2017年秋季新版华东师大版八年级数学上学期12.5、因式分解同步练习1

章节测试题1.【题文】利用因式分解计算:(1)29×20.16+72×20.16-20.16;(2) ;(3)1012+101×198+992.【答案】（1）2 016；（2）；（3）40 000【分析】提取公因式法.平方差公式.完全平方公式.【解答】解： (1)原式=20.16×(29+72-1)=20.16×100=2 016;(2)原式==100×;(3)原式=1012+2×101×99+992=(101+99)2=2002=40000.2.【题文】分解因式：（1）（2）【答案】（1）2（x+2y）（x-2y）；（2）【分析】提公因式后再运用公式法分解即可．【解答】解：（1）原式==2（x+2y）（x-2y）；（2）原式= = ．3.【题文】分解因式：（1）8a3b2+12ab3c；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．【答案】（1）4ab2（2a2+3bc）；（2）3（x+y）（x﹣y）．【分析】（1）直接提取公因式4ab2，进而分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）8a3b2+12ab3c=4ab2（2a2+3bc）；（2）（2x+y）2-（x+2y）2=（2x+y+x+2y）（2x+y-x-2y）=3（x+y）（x-y）．4.【题文】把下列各式因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）4（a+2）（a－2）；（2）（x－2）2（x+2）2．【分析】提取公因式法和公式法相结合.用公式法进行因式分解即可.【解答】解：原式原式5.【题文】分解因式：【答案】ab (1+ a) (1-a)【分析】先提公因式ab,再用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)继续分解. 【解答】解：原式= ab(1- a2)= ab (1+ a) (1-a)6.【题文】因式分解：(1)6xy2－9x2y－y3； (2)(p－4)(p＋1)＋3p.【答案】(1)－y(3x－y)2；(2)(p＋2)(p－2)．【分析】（1）先提公因式-y,再用完全平方公式分解；（2）先把(p－4)(p＋1)根据多项式的乘法法则乘开，并合并同类项，然后用平方差公式分解.【解答】解：(1)原式＝－y(y2－6xy＋9x2)＝－y(3x－y)2；(2)原式＝p2－3p－4＋3p= p2－4＝(p＋2)(p－2)．7.【题文】因式分解：（1）4ax2-9ay2；（2）6xy2-9x2y-y3.【答案】（1）a(2x+3y)(2x-3y); （2）-y(3x-y)2【分析】（1）先提出公因式a，然后利用平方差公式分解即可；（2）先提出公因式－y，然后利用完全平方公式分解即可．【解答】（1）解：原式＝a(4x2－9y2)＝a(2x＋3y)(2x－3y)；（2）解：原式＝－y(9x2－6xy＋y2)＝－y(3x－y)2．8.【题文】因式分解：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.【解答】解：（1）原式==（2）原式==9.【题文】分解因式：2x2＋4x＋2【答案】2(x+1)2【分析】提取公因式法和公式法相结合.【解答】解：原式故答案为：方法总结：因式分解的常用方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法.10.【题文】分解因式：（1）；（2）．【答案】(1) ;(2)【分析】提取公因式法和公式法相结合.提取公因式法和公式法相结合.【解答】解：（1）原式= = ，(2）原式 ==.11.【题文】分解因式：【答案】【分析】先提取公因式x，再运用平方差公式进行因式分解即可. 【解答】解：原式12.【题文】因式分解：（1）（2）【答案】（1）（2）【分析】（1）直接利用平方差公式因式分解即可；（2）提公因式a后再利用完全平方公式因式分解即可.【解答】解：（1）;（2）.13.【题文】分解因式：．【答案】【分析】本题考查了综合运用提公因式法和公式法进行因式分解.先提公因式x，然后连续运用两次平方差公式分解，分解因式时必须分解到每个因式不能再分解为止.【解答】解：原式=== ．14.【题文】因式分解：① 5x3y－20xy3②（x－1）（x－3）－8【答案】①；②【分析】①可以用提公因式法.②可以用十字相乘法.【解答】解：①，=，②=.15.【题文】分解因式：(1)a3－a；(2)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.【答案】（1）a(a－1)(a＋1)；（2）(x＋4y)(x－4y)．【分析】（1）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；（2）首先去括号，进而合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：(1)原式＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)．(2)原式＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)．16.【题文】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）仿照例（1）将前两项和后两项分别分作一组，然后前两项利用平方差公式分解，然后提出公因式(a-b)即可；（2）仿照例（2）将-7拆成9-16，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可；（3）仿照例（2）将-5b2拆成4b2-9b2，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）==；（2）原式====；（3）原式====.