函数单调性奇偶性重点、难点、易错点总结

抽象函数的单调性、奇偶性、周期性高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识 一．重难点归纳 函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

(2）三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；(3)与周期有关的结论 ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑥y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 二．例题 例1已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝ f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析 不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法 由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解 因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x xx xf f f +=≥, x ∈［0,1］ 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明 依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解 由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n 21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21) =［f (n 21)］n=a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n +n 21)=f (n21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n三．练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11 B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D f (x )=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.（重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是（ C ）(A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数(C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数3 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 4 函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 5 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________6．设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数 (2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0) (0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )，故f (x )为奇函数答案 C 3 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称 答案 C4 解析 令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1] 5 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0 又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0） 6 证明 (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ) ∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ), 故f (x )是以4a 为周期的周期函数四．易错题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)= f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是（ ） A 、奇函数但非偶函数 B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数 D 、非奇非偶函数 2、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f(x)＋f(－x)＝0,g(x)g(－x)＝1，且x ≠0,g(x)≠1，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=（ ） A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知函数f (x )满足：f (p +q )= f (p ) f (q )，f (1)= 3，则)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9() 10 ()5(2f ff+的值为A.15B.30C.75D.60答案：B4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3,-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为A．2 B．3 C．4 D．5答案：A5、(山东省博兴二中高三第三次月考)若奇函数()()f x x R∈满足()()()()22,22f f x f x f=+=+，则()5f的值是A．0 B．1 C．52D．5答案：D6、(广东省五校2008年高三上期末联考)定义在R上的函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x都有3()()2f x f x=-+，且(1)1,f-=(0)2f=-，则(1)(2)(3)(20f f f f+++鬃?的值为A．2-B．1-C．0 D．1答案：D．解析：本题考查了函数的对称性和周期性．由3()()2f x f x=-+，得(3)()f x f x+=，因此，()f x是周期函数，并且周期是３函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x=-3()2f x--，所以，(1)1f=(1)(2)(3)0f f f++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f+++鬃?＝(1)f7、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知)(xf是偶函数，)(,xfRx若将∈的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，)2008()10()9()8(,1)2(fffff++++-=则等于（）A．－1004 B．1004 C．－1 D．1答案：D8、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数)(xfy=的定义域为R，它的反函数为)(1xfy-=，如果)(1axfy+=-与)(axfy+=互为反函数且aaf=)(（a为非零常数），则)2(af的值为（）A．a-B．0 C．a D．a2答案：B9、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2 007）的值是（）(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2答案：A 10、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)定义在R 上的函数()f x满足()(4)f x f x-=-+，当2x>时，()f x单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x+<--<+且则的值（）A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负答案：A11、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知)(xf是定义在R上的函数，且)2()(+=xfxf恒成立，当)0,2(-∈x时，2)(xxf=，则当[]3,2∈x时，函数)(xf的解析式为（）A．42-x B．42+x C．2)4(+x D．2)4(-x答案：D12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的奇函数)(xf满足)3()3(xfxf-=+，若当x ∈(0，3)时，xxf2)(=，则当x∈(- 6，-3)时，)(xf=( ) A.62+x B.-62+x C.62-x D.-62-x答案：B13、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)设定义在R 上的函数f(x)的反函数为f－1(x)，且对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝3，则f－1(x－1)＋f－1(4－x)等于（）A．0 B．—2 C．2 D．2x—4答案：A14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)设函数f (x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f(2)>１，f (2008)=33-+aa，则a的取值范围是（）A. (－∞, 0)B. (0, 3)C. (0, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞) 答案：B15、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知()f x是以2为周期的偶函数，当[0,1]x∈时，()f x x=，那么在区间[1,3]-内，关于x的方程()1f x kx k=++（其中k是为不等于l的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是A．(1,0)-B．1(,0)2-C．1(,0)3-D．1(,0)4-答案：C16、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)函数()f x的定义域为R，对任意实数x满足(1)(3)f x f x-=-，且(1)f x-＝(3)f x-，当12x≤≤时，()f x＝2x，则()f x的单调减区间是（）A.[2k，2k+1](k Z∈) B.[2k-1，2k](k Z∈)C.[2k，2k+2] (k Z∈) D.[2k-2，2k](k Z∈)答案：A17、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数 ()4+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f > 答案：D18、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是 A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．x x f 2)(=D ．2)(x x f =答案：A。

