(1)求该抛物线的解析式与点P 的坐标；(2)当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值； (3)连接AC ，点N 在x 轴上，点M 在对称轴上，△是否存在使以B 、P 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由；△是否存在点M ，N ，使以C 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （图（2）、图（3）供画图探究）18．如图，已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，点C 的坐标为_________；(2)设点11(,)P x y ，22(,)Q x y （其中12x x >）都在抛物线213222y x x =-++上，若121x x =+，请证明：12y y >；(3)已知点M 是线段BC 上的动点，点N 是线段BC 上方抛物线上的动点，若90CNM ∠=︒，且CMN 与OBC △相似，试求此时点N 的坐标．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4-(3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -2．(1)10；(2)最大值为4，()2,6P ； (3)N 点坐标为113,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或345,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．3．(1)243y x x =-+，()21-，(2)⎝⎭或⎝⎭(3)207,99⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)254y x x =-+ (2)32122S t t =-+ (3)416y x =-5．(1)2114y x =+ (2)312y x =-或132y x =-+ (3)存在，=2t6．(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1（，0）、Q 2（0）、Q 3，0）、Q 4（，0） 7．(1)223y x x =-++(2)存在，1217(,),(1,4)24P P - (3)DQ EQ QF AD BE CF ++的值为18．(1)k ＝4 (2)1d a=-9．(1)4(2)（32-，32-） (3)当2m =-或1m =-时ADF △与CDE 相似10．(1)21382y x x =-++ (2)()4,12P ，最大值为56(3)存在，()3,8，(3,5，()3,1111．(1)234y x x =--(2)6+(3)存在，点H 的坐标为1684,525⎛⎫- ⎪⎝⎭或521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭12．(1)21322y x x =--；E （2，0） (2)3(3)M 点的坐标为（5，0）或（7，0）13．(1)C 点坐标为（0，-3），顶点M 的坐标为（1，-4）；(2)278(3)P 点的坐标为39(,)44--或（-1，-2）．14．(1)抛物线L 1：2=23y x x --，抛物线L 2：223y x x =-++； (2)435(,)39M 或(4,5)M -．15．(1)211322y x x =--+，A (-3，0)； (2)316； (3)存在，M (0，6)或(0，-6)16．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）17．(1)243y x x =-+，顶点坐标为P （2，－1） (2)33,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)△存在，()10,0N 或27,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；△存在，点M 的坐标为（2，2）；（2，－4）；（2，4）18．(1)（-1，0），（4，0），(0，2)；(3)点N 的坐标为（32，258）或（3，2）．。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，二次函数216y x bx c =++的图象交坐标轴于点()4,0A ，()0,2B -，点P 为x 轴上一动点．(1)求二次函数216y x bx c =++的表达式； (2)将线段PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PD ，若D 恰好在抛物线上，求点D 的坐标； (3)过点P 作PQ x ⊥轴分别交直线AB ，抛物线于点Q ，C ，连接AC ．若以点B 、Q 、C 为顶点的三角形与APQ △相似，直接写出点P 的坐标． 2．抛物线25y ax bx =++经过点1,0A 和点()5,0B ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线25y x =+相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM y ∥轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC PD 、，如图1，在点P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；①连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线24y ax ax b =-+与x 轴交于A ，B 两点，（A 在B 的左侧），与y 轴交于C ，若OB OC =，且03C （，）．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，以A 、M 、N 为顶点的三角形与AOC ∆相似，若存在，求出所有符合条件的M 点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图．在平面直角坐标系中．抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,2-．已知点(),0E m 是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ，交BC 于点F ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若:1:2EF PF =，请求出m 的值；(3)是否存在这样的m ，使得BEP △与ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．5．如图，二次函数212y x bx c =-++图像交x 轴于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，CD y ⊥轴，交抛物线于另一点D ，且5CD =，P 为抛物线上一点，PE y轴，与x 轴交于E ，与BC ，CD 分别交于点F ，G ．(1)求二次函数解析式；(2)当P 在CD 上方时，是否存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，若存在，求出CPG △与FBE 的相似比，若不存在，说明理由．(3)点D 关于直线PC 的对称点为D ，当点D 落在抛物线的对称轴上时，此时点P 的坐标为________．6．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，已知A ，B 两点坐标分别是(1,0)A ，(4,0)B -，连接,AC BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC ∆沿BC 所在直线折叠，得到DBC ∆，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P 是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q ，连接BP ，BPQ ∆的面积记为1S ，ABQ ∆的面积记为2S ，求12S S 的值最大时点P 的坐标． 7．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知菱形OABC 的边长为5，且点(34)A ，，点E 是线段BC 的中点，过点A ，E 的抛物线2y ax bx c =++与边AB 交于点D ，(1)求点E 的坐标；(2)连接DE ，将BDE △沿着DE 翻折痕．①当B 点的对应点B '恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；①连接OB ，BB '，若BB D '△与BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数=a ______． 9．如图，抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD △相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线BC 下方抛物线上一点P ，作PQ 垂直BC 于点Q ，连接CP ，当CPQ 中有一个角等于ACO ∠时，求点P 的坐标．10．如图，抛物线顶点D 在x 轴上，且经过(0,3)-和(4,3)-两点，抛物线与直线l 交于A 、B 两点．(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标；(2)如图1，若()03A ，-，且 94ABDS ＝，求直线l 解析式； (3)如图2，若90ADB ∠=︒，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．11．如图1，已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上一动点，过点P 作∥PE BC ，交x 轴于点E ，连接OP 交BC 于点F ．(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标以及抛物线的对称轴； (2)当点P 在线段BC 下方抛物线上运动时，求BFPE取到最小值时点P 的坐标； (3)当点P 在y 轴右边抛物线上运动时，过点P 作PE 的垂线交抛物线对称轴于点G ，是否存在点P ，使以P 、E 、G 为顶点的三角形与①AOC 相似？若存在，来出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线212ax ax b =-+y 经过()1,0A -，32,2C ⎛⎫⎪⎝⎭两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且2PM MQ MB =⋅，设线段OP x =，2MQ y =，求2y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；并直接写出PM APPQ BQ-的值；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x m =，x n =分别与抛物线交于点E ，G ，与（2）中的函数图象交于点F ，.H 问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．13．已知抛物线213222y x x =-++交x 轴于A 、B 两点，A 在B 的左边，交y 轴于点C ．(1)求抛物线顶点的坐标；(2)如图1，若10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 在抛物线上且在直线AE 上方，PQ AE ⊥于O ，求PQ 的最大值；(3)如图2，点(),3D a （32a <）在抛物线上，过A 作直线交抛物线于第四象限另一点F ，点M 在x 轴上，以M 、B 、D 为顶角的三角形与AFB △相似，求点M 的坐标． 14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．15．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式； (2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．16．如图①，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，3），顶点为D （4，-1），对称轴与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．(1)求二次函数的解析式；(2)点M 在第一象限抛物线的对称轴上，若点C 在BM 的垂直平分线上，求点M 的坐标； (3)如图①，过点E 作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H ，x 轴上方的对称轴上是否存在一点P ，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．(1)求a ，c 的值；(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴负半轴交于C ，且满足2OA OB OC ===．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，D 为y 轴负半轴上一点，过D 作直线l 垂直于直线BC ，直线l 交抛物线于E ，F 两点（点E 在点F 右侧），若3DF DE =，求D 点坐标； (3)如图3，点M 为抛物线第二象限部分上一点，点M ，N 关于y 轴对称，连接MB ，P 为线段MB 上一点（不与M 、B 重合），过P 点作直线x t =（t 为常数）交x 轴于S ，交直线NB 于Q ，求QS PS -的值（用含t 的代数式表示）．参考答案：1．(1)211266y x x =-- (2)()3,1D -或()8,10D -(3)点P 的坐标为()011-，或()10，．2．(1)265y x x =-+ (2)37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,4-3．(1)243y x x =-+ (2)()2,2P 或()2,2-(3)存在符合条件的M 点，且坐标为：110(3M ，7)9-，()26,15M ，38(3M ，5)9-4．(1)213222y x x =--； (2)2m =；(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为()7,0或()1,0M 或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．5．(1)215322y x x =-++；(2)存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，CPG △与FBE 的相似比为2或25；(3)P 点横坐标55．6．(1)213222y x x =--+(2)点D 不在抛物线的对称轴上， (3)(2,3)-7．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -8．(1)13(2)2E ， (2)①11(4)2D ，或23(4)6D ，；①47-9．(1)2=23y x x --(2)()0,0，()6,0，8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,03⎛⎫⎪⎝⎭(3)57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或者315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()2324y x =--，()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析，定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．