高三专题之极坐标

极坐标方程教学目标：1、经历和体验建立极坐标系以及求曲线的极坐标方程的过程；2、理解极坐标系和曲线的极坐标方程的意义；3、掌握求曲线的极坐标方程的方法。

教学重点及难点极坐标系的建立和几种常见的曲线的极坐标方程.一、 概念1、极坐标系的基本思想是用 确定点的位置2、如图建立坐标系，其中θ是以射线Ox 为始边，以射线OM 为终边的旋转角（ 为正方向），||OM =ρ，则点M 的位置用有序数对),(θρ表示，这样就建立了一个不同于直角坐标系的坐标系，我们把它叫做极坐标系。

3、在极坐标系中， 叫做极点， 叫做极轴，叫做点M 的极坐标， 叫做极径， 叫做极角。

4、在极坐标系中，除了极点外,平面上的所有点所成的集合和实数对集合{}πϑρθρ20,0),(<≤>具有 对应关系，我们规定极点的极坐标为)2,0[),,0(πθθ∈。

5、一般认为0≥ρ，当0<ρ时，规定),(θρ对应的点为),(πθρ+-6、在极坐标系中，平面内的曲线可以用含有θρ,这两个变数的方程0),(=θρF 来表示，方程0),(=θρF 叫做这条曲线的极坐标方程。

7、在极坐标系中，曲线和方程有如下的关系：（1）以方程0),(=θρF 的解),(θρ为极坐标的点都在曲线上；（2）曲线上每一点的所有极坐标中，至少有一极坐标),(θρ是方程0),(=θρF 的解。

8、求曲线的极坐标方程，其实就是找到曲线上所有点的极径和极角应该满足的关系式。

二、例题1、请写出图中各点的极坐标（1）πρ2ϑ>，≤0,0<（2）πρ2ϑ<，0,0<≤π的直线l的极坐标方程.2、求经过极点且与极轴夹角为33、求圆心是点C（a,0），半径是a的圆的极坐标方程π的直线l的极坐标方程.4、求经过点),0,4(M且与极轴夹角为35、在极坐标系中，求曲线ρ＝cosθ＋1与ρcosθ＝1的公共点到极点的距离三、 课后练习1、 求圆心是极点，半径是a 的圆的极坐标方程2、 求圆心是点C （a,2π），半径是a 的圆的极坐标方程3、 求圆心是点C （2, π），半径是2的圆的极坐标方程4、 求经过点),0,4(M 且与极轴夹角为2π的直线l 的极坐标方程5、 求经过点),6,4(πM 且与极轴夹角为3π的直线l 的极坐标方程6、 如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，求)(θf7、 曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθρ，求C 与极轴的交点到极点的距离。