函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;2、三角函数的周期①π==T x y :tan ,||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析一考查一般函数的奇偶性例1、 设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称二考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性122(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由； 变式4、判断下下列函数的奇偶性121()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩三考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲例4、 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间 例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log 4x-x 2的单调区间.五考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<-变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．六考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;变式10、已知函数()f x 满足：()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ,验证fa ±f －a ≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.◆课后强化1.若函数2()()af x x a x=+∈R ,则下列结论正确的是A ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ,()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ,()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈0,+∞,当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A 13,23B 13,23C 12,23D 12,234.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 255.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间0,2上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则 A.—2 C.—987、设fx 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,fx=2x +2x+bb 为常数,则f-1= A 3 B 1 C-1 D-38、给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间0,1上单调递减的函数序号是A ①②B ②③C ③④D ①④9、若函数fx =3x +3-x 与gx =3x -3-x 的定义域均为R,则A ．fx 与gx 均为偶函数 B. fx 为偶函数,gx 为奇函数 C ．fx 与gx 均为奇函数 D. fx 为奇函数,gx 为偶函数 10、11、设函数fx=xe x +ae -x x ∈R 是偶函数,则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若f a ＝M, 则f －a 等于A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f x 是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f x ＝x 2－2 x, 则在R 上f x 的表达式为A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D. ) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f )1,0≠>a a 是减函数,则a 的取值范围是 A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是 A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)718．若fx=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间1,2上都是减函数,则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．0,1D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数fx 满足fx =fx +2,当x ∈3,5时,fx =2－|x －4|,则A ．f sin 6π<f cos 6πB ．f sin1>f cos1C ．f cos 32π<f sin 32πD ．f cos2>f sin224．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+3=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程)(x f =0在区间0,6内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ()sin f x x =B ()1f x x =-+C ()1()2x x f x a a -=+D 2()ln 2xf x x-=+ 28．若函数fx=121+X , 则该函数在-∞,+∞上是A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值 29．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a ＝A0 B1 C －1 D ±131．若函数fx 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f 2=0,则使得fx <0的x 的取值范围是A -∞,2B 2,+∞C -∞,-2⋃2,+∞D -2,232．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()()f x f x -是奇函数 B ()()f x f x -是奇函数 C ()()f x f x --是偶函数 D ()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设fx 是定义在R 上的奇函数,且y=f x 的图象关于直线21=x 对称,则f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f 5=______________.36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则a = . 37、函数fx =111122+++-++x x x x 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数fx 在R 上为增函数,则y =f |x +1|的一个单调递减区间是_________. 39、若fx 为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f －3=0,则xfx <0的解集为_________.40、如果函数fx 在R 上为奇函数,在－1,0上是增函数,且fx +2=－fx ,试比较f 31,f 32,f 1的大小关系______41、已知函数y =fx =cbx ax ++12 a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图象上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．1判断()f x 的奇偶性；2当1a >时,判断()f x 的单调性,并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,()30f =,则不等式()0f x ≥的解集是 ．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数,则实数a 的值为 ． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围分别是 ． 47、已知对于任意实数x ,函数()f x 满足()()f x f x -=,若方程()0f x =有2009个实数解,则这2009个实数解之和为 ．◆详细解析 例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：12222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数;2()f x 的定义域由240|3|30x x ⎧-≥⎨--≠⎩确定,解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩且∴定义域为[2,0)(0,2]-关于原点对称∴()f x x =-∵()()f x f x x-==- 故()f x 为奇函数 变式3、解：1当0=a 时,2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠，,取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．变式4、解：1由101x x ->+解得1,1x x <->或,则定义域关于原点对称; ∵222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+ ∴()f x 为奇函数 21,01,0()()1,01,0x x x x f x f x x x x x --->--<⎧⎧-===⎨⎨--≤-≥⎩⎩,故()f x 为偶函数;例3、证明： ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0, ∴f0=f0+f0,得f0=0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx, ∴fx 为奇函数. 变式5A 、C变式5B 、证明：令0x y ==,可得(0)0f =；令y x =-,可得()()()f x x xf x xf x -=--即(0)[()()]0f x f x f x =--= 又x R ∈ ∴()()f x f x -- ∴()f x 是偶函数例4、解：'22ln 1(),ln x f x x x +=-其中01x x >≠且若 '()0,f x < 则 1x e >,此时()f x 单调递减,故减区间为1(,1),(1,)e +∞；若 '()0,f x > 则 1x e <,此时()f x 单调递增,故增区间为1(0,)e；变式6、解析()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 例5、解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则fx=12-x ,可分解成两个简单函数.fx=)(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,ux 为增函数,)(x u 为增函数.∴fx=12-x 在1,+∞上为增函数.当x ≤-1时,ux 为减函数,)(x u 为减函数,∴fx=12-x 在-∞,-1上为减函数.变式7、解： 由4x-x 2＞0,得函数的定义域是0,4.令t=4x-x 2,则y=21log t.∵t=4x-x 2=-x-22+4,∴t=4x-x 2的单调减区间是2,4,增区间是0,2.又y=21log t 在0,+∞上是减函数,∴函数y=21log 4x-x 2的单调减区间是0,2,单调增区间是2,4.例6、答案:A. 解析:由2121()(()())0x x f x f x -->等价,于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 变式8、D例6B 、解：∵32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增 ∴2()320f x x ax a '=+-≥在区间(1,)+∞上恒成立 即2(21)3x a x -≥-在区间(1,)+∞上恒成立 ∵210x ->∴2321x a x ≥--在区间(1,)+∞上恒成立 只要满足2max 3()21x a x ≥-- ∵23333334[(21)](2)321422142x x x x -=--++≤-⨯+=--- ∴3a ≥-变式9、2解：∵)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∴ ()0f x '≥在[2)x ∈+∞，上恒成立即32202a x a x x-≥≤即在[2)x ∈+∞，上恒成立,故只要满足3min (2)a x ≤显然33min (2)2216x =⋅= a ∴的取值范围是(16]-∞，． 例7、解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+;变式10、解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ,寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有fn=fn+1+fn-1,同理fn+1=fn+2+fn 联立得fn+2= —fn-1 所以T=6 故()2010f =f0=21变式11、解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ,∴()()()()002246=-==+=f f f f ,故选择B; 1、答案：C 解析对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确;3、答案A 解析由于fx 是偶函数,故fx ＝f|x|∴得f|2x －1|＜f 13,再根据fx 的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜234、答案A 解析若x ≠0,则有)(1)1(x f xx x f +=+,取21-=x ,则有： )21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= ∵)(x f 是偶函数,则)21()21(f f =- 由此得0)21(=f 于是, 0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 5、解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.6、选A7、答案D8、答案：B9、D ．()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．10、11、解析 gx=e x +ae -x 为奇函数,由g0=0,得a =－1;12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D30、A 33.()+∞,2;()1,-∞- 34.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21;⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 36.22 37、答案：C 解析：f －x =－fx ,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令t =|x +1|,则t 在－∞,－1]上递减,又y =fx 在R 上单调递增,∴y =f |x +1|在－∞,－1]上递减.答案：－∞,－1]39、答案：－3,0∪0,3 解析：由题意可知：xfx ＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈－3,0∪0,3 40、答案：f 31＜f 32＜f 1 解析：∵fx 为R 上的奇函数∴f 31=－f －31,f 32=－f －32,f 1=－f －1,又fx 在－1,0上是增函数且－31> －32>－1. ∴f －31>f －32>f －1,∴f 31＜f 32＜f 1.41、解：1∵fx 是奇函数,∴f －x =－fx ,即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴fx =bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ,当且仅当x =a1时等号成立,于是22ba =2,∴a =b 2,由f 1＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴fx =x +x1.2设存在一点x 0,y 0在y =fx 的图象上,并且关于1,0的对称点2－x 0,－y 0也在y =fx 图象上,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =fx 图象上存在两点1+2,22,1－2,－22关于1,0对称.42、解：1由()f x 的定义域为R ,关于原点对称()()1111x xx xa a f x f x a a -----===-++得()f x 为R 上的奇函数 2证明：12x x ∀<∈R ,则由1a >得12x x a a <()()()()()()()12121212122121101111x x x x x x x x a a a a f x f x f x f x a a a a ----=-=<⇒>++++ ∴当1a >时,()f x 在R 上单调递增 43、(][),33,-∞-+∞ 44、[)1,3 45、1 46、00且a b >≤ 47、0。