(1)A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），对称轴为直线x ＝1(2)当t ＝32时，BF PE 最小，最小值为47，此时P （32，﹣154）．(3)存在，点P 的坐标为（2，﹣3）12．(1)211322y x x =-++(2)22150322y x x x =-+≤<（），PM AP PQ BQ -的值为0 (3)m 、n 之间的数量关系是2(1)m n m +=≠13．(1)（32，258）答案第3页，共3页(3)（2，0）或（-5，0）或13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)(3,4)-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭16．(1)21234y x x =-+(2)(4,3(3)存在P 1)或(4,1)，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，17．(1)12a =-，4c = (2)23y x =- (3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或18．(1)2122y x =- (2)()0,1D -或190,8D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)24QS PS t -=-+。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案1．如图，已知抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，顶点为C ，点P 为线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过P 作PQ BC ∥交抛物线于点Q ，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)求CPD △面积的最大值；(3)连接CQ ，当CQ PQ ⊥时，求点Q 的坐标；(4)点P 在运动过程中，是否存在以A 、O 、D 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由2．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，抛物线()2430y mx mx m =++>交x 轴于E 、F 两点，交y 轴于A 点，直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交y 轴于A 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为()3t t <-，QAE 的面积为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E 两点之间的抛物线上一点，15S =，QMN AEM ∠=∠，且MN EM =，求点N 的坐标．4．如图，抛物线22y ax ax c =++经过()()1003B C ，，，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，连接AC ，点E 在直线AC 上方的抛物线上，连接EA EC ，，当EAC 面积最大时，求点E 坐标；(3)如图2，连接AC BC 、，在抛物线上是否存在点M ，使ACM BCO ∠=∠，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(,0),(8,0)A t B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y kx =-经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，求12CQ PQ +的最大值．6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，点P 是抛物线上位于点B 、C 之间的动点．(1)求ABC ∠的度数；(2)若PBC ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)已知点(),P p n ，若点(),Q q n 在抛物线上，且p q >；①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q ；②若2PQ t =，求232022p tq t +-+的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)PE +的最大值时，求此时点P PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．(1)求出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是线段CB 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 的坐标．10．二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B -，，交y 轴于点()03C -，．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E 为抛物线的顶点，点()0T t ，为y 轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B ，E 旋转后的对应点分别记为B E ''，，当四边形BEB E ''的面积为12时，求t 的值；(3)如图2，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ．点M 是直线CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ．是否存在点M 使PBC 为直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B ，，交y 轴于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D 的坐标；(2)若点E 为该抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点，若EF x ∥轴，且1EF =（点E 在点F 左侧），求点E 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使得APD △为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P 坐标．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)如图1，求b 、c 的值；(2)如图2，点P 是第一象限抛物线2y x bx c =-++上一点，直线AP 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，ADC △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E 是直线BC 上一点，45EPD ∠=︒，ADC △的面积S 为54，求E 点坐标．13．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式；(2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A 、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D 的坐标；(2)若四边形BCEF 为矩形，3CE =．点M 以每秒1个单位的速度从点C 沿CE 向点E 运动，同时点N 以每秒2个单位的速度从点E 沿EF 向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似时，求运动时间t 的值；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，点G 是点P 关于点D 的对称点，点Q 是x 轴下方抛物线上的动点．若过点Q 的直线l ：94y kx m k ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA 、GB 相交于点H 、K ，求证：GH GK +为定值．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx =+经过(40)(13)A B ，，，两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若OAB 面积是PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记CPB △，BCO 的面积分别为12S S ，，判断12S S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线212y x bx c =-++（b 、c 是常数）的顶点B 坐标为()1,2-，抛物线的对称轴为直线l ，点A 为抛物线与x 轴的右交点，作直线AB ．点P 是抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，过点P 作PN l ⊥于点N ，以PQ PN 、为边作矩形PQMN ．(1)b =___________，c =___________．(2)当点Q 在线段AB 上（点Q 不与A 、B 重合）时，求PQ 的长度d 与m 的函数关系式，并直接写出d 的最大值．(3)当抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标．(4)矩形PQMN 的任意两个顶点到直线AB 的距离相等时，直接写出m 的值．17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点()0,2C ．(2)点P 是第一象限内的抛物线上一点．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点Q ，求PQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2．将地物线沿射线BC()2111110y a x b x c a =++≠，新抛物线与原抛物线交于点G ，点M 是x 轴上一点，点N 是新抛物线上一点，若以点C 、G 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．18．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =+-(2)2(3)11524Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4)1,05⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()0,0或1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为8，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-3．(1)243y x x =++(2)23922S t t =+(3)()2N -4．(1)223y x x =--+，()14D -，(2)E 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)存在，()45M --，或5724⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2111644y x x =-+-；364y x =-(2)710,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)169166．(1)45︒(2)(1,4)P(3)①见解析；②20237．(1)2712y x x =-++PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为215,424N ⎛+ ⎝⎭或215,424⎛- ⎝⎭或13,544N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或13,544N ⎛- ⎝⎭或299,204N ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--9．(1)2=23y x x --(2)满足PCB CBD ∠=∠，点P 的坐标为(4,5)或(2,2)-(3)M 点的坐标为(1,2)-或(2,5)--或924,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)243y x x =---(2)3t =-(3)存在，532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(23)--，或(53)--，11．(1)223y x x =-++，()23D ，(2)11024E ++⎝⎭，或1124E --+⎝⎭，(3)存在点P ，使得APD △为直角三角形，此时点P 的坐标为312⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或312⎛ ⎝⎭，或()12-，或()14，12．(1)2b =，3c =(2)12S t =(3)3513,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2315344y x x =-+，527,216D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)当911t =或65t =时(3)见解析15．(1)24y x x=-+(2)(24)P ，或(3,3)(3)见解析16．(1)1-，32(2)21122d m =-+()11m -<<，d 最大值为12(3)()3,0-或1--(4)3-或0或317．(1)211242y x x =-++；(2)5PQ +最大值为94，此时点5(3,4P ；(3)(1-，14-或(1-，1)4-或(1-+1)4或(1--1)4．18．(1)2246y x x =-++(2)129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）1．如图，直线y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣43x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；2．如图△，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan△ACB的值；（3）如图△，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，已知二次函数的图象经过点A （4，4）、B （5，0）和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0），并与直线OA 交于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B .（1）求抛物线的解析式；（2）设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点.△当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹.并直接写出直线CD 的解析式；△点()(),0P m n m >是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR ∆.在△的条件下，记PQR ∆与COD ∆的公共部分的面积为S .求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值.5．