高三极坐标方程知识点一、导言极坐标方程是数学中的一种坐标系表示方法，通过使用极径和极角来描述平面上点的位置。

在高三数学中，学习极坐标方程是必不可少的一部分。

本文将介绍极坐标方程的基本定义、图形表示以及相关的知识点。

二、基本概念1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的二维坐标系。

极轴是由原点O出发的射线，极角是用角度或弧度表示的射线与极轴的夹角。

2. 极坐标：一个点在极坐标系中的位置可以用极径r和极角θ来表示，记作(r,θ)。

其中，r表示点到原点O的距离，θ表示点所在射线与极轴的夹角。

三、极坐标方程的表示极坐标系下，一个点的坐标可以由极径r和极角θ来确定。

根据这个原理，可以得到极坐标方程的一般形式：r=f(θ)，其中f(θ)为一个函数。

极坐标方程描述了平面上所有满足该方程的点的集合。

四、极坐标方程的图形表示不同的方程对应不同的图形。

以下是一些常见的极坐标方程及其对应的图形表示：1. 极径为常数的方程：r=a，其中a为正实数。

该方程表示以极径为a的一个园。

2. 正弦曲线方程：r=a·sinθ，其中a为正实数。

该方程表示以极轴为对称轴的正弦曲线。

3. 余弦曲线方程：r=a·cosθ，其中a为正实数。

该方程表示以极轴为对称轴的余弦曲线。

4. 椭圆方程：r=a·(1-e·cosθ)，其中a和e为正实数。

该方程表示以极轴为对称轴的椭圆。

5. 双曲线方程：r=a·(1+e·cosθ)，其中a和e为正实数。

该方程表示以极轴为对称轴的双曲线。

六、其他相关知识点1. 极坐标方程与直角坐标方程互相转化：可以通过一定的数学运算将极坐标方程转化为直角坐标方程，或将直角坐标方程转化为极坐标方程。

2. 极坐标方程下的导数与曲线切线：使用导数的定义，可以求得极坐标方程下的导数及曲线的切线方程。

3. 高阶曲线的极坐标方程：对于一些高阶曲线，可以通过一定的数学方法求得其极坐标方程。

解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．[类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二 极坐标与直角坐标的互化|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(θ与(x ，y )所在象限一致)．[提醒] (1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[典题例析]在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：。

本溪树人教育高三复习：极坐标与参数方程第一部分：极坐标系1、点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈2、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆3、在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .4、设A （2，32π），B （3，3π）是极坐标系上两点，则|AB|= _. 5、 已知某圆锥曲线C 的极坐标方程是22225916cos ρθ=+，则曲线C 的离心率为（ ） A ．45 B ．53 C ．35 D ．456、 在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos 4:)3cos(:21-∈==+m C m C 若和θρπθρ，则曲线C 1与C 2的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定7、以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C ：4cos ρθ=，过极点的直线θϕ=（R ϕ∈且ϕ是参数）交曲线C 于两点0，A ，令OA 的中点为M. （1）求点M 在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53πϕ=时，求M 点的直角坐标.8、已知直线l k k C l 若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C 上的点的最小距离等于2。

（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）求实数k 的值。

◆ 高考链接1、（2011安徽）在极坐标系中，点θρπcos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为（ ）（A ）2 （B ）942π+（C ）912π+（D ）32、（2011北京）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是（ ）A ．(1,)2πB ．(1,)2π- C ． (1,0) D ．(1，π)3、（2011江西）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 。

