专题05 参数方程与极坐标(精讲篇)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

极坐标参数方程知识点思维导图高清一、极坐标及其参数方程概述极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它采用极径和极角两个参数来确定点的位置。

极坐标参数方程则是通过使用角度作为独立变量，用极径和极角表达出函数的方程。

二、极坐标参数方程的定义与表示极坐标参数方程由极坐标中的极径和极角的函数表达式表示。

通常用r表示极径，$\\theta$表示极角，极坐标参数方程可以表示为：$$ \\begin{cases} x=f(\\theta) \\\\ y=g(\\theta) \\end{cases} $$其中，$f(\\theta)$和$g(\\theta)$分别表示x和y与$\\theta$的关系。

三、常见的极坐标参数方程1. 圆的极坐标参数方程对于半径为r0的圆，其极坐标参数方程为：$$ \\begin{cases} x=r_0\\cos(\\theta) \\\\ y=r_0\\sin(\\theta) \\end{cases} $$2. 旋轮线的极坐标参数方程旋轮线是一种特殊的曲线，其极坐标参数方程为：$$ \\begin{cases} x=a(\\cos(\\theta)+\\theta\\sin(\\theta)) \\\\y=a(\\sin(\\theta)-\\theta\\cos(\\theta)) \\end{cases} $$3. 阿基米德螺线的极坐标参数方程阿基米德螺线是另一种特殊的曲线，其极坐标参数方程为：$$ \\begin{cases} x=a\\theta\\cos(\\theta) \\\\ y=a\\theta\\sin(\\theta)\\end{cases} $$4. 对数螺线的极坐标参数方程对数螺线是一种以对数函数为基础的曲线，其极坐标参数方程为：$$ \\begin{cases} x=a\\mathrm{e}^{b\\theta}\\cos(\\theta) \\\\y=a\\mathrm{e}^{b\\theta}\\sin(\\theta) \\end{cases} $$四、极坐标参数方程的性质与应用1. 极坐标参数方程表示的曲线形状不同的极坐标参数方程对应于不同的曲线形状，通过调节参数可以改变曲线的形状。

2019高考数学圆锥曲线、极坐标与参数方程平面解析几何●极坐标与参数方程一、直线的基本概念、直角坐标、参数、极坐标方程、性质、几何意义 1. 直线的斜率公式① 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ② 曲线()y f x =在点()000,P x y 处的切线的斜率0k f x =，切线方程：()()/000y f x x x y =--. ③ 设直线方程时，有两种方式：已知y 轴截距b 时，假设直线为：y=kx+b ，但要注意斜率k=tan α不存在的情况已知x 轴截距a 时，假设直线为：x=my+a ，该法尤其适合求解直线与抛物线y 2=2px 的相交相切。

2. 直线的五种方程﹙重点：一般、两点．．．．．、．斜截．．、两点式．．．．﹚ （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距，既可以为“+”也可以为“-”). （3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 注意：解题时，结论要转化成一般式 【好题精选】：经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则该直线的方程为 ( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y －7＝0法一：定点P(1，4)代入，斜率必为负。

【B 】法二：设直线的方程为x a ＋y b ＝1，过点(1，4)，则1a ＋4b ＝1，而截距之和为a ＋b ＝(a ＋b)·(1a ＋4b )＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝6时，等号成立，所以直线方程为x 3＋y6＝1， 3. 直线参数方程的两种常见表达形式① 过定点),(000y x M 、倾斜角为α（0≤α＜180º）的直线l 的参数方程：⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），说明：其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量。

