人教版九年级数学《一元二次函数》综合练习题

解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。

第21章一元二次方程1．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？2．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？3．关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0（1）求方程的解；（2）若方程的解为整数，求k值．4．某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？5．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？6．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m＝时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．7．（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0；（2）解不等式组：8．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．9．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．12．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．13．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．（1）求2018年甲类芯片的产量；（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．14．（1）关于x，y的方程组满足x+y＝5，求m的值．（2）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根x1，x2满足x12+x22＝5，求的值．15．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．17．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．（2）解不等式组：18．已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．19．建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？20．2019长春国际马拉松于5月26日上午在长春体育中心鸣枪开跑．某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同．（1）求平均每年增加的百分率；（2）假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量．参考答案1．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．【分析】（1）可设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，根据等量关系：①一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元；②购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元；列出方程组求解即可；（2）根据该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．3．【分析】（1）根据一元二次方程的定义，利用因式分解法可解；（2）根据（1），利用整数根可解．【解答】解：（1）∵该方程是关于x的一元二次方程，∴k≠6，k≠9∵（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0∴[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0解得x＝或∴方程的解为x＝或．（2）∵方程的解为x＝或．若方程的解为整数，①当6﹣k＝±1，±3，±9时，x是整数，此时k＝7、5、3、9、15、﹣3；②当9﹣k＝±1，±2，±3，±6时，x是整数，此时k＝10、8、11、7、12、6、15、3．综上可知，k＝3、7、15时原方程的解为整数．【点评】本题考查了一元二次方程的定义及整数根的求解问题，难度中等．4．【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，三人间的房间数为100﹣3m，设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300∵y随m的增大而减小∴当m＝12时，y的最大值为252．当m＝15时，y的最小值为240．答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系找出y关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．5．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝9×5，把相关数值代入即可．【解答】解：该县团委应邀请x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）＝9×5．整理，得x2﹣x﹣90＝0．解得x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝10．答：该县团委应邀请10个足球队参赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．6．【分析】（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．【解答】（本题6分）解：（1）∵方程有实数根，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×2m≥0，（1分）m≤，（2分）∴当m≤时，原方程有实数根；（3分）（2）当m＝时，原方程可化为：x2﹣5x+5＝0，设方程的两个根分别为x1、x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝5，（4分）∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，∴AC＝＝＝＝，（5分）∴该矩形外接圆的直径是．（6分）【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键．7．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，（2x+1）（x﹣1）＝0，2x+1＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝1；（2）∵解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤3．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．8．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．9．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．11．【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞；（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．12．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．【解答】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1又∵+＝x1•x2，∴∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k≤1∴．【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．13．【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2018年甲类芯片的产量为400万块；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，则：400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，400（1+t）2+2×400（1+t﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．14．【分析】（1）观察到方程组两方程相加，左边出现3（x+y），把x+y作为一个整体来计算．（2）根据韦达定理求出用m表示x1+x2和x1x2的值，利用完全平方公式的变形得到x12+x22的式子，进而得到关于m的方程．【解答】解：（1）根据题意把方程组两式相加得：2x+y+x+2y＝m+3m+13（x+y）＝4m+1∴x+y＝又∵x+y＝5∴解得：m＝（2）∵a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m∴△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4•（﹣m）＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0∴无论m为何值时，方程一定有实数根．∵x1+x2＝＝m﹣1，x1x2＝＝﹣m∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m﹣1）2+2m∵x12+x22＝5∴（m﹣1）2+2m＝5解得：m＝±2当m＝2时，＝＝当m＝﹣2时，＝＝∴的值为或【点评】本题考查了解二元一次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的加减．15．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．16．【分析】（1）求出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2，再判断即可；（2）求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．）【解答】（1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，∴此根是±1，当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，即0＝0，此时m为任何数；当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，解得：m＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．17．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）分别解两个一次不等式得到x＞﹣2和x≤2，然后根据确定不等式组的解集．【解答】解：（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝，所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2）解①得x＞﹣2，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解一元一次不等式组．18．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m＝时，此时方程是一元一次方程，其根为x＝，符合题意；②当2m﹣1≠0即m≠时，△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（2m﹣1）＝（2m﹣1）2+4＞0，∴当m≠时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m＝，②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式为△＝b2﹣4ac．△＝b2﹣4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．同时考查了不定方程特殊解的求法．19．【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．【分析】（1）设平均每年增加的百分率为x，根据该公式2019年及2021年赞助矿泉水的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2022年该公司赞助的矿泉水数量＝2021年该公司赞助的矿泉水数量×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年增加的百分率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（瓶）．答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。

人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》 测试试题 （含答案）1 / 5第二十一章《一元二次方程》 测试题一、单选题（每小题只有一个正确答案）1．下列方程为一元二次方程的是 ( )A ．ax 2+bx+c=0B ．x 2－2x －3C ．2x 2＝0D ．xy ＋1＝02．把方程x （3-2x ）+5=1化成一般式后二次项系数与常数项的积是（ ）A ．3B ．-8C ．-10D ．153．若关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个解是x ＝0，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0 4．若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0(a 0≠)必有一个根是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．b a - 5．用配方法解一元二次方程2x 2﹣4x+1=0，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣12）2=0B ．（x ﹣12）2=12C ．（x ﹣1）2=12D ．（x ﹣1）2=0 6．已知直角三角形的两边长是方程x 2﹣7x+12=0的两根，则第三边长为（ ）A ．7B ．5 CD ．57．若关于 x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣3m ＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）A ．m 12> B ．m 112< C ．m ＞﹣112 D ．m 112< 8．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－139．已知关于x 的一元二次方程(2a －1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0的两个根相等，则a 的值等于( )A ．－1或－5B ．－1或5C ．1或－5D ．1或510．如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米11．x=523-±⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．3x 2+5x+1=0B ．3x 2﹣5x+1=0C ．3x 2﹣5x ﹣1=0D ．3x 2+5x ﹣1=0 12．已知m ，n 是方程x 2﹣2018x +2019＝0的两个根，则（m 2﹣2019m +2018）（n 2﹣2019n +2018）的值是（ ）A ．1B ．2C ．4037D ．4038二、填空题13．一元二次方程4x 2= 3x 的解是_____________．14．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．15．关于a 的方程2420a a ++=的两个解为1a 、2a ，则2212a a +=_____. 16．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.17．定义新运算：m ，n 是实数，m*n=m （2n ﹣1），若 m ，n 是方程 2x2﹣x+k=0（k ＜0）的两根，则 m*m ﹣n*n=_____．三、解答题18．已知两个方程20x px q ++=和20x qx p ++=仅有一个相同的根，求p q +的值．19．解下列方程(1)2x 2-4x-10=0 (用配方法)(2)2x 2+3x=4(公式法)(3)(x-2)2=2(x-2)230x +-=20．已知关于x 的方程||(2)210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程？（2）当m 为何值时是一元二次方程？人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》 测试试题 （含答案）3 / 521．已知关于x 的一元二次方程22(51)40x m x m m -+++=.(1)求证：无论m 取任何实数时，原方程总有两个实数根；(2)若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m 的取值范围.22．小刚在做作业时，不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了，但从题目的答案中，他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数．23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？人教版数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》 测试试题 （含答案）1 / 5 参考答案1．C2．B3．A4．C5．C6．D7．C8．B9．D10．C11．D12．D13．x 1 =0, x 2=3414．x （x ﹣1）＝11015．1216．x 2-7x+12=0或x 2+7x+12=017．0．18．-119．(1)11x =21x =；(2)1x =，2x =；(3)x 1=2，x 2=4；(4)12x =2x =-20．（1）-2或±1或0 （2）221．(1)略(2)182m <<. 22．1423．（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．。

