2019届一轮复习配套讲义：第6篇 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第六章 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[基础训练组]1．设A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解析：A [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞1－x －y ，x ＋－x －y ＞y ，y ＋－x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞12，y ＜12，x ＜12.]2．(导学号14577524)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：D [如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.]3．(导学号14577525)(2018·海口市模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥04x －y －4≤0，则z ＝3x －y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B.[]0，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：A [画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥04x －y －4≤0的可行域，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0x ＋y －4＝0解得A (1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝04x －y －4＝0解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125.把z ＝3x －y 变形为y ＝3x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值；经过点B 时z 取得最大值．所以z min ＝3×1－3＝0，z max ＝3×85－125＝125.即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.]4．(导学号14577526)(理科)(2018·日照市一模)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0x ≥0，，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C ．2D ．4解析：D [作出不等式组所对应的平面区域如图(阴影部分)：设m ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋m ，平移直线y ＝－2x ， 由图可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时， 直线y ＝－2x ＋m 的截距最大，此时m 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，代入目标函数m ＝2x ＋y 得z ＝2×1＋2＝4. 即目标函数z ＝(2)2x ＋y的最大值为z ＝(2)4＝4.故选D.]4．(导学号14577527)(文科)(2018·太原市三模)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y 2x －y ≤1，则23x ＋2y的最大值是( )A ．64B ．32C ．2 2D ．1解析：B [设z ＝3x ＋2y ，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)．平移直线y ＝－32x ＋z 2由图象可知当直线y ＝－32x ＋z 2经过点B 时，直线y ＝－32＋z2的截距最大，此时z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即B (1,1)，代入z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×1＝5. 则23x ＋2y的最大值是25＝32，故选B.]5．(导学号14577528)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800 元B ．2 400 元C ．2 800 元D ．3 100 元解析：C [设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每天利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y.作出可行域，如图阴影部分所示．作直线300x ＋400y ＝0，向右上平移，过点A 时，z ＝300x ＋400y 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，∴A (4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800.]6．(导学号14577529)(2018·怀化市二模)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0x －3y ≤0x ＋2y －5≤0，则点(x ，y )所在的平面区域的面积为 ________ .解析：x 、y 满足的可行域如图三角形ABO ，则A (1,2)，B (3,1)，C (5,0)，所求三角形的面积为S △AOC －S △OBC ＝12×5×2－12×5×1＝52.答案：527．(导学号14577530)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0，表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是 ________ .解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.答案：28．(导学号14577531)(2018·天门市5月模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为________ .解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0x ≥1作出可行域如图．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y －3＝0，得C (1,2)．由题意可知，使目标函数取得最大值的最优解为B (3,0)，取得最小值的最优解为C (1,2)，则⎩⎪⎨⎪⎧6＝3k －00＝k －2，解得k ＝2.答案：29．(导学号14577532)已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.求函数z＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．解：作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z －1最大，即z 最大，∴z max ＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.10．(导学号14577533)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解：(1)法一：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，PA →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 法二：∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝2 2. (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.[能力提升组]11．(导学号14577544)(2018·许昌市监测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是( ) A ．－5 B ．－12C.12D ．5解析：B [作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝y －1x －1的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (1,1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为43－113－1＝－12，故选B.]12．