高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。

根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。

奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。

在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。

2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。

3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。

二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。

如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。

在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。

2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。

3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。

4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。

三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。

通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。

我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。

高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。

因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有) ()(f x f x --=，那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称．(2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称．(3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称．(4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）．A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y =）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数；2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-.（1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =+；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值．4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ．5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（）A ．24y x x =-B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -=B ．3y x =C ．ln y x=D ．y x=例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a<<D ． a c b<<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln 3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）．A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x=--C ．3y x x=--D ．3=-+y x x例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x=B ．()22g x x x=+C ．()3g x x x=-D ．()()x xg x e e-=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ).（4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a +=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为()A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值；(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =++（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数()()22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln 3e e f f f <<-B ．()()()3e ln 3ef f f -<<C ．()()()3e e ln 3f f f <-<D ．()()()3ln 3e ef f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f =则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x -=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i ii x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf x a +≤恒成立，则1a ≥-）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++ ．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x xf x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（）A ．2x y<B ．2x y>C ．x y>D ．x y<3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于()A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lg f x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,1对称B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________．14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ，③()1212xxf x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥；(3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.。

重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

一轮复习知识点一、函数（二）函数性质——单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性1.定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，如果取区间M 中任意两个值12,x x ，改变210x x x =->，则当21()()0y f x f x =->时，就称()y f x =在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x =-<时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。

2.单调性：如果某个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。

3.判断函数单调性的方法（1）定义法121212121.,,2.()()3..()()5.x x x x y f x f x y y f x f x <⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎩在区间上任取且计算将变成因式乘除形式，便于判断符号4判断的正负下结论（2）元素分析法（3）求导（4）图像法（5）复合函数[][]1.()()()2.()()()f x g x f g x f x g x f g x ⎧⎪⎨⎪⎩与单调性相同，单调增与单调性相反，单调减 （6）函数加减：公共定义域内，()()f x g x 与的单调性+=+=-=-=⎧⎨⎩增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数二、奇偶性1.定义：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x gx -=，则这个函数叫做偶函数。

2.奇偶性图像性质汇总 奇偶性共同点 定义式 图像 0x = 单调性 奇函数定义域关于原点对称 ()()f x f x -=- 关于原点对称 (0)0f = 对应区间单调性一致 偶函数 ()()g x g x -=关于y 轴对称 对应 区间单调性相反3.判断函数奇偶性的方法（1）定义法：奇函数：()()f x f x -=- ()()0f x f x -+= ()1()f x f x -=-偶函数：()()g x g x -= ()()0g x g x --=()1()f x f x -=（2）图象法（3）性质法①偶+偶=偶 偶-偶=偶偶*偶=偶 偶/偶=偶②奇+奇=奇 奇-奇=奇奇*奇=偶 奇/奇=偶③奇*偶=奇 奇/偶=奇④()[()]F x f g x = ()()()()()()f x g x x f x g x x f x g x x ⎧⎪⎨⎪⎩为偶，为偶，F()为偶为奇，为奇，F()为奇为偶，为奇，F()为偶三、周期性1.定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内每一个值，都有()()f x T f x +=，那么，()f x 叫做周期函数，T 叫做()f x 的周期。

函数单调性与奇偶性要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间上是增函数；如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.要点诠释：[1]属于定义域A内某个区间上；[2]任意两个自变量且；[3]都有；[4]图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单区间. 函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：[1]单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；[2]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；[3]不能随意合并两个单调区间；[4]有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.3．函数的最大（小）值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有（或）；②存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.要点诠释：[1]最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；[2]对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；[3]使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；[4]函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.5.函数单调性的判断方法(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数。

高考数学函数知识点总结与易错点函数是高考数学中的重点和难点，在历年高考中都占据着重要的地位。

为了帮助同学们更好地掌握函数相关知识，提高解题能力，本文将对高考数学中函数的知识点进行总结，并指出常见的易错点。

一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系，给定一个非空数集 A，对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在另一个非空数集 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。

需要注意的是，函数的定义中强调了“唯一性”，即对于集合 A 中的每一个 x，在集合 B 中都有唯一的 y 与之对应。

二、函数的三要素1、定义域定义域是指函数中自变量 x 的取值范围。

在求函数定义域时，需要考虑以下几种情况：（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于等于零；（3）对数函数的真数大于零；（4）实际问题中要考虑自变量的实际意义。

值域是函数值 y 的取值范围。

求函数值域的方法有很多，常见的有观察法、配方法、换元法、判别式法等。

3、对应法则对应法则是函数的核心，它决定了如何将自变量x 映射到函数值y。

三、函数的性质1、单调性（1）增函数：对于定义域内的任意两个自变量 x1、x2，当 x1 ＜x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)，则函数 f(x)在该区间上是增函数。

（2）减函数：对于定义域内的任意两个自变量 x1、x2，当 x1 ＜x2 时，都有 f(x1) ＞ f(x2)，则函数 f(x)在该区间上是减函数。

判断函数单调性的方法有定义法、导数法等。

2、奇偶性（1）奇函数：对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称。

（2）偶函数：对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则函数f(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称。

判断函数奇偶性的步骤通常为先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数非奇非偶；若对称，再判断 f(x) 与 f(x) 的关系。