方法总结：本题考查了因式分解的综合应用，熟悉因式分解的方法和读懂例题是解决此题的关键．17.【题文】因式分解：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3） .【分析】（1）先把2-m转化为-(m-2)，然后提出公因式(m-2)，最后再利用平方差公式分解即可；（2）先利用平方差公式分解，然后再分别利用完全平方差公式和完全平方和公式分解；（3）先计算多项式乘多项式，合并同类项后再利用十字相乘法分解．【解答】解：（1）原式===；（2）原式==；（3）原式== .18.【题文】分解因式：（1）（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先提取公因式a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）= a2（a2- b2）=；（2）3x2−6xy+3y2=3(x2−2xy+y2)=3(x−y)2.19.【题文】因式分解：（1）4ax2-9ay2 （2）-3m2+6mn-3n2（3）mx2-(m-2)x-2【答案】（1）a(2x+3y)(2x-3y)；（2）-3(m-n)2 ；（3）(mx+2)(x-1).【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行分解即可；（3）利用十字相乘法进行分解即可.【解答】解：（1）原式=a(4x2-9y2) =a(2x+3y)(2x-3y)；（2）原式=-3(m2-2mn+n2) =-3(m-n)2 ；（3）原式=(mx+2)(x-1).20.【题文】因式分解：①②【答案】①;②【分析】（1）先“提公因式”，然后再用“平方差公式”分解即可；（2）直接用“完全平方公式”分解即可；【解答】解：①==.②=.。

12.5因式分解一、填空题1.若m 2+2m +n 2-6n +6=0，则m =，n =.2.分解因式y 4+2y 2+81=.3.多项式x 4-2x 2+ax +b 有因式x 2-x +1，试将这多项式分解因式,则x 4-2x 2+ax +b =,其中a =.b =.4.若(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)-12=0，则x 2+y 2=.5.分解因式a 2(b -c )+b 2(c -a )+c 2(a -b )=.6.如果m =31a (a +1)(a +2),n =31a (a -1)(a +1)，那么m -n =. 7. 分解因式7x n +1-14x n +7x n -1（n 为不小于1的整数）=. 8. 已知a -b ＝1，ab ＝2，则a 2b -2a 2b 2+ab 2的值是9. 观察下列算式，32-12＝852-32＝16 72-52＝24 92-72＝32 ……根据探寻到的规律，请用n 的等式表示第n 个等式10．若x -1是x 2-5x +c 的一个因式，则c =.二、选择题11．下列从左边到右边的变形①15x 2y ＝3x ·5xy ②（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2③a 2-2a +1=(a -1)2④x 2+3x +1=x (x +3+x 1)其中因式分解的个数为（） A ．0个B ．2个C ．3个D ．1个 12．在多项式①x 2+2y 2，②x 2-y 2，③-x 2+y 2，④-x 2-y 2中能用两数和乘以它们的差的公式进行因式分解的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．下列各式中不能分解因式的是（）A ．4x 2+2xy +41y 2 B ．4x 2-2xy +41y 2 C ．4x 2-41y 2 D ．-4x 2-41y 2 14．下列能用两数和的平方公式进行因式分解的是（） A ．m 2-9n 2B ．p 2-2pq +4q 2C ．-x 2-4xy +4y 2D ．9（m +n ）2-6（m +n ）+115．若25x 2+kxy +4y 2可以解为（5x -2y ）2，则k 的值为（）A ．-10B ．10C ．-20D ．20 16．下列多项式中不能用提公因式进行因式分解的是（）A ．-41x 2-xy +y 2B ．x -xyC ．-m 3+mn 2D ．-3x 2+9 17.81-xk =(9+x 2)(3+x )(3-x )，那么k 的值是( )A.k =2B.k =3C.k =4D.k =618.9x 2+mxy +16y 2是一个完全平方式，那么m 的值是（）A.12B.24C.±12.D.±24三、解答题19.把下列各式分解因式(1)8a 2-2b2 (2)4xy 2-4x 2y -y3 (3)4x 2y 2-(x 2+y 2)2 (4)9x 2+16(x +y )2-24x (x +y )(5)（a -b ）3-2(b -a )2+a -b20.已知xy =5,a -b =6，求证xya 2+xyb 2-2abxy 的值.21.若x 2+2(m -3)x +16是一个整式的完全平方，求m 的值.22.求证32002-4×32001+10×32000能被7整除. 23.已知a 2+b 2+a 2b 2+1=4ab ，求a ，b 的值.四、综合探索题24.已知A.B.c 为三角形三边，且满足0ac bc ab c b a 222=---++．试说明该三角形是等边三角形．参考答案：一、1.-3 32.(y2+4y+9)(y2-4y+9)3 .(x2-x+1)(x+2)(x-1)3 -24. 45. (a-b)(b-c)(a-c)6.a(a+1)7. 7x n-1（x-1）28. 2【解析】解这种题型比较简便而常用的方法是先对所给的代数式进行因式分解，使之出现ab，a-b的式子，代入求值．简解如下：∵a-b＝1，ab＝2∴a3b-2a2b2+ab3＝ab（a2-2ab+b2）＝ab（a-b）2＝2×1＝2.9.