(中考快递)2019届中考数学复习检测：专题一-开放探索问题(word版,有答案)-推荐

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM ，PN 分别交AB ，BC 于E ，F 两点，连结EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是____． ①EF ＝2OE ；②S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；③BE ＋BF ＝2OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34；⑤OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.图2－1－3 第4题答图【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠BOE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，∴△BOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝2OE .故①正确；∵S 四边形OE BF ＝S △BOE ＋S △BOF ＝S △BOF ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4.故②正确；∵BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝2OA .故③正确；如答图，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12，设AE ＝x ，则BE ＝CF＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ·BF ＋12CF ·OH ＝12x (1－x )＋12(1－x )×12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋932，∵a ＝－12＜0，∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大，即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14.故④错误；∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ∶OB ＝OG ∶OE ，∴OG ·OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE ＝22EF ，∴OG ·BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF2＝AE 2＋CF 2，∴OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.故⑤正确．故答案为①②③⑤.【课堂提升】1.如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行．2.写出一个运算结果是a6的算式．3.如图2－1－5，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．(2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图2－1－54.如图2－1－6①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．5.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角。

专题二开放探究问题一、填空题1．(原创题)写出第三象限内的一个点，并使得它在直线y＝x上，这个点可以是________．解析写出的点只要横纵坐标相等，且都是负数即可．答案答案不唯一，如(－1，－1)二、解答题2．(改编题)提出问题(1)如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN.求证：∠ABC＝∠ACN.类比探究(2)如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．拓展延伸(3)如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN 的数量关系，并说明理由．(1)证明∵等边△ABC，等边△AMN，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.∴∠BAM＝∠CAN.∴△BAM≌△CAN(SAS)．∴∠ABC＝∠ACN.(2)解结论∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM≌△CAN.∴∠ABC＝∠ACN.(3)解∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA ＝BC ，MA ＝MN ，顶角∠ABC ＝∠AMN ， ∴底角∠BAC ＝∠MAN ，∴△ABC ∽△AMN . ∴AB AM ＝ACAN .又∠BAM ＝∠BAC －∠MAC ， ∠CAN ＝∠MAN －∠MAC ， ∴∠BAM ＝∠CAN .∴△BAM ∽△CAN . ∴∠ABC ＝∠ACN .3．(原创题)如图，点A 与点B 的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．(1)使∠APB ＝30°的点P 有________个；(2)若点P 在y 轴上，且∠APB ＝30°，求满足条件的点P 的坐标；(3)当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．解 (1)以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ， 以点C 为圆心，AC 为半径作⊙C ，交y 轴于点P 1，P 2. 在优弧AP 1B 上任取一点P ，如图1，图1则∠APB ＝12∠ACB ＝12×60°＝30°. ∴使∠APB ＝30°的点P 有无数个．填无数．(2)①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1. ∵点A(1，0)，点B(5，0)，∴OA＝1，OB＝5.∴AB＝4.∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG＝BG＝12AB＝2.∴OG＝OA＋AG＝3.