函数的奇偶性知识点总结本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性常见函数的奇偶性（1）二次函数()0)(2≠=a ax x f 和()0)(2≠+=a c ax x f 都是偶函数;（2）正比例函数()0)(≠=k kx x f 和反比例函数()0)(≠=k xkx f 都是奇函数. 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.对函数奇偶性定义的理解（1）注意定义中的x 的任意性,如果函数)(x f 的定义域中存在0x ,有)()(00x f x f ≠-,或)()(00x f x f -≠-,则函数)(x f 不是偶函数或奇函数.（2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与)(x f 的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.（4）如果函数)(x f 是偶函数,则0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f ,则还有1)()(=-x f x f ;如果函数)(x f 是奇函数,则0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f ,则还有1)()(-=-x f x f . （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即0)(=x f ,∈x D ,且D 关于原点对称. （6）偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,图象关于y 轴对称的函数是偶函数;奇函数的图象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数)(x f 是偶函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即())(,a f a -也在函数)(x f 的图象上,点())(,a f a 与点())(,a f a -关于y 轴对称;若函数)(x f 是奇函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即())(,a f a --也在函数)(x f 的图象上.点())(,a f a 与点())(,a f a --关于原点对称.★（8）如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.（9）特别说明,若函数)(x f 是偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.偶函数的图象特征若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数.下面分别是函数4x y =和函数1+=x y 的图象,它们都是偶函数.奇函数的图象特征若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数xy 2=和对勾函数x x y 4+=的图象,它们都是奇函数.知识点二 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判 求出)(x f -,然后根据)(x f -与)(x f 的关系,确定函数的奇偶性;①若)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是偶函数;②若)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是奇函数;③若)()(x f x f ±≠-,则函数)(x f 是非奇非偶函数.说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数a ,有)()(a f a f ≠-（或)()(a f a f -≠-）即可.(见后面的相关例题)图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于y 轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇+奇=奇; 偶+偶=偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） 奇⨯奇=偶; 偶⨯偶=偶; 奇⨯偶=奇. 知识点三 奇函数和偶函数的性质（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; （3）单调性的“奇同偶异”性如果函数)(x f 是奇函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果函数)(x f 是偶函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为“奇同偶异”.函数的奇偶性与函数值及最值的关系与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性对于复合函数())(x g f ,若)(x g 为偶函数,则())(x g f 为偶函数;若)(x g 为奇函数,则())(x g f 的奇偶性与)(x f 的奇偶性相同.其中())(x g f 的定义域关于原点对称.题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:（1）1)(23--=x x x x f ; （2）xx x f 1)(-=; （3）22)(+--=x x x f .分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.解:（1）函数1)(23--=x x x x f 的定义域为()()+∞∞-,11, ,不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数; （2）函数xx x f 1)(-=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. ∵)(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=---=- ∴该函数是奇函数;（3）函数22)(+--=x x x f 的定义域为R ,关于原点对称.∵()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=- ∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数xax x f +=2)(（∈a R ）的奇偶性. 分析:该函数的解析式里面含有参数a ,当参数影响到判断)(x f -与)(x f 的关系时,要对参数进行分类讨论.解:函数xax x f +=2)(的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,2)(x x f =∵())()(22x f x x x f ==-=-∴)(x f 为偶函数; 当0≠a 时,())()(22x f x a x x a x x f ≠-=-+-=-,且xa x x f x f --=-≠-2)()(. ∴函数)(x f 是非奇非偶函数.综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,函数)(x f 是非奇非偶函数. 例3. 已知函数1)(2+-+=a x x x f ,∈x R ,a 为实数,判断)(x f 的奇偶性. 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到)(x f -与)(x f 的关系,必要时要对参数进行分类讨论.在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个a ,使)()(a f a f ≠-或)()(a f a f -≠-,则函数)(x f 就不是偶函数或减函数.解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 当0=a 时,11)(22++=+-+=x x a x x x f . ∵())(11)(22x f x x x x x f =++=+-+-=-∴函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,∵1)(2+=a a f ,12)(2++=-a a a f ∴)()(a f a f ≠-,且1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数)(x f 为非奇非偶函数.综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时, 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数.例4. 已知函数xax x f 1)(2+=,其中a 为实数,判断函数)(x f 的奇偶性. 解:函数xax x f 1)(2+=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,xx f 1)(=,函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,∵()xax x x a x f 11)(22-=-+-=- ∴)()(x f x f ≠-,且)()(x f x f -≠- ∴函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数.综上所述,当0=a 时, 函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数. 例5. 判断函数1111)(22+++-++=x x x x x f 的奇偶性.分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究)(x f -与)(x f 的关系时会比较困难,我们可以研究)(x f -与)(x f 的和、差、商,来进行奇偶性的判断.解:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. ∵11111111)()(2222+++-++++-+--+=+-x x x x x x x x x f x f()()()()()()()()11111211211111111122222222222222=++++-+-+-++---+=++++-+--+++-+=x x x xx x x x x x x x x x x x x x∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.解法二:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 当0=x 时,0)(=x f ;当0≠x 时,0)(≠x f∵()()()()1111111111111111)()(22222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x xx xx x x x x x x x x x x x x f x f1221211212222-=-=-+-+---+=xx x x x x x x ∴)()(x f x f -=-综上所述,函数)(x f 为奇函数.注意:1)()(-=-x f x f 的前提是0)(≠x f . 题型二 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有)()(x f x f =-或)(-)(x f x f =-成立,而不能只验证一段解析式. 在判断时,要特别注意x 与x -的范围,然后选择合适的解析式代入.总结 若[]b a x ,∈,则[]a b x --∈-,,把x -代入[]a b --,上的解析式即可得到)(x f -.例6. 判断函数()()⎩⎨⎧>+<-=0,10,1)(x x x x x x x f 的奇偶性.解:由题意可知,函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x∴())(1)(x f x x x f -=+-=-; 当0<x 时,0>-x∴())(1)(x f x x x f -=--=-. 综上所述,函数)(x f 为奇函数.例7. 函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f ,则)(x f 【 】（A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）既不是奇函数,也不是偶函数 （D ）无法判断 解:由题意可知函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x∴())(121121)(22x f x x x f -=--=---=-; 当0<x 时,0>-x ∴())(121121)(22x f x x x f -=+=+-=-. 综上所述,函数)(x f 是奇函数.选择【 A 】.方法二:（图象法）,函数)(x f 的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数)(x f 是奇函数.例8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.解:当0>x 时,0<-x∴()mx x mx x x f -=--=-22)(∵函数)(x f 是奇函数,∴)()(x f x f -=- ∴()x x x x mx x 22222-=+--=- ∴2=m .题型三 抽象函数奇偶性的判断例9. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+. 求证:)(x f 为奇函数.分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断)(x f -与)(x f 的关系即可.考虑到0=+-x x ,所以我们可以先求出)0(f 的值.