（2n+1）2-（2n-1）2＝8n【解析】等式的左边是两个连续的奇数的平方差，右边是8×1，8×2，8×3，8×4，……，8×n．10. 4【解析】令x＝1，则x-1＝0，这时x2-5x+c＝0即1-5+c＝0，c＝4.二、11．D12．B13．D14．D15．C 【解析】（5x-2y）2＝25x2-20xy+4y2故k＝-20.16．A17.C18.D三、19.(1)2(2a+b)(2a-b)(2)-y(2x-y)2(3) 4x2y2-（x2+y2）2＝（2xy）2-（x2+y2）2＝（2xy+x2+y2）（2xy-x2-y2）＝-（x2+2xy+y2）（x2-2xy+y2）＝-（x+y）2（x-y）2(4)9x2+16（x+y）2-24x（x+y）=[4（x +y ）]2-2×4（x +y ）·3x +（3x ）2=[4（x +y ）-3x ]2＝（x +4y ）2(5)（a -b ）3-2（b -a ）2+a -b＝（a -b ）3-2（a -b ）2+a -b ＝（a -b ）[（a -b ）2-2（a -b ）+1] ＝（a -b ）［（a -b ）2-2（a -b ）+12］=（a -b ）（a -b -1）220. 18021．解：∵x 2+2（m -3）x +16=x 2+2（m -3）x +42∴ 2（m -3）x ＝±2×4x ∴m ＝7或m ＝-122．证明：32002-4×32001+10×32000 =32×32000-4×3×32000+10×3200=32000（32-12+10）＝7×32000 ∴32002-4×32001+10×32000能被7整除.23.a =1,b =1或a =-1,b =-1.四、24.解：0ac bc ab c b a 222=---++，0)ac bc ab c b a (2222=---++，0ac 2c a bc 2c b ab 2b a 222222=-++-++-+，0)c a ()c b ()b a (222=-+-+-，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，∴a ＝b ＝c ．∴此三角形为等边三角形．。

12.5 因式分解一、填空221. 若 m +2m +n -6 n +6=0， m =， n =.2. 分解因式 y 4+2y 2+81=.3. 多 式 x 4-2 x 2+ax +b 有因式 x 2- x +1， 将 多 式分解因式,x 4-2 x 2 +ax +b =, 此中 a =. b =.4. 若 ( x 2+y 2)( x 2+y 2-1)-12=0 ， x 2+y 2=.5. 分解因式 a 2( b - c )+ b 2( c - a )+ c 2( a - b )=.6. 假如 m = 1 a ( a +1)( a +2), n = 1a ( a -1)( a +1) ，那么 m - n =.3 37. 分解因式 7x n+1-14 x n +7x n-1 （ n 不小于 1 的整数） =. 8. 已知 a - b ＝ 1， ab ＝ 2， a 2b -2 a 2b 2+ab 2 的 是9. 察以下算式，32-1 2＝ 8 52-3 2 ＝16 72-5 2＝ 24 92-7 2 ＝32⋯⋯依据探 到的 律， 用n 的等式表示第 n 个等式10．若x -1 是x 2-5 + 的一个因式， =.x cc二、2222211．以下从左 到右 的 形①15x y ＝ 3x ·5xy ②（ a +b ）（ a - b ）=a - b ③ a -2 a +1=( a -1)21④ x +3x +1=x ( x +3+ ) 此中因式分解的个数 （）xA ．0个B ．2个C ．3 个D ．1 个12．在多 式①x 2+2y 2，② x 2- y 2，③ - x 2+y 2，④ - x 2- y 2 中能用两数和乘以它 的差的公式行因式分解的有（）A ．1 个B ．2个C ．3 个D ．4 个13．以下各式中不可以分解因式的是（）A ． 4x 2+2xy + 1y2B ．4x 2-2 xy + 1y 244 C ． 4x 2- 1y2D ．-4 x 2- 1y 24414．以下能用两数和的平方公式 行因式分解的是（）A ． 2-9n 2B ．p 2-2 +4q 2mpqC ． - x 2-4 xy +4y 2D ．9（ m +n ）2-6 （ m +n ）+115．若 25x 2+kxy +4y 2 可以解为（ 5x -2 y ） 2，则 k 的值为（）A ． -10B ． 10C ． -20D ． 2016．以下多项式中不可以用提公因式进行因式分解的是（）A ． - 1x 2- xy +y 2B ． x - xy4322C ． - m +mnD ． -3 x +9 17.81- xk =(9+ x 2)(3+ x )(3- x ) ，那么 k 的值是 ()A. k =2B.k =3C.k =4D.k =618.9 x 2+mxy +16y 2 是一个完整平方式，那么m 的值是（）C.±12.D.±24三、解答题19. 把以下各式分解因式(1)8 a 2-2 b 2(2)4 xy 2-4 x 2y - y 3(3)4 x 2 y 2-( x 2+y 2) 2(4)9 x 2+16( x +y ) 2-24 x ( x +y ) (5) （a - b ） 3-2( b - a ) 2+a - b20. 已知 xy =5, a - b =6，求证 xya 2+xyb 2-2 abxy 的值 .21. 若 x 2m -3) x +16 是一个整式的完整平方，求m 的值 .+2( 22. 求证 3 20022001 2000能被 7整除. - 4×3 +10×323. 已知a 2+2+ 2 2+1=4，求 a ， b 的值 .b a b ab四、综合探究题24. 已知 为三角形三边，且满足a 2b 2c 2 ab bc ac 0 ．试说明该三角形是等边三角形．参照答案：一、 1.-3 32.