专题05 参数方程与极坐标 训练篇A1． 已知圆的圆心为, 直线 (为参数)与该圆相交于两点, 则的面积为 .解 将直线化为普通方程得, 圆的方程可化为, 则圆心到该直线的距离.又半弦长为, 故.2已知曲线:C x =:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r ，则m 的取值范围为 .解1设3(2cos ,2sin ),[,]22P ππθθθ∈，(6Q ,)n .则AP AQ +=u u u r u u u r(2cos 62m θ+-,2sin θ)n +=0r ,即2cos 620,2sin 0.m n θθ+-=⎧⎨+=⎩则cos m θ=3[2,3].+∈ 解2 由0AP AQ +=u u u r u u u r r 得AP AQ =-u u u r u u u r，表明点,P Q 关于点A 对称，设(6,)Q n ，则(26,)P m n --在半圆上，则2260m -≤-≤，[2,3].m ∈解3 设(),(6,)P y Q n ,由AP AQ +u u u r u u u r 0=r 得，点A 是线段PQ 的中点.故m =3=-[2,2]y ∈-，所以[2,3]m ∈.3. 在极坐标系中，O 为极点，点0(M ρ，00)(0)θρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 分析（1）把03πθ=直接代入4sin ρθ=即可求得0ρ，在直线l 上任取一点(,)ρθ，利用三角形中点边角关系即可求得l 的极坐标方程；（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP ∆中，根据边与角的关系得答案．解 （1）当03πθ=时，04sin3πρ==在直线l 上任取一点(,)ρθ，则有cos()23πρθ-=，故l 的极坐标方程为有cos()23πρθ-=；（2）设(,)P ρθ，则在Rt OAP ∆中，有4cos ρθ=，P Q 在线段OM 上，[4πθ∴∈，]2π，故P 点轨迹的极坐标方程为4cos ρθ=，[4πθ∈，]2π．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数），曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解 直线l 的普通方程为082=+-y x ，因为点P 在曲线C 上，设)22,2(2s sP ，从而点P 到直线l 的距离54)2(2)2(1|8242|2222+-=-++-=s s s d . 当2=s时，554min =d . 因此，当点P 的坐标为)4,4(时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最小值为554. 5. 在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin()0,02)4l πρθρθπ-=厔?． （1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当(0,)θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．分析 （1）圆O 的极坐标方程化为2cos sin ρρθρθ=+，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为sin cos 1ρθρθ-=，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标．解 （1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+， 故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin()4l πρθ-=sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=． （2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为(1,)2π．6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos (sin x y ααααα⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数），坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()26πρθ+=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，证明：||||PA PB g 为定值．分析 （1）由2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=可得曲线C 的直角坐标方程；根据互化公式可得直线l 的直角坐标方程； （2）根据参数t 的几何意义可得．解 （1）由2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=， 得曲线22:4C x y +=． 直线l的极坐标方程展开为1cos sin 22θρθ-=， 故l的直角坐标方程为40y --=．（2）显然P 的坐标为(0,4)-，不妨设过点P 的直线方程为cos (4sin x t t y t αα=⎧⎨=-+⎩为参数），代入22:4C x y +=得28sin 120t t α-+=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t 所以12||||||12PA PB t t ==g 为定值．7． 在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为.（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，l 的()22625x y ++=cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩AB =斜率.解（1）整理圆的方程得2212x y x ++11+0=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=.（2）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014k k =+，整理得253k =，则3k =±.8. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程； （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.解（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. （2）由题意，可设点P 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()dα的最小值，()d α=πsin()2|3α=+-.当且仅当()π2π6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 9.在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为（t 为参数），直线l 2的参数方程为xOy 1C ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin 4ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.解 （Ⅰ）将参数方程转化为一般方程……①……② ①②消可得：，即的轨迹方程为；（Ⅱ）将参数方程转化为一般方程 ……③联立曲线和解得 由解得即.10.在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．⑴求α的取值范围；⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 （1）O e 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O e 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =．l 与O e 交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）()1:2l y k x =-()21:2l y x k=+⨯k 224x y -=P 224x y -=3:0l x y +C 3l 2204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ρ=M综上，α的取值范围是(,)44π3π． （2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=， 且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．11．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.解 （1）设P 的极坐标为),0)(,(>ρθρ点M 的坐标为).0)(,(11>ρθρ由题意知：.cos 4||,||1θρρ===OM OP 由16||.||=OP OM 得2C 的极坐标方程).0(cos 4>=ρθρ 因此2C 的直角坐标方程为).0(4)2(22≠=+-x y x（2）设点B 极坐标为).0)(,(>BB ραρ由题设知,cos 4,2||αρ==B OA 故OAB ∆面积1||sin 4cos |sin()|23B S OA AOB πραα=∠=-2|sin(2)|23πα=--≤+当12πα-=时，S 取得最大值.32+所以OAB ∆面积的最大值为.32+。

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

突破2.2 圆锥曲线的参数方程一、考情分析二、经验分享1．圆的参数如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。

圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。

2．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b+=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。

【名师提醒】：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。

但当02πα≤≤时，相应地也有02πϕ≤≤，在其他象限内类似。

3．双曲线的参数方程（了解）以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),x y a b a b-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππϕπϕϕ∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),y x a b a b -=>>其参数方程为cot ((0,2).csc x b e y a ϕϕϕπϕπϕ=⎧∈≠⎨=⎩为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。