坐标系与参数方程【自主热身，归纳总结】1、在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos θ，y ＝2a ＋sin θ(θ为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．解： 由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t(t 为参数)， 得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0.由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos θ，y ＝2a ＋sin θ(θ为参数)， 得圆C 的普通方程为(x －a )2＋(y －2a )2＝1. 因为直线l 与圆C 相切，所以|a －2a ＋1|2＝1， 解得a ＝1±2.所以实数a 的值为1±2. 2、在极坐标系xoy 中，直线cos()3πρθ+＝1与曲线ρ＝r (r >0)相切，求r 的值．解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()3πρθ+＝1，得ρ(cos sin sin3πθθ-)＝1，得直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0.曲线ρ＝r ，即圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离为d ＝|0－3×0－2|1＋3＝1. 因为直线cos()3πρθ+＝1与曲线ρ＝r (r >0)相切，所以r ＝d ，即r ＝1.3、已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为sin()6πρθ+＝m .若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．解： 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆． 直线l 的极坐标方程是sin()6πρθ+＝m ，即1cos sin 22ρθρθ+＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0. 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32.所以实数m 的值为－12或32.4、在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝35t ，y ＝45t (t 为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解： 直线l ：⎩⎨⎧x ＝35t ，y ＝45t(t 为参数)化为普通方程为4x －3y ＝0，圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 则圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|4|42＋(－3)2＝45， 所以AB ＝21－d 2＝65.5、自极点O 作射线与直线cos ρθ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．解：以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，因为OM·OP ＝12，所以ρρ′＝12. 因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ， 化为直角坐标方程：x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.由⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)得普通方程为x －y ＋3＝0， 所以PQ 的最小值为圆心到直线距离减去圆的半径． 即PQ min ＝|2－0＋3|2－2＝522－2.6、在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m(t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围． 解： 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4y ，即圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，又由⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m消去t ，得3x －y ＋m ＝0，因为直线l 与圆C 相交， 所以|m －2|2<2，即－2<m<6.【问题探究，变式训练】题型一 极坐标与直角坐标例1、在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.【解析】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π），由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=. 【变式1】在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解析：因为曲线C 的极坐标方程为，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A （4，0），倾斜角为，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， 所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．【变式2】在极坐标系中，设直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π6，B (3，0)，且直线l 与曲线C ：ρ＝a cos θ(a >0)有且只有一个公共点，求实数a 的值．规范解答 依题意，A ⎝⎛⎭⎫3，π6，B (3，0)的直角坐标为A ⎝⎛⎭⎫32，32，B (3，0)， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0，曲线C ：ρ＝cos a θ(a >0)的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝a24(a >0)，因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以⎪⎪⎪⎪a 2－32＝a2(a >0)，解得a ＝2(负值已舍)．【变式3】在极坐标系中，已知直线l ：cos()4πρθ-＝2与曲线C ：ρ＝6sin θ相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将曲线 C ：ρ＝6sin θ的极坐标方程化为直角坐标方程， 得x 2＋(y －3)2＝9，因此，曲线C 是以(0，3)为圆心、半径为3的圆 将直线l ：cos()4πρθ-＝2的极坐标方程化为直角坐标方程，得x ＋y －2＝0.因为圆心(0，3)到的直线l 距离d ＝|0＋3－2|2 ＝22， 所以AB ＝2r 2－d 2＝29－⎝⎛⎭⎫222＝34.【变式4】在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫22，π4，圆心为直线sin()3πρθ-＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解： 在直线方程sin()3πρθ-＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以圆心为C(2，0)．在△POC 中，由余弦定理，得圆C 的半径r ＝CP ＝2. 圆C 经过极点，其极坐标方程为ρ＝4cos θ.【变式5】已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22sin()4πρθ-－4＝0，求圆C 的半径．解析： 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6， 所以圆C 的半径为 6.题型二 曲线的参数方程例2、在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解析： 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.【变式1】在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解： 因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为x ＋y ＝1. 因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)， 所以曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，它是以(－1，0)为圆心、2为半径的圆． 圆心(－1，0)到直线l 的距离d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2， 所以AB ＝222－（2）2＝2 2.【变式2】在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3t ，y ＝1－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r >0)，若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求r 的值． 解： 直线l 的普通方程为4x ＋3y －15＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2.因为圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝|－15|5＝3， 又直线l 被圆C 截得的弦长为4， 所以r ＝32＋22＝13.【变式3】在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 的距离的最大值为3，求a 的值．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2.又因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)， 所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.(6分) 因为圆C 的圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝1， 依题意有1＋a ＝3，解得a ＝2.【变式4】在平面直角坐标系xoy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，可快速解题． 可如下解答：把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2＝4x ， 得4t 2－15t －25＝0. 解得t 1＝5，t 2＝－54.所以AB ＝|t 1－t 2|＝254.【变式5】在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.题型三 极坐标与参数方程的综合例3、在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解： 因为曲线C 经过极点，所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0， 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为y 2－4x ＝0. 把直线l 的标准参数方程代入，得t 2＋82t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 2－t 1|＝8 2.【变式1】在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ＋1，y ＝12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，求直线l 被曲线C 所截的弦长．解： 直线l 的普通方程为x －2y －1＝0，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 所以曲线C 是圆，圆心C (1，1)，半径r ＝ 2.所以圆心C (1，1)到直线l 的距离为d ＝|1－2－1|1＋（－2）2＝63.所以直线l 被曲线C 所截的弦长为2r 2－d 2＝22－23＝433.【变式2】 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t (t 为参数)．在极坐标系中(与平面直角坐标系xoy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C 的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，求直线l 被圆C 截得的弦长．解： 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t化为普通方程：x ＋2y ＋4＝0. 圆C 的方程ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝8，其圆心为(2，－2)，半径为22， 所以圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－4＋4|5＝255， 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2（22）2－⎝⎛⎭⎫2552＝1255.【变式3】在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t(t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()4πρθ-＝a (a ∈R )，已知圆心C 到直线l 的距离等于2，求a 的值．解： 消去参数t ，得到圆的普通方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝4. 由2cos()4πρθ-＝a ，得cos sin ρθρθ+－a ＝0，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y －a ＝0. 依题意，圆心C (3，－2)到直线l 的距离等于2， 即|3－2－a |2＝2，解得a ＝－1或a ＝3.【变式4】 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解： 因为曲线C 经过极点，所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ＝2ρcos θ， 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .把直线l 的参数方程代入，得(t －3)2＝2＋2t ，解得t 1＝1，t 2＝7.所以AB ＝|t 2－t 1|12＋12＝6 2.直线l 的普通方程为x －y －4＝0，原点O 到直线l 的距离d ＝42＝2 2. 所以S △AOB ＝12·AB ·d ＝12. 【变式5】 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．思路分析 化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程，可利用直线l 的标准参数方程的几何意义求线段AB 的长．解： 因为曲线C 经过极点，所以其极坐标方程也为ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0， 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为y 2－4x ＝0. 把直线l 的标准参数方程代入，得t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 2－t 1|＝8 2.(10分)。