( y2+4y+9)( y2-4 y+9)3 .( x2- x+1)( x+2)( x-1)3 -24.45.( a- b)( b- c)( a- c)6.a( a+1)7. 7x n-1（ x-1）28. 2【分析】解种型比便而常用的方法是先所的代数式行因式分解，使之出ab， a- b 的式子，代入求．解以下：∵a- b＝1，ab＝2∴a3b-2 a2b2+ab3＝ab（ a2-2 ab+b2）＝ ab（ a- b）2＝2×1＝2.9. （ 2n+1）2- （ 2n-1 ）2＝8n【分析】等式的左是两个的奇数的平方差，右是8×1，8× 2，8× 3，8× 4，⋯⋯，8×n．10. 4【分析】令x＝1， x-1＝0， x2-5 x+c＝0即1-5+ c＝0， c＝4.二、 11． D12． B13． D14． D15． C【分析】（5x-2y）2＝25x2-20xy+4y2故k＝-20.16． A三、 19.(1)2(2 + )(2a -b )a b(2)- y(2 x- y) 2(3)4 x2y2- （x2+y2）2＝（ 2xy）2- （x2+y2）2＝（ 2xy+x2+y2）（ 2xy- x2- y2）＝- （x2+2xy+y2）（x2-2 xy+y2）＝ - （x+y）2（x- y）2(4)9 x2+16（x+y）2-24 x（x+y）=[4 （x+y） ] 2- 2×4（x+y）·3x+（ 3x）2=[4 （x+y） -3 x] 2＝（x+4y）2 (5)（ a- b）3-2（ b- a）2+a- b＝（ a- b）3-2（ a- b）2+a- b＝（ a- b）[（ a- b）2-2（ a- b）+1]＝（ a- b）［（ a- b）2-2（ a- b）+12］=（ a- b）（ a- b-1）220. 18021．解：∵x2+2（m-3 ）x+16=x2+2（m-3 ）x+42∴ 2 （m-3 ）x＝± 2×4x∴m＝ 7 或m＝ -122．证明：2002200120003- 4×3+10×3220002000200200022000 =3 ×3 - 4×3× 3+10×3=3（3 -12+10）＝ 7×3200220012000∴3 -4×3+10×3能被 7 整除 .23. a=1, b=1 或a=-1, b=-1.四、 24. 解：a2 b 2c2ab bc ac0 ，2(a 2 b 2 c 2ab bc ac)0 ，a 2b 22ab b 2c22bc a 2 c 22ac 0 ，( a b) 2( b c) 2(a c) 20 ，∴a－ b＝0， b－ c＝0， a－ c＝0，∴a＝ b＝ c．∴此三角形为等边三角形．。

章节测试题1.【答题】若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b 的值为______．【答案】﹣1【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．【解答】解：由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，∴k=﹣4，b=3，则k+b=﹣4+3=﹣1．故答案为：﹣12.【答题】多项式x2﹣ax﹣35因式分解为（x﹣5）（x+7），则a=______．【答案】﹣2【分析】根据整式乘法法则进行计算（x﹣5）（x+7）的结果，然后根据多项式相等进行对号入座．【解答】解：∵（x﹣5）（x+7）=x2+2x﹣35，∴﹣a=2，即a=﹣2．故答案为﹣2．3.【答题】多项式x2+8x+k分解因式后的一个因式是x﹣2，则另一个因式是______．【答案】x+10【分析】由于x的多项式x2+8x+k分解因式后的一个因式是x﹣2，所以当x=2时多项式的值为0，由此得到关于k的方程，解方程即可求k的值，再分解因式求出另一个因式．【解答】解：∵x的多项式x2+8x+k分解因式后的一个因式是x﹣2，当x=2时多项式的值为0，即22+8×2+k=0，∴20+k=0，∴k=﹣20．∴x2+8x+k=x2+8x﹣20=（x﹣2）（x+10），即另一个因式是x+10．故应填：x+10．4.【答题】如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m﹣n的值为______．【答案】﹣22【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣10）（x+n）展开，得出m，n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣8x+m=（x﹣10）（x+n）=x2+nx﹣10x﹣10n=x2+（n﹣10）x﹣10n，∴n﹣10=﹣8，m=﹣10n，∴n=2，m=﹣20，∴m﹣n=﹣20﹣2=﹣22；故答案为：﹣22．点评：本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相等．5.【答题】把x2+3x+c分解因式得（x+1）（x+2），则c的值为______．【答案】2【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x+1）（x+2）即利用乘法公式展开即可求解．【解答】解：∵（x+1）（x+2）=x2+2x+x+2=x2+3x+2，∴x2+3x+c=x2+3x+2，∴c=2．故答案为2．6.【题文】当n为整数时，（n+1）2﹣（n﹣1）2的值一定是4的倍数吗？【答案】结果一定为4的倍数【分析】原式利用平方差公式分解因式，变形得到结果，即可做出判断．【解答】解：原式=[（n+1）+（n﹣1）][（n+1）﹣（n﹣1）]=4n，则结果一定为4的倍数．7.【题文】利用因式分解计算：3.68×15.7-31.4+15.7×0.32.【答案】31.4【分析】本题主要考查了用提公因式法简便计算的方法，在进行实数的混合运算时，如果几个积中含有相同的因数，那么可以先提取这个相同的因数后，再进行计算，这样可以使得运算的过程更加简便.