(导学号14577545)(2017·湖北黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：B [对于集合B ，令m ＝x ＋y ，n ＝x －y ， 则x ＝m ＋n2，y ＝m －n2，由于(x ，y )∈A ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＋m －n2≤1，m ＋n2≥0，m －n 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，m ＋n ≥0，m －n ≥0，因此平面区域B 的面积即为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，m ＋n ≥0m －n ≥0所以对应的平面区域的面积，画出图形可知该平面区域面积为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＝1，故选B.]13．(导学号14577546)(2018·烟台市一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤4y ≥k，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝ ______ .解析：作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小，目标函数2x ＋y ＝－6.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－6y ＝x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2，即A (－2，－2)．∵点A 也在直线y ＝k 上，∴k ＝－2.答案：－214．(导学号14577547)(2018·天津河北区三模)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟．(1)用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域； (2)该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，最大收益是多少？解：(1)设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，则x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300500x ＋200y ≤90 000x ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3005x ＋2y ≤900x ≥0y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域：(2)设公司的收益为z 元，则目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y . ∴y ＝－32x ＋z2 000.由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2 000经过可行域上的点A 时，截距z2 000最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3005x ＋2y ＝900得A (100,200)，∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000.答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元．。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.高频考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域例1、不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．【举一反三】(1)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A.－3B.1C.43D.3解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)π24(2)B【方法规律】二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【变式探究】 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解析 不等式组表示的平面区域如图所示.答案 A高频考点二 求目标函数的最值问题例2、(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________.(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故y x的最大值为3.答案 (1)－10 (2)3【举一反三】若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 B解析 画出可行域，如图阴影部分所示．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.【变式探究】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为|OA |2(取不到)，最大值为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)，∴|OA |2＝(02＋12)2＝1，|OB |2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是(1,5]． 高频考点三 求线性规划的参数例3、(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A.－5B.3C.－5或3D.5或－3(2)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为________.解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋z a .由图可知当－1≤－1a≤1时，z 可取得最小值，此时a ≥1或a ≤－1.又直线y ＝－1a x ＋z a 过A 点时，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a＝－5，当a ＝3时，经检验知满足题意；当a ＝－5时，目标函数z ＝x ＋ay 过点A 时取得最大值，不满足题意，故选B.答案 (1)B (2)4【感悟提升】(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．【变式探究】(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(2) x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 (1)B (2)D解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为z max＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.(2)如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.高频考点四线性规划的实际应用例4、某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.答案216 000【感悟提升】解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．【变式探究】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨) 3 2 12B(吨) 1 2 8A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元答案 D可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 高频考点五 非线性目标函数的最值例5、已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析 不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2,3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 【方法技巧】与二元一次不等式 (组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(2)x －a2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2表示点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C＝0的距离；(4)y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；(5)y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率. 【变式探究】设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，由于y －1x ＋1可以看作直线的斜率形式，于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点A (－1，1)连线的斜率最大、最小问题．如图，当直线过点B (1,0)时，斜率最小，此时ω＝0－11－－＝－12；当直线与x －y ＝0平行时，斜率最大，此时ω＝1，但它与阴影区域无交点，取不到． 