证明:由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0==b a∵对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+ ∴)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f令x b x a =-=,,则0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.例10. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数21,x x ,都有:()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++.求证:)(x f 为偶函数.证明: 由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0,21==x x x ,则有)0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+①令x x x ==21,0,则有:)()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+②由①②得:)()()(2x f x f x f -+=∴)()(x f x f =- ∴函数)(x f 为偶函数.例11. 已知)(x f 是定义在()2,2-上的函数,且满足对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=.（1）求)0(f 的值;（2）判断)(x f 的奇偶性并证明. （1）解:令0==y x∵对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴()0)0(0)0(=-=f f f ; （2）函数)(x f 为奇函数.理由如下:由题意可知,函数)(x f 的定义域()2,2-关于原点对称. 令x y -=,则有)(0)()0()(x f x f f x f --=--= ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.例12. 已知)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++对一切y x ,都成立,且0)0(≠f ,试判断)(x f 的奇偶性.解:由题意可知函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 令0==y x ,则有)0()0(2)0()0(f f f f =+ ∴)0(2)0(22f f =,()01)0()0(=-f f ∵0)0(≠f ,∴1)0(=f令0=x ,则有)()0(2)()(y f f y f y f =-+ ∴)(2)()(y f y f y f =-+ ∴)()(y f y f =- ∴函数)(x f 为偶函数.注意本题与例10的区别及联系.例13. 已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意b a ,∈R ,都满足)()()(a bf b af ab f +=.（1）求)0(f ,)1(f 的值;（2）判断)(x f 的奇偶性,并证明你的结论.（1）解:令0==b a ,则0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f . 令1==b a ,则)1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=,∴0)1(=f ; （2）函数)(x f 为奇函数.理由如下:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1-==b a ,则有0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f令1,-==b x a ,则有)()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=- ∴函数)(x f 为奇函数.例14. 若函数)(x f 的定义域是R ,且对任意∈y x ,R 都有)()()(y f x f y x f +=+成立.（1）试判断)(x f 的奇偶性;（2）若4)8(=f ,求⎪⎭⎫⎝⎛-21f 的值.解:（1）∵函数)(x f 的定义域是R ∴其定义域关于原点对称.令0==y x ,则有)0(2)0()0()0(f f f f =+= ∴0)0(=f令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数;（2）令y x =,则有)(2)()()2(x f x f x f x f =+=∴2)2()(x f x f =∵4)8(=f ∴2242)8()4(===f f ,1222)4()2(===f f ,212)2()1(==f f ,412)1(21==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∵函数)(x f 为奇函数∴.412121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f例15. 已知函数)(x f ,∈x R 对任意实数b a ,都有)()()(b f a f ab f +=,且当1>x 时,0)(>x f .（1）试判断函数)(x f 的奇偶性;（2）求证:函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.（1）解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1==b a ,则)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f .令1-==b a ,则0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f ,∴0)1(=-f . 令1,-==b x a ,则)()1()()(x f f x f x f =-+=- ∴函数)(x f 为偶函数;（2）任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则112>x x ∵当1>x 时,0)(>x f ,∴012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.题型四 函数奇偶性的应用 （1）求函数值; （2）求函数解析式; （3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值例16.（1）已知)(x f 为奇函数,9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ,则=)2(f _________; （2）设函数()11)(22++=x x x f 的最大值为M ,最小值为m ,则=+m M _________.解:（1）∵)(x f 为奇函数,∴)()(x f x f -=- ∵9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ∴6939)2()2(-=-=--=-g f ∴6)2()2(=--=f f .（2）()12112111)(22222++=+++=++=x x x x x x x x f 设12)(2+=x xx g ,其定义域为R ,关于原点对称. ∵)(12)(2x g x xx g -=+-=-∴)(x g 为奇函数∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g∴2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M .重要结论（1） 若函数)(x f 为奇函数,则)(x f 在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即0)()(min max =+x f x f .（2）若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.例17. 已知8)(35-++=bx ax x x f ,且10)2(=-f ,则=)2(f 【 】 （A ）26- （B ）18- （C ）10- （D ）10 解法一:设bx ax x x g ++=35)(,易知函数)(x g 为奇函数. ∴)()(x g x g -=-,8)()(-=x g x f∵10)2(=-f ,∴108)2(=--g ,18)2(=-g . ∴18)2()2(-=--=g g∴268188)2()2(-=--=-=g f .选择【 A 】. 解法二:8222)2(35-++=b a f ①()()()8222)2(35--+-+-=-b a f ②①+②得:16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f∴261016)2(16)2(-=--=---=f f .例18. 已知1)()(--=x x f x g ,其中)(x g 是偶函数,且1)2(=f ,则=-)2(f 【 】 （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）3 解:∵)(x g 是偶函数,∴)()(x g x g =-. ∵1)()(--=x x f x g ,∴1)()(++=x x g x f∵13)2(12)2()2(=+=++=g g f ,∴2)2()2(-=-=g g ∴312212)2()2(-=+--=+--=-g f .选择【 C 】.例19. 已知)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数,且2)()()(++=x bg x af x F 在()+∞,0上的最大值为5,则)(x F 在()0,∞-上的最小值为_________. 解:设)()()(x bg x af x G +=,则2)()(+=x G x F ∵)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数∴)()()(x bg x af x G +=也是R 上的奇函数∵当∈x ()+∞,0时,52)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G∴根据奇函数图象的对称性,)(x G 在()0,∞-的最小值为3)()(max min -=-=x G x G ∴1232)()(min min -=+-=+=x G x F .注意:本题利用结论: 若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.可以快速得出结果.例20. 已知⎩⎨⎧<>-=0),(0,3)(2x x g x x x f 是奇函数,则()=-)3(g f _________.分析:先求出当0<x 时,函数)(x g 的解析式,然后代入求值. 解:当0<x 时,0>-x∴())(33)(22x f x x x f -=-=--=-∴3)(2+-=x x f∴⎩⎨⎧<+->-=0,30,3)(22x x x x x f ,∴3)(2+-=x x g∴()633)3(2-=+--=-g∴()()3336)6()3(2-=+--=-=-f g f .应用2 求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设x 在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到)(x f -的解析式;（3）利用函数)(x f 的奇偶性写出)(x f -或)(x f ,即可得到函数)(x f 的解析式. 注意:若)(x f 是R 上的奇函数时,不要遗漏0=x 的情形.例21. 已知)(x f 是R 上的奇函数,当0>x 时,132)(2++-=x x x f . （1）求)0(f 的值; （2）求函数)(x f 的解析式.解:（1）∵)(x f 是R 上的奇函数 ∴)0()0()0(f f f -==-,0)0(2=f ∴0)0(=f ;（2）当0<x 时,则0>-x∴())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=- ∴132)(2-+=x x x f .∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f .例22. 若函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数,且11)()(-=+x x g x f ,求函数)(x f 的解析式.解:∵函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数 ∴)()(x f x f =-,)()(x g x g -=-∵11)()(-=+x x g x f ∴11)()(--=-+-x x g x f ,11)()(+-=-x x g x f解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 得:11)(2-=x x f .∴函数)(x f 的解析式为11)(2-=x x f . 例23. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且x ≤0时,1)(+-=x x f . （1）求)0(f ,)2(f ; （2）求函数)(x f 的解析式.解:（1）∵当x ≤0时,1)(+-=x x f ,∴1)0(=f .∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,∴31)2()2()2(=+--=-=f f ;（2）当0>x 时,则0<-x ∴()11)(+=+--=-x x x f .∴函数)(x f 的解析式为⎩⎨⎧>+≤+-=0,10,1)(x x x x x f .例24. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,x x x f 2)(2-=,则函数)(x f 在R 上的解析式为____________.结论 若奇函数在原点处有定义,则0)0(=f .