人教版九年级数学一元二次方程章节综合测试(有答案)(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(每小题2分，共32分)1．关于x 的方程3x 2－5＝2x 的二次项系数和一次项系数分别是( )A ．3，－2B ．3，2C ．3，5D ．5，22．一元二次方程x 2－x ＋10＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定3．若方程(m －3)xm 2－7－x ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝( )A ．9B ．3C ．－3D ．3或－34．方程x 2＋x －1＝0的一个根是( )A ．1－ 5 B.1－52C ．－1＋ 5D.－1＋525．若m ，n 是一元二次方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则mn －m －n 的值是( )A ．7B ．－7C ．3D ．－36．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－27．如图，在宽为20 m 、长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的小路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m 2，求小路的宽．如果设小路的宽为x m ，根据题意，所列方程正确的是( )A ．(32＋x)(20＋x)＝540B ．(32－x)(20－x)＝540C ．(32＋x)(20－x)＝540D ．(32－x)(20＋x)＝548．将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8 000元的利润，商品售价应为( )A ．60元B ．80元C ．60元或80元D ．30元 9.若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是( )A ．1B ．3－ 3C ．1＋ 3D ．2＋ 310.用配方法解方程x 2＋x ＝2，要使方程左边为x 的完全平方式，应把方程两边同时( )A ．加14B ．加12C ．减14D ．减1211.a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为012．用因式分解法解下列方程，变形正确的是( )A ．(x ＋3)(x －1)＝1，于是x ＋3＝1或x －1＝1B ．(x －3)(x －4)＝0，于是x －3＝0或x －4＝0C ．(x －2)(x －3)＝6，于是x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，于是x ＋2＝013.初三6班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A.x （x －1）2＝930 B.x （x ＋1）2＝930C ．x(x ＋1)＝930D ．x(x －1)＝93014．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n的值是( )A.452B.152C.152或2 D.452或2 15．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x 相同，那么( )A ．50(1＋x 2)＝196B ．50＋50(1＋x 2)＝196C ．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D ．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝19616．关于x 的方程mx 2－4x －m ＋5＝0，有以下说法：①当m ＝0时，方程只有一个实数根；②当m ＝1时，方程有两个相等的实数根；③当m ＝－1时，方程没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 二、填空题(每小题3分，共12分)17．若将方程x 2－6x ＝7化为(x ＋m)2＝b ，则m ＝ ，b ＝ ．18．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋2)x ＋2k ＝0，若x ＝1是这个方程的一个根，则k ＝ ．19．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．20．方程(x ＋3)2＝5(x ＋3)的解为 ． 三、解答题(共56分) 21．(9分)解方程：(1)3(2x －1)2＝27；(2)2x 2＋4x －1＝0；(3)3(x ＋2)2＝x 2－4.22．(8分)已知关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋k －1＝0.(1)若方程的一个根为－1，求k 的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k 取何值，该方程都有两个不相等的实数根．23．(7分)有长为30 m 的篱笆，如图所示，一面靠墙(墙足够长)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72 m 2时，求AB 的长．24.已知：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根．(1)m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若AB 的长为2，则▱ABCD 的周长是多少？25．(10分)某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1 600万元．(1)从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ (2)在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2018年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．26．（12分）)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？答案一、选择题(每小题2分，共32分)1．关于x的方程3x2－5＝2x的二次项系数和一次项系数分别是(A)A．3，－2 B．3，2 C．3，5 D．5，22．一元二次方程x2－x＋10＝0的根的情况是(C)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．若方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝(C) A．9 B．3 C．－3 D．3或－34．方程x 2＋x －1＝0的一个根是(D)A ．1－ 5 B.1－52C ．－1＋ 5D.－1＋525．若m ，n 是一元二次方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则mn －m －n 的值是(D)A ．7B ．－7C ．3D ．－36．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为(A)A ．1B ．－1C ．0D ．－27．如图，在宽为20 m 、长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的小路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m 2，求小路的宽．如果设小路的宽为x m ，根据题意，所列方程正确的是(B)A ．(32＋x)(20＋x)＝540B ．(32－x)(20－x)＝540C ．(32＋x)(20－x)＝540D ．(32－x)(20＋x)＝548．将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8 000元的利润，商品售价应为(C)A ．60元B ．80元C ．60元或80元D ．30元 9.若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是(A)A ．1B ．3－ 3C ．1＋ 3D ．2＋ 310.用配方法解方程x 2＋x ＝2，要使方程左边为x 的完全平方式，应把方程两边同时(A)A ．加14B ．加12C ．减14D ．减1211.a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为012．用因式分解法解下列方程，变形正确的是(B)A ．(x ＋3)(x －1)＝1，于是x ＋3＝1或x －1＝1B ．(x －3)(x －4)＝0，于是x －3＝0或x －4＝0C ．(x －2)(x －3)＝6，于是x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，于是x ＋2＝013.初三6班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为(D)A.x （x －1）2＝930 B.x （x ＋1）2＝930C ．x(x ＋1)＝930D ．x(x －1)＝93014．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n的值是(D)A.452B.152C.152或2 D.452或2 15．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x 相同，那么(C)A ．50(1＋x 2)＝196B ．50＋50(1＋x 2)＝196C ．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D ．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝19616．关于x 的方程mx 2－4x －m ＋5＝0，有以下说法：①当m ＝0时，方程只有一个实数根；②当m ＝1时，方程有两个相等的实数根；③当m ＝－1时，方程没有实数根．其中正确的是(A)A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 二、填空题(每小题3分，共12分)17．若将方程x 2－6x ＝7化为(x ＋m)2＝b ，则m ＝－3，b ＝16．18．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋2)x ＋2k ＝0，若x ＝1是这个方程的一个根，则k ＝－1．19．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是k ＜2．20．方程(x ＋3)2＝5(x ＋3)的解为x 1＝－3，x 2＝2． 三、解答题(共56分) 21．(9分)解方程：(1)3(2x －1)2＝27；解：(2x －1)2＝9，2x －1＝3或2x －1＝－3， ∴x 1＝2，x 2＝－1.(2)2x 2＋4x －1＝0；解：a ＝2，b ＝4，c ＝－1， b 2－4ac ＝16－4×2×(－1)＝24＞0，x ＝－4±264＝－2±62，即x 1＝－2＋62，x 2＝－2－62.(3)3(x ＋2)2＝x 2－4.解：3(x ＋2)2－(x ＋2)(x －2)＝0， (x ＋2)[3(x ＋2)－(x －2)]＝0， x ＋2＝0或3(x ＋2)－(x －2)＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝－4.22．(8分)已知关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋k －1＝0.(1)若方程的一个根为－1，求k 的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k 取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)将x ＝－1代入原方程，得 1＋(k ＋2)＋k －1＝0，解得k ＝－1.当k ＝－1时，原方程为x 2－x －2＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝2. ∴方程的另一个根为2.(2)证明：∵a ＝1，b ＝－(k ＋2)，c ＝k －1， ∴b 2－4ac ＝[－(k ＋2)]2－4×1×(k －1)＝k 2＋8＞0. ∴不论k 取何值，该方程都有两个不相等的实数根．23．(7分)有长为30 m 的篱笆，如图所示，一面靠墙(墙足够长)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72 m 2时，求AB 的长．解：设AB 的长为x m ，则BC 的长为(30－3x)m.根据题意，得 x(30－3x)＝72. 解得x 1＝4，x 2＝6.答：AB 的长为4 m 或6 m.24.已知：▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根．(1)m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若AB 的长为2，则▱ABCD 的周长是多少？ 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.又∵AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根，∴b 2－4ac ＝(－m)2－4(m 2－14)＝(m －1)2＝0.∴m ＝1.∴当m 为1时，四边形ABCD 是菱形．当m ＝1时，原方程为x 2－x ＋14＝0，即(x －12)2＝0，解得x 1＝x 2＝12.∴菱形ABCD 的边长是12.(2)把x ＝2代入原方程，得 4－2m ＋m 2－14＝0.解得m ＝52.将m ＝52代入原方程，得x 2－52x ＋1＝0，∴方程的另一根AD ＝1÷2＝12.∴▱ABCD 的周长是2×(2＋12)＝5.25．(10分)某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1 600万元．(1)从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ (2)在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2018年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，得1 280(1＋x)2＝1 280＋1 600.解得x 1＝0.5＝50%，x 2＝－2.5(舍去)．答：从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%. (2)设2018年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得 8×1 000×400＋5×400(a －1 000)≥5 000 000. 解得a ≥1 900.答：2018年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励． 26．（12分）)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)． 答：此批次蛋糕属第三档次产品．(2)设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意，得 (2x ＋8)(76＋4－4x)＝1 080.整理，得x 2－16x ＋55＝0.解得x 1＝5，x 2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．。