故ω＝y －1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.故选B.1. （2018年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 (1). -2 (2). 82. （2018年天津卷）已知，且，则的最小值为_____________. 【答案】【解析】由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.3. （2018年北京卷）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．【答案】3【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.4. （2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】95. （2018年全国I卷理数）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.6. （2018年全国Ⅱ卷理数）若满足约束条件 则的最大值为__________．【答案】9【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.1.[2017·全国卷Ⅲ]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A.[－3,0] B ．[－3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 答案 B解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．2.[2017·全国卷Ⅱ]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A.－15 B ．－9 C ．1 D ．9 答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A.3.[2017·北京高考]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A.1 B ．3 C ．5 D ．9 答案 D解析 作出可行域如图阴影部分所示．4.[2017·浙江高考]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A.[0,6] B ．[0,4] C.[6，＋∞) D ．[4，＋∞) 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．5.[2017·天津高考]电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点．图1图2解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．1.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．．4 C ．2 D ．6 【答案】C2.【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.3.【2016年高考四川理数】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p是q 的( )（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.xy OP4.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线z x y =+经过点A 时，z 取得最大值.由22020x y x y +-=⎧⎨-=⎩ 得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，即1(1,)2A ，则max13122z =+=．5.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【答案】216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………① 目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900z y x =-+经过点M 时,z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.6.【2016高考江苏卷】 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ▲ .【答案】4[,13]51.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2.2．【2015高考广东，理6】若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（ ）A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 【答案】C3.【2015高考天津，理2】设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40 【答案】C【解析】不等式2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示，当6z x y=+所表示直线经过点(0,3)B时，z有最大值184.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．5.【2015高考福建，理5】若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于 ( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 【答案】AxyBOA6.【2015高考山东，理6】已知,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B【解析】不等式组2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，7.【2015高考新课标1，理15】若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.8.【2015高考浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ． 【答案】3.【解析】122≤+y x 表示圆122=+y x 及其内部，易得直线y x 36--与圆相离，故y x y x 36|36|--=--，当022≥-+y x 时，2263=24x y x y x y +-+---+，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数42+-=y x z ，则可知当53=x ，54=y 时，3min =z ，当022<-+y x 时，2263=834x y x y x y +-+----，可行域为大的弓形内部，目标函数y x z 438--=，同理可知当53=x ，54=y 时，3m in =z ，综上所述，|36||22|y x y x --+-+.9．【2015高考新课标2，理14】若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为____________．【答案】32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32．【考点定位】线性规划．10.【2015高考湖南，理4】若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.2 【答案】A.11．（2014·安徽卷）x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 【答案】D 【解析】方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z ＝y －ax 可变为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，则由题意知l 0∥AB 或l 0∥AC ，故a ＝－1或a ＝2.12．（2014·北京卷）若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12【答案】D 【解析】可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.13．（2014·福建卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得z min ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.14．（2014·广东卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m－n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．15．（2014·湖南卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.【答案】－2 【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.16．