第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换: xyx,y,的作用下,点P x, y 对应到点P x , y ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为.有序数对, 叫做点M 的极坐标,记作M , .一般地,不作特殊说明时,我们认为0, 可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为0, R 。

和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,0 2 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标, 表示;同时,极坐标, 表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是x, y ,极坐标是, 0 ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标x, y 极坐标,互化公式xycossin2tan2xyxy2x 0在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程1 / 10圆心在极点,半径为r 的圆r 0 2圆心为r,0 ,半径为r 的圆2r2 2圆心为r,半径为r 的圆2r sin 0,2(1) R 或R 过极点,倾斜角为的直线(2) 0 或0 过点a,0 ,与极轴垂直的直线cos a2 2过点a, ,与极轴平行的直2 sin a 0线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即, , ,2 , , , , 都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程点M, 可以表示为4 45M , 2 或M , 2 或M , 等多种形式,其中,只有4 4 4 4 4 4 M , 的极坐标满足方程4 4.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数t 的函数xyfgtt①,并且对2 / 10于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M x, y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x, y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x, y 中的一个与参数t 的关系,例如x f t ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g t ,那么xyfgtt就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x, y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2225155()()882b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。

⎩ A B⎩ 极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即⎧x = ⎨y = f (t ) f (t )并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：x = x 0 + t cos y = y 0 + t sin（t 为参数）其中参数 t 是以定点 P （x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M （x ，y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论．○1 ．设 A 、 B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 AB ＝ t B -t A ＝．t + t ○2 ．线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ．22. 中心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：x = x 0 + r c osy = y 0 + r s in（为参数）3. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：x = a c os y = b s in（为参数） （或x = b c os ）y = a s in中 心 在 点 （ x0,y0） 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程⎧x = x 0 + a cos ,⎨y = y + b sin (为参数） .4. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：(t B - t A ) - 4t ⋅ t2A B⎨x = a s ec （为参数） （或x = b tg）y = b tgy = a s ec5. 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x = 2 pt 2 y = 2 pt（t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点 P （x 0，y 0），倾斜角为的直线的参数方程是⎧x = x + t cos ⎩ y = y 0 + t sin（t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O ，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

圆锥曲线方程思维导图圆锥曲线方程思维导图：圆锥曲线||--------------- | ----------------| | |构造二次方程直线与圆锥曲线的位置关系 | | | |----- | ------- | | | |-----| | | | | | |椭圆双曲线对称性方程与参数渐近线、切线构造：圆锥曲线是由两个曲线相加形成，其中一个是圆的极坐标方程，另一个是直线的极坐标方程。

二次方程：当两个曲线相加形成圆锥曲线时，它的二次方程为z = ax² + by² + cxy + dx + ey + f，其中a, b, c, d, e, f都是常数。

直线与圆锥曲线的位置关系：圆锥曲线与直线之间有4种可能的位置关系，分别是：（1）圆锥曲线与直线平行；（2）圆锥曲线与直线共点；（3）圆锥曲线和直线有一个公共点；（4）圆锥曲线和直线有一个公共线。

椭圆：当a≠b时，将圆锥曲线转换成平面投影得到的椭圆，其椭圆方程为E(x,y)=ax²+by²+2hxy+2gx+2fy+c = 0，其中a, b, c,h, g, f都是常数。

双曲线：当a=b时，将圆锥曲线转换成平面投影得到的双曲线，其双曲线方程为C(x,y) = ax²+2hxy+2gx+cy²+2fy+d=0，其中a, c, d, h, g, f都是常数。

对称性：任何圆锥曲线都具有某种特定的对称性，它可以通过轴向移动、放大缩小或旋转来表示。

方程与参数：圆锥曲线的参数可以用来表示它的特性，如夹角、椭圆度、双曲线的弯曲度等。

渐近线、切线：圆锥曲线的渐近线是指其两端点到圆锥曲线的直线，而切线则是指将圆锥曲线切割形成的曲线段。

极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程是解析几何中的重要概念，它们在描述曲线、图形和方程等方面具有独特的优势和应用。

本文将对极坐标与参数方程的相关知识点进行总结，以便读者更好地理解和掌握这两个概念。

首先，我们来介绍极坐标的概念。

极坐标是一种描述平面上点位置的方法，它不同于直角坐标系，而是以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，通过极径r和极角θ来确定点P的位置。