【解答】3.68×15.7-31.4+15.7×0.32=3.68×15.7+15.7×0.32-31.4=15.7(3.68+0.32)-31.4=15.7×4-31.4=62.8-31.4=31.4.8.【题文】已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.【答案】或或【分析】原多项式可能是三次二项式，也可能是三次三项式，所以需要分三种情况讨论.【解答】当m=-4x3时，2x3-x2+m=2x3-x2-4x3=-2x3-x2=-x2(2x+1)；当m=2x2时，2x3-x2+m=2x3-x2+2x2=2x3+x2=x2(2x+1)；当m=-x时，2x3-x2+m=2x3-x2-x=2x3-x2-x=x(2x2-x-1)=x(2x+1)(x-1).所以m=-4x3或2x2或-x.9.【题文】分解因式:(1)3a(x-y) -4b(y-x) (2) a-ab-a+b.【答案】(1) ；(2) .【分析】（1）把(x-y)看成是一个整体，用提公因式法分解因式；（2）先分组，再提公因式，最后用平方差公式分解因式.【解答】(1)3a(x-y) -4b(y-x) =(x-y) [3a(x-y)-4b]=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2).(2) a-ab-a+b=(a-b)(a-1)=(a+b)(a-b)(a-1).10.【题文】先化简.再求值:30x²(y+4)-15x(y+4),其中x=2，y=-2.【答案】180【分析】本题考查了整式的化简求值，用提公因式法分解因式，将原式化为5x(y+4)(2x-1)，然后代入求值即可.【解答】原式=15x(y+4)(2x-1)当x=2, y=-2时原式=15×2×(-2+4)(2×2-1)=18011.【题文】已知△ABC的三边长a，b，c，满足a²-bc-ab+ac=0，求证：△ABC为等腰三角形.【答案】证明见解析.【分析】本题考查了分组分解法分解因式，先将所给等式的左边分组,然后因式分解,从而得到a=b,问题即可解决.【解答】证明：∵ a2-bc-ab+ac=0∴ (a-b)(a+c)=0∵ a,b为△ABC三边∴ a+c＞0，则a-b=0,即a=b∴△ABC为等腰三角形12.【题文】试说明817-279-913必能被45整除.【答案】证明见解析.【分析】首先将原式利用幂的乘方变形(34)7-(33)9-(32)13；展开后利用因式分解将原式进一步变形326（32-3-1）；接下来不难得到原式等于=45×324，即可得到结论．【解答】817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326（32-3-1）=326×5=324×45∴817-279-913能被45整除。

章节测试题1.【答题】下列从左到右的变形哪个是分解因式（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】根据因式分解的定义，可知因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式，可知A是因式分解.选A.2.【答题】把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果（）A. 8（7a－8b）（a－b）B. 2（7a－8b）2C. 8（7a－8b）（b－a）D. －2（7a－8b）【答案】C【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).选C.3.【答题】把多项式－4a3+4a2-16a分解因式（）A. -a(4a2-4a+16)B. a(-4a2+4a－16)C. -4(a3-a2+4a)D. -4a(a2-a+4)【答案】D【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】把多项式-4a3+4a2-16a运用提取公因式法因式分解，可得-4a3+4a2-16a=-4a （a2-a+4）．选D.4.【答题】把多项式－x2＋x提取公因式－x后，余下的部分是（）A. xB. x－1C. x＋1D. x2【答案】B【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】根据因式分解的提公因式，提取公因式-x，可得－x2＋x=-x（x-1），所以剩余部分为x-1.选B.5.【答题】把因式分解时，应提的公因式是（）．A.B.C.D.【答案】D【分析】根据提公因式法解答即可.【解答】由题意得应该提取的公因式是.选D.6.【答题】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】选项A. .不是因式分解.选项B. （x+y）(x+y)=x2-y2.不是因式分解.选项C. x2－xy＋y2＝(x－y)2 ,等式两边不成立，不是因式分解. 选项D. 2x-2y=2(x-y),是因式分解.选D.7.【答题】下列从左到右的变形是因式分解的是（）A. （﹣a+b）2=a2﹣2ab+b2B. m2﹣4m+3=（m﹣2）2﹣1C. ﹣a2+9b2=﹣（a+3b）（a﹣3b）D. （x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy【答案】C【分析】根据因式分解的意义解答即可.【解答】解： A.是整式的乘法，故A错误；B.没把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故B错误；C.把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故C正确；D.没把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故D错误；选C.8.