人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试（满分120分，考试用时120分钟）一、单选题（共10题；共30分）1.方程x2－2x＝0的解为( )A. x1＝0，x2＝2B. x1＝0，x2＝－2C. x1＝x2＝1D. x＝22.设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（）A. 2B. ﹣2C.D. ﹣3.用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（）A. B. C. D.4.某商品原价为180元,连续两次提价x%后售价为300元,下列所列方程正确的是( )A. 180(1+x%)=300B. 180(1+x%)2=300C. 180(1-x%)=300D. 180(1-x%)2=3005.用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A. （x+4）2=13B. （x﹣4）2=19C. （x﹣4）2=13D. （x+4）2=196.一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（）A. 该方程有两个不相等的实数根B. 该方程有两个相等的实数根C. 该方程有实数根D. 该方程没有实数根7.以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A. y2+5y－6=0B. y2+5y＋6=0C. y2－5y＋6=0D. y2－5y－6=08.若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（）A. x2﹣7x+12=0B. x2+7x+12=0C. x2﹣9x+20=0D. x2+9x+20=09.设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2016的值为（）A. 2016B. 2018C. 2020D. 202110.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )A. 40 cm2B. 20 cm2C. 25 cm2D. 10 cm2二、填空题（共10题；共30分）11.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．12.一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．13.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．14.已知x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：(x1-x2)2=_____________．15.一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根和是________．16.若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则这个方程是_____．（写出一个符合要求的方程）17.关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．18.（3分）已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．19.设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.20.已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于．三、解答题（共8题；共60分）21.解下列方程（1）2x2-x=0（2）x2-4x=422.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).23.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．24.给定关于的二次函数，学生甲：当时，抛物线与轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.25.阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=_____，x2=_______，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？26.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？27.“低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？28.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.参考答案一、单选题（共10题；共30分）1.方程x2－2x＝0的解为()A. x1＝0，x2＝2B. x1＝0，x2＝－2C. x1＝x2＝1D. x＝2【答案】A【解析】分析：利用因式分解法解方程即可．详解：x（x-2）=0，x=0或x-2=0，所以x1=0，x2=2．故选A．点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．2.设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（）A. 2B. ﹣2C.D. ﹣【答案】A【解析】试题解析：∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得：+=2故选A.3.用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由x(x−3)=x−3，x(x−3)−(x−3)=0，(x−3）(x−1)=0，故选B.4.某商品原价为180元,连续两次提价x%后售价为300元,下列所列方程正确的是( )A. 180(1+x%)=300B. 180(1+x%)2=300C. 180(1-x%)=300D. 180(1-x%)2=300【答案】B【解析】试题解析：当商品第一次提价x%时,其售价为180+180x%=180(1+x%),当商品第二次提价x%后,其售价为180(1+x%)+180(1+x%)x%=180(1+x%)2.∴180(1+x%)2=300.故选B.5.用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A. （x+4）2=13B. （x﹣4）2=19C. （x﹣4）2=13D. （x+4）2=19【答案】C【解析】解：x2﹣8x=﹣3，x2﹣8x+16=13，（x﹣4）2=13．故选C．6.一元二次方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）的根的情况是（）A. 该方程有两个不相等的实数根B. 该方程有两个相等的实数根C. 该方程有实数根D. 该方程没有实数根【答案】C【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(k-4)≥0,由此即可得出该方程有实数根,此题得解.【详解】解:在方程（k﹣2）x2+kx+2=0（k≠2）中,A=k-42(k-2)=k-8k+16=(k-4)≥0，.该方程有实数根.所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查一元二次方程由根的判别式判别根的情况.7.以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A. y2+5y－6=0B. y2+5y＋6=0C. y2－5y＋6=0D. y2－5y－6=0【答案】B【解析】【分析】先设α、β是方程x2＋2x－3＝0的两个根,根据根与系数的关系可求α+β、αβ,再根据根与系数的关系易求与的值,进而可求二次项系数为1的方程.【详解】解:设α、β是方程x2＋2x－3＝0的两个根,那么α+β=-2,αβ=-3,=-2-3=-5, =-2x(-3)=6,若a=1,则b=5,c=6,所求方程是y2+5y+6=0.所以B选项是正确的.【点睛】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.8.若一个关于x的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（）A. x2﹣7x+12=0B. x2+7x+12=0C. x2﹣9x+20=0D. x2+9x+20=0【答案】C【解析】【分析】将已知数据从小到大顺序排列:2,3,4,4,5,5,5;根据众数和中位数的定义求出众数和中位数,再根据根与系数的关系造出方程即可.【详解】解:将已知数据从小到大顺序排列,得:2,3,4,4,5,5,5;共7个数据,处于中间的数据是第4个数据4,出现最多的数据是5,因此,这组数据的中位数是4,众数是5,以4,5为根的一元二次方程是x2-9x+20=0,所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查了众数,中位数的概念,根与系数的关系,掌握众数和中位数的求法是解题的关键.9.设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2016的值为（）A. 2016B. 2018C. 2020D. 2021【答案】C【解析】【分析】首先由已知可得a2+2a-2=0,即a2+2a=2.然后化简代数式,注意整体代入,从而求得代数式的值.【详解】解:把x=a代入得到a2+2a-2=0,则a2+2a=2.又2a2+4a=2(a2+2a),把a2+2a=2代入2a2+4a+2016=2(a2+2a)+2016=22+2016=2020所以C选项是正确的.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及整体代入计算整式的值.10.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )A. 40 cm2B. 20 cm2C. 25 cm2D. 10 cm2【答案】B【解析】【分析】设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．【详解】如图所示：设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，∵矩形的对边DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得DG=（8-x），四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．故选：B．【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．二、填空题（共10题；共30分）11.已知两个数的差为3，它们的平方和等于65，设较小的数为x，则可列出方程________．【答案】【解析】由较小的数为x可知较大的数为x+3，故它们的平方和为x2+(x+3)2再根据它们的平方和是65可得x2+(x+3)2=65，故答案为：x2+(x+3)2=65.12.一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．【答案】x1=x2=2【解析】【分析】根据配方法即可解方程.【详解】解：x2﹣4x+4=0（x-2）2=0∴x1=x2=2【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程,属于简单题,选择配方法是解题关键.13.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．【答案】-2【解析】试题分析：把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，3m+n=﹣1，∴6m+2n=2（3m+n）=2×(－1)=﹣2考点：整体思想求代数式的值.14.已知x1,x2是方程x2-4x+2=0的两根，求：(x1-x2)2=_____________．【答案】8【解析】【分析】易得到两根之和与两根之积的具体数值，利用(x1-x2)2=（x1+x2)2-4x1x2代入相应的数值进行计算即可得.【详解】∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，∴x1+x2=4，x1x2=2，∴(x1-x2)2=（x1+x2)2-4x1x2=42-4×2=8，故答案为：8.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．15.一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根和是________．【答案】-5【解析】试题分析：设x1、x2为一元二次方程x2+5x﹣6=0的两根，则由根与系数的关系得：x1+x2=-=﹣5．考点：根与系数的关系16.若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足x1+x2=3，x1x2=2，则这个方程是_____．（写出一个符合要求的方程）【答案】答案不唯一，如【解析】分析：根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为x2-3x+2=0．详解：∵x1+x2=3，x1x2=2，∴以x1，x2为根的一元二次方程x2-3x+2=0．故选答案不唯一，如．点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．17.关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．【答案】1【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，解得k＞-1且k≠0．∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．故k的最小整数值为1.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．18.（3分）已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．【答案】a≤1．【解析】试题分析：∵方程有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1．考点：根的判别式．19.设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.【答案】5【解析】试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，∴m+n=﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5考点：根与系数的关系20.已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于．【答案】-1【解析】分析：欲求（a-b）（a+b-2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，∴ab=-1，a+b=2，∴（a-b）（a+b-2）+ab=（a-b）（2-2）+ab，=0+ab，=-1，故答案为：-1．三、解答题（共8题；共60分）21.解下列方程（1）2x2-x=0（2）x2-4x=4【答案】（1）x1=0，x2=；（2）x1=2+2，x2=2-2.【解析】【分析】（1）结合提取公因式法分解因式解方程；（2）利用配方法求出方程的根即可．【详解】（1）解：2x2-x=0，x(2x-1)=0，x=0或2x-1=0，则x1=0,x2=.（2）解：方程两边同时+4，得x2-4x+4=4+4，（x-2）2=8,x-2=±2 ，则x1=2+2,x2=2-2.【点睛】此题主要考查了配方法以及因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．22.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0．∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=-1，∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解．23.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．【答案】△ABC的周长是12．【解析】试题分析：若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．试题解析：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△=，即；解得，（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；故△ABC的周长是12．考点：1．根与系数的关系；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质．24.给定关于的二次函数，学生甲：当时，抛物线与轴只有一个交点，因此当抛物线与轴只有一个交点时，的值为3；学生乙：如果抛物线在轴上方，那么该抛物线的最低点一定在第二象限；请判断学生甲、乙的观点是否正确，并说明你的理由.【答案】甲错误，乙正确【解析】试题分析：甲的观点是错误的，乙的观点是正确的．分别求出抛物线y=2x2+（6-2m）x+3-m与x轴只有一个交点时m的值以及抛物线在x轴上方时该抛物线的最低点的位置即可．试题解析：甲的观点是错误的.理由如下：当抛物线与轴只有一个交点时即：解得或即或时抛物线与轴只有一个交点乙的观点是正确的理由如下：当抛物线在轴上方时，由上可得即：∴而对于开口向上的抛物线最低点为其顶点顶点的横坐标为，且抛物线在轴上方，即抛物线的最低点在第二象限【点睛】本题考查了抛物线和x轴交点问题以及和二次函数有关的性质，求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．25.阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=_____，x2=_______，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【答案】（1）2，；（2）不存在，理由见解析；（3）（m+n）2-8mn≥0，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接利用求根公式计算即可；（2）参照（1）中的解法解题即可；（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．试题解析：（1）由上可知（x-2）（2x-3）=0，∴x1=2，x2=.（2）不存在，理由如下：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得，消去y化简，得2x2-3x+2=0.∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B.（3）（m+n）2-8mn≥0，理由如下设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得，消去y化简，得2x2-（m+n）x+mn=0.△=（m+n）2-8mn≥0，即（m+n）2-8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．考点：一元二次方程的应用．26.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【答案】人行道的宽度为2米【解析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：8-2x，根据两块绿地的面积之和为60 平方米，列方程求解.解：根据题意，得．整理得．解得，．∵不符合题意，舍去，．答：人行通道的宽度是2米．“点睛”本题考查了一元二次方程法应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.27.“低碳生活，绿色出行”,2017年1月,某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？（2）考虑到自行车市场需求不断增加,某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆.假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？【答案】（1）新投放的共享单车1250辆；（2）为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车. 【解析】【分析】（1）设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆列出方程，再求解即可；（2）设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆，根据不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，列出不等式，求出y的取值范围，然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设平均增长率为x，根据题意得：640=1000;解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；答：新投放的共享单车1250辆.（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：500y+1000(100-y)≤70000;解得：y≥60;∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)=200y+300(100-y)=-100y+30000∵-100＜0,∴W随着x的增大而减小；∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车.【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式和一次函数的应用，解题关键是读懂题意，根据题意列出方程或不等式．28.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB 方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.【答案】(1) y=－x2＋9x（0<x≤4）(2)20【解析】解：（1）∵，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，∴y=（18－2x）x，即y=－x2＋9x（0<x≤4）.（2）由（1）知：y=－x2＋9x=.∵当0<x≤时，y随x的增大而增大，而0<x≤4，∴当x=4时，.∴△PBQ的最大面积是20cm2.（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解. （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答.。