其中，极径r表示点P到极点O的距离，而极角θ表示点P与极轴的夹角。

通过极坐标系，我们可以更方便地描述圆、椭圆、双曲线等曲线，同时也可以简化一些复杂的曲线方程。

其次，参数方程是另一种描述曲线的方法。

参数方程是指用参数方程式表示的曲线方程，其中曲线上的点的坐标由参数表示。

一般而言，参数方程由x=f(t)和y=g(t)两个函数组成，其中t是参数。

通过参数方程，我们可以描述一些直角坐标系下难以表示的曲线，比如螺线、心形线等。

参数方程的引入，使得我们能够更加灵活地描述曲线的形状和特征。

极坐标与参数方程在解析几何中有着广泛的应用。

比如，在极坐标系下，描述圆心在极点O处的圆的方程为r=a，其中a为常数；描述直线的方程为r=acos(θ-α)，其中a和α为常数。

而在参数方程中，我们可以通过调整参数的取值来描述曲线的不同部分，从而更加全面地了解曲线的性质和特点。

除了在解析几何中的应用，极坐标与参数方程还在物理学、工程学等领域有着重要的作用。

比如，在天文学中，描述天体运动的轨道往往需要使用极坐标或参数方程；在工程学中，描述某些曲线形状或运动轨迹也需要借助于极坐标或参数方程。

因此，对极坐标与参数方程的深入理解和掌握，对于相关领域的研究和实践具有重要意义。

综上所述，极坐标与参数方程是解析几何中的重要概念，它们在描述曲线、图形和方程等方面具有独特的优势和应用。

通过本文的总结，相信读者对极坐标与参数方程有了更清晰的认识，也能更好地运用它们进行相关领域的研究和实践。

希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。

2020高考数学最值问题思维导图突破圆锥曲线压轴试题含多种解法压轴试题最值（含范围）问题是解析几何中常见的 问题之一，其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性 求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时 也会利用几何量的有界性确定范围. 最值问题不仅解答题中分量较大，而且客 观题中也时常出现.求最值的思维导图如右 最大最小为最值 单调二次不等式 几何有界也有用 具体问题再审视思路点拨解1 显然两条直线的斜率都存在且不为0，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F .设1:(1)l y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消元y 得2222(24)0k x k x k -++=，所以22224424A B k AB x x p k k+=++=+=+， 同理，244DE k =+，2214()816AB DE k k+=++≥，当且仅当1k =±时取等号.选（A ）. 解2 设直线1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为2+πα，因为22sin p AB =α，22sin ()2pDE =+πα， 例1 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 用参数表示该量求 某 量 最 值 化简、换元转化为可以利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数、几何图形有界等方法求最值所以2244sin sin ()2AB DE +=++παα 2222444sin cos sin cos =+=αααα21616sin 2=≥α， 当且仅当4=πα或34=πα时取等号.选（A ）.注1 过抛物线22y px =的焦点弦长22||sin p AB θ=.注2 也可以设1:1l x ty =+，则214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，消取x 得2440y ty --=，所以2()444A B A B AB x x p t y y t =++=++=+，同理，244DE t=+， 2214()816AB DE t t +=++≥，当且仅当1t =±时取等号.思路点拨当，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，即，得. 当，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，即，得. 故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U .03m <<x 120AMB ∠=otan 60ab≥=o ≥01m <≤3m >y 120AMB ∠=otan 60ab≥=o ≥9m ≥思路点拨要求两个绝对值之和的最小值，就要去掉绝对值，需要分类讨论.怎么确定分类标准？就是令绝对值内部的式子为0.比如，若令220x y +-=，则直线220x y +-=与圆相交，把圆分成两部分.解1 原问题可以转化为如下的非线性规划问题：可行域为单位圆（含内部）的任意一点，直线22y x =-将可行域分成两个部分，不妨将左下方的区域（大弓形区域）记作Ⅰ，将右上方的区域（小弓形区域）记作Ⅰ．因为单位圆221x y +≤及其内部在直线630x y --=下方，所以630x y -->，所以(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--42,22,834,22.x y y x x y y x +-≥-⎧=⎨--<-⎩ 直线22y x =-与单位圆221x y +=交点10E ,（），3455F （，）.设1242,834z x y z x y =+-=--，分别作直线13,24y x y x ==-并平移，则1242,834z x y z x y =+-=--都在点3455F （，）取得最小值3.所以2263x y x y +-+--的最小值是3. 解2(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--|(22)(63)||348|x y x y x y ≥+----=+-，（当220x y +-≤时取等号）.设cos ,sin x r y r θθ==，其中01,02r θπ≤≤≤≤. 则 |348||3cos 4sin 8|x y r r θθ+-=+-|5sin()8|85853r r θϕ=+-≥-≥-=.其中ϕ由34sin ,cos 55ϕϕ==确定，等号当且仅当1,sin+=1r θϕ=（），即3455x ,y ==. 另外，当220x y +->时，2263x y x y +-+--3>. 所以2263x y x y +-+--的最小值是3.思路点拨在平面直角坐标系中画出可行域如图，22x y + 的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方．过原点O 作直线220x y +-=的垂线，垂足为A ，可以看出220x y +-=图中A 点距离原点最近，此时距离为原点O 到直线的距离，xyB A –1–2–3–41234–1–2–3–41234例4 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围为____.是 ．d ==，则()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=．所以，22x y +的取值范围为4[,13].5思路点拨第（2）题的关键是选择适当的参数表示||||PA PQ ⋅，可以用直线AP 的斜率为k 为参数，需要求出Q 的坐标，再分别求出||||PA PQ 、的表达式，计算量较大.也可以设2(,)P t t ，以t 为参数，从向量的角度得到||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ =-⋅u u u r u u u r+PA PB BQ PA PB =-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）=.转化为t 函数，再求最大值. 满分解答（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-.（2）解1设直线AP 的斜率为k ，则 直线AP 的方程为y =kx +12k +14，BQ 的方程为y =13924x k k -++. 联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，， 解得点222234981(,)2244k k k k Q k k +-++++. 因为1||)1)2PA x k =+=+，2||)Q PQ x x =-=，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+.令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716. 解2 用向量法，令2(,)P t t ，所以||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ PA PB =-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r221319()()()()2244t t t t =+-+--4233216t t t =-+++222127(1)(1)216t t =----+2716≤. 当且仅当1t =时等号成立.交上一点，．MABOT思路点拨第（2）题可设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，则23sin 23AB MC OM OC AB θ==+. 223OC AB=+⋅，只要求sin θ的最小值，即只要求OC AB的最小值.(2) 设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，且223sin 2233AB MC OC OM OC AB ABθ===++⋅. 设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2211(42)10k x x +--=，由题意知0∆>，且1121222111,212(21)x x x x k k +==-++，故12212AB x k =-=+联立方程221124x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.注211kOCAB+=2=.令21112,1(0,1)t k tt=+>∈，，则211=2tk-，代入上式整理得OCAB=当且仅当112t=，即2t=时OCAB的最小值23，此时12k=±.思路点拨第（1）题直接计算可得。