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB△x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l△x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出求a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且△DBP＝45°，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y 轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点(1)求抛物线的解析式及A点坐标；(2)若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；(3)若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围.8．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN△x 轴于点N ，交抛物线于点M ，当△BCM 面积最大时，求△BPN 的周长． （3）在（2）的条件下，当△BCM 面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CNQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线243y x x =++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点.（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为直线BD 上方的抛物线上一动点，过点P 作PF BD ⊥于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM EP ⊥，点G 为射线EM 上一动点（点G 不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点'B ，'D ，y 轴上有一动点M ，连接'MB ，'MD ，''MB D ∆是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M 点的坐标；若不能，请说明理由.11．如图1，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -、()30B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点为点M ．（1）求这条抛物线的解析式及直线BM 的解析式；（2）P 段BM 上一动点（点P 不与点B 、M 重合），过点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，设OQ 的长为t ，四边形PQAC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在线段BM 上是否存在点N ，使NMC ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图,已知抛物线与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3).(1)该抛物线的对称轴是直线___________， (2)求抛物线的解析式；(3)设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：13．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()6,0A -和点()4,0B ，与y 轴的交点为()0,3C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．△是否同时存在点D 和点P ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由；△若DCB CDB ∠=∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．15．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且△MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N 是y 轴负半轴上的一点，且ON =Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO ，QO 与抛物线的对称轴交于点M ，连接MN ，当MN 平分OMD ∠时，求点Q 的坐标．（3）直线BC 交对称轴于点E ，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE ∆与ACD ∆全等时点P 的坐标．17．已知：直线122y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线y ＝12x 2+bx +c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AE 上一动点，当△PBC 周长最小时，求点P 坐标； （3）动点Q 在x 轴上移动，当△QAE 是直角三角形时，求点Q 的坐标；（4）在y 轴上是否存在一点M ，使得点M 到C 点的距离与到直线AD 的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D 为抛物线的顶点，连接DA 、DB ，试判断△ABD 的形状，并说明理由； （3）设P 为对称轴上一动点，要使PC ﹣PB 的值最大，求出P 点的坐标．19．如图，抛物线2y ax bx c =++ 经过点()2,5A -，与x 轴相交于()1,0B -，()3,0C 两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿沿直线BD 翻折得到BC D '∆，若点D '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.20．如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1,tan 3OB ABO =∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过,,A B C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于,M N 两点． △若2PMN S ∆=，求k 的值；△证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；△当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．参考答案：1．（1）B （0，2），抛物线解析式为y=﹣43x 2+103x+2；（2）m 的值为12；（3）当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5.0）或（118，0）． 2．（1）B （3m ，0）；（2）tan△ACB ＝12；（3）点P 的坐标是：）或）． 3．（1）y ＝﹣x 2+5x ；（2）当点P 在直线OA 的上方时，线段PC 的最大值是4；（3）存在，P 的坐标是（4，2﹣）或（6，﹣6）或（5，0）． 4．（1）()21154y x =--+；（2）；4y x =-+；△S 27448x x =-+-；S 的最大值为47.5．（1）5；（2）a ＝﹣1（3）m ＝3n 2+2 6．（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）P （﹣25，6625）；（3）点M 的坐标为（32，298）或（32，﹣58）或（32，52）或（32，32）．7．(1)y=x 2-5x+4, A(1,0)；(2)(6,10)或(2,-2)；m ＜6或 3m ＜28．（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）在y 轴上存在点M ，点M 的坐标为(0,3)，(0,3-或(0,3-，（3）P （4，﹣3）．9．（1）y ＝﹣x 2+2x+3 （2）310．（1）43y x =-+（2（3）(0,,,.11．（1）2y x 2x 3=-++，26y x =-+；（2）四边形ACPQ S 29322t t =-++，t 的取值范围是13t <<；（3）716,55N ⎛⎫⎪⎝⎭或14N ⎛ ⎝⎭或()2,2N 12．（1）1x = （2）2y x 2x 3=-++；（3）存在，⎝⎭或（2.3）13．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.14．（1）211384y x x =--+；（2）△存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析；△点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭15．(1)y=-23x 2-43x+2；(2)S 的最大值为174；(3)存在，点N或)或)或)．16．（1）223y x x =--；（2）点Q 的坐标为：1Q ，2Q ；（3）若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -． 17．（1）215222y x x =-+；（2）P （1213，3213）；（3）Q 点坐标为（1，0）或（172，0）；（4）存在；M 点坐标为M （0，﹣8）.18．（1）抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）△ADB 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P （2，﹣3）．19．（1）223y x x =--；（2）点'C 坐标为(点D 的坐标为⎛ ⎝⎭；（3）直线BP 的函数表达式为y =y x =20．（1）2y x 2x 3=-++,()1,4P ;（2）△k =±△2241y x x =-++．。

中考数学总复习《二次函数与三角函数综合压轴题》专项训练题(附有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为A（1，2），与x轴交于点B（﹣1，0），C两点，点P是抛物线上的动点．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图2，连接CD，点E在CD上，且∠PEC＝90°，求线段PE长度的最大值；（3）如图3，连接AB、AC，已知∠ACB+∠PCB＝α，使得tanα＝2？若存在，求出点P 的横坐标，请说明理由．2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是y轴，与x轴交于A、B两点且A点坐标是（﹣2，0），且OB＝2OC．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，若M（﹣4，m），N是抛物线上的两点．求N点坐标；（3）如图3，D是B点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于y轴对称．直线DB、EB 分别交直线x＝﹣1于G、Q两点，请问PG﹣PQ是定值吗？若是请直接写出此定值．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点2+x+8交x轴于点A（﹣4，0）、B，交y 轴于点C．（1）求点B的坐标；（2）点D是第一象限抛物线上的一点，连接AD交y轴于点E，设点D的横坐标为t，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当4＜t＜8时，且横坐标为﹣t，连接BF交y轴于点G，点H 为线段BG的中点，连接AG，若AG＝EH，求tan∠CMD的值．4．二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C （1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为m（m＞3），且AQ⊥PQ，若AQ＝2PQ；（3）如图2，将抛物线绕x轴正半轴上一点R旋转180°得到新抛物线C1交x轴于D、E两点，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若sin∠BME＝5．如图，已知抛物线过平面直角坐标系中A（1，0）、B（3，0）（0，3）三个点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标．（2）如图②连接BC、BD、CD，求△BCD的面积．（3）点P是抛物线上的一点，已知，求满足条件的P点的坐标．6．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0），且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当△ACE面积的最大值时，求出此时点E的坐标；（3）点Q是直线上的一动点，连接OQ，设△OQF外接圆的圆心为M，当sin∠OQF 最大时（直接写答案）．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD＝2；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，请直接写出四边形PECE'的周长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y＝﹣x+2交抛物线于B（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求点D，E，C的坐标；（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，且AF2+EF2＝21．①求证：△DFC是直角三角形；②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时9．已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q？若存在，求出点Q的坐标，请说明理由．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）（﹣，0），tan∠ACO＝．（1）求抛物线的解析式；（2）线段OB上有一动点P，连接CP，当CP+，请直接写出此时点P的坐标和CP+ PB的最小值．（3）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值．11．如图，已知一次函数y1＝kx+m的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点，且与x 轴交于点C2＝ax2+bx+4的图象经过点A，C，连接OA．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）求∠OAB的正弦值．（3）在点C右侧的x轴上是否存在一点D，使得△BCD与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标，请说明理由．12．如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，过点P作PE⊥OA于点E，点Q的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）①当PQ∥EQ时，PQ+PE＝；②某班数学科代表经过一番探究后发现：对于A、C间的任意一点P，PQ与PE之和为定值，你是否同意他的观点？请说明理由；（3）延长EP交BC于点F，当∠FPQ为锐角，且时，求点P的坐标．13．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴分别于A，D两点，交y轴于B点（1）求抛物线的对称轴；（2）求tan∠BAC；（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P，B，D三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在；如果不存在，请说明理由．