【题文】因式分解：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）提取公因式3x即可；（2）先提公因式xy，再用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=3x（x﹣3y）；（2）原式=xy（4x2-9y2）= xy（2x+3y）（2x﹣3y）．9.【题文】（1）计算：（6x2﹣8xy）÷2x；（2）分解因式：a3﹣6a2+9a．【答案】(1) 3x﹣4y (2) a（a﹣3）2【分析】（1）利用多项式除以单项式的运算法则计算即可；（2）提取公因式a 后，再利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解：（1）原式=2x（3x﹣4y）÷2x=3x﹣4y（2）原式=a（a2﹣6a+9）=a（a﹣3）210.【题文】因式分解：x3+x2y﹣xy2﹣y3．【答案】（x+y）2（x﹣y）【分析】把第一，二项分为一组，第三，四项分为一组，分别提取每组的公因式后，再一次的提公因式后,用平方差公式分解因式,相同的因式要写成幂的形式.【解答】解：x3+x2y﹣xy2﹣y3=(x3+x2y)﹣(xy2+y3)=x2(x+y)﹣y2(x+y)=(x+y)2(x﹣y)．11.【题文】已知，求代数式的值【答案】3【分析】将所求式子提取公因式ab后，再利用完全平方公式分解因式，把a+b及ab的值代入计算，即可求出值．【解答】解：原式 = =当时，原式==3．方法总结：本题考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．12.【题文】因式分解：3ab2+6ab+3a．【答案】3a（b+1）2．【分析】因为每一项中都含有因式3a，所以要先提公因式3a，再用完全平方公式分解因式.【解答】解：3ab2+6ab+3a=3a(b2+2b+1)=3a(b+1)2．13.【题文】分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先用平方差公式，再用完全平方公式分解即可；（2）先用整式乘法计算，再用十字相乘法分解即可．【解答】解：（1）原式==；（2）原式==．14.【题文】因式分解：【答案】【分析】利用分组分解法进行分解即可.【解答】解：原式== = .15.【题文】因式分解：【答案】【分析】先利用十字相乘法进行因式分解，然后再利用平方差公式进行分解即可. 【解答】解：原式==.16.【题文】分解因式：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）．（2）（a2+1）2﹣4a2．【答案】（1）（x﹣y）（x+y）；（2）（a﹣1）2（a+1）2【分析】（1）提取公因式(x-y);(2)运用平方差公式分解因式.【解答】解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=x（x﹣y）+y（x﹣y）=（x﹣y）（x+y）；（2）（a2+1）2﹣4a2．=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）=（a﹣1）2（a+1）2．17.【题文】因式分解：（）．（）．（）．【答案】(1) ;(2) ;(3)【分析】按照因式分解法方法进行因式分解即可.【解答】解：（）,．（）,,．（）,,．18.【题文】分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）3m(x-2y)；（2）y(y+3)2【分析】（1）直接利用提公因式法进行分解即可；（2）先提公因式y，然后再利用完全平方公式进行分解即可.【解答】解：（1）原式==3m（x-2y）；（2）原式=y(y2+6y+9)=y(y+3)2.19.【题文】因式分解（）．（）．（）．（）．【答案】（）．（）．（）．（）【分析】（1）提出公因式m，然后利用平方差公式分解即可；（2）提出公因式3，然后利用完全平方公式分解即可；（3）利用十字相乘法分解即可；（4）把(x2－2x)看成整体，利用完全平方公式分解，然后再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）mx2－my2＝m(x+－y)(x－y)；（2）3m2－24m+48＝3(m2－8m+16)＝3(m－4)2；（3）x2－4x－21＝(x－7)(x+3)；（4）(x2－2x)2+2(x2－2x)+1＝( x2－2x +1)2＝[(x－1)2]2＝(x－1)4．20.【题文】（1）分解因式：(p+4)(p-1)-3p；（2）化简：【答案】（1）原式=p+2)(p-2)；（2）原式=a+6.【分析】（1）先计算多项式乘多项式，将原式转化为多项式的形式，然后利用平方差公式进行分解即可；（2）先利用完全平方公式计算乘方，然后计算单项式乘多项式和多项式除单项式，最后合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝p2＋3p－4－3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2)；（2）原式＝a2＋4a＋4－a2－2a－a＋2＝a＋6．。