极坐标与参数方程的思维导图1. 极坐标的概念•极坐标是一种用来表示平面上点的坐标系统，其中点的位置由半径和角度共同确定。

其中，半径表示点到坐标原点的距离，角度表示点与正半轴的夹角。

•极坐标通常用一个有序对(r，θ)来表示，其中r为半径，θ为角度。

2. 极坐标与直角坐标的转换关系•极坐标到直角坐标的转换：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)–其中，(x, y)为直角坐标系中的坐标，(r, θ)为极坐标系中的坐标。

•直角坐标到极坐标的转换：–r = √(x^2 + y^2)–θ = arctan(y / x)–其中，(x, y)为直角坐标系中的坐标，(r, θ)为极坐标系中的坐标。

3. 参数方程的概念•参数方程是一种用参数表示变量之间关系的方程形式。

在参数方程中，变量的取值范围通常由参数决定。

•参数方程通常用一对方程来表示，其中一个方程表示自变量（参数）与因变量之间的关系，另一个方程确定了参数的取值范围。

4. 极坐标与参数方程的关系•极坐标可以用参数方程来表示，其中半径r可以作为自变量，角度θ可以作为参数。

•极坐标转化为参数方程的形式：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)–可以表示为:•x(t) = r(t) * cos(θ(t))•y(t) = r(t) * sin(θ(t))•其中，t为参数，r(t)和θ(t)为关于t的函数。

•参数方程转化为极坐标的形式：–x(t) = r(t) * cos(θ(t))–y(t) = r(t) * sin(θ(t))–可以表示为:•r = √(x(t)^2 + y(t)^2)•θ = arctan(y(t) / x(t))•其中，r和θ为极坐标，x(t)和y(t)为关于参数t的函数。

5. 极坐标与参数方程的应用•极坐标和参数方程在数学和物理领域中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：–曲线的描述：通过使用极坐标或参数方程，可以更加简洁地描述一些特殊的曲线形状，如圆、椭圆、双曲线等。