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4.∴CG＝AC2－AG2＝42－22＝2 3.∴点C的坐标为(3，23)．过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连结CP2，如图1，∵点C的坐标为(3，23)，∴CD＝3，OD＝2 3.∵P1，P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°.∵CP2＝CA＝4，CD＝3，∴DP2＝42－32＝7.∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D＝P2D＝7.∴P2(0，23－7)．P1(0，23＋7)．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3(0，－23－7)．P4(0，－23＋7)．综上所述：满足条件的点P的坐标有：(0，23－7)，(0，23＋7)，(0，－23－7)，(0，－23＋7)．(3)当过点A，B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，连结EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2. ∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP.∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°.∴四边形OPEH是矩形．∴OP＝EH，PE＝OH＝3.∴EA＝3.∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，∴EH＝EA2－AH2＝32－22＝5，∴OP＝5，∴P(0，5)．图2②当点P 在y 轴的负半轴上时， 同理可得：P (0，－5)．理由：①若点P 在y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M (不与点P 重合)， 连结MA ，MB ，交⊙E 于点N ，连结NA ，如图2所示． ∵∠ANB 是△AMN 的外角， ∴∠ANB ＞∠AMB .∵∠APB ＝∠ANB ，∴∠APB ＞∠AMB .②若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得：∠APB ＞∠AMB .综上所述：当点P 在y 轴上移动时，∠APB 有最大值，此时点P 的坐标为(0，5)和(0，－5)．4．(改编题)如图，平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－34x ＋b (b 为常数，b ＞0)的图象与x轴、y 轴分别相交于点A ，B ，半径为4的⊙O 与x 轴正半轴相交于点C ，与y 轴相交于点D ，E ，点D 在点E 上方．(1)若直线AB 与CD ︵有两个交点F 、G . ①求∠CFE 的度数；②用含b 的代数式表示FG 2，并直接写出b 的取值范围；(2)设b ≥5，在线段AB 上是否存在点P ，使∠CPE ＝45°？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)①如图1∵∠CFE ＝12∠COE ，∠COE ＝90°， ∴∠CFE ＝45°，②如图2，作OM ⊥AB 点M ，连结OF ， ∵直线AB 的解析式为：y ＝ －34x ＋b ， 图1图2当x ＝0时，y ＝－34x ＋b ＝b ；当y ＝0时，0＝－34x ＋b ，解得x ＝43b ，∴B (0，b )，A (43b ，0)． ∴AB ＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43b 2＝53b .∵S △AOB ＝12OA ×OB ＝12AB ×OM ，∴OM ＝45b ；∴FM 2＝OF 2－OM 2＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫45b 2，∴FG 2＝4FM 2＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－⎝ ⎛⎭⎪⎫45b 2，＝64－6425b 2＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125b 2，∵直线AB 与CD ︵有两个交点F 、G . ∴4≤b ＜5，(2)如图3，当b ＝5时，直线AB 与⊙O 相切， 存在点P ，这时点P 就是线段AB 与⊙O 的切点，作PH ⊥x 轴于点H ，连结OP ， ∵P 是切点，∴OP ⊥AB ， ∴∠OAB ＋∠AOP ＝90°， ∠OPH ＋∠POH ＝90°； ∴∠OAB ＝∠OPH ， ∴△AOB ∽△PHO ， ∴OB OH ＝OA PH ＝AB PO ；∴OH ＝125，PH ＝165；∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，165；当b ＞5时，如图4，这时AB 与⊙O 相离，不存在点P ，理由如下．连结EP 交⊙O于N ，再连结CN ，CP ，图3图4∵∠ENC＝45°＞∠CPE，∴∠CPE＜45°.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AD 是∆ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，ABCS7 ，DE=2，AB=4，则AC 的长是（ ）A.3B.4C.5D.62．比较的大小,正确的是 ( )A ．B ．CD <23．如图是洛阳市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温说法正确的是（ ）A.众数是28B.中位数是24C.平均数是26D.方差是84．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（ ）米A.B.4C. D.4π5．如图，小亮从A 点出发前进10m ，向右转15º，再前进10m ，再右转15º，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了多少米（ ）A ．120米B ．240米C ．360米D ．480米6．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形．若DE=2cm ，则AC 的长为 ( )A.cmB.4cmC.cmD.cm7．