14．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）如图，连接AC，点P在线段AC上，与抛物线交于点Q．以线段PQ为边构造矩形PQMN，边MN在y轴上．①当矩形PQMN周长最大时，求点P坐标．②在①的条件下，点T在第四象限内，作射线AT，求tan∠TAO的值．15．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OQ＝18，点P是x轴正半轴上一点，连接PQ，⊙A经过点O且与QP相切于点P（1）若圆心A在x轴上，求⊙A的半径；（2）若圆心A在x轴的上方，且圆心A到x轴的距离为2，求⊙A的半径；（3）在（2）的条件下，若OP＜10，D，P的抛物线上的一个动点，点F为x轴上的一个动点的点M共有4个，求点F的横坐标的取值范围．参考答案1．解：（1）由题可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+6代入点B，得4a+2＝2∴a＝∴抛物线解析式为：；（2）如图1，过P作PF⊥x轴于F∵PE⊥CD∴∠PEH＝∠PFC＝90°∴∠PHE+∠EPH＝∠CHF+DCB＝90°∵∠PHE＝∠CHF∴∠EPH＝∠DCB令x＝6，则y＝＝∴D（0，）令y＝0，则解得x＝﹣2或3∴C（3，5）∴DO＝，CO＝7∴∴cos∠EPH＝cos∠DCB＝设直线CD为y＝kx+代入点C，得k＝∴直线CD为设P（），则H（）∴∵cos∠EPH＝∴PE＝＝∵P在第一象限∴0＜m＜6∴时，PE最大值为；（3）①如图2，当P在x轴下方时延长AB交CP延长线于K，过A作x轴平行线，两线交于点Q 过C作CR⊥AQ于R∵A（7，2），0），5）∴AB＝同理，AC＝∴AB2+AC2＝BC6，AB＝AC∴∠BAC＝90°∵∠AKQ+∠QAK＝∠QAK+∠RAC＝90°∴∠AKQ＝∠RAC又∠AQK＝∠CRA＝90°∴△AQK∽△CRA∴又tan∠ACK＝∴又AR＝CR＝8∴QK＝AQ＝4∴K（﹣3，﹣2）设直线CK为y＝k1（x﹣3），代入点K解得∴直线CK为联立∴3x3﹣4x﹣15＝0解得x＝或3∴P的横坐标为②如图3，当P在x轴上方时，则K′（﹣2，2）连接CK′交抛物线于点P可设直线CK′为y＝k2（x﹣5），代入点K′解得∴直线CK′为y＝联立∴6x2+4x﹣6＝0∴x＝或3∴P的横坐标为综上，P的横坐标为或．2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是y轴∴b＝3∵A点坐标是（﹣2，0）∴B点坐标是（2，0）∴OB＝2∵OB＝5OC∴OC＝1∴C（0，﹣4）∴c＝﹣1把A（﹣2，5）代入y＝ax2﹣1，得5a﹣1＝0解得：a＝∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣1；（2）当x＝﹣5时，y＝4﹣1＝3∴M（﹣8，3）过点M作MG⊥x轴于点G则MG＝3，OG＝5在Rt△OMG中，OM＝＝过点O作FK⊥OM，使OF＝OK＝，如图，过点K作KL⊥x轴于点L连接MF交抛物线于点N，连接MK交抛物线于点N′则∠MGO＝∠FHO＝∠KLO＝∠MOF＝∠MOK＝90°，tan∠OMN＝＝＝∵∠MOG+∠FOH＝90°，∠OFH+∠FOH＝90°∴∠OFH＝∠MOG∴△FOH∽△OMG∴＝＝，即＝＝∴OH＝1，FH＝∴F（1，）设直线MF的解析式为y＝kx+n，则解得：∴直线MF的解析式为y＝﹣x+与抛物线y＝x2﹣1联立，得：x2﹣6＝﹣x+解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝当x＝时，y＝﹣×+＝∴N（，）；同理可得K（﹣2，﹣），直线MK的解析式为y＝﹣与抛物线y＝x2﹣1联立，得：x2﹣8＝﹣x﹣解得：x6＝﹣4（舍去），x2＝﹣当x＝﹣时，y＝﹣）﹣∴N′（﹣，﹣）；综上所述，N点坐标为（，，﹣）；（3）由（1）知：A（﹣2，7），0）∵D、E两点关于y轴对称设D（m，m2﹣1），则E（﹣m，m2﹣6）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1则解得：∴直线BD的解析式为y＝x﹣当x＝﹣1时，y＝﹣﹣∴G（﹣1，﹣）同理可得：直线BE的解析式为y＝x+当x＝﹣8时，y＝∴Q（﹣1，）∵P（﹣1，4）∴PG＝0﹣（﹣）＝∴PG﹣PQ＝﹣＝3故PG﹣PQ的值为5．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+8交x轴于点A（﹣5，0）∴0＝（﹣4）2+（﹣4）+8解得a＝﹣∴y＝﹣x2+x+2当y＝0时，0＝﹣x2+x+4解得x1＝﹣4，x6＝8∴B（8，5）；（2）如图1，过D作DP⊥x轴于P∵点D的横坐标为t，点D是第一象限抛物线上的一点∴D（t，﹣x2+x+8）∴PD＝﹣x2+x+7，AP＝t+4在Rt△P AD中，tan∠P AD＝＝（t﹣8）在Rt△AOE中，tan∠OAE＝∴OE＝8﹣t在y＝﹣x2+x+8中，令x＝2∴C（0，8）∴OC＝3∴d＝CE＝OC﹣OE＝8﹣（8﹣t）＝t；（3）如图7，连接BC，FT⊥y轴于T在Rt△ABC中，∵OB＝OC＝8∴∠OBC＝∠OCB，BC＝∵∠OBC+∠OCB＝90°∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵点F的横坐标为﹣t，点F在抛物线上∴F（﹣t，﹣t2﹣t+4）∴t6+t﹣8，BR﹣8+t在Rt△BFR中，tan∠FBR＝＝在Rt△BOG中，tan∠OBG＝∴OG＝2t﹣8∴EG＝OE+OG＝6﹣t+2t﹣8＝t＝CE．∵点H为线段BG的中点∴EH∥BC，EH＝∴AG＝EH＝6在Rt△OAG中，OG＝∴∠OAG＝∠OGA∵∠OAG+∠OGA＝90°∴∠OAG＝∠OGA＝45°＝∠OBC∴AE∥GH∴∠CMD＝∠CFB∵OG＝7t﹣8＝4∴t＝4∴﹣t5﹣t+8＝﹣7，CE＝3t＝12∴F（﹣6，﹣7）∴FT＝7，GT＝OT﹣OG＝7﹣4＝6在Rt△FGT中，FG＝＝在Rt△BOG中，BG＝在Rt△CGN中，sin∠CGN＝∴CN＝∴GN＝∴FN＝FG+GN＝3+在Rt△CFN中，tan∠CFN＝＝∴tan∠CMD＝tan∠CFN＝．4．解：（1）将A（﹣1，0），7）解得：∴这个二次函数的表达式是y＝x6﹣2x﹣3；（2）过点Q作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线与点N，交过点A与y轴的平行线于点M∵∠NQP+∠MQA＝90°，∠MQA+∠QAM＝90°∴∠NQP＝∠QAM∵∠AMQ＝∠QNP＝90°∴△AMQ∽△QNP∴设点Q的坐标为（1，t），m2﹣6m﹣3）则AM＝t，QN＝m﹣1，NP＝t﹣m8+2m+3即解得m＝6（舍去）或4故m＝4；（3）过点E作EH⊥MB交MB的延长线于点H由抛物线的表达式知，点M（4，BM＝2则tan∠OBM＝＝3＝tan∠HBE∵sin∠BME＝，故tan∠BME＝故设BH＝x，则HE＝2x在Rt△HEM中，tan∠BME＝则tan∠BME＝＝＝，解得x＝在Rt△BHE中，BE＝＝故点E的坐标为（9，0）由旋转的定义知，点R是点A则x R＝（9﹣3）＝4故点R的坐标为（4，8）．5．解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c 把A（1，2），0），3）代入得解方程组得：∴y＝x2﹣6x+3配方得：y＝（x﹣2）2﹣1顶点D的坐标为（2，﹣2）；（2）设直线CD的表达式为y＝kx+m把C（0，3），﹣6）代入得解方程组得：∴y＝﹣7x+3如图（2），设直线y＝﹣2x+8交x轴于点E当y＝0时，﹣2x+7＝0∴点E坐标为：（，2）∴BE＝3﹣过D作DF⊥x轴于点F∴；（3）∵BC5＝32+62＝18，BD2＝72+18＝2，CD2＝72+42＝20∴BC2+BD2＝CD7∴△BCD为直角三角形，∠CBD＝90°又∵tan∠BCP＝，即点D为满足条件的点P7（2，﹣1）如图（3），延长DB至点H，得H（2连接CH交抛物线于点P，所得的∠PCB＝∠BCD设直线CH的表达式为y＝k1x+n把C（0，7），1）代入得解得则直线CH的表达式为：由题意得：解得x＝0或当时，∴点满足条件的P点的坐标有P1（2，﹣3），．6．解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移4个单位，再向下平移2个单位2﹣2∵OA＝1∴点A的坐标为（﹣1，3），4a﹣2＝2∴∴抛物线的解析式为，即．令y＝0，则解得：x1＝﹣5，x2＝3∴B（5，0）；∴AB＝OA+OB＝4∵△ABD的面积为4∴∴∴解得：x1＝﹣2，x8＝4∴．设直线AD的解析式为y＝kx+b，则有解得：∴直线AD的解析式为．（2）如图，过点E作EM∥y轴交AD于M设，则∴∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝＝．∴当此时E点坐标为．（3）如图，H是OF的中点上运动∴∠OQF＝∠OMH∴∴当OM取得最小值时，sin∠OQF的值最大∵MO＝MQ∴当MQ取得最小值时，sin∠OQF的值最大∵当MQ垂直直线时，MQ取得最小值∴此时M、Q在二次函数的对称轴直线x＝7上∴根据对称性，存在故：或．7．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，与y轴交于点C（4∴解得∴抛物线的解析式为．答：抛物线的解析式为．（2）①设P（x，），如图∴∠PEC＝∠CED＝90°∵C（0，﹣2）∴OC＝4∵PD⊥x轴∴∠PDO＝90°∵∠DOC＝90°∴四边形DOCE是矩形∴DE＝OC＝4，OD＝CE＝﹣x∴＝∵∴∴（舍去）∴＝∴P（﹣．②设P（m，）对于，当y＝4时，解得x1＝7，x2＝﹣3∴B（﹣5，0）∵OC＝4∴当点P在第三象限时，如图则四边形DEFO是矩形∴EF＝OD＝﹣m∵点E与点E′关于PC对称∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′∵PE∥y轴∴∠EPC＝∠PCE′∴PE＝CE∴PE＝CE′∴四边形PECE′是菱形∵EF∥OA∴△CEF∽△CBO∴∴∴设直线BC的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2∴∴＝∵，PE＝CE∴解得（舍去）∴∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝4×＝当点P在第二象限时，如图同理可得解得（舍去）∴∴四边形PECE′的周长C＝4CE＝3×＝综上，四边形PECE′的周长为或．8．（1）解：∵直线y＝﹣x+8交y轴于点D 当x＝0时，y＝2∴D（4，2）当y＝0时，x＝5∴E（6，0）∵直线y＝﹣x+2交抛物线于B∴﹣x7+3x+1＝﹣x+2∴7x2﹣10x+3＝8解得∵点B在点C的左侧∴点C的横坐标为6，当x＝3时∴C（3，3）答：C（3，1），8），0）．（2）如图①证明：∵抛物线y＝﹣x2+5x+1交y轴于点A 当x＝0时，y＝4∴A（0，1）∴OA＝6在Rt△AOF中，∠AOF＝90°∴AF2＝OA2+OF3设F（m，0）∴OF＝m∴AF2＝5+m2∵E（6，2）∴OE＝6∴EF＝OE﹣OF＝6﹣m∵AF5+EF2＝21∴1+m8+（6﹣m）2＝21∴m2＝2，m2＝7∵OF＜EF∴m＝2∴OF＝2∴F（4，0）∵D（0，4）∴OD＝2∴OD＝OF∴△DOF是等腰直角三角形∴∠OFD＝45°过点C作CG⊥x轴于G∵C（3，6）∴CG＝1，OG＝3∵GF＝OG﹣OF＝3∴CG＝GF∴△CGF是等腰直角三角形∴∠GFC＝45°∴∠DFC＝90°∴△DFC是直角三角形．②解：∵FK平分∠DFC，∠DFC＝90°∴∠DEK＝∠CFK＝45°∴∠OFK＝∠OFD+∠DFK＝90°∴FK∥y轴∵3tan∠PFK＝1∴设点P的坐标为（t，﹣t2+5t+1），根据题意得．（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，．过点P1作P6H⊥x轴于H∴P1H∥KF∴∠HP1F＝∠P8FK∴∵HF＝OF﹣OH∴HF＝2﹣t在Rt△P1HF中，∵∴P1H＝3HF∵∴﹣t2+3t+6＝3（2﹣t）∴t3﹣6t+5＝3∴t1＝1，t5＝5（舍去）当t＝1时，﹣t7+3t+1＝2∴P1（1，7）．（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，过点P7作P2M⊥x轴于M∴P2M∥KF∴∠MP8F＝∠P2FK∴∴P3M＝3MF∵∴﹣t7+3t+1＝6（t﹣2）∴（舍去）当t＝时，∴．∴点P的坐标为（3，3）或（）．9．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（7，0），0）解得：∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+2；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+2，当x＝0时∴C（0，3）∵△P AC的周长等于P A+PC+AC，AC为定长∴当P A+PC的值最小时，△P AC的周长最小∵A，B关于抛物线的对称轴对称∴P A+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，P A+PC的值最小，此时点P为直线BC与对称轴的交点设直线BC的解析式为：y＝mx+n则：解得：∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4当时，∴∵A（1，8），4）∴P A＝＝，PC＝＝∴；（3）存在∵D为OC的中点∴D（5，2）∴OD＝2∵B（3，0）∴OB＝4在Rt△BOD中，∴∠QDB＝∠OBD；①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，此时Q点纵坐标为2设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：∴Q（，2）或（；②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E则：DE＝BE设E（p，0）2＝OE4+OD2＝p2+7，BE2＝（4﹣p）6∴p2+4＝（6﹣p）2解得：∴设DE的解析式为：y＝kx+q则：解得：∴联立解得：或∴Q（3，﹣2）或；综上所述，或（，﹣2）或．10．解：（1）∵A（﹣，0）∴OA＝∵tan∠ACO＝∴OC＝4∴C（0，3）将A，C的坐标代入y＝ax3+x+c得，∴∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3；（2）令y＝4，则y＝﹣x3+x+3＝0解得x＝﹣或x＝3∴B（8，0）∴OC＝6，OB＝3∴tan∠OBC＝＝∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°；如图1，作点C关于x轴的对称点C′，C′H与x轴的交点即为所求点P∴PH＝PB∴CP+PB＝CP+PH＝C′P+PH＝C′H∵OC＝OC′＝3∴CC′＝6∴C′H＝6；连接CP∴C′P＝CP，∠PCC′＝∠PC′C＝30°∴OP＝综上，当P（，CP+；（3）如图2，过点D作DG⊥x轴于点G，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K ∴△DEF∽△AEK∴＝∵C（0，3），0）∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；设点D的横坐标为t∴D（t，﹣t2+t+3）∴F（t，﹣t+3），4）∴AF＝4，DF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t2+t；∴＝＝﹣t2+t＝﹣）2+∴当t＝时，的最大值为．11．解：（1）将A（﹣1，﹣5），﹣3）代入y1＝kx+m ∴解得∴y＝x﹣5令y＝0，则x＝4∴C（6，0）将A（﹣1，﹣2），0）代入y2＝ax2+bx+4∴解得∴y＝﹣2x2+7x+7；（2）过点O作OH⊥AC交于H∵B（0，﹣4），2）∴∠OCB＝45°∵OC＝4∴OH＝CH＝2∵AC＝5∴AH＝8∴AO＝∴sin∠AOB＝＝；（3）存在点D，使得△BCD与△OAB相似∵D点在C点右侧∴∠BCD＝135°∵∠ABO＝135°∴∠CBD＝∠OAB或∠CDB＝∠OAB当∠OAB＝∠CBD时，△OAB∽△DBC∴＝∵OB＝4，BC＝2∴CD＝16∴D（20，6）；当∠OAB＝∠BCD时，△OAB∽△BDC∴＝∴CD＝2∴D（6，6）；综上所述：D点坐标为（20，0）或（6．