解:∵函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数∴0)0(=f . ∵当0>x 时,x x x f 2)(2-=∴当0<x 时,0>-x ,())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=- ∴x x x f 2)(2--=.∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-0,20,00,222x x x x x x x .例25. 函数1)(2++=x b ax x f 为R 上的奇函数,且5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .（1）求函数)(x f 的解析式;（2）若)(x f ≤532-m 在区间[]4,2上恒成立,求m 的取值范围.解:（1）∵函数1)(2++=x bax x f 为R 上的奇函数∴0)0(==b f ,∴1)(2+=x axx f∵5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴5252121212==+⎪⎭⎫⎝⎛a a,解之得:1=a . ∴函数)(x f 的解析式为1)(2+=x xx f ; （2）∵)(x f ≤532-m 在区间[]4,2上恒成立∴12+x x ≤532-m 恒成立 设1)(2+=x x x g ,只需max )(x g ≤532-m 即可.任取[]4,2,21∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()()()111111111)()(22212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵[]4,2,21∈x x ,且21x x <∴()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴0)()(21>-x g x g ,∴()()21x g x g > ∴函数)(x g 在[]4,2上为减函数 ∴52122)2()(2max =+==g x g ∴52≤532-m ,解之得:m ≥1或m ≤1-. ∴实数m 的取值范围是(][)+∞-∞-,11, .例26. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,32)(x x x f +=,求)(x f . 解:∵函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,∴0)0(=f . ∵当0>x 时,32)(x x x f +=∴当0<x 时,,0>-x ())()(3232x f x x x x x f -=+--=-=-，∴32)(x x x f +-=.∴⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=0,0,00,)(3232x x x x x x x x f .应用3 求参数的值例27. 已知函数()b a x b ax x f ++-+=31)(2为偶函数,其定义域为[]a a 2,1-,则b a +的值为_________.结论 如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴021=+-a a ,解之得:31=a . ∴()b x b x x f ++-+=1131)(2∵)()(x f x f =-∴()()b x b x b x b x ++-+=++--1131113122 ∴()11-=--b b ,解之得:1=b ∴34131=+=+b a . 例28. 若函数()()a x x xx f -+=12)(为奇函数,则=a _________.解:∵函数)(x f 为奇函数 ∴)()(x f x f -=-,()()()()a x x xa x x x -+-=--+--1212∴()()()()a x x a x x -+=--+-1212 展开并整理得:()()x a x a 2112-=- ∴a a 2112-=-,解之得:21=a . 例29. 若函数()()a x x x f -+=1)(为偶函数,则=a _________. 解:∵函数)(x f 为偶函数,∴)()(x f x f =- ∴()()()()a x x a x x -+=--+-11 ∴()()x a x a -=-11 ∴a a -=-11,解之得:1=a .例30. 若函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,则函数)(x f 在区间()3,5--上【 】（A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递减 （D ）单调递增分析: 结论 对于函数c bx ax y ++=2：（1）当0=b 时,它是偶函数; （2）当0==c a 时,它是奇函数.对于本题,因为函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,所以不难得到0=m . 解:∵函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数∴)()(x f x f =-,()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴m m 22=-,解之得:0=m∴3)(2+-=x x f ,其图象开口向下,对称轴为y 轴. ∵函数)(x f 在区间()3,5--单调递增.选择【 D 】.例31. 设a 为常数,函数34)(2+-=x x x f .若()a x f +为偶函数,则=a _________. 分析:将函数)(x f 的图象向左()0>a 或向右()0<a 平移a 个单位长度,即可得到函数()a x f +的图象.偶函数的图象关于y 轴对称.结论 若函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+,则函数)(x f 的图象关于直线a x =对称.解法一:∵()1234)(22--=+-=x x x x f∴()()122--+=+a x a x f∵()a x f +为偶函数∴其图象的对称轴为y 轴,∴02=-a ,解之得:2=a .解法二:()1234)(22--=+-=x x x x f ,其图象的对称轴为直线2=x .∵()a x f +为偶函数∴)()(a x f a x f +=+-,即)()(x a f x a f +=- ∴函数)(x f 的图象关于直线a x =对称. ∴2=a .例32. 已知()231)(bx x a x f +-=是定义在[]b b +2,上的偶函数,则=+b a _______. 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴02=++b b ,解之得:1-=b ∴()231)(x x a x f --=∵)()(x f x f =-,∴()()232311x x a x x a --=--- ∴()11-=--a a ,解之得:1=a . ∴=+b a 0.例33. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.解:当0<x 时,0>-x ,∴x x x f 2)(2--=- ∵函数)(x f 是奇函数 ∴)(2)(2x f x x x f -=--=- ∴mx x x x x f +=+=222)(（0<x ） ∴2=m .例34. 已知函数()()21)(x t x x x f -+=为偶函数.（1）求实数t 的值;（2）是否存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22?若存在,请求出b a ,的值;若不存在,请说明理由. 分析:()()21)(x t x x x f -+=,设()()()t x x x h x x g -+==1,1)(2,因为)(x f 与)(x g 均为偶函数,所以()t x t x x h --+=1)(2也是偶函数,故01=-t ,得到1=t . 解:∵函数()()21)(x t x x x f -+=为偶函数∴()()()()2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-∴()()()()t x x t x x -+=--+-11∴t t -=-11,解之得:1=t . ∴()()222211111)(x x x x x x x f -=-=-+=; （2）∵0>>a b ∴函数211)(x x f -=在区间[]b a ,上为增函数 ∴2min11)()(a a f x f -==,2max 11)()(bb f x f -==∵函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-bb a a 2211221122,解之得:⎩⎨⎧==11b a∵0>>a b∴不存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22.例35. 已知函数211)(xmx x f ++=是R 上的偶函数. （1）求实数m 的值;（2）判断并用定义法证明函数)(x f y =在()0,∞-上的单调性.解:（1）∵函数211)(xmx x f ++=是R 上的偶函数 ∴)()(x f x f =-,221111x mx x mx ++=++- ∴11+=+-mx mx ,m m =-,解之得:0=m ; （2）由（1）知:211)(x x f +=. 函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数,理由如下: 任取()0,,21∞-∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()()()222112122221212222212111111111x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=- ∵()0,,21∞-∈x x ,且21x x <∴()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.例36. 已知函数nmx x x f ++=2)(2是奇函数,且3)1(=f ,其中∈n m ,R .（1）求n m ,的值;（2）判断)(x f 在(]2,-∞-上的单调性,并加以证明. 解:（1）∵3)1(=f ,∴33=+nm ,∴1=+n m . ∵函数)(x f 为奇函数∴)()(x f x f -=-,nmx x n mx x --+=+-+2222∴n n -=,解之得:0=n解方程组⎩⎨⎧==+01n n m 得:⎩⎨⎧==01n m ;（2）由（1）可知:xx x x x f 22)(2+=+=（可见函数)(x f 为对勾函数） 函数)(x f 在(]2,-∞-上为增函数,理由如下: 任取∈21,x x (]2,-∞-,且21x x <,则有()()()()()212121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=- ∵∈21,x x (]2,-∞-,且21x x < ∴02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.应用4 函数的奇偶性与单调性的综合例37. 已知)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数,又是减函数,若()()0112<-+-a f a f ,求实数a 的取值范围. 解:∵()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112∵)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数 ∴()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122a a a a ,解之得:0≤1<a .∴实数a 的取值范围是[)1,0.例38. 定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在[]2,0上单调递减,若()()m f m f <-1,求实数m 的取值范围.结论:若函数)(x f 为偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.解:∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的偶函数∴()()m f m f -=-11,()()m f m f =,[]2,0,1∈-m m . ∵)(x f 在[]2,0上单调递减,()()m f m f <-1 ∴()()m f m f <-1,m m >-1.由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 122212,解之得:1-≤m 21<.∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1.注意:m m >-1的同解不等式为()221m m >-.例39. 定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫⎝⎛f ,且在()+∞,0上单调递减,求不等式0)(>x xf 的解集.分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.解:∵定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫⎝⎛f∴021=⎪⎭⎫⎝⎛-f∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减 ∴函数)(x f 在()0,∞-上单调递增 ∴当210<<x 时,0)(>x f ;当021<<-x 时,0)(<x f ∴不等式0)(>x xf 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 .注意:对于奇函数)(x f 的理解,可结合下面的图象.图中0)0(=f .例40. 已知奇函数)(x f y =,∈x ()1,1-是减函数,解不等式0)31()1(<-+-x f x f . 