章节测试题1.【题文】已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.【答案】或或【分析】原多项式可能是三次二项式，也可能是三次三项式，所以需要分三种情况讨论. 【解答】解：当m=-4x3时，2x3-x2+m=2x3-x2-4x3=-2x3-x2=-x2(2x+1)；当m=2x2时，2x3-x2+m=2x3-x2+2x2=2x3+x2=x2(2x+1)；当m=-x时，2x3-x2+m=2x3-x2-x=2x3-x2-x=x(2x2-x-1)=x(2x+1)(x-1).所以m=-4x3或2x2或-x.2.【答题】分解因式：16m2﹣4=______．【答案】4（2m+1）（2m﹣1）【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式故答案为：3.【答题】分解因式4ab2﹣9a3=______．【答案】a（2b+3a）（2b﹣3a）【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式故答案为：4.【答题】因式分解：a3﹣ab2=______．【答案】a（a+b）（a﹣b）【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式故答案为：5.【答题】因式分解：y3﹣16y=______．【答案】y（y+4）（y﹣4）【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式故答案为：6.【答题】分解因式：______。

【答案】x(x+2)(x-6)【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】x3−4x2−12x=x(x2−4x−12)=x(x+2)(x−6).故答案为：x(x+2)(x−6).7.【答题】因式分解：9x2﹣4=______．【答案】（3x﹣2）（3x+2）【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：9x2﹣4=（3x）2-22=（3x﹣2）（3x+2）.故答案为：（3x﹣2）（3x+2）.8.【答题】因式分解： ______ ．【答案】4a(a+2)(a-2)【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式，所以4a3﹣16a=4a（a2﹣4）=4a（a+2）（a﹣2）．故答案为4a（a+2）（a﹣2）．9.【答题】因式分解：mx2－4m＝______．【答案】m（m+2）（m-2）【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果各项含有公因式要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【解答】解：mx2－4m＝m(x2－4)＝m(x－2)(x＋2)．故答案为：m(x－2)(x＋2)．10.【答题】把多项式3x2y﹣27y分解因式的结果是______．【答案】3y（x+3）（x﹣3）【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】原式=3y（x2﹣9）=3y（x+3）（x﹣3）.11.【答题】因式分解：x3-xy2=______.【答案】x(x+y)(x-y)【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式故答案为：12.【答题】因式分解：a3－a=______.【答案】a(a+1)(a-1)【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式＝a(a2－1)＝a(a＋1)(a－1)．故答案为a(a＋1)(a－1)．13.【答题】因式分解:4x-x3=______.【答案】-x(x+2)(x-2)【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式故答案为：14.【答题】若|m﹣1|+=0，将mx2﹣ny2因式分解得______．【答案】（x+3y）（x﹣3y）【分析】先求出m、n的值，再因式分解即可.【解答】解：∵|m﹣1|+=0，∴m=1，n=9，则mx2﹣ny2=x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．15.【答题】计算：2016×512－2016×492的结果是______.【答案】403200【分析】本题考查了利用因式分解化简求值，先提公因式2016，再把512－492用平方差公式分解因式，然后把三个数相乘计算出结果.【解答】2016×512－2016×492=2016×(512－492)=2016×(51+49) ×(51-49)=2016×100×2=403200.16.【答题】计算：99+99的值是 ______．【答案】9900【分析】本题考查了利用因式分解化简求值，先分解因式，然后计算出结果. 【解答】992+99=99(99+1)=9900.故答案为9900.17.【答题】把代数式分解因式，结果正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=3x（x2﹣4x+4）=3x（x﹣2）2选D.18.【答题】因式分解x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为（）A. （x+3）（x﹣4）B. （x+4）（x﹣3）C. （x+6）（x﹣2）D. （x+2）（x﹣6）【答案】D【分析】先求出a、b的值，再根据十字相乘法分解因式.【解答】解：甲看错了a的值：∴乙看错了b的值：∴∴分解因式正确的结果：选D.19.【答题】分解因式3x3﹣12x，结果正确的是（）A. 3x（x﹣2）2B. 3x（x+2）2C. 3x（x2﹣4）D. 3x（x﹣2）（x+2）【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：选D.20.【答题】下列多项式在有理数范围内，能用完全平方公式分解因式的是（）A. m2﹣2m﹣1B. m2﹣2m+1C. m2+n2D. m2﹣mn+n2【答案】B【分析】根据完全平方公式分解因式即可.【解答】符合形式的多项式能够运用完全平方公式分解因式，符合条件的只有选项B，选B.。