12．解：（1）∵边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上∴点C坐标为（0，8），0）根据抛物线的点C为顶点，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+6将点A（﹣4，0）代入可得16a+3＝0解得a＝﹣∴此抛物线关系式为：y＝﹣x3+4；（2）①当点P与点A重合时，PQ+PE＝AQ＝当点P与点C重合时，PQ+PE＝CQ+CO＝2+4＝5故答案为：2；②对于A，C间的任意一点P理由如下：过点P作PD⊥y轴于点D设点P的坐标为（m，﹣m7+4）∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点∴PD＝﹣m，QD＝|﹣m2+4﹣4|∴PQ＝＝m2+1∴PQ+PE＝m2+6+（﹣m3+4）＝5；（3）由（2）得PQ+PE＝6设点P的坐标为（x，y）∴PE＝y，PQ＝5﹣y∵∠FPQ为锐角，则y＜3∴QD＝8﹣y∵cos∠FPQ＝而∠FPQ＝∠DQP∴＝解得：y＝1把y＝1代入抛物线解析式得y＝﹣x2+5＝1解得x＝±2∵点P在AC段上∴x＝﹣2∴点P坐标为（﹣6，1）．13．解（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵二次函数y＝﹣x3+2x+3＝﹣（x﹣6）2+4∴C（7，4），3）把y＝3代入y＝﹣x2+2x+8解得：x1＝﹣1，x7＝3∴D（﹣1，5），0）过点C作CE⊥y轴，垂足为点E则BE＝4﹣3＝1，CE＝1∴BC＝，∠EBC＝∠ECB＝45°又∵OB＝OA＝3∴AB＝3，∠OBA＝∠OAB＝45°∴∠CBA＝180°﹣45°﹣45°＝90°又∵BC＝，AB＝3∴tan∠BAC＝＝；（3）存在，P（6，（0，﹣）当点P在原点时，∠BPD＝90°，∴，∠BPD＝∠ABC则△BPD∽△ABC；在Rt△ABC中，BC＝∴AC＝2在Rt△BOD中，OD＝1∴BD＝当PD⊥BD时，设点P的坐标为（0若△BDP∽△ABC，则，即＝解得y＝﹣∴点P的坐标为（0，﹣）∴当P的坐标为（0，0）或（3，﹣，以P、B．14．解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x6﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）①由点A、C的坐标得设点P（x，﹣x+3），﹣x2+2x+6）则PQ＝（﹣x2+2x+5）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x则矩形PQMN的周长＝2（PQ+PN）＝2（﹣x6+3x+x）＝﹣2（x8﹣4x）∵﹣2＜7，故矩形PQMN的周长有最大值即点P（2，1）；②由①知，点P的坐标为（7，则NP＝2当x＝2时，PQ＝﹣x2+3x＝2故PQ＝PQ＝5＝PN故矩形PQMN为正方形，如图连接AQ、AN，设CP交AQ于点M由正方形轴对称性知，AQ＝AN∵∠TAQ＝3∠P AN∴∠TAN＝∠P AN设AT交y轴于点H，即∠HAN＝∠P AN在等腰Rt△MNP中，PN＝2由点P、A的坐标得则tan∠P AN＝＝＝＝tan∠NAH过点H作HK⊥AN于点K在Rt△ONA中，tan∠ONA＝设HK＝3t，则NK＝t在Rt△AHK中，tan∠NAH＝则AK＝6t则AN＝NK+AK＝t+6t＝＝则t＝则HN＝t＝则OH＝HN﹣ON＝﹣1＝则tan∠TAO＝＝＝．15．解：（1）∵圆心A在x轴上，⊙A经过点O且与QP相切于点P ∴PQ⊥x轴，OP为直径∵tan∠POC＝1，∴PQ＝OP∵在Rt△OPQ中，．∴OP＝18．∴⊙A的半径为9；（2）如图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，连接AP∵PQ是⊙A的切线∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°∵AM⊥x轴，QB⊥x轴∴∠AMP＝∠PBC＝90°∴∠P AM＝90°﹣∠APM＝∠QPB∴△APM∽△PBQ∴∵tan∠POC＝1，QB＝18∴OB＝QB＝18∵AM＝2，设MP＝MO＝x∴PB＝18﹣2x∴解得x＝3或x＝6∴MO＝3或MO＝x∴A（3，3）或A（6∴AP＝＝或AP＝．∴半径为或2．（3）∵OP＜10∴BO＝3，P（8∴A（3，2）∵tan∠POC＝6，设D（a∵∴（3﹣a）2+（7﹣a）2＝13解得：a＝0或a＝5∴D（5，5）设抛物线解析式为y＝ax7+bx将点P（6，0），2）代入得，解得：∴y＝﹣x2+6x∵点F可能在点O的左边或点P的右边，则|K FM|＝设直线MF：或联立，得或当或解得：或∴直线MF：或令y＝0，解得：或∴或．。

《二次函数综合》压轴题专题训练1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛1物线C：y＝x2．2（1）直接写出抛物线C的解析式；1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）（2）如图1，已知抛物线C1在抛物线C上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；1上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛（3）已知点E，M在抛物线C2物线C只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段2NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0）且与y轴交于点C，OA＝OC．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由；（3）已知点P时直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；＝3，请求出点P的坐标．（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．7．已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC；（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的一点，作PE⊥CA于E点，且CE＝3PE，求P点坐标；（3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标．：y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B．抛物线8．如图，已知抛物线l1l：y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，直线y＝﹣x+b经过A，B，D三点，两抛物2线交于点C．（1）求b的值和点B的坐标；（2）设点C的横坐标为m，探究m与h之间的数量关系；（3）当△ABC是直角三角形时，求h的值．9．综合与探究．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S＝，求△APE面积的最大值和此动点P的坐标．△ABE12．图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．13．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO＝；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．14．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（1﹣，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE ＝S△ABC，求E的坐标；（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵“同轴对称抛物线”的顶点重合，∴顶点关于x轴对称且重合，∴顶点在x轴上，故答案为：顶点在x轴上；（2）∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为（1，﹣），∴y＝（x﹣1）2﹣；（3）①由题可知，B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为x＝2，∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），∴BB'＝CC'＝2，∴BC＝2﹣6a或BC＝6a﹣2，∴2﹣6a＝2或6a﹣2＝2，∴a＝0（舍去）或a＝；②函数的对称轴为x＝2，函数L的顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”是关于x轴对称的，所以整数点也是对称的出现，∵抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x轴上的整数点可以是3个或5个，∴L与x轴围城的区域的整数点为4个或3个；当a＞0时，当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，∴＜a≤1，当x＝2时，1﹣4a＜﹣2，∴a＞，∴＜a≤1；当a＜0时，当x＝2时，1﹣4a≤2，∴a≥﹣，当x＝﹣1时，5a+1＜0，∴a＜﹣，∴﹣≤a＜﹣；综上所述：＜a≤1或﹣≤a＜﹣．2．解：（1）由已知可知，抛物线C：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位2：y＝ax2+bx+c，长度得到抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线C1故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），上，∵点P（，t）在抛物线C1∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，∴P（，﹣），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴＝，∴＝，∴t＝﹣或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±2）m，故答案为n＝（1±2）m．3．解：（1）将点A（4，﹣1），B（0，﹣）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣，∴M点的坐标为（1，﹣4）；（2）设直线AB的表达式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝x﹣；当x＝1时，y＝﹣3，∴N（1，﹣3），∴MN＝1；①若MN为平行四边形的一边时，则有CD∥MN，且CD＝MN，设C（t，t2﹣t﹣），则D（t，t﹣），∴CD＝t﹣﹣（t2﹣t﹣）＝1，∴t＝3或t＝1（舍去），∴D（3，﹣）；②若MN为平行四边形的对角线，设D（t，t﹣），则C（2﹣t，﹣t﹣），将点C代入抛物线解析式得，（2﹣t）2﹣（2﹣t）﹣＝﹣t﹣，∴t＝﹣1或t＝1（舍去），∴D（﹣1，﹣）；综上所述：符合条件的D点坐标为（3，﹣）或（﹣1，﹣）；（3）在对称轴上取点P（1，﹣1），∴PA＝PM＝3，∠APM＝90°，以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，∴∠AQM＝∠APM＝45°，作PE⊥y轴交于点E，∴PE＝1，∵PQ＝3，∴EQ＝＝2，∴Q点坐标为（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）．4．解：（1）∵点A （﹣1，0） ∴OA ＝1，∵OA ＝OC ＝1，且点C 在y 轴负半轴， ∴点C （0，﹣1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的交点为A （﹣1，0），B （2，0）且与y 轴交于点C ， ∴解得：∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ﹣1； （2）∵点C 关于x 轴的对称点为C 1， ∴C 1（0，1），∵点B （2，0），点C 1（0，1）， ∴直线BC 1的解析式为：y ＝﹣x +1， ∴设点M 坐标为（m ，﹣m +1） ∴MF ＝m ，ME ＝﹣m +1，∴矩形MFOE 的面积＝MF ×ME ＝m ×（﹣m +1）＝﹣m 2+m ＝﹣（m ﹣1）2+， ∴当m ＝1时，矩形MFOE 的最大面积为，此时点M 的坐标为（1，），即点M 为线段C 1B 中点时，S 矩形MFOE 最大；（3）由题意，C （0，﹣1），C 1（0，1），以C 、C 1、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C 1C 为边，则C 1C ∥PQ ，C 1C ＝PQ ， 设P （m ，m +1），Q （m ，m 2﹣m ﹣1）， ∴|（m 2﹣m ﹣1）﹣（m +1）|＝2， 解得：m 1＝4，m 2＝﹣2，m 3＝2，m 4＝0（舍），P 1（4，3），Q 1（4，5）；P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）；P 3（2，2），Q 3（2，0）②C 1C 为对角线，∵C 1C 与PQ 互相平分，C 1C 的中点为（0，0）， ∴PQ 的中点为（0，0），设P （m ，m 2﹣m +1），则Q （﹣m ，m 2+m ﹣1） ∴（m +1）+（m 2+m ﹣1）＝0， 解得：m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2， ∴P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）；综上所述，点P 和点Q 的坐标为：P 1（4，3），Q 1（4，5）或P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）或P 3（2，2），Q 3（2，0）或P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）．5．解：（1）∵直线x ＝1是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为（0，3）， ∴c ＝3，﹣＝1，∴b ＝2，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3； （2）①∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点M （1，4），∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧）， ∴0＝﹣x 2+2x +3 ∴x 1＝3，x 2＝﹣1，∴点A （﹣1，0），点B （3，0）， ∵点M （1，4），点B （3，0） ∴直线BM 解析式为y ＝﹣2x +6，∵点P 在直线BM 上，且PD ⊥x 轴于点D ，PD ＝m ， ∴点P （3﹣，m ），∴S △PCD ＝×PD ×OD ＝m ×（3﹣）＝﹣m 2+m ， ∵点P 在线段BM 上，且点M （1，4），点B （3，0）， ∴0＜m ≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△AMD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．7．