极坐标与参数方程 重点：(1)参数方程与普通方程的互化；一般要求是把参数方程化为普通方程；较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题；（2）极坐标与直角坐标的互化。

重点方法：<1>消参的种种方法；<2>极坐标方程化为直角坐标方程的方法；<3>设参的方法。

内容分析：坐标系与参数方程在高考中选考内容，是10分的解答题之一，与不等式选讲二选一解答，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定。

考点一：弦长问题 （本题为周考试卷内容，主要考查圆的弦长问题，可以用几何法，也可以用参数法）

（学生上黑板板演，师生共同订正） 总结：弦长公式22

2drl

，d是圆心到直线的距离（圆）

2122124)(1xxxxkl 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）

弦长公式21ttl

,解法参考“直线参数方程的几何意义”

考点二：距离的最值问题 （本题为开年考第22题，第一问考查极坐标与直角坐标之间的转化，第二问考查距离的最值问题，可以转化为普通方程在转化为两条平行线的距离，也可以直接利用参数法转化为三角运算。）

（学生上黑板板演，师生共同订正） 总结：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐

标请参照距离最值求法）

思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BACByAxd



2021高三数学专题极坐标与参数方程（有答案）2021高三数学专题-极坐标与参数方程（有答案）2022高级三数学题-极坐标和参数方程一、线段乘积1.【选修课4-4：坐标系与参数方程】（本课题满分10分）1?x?1?t?2?在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为?（t为参数），椭圆c的参数方程Y3t？？2.十、余弦？，对于（？是一个参数）让线L和椭圆C在两点a和B相交，求出线ab的长度y?2sin??【答案】167注a为固定点2、(2021三省三校一模)以直角坐标系的原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相等的长度单位，曲线c的极坐标方程为?sin2??4cos?⑴求曲线c的直角坐标方程⑵设过点p（2,0）倾斜角为11 直线L和曲线C在a点和B点相交，求出6|pa||pb|答案：⑴y?4x⑵25/41? 十、T23.例如，已知直线L的参数方程为：？，曲线C的极坐标方程为？？22sin（？？）直线L4？Y1.3t？2.在a点和B点与曲线C相交，在P点与y轴相交，⑴求出直线L的一般方程和曲线C的直角坐标方程⑵4、已知直线l经过点p(,1)倾斜角??11? papb512?6，圆c的极坐标方程为??2cos(4)第1页，共1页⑴写出l的参数方程，并把圆c的方程化为直角坐标方程⑵设l与圆相交于a，b，求p到a，b的距离之积14? 3倍？5.T25.（2022湖南）已知直线L:？（t为参数），坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴？Y3.1吨？？2建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为？？2cos？。