人教版九年级数学（上）第21章《一元二次方程》单元检测题（word 版有答案）一、选择题（每小题3分，共30分）1．关于x 的方程(a －1)x 2＋x －2＝0是一元二次方程，则a 满足（ ）A ．a ≠1B ．a ≠－1C ．a ≠0D ．为任意实数2．用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a 、b 、c 的值，下列叙述正确的是（ ）A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝－2，c ＝3D ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3 3．一元二次方程x 2－4＝0的根为（ ）A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x ＝44．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．215．某企业2017年的产值是360万元，要使209年的产值达到490万元，设该企业这两年的平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A ．360x 2＝490 B ．360(1＋x )2＝490C ．490(1＋x )2＝360D ．360(1－x )2＝4906．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 7．一个面积为120 m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m ，苗圃的长是（ ）A ．10 mB ．12 mC ．13 mD ．14 m 8．若M ＝2x 2－12x ＋15，N ＝x 2－8x ＋11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≤NB ．M ＞NC ．M ≥ND ．M ＜N9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数 为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人10．定义[a ，b ，c ]为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的方程的一些结论：①m ＝1时，方程的根为±1；②若方程的两根互为倒数，则m ＝31 ；③无论m 为何值，方程总有两个实数根；④无论m 为何值，方程总有一个根等于1，其中正确有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题（每小题3分，共18分） 11．一元二次方程x 2＝9的解是 ．12．若方程3x 2－5x －2＝0有一根是a ，则6a 2－10a 的值是 ．13．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是 ． 14．现有一块长80 cm 、宽60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1500 cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．15．已知方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则m 2＋mn ＋n 2＝ ．16．如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的．如果AB ＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，则小矩形的长为 ． 三、解答题（共8题，共72分） 17．（本题8分）解方程：x 2＋3x ＝0．18．（本题8分）已知x 1、x 2是方程2x 2＋3x －4＝0的两个根，不解方程． （1）求x 1＋x 2＋x 1x 2的值； （2）求2111x x的值．19．（本题8分）已知x 的方程x 2－(k ＋1)x －6＝0的根为2，求另一根及k 的值．20．（本题8分）有两人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？21．（本题8分）已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，求m 2－mn ＋3m ＋n 的值．22．（本题8分）如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P、Q两点从出发经过几秒时，点P、Q间的距离是10cm？23．（本题10分）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：（1）在第n个图中，第一横行共_____块瓷砖，第一竖列共有_____块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为__________________（用含n的代数式表示）；（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．24．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知A(a，a2)、B(b，b2)两点，其中a＜b，P、A、B三点共线．（1）若点A、B在直线y＝5x－6上，求A、B的坐标；（2）若点P的坐标为(－2，2)，且P A＝AB，求点A的坐标；（3）求证：对于直线y＝－2x－2上任意给定的一点P，总能找到点A，使P A＝AB成立．1-5ACDAB 6-10BBCAB11.x1＝3，x2＝－312.－413.2_14.x2－70x＋825＝015.1916.617.解：x1＝0，x2＝－3．18.解：（1）x1＋x2＝－32；x1x2＝－2，则x1＋x2＋x1x2＝－3.5；（2）34．19.解：另一根为a，则2a＝－6，2＋a＝k＋1，∴a＝－3，k＝－2．20.解：10．21.解：m2＋2m－5＝0，m＋n＝－2，mn＝－5，∴原式＝5－2m－mn＋3m＋n＝5＋m＋n－mn＝8．22.解：设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．(16－2x－3x)2＋62＝102．(16－5x)2＝64，16－5x＝±8，x1＝1.6，x2＝4.8．23.解：（1）n＋3，n＋2，(n＋3)(n＋2)；（2）(n＋3)(n＋2)＝506，解得n＝20或n＝－25（舍）；（3）420×3＋86×4＝1604元；n ( n ＋1)＝2(2n ＋3)，解得n人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(8)一、精心选一选！（每题3分，共30分）1．关于x 的一元二次方程(m +1)21m x++4x +2＝0的解为（ ）A.x 1＝1，x 2＝－1B. x 1＝x 2＝－1C. x 1＝x 2＝1D.无解2．用配方法解方程x 2－4x +2＝0，下列配方正确的是（ ）A.(x －2)2＝2B. (x +2)2＝2C. (x －2)2＝－2D. (x －2)2＝6 3．一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（ ） A ．x ＝0 B ．x 1＝0，x 2＝13 C ．x 1＝0，x 2＝3 D ．x ＝134．已知关于x 的一元二次方程x 2－m ＝2x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A ． m ＞－1 B ． m ＜－2 C ．m ≥0 D ．m ＜05． 一元二次方程x 2+x +2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正根 B ．有两个不相等的负根 C ．没有实数根 D ．有两个相等的实数根 6．已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 43>mB. 43≥mC. 43>m 且2≠mD. 且2≠m 7．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） Ａ.240x += Ｂ.24410x x -+= Ｃ.230x x ++= Ｄ.2210x x +-= 8．关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，则k 的值（ ） A ．0或2 B ．﹣2或2 C ．﹣2 D ．2 9．今年“十一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元．已知我市前年“五一”黄金周旅游总收入约6.25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ） Ａ．12% Ｂ．16% Ｃ．20% Ｄ．25%10．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ） A ．9（1﹣2x ）＝1 B ．9（1﹣x ）2＝1 C ．9（1+2x ）＝1 D ．9（1+x ）2＝1二、耐心填一填！（每题3分，共30分） 11． 方程x 2+2x=0的解为 .12．若0x =是方程22(2)3280m x x m m -+++-=的解，则m ＝＿＿＿＿＿＿.13．已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根43≥m是 ．14． 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b = ，c = ．15．已知a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则a 2﹣b +2019的值是（ ）16． 已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，那么代数式2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值为 ． 17． 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-， acx x =21·．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 18． 请写出一个值k ＝________，使一元二次方程x 2－7x ＋k ＝0有两个不相等的非0实数根．19． 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d ，定义a bc dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 20．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m 2，设道路的宽为xm ，则根据题意，可列方程为 ．三、细心做一做！（每题8分，共40分）21．解方程：（1）2220x x +-=； （2）x 2＋3＝3(x ＋1)．22． 设23111x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等。

第21章一元二次方程1．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？2．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？3．关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0（1）求方程的解；（2）若方程的解为整数，求k值．4．某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？5．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？6．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m＝时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．7．（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0；（2）解不等式组：8．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．9．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．12．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．13．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．（1）求2018年甲类芯片的产量；（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．14．（1）关于x，y的方程组满足x+y＝5，求m的值．（2）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根x1，x2满足x12+x22＝5，求的值．15．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．17．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．（2）解不等式组：18．已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．19．建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？20．2019长春国际马拉松于5月26日上午在长春体育中心鸣枪开跑．某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同．（1）求平均每年增加的百分率；（2）假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量．参考答案1．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．【分析】（1）可设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，根据等量关系：①一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元；②购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元；列出方程组求解即可；（2）根据该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．3．【分析】（1）根据一元二次方程的定义，利用因式分解法可解；（2）根据（1），利用整数根可解．【解答】解：（1）∵该方程是关于x的一元二次方程，∴k≠6，k≠9∵（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0∴[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0解得x＝或∴方程的解为x＝或．（2）∵方程的解为x＝或．若方程的解为整数，①当6﹣k＝±1，±3，±9时，x是整数，此时k＝7、5、3、9、15、﹣3；②当9﹣k＝±1，±2，±3，±6时，x是整数，此时k＝10、8、11、7、12、6、15、3．综上可知，k＝3、7、15时原方程的解为整数．【点评】本题考查了一元二次方程的定义及整数根的求解问题，难度中等．4．【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，三人间的房间数为100﹣3m，设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300∵y随m的增大而减小∴当m＝12时，y的最大值为252．当m＝15时，y的最小值为240．答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系找出y关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．5．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝9×5，把相关数值代入即可．【解答】解：该县团委应邀请x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）＝9×5．整理，得x2﹣x﹣90＝0．解得x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝10．答：该县团委应邀请10个足球队参赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．6．【分析】（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．【解答】（本题6分）解：（1）∵方程有实数根，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×2m≥0，（1分）m≤，（2分）∴当m≤时，原方程有实数根；（3分）（2）当m＝时，原方程可化为：x2﹣5x+5＝0，设方程的两个根分别为x1、x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝5，（4分）∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，∴AC＝＝＝＝，（5分）∴该矩形外接圆的直径是．（6分）【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键．7．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，（2x+1）（x﹣1）＝0，2x+1＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝1；（2）∵解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤3．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．8．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．9．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．11．【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞；（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．12．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．【解答】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1又∵+＝x1•x2，∴∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k≤1∴．【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．13．【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2018年甲类芯片的产量为400万块；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，则：400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，400（1+t）2+2×400（1+t﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．14．【分析】（1）观察到方程组两方程相加，左边出现3（x+y），把x+y作为一个整体来计算．（2）根据韦达定理求出用m表示x1+x2和x1x2的值，利用完全平方公式的变形得到x12+x22的式子，进而得到关于m的方程．【解答】解：（1）根据题意把方程组两式相加得：2x+y+x+2y＝m+3m+13（x+y）＝4m+1∴x+y＝又∵x+y＝5∴解得：m＝（2）∵a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m∴△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4•（﹣m）＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0∴无论m为何值时，方程一定有实数根．∵x1+x2＝＝m﹣1，x1x2＝＝﹣m∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m﹣1）2+2m∵x12+x22＝5∴（m﹣1）2+2m＝5解得：m＝±2当m＝2时，＝＝当m＝﹣2时，＝＝∴的值为或【点评】本题考查了解二元一次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的加减．15．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．16．【分析】（1）求出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2，再判断即可；（2）求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．）【解答】（1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，∴此根是±1，当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，即0＝0，此时m为任何数；当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，解得：m＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．17．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）分别解两个一次不等式得到x＞﹣2和x≤2，然后根据确定不等式组的解集．【解答】解：（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝，所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2）解①得x＞﹣2，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解一元一次不等式组．18．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m＝时，此时方程是一元一次方程，其根为x＝，符合题意；②当2m﹣1≠0即m≠时，△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（2m﹣1）＝（2m﹣1）2+4＞0，∴当m≠时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m＝，②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式为△＝b2﹣4ac．△＝b2﹣4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．同时考查了不定方程特殊解的求法．19．【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．【分析】（1）设平均每年增加的百分率为x，根据该公式2019年及2021年赞助矿泉水的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2022年该公司赞助的矿泉水数量＝2021年该公司赞助的矿泉水数量×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年增加的百分率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（瓶）．答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。