解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），把c（0，3）代入，得3a＝3，∴a＝1，∴抛物线的解析式是y＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3，即y＝x2﹣4x+3；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，如图1，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠OAC＝45°，∵FG∥OA，∴∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE，∵PE⊥CA，∴∠PEG＝45°，∴PG＝EG＝PE，∵CE＝3PE，∴EF＝3FG，设EF＝3m，则PG＝EG＝m，FG＝4m，∴DG＝OF＝OC﹣CF＝3﹣3m，PD＝PG+DG＝3﹣2m，∴P（4m，3﹣2m），把P（4m，3﹣2m）代入y＝x2﹣4x+3中得，3﹣2m＝16m2﹣16m+3，∴m＝，或m＝0（舍去），∴P（，）；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），∵将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，∴H（2，0），由题意知，点H是新抛物线的顶点，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，设M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，则MK＝（m﹣2）2，KH＝2﹣m，HL＝n﹣2，NL＝（n﹣2）2，∵MH⊥NH，∴∠MHK+∠HMK＝∠MHK+∠NHL＝90°，∴∠HMK＝∠NHL，∵∠MKH＝∠HLN＝90°，∴△KHM∽△LNH，∴，，∴，∴，设直线MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线MN的解析式为：，当x＝2时，y＝﹣（m2﹣4m+3）＝m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3＝1，∴MN恒过的定点（2，1）．8．解：（1）∵y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B，∴A（0，1+k），B（1，k），∵y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，∴D（h，2﹣h），∵直线y＝﹣x+b经过A，D，∴，∴，∴b的值为2，点B的坐标为（1，1）；：y＝（x﹣1）2+1，（2）由（1）知，抛物线l1∵点C的横坐标为m，两抛物线交于点C．∴（m﹣1）2+1＝（m﹣h）2﹣h+2，整理得2mh﹣2m＝h2﹣h∵h≥2∴m＝＝；（3）当AC⊥AB时，则直线AC解析式为：y＝x+2，∴∴（舍去），，∴点C坐标为（3，5），∴3＝∴h＝6；当BC⊥AB时，则直线BC解析式为：y＝x，∴∴（舍去），∴点C坐标为（2，2），∴2＝∴h＝4；9．解：（1）令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；（2）由题意可设AD的解析式为y＝﹣x+m，将A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，联立，解得：，，∴D（3，﹣2），过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．∴S△APD ＝S△APN+S△DPN＝PN•AF+PN•FG＝PN（AF+FG）＝PN•AG＝×4PN＝2PN，设P（a，﹣a2﹣a﹣2），则N（a，﹣a﹣），∴PN＝﹣a2+a+，∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，∴当a＝1时，△APD的面积最大，最大值为4；（3）存在；①当PD与AQ为平行四边形的对边时，∵AQ∥PD，AQ在x轴上，∴P（0，﹣2），∴PD＝3，∴AQ＝3，∵A（﹣1，0），∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，PD与AQ的中点在x轴上，∴P点的纵坐标为2，∴P（，2）或P（，2），∴PD的中点为（，0）或（，0），∵Q点与A点关于PD的中点对称，∴Q（，0）或Q（，0）；综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，又∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣＝2，∴x ＝2时，y ＝﹣3×2+3＝﹣3， 故，点M 的坐标为（2，﹣3）； （3））∵OB ＝OC ＝3，OB ⊥OC ， ∴△BOC 是等腰直角三角形，∵EF ∥y 轴，直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3， ∴△DEF 只要是直角三角形即可与△BOC 相似， ∵D （2，1），A （1，0），B （3，0）， ∴点D 垂直平分AB 且到点AB 的距离等于AB ， ∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠ADB ＝90°， 如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1， ∴x 2﹣4x +3＝1， 整理得x 2﹣4x +2＝0， 解得x ＝2±，当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣），②点D 是直角顶点时，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2， 当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1， ∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1）， 综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．11．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，∴a +2a +c ＝0，点C 的坐标为（0，c ）， ∴点A 的坐标为（c ，0）， ∴ac 2+2ac +c ＝0， ∴，解得，或，∵函数图象开口向上， ∴a ＞0， ∴a ＝1，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，抛物线与与y 轴交于点C ，顶点为D ，OA ＝OC ，抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，∴点D 的坐标为（﹣1，﹣4），点C 的坐标为（0，﹣3），点A 的坐标为（﹣3，0）， 连接OD ，如右图1所示， 由图可知：S △ACD ＝S △OAD +S △OCD ﹣S △OAC＝＝3；（3）∵A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB＝4，设点E的纵坐标为t，t＜0，∵S△ABE＝，∴＝，得t＝，把y＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得﹣＝x2+2x﹣3，解得，x1＝，x2＝，∵点E在y轴的右侧，∴点E（，﹣），设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，得，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x﹣3），点G（x，﹣x﹣1），∴PG＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，又∵A（﹣3，0），E（，﹣），∴S△APE ＝S△APG+S△PEG＝（﹣x2﹣x+2）（x+3）+（﹣x2﹣x+2）（﹣x）＝（﹣x2﹣x+2）（3+）＝（x+）2+，∴当x＝﹣时，S取得最大值，最大值是，△APE把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，∴此时点P的坐标为（﹣，﹣）．12．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，得，∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；（2）分两种情况：设点D的坐标为（1，y）第一种情况是：∠BCD＝90°时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为（1，6.5）；第二种情况：当∠DBC＝90°时，BD2+BC2＝CD2，即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，∴点D的坐标为（1，﹣1），综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+6，则3k+6＝0，得k＝﹣2，即直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，如右图所示，作点E关于直线BC的对称点E′交BC于点F，过点F作FN⊥y轴于点N，设E（0，m），E′（x，y），则EE′⊥BC，∴∠CFE＝∠COB＝90°，∴BC＝＝3，∵∠ECF＝∠BCO，∴△ECF∽△BCO，∴，即，解得，CF＝，又∵∠CNF＝∠COB，∠NCF＝∠OCB，∴△NCF∽△OCB，∴，即，解得，FN＝，∴点F的横坐标为，把x＝代入直线BC的解析式，得y＝，∴点F的坐标为（，），∵EE′关于直线BC对称，∴点F为EE′的中点，∴，解得，∴E′（，），∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，∴＝﹣2×[]2+4×+6，解得，m1＝6，m2＝，∴点E的坐标为（0，6）或（0，）．13．证明：（1）设A（b，ab2），B（c，ac2），∵∠AOB＝90°，∴AB2＝AO2+BO2，∴（b﹣c）2+（ab2﹣ac2）2＝b2+a2b4+c2+a2c4，﹣2bc﹣2a2b2c2＝0，1+a2bc＝0，∴bc＝﹣，设直线AB的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝a（b+c）x﹣abc，当x＝0时，y＝OC＝﹣abc＝﹣a•（﹣）＝；（2）如图2，过A作AD⊥y轴于D，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，当y＝0时，kx+b＝0，∴x＝﹣，∴OC＝﹣，∵过点A的直线AB恰好与此抛物线仅有一个交点，∴ax2＝kx+b，∴ax2﹣kx﹣b＝0，△＝k2+4ab＝0，∴b ＝﹣，OC ＝﹣＝，∴x ＝，∵a ＞0，k ＞0，∴AD ＝，∵AD ∥OC ，∴＝＝，∴AB ＝2BC ，∴AC ＝BC ．14．解：（1）把B （﹣1，0），D （2，﹣2）代入y ＝ax 2﹣x +c 得， 解得：．故抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （3，0），∴AB ＝4，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，∴S △ABC ＝×4×2＝4，设AC 的解析式为y ＝kx +b ，把A （3，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx +b 得， 解得．∴y ＝x ﹣2，如图1，过点E 作x 轴的垂线交直线AC 于点F ，设点F （a ，a ﹣2），点E （a ，a 2﹣a ﹣2），其中﹣1＜a ＜3，∴S △ACE ＝EF |x A ﹣x C |＝|a 2﹣a |＝，∵S △ACE ＝S △ABC ，∴a 2﹣3a ＝2或﹣a 2+3a ＝2，解得a 1＝（舍去），a 2＝，a 3＝1，a 4＝2， ∴E 1（，），E 2（1，﹣），E 3（2，﹣2）；（3）在y ＝ax 2+bx ﹣2中，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，如图2，设P （0，m ），则PC ＝m +2，OA ＝3，AC ＝＝，①当PA ＝CA 时，则OP 1＝OC ＝2，∴P 1（0，2）；②当PC ＝CA ＝时，即m +2＝，∴m ＝﹣2， ∴P 2（0，﹣2）； ③当PC ＝PA 时，点P 在AC 的垂直平分线上，则△AOC ∽△P 3EC ，∴＝，∴P 3C ＝，∴m ＝， ∴P 3（0，），④当PC ＝CA ＝时，m ＝﹣2﹣，∴P 4（0，﹣2﹣）．综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）．15．解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，则有，解得，∴y＝﹣x2+x+4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0）；（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，∴D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；∴E（0，8），F（6，8），∴S△BCD ＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8＝36﹣6﹣12＝18；（3）设P（m，﹣m2+m+4），∵PQ垂直于x轴，∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，∵∠COB＝90°，∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，＝＝，∴＝，解得m＝5或m＝﹣1，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝5，∴P（5，4）；②△PAQ∽△BCO时，＝＝，∴＝，解得m＝﹣1或m＝，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝，∴P（，）；综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．。

2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，抛物线2y x bx c=-++与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；（3）如图2，过点C作CF∠x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知，抛物线23y ax bx=++（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=12．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求证：直线DE是∠ACD外接圆的切线；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使12PAC ACDS S∆∆=，求点P的坐标；（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与∠ACD相似，直接写出点M的坐标．3．如图∠，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P 从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，∠APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使∠PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图∠，点N的坐标为（﹣32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．4．在平面直角坐标系中，函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于A (－3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点，过点Q 作QE 垂直于x 轴，垂足为E ．是否存在点Q ，使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；(4)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ．（1）=a ；b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ， ∠求线段PQ 的最大值；∠若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．