（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设点m的直角坐标为(5,3)，直线l与曲线c的交点为a，b，求|ma|?|mb|的值.【答案】（1）x?y?2x?0；（2）18..6、（10福建）选修4-4：坐标系与参数方程22? 2倍？3.T2在直角坐标系xoy中，线L的参数方程是？（t是参数）。

高三数学极坐标试题答案及解析1.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于M，N.(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.【答案】(1)x－y－2＝0；(2)1.【解析】(1)利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；(2)由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解.试题解析：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*)△＝8a(4＋a)＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．因为a＞0，所以a＝1． 10分考点:参数方程与极坐标2.在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点．若是等边三角形，则的值为___________．【答案】．【解析】圆的方程为，直线为．是等边三角形，∴其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得．【考点】直线和圆的极坐标方程．3.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）（t为参数）；（2）.【解析】（1）设为圆上的点，在曲线C上任意取一点（x，y），再根据，由于点在圆上，求出C的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得的坐标，可得线段的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据可得所求的直线的极坐标方程．（1）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得由得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为（t为参数）.（2）由解得：，或.不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化极坐标方程，并整理得，即.【考点】1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．4.已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为 .【答案】【解析】由消去得，由得，解方程组得与的交点坐标为.【考点】参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化，主要以填空题的形式出现，难度一般较小.5.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将直线的参数方程消去参数，化成直角坐标方程为，圆的极坐标方程两边同乘为，化成直角坐标方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长，故选D.【考点】1.极坐标方程、参数方程与平面直角方程之间的转化；2.圆中弦长的求解.6.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则点A(2，)到这条直线的距离为 .【答案】【解析】因为直线的极坐标方程，所以，即，又因为，即，所以点到直线的距离公式为.【考点】极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用.7.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（—2，—3），求|PA|·|PB|的值．【答案】（1）（2）33.【解析】（1）将极坐标方程按照两角和的正弦公式展开，利用，,进行化简，得到普通方程，对于直线的参数方程，进行消参，也可得到关于的普通方程；属于基础题型，易得分.（2）把直线的参数方程代入到圆：，因为点显然在直线上，由直线标准参数方程下的几何意义知=,利用根与系数的关系求出.主要搞清楚的几何意义. （1），所以，所以，即；直线的直角普通方程为： 5分（2）把直线的参数方程代入到圆：，得，.因为点显然在直线上，由直线标准参数方程下的几何意义知=所以. 10分【考点】1.极坐标方程与普通方程的互化；2.参数方程与普通方程的互化；3.参数方程下的弦长公式.8.若以为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为：上的点到曲线的参数方程为：（为参数）的距离的最小值为 .【答案】【解析】曲线直角坐标方程，直线：圆心到直线距离，所以，曲线上点到的距离的最小值【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离.9.已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合.若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数，且，则直线与曲线的交点的直角坐标为 .【答案】【解析】由题意直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，联立方程组解得或，因为，所以解为，即交点为.【考点】极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，曲线的交点.10.已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.【答案】【解析】曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.11.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【答案】(2，2)，【解析】∵直线l的参数方程为∴消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0，①同理得曲线C的普通方程为y2＝2x，②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.12.已知直线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【答案】（1）(1，0)，（2）＋y2＝.故P点轨迹是圆心为，半径为的圆【解析】(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组解得C1与C2的交点为(1，0)，.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为(α为参数)．P点轨迹的普通方程为＋y2＝.故P点轨迹是圆心为，半径为的圆13.已知点在曲线：（为参数）上，则到曲线的焦点的距离为_______________．【答案】【解析】消去参数和，得曲线的普通方程为，这是抛物线，其焦点为，.【考点】参数方程与普通方程的互化，抛物线的定义.14.极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是__________.【答案】.【解析】圆的普通方程为，化为标准式得，圆心坐标为，直线的普通方程为，因此圆心到直线的距离.【考点】1.极坐标方程与普通方程之间的转化；2.点到直线的距离15.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.【答案】(1),曲线C:（2）．【解析】先将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线上的点的坐标（含参数）代入，化为求函数的最值问题，也可将直线的参数方程化为普通方程，根据勾股定理转化为求圆心到直线上最小值的问题.试题解析：（1）,曲线C: 4分（2）因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1, 6分因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是． 10分【考点】参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.16.在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值范围．【答案】【解析】根据题意由所给曲线参数方程，不难得出点P和点Q的坐标，结全中点坐标公式可得中点M的坐标，再利用两点间距离公式即可求出d的表达式，运用三角公式化简可得：，注意所给角的范围，得出d的取值范围．试题解析：由题设可知P ( 1 + 2cosα，2sinα)，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α)， 2分于是PQ的中点M． 4分从而 6分因为0＜α＜2π，所以－1≤cosα＜1， 8分于是0≤d2＜4，故d的取值范围是． 10分【考点】1.参数方程的应用;2.三角函数的性质17.（坐标系与参数方程选做题）已知直线（为参数且）与曲线（是参数且），则直线与曲线的交点坐标为.【答案】.【解析】将直线的方程化为斜截式得，由于，对于曲线的参数方程，则有，因此曲线的普通方程为，联立直线与曲线的方程得，解得或，由于故直线与曲线的交点坐标为.【考点】1.参数方程；2.直线与曲线交点的求解18. (坐标系与参数方程选讲选做题)在平面直角坐标系下xoy中，直线l的参数方程是(参数t R).圆的参数方程为(参数)，则圆C的圆心到直线l的距离为______.【答案】【解析】消参得到直线l的普通方程为x+y-6=0，圆的普通方程为x2+y2=4，则圆心(0,2)到直线x+y-6=0的距离为，故填【考点】点到直线的距离参数方程19.已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据公式将极坐标方程转化为直角坐标方程。