如图，等腰直角ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点O 在斜边AB 上，且满足:BO OA =，将BOC ∆绕C 点顺时针方向旋转到AQC ∆的位置，则AQC ∠的大小为（ ）A ．100︒B ．105︒C ．120︒D ．135︒8．甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两班的平均水平相同B ．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C ．甲班的成绩比乙班的成绩稳定D ．甲班成绩优异的人数比乙班多9．如图，A 、B 两地之间有一池塘，要测量A 、B 两地之间的距离．选择一点O ，连接AO 并延长到点C ，使OC ＝12AO ，连接BO 并延长到点D ，使OD ＝12BO ．测得C 、D 间距离为30米，则A 、B 两地之间的距离为（ ）A ．30米B ．45米C ．60米D ．90米10．如图，经过直线l 外一点A 作l 的垂线，能画出（ ）A.4条B.3条C.2条D.1条11．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图，则下列说法错误的是（ ）A．对称轴是直线x＝﹣1B．abc＜0C．b2﹣4ac＞0D．方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3和x2＝112．关于x、y的方程组239x y mx y m+=⎧⎨-=⎩的解是方程3x+2y＝34的一组解，那么m的值是( )A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2二、填空题13．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝5，以AC为边长作正方形ACFE，则点D到EF的距离为_____．14．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝163，点E在CD边上，DE＝2，连接BE，F是BE边上的一点，过点F作FG⊥AB于G，连接DG，将△ADG沿DG翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x的取值范围是__．15．已知反比例函数k1yx-=的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________．16．（2016四川省甘孜州）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为______________．17．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝_____．18．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝12，BC＝9，则EF的长是_____．三、解答题19．现有24个劳力和1000亩鱼塘可供对虾、大黄鱼、蛏子养殖，所需劳力与每十亩产值如下表所示．另外设对虾10x亩，大黄鱼10y亩，蛏子10z亩．（1）用x的式子分别表示y、z；（2）问如何安排劳力与养殖亩数收益最大？20．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：(1)m＝，n＝；(2)请补全频数分布直方图；(3)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？21．随着“互联网+购物”的快速发展，快递业务也越来越红火，某小区物业为了解本小区1200户家庭在过去的一年中收到快递的情况，随机调查了80户家庭去年一年共收到的快递件数，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．根据以上提供的信息，解答下列问题（1）表格中a＝，b＝，m＝；补全频数分布直方图；（2）这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在哪一个小组？（3）请估计该小区去年一年共收到快递件数大约是多少？22．某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，销售量将减少1千克（1）现该商场保证每天盈利1500元，同时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最大？23．如图，二次函数图象的顶点为（﹣1，1），且与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）（1）求二次函数与反比例函数的解析式；（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x的取值范围．24．如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC、PA的延长线交于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若sinE＝35，PA＝6，求AC的长．25．某足球队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据足球运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)本次接受调查的足球运动员人数为______，图①中m的值为______；(Ⅱ)求统计的这组足球运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.【参考答案】***一、选择题二、填空题13．或51415．k ＜1 16．（8，0）． 17．1 18．5 三、解答题19．（1）y ＝140﹣2x ，z ＝x ﹣40．（2）对虾400亩，大黄鱼600亩，蛏子0亩；养植对虾的劳动力是12人，养殖大黄鱼的劳动力是12人，养殖蛏子的劳动力是0人． 【解析】 【分析】（1）本题考查对方程组的应用能力，要注意由题中提炼出的两个等量关系，即所需劳动力的总和是24、所养殖的总亩数是1000，据此可列方程组解应用题；（2）设对虾10x 亩，大黄鱼10y 亩，蛏子10z 亩的收益为T ，则T=2x+8y+1.6z ，再根据实际问题，求出定义域，然后，由函数的单调性来求值即可． 【详解】解：（1）根据题意，得1010101000(1)0.30.20.124(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得，140240y xz x =-⎧⎨=-⎩∴y ＝140﹣2x ，z ＝x ﹣40．