6．如图：已知正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点B 坐标为（4，4）．二次函数216y x bx c =-++的图象经过点A 、B ，且与x 轴的交点为E 、F ．点P 在线段EF 上运动，过点O 作OH⊥AP 于点H ，直线OH 交直线BC 于点D ，连接AD ． （1）求b 、c 的值；（2）在点P 运动过程中，当∠AOP 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似时，求点P 的坐标；（3）在点P运动到OC中点时，能否将∠AOP绕平面内某点旋转90°后使得∠AOP的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．7．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∠y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．∠连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，∠PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；∠连结PB，过点C作CQ∠PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．8．已知点A（-1，1），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F的坐标为(0,m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证FH∥AE；(3)如图2，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．9．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得∠POC∠∠MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -，顶点为D ．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标．（2）在y 轴上找一点P （点P 与点C 不重合），使得90APD ∠=︒，求点P 坐标． （3）在（2）的条件下，将APD △沿直线AD 翻折，得到AQD ，求点Q 坐标．11．如图1，二次函数y=ax 2A （3，0），G （﹣1，0）两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）若点M 时抛物线在第一象限图象上的一点，求∠ABM 面积的最大值；（3）抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E （0，x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得∠FEQ∠∠BEP ？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线()222=-+-（其中m＞1）顶点为P，与y轴相交于点A（0，y a x m mm-1）．连接并延长P A、PO分别与x轴、抛物线交于点B、C，连接BC，将∠PBC绕点P逆时针旋转得PB C''△，使点C′正好落在抛物线上．(1)该抛物线的解析式为__________（用含m的式子表示）；(2)求证：BC∥y轴；(3)若点B′恰好落在线段BC'上，求此时m的值．13．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C （0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．∠若M在y轴右侧，且△CHM∠∠AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；∠若∠M M的坐标．14．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的对称轴为直线1x=，（0a≠），且经过(1,0)A-、(0,3)C-两点，与x轴交于另一点B，设D是抛物线的对称轴1x=上的一动点，且90DCB∠=︒．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点D的坐标．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得P、A、C为顶点的三角形与BCD△相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线24 3y ax x c=++与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D 在抛物线上，且A（-1,O），D(2，2)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与∠AOC相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)小明在探索该图时提出了这样一个猜想：“直线AD平分∠CAB"，你认为小明的猜想正确吗？请说明理由．，16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE∠x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与∠DEH 相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E 两点,且D点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得∠PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与∠ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．18．如图，已知直线y=﹣x+3的图象分别交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B两点，并与x轴交于另一点D，顶点为C．（1）求C、D两点的坐标；（2）求tan∠BAC；（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、D三点为顶点的三角形与∠ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．19．已知：如图1，直线364y x=+与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．(1)求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；(2)点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD＝2S△P AD，求点P的坐标；(3)如图2，另有一条直线y＝－x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN＝∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q 的坐标．20．已知如图1，抛物线y＝﹣38x2﹣34x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC(1)如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；(2)如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出CP的值．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++；（2）Q 的坐标为（1，1）或（1，14）；（3）N的坐标为（12）或（12）或（1+2）或（12）或（1，4）．2．（1）2y x 2x 3=-++，顶点D （1，4）；（3）P352，；（4）（0，0）或（9，0）或（0，﹣13）． 3．（1）b=13 ，c=4；（2）∠APQ 不可能是直角三角形，（3）（4）Q′（67 ，227）． 4．(1)224233y x x =--+； (2)P (32-，52)； (3)Q 点坐标为(−2，2)或 (−34，218)； (4)1Q (−5，0)，2Q (−1，0)，3Q0)，4Q0)．5．（1）1322a b =-=，； （2）∠PQ∠P 的坐标为()3,2或325,28⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6．（1）234b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩(2)P 1（2，0）；P 2（0）；P 3（2﹣0）．（3）（2，2），（1916 ，3116），（﹣116，4116）； 7．（1）2318355y x x =-+；（2）∠ 102940；∠ 存在，（（2，95）或（349，5527-）．8．(1)y =12x 2-12x秒9．（1）y=2x 2﹣3x ；（2）C （1，﹣1）；（3）（4564，316）或（﹣316，4564）． 10．(1) D 的坐标为(1,4)-;(2) (0,1)P -;(3) (4,3)Q -11．（1）抛物线的解析式为y=2（2）∠ABM 面积的最大值是8；（3）存在； Q 的坐标为（﹣2323）． 12．(1)221()22m y x m m m -=-+-(3)2m =13．（1）y=x 2﹣x ﹣2；（2）32；（3）∠M （1，﹣2），M′（73，109）；②（2，0）或（﹣3，10）．14．（1）223y x x =--；（2）(1,4)D -；（3）(0,0)，10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，(9,0) 15．(1)224233y x x =-++ ;(2)()()330,0,0,60,622⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、、 ； (3)小明的猜想不正确，理由见解析.16．（1）y=﹣43x 2﹣83x+4；（2）PG=﹣43m 2﹣83m+4﹣4=﹣43m 2﹣83m （﹣2＜m ＜0）；（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与∠DEH 相似，此时m 的值为﹣1或﹣2316． 17．（1）解析式为：213122=-+y x x ； （2）t =1或3；（3）当a 时,∠APQ 与∠ABD 相似 18．（1）D （﹣1，0）（2）13（3）存在P （0，0），（0，﹣13） 19．(1)A （－8，0），C （0，6），239684y x x =--+； (2)（163-，0） (3)（167-，0）或（967-，0）． 20．(1)N 点的横坐标为：-2115；(2)CP 的值为：1034245−4．。

中考数学冲刺温习材料【1 】:二次函数压轴题面积类1．如图,已知抛物线经由点A（﹣1,0）.B（3,0）.C（0,3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B,C重合）,过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式暗示MN的长．（3）在（2）的前提下,衔接NB.NC,是否消失m,使△BNC的面积最大？若消失,求m的值;若不消失,解释来由．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3）,则：a（0+1）（0﹣3）=3,a=﹣1;∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b,则有：,解得;故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M（m,﹣m+3）.N（m,﹣m2+2m+3）;∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图;∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB,∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）;∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为．2．如图,抛物线的图象与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为（4,0）．（1）求抛物线的解析式;（2）试探讨△ABC的外接圆的圆心地位,并求出圆心坐标;（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标．解答：解：（1）将B（4,0）代入抛物线的解析式中,得：0=16a﹣×4﹣2,即：a=;∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1,0）.C（0,﹣2）;∴OA=1,OC=2,OB=4,即：OC2=OA•OB,又：OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB,得：∠OCA=∠OBC;∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为：（,0）．（3）已求得：B（4,0）.C（0,﹣2）,可得直线BC的解析式为：y=x﹣2;设直线l∥BC,则该直线的解析式可暗示为：y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程：x+b=x2﹣x﹣2,即：x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0,即b=﹣4;∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的独一交点,有：,解得：即M（2,﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N,S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四边形类3．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经由点A（3,0）.B（0,﹣3）,点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t．（1）分离求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限,衔接AM.BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积．（3）是否消失如许的点P,使得以点P.M.B.O为极点的四边形为平行四边形？若消失,请直接写出点P的横坐标;若不消失,请解释来由．（1）分离应用待定系数法求两函数的解析式：把A（3,0）B（0,﹣3）分离代入y=x2+mx+n 与y=kx+b,得到关于m.n的两个方程组,解方程组即可;（2）设点P的坐标是（t,t﹣3）,则M（t,t2﹣2t﹣3）,用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t,然后依据二次函数的最值得到当t=﹣=时,PM最长为=,再应用三角形的面积公式应用S△ABM=S△BPM+S△APM盘算即可;（3）由PM∥OB,依据平行四边形的剖断得到当PM=OB时,点P.M.B.O为极点的四边形为平行四边形,然后评论辩论：当P在第四象限：PM=OB=3,PM最长时只有,所以不成能;当P 在第一象限：PM=OB=3,（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3;当P在第三象限：PM=OB=3,t2﹣3t=3,分离解一元二次方程即可得到知足前提的t的值．