解:∵0)31()1(<-+-x f x f ∴)31()1(x f x f --<- ∵)(x f y =是奇函数∴()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1311311111x x x x ,解之得:210<<x .∴不等式0)31()1(<-+-x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x . 例41. 已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减,()02=f ,若()01>-x f ,则x 的取值范围是__________.解:由题意可得0)(>x f 的解集为()2,2- ∵()01>-x f∴212<-<-x ,解之得:31<<-x ∴x 的取值范围是()3,1-.例42. 已知函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数,且当x ≥0时,)(x f 单调递增,则关于x 的不等式()()a f x f >-1的解集为【 】（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34 （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 （D ）随a 的值的变化而变化解:∵函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数 ∴021=+-a a ,解之得:31=a ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32∵()()a f x f >-1,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛>-311f x f ,∴()⎪⎭⎫⎝⎛>-311f x f∵当x ≥0时,)(x f 单调递增,1-x ≥0∴311>-x . 由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31132132x x ,解之得:31≤32<x 或x <34≤35.∴不等式()()a f x f >-1的解集为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 .选择【 B 】.例43. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增.若实数a 满足()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f ,则a 的取值范围是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, （B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321,（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23解:∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增∴)(x f 在区间[)+∞,0上单调递减,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121f f . ∵()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f∴()⎪⎭⎫⎝⎛>-211f a f ,∴211<-a ,解之得:2321<<a .∴a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛23,21.选择【 C 】.☆例44. 已知函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且⎩⎨⎧><+=0),(0,2)(2x x f x x x x g 是奇函数.（1）求)(x f 的表达式;（2）若)(x f 在[]b a ,上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1,求值:b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.解:当0>x 时,0<-x∴()x x x g 22-=- ∵)(x g 是奇函数∴()()()x g x x x g -=+--=-22 ∴x x x g 2)(2+-=（0>x ） ∴x x x f 2)(2+-=（0>x ）; （2）证明:由题意可知:0>>a b ∵()112)(22+--=+-=x x x x f ≤1∴a1≤1,∴a ≥1 ∴)(x f 在[]b a ,上单调递减∴()a a f 1=,()bb f 1= ∴b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.例45. 设函数)(x f 对任意∈y x ,R 都有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,0)(<x f ,2)1(-=f . （1）证明:)(x f 为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是减函数;（3）若()()47652>-++x f x f ,求x 的取值范围; （4）求)(x f 在[]3,3-上的最大值与最小值.（1）证明:令0==y x ,则)0(2)0()0()0(f f f f =+=,∴0)0(=f 令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-∵函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称 ∴函数)(x f 为奇函数;（2）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ∵当0>x 时,0)(<x f ,∴()012<-x x f∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-()012<-=x x f .∴()()012<-x f x f ,∴()()21x f x f >. ∴)(x f 在R 上是减函数;（3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f令1-==y x ,则4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f∴())2(7652->-++f x x f ,())2(511->-f x f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴2511-<-x ,解之得:513>x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,513;（4）令1,2-=-=y x ,则624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最大值为6∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最小值为6-.例46. 函数)(x f 对任意∈b a ,R 都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,1)(>x f .（1）判断函数)(x f 是否为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是增函数;（3）解不等式()1232<--m m f .（1）解:令0==b a ,则1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f∴函数)(x f 不是奇函数;（2）任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x∵当0>x 时,1)(>x f ,∴()112>-x x f∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f∴()()12x f x f >∴)(x f 在R 上是增函数;（3）由（1）可知:1)0(=f∵()1232<--m m f∴())0(232f m m f <--∵)(x f 在R 上是增函数∴0232<--m m ,解之得:132<<-m ∴不等式()1232<--m m f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32. 例47. 设)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数,且满足())()(y f x f xy f +=, 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f . （1）求)1(f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛91f ,)9(f 的值; （2）若2)2()(<--x f x f ,求x 的取值范围.解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ;令31==y x ,则有212313191=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ; ∵01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f∴()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f ;（2）∵2)2()(<--x f x f ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)( ∵)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数 ∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29102910,解之得:251<<x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,51. ☆例48. 设)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数,且满足()()()y f x f xy f +=,当1>x 时,()0<x f .（1）求)1(f 的值,并证明)(x f 是偶函数;（2）证明函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;（3）若1)3(-=f ,)8()(-+x f x f ≥2-,求x 的取值范围. 解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ; ∵)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数∴其定义域关于原点对称.令1-==y x ,则有()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ,∴()01=-f . 令1-=y ,则有()())(1)(x f f x f x f =-+=-∴)(x f 是偶函数;（2）证明:任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则112>x x ∵当1>x 时,()0<x f ,∴012<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ∴()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >.∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;（3）解:∵1)3(-=f∴令3==y x ,则有2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴)8()(-+x f x f ≥)9(f∴())8(-x x f ≥)9(f∵函数)(x f 是偶函数∴()()8-x x f ≥)9(f∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减; ∴()()⎩⎨⎧≠-≤-0898x x x x ,解之得:1-≤x ≤74-或74+≤x ≤9,且0≠x ,8≠x . ∴x 的取值范围是[)(][)(]9,88,7474,00,1 +--. 例49. 若函数1)(++-=bx a x x f 为区间[]1,1-上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为_________.解:∵函数)(x f 为区间[]1,1-上的奇函数∴0)0(=f ,∴0=a ∴1)(+-=bx x x f ∵())1(1f f --,∴1111+=+---b b ,解之得:0=b ∴x x f -=)(,在区间[]1,1-上为减函数 ∴()11)(max =-=f x f .例50. 已知函数32)(2-+-=x x x f .（1）求)(x f 在区间[]2,12-a 上的最小值()a g ;（2）求)(a g 的最大值. 解:（1）由题意可知:212<-a ,解之得:23<a . ()2132)(22---=-+-=x x x x f ,其图象的开口向下,对称轴为直线1=x . 当12212<+-a ,即21<a 时,684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴()6842-+-=a a a g ; 当2212+-a ≥1,即21≤23<a 时,()()32min -==f x f ∴3)(-=a g .综上所述,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2321,321,684)(2a a a a a g ; （2）由（1）可知:3)(max -=a g .。