（2）设对虾10x 亩，大黄鱼10y 亩，蛏子10z 亩的收益为T ，则 T ＝2x+8y+1.6z ① 由（1）解得，140240y xz x =-⎧⎨=-⎩将其代入①并整理，得 T ＝﹣12.4x+1056，∵0＜10x≤1000，即0＜x≤100，又∵01000100y z <⎧⎨<⎩……即01402100040100x x <-⎧⎨<-⎩……解得40≤x≤70，∵函数T ＝﹣12.4x+1056在[40，70]上是减函数， ∴当x ＝40时，T 最大，∴y＝140﹣2×40＝60，z＝40﹣40＝0，10x＝400，10y＝600，10z＝0，20．（1）70，0.2（2）70（3）750【解析】【分析】（1）根据题意和统计表中的数据可以求得m、n的值；（2）根据（1）中求得的m的值，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计表中的数据可以估计该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人．【详解】解：（1）由题意可得，m＝200×0.35＝70，n＝40÷200＝0.2，故答案为：70，0.2；（2）由（1）知，m＝70，补全的频数分布直方图，如下图所示；（3）由题意可得，该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：3000×0.25＝750（人），答：该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有750人．【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（1）见解析（2）3（4）16050【解析】【分析】（1）总数乘以第3组频率可得a，总数减去其它分组人数可得b，依据频率＝频数÷总数可得m；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）总户数乘以样本的平均值即可得．【详解】解：（1）a＝80×0.45＝36，b＝80﹣（4+12+36+18+4）＝6，m＝6÷80＝0.075，补全直方图如下：故答案为：36、6、0.075；（2）这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而这两个数据均落在第3组， 所以这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在第3组； （3）2471212361718226274107012001200160508080⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯=（件），估计该小区去年一年共收到快递件数大约是16050件． 【点睛】本题考查搜集信息的能力（读图、表），分析问题和解决问题的能力．正确解答本题的关键在于准确读图表．22．（1）涨价5元；（2）涨价7.5元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值； （2）根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值即可． 【详解】解：（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得： （5+x ）（200﹣0.1x）＝1500 解得：x ＝5或x ＝10，答：为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； （2）设涨价x 元时总利润为y ， 则y ＝（5+x ）（200﹣0.1x） ＝﹣10x 2+150x+1000 ＝﹣10（x 2﹣15x ）+1000 ＝﹣10（x ﹣7.5）2+1562.5，答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y ＝﹣x 2﹣2x+5，y ＝3x 2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．23．（1）y＝﹣（x+1）2+1，9yx=；（2）原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）当x＜﹣3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．【解析】【分析】（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y＝kx，把A点的坐标代入，关键待定系数法即可求得；（2）把x＝0代入求得的二次函数的解析式即可判断；（3）由两函数的图象直接写出x的取值范围即可．【详解】解：（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，∵经过点A（﹣3，﹣3）∴﹣3＝4a+1，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y＝kx，∵二次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）∴k＝﹣3×（﹣3）＝9，∴反比例函数的解析式为y＝9x；（2）把x＝0代入y＝﹣（x+1）2+1，得y＝﹣1+1＝0，∴原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为A（﹣3，﹣3），当x＜﹣3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．【点睛】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求二次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围．24．（1）见解析；（2）5AC=.【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，加上∠ACO=∠CAO，则∠POA=∠POB，于是可根据“SAS”判断△PAO≌△PBO，则∠PAO=∠PBO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到PA是⊙O的切线；（2）先由△PAO≌△PBO得PB=PA=6，在Rt△PBE中，利用正弦的定义可计算PE=10，则AE=PE-PA=4，再在Rt△AOE中，由sinE=35OAOE=，可设OA=3t，则OE=5t，由勾股定理得到AE=4t，则4t=4，解得t=1，所以OA=3；接着在Rt△PBO中利用勾股定理计算出EAC∽△EPO，再利用相似比可计算出AC ． 