第21章 一元二次方程一、填空题（本大题共2小题，每小题3分，共12分）1．若关于x 的方程（a +2）x |a |﹣3x +2=0是一元二次方程，则a 的值为__________． 2．已知方程22530x x --=的两根为m 、n ，则22m n +=________．3．方程2x –4=0的解也是关于x 的方程x 2+mx +2=0的一个解，则m 的值为__________． 4．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有_____人．5．已知关于x 的一元二次方程（k -1）x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是__________．6．如图是一个邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若矩形的面积为4 m 2，则AB 的长度是__________m ．(可利用的围墙长度超过6 m)二、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）7．下列方程中，一定是一元二次方程的是 A ．2x 2﹣3x+1=0 B ．（x +2）（2x ﹣1）=2x 2 C ．5x 2﹣1=0D ．ax 2+bx +c =08．一元二次方程240x -=的解是 A ．2-B ．2C ．D ．2±9．方程()2330x x -+=的二次项系数、一次项系数及常数项的和是 A ．3 B ．2 C ．1-D ．3-10．关于x 的一元二次方程x 2+4x +k =0有两个相等的实根，则k 的值为A ．k =﹣4B ．k =4C ．k ≥﹣4D ．k ≥411．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是 A ．x 2﹣2x ＝5 B ．x 2+4x ＝5C ．2x 2﹣4x ＝5D ．4x 2+4x ＝512．若一元二次方程2430x x -+=的两个实数根分别是a b 、，则一次函数y abx a b =++的图象一定不经过 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．定义运算：a ⋆b =a （1-b ），若a ，b 是方程x 2-x +m =0（m ＜0）的两根，则b ⋆b -a ⋆a 的值为 A ．0 B ．1 C ．2D ．与m 有关14．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x ，则下面所列方程正确的是 A ．90（1+x ）2=144B ．90（1-x ）2=144C ．90（1+2x ）=144D ．90（1+x ）+90（1+x ）2=144-9015．已知：2是关于x 的方程()210x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC △的两条边的边长，则ABC △的周长为 A ．6 B ．4 C ．5D ．4或516．如图，在△ABC 中，AC ＝50 cm ，BC ＝40 cm ，∠C ＝90°，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2 cm/s 的速度匀速运动，同时另一点Q 由点C 开始以3 cm/s 的速度沿着CB 向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当△PCQ 的面积等于300 cm 2时，运动时间为A ．5 sB ．20 sC ．5 s 或20 sD ．不确定三、解答题（本大题共9小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解方程：（1）(x -5)2=16；（直接开平方法） （2）x 2+5x =0；（因式分解法） （3）x 2-4x +1=0；（配方法） （4）x 2+3x -4=0.（公式法）18．（6分）如果关于x 的方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，试判断关于x 的方程()()25210m x m x m ---+=的根的情况.19．（6分）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（1）当m＝0时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．21．（8分）列一元二次方程解应用题某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？22．（8分）如图，在宽为40 m，长为64 m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m2，则道路的宽应为多少？23．（8分）已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个实数根． （1）若m 为正整数，求此方程的根．（2）设此方程的两个实数根为a 、b ，若2221y ab b b =-++，求y 的取值范围．24．（8分）某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：（1）设AB ＝x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？25．（10分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s 的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33 cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10 cm．参考答案1．【答案】2【解析】∵方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，∴a+20,且|a|=2,解得：a=2.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键.2．【答案】37 4【解析】根据题意得：m+n=52，mn=﹣32，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=（52）2﹣2×（﹣3 2）=374．故答案为：374．3．【答案】–3【解析】2x−4=0，解得：x=2，把x=2代入方程x2+mx+2=0得：4+2m+2=0，解得：m=−3.故答案为：−3.4．【答案】13【解析】设该群共有x人，依题意有：x（x﹣1）=156，解得：x=﹣12（舍去）或x=13．故答案为：13．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确找准等量关系列方程即可，比较简单．5．【答案】k＜2且k≠1【解析】∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k-1≠0且 =（-2）2-4（k-1）＞0，解得：k＜2且k≠1．6．【答案】1【解析】设AB长为x米，则BC长为（6-2x）米．依题意，得x（6-2x）=4．整理，得x2-3x+2=0．解方程，得x1=1，x2=2．所以当x=1时，6-2x=4；当x=2时，6-2x=2（不符合题意，舍去）．答：AB的长为1米；7．【答案】C【解析】A. 2x2﹣3x+1=0,分母含有未知数,是分式方程,B. （x+2）（2x﹣1）=2x2,化简之后消掉二次项,是一次方程,C. 5x2﹣1=0,是一元二次方程，正确,D. ax2+bx+c=0,对系数a没有限制,只有当a0≠时,方程才是一元二次方程,故选C.【名师点睛】本题考查了一元二次方程定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键.8．【答案】D【解析】移项得，x2=4，开方得，x=±2，故选D．【名师点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．9．【答案】C【解析】原方程去括号整理得：2x2﹣6x+3=0，则二次项系数、一次项系数及常数项的和是2+（﹣6）+3=﹣1.故选C.10．【答案】B【解析】根据题意得∆=42﹣4k≥0，解得k≤4．故选C．11．【答案】B【解析】A、因为本方程的一次项系数是−2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；C、将该方程的二次项系数化为x 2−2x= 52，所以本方程的一次项系数是−2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；D、将该方程的二次项系数化为x 2 +x= 54，所以本方程的一次项系数是1，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方14；故本选项错误；故选B．【名师点睛】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12．【答案】D【解析】∵一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根分别是a、b，∴a+b=4，ab=3，∴一次函数的解析式为y=3x+4．∵3＞0，4＞0，∴一次函数y=abx+a+b的图象经过第一、二、三象限．故选：D．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．13．【答案】A【解析】∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，∴a+b=1，ab=m．∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．故选A．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．14．【答案】D【解析】设平均每月营业额的增长率为x，则第二个月的营业额为：90×(1+x)，第三个月的营业额为：90×(1+x)2，则由题意列方程为：90(1+x)+90(1+x)2=144−90.故选D．15．【答案】C【解析】将x=2代入方程得：4﹣2（m+1）+m=0，解得：m=2，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2．当三角形的三边为1、1、2时，1+1=2，不能构成三角形，舍去；当三角形的三边为1、2、2时，三角形的周长为1+2+2=5．故选C．【名师点睛】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键．16．【答案】A【解析】设x秒后，△PCQ的面积等于300 cm2，有：（50-2x）×3x=300，∴x2-25x+100=0，∴x1=5，x2=20．当x=20 s时，CQ=3x=3×20=60＞BC=40，即x=20 s不合题意，舍去．答：5秒后，△PCQ的面积等于300 cm2．故选：A．【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程求出是解题关键．17．【解析】（1）(x-5)2=16，（2）x2+5x=0，（3）x2-4x+1=0，，即：x 1=2+, x 2=2.（6分）（4）x 2+3x -4=0，a =1,b =3,c =-4,则 所以方程的根为：，即：x 1=-4 ,x 2=1.（8分） 【方法点睛】本题目是一道考查求一元二次方程的根的问题，四道题利用四种不同的方法求解，在于全面考查一元二次方程的解法，难度不大.18．【解析】关于x 的方程()22250mx m x m -+++=没有实数根, 当m =0时,方程为450x -+=，方程有一个实数根,不符合题意,（1分）当m ≠0时,因为方程()22250mx m x m -+++=没有实数根, 所以, 240b ac -<,即()()222450m m m ⎡⎤-+-+<⎣⎦解得: 4m >,（2分） ()()25210m x m x m ---+=对于方程,5,850m x =-+=当时方程变为有一个实数根,（4分）()()()25,2145431m m m m m ∆⎡⎤≠=----=+⎣⎦当时, 4m >,()4310m ∴+>,()()25210m x m x m ∴---+=此时方程有两个不相等的实数根,,5,,5,m m =≠综上所述当时方程有一个实数根当时方程有两个不相等的实数根.（6分）19．【解析】（1）4△3＝42－32 ＝16－9＝7.（3分）（2）（x +2）△5=0，(x +2)2－52=0，(x +2)2=52，x +2=±5，x 1=3，x 2=－7 .（6分）20．【解析】（1）当m =0时，方程为x 2+x ﹣1=0．∆=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x =，∴x 1=x 2=．（3分） （2）∵方程有两个不相等的实数根，∴∆＞0，即12﹣4×1×（m ﹣1）=1﹣4m +4=5﹣4m＞0，∴m 54＜．（6分）【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式∆=b 2﹣4ac ．21．【解析】（1）设每个月增长的利润率为x ，根据题意得：20×（1+x ）2=22.05，解得：x 1=0.05=5%，x 2=﹣2.05（不合题意，舍去）．答：每个月增长的利润率为5%．（4分）（2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．（8分）【名师点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.22．【解析】设道路的宽应为x m ，则(64－2x )(40－x )＝2418，（2分）整理，得x 2－72x ＋71＝0，解得x 1＝1，x 2＝71(不合题意，舍去)．答：道路的宽应为1 m.（8分）23．【解析】（1）∵一元二次方程2104x x m -+=有两个实数根，∴∆=11414m m -⨯=-≥0，∴m ≤1．∵m 为正整数，∴m =1．（2分） 当m =1时，此方程为2104x x -+=，∴此方程的根为1212x x ==．（4分） （2）∵此方程的两个实数根为a 、b ，∴211044ab m b b m =-+=，，∴y =ab ﹣2b 2+2b +1=ab ﹣2（b 2﹣b ）+1=112144m m --+（）=314m +．（6分） 解法一：∵m =43（y ﹣1）． 又∵m ≤1，∴m =43（y ﹣1）≤1，∴y 的取值范围为y ≤74．（8分） 解法二：∵m ≤1，∴34m ≤34，∴314m +≤74，∴y 的取值范围为y ≤74．（8分） 【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．24．【解析】（1）设AB＝x米，可得BC＝54﹣2x＋2＝56﹣2x.（2分）（2）小娟的说法正确.（4分）矩形面积S＝x（56﹣2x）＝﹣2（x﹣14）2＋392，（5分）∵56﹣2x＞0，∴x＜28，∴0＜x＜28，∴当x＝14时，S取最大值，此时x56﹣2x，∴面积最大的不是正方形．（8分）25．【解析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2x cm，根据梯形的面积公式得12×（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5.（3分）答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2.（4分）（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10 cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10 cm．（10分）。

人教版九年级数学上一元二次方程和二次函数综合练习题附答案一、单选题1．已知方程x2−2021x+1=0的两根分别为m、n，则m2−2021n的值为（）A．1B．−1C．2021D．−2021【答案】B2．一学生推铅球，铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=−112x2+23x+53，则学生推铅球的距离为（）A．35mB．3m C．10m D．12m【答案】C3．下列各式中，y是x的二次函数的是()A．B．C．D．【答案】B4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D5．将二次函数y=﹣2x2+6x﹣4配成顶点式为（）A．B．C．D．【答案】B二、填空题6．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是%。