极坐标系与极坐标一、 极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.注意：如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

二、极坐标与直角坐标的互化：三、常见的极坐标方程在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos 四、基础小题：1．在极坐标系中，直线l 的方程ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为________． 解析：∵直线l 的的极坐标方程可化为y ＝3， 点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)， ∴点⎝⎛⎭⎫2，π6到l 的距离为2. 2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角)0(n t ,sin ,cos ,222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ坐标系，则该曲线的直角坐标方程为____________． 解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴由互化公式知x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0.3．在极坐标系中，以⎝⎛⎭⎫a 2，π2为圆心，a2为半径的圆的方程为________________． 解析：利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为ρ＝a sin θ.4．在极坐标系中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的交点的极坐标为________． 解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 其普通方程为x 2＋y 2＝2y ， ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，故交点(－1,1)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4. 5．在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ的圆心C 到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为________． 解析：注意到圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，圆心C 的坐标是(2,0)．直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的直角坐标方程是x ＋y －4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋0－4|2＝ 2.6.(1)过点⎝⎛⎭⎫2，π3且平行于极轴的直线的极坐标方程为________________． (2)圆心为C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为________． 解析：(1)点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，所以过点(1，3)且平行于x 轴的直线方程为y ＝3，即极坐标方程为ρsin θ＝ 3.(2)设极点为O ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，过OC 的直线与圆交于另一点O ′，在直角三角形OMO ′中，ρ＝6cos ⎪⎪⎪⎪θ－π6，即ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 极坐标(ρ，θ)化为直角坐标时，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；直角坐标(x ，y )化为极坐标时，ρ＝x 2＋y 2惟一确定，但由tan θ＝yx (x ≠0)确定角θ时不惟一，一般根据点(x ，y )所在的象限取最小正角．参数方程一、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。