解答：解：（1）把A（3,0）B（0,﹣3）代入y=x2+mx+n,得解得,所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b,把A（3,0）B（0,﹣3）代入y=kx+b,得,解得,所以直线AB的解析式是y=x﹣3;（2）设点P的坐标是（t,t﹣3）,则M（t,t2﹣2t﹣3）,因为p在第四象限,所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t,当t=﹣=时,二次函数的最大值,即PM最长值为=,则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）消失,来由如下：∵PM∥OB,∴当PM=OB时,点P.M.B.O为极点的四边形为平行四边形,①当P在第四象限：PM=OB=3,PM最长时只有,所以不成能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3,（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3,解得t1=,t2=（舍去）,所以P点的横坐标是;③当P在第三象限：PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=（舍去）,t2=,所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4．如图,在平面直角坐标系中放置一向角三角板,其极点为A（0,1）,B（2,0）,O（0,0）,将此三角板绕原点O逆时针扭转90°,得到△A′B′O．（1）一抛物线经由点A′.B′.B,求该抛物线的解析式;（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否消失点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若消失,要求出P的坐标;若不消失,请解释来由．（3）在（2）的前提下,试指出四边形PB′A′B是哪种外形的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针扭转90°得到的,又A（0,1）,B（2,0）,O（0,0）,∴A′（﹣1,0）,B′（0,2）．办法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）,∵抛物线经由点A′.B′.B,∴,解得：,∴知足前提的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．办法二：∵A′（﹣1,0）,B′（0,2）,B（2,0）,设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0,2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2）,解得：a=﹣1,故知足前提的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2;（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点,设P（x,y）,则x＞0,y＞0,P点坐标知足y=﹣x2+x+2．衔接PB,PO,PB′,∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,=×1×2+×2×x+×2×y,=x+（﹣x2+x+2）+1,=﹣x2+2x+3．∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为：×1×2=1,假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则4=﹣x2+2x+3,即x2﹣2x+1=0,解得：x1=x2=1,此时y=﹣12+1+2=2,即P（1,2）．∴消失点P（1,2）,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不独一,下面性质中的随意率性2个均可．①等腰梯形统一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号暗示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②P A′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB．5．如图,抛物线y=x2﹣2x+c的极点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线极点A的坐标;（2）设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C.D（C点在D点的左侧）,试断定△ABD的外形;（3）在直线l上是否消失一点P,使以点P.A.B.D为极点的四边形是平行四边形？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．解：（1）∵极点A的横坐标为x=﹣=1,且极点A在y=x﹣5上,∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,∴A（1,﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1,﹣4）代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,∴y=x2﹣2x﹣3,∴B（0,﹣3）当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3∴C（﹣1,0）,D（3,0）,BD2=OB2+OD2=18,AB2=（4﹣3）2+12=2,AD2=（3﹣1）2+42=20,BD2+AB2=AD2,∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形．（3）消失．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0,﹣5）,交x轴于点F（5,0）∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l,即P A∥BD则组成平行四边形只能是P ADB或P ABD,如图,过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1,x1﹣5）,则G（1,x1﹣5）则PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4∴P（﹣2,﹣7）或P（4,﹣1）,消失点P（﹣2,﹣7）或P（4,﹣1）使以点A.B.D.P为极点的四边形是平行四边形．周长类6．如图,Rt△ABO的两直角边OA.OB分离在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A.B两点的坐标分离为（﹣3,0）.（0,4）,抛物线y=x2+bx+c经由点B,且极点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式;（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A.B.O的对应点分离是D.C.E,当四边形ABCD是菱形时,试断定点C和点D是否在该抛物线上,并解释来由;（3）在（2）的前提下,衔接BD,已知对称轴上消失一点P使得△PBD的周长最小,求出P 点的坐标;（4）在（2）.（3）的前提下,若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O.B不重合）,过点M作∥BD交x轴于点N,衔接PM.PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值规模,S是否消失最大值？若消失,求出最大值和此时M 点的坐标;若不消失,解释来由．解：（1）∵抛物线y=经由点B（0,4）∴c=4,∵极点在直线x=上,∴﹣=﹣=,∴b=﹣;∴所求函数关系式为;（2）在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=,∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,∴C.D两点的坐标分离是（5,4）.（2,0）,当x=5时,y=,当x=2时,y=,∴点C和点D都在所求抛物线上;（3）设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,解得：,∴,当x=时,y=,∴P（）,（4）∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,∴即得ON=,设对称轴交x于点F,则（PF+OM）•OF=（+t）×, ∵,S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=, S=（﹣）,=﹣（0＜t＜4）,a=﹣＜0∴抛物线启齿向下,S消失最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+,∴当t=时,S取最大值是,此时,点M的坐标为（0,）．等腰三角形类7．如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针扭转120°至OB的地位．（1）求点B的坐标;（2）求经由点A.O.B的抛物线的解析式;（3）在此抛物线的对称轴上,是否消失点P,使得以点P.O.B为极点的三角形是等腰三角形？若消失,求点P的坐标;若不消失,解释来由．解：（1）如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°,∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=4×=2,∴点B的坐标为（﹣2,﹣2）;（2）∵抛物线过原点O和点A.B,∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将A（4,0）,B（﹣2．﹣2）代入,得,解得,∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）消失,如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为（2,y）, ①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y=±2,当y=2时,在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD==,∴∠POD=60°,∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P.O.B三点在统一向线上,∴y=2不相符题意,舍去,∴点P的坐标为（2,﹣2）②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,解得y=﹣2,故点P的坐标为（2,﹣2）,③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,解得y=﹣2,故点P的坐标为（2,﹣2）,综上所述,相符前提的点P只有一个,其坐标为（2,﹣2）,8．在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2）,点C（﹣1,0）,如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经由点B．（1）求点B的坐标;（2）求抛物线的解析式;（3）在抛物线上是否还消失点P（点B除外）,使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若消失,求所有点P的坐标;若不消失,请解释来由．解：（1）过点B作BD⊥x轴,垂足为D,∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,∴∠BCD=∠CAO,（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,∴△BCD≌△CAO,（2分）∴BD=OC=1,CD=OA=2,（3分）∴点B的坐标为（﹣3,1）;（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经由点B（﹣3,1）,则得到1=9a﹣3a﹣2,（5分）解得a=,所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2;（7分）（3）假设消失点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角极点;则延伸BC至点P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,（8分）过点P1作P1M⊥x轴,∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1（1,﹣1）;（11分）②若以点A为直角极点;则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,（12分）过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO,（13分）∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2（2,1）,（14分）经磨练,点P1（1,﹣1）与点P2（2,1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A （0,2）,点C（1,0）,如图所示,抛物线y=ax2﹣ax﹣2经由点B．（1）求点B的坐标;（2）求抛物线的解析式;（3）在抛物线上是否还消失点P（点B除外）,使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若消失,求所有点P的坐标;若不消失,请解释来由．解：（1）过点B作BD⊥x轴,垂足为D,∵∠BCD+∠ACO=90°,∠AC0+∠OAC=90°,∴∠BCD=∠CAO,又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,∴△BDC≌△COA,∴BD=OC=1,CD=OA=2,∴点B的坐标为（3,1）;（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3,1）,∴1=9a﹣3a﹣2,解得：a=,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;（3）假设消失点P,使得△ACP是等腰直角三角形,①若以AC为直角边,点C为直角极点,则延伸BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图（1）, ∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,∴△MP1C≌△DBC,∴CM=CD=2,P1M=BD=1,∴P1（﹣1,﹣1）,经磨练点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上;②若以AC为直角边,点A为直角极点,则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图（2）,同理可证△AP2N≌△CAO,∴NP2=OA=2,AN=OC=1,∴P2（﹣2,1）,经磨练P2（﹣2,1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上;③若以AC为直角边,点A为直角极点,则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图（3）,同理可证△AP3H≌△CAO,∴HP3=OA=2,AH=OC=1,∴P3（2,3）,经磨练P3（2,3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上;故相符前提的点有P1（﹣1,﹣1）,P2（﹣2,1）两点．。