【答案】107．将二次函数y=2x2−4x+3的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象的表达式是．【答案】y=2(x+2)2或y=2x2+8x+88．已知函数y=x2+4x−5，当−3≤x≤0时，此函数的最大值是，最小值是.【答案】−5；−99．已知抛物线y=x2+（m-4）x-4m的顶点在y轴上，则m=；【答案】4.10．二次函数y=(a−1)x2−x+a2−1的图象经过原点，则a的值为．【答案】-111．如图，点A是抛物线y=x2-4x对称轴上的一点，连接OA，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到AO′，当O′恰好落在抛物线上时，点A的坐标为．【答案】(2,-1)或（2，2）12．抛物线y=(x-1)(x+5)的对称轴是直线．【答案】x=-2三、解答题13．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。

为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？【答案】解：设每件童装应降价x 元，由题意得：（40-x ）（20+2x ）=1200， 解得：x 1=20，x 2=10， 当x=20时，20+2x=60（件）， 当x=10时，20+2x=40（件）， ∵60>40， ∴x 2=10舍去.答：每件童装应降价20元.14．如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）解：∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，-3），∴{1+b +c =0c =−3 ，解得 {b =2c =−3，∴二次函数的解析式为y=x 2+2x-3. （2）解：∵当y=0时，x 2+2x-3=0， 解得：x 1=-3，x 2=1； ∴A （1，0），B （-3，0）， ∴AB=4， 设P （m ，n ）， ∵△ABP 的面积为10， ∴12AB•|n|=10，解得：n=±5，当n=5时，m 2+2m-3=5， 解得：m=-4或2， ∴P （-4，5）（2，5）； 当n=-5时，m 2+2m-3=-5， 方程无解，故P （-4，5）（2，5）15．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A ．D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：由题意可知： {a +b +c =09a −3b +c =0c =3解得： {a =−1b =−2c =3∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ∵BC 是定值，∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，∵点A．点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3 √2，BC=√10∴△PBC的周长最小是：3√2+√10.（3）解：①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AC=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）16．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段BC 上的点（不与B 、C 重合），过M 作NM△y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；（3）在（2）的条件下，连接NB ，NC ，是否存在点m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值和△BNC 的面积；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：∵抛物线经过点A(−1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，∴设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−3)， 把C(0，3)代入得：3=a(0+1)(0−3)， a=−1，∴抛物线的解析式：y ＝－x 2＋2x ＋3 （2）解：设直线BC 的解析式为：y=kx+b ， 把B(3，0)，C(0，3)代入得： {3k +b =0b =3 ，解得： {k =−1b =3, ，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， ∴M(m ，－m ＋3)， 又∵MN△x 轴，∴N(m ，－m 2＋2m ＋3)，∴MN ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m(0＜m ＜3)（3）解：S △BNC ＝S △CMN ＋S △MNB ＝ 12|MN|·|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC 的面积最大， MN ＝－m 2＋3m ＝－(m － 32 )2＋ 94，所以当m ＝ 32 时，△BNC 的面积最大为 12 × 94 ×3＝ 27817．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件.若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？【答案】解：设每件衬衫应降价x 元，则每天多销售2x 件，由题意，得(40−x)(20+2x)=1200， 解得：x1=20,x2=10，∵要扩大销售，减少库存，∴每件衬衫应降价20元；设商场每天的盈利为W元，由题意，得W=(40−x)(20+2x)，W=−2(x−15) 2+1250∴a=−2<0，∴x=15时，W最大=1250元.答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元.18．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.【答案】解：建立平面直角坐标系，如图，于是抛物线的表达式可以设为y=a(x−ℎ)2+k，根据题意，得出A，P两点的坐标分别为A（0，2），P（1，3.6），∵点P为抛物线顶点，∴ℎ=1，k= 3.6，∵点A在抛物线上，∴a+3.6=2，a=−1.6，∴它的表达式为y=−1.6(x−1)2+3.6，当点C的纵坐标y=0时，有−1.6(x−1)2+3.6=0，x1=−0.5（舍去），x2=2.5，∴BC=2.5，∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m19．已知抛物线的顶点坐标(1,2)且过点(3,0)，求该抛物线的解析式．【答案】解：由题意，设y=a(x−1)2+2，∵抛物线过点（3，0），∴a(3−1)2+2=0，解得a=−1 2，∴y=−12(x−1)2+2即y=−12x2+x+32.20．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为y1={k1x(0≤x<600)k2x+b(600≤x≤1000)，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．【答案】（1）解：将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y2=k2x+b，得：{600k2x+b=180001000k2+b=26000，解得：{k2=20b=6000（2）解：当0≤x＜600时，W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元（3）解：由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值。

人教版九年级数学上册一元二次方程解法专题练习题1.解一元二次方程1、x(x+4)=5(x+4)将5(x+4)移到等式左边，得到x(x+4)-5(x+4)=0，化简得到(x-1)(x-5)=0，因此x=1或x=5.2、(x-2)=3(x-2)将3(x-2)移到等式左边，得到(x-2)-3(x-2)=0，化简得到-2x+4=0，因此x=2.3、x(x-1)=2(x+1)(1-x)将2(x+1)(1-x)移到等式左边，得到x(x-1)-2(x+1)(1-x)=0，化简得到3x^2-3x-2=0，根据求根公式，得到x=(3+√17)/6或x=(3-√17)/6.4、2(x-3)=-x(3-x)将-x(3-x)移到等式左边，得到2(x-3)+x(3-x)=0，化简得到-x^2+x-6=0，根据求根公式，得到x=(√29-1)/2或x=(-√29-1)/2.5、(2x-1)=(3-x)将3-x移到等式左边，得到2x+x-3=0，化简得到x=1.6、3(x-1)=x(x-1)将x(x-1)移到等式左边，得到3(x-1)-x(x-1)=0，化简得到x^2-2x-3=0，根据求根公式，得到x=-(√13+1)/2或x=(√13-1)/2.7、x-6x-9=0（配方法）将x-6x-9化简为(x-3)^2-18=0，再将18移到等式左边，得到(x-3)^2=18，根据求根公式，得到x=3+√18或x=3-√18.8、3x=2-5x（公式法）将2-5x移到等式左边，得到3x+5x-2=0，化简得到8x-2=0，因此x=1/4.9、x+2x-1=0将x+2x-1化简为3x-1=0，因此x=1/3.10、x-4x+1=0将x-4x+1化简为-3x+1=0，因此x=1/3.11、(x-1)-2(x-1)=15将2(x-1)移到等式左边，得到(x-1)-2(x-1)-15=0，化简得到-3x-14=0，因此x=(-14)/(-3)=14/3.12、-3x+4x+1=0将-3x+4x化简为x，因此x=-1.13、2x^2+3=7x将7x移到等式左边，得到2x^2-7x+3=0，根据求根公式，得到x=(7+√13)/4或x=(7-√13)/4.14、(1-2x)^2=x^2-6x+9将右边的x^2-6x+9移到等式左边，得到(1-2x)^2-x^2+6x-9=0，化简得到3x^2-10x-8=0，根据求根公式，得到x=(5+√73)/3或x=(5-√73)/3.15、3x^2-6x+1=0（用配方法）将3x^2-6x+1化简为(√3x-1)^2=0，因此x=1/√3.16、x(x+4)=8x+12将8x+12移到等式左边，得到x^2-4x-3=0，根据求根公式，得到x=(4+√28)/2或x=(4-√28)/2.17、x^2-2x=2x+1将2x+1移到等式左边，得到x^2-4x-1=0，根据求根公式，得到x=(2+√6)或x=(2-√6)。

九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》单元测试及答案-人教版一、选择题1．已知一元二次方程20x bx -=的一个根是1，则b 的值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．用配方法解方程2640x x ++=，配方正确的是（ ）A ．()235x +=B ．()2313x +=C ．()265x +=D ．()2613x +=3．一元二次方程2310x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．如果270a a +=，那么a 的值是（ ）A ．0B ．7C ．0或7D ．0或－75．若12x x ，是一元二次方程23100x x --=的两个根.则12x x ⋅的值为（ ）A ．3B ．10C ．3-D ．10-6．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x 支队伍参加比赛，则所列方程为( ) A ．x(x+1)=45B ．(1)2x x +=45 C ．x(x-1)=45 D ．(1)2x x -=45 7．已知关于x 的方程220x bx ++=的一个根为1x =，则实数b 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．若一元二次方程220ax x -+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．18a <B ．18a <且0a ≠ C ．18a ≤且0a ≠ D ．18a >9．方程22240x x --=的根是（ ）A ．16x =和24x =B ．16x =和24x =-C ．16x =-和24x =D ．16x =-和24x =-10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．()316210x x -= B ．()316210x -= C ．()316210x x -=D ．36210x =二、填空题11．若()22250aa x ---=是一元二次方程，则a ＝ .12．240x x -=的解是 .13．若m 、n 是一元二次方程22202250x x -+=的两个根，则m n +的值为 ．14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出 个小分支三、计算题15．解一元二次方程：（1）22410x x --=； （2）()()1310x x x -+-=．四、解答题16．将一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．17．判断关于 x 的方程 ()()232x x p --= 根的情况，并说明理由.18．x 为何值时，两个代数式x 2+1，4x +1的值相等？五、综合题19．规定：如果关于x 的一元二次方程ax 2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程” （1）解方程x 2+2x-8=0（2）方程x 2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”20．已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m ＝0.（1）证明：无论m 为何值，原方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一根为1时，求m 的值及方程的另一根.21．若关于x 的方程2210x x k -+-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是1x 和2x ，且满足211212x x x x x x +=，求k 的值.22．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费．（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）4186252486根据上表数据，求规定用水量a的值答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵一元二次方程20x bx -=的一个根是1∴10b -= ∴1b = 故答案为：C【分析】将x=1代入方程中即可求出b 值.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵x 2+6x+4=0∴x 2+6x+32=-4+32 ∴（x+3）2=5. 故答案为：A.【分析】将常数项移到方程的右边，然后配方(方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“32”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.3．【答案】B【解析】【解答】由分析可知，一元二次方程 2310x x -+= 的判别式△=b 2-4ac=9-4=5＞0，则该方程有两个不相等的实数根； 故答案为：B 。