【详解】（1）证明：连接OA ，如图，∵AC ∥OP ，∴∠ACO ＝∠POB ，∠CAO ＝∠POA ， 又∵OA ＝OC ， ∴∠ACO ＝∠CAO ， ∴∠POA ＝∠POB ， 在△PAO 和△PBO 中，PO PO POA POB 0A 0B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PAO ≌△PBO （SAS ）， ∴∠PAO ＝∠PBO ， 又∵PB ⊥BC ， ∴∠PBO ＝90°， ∴∠PAO ＝90°， ∴OA ⊥PE ， ∴PA 是⊙O 的切线； （2）解：∵△PAO ≌△PBO ， ∴PB ＝PA ＝6， 在Rt △PBE 中，∵sinE ＝35PB PE = ∴635PE =，解得PE ＝10， ∴AE ＝PE ﹣PA ＝4， 在Rt △AOE 中，sinE ＝35OA OE =， 设OA ＝3t ，则OE ＝5t ， ∴AE4t ， ∴4t ＝4，解得t ＝1， ∴OA ＝3，在Rt △PBO 中，∵OB ＝3，PB ＝6，∴OP=∵AC∥OP，∴△EAC∽△EPO，∴AC EAPO EP=410=，∴AC．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了全等三角形的判定与性质．25．(Ⅰ)50，24；(Ⅱ)平均数是14.8；众数为15；中位数为15.【解析】【分析】（1）频数÷所占百分比=样本容量，m=100-28-20-10-18=24，据此解答即可；（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．【详解】(Ⅰ)9÷18%=50（名）m=100-28-20-10-18=24，故答案为：50，24.(Ⅱ)观察条形统计图，139141215141610175x14.850⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==,∴这组数据的平均数是14.8.∵在这组样本数据中，15出现了14次，出现的次数最多, ∴这组样本数据的众数为15.∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有1515152+=,∴这组样本数据的中位数为15.【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若二次函数2()1y x m =--，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m =B ．1m >C ．1m ≥D ．1m ≤2．新中国成立70年以来，中国铁路营业里程由52000公里增长到131000公里，将数据131000用科学记数法表示为（ ） A ．13.1×105B ．13.1×104C ．1.31×106D ．1.31×1053．如图，小明站在自家阳台上A 处观测到对面大楼底部C 的俯角为α，A 处到地面B 处的距离AB ＝35m ，则两栋楼之间的距离BC （单位：m ）为（ ）A ．35tan αB ．35sin αC ．35sin αD ．35tan α4．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）图象的一部分，与x 轴的右交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x ＝1，对于下列说法：①abc ＜0； ②2a+b ＝0； ③3a+c ＞0； ④当﹣1＜x ＜2时，y ＞0； ⑤b 2﹣4ac ＞0．其中正确的个数是（ ）A.2B.3C.4D.55．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦AD CD =．若BD ＝2，CD ＝6，则BC 的长为（ ）D.56．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ＞3的是（ ） A.y ＝B.y ＝C.y ＝D.y ＝7．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．某市去年完成了城市绿化面积共8210000m 2，将8210000用科学记数法表示应为（ ） A ．821×102B ．82.1×105C ．8.21×106D ．0.821×1079．在平面直角坐标系中，若直线y ＝x+n 与直线y ＝mx+6（m 、n 为常数，m ＜0）相交于点P （3，5），则关于x 的不等式x+n+1＜mx+7的解集是（ ） A ．x ＜3B ．x ＜4C ．x ＞4D ．x ＞610．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝4，将△ABC 沿CF 折叠，点B 落在AC 上的点E 处，则AFFB等于（ ）A ．12B ．35C ．53D ．211．不等式2x+3＞3x+2的解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．12．下列分解因式正确的是（ ） A ．﹣x 2+4x ＝﹣x （x+4） B ．x 2+xy+x ＝x （x+y ）C ．x 2﹣4x+4＝（x+2）（x+2）D ．x （x ﹣y ）+y （y ﹣x ）＝（x ﹣y ）2二、填空题13．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正三角形OEF 绕点O 旋转，在旋转过程中，当CF ＝DE 时，∠DOF 的大小是_____．14．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m ＝0有实数根，则实数m 满足_____．15．计算： __________．16．如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____．17．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为_____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．三、解答题19．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F．（1）根据题意补全图形．（2）如果AF＝1，求CF的长．20．如图，在平面直角坐标系内，直线y1=kx+b(k≠0)与双曲线y2=(a≠0)交于A、B两点，已知点A(m，2)，点B(－1，－4).（1）求直线和双曲线的解析式；（2）把直线y1沿x轴向负方向平移1个单位，得到直线y3，直接写出y3解析式及当y3＞y2时，自变量x 的取值范围.21．观察下面的变形规律：11=1122-⨯；111=2323-⨯；111=3434-⨯；…． 解答下面的问题： （1）若n 为正整数，请你