函数的单调性和奇偶性的综合应用教案第一章：函数的单调性1.1 单调性的定义引导学生理解函数单调性的概念，了解函数单调递增和单调递减的定义。

通过示例来说明函数单调性的判断方法。

1.2 单调性的性质引导学生了解单调性的几个重要性质，如单调性的传递性、复合函数的单调性等。

通过示例来演示这些性质的应用。

第二章：函数的奇偶性2.1 奇偶性的定义引导学生理解函数奇偶性的概念，了解奇函数和偶函数的定义。

通过示例来说明函数奇偶性的判断方法。

2.2 奇偶性的性质引导学生了解奇偶性的几个重要性质，如奇偶性的对称性、奇偶性与单调性的关系等。

通过示例来演示这些性质的应用。

第三章：单调性和奇偶性的综合应用3.1 单调性和奇偶性的关系引导学生了解单调性和奇偶性之间的关系，如奇函数的单调性、偶函数的单调性等。

通过示例来说明单调性和奇偶性在解决问题时的综合应用。

3.2 单调性和奇偶性的应用实例给出一些实际问题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决这些问题。

通过示例来说明单调性和奇偶性在实际问题中的应用。

第四章：函数的单调性和奇偶性的判断4.1 单调性和奇偶性的判断方法引导学生了解判断函数单调性和奇偶性的方法，如导数法、图像法等。

通过示例来说明这些方法的运用。

4.2 单调性和奇偶性的判断实例给出一些具体的函数，引导学生运用判断方法来确定这些函数的单调性和奇偶性。

通过示例来说明单调性和奇偶性的判断过程。

第五章：函数的单调性和奇偶性的综合应用练习5.1 单调性和奇偶性的综合应用练习题提供一些练习题，引导学生运用单调性和奇偶性的知识来解决问题。

通过练习来巩固学生对单调性和奇偶性的理解和应用能力。

5.2 练习题解答和解析对练习题进行解答和解析，帮助学生理解和巩固解题思路和方法。

通过解答和解析来提高学生对单调性和奇偶性的应用能力。

第六章：函数的单调性和奇偶性在图像分析中的应用6.1 图像的单调区间引导学生如何通过函数图像来判断函数的单调区间。