《第21章一元二次方程》一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=93．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠04．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（）A．2018 B．2008 C．2014 D．20125．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定6．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定7．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定8．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是（）A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣119．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=35610．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．144二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．一元二次方程x2﹣3=0的根为．12．把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：，二次项为，一次项系数为，常数项为．13．已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是．14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于．15．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是．16．一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加xm，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000m2？列出方程，能否求出x的值：（能或不能）．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．用公式法解方程：2x2﹣4x=5．18．用配方法解方程：x2﹣4x+1=019．用因式分解法解方程：（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．若a，b，c是△ABC的三条边，且a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，判断此三角形的形状．21．如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？22．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．24．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（）A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：由题意得：a2﹣1≠0，解得a≠±1．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得k＞﹣1且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．4．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（）A．2018 B．2008 C．2014 D．2012【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．【解答】解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，∴a•12+b•1+5=0，∴a+b=﹣5，∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．5．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．6．对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=1，b=﹣2（k+1），c=﹣k2+2k﹣1，∴△=b2﹣4ac=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（﹣k2+2k﹣1）=8+8k2＞0∴此方程有两个不相等的实数根，故选C．【点评】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系．【分析】先根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，即可得出答案．【解答】解：根据函数y=kx+b的图象可得；k＜0，b＜0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×（k﹣1）=5﹣4k＞0，则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出△的符号．8．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则的值是（）A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据已知两等式得到a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab 的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab 的值代入计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，则原式===7．故选A【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．9．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）=7644，故选C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．144【考点】一元二次方程的应用．【专题】压轴题．【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【解答】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=﹣24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选：D．【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．一元二次方程x2﹣3=0的根为x1=，x2=﹣．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】直接解方程得出答案，注意用直接开平方法．【解答】解：x2﹣3=0，x2=3，x=，x1=，x2=﹣．故答案为：x1=，x2=﹣．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，题目比较典型，是中考中的热点问题．12．把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0 ，二次项为x2，一次项系数为﹣6 ，常数项为 5 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．13．已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是﹣6 ．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】根据根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，此题选择两根和即可求得．【解答】解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，∴2+x1=﹣4，∴x1=﹣6，∴该方程的另一个根是﹣6．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．14．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则+等于﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=1，然后变形+得，再把x1+x2=2，x1•x2=﹣1整体代入计算即可．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣1，∴+==﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．15．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k ≠0 ．【考点】根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【专题】计算题．【分析】首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．【解答】解：∵|b﹣1|+=0，∴b﹣1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．【点评】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．16．一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加xm，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000m2？列出方程（x+100）（200﹣x）=20000 ，能否求出x的值：能（能或不能）．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】如果把游泳池的长增加xm，那么游乐场的长和宽分别为（100+x）和（600÷2﹣100﹣x），然后矩形根据面积公式可列出方程．【解答】解：由于游泳池的长增加xm，那么游乐场的长和宽分别为（100+x）和（600÷2﹣100﹣x），即（x+100）（200﹣x）=20000，解得x=100．故填空答案：（x+100）（200﹣x）=20000，能．【点评】要会用x分别表示扩建前后长、宽和面积的变化．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．用公式法解方程：2x2﹣4x=5．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先求出△的值，再代入求根公式计算即可．【解答】解：原方程可化为：2x2﹣4x﹣5=0，∵a=2，b=﹣4，c=﹣5，∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56＞0，∴x==1±．∴x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，关键是求出△的值，注意△≥0．18．用配方法解方程：x2﹣4x+1=0【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】首先把方程移项变形为x2﹣4x=﹣1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【解答】解：移项，得：x2﹣4x=﹣1，配方，得：x2﹣4x+（﹣2）2=﹣1+（﹣2）2，即（x﹣2）2=3，解这个方程，得：x﹣2=±；即x1=2+，x2=2﹣．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．19．用因式分解法解方程：（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先把方程变形为（y﹣1）2﹣2y（y﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0，（y﹣1）2﹣2y（y﹣1）=0，（y﹣1）（y﹣1﹣2y）=0，y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，所以y1=1，y2=﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．若a，b，c是△ABC的三条边，且a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，判断此三角形的形状．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；勾股定理的逆定理．【分析】先将已知等式利用配方法变形得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0，再利用非负数的性质，分别求出a、b、c的值，然后利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵a2﹣6a+b2﹣10c+c2=8b﹣50，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0，即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0，∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，即a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了配方法的应用、勾股定理的逆定理、非负数的性质，解题的关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．21．如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】相等关系：试验地的面积=试验地的长×宽．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x 的值，然后将不合题意的舍去即可．【解答】解：设道路为x米宽，由题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，整理得：x2﹣36x+35=0，解得：x=1，x=35，经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．答：道路为1m宽．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．如何表示出剩余矩形的长和宽是解决此题的关键．22．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】新定义．【分析】（1）根据规则为：a△b=a2﹣b2，代入相应数据可得答案；（2）根据公式可得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，再利用直接开平方法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；（2）由题意得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，（x+2）2=25，两边直接开平方得：x+2=±5，x+2=5，x+2=﹣5，解得：x1=3，x2=﹣7．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据题意可得△＞0，进而可得[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0解不等式即可；（2）根据（1）中所计算的m的取值范围，确定出m的值，再把m的值代入方程，解方程即可．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即：[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0解得m＞﹣；（2）∵m＞﹣，∴取m=0，方程为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．【点评】此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．【专题】规律型．【分析】（1）分别利用因式分解法解各方程；（2）根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【解答】解：（1）x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2，x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，…x2+（n﹣1）x﹣n=0，解得x1=1，x2=﹣n；（2）这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？【考点】二次函数的应用；二次函数的最值．【专题】应用题．【分析】本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值．【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500﹣20x）=6 000解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5．（2）设涨价z元时总利润为y，则y=（10+z）（500﹣20z）=﹣20z2+300z+5 000=﹣20（z2﹣15z）+5000=﹣20（z2﹣15z+﹣）+5000=﹣20（z﹣7.5）2+6125当z=7.5时，y取得最大值，最大值为6 125．（8分）答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．（10分）【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．。