（2014·全国卷）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．【答案】517．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 3【答案】B【解析】不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p 1，p 2为真，命题p 3，p 4为假．18．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 【答案】B19．（2014·山东卷）已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 2 【答案】B【解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20，构造函数m (a )＝5a 2－85a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（85）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.20．（2014·陕西卷）在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.21．（2014·天津卷）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.22．（2014·浙江卷）当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3223．(2013年高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【答案】C24．(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.【答案】B25．（2013·安徽卷）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3 【答案】D【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，3)，设P(x ，y)，则(x ，y)＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1，所以12x －12 3y ＋13y≤1，即|3x －y|＋|2y|≤2 3.26．（2013·北京卷）设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53 【答案】C【解析】在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x －2y ＝2有交点，当点(－m ，m)在直线x －2y ＝2上时，有m ＝－23，所以m<－23，故选C.27．（2013·广东卷）给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取值最大值或最小值的点}．则T 中的点共确定________条不同的直线．【答案】628．（2013·湖南卷）若变量x ，y 满足结束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤2x，x ＋y≤1，y≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52【答案】C【解析】根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，可知在点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23处x ＋2y 取最大值为53. 29．（2013·江苏卷）抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【答案】.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，1230．（2013·陕西卷）若点(x ，y)位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________． 【答案】－4【解析】结合题目可以作出y ＝∣x －1∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－1，2)时，z 取最小值为－4.31．（2013·天津卷）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 【答案】A【解析】作出可行域，如图阴影部分．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，解得(5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值z ＝3－2×5＝－7.32．（2013·浙江卷）设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________．【答案】2。

第三节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题［考纲传真］（教师用书独具）1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. （对应学生用书第97页）［基础知识填充］1•二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l : ax + by + c = 0把直角坐标平面分成了二个部分：（1） 直线l 上的点（x , y ）的坐标满足 ax + by + c = 0；（2） 直线l 一侧的平面区域内的点（x , y ）的坐标满足ax + by + c >0; （3）直线l 另一侧的平面区域内的点（x , y ）的坐标满足ax + by + c v 0.所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点 （x o , y o ），从ax o + by o + c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域. 2•线性规划相关概念名称 意义结束条件 由变量x , y 组成的一次不等式组线性约束条件 由x , y 的一次不等式（或方程）组成的等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x , y 的一次解析式可行解 W 在线性规划问题中，满足约束条件的解 （X , y ）V可行域只r由所有可行解组成的集合〉最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域 的顶点处取得0二元线性规划问题如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次 函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：（1） 直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；（2） 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选 取（0,1）或（1,0）来验证.［知识拓展］1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:双基自主测评I 梳理自测对于Ax+ By+ C> 0 或Ax+ By+ C v 0,则有(1)当B ( Ax + By + C ) > 0时，区域为直线 Ax + By + C = 0的上方；⑵ 当B (Ax + By + C ) v 0时，区域为直线 Ax + By + C = 0的下方.2 •最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解. 最优解不一定唯一， 有时唯一，有时有多个.[基本能力自测](思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 不等式Ax + By + C >0表示的平面区域一定在直线 Ax + By + C = 0的上方.()(2) 线性目标函数的最优解可能不唯一.()⑶ 目标函数z = ax + by (0)中，z 的几何意义是直线 ax + by — z = 0在y 轴上的截1.3作出直线y = — x ，并平移该直线，当直线y = — x + z 过点A 时，目标函数取得最大值. 由图知A (3,0)，距.() 2. 3.［答案］⑴ X (2) V (3) xx — 3y + 6<0, (教材改编)不等式组*C [x — 3y + 6<0表示直线x — 3y + 6= 0左上方的平面区域, + 2 = 0及其右下方的平面区域，故选 C.]x — y + 2》0表示直线x + 3y W 3,(2017 •全国卷I )设x , y 满足约束条件 x — y > 1, y > 0, 则z = x + y 的最大值为(A. 0B. 1C. 2 D⑷ 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.⑷V表示的平面区域是x — y + 2>0D. 3y = — x + 乙故Z max= 3+ 0 = 3.故选D.]4. 