《提公因式法》典型例题例题1 找出下列式子中的公因式：（1)bc a b a a 222330,8,4-;（2）)1)(1(8,)1(42-++y y x y x ；例题2．分解因式：m m m 126323+--例题3．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.例题4．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x .例题5．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.参考答案例题1 分析 多项式中各项都含有的因式是公因式，公因式中的系数是各项系数的最小公倍数,各项中共同含有的字母的公因式是各项中这个字母次数最低的幂．解答 (1）公因式是22a ．(2）公因式是)1(4+y x ．说明 字母的指数中含有字母时，要判断哪个指数是最小的．例题2 解答 m m m 126323+--).42(3)1263(223-+-=-+-=m m m m m m说明 观察到第一项的系数是负数，我们先把“－”号提出来,便于继续分解因式。

例题3 分析 观察题目结构特征：第一项系数是负数,且有因式)(y x -，第二、三项有因式)(x y -，这就启发我们只要把)(x y -前面添上负号，就变成)(y x --,这样三项中均有公因式了。

解答 323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--[]).1()(18)333()(6)(43)()(6)(24)(18)(6222323+--=-+---=------=-+-+--=y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x说明 对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.例题 4 分析 方程左边的第一项有因式)12(6)612(+=+x x ，第二项有因式)12(6+x . 所以我们应先提取公因式，再化简求解.解答 原方程依次变形为:[].21.012,0)5()12(6,0)2313()1823()12(6,0)2313)(12(6)1823)(12(6-=∴=+=-⋅+=-+-+=-++-+x x x x x x x x x x例题5 分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于)2(n m -与n m 34+的因式，再代入求解。

12.5因式分解练习1．若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（）A．392B．402C．412D．4222．把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）3．分解因式：2x2﹣2＝（）A．2（x2﹣1）B．2（x2+1）C．2（x﹣1）2D．2（x+1）（x﹣1）4．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）25．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝﹣2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣36．n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数7．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）28．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣159．分解因式：16﹣x2＝（）A．（4﹣x）（4+x）B．（x﹣4）（x+4）C．（8+x）（8﹣x）D．（4﹣x）2 10．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0②a@（b+c）＝a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③11．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌12．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+aC．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+13．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c＝（）A．﹣12 B．﹣32 C．38 D．7214．要使二次三项式x2﹣5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个15．分解因式：x2y﹣xy2＝．16．分解因式：x2﹣xy﹣2y2﹣x﹣y＝．17．分解因式（ax+by）2+（bx﹣ay）2＝．18．在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣4＝．19．已知非零实数a，b满足a+b＝3，+＝，求代数式a2b+ab2的值．20．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．21．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．22．已知ab＝﹣3，a+b＝2．求代数式a3b+ab3的值．23．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．24．给出三个多项式X＝2a2+3ab+b2，Y＝3a2+3ab，Z＝a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．25．发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．。