人教版九年级数学上册《一元二次方程相关概念》专项练习题-附带答案满分100分 时间：45分钟 姓名：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(共24分)1．(本题4分)（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根 则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．﹣1C ．﹣2或1D ．1【答案】B【解析】【分析】把1x =代入一元二次方程22240m x x m -+-=（）中即可得到关于m 的方程 解此方程即可求出m 的值．由20,m -≠即2,m ≠得到11,m =-从而得到答案．【详解】解：1x =是一元二次方程22240m x x m -+-=（）的一个根 ()2240m m ∴-+-=121,2,m m ∴=-=20,m -≠2,m ∴≠1 1.m ∴=-故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值 就是方程的解是解题的关键．2．(本题4分)（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A ．方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B ．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0C ．只有当k ＝0时 方程kx 2+3x ﹣1＝x 2为一元二次方程D ．当m 取所有实数时 关于x 的方程(m 2+1)x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A 、方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为0 故选项错误；B 、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0） 故选项错误；C 、当k ﹣1≠0 即k ≠1时 方程kx 2+3x ﹣1＝x 2为一元二次方程 故选项错误；D 、当m 取所有实数时 关于x 的方程（m 2+1）x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程是正确的．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式 熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键． 3．(本题4分)（2021·广西南宁·九年级期中）把一元二次方程(x -3)2 ＝5化为一般形式后 二次项系数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax 2+bx +c =0 再找出二次项的系数即可．【详解】解：∵（x -3）2=5化为一般形式为x 2-6x +4=0∵二次项系数为1 故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式 解题的关键是将方程（x -3）2=5化为一般形式．4．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式 正确的是（ ）A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=【答案】A【解析】【分析】 先把方程的左边按照平方差公式进行整理 再移项把方程化为2310,x x 从而可得答案．【详解】解：∵(1)(1)3x x x +-=∵213,x x2310,x x∵方程的一般形式为：2310,x x故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式 掌握“一元二次方程的一般形式：()200++=≠ax bx c a ”是解本题的关键．5．(本题4分)（2022·四川乐山·九年级期末）m 是方程220x x +-=的根 则代数式2222022m m +-的值是( )A ．-2018B ．2018C ．-2026D ．2026【答案】A【解析】【分析】把x m =代入220x x +-=得到22m m += 进而得到2224m m += 代入2222022m m +-进行计算即可求解．【详解】解：∵m 是方程220x x +-=的根∵220m m +-=∵22m m +=∵2224m m +=∵2222022m m +-42022=-2018=-．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题．6．(本题4分)（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）若x ＝﹣1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx ＝1的一个根 则2a ﹣2b +2021的值为（ ）A ．2023B ．2022C ．2020D ．2019【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义可得1a b -= 代入代数式即可求解．【详解】解：∵x ＝﹣1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx ＝1的一个根∵1a b -=∵2a ﹣2b +2021=()22021220212023a b -+=+=．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义 代数式求值 掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．第II 卷（非选择题）二、填空题(共20分)7．(本题5分)（2022·江苏·九年级专题练习）若关于x 的方程||1(1)450k k x x +--+=是一元二次方程则k =________．【答案】-1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出k −1≠0且|k|＋1＝2 再求出k 即可．【详解】解：∵关于x 的方程||1(1)450k k x x +--+=是一元二次方程∵k −1≠0且|k |＋1＝2解得：k ＝−1故答案为：−1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义 能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键 只含有一个未知数 并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程 叫一元二次方程．8．(本题5分)（2022·江苏·九年级专题练习）已知1x =是关于x 的一元二次方程22(2)320m m x x a -+--=的解 则1m a -+的值为________．【答案】1【解析】【分析】根据22(2)320m m x x a -+--=是关于x 的一元二次方程 可求出m 将1x =及m 的值代入可求出a 值 即可求出结果．【详解】解：∵22(2)320m m x x a -+--=是关于x 的一元二次方程∵22022m m +≠⎧⎨-=⎩ 解得：22m m ≠-⎧⎨=±⎩即m =2将1x =代入22(2)320m m x x a -+--= 得：m -2a =1 即12a = ∵111==122m a -++． 故答案为：1．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义 利用方程的解求参数 利用定义求出m 值是解题的关键．9．(本题5分)（2022·全国·九年级专题练习）若m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0是关于x 的一元二次方程 且不含x 的一次项 则m ＝___ n ＝___．【答案】 0 7【解析】【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式2324(7)40m x x n x -+-+= 再根据题意可得20,70m n =-= 进而可得答案．【详解】解：m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0整理得 2324(7)40m x x n x -+-+=∵为一元二次方程且不含x 的一次项∵20,70m n =-=解得0,7m n ==故答案为：0 7．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式 关键是掌握任何一个关于x 的一元二次方程经过整理 都能化成如下形式ax 2+bx +c =0（a ≠0）．10．(本题5分)（2022·广西梧州·八年级期末）关于x 的一元二次方程2250x kx --=的一个根是1 则这个方程的另一个根是______．【答案】5-【解析】【分析】根据方程的一个根1代入方程求出k 得到一元二次方程 解方程即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2250x kx --=的一个根是1∵1250k --=∵2k =-∵2450x x -=+解得11x = 25x =-∵方程的另一个根是-5．故答案为：-5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法 理解一元二次方程的解法是解答关键．三、解答题(共56分)11．(本题10分)（2021·陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）若关于x 的一元二次方程()2226320m x x m m --+-+=的常数项为0 求m 的值．【答案】1m =【解析】【分析】根据题意 得到2320m m -+= 然后解关于m 的一元二次方程 结合一元二次方程的定义 即可求出答案．【详解】解：由题意得2320m m -+= 解得：11m =22m =．20m -≠ 即2m ≠ 1m ∴=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义 解一元二次方程 解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 12．(本题10分)（2022·全国·九年级）已知关于x 的方程（m21m x -﹣x ＝3 试问： (1)m 为何值时 该方程是关于x 的一元一次方程？(2)m 为何值时 该方程是关于x 的一元二次方程？【答案】(1)m ＝±1(2)m【解析】【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程可得答案；（2）根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式再求解即可．(1)解：由题意得m2﹣1＝1解得m＝当m＝该方程是一元一次方程；m0 解得m当m该方程是一元一次方程；m2﹣1＝0 解得m＝±1m＝±1时该方程是一元一次方程综上当m＝±1时该方程是关于x的一元一次方程；(2)解：由题意得m2﹣1＝2且m解得m当m该方程是关于x的一元二次方程．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点．13．(本题12分)（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0 问：（1）k为何值时此方程是一元一次方程？（2）k为何值时此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．【答案】（1）12k=-；（2）12k≠-二次项系数为21k+一次项系数为4k常数项为1k-【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义只含有一个未知数且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可；（2）根据一元二次方程的定义只含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可；【详解】解：（1）∵()221410k x kx k +++-=是关于x 的一元一次方程∵21040k k +=⎧⎨≠⎩ 解得12k =- （2）∵()221410k x kx k +++-=是关于x 的一元二次方程∵210k +≠即12k ≠- ∵这个一元二次方程的二次项系数为21k + 一次项系数为4k 常数项为1k -．【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义．14．(本题12分)（2022·新疆昌吉·一模）先化简 再求值：22111121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+--+⎝⎭ 其中x 是方程x 2+x -4=0的根．【答案】()21x x -+ 12- 【解析】【分析】直接利用已知得出x （x +1）=4 再利用分式的混合运算法则进而计算得出答案．【详解】解：∵240x x +-=∵24x x +=∵()14x x += ∵22111121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+--+⎝⎭ =()()211x x -÷+-()()211x x x --=()()2·11x x -+-()()211x x x --=()21x x -+=12-． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值 正确掌握相关运算法则是解题关键．15．(本题12分)（2022·湖北·鄂州市第八中学（吴都中学）九年级阶段练习）化简求值：已知a 是方程 x 2＋3x －2＝0的一个根 求代数式2352632a a a a a -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值． 【答案】16- 【解析】【分析】将代数式化简成()2133a a -+ 从已知求得2a 3a +的值 代入求解即可． 【详解】 解：代数式()()222235391126326323333a a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫÷+-=÷=-=- ⎪----++⎝⎭∵a 是方程2320x x +-=的一个根∵232a a +=∵()211336a a -=-+． 【点睛】本题考查分式化简求值以及一元二次方程 结合已知条件化简代数式是解题的关键．第11页共11页。

人教版 九年级数学 第21章 一元二次方程 综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是( )A ．0B ．0，2C ．2D ．2，－22. 若方程ax 2＋2x ＝bx 2－1是关于x 的一元二次方程，则a ，b 的值可以是( )A ．1，1B.12，12 C ．－3，3D ．－3，－33. 一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4. 一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．x ＝－1B ．x ＝0C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝25. 方程3x (2x ＋1)＝2(2x ＋1)的两个根为( )A ．x 1＝23，x 2＝0B ．x 1＝23，x 2＝12C ．x 1＝32，x 2＝－12D ．x 1＝23，x 2＝－126. 2018·福建 已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是( )A ．1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C ．1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D ．1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是()A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－28. 对于二次三项式－x2＋4x－5的值，下列叙述正确的是()A．一定为正数B．一定为负数C．正、负都有可能D．一定小于－19. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为() A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定10. 如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程中正确的是()A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝570二、填空题（本大题共7道小题）11. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．12. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝________．13. 已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，则+c的值等于.14. 一个三角形其中两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则此三角形的周长是________．15. 根据下表中的数据写出方程x2＋3x－4＝0的一个根为________．x 0123 4x2＋3x－4－406142416. 设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个实数根，则(a－1)(b－1)的值为________．17. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小19，则这个两位数是________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都将被感染？19. 三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个奇数．20. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”题意为已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长一丈，那么门的宽和高各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)21. 已知关于x 的一元二次方程(x －1)(x －4)＝p 2，p 为实数．(1)求证：不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)当p 为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需要说明理由)人教版 九年级数学 第21章 一元二次方程 综合复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】代入数据求出根的判别式Δ＝b 2－4ac 的值，根据Δ的正负即可得出结论．∵Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．4. 【答案】D [解析] x(x －2)＋(x －2)＝0， (x ＋1)(x －2)＝0，x ＋1＝0或x －2＝0，所以x 1＝－1，x 2＝2.故选D.5. 【答案】D [解析] 3x(2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0，(3x －2)(2x ＋1)＝0，3x －2＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝23，x 2＝－12.6. 【答案】D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，∴⎩⎨⎧a ＋1≠0，Δ＝（2b ）2－4（a ＋1）2＝0，∴b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)．当b ＝a ＋1时，有a －b ＋1＝0，此时－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根； 当b ＝－(a ＋1)时，有a ＋b ＋1＝0，此时1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根． ∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)，∴1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．7. 【答案】C8. 【答案】B[解析] ∵－x 2＋4x －5＝－(x 2－4x ＋4)－1＝－(x －2)2－1＜0，∴原式的值一定为负数．9. 【答案】A [解析] 因为b ＋c ＝5，所以c ＝5－b.因为Δ＝b 2－4×3×(－c)＝b 2－4×3×(b －5)＝(b －6)2＋24>0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根．10. 【答案】A二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1 [解析] ∵关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＝b 2－4ac ＞0，即⎩⎨⎧k≠0，16＋16k>0， 解得k ＞－1且k≠0，∴k 的最小整数值为1.12. 【答案】－3或4 [解析] 根据题意，得[(m ＋2)＋(m －3)]2－[(m ＋2)－(m －3)]2＝24.整理，得(2m －1)2＝49，即2m －1＝±7，所以m 1＝－3，m 2＝4.13. 【答案】2[解析]根据题意得:Δ=4-4a(2-c)=0，整理得4ac-8a=-4，4a(c-2)=-4.∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程，∴a≠0，等式4a(c-2)=-4两边同时除以4a，得c-2=-，则+c=2.14. 【答案】13[解析] 解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.∵2，3，6不能构成三角形，∴舍去x＝2.当x＝4时，三角形的周长＝3＋4＋6＝13.15. 【答案】x＝116. 【答案】－2018[解析] 根据题意，得a＋b＝－1，ab＝－2020，∴(a－1)(b －1)＝ab－(a＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.17. 【答案】32[解析] 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x－1.根据题意，得x2＋(x－1)2＝10x＋(x－1)－19，解得x1＝3，x2＝3.5(舍去)，∴10x＋(x－1)＝32.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝16，解得x1＝3，x2＝－5(舍去)．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．(2)三轮感染后，被感染的电脑台数为16＋16×3＝64，四轮感染后，被感染的电脑台数为64＋64×3＝256＞101.答：若病毒得不到有效控制，四轮感染后机房内所有电脑都将被感染．19. 【答案】解：设这三个连续的正奇数分别为2n－1，2n＋1，2n＋3(n为正整数)．根据题意，得(2n ＋3)(2n －1)－6(2n ＋1)＝3，解得n 1＝3，n 2＝－1(舍去)．当n ＝3时，2n －1＝5，2n ＋1＝7，2n ＋3＝9.即这三个奇数分别为5，7，9.20. 【答案】解：设门的宽为x 尺，则高为(x ＋6.8)尺．根据题意，得x 2＋(x ＋6.8)2＝102，整理，得2x 2＋13.6x －53.76＝0，解得x 1＝2.8，x 2＝－9.6(舍去)，所以x ＋6.8＝9.6.所以门的宽为2尺8寸，高为9尺6寸．21. 【答案】解：(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4(4－p 2)＝4p 2＋9＞0，∴不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.由求根公式得方程的根为x ＝5±4p 2＋92. ∵方程有整数解，∴找到p 的值，使5±4p 2＋92为整数即可， ∴p 可取0，2，－2，10，－10等，此时方程有整数解(答案不唯一，写出三个即可)．。