若点（m,1）在不等式2x+ 3y—5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________ .（1,+^）•点（m,1）在不等式2x+ 3y —5> 0所表示的平面区域内，二2 m卄3 —5> 0, 即m> 1.],> 1,5. 在平面直角坐标系中，不等式组J x + y w0, ________________ 表示的平面区域的面积是./ —y —4<0【导学号：79140199】1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，\y ac-/-4=O0 -]\A<17JC+7=0由x = 1, x + y= 0 得A(1 , —1),由x = 1, x —y—4= 0 得巳1 , —3),由x + y= 0, x—y—4= 0 得q2 , —2),1•'•I AE| = 2 ,二ABC= 2 X 2 X 1 = 1.]题型分类突破I 方話（对应学生用书第98页）.兀一次不等式（组）表示的平面区川（1）（2018 •北京西城区二模）在平面直角坐标系中，不等式组3x —y w 0 ,x —\:：3y + 2> 0, 表示的平面区域的面积是（）Iy >0A. fB. .3C. 2D. 2 3x —y>0 ,|题型（2）若满足条件妆+ y —2w0, 的整点（x , y）恰有9个，其中整点是指横、纵坐y > a标都是整数的点，则整数a的值为（）B (2)C ［(1)作出不等式组表示的平面区域是以点 0(0,0) , B ( — 2,0)和A (1 ,-(含边界)，由图知该平面区域的面积为X 2X 3 = 3,故选B.(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a = 0时，平面区域内只有4 个整点(1,1) , (0,0) , (1,0) , (2,0) ； 当 a =— 1 时，正好增加(—1, — 1), (0 , y.—1) , (1 , — 1) , (2 , — 1) , (3 , — 1)共 5 个整点，故选 C.满足条件，联立方程组A. C.为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分［规律方法］确定二元一次不等式 组表示的平面区域的方法1"直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域；.若满足不等式,否则就对应与特殊点异侧的平面区域•不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分jf j 工2当不等式中不等号为》或w 时，边界为实线，不等号为＞或＜时，边界应画为虚线, 若直线不过原点，特殊点常取原点•［跟踪训练］若\+ y — 3> 0,平面区域<2x — y —3W 0,[x — 2y + 3>0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 (D. 5B ［根据约束条件作出可行域如图中阴影部分,当斜率为1的直线分别过 A 点和B 点时 B.— 2-. I:]别过A , B 点且斜率为1的两条直线方程为 x — y + 1= 0和x — y — 1 = 0,由两平行线间的距将目标函数z = 2x + y 化为y =— 2x + z ,作出直线y =— 2x 并平移，当直线y =— 2x + z 经过点 A ( — 6, — 3)时，z 取最小值，且 Z min = 2 X ( — 6) — 3 = — 15.故选A.]2*-y-3=0x + y — 3= 0, x — 2y + 3 = 0求得A (1,2) ,联立方程组 2x — y — 3 =0,x + y — 3= 0求得B (2,1),可求得分B.]I 题型2|线性规划中的最值问题◎角度1求线性目标函数的最值[2x + 3y — 3w 0, (2017 •全国卷n )设 x , y 满足约束条件2x — 3y + 3>0,y + 3> 0,则z = 2x + y 的最小值是(A.— 15B.— 9C. 1D. 9A [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示. 离公式得距离为故选◎角度2求非线性目标函数的最值「X > 1,（2018 •济南一模）若变量x , y 满足约束条件丿x — y w 0, £ — 2y + 2> 0, B. 3 C. 3D. 52由 z = 2x + y 得 y = — 2x + z , 平移直线y = — 2x ,由图可知当直线y =— 2x + z 经过点A 时，直线的纵截距最大, 此时z 最大，A.则y 的最大值为［在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以(1,1),1, 3 , (2,2) y为顶点的三角形区域（包含边界）（图略），-表示平面区域内的点与原点的连线的斜率,x3由题意得点［,I 与原点的连线斜率最大，即y 的最大值为1=|,故选C.］◎角度3线性规划中的参数问题x,（2017 •河南安阳一模）已知z = 2x + y ，其中实数x , y 满足x + y w 2,n ' 〔X 》a .的最大值是最小值的 4倍，则a 的值是（2A.11 【导学号：79140200】C. 4B.D.11TB ［作出不等式组对应的平面区域如图:]x+ y = 2, x= 1,由解得y = x y= 1,即A(1,1) , Z max= 2X 1+ 1 = 3 ,当直线y =—2x+ z经过点B时，直线的纵截距最小,此时z最小，x= a, X = a,由t 解得什y = x y = a,即B(a, a) , Z min=2x a+ a= 3a,•/ z的最大值是最小值的4倍，13x + 2y—6W 0,[跟踪训练]（1）（2017 •全国卷川）设x, y满足约束条件^；x>0, 则z= x —y[y》0,的取值范围是（）A. [ —3,0]B. [ —3,2]C. [0,2]D. [0,3]2 2=3 + ( — 1) = 10.故选 C.X + y w 2,(2)若变量x , y 满足*2x — 3y w 9,]x > 0,则x 2+ y 2的最大值是( )A. 4B. 9C. 10D. 12x +y >i⑶(2017 •石家庄质检(一))若x , y 满足丿mx — y <03x — 2y +2>0值为2,则实数m 的值为( 1 A. 3 C. 1即Z max = 2— 0= 2；当直线所以z = x — y 的取值范围是[—3,2].yK Ax 2+ y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由x+y —2， 得 A (3 , — 1), 2x — 3y = 9由图易得(X 2+ y 2)max =|OA 2故选B.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.,1 , mx— y= 0经过其中一点，所以—2y + 2= 0 和x+ y= 1 分别交于A(2,4),⑶若z = 3x—y的最大值为2，则此时目标函数为y= 3x —2,直线y = 3x —2与3x1 1mi= 2或mi= 3，当mi= 3时，经检验不符合题意，故mi= 2,选D.］线性规划的实际应用卜:(2016 •全国卷I )某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品 A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品 A 、产品B 的利润之和的最大值为 __________ 元.216 000 ［设生产产品 A x 件，产品B y 件，则1.5 x + 0.5 y < 150,x + 0.3 y w 90,5x + 3y w 600,x >0, x € N+, y >0, y € N+.目标函数 z = 2 100 x + 900y . 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100) , (0,200) , (0,0) , (90,0).当直线 z = 2 100x + 900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，Z max = 2 100X 60+ 900X 100 =216 000(元).］［规律方法］ 解线性规划应用题的步骤1设变量，2列约束条件，J 建目标函数，1画可行域，5 求最优解，E 作 答.［跟踪训练］某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B 两种原料，已知生产 1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示•如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万I 题型3| O元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲 乙 原料限额A 吨） 32 12 B 吨)128B. 16D. 18万元z = 3x + 4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线D ［设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨，每天所获利润为 z 万元，则有 [x >0, y >0,=3x + 4y 经过点 A (2,3)时,/IA.12万元C. 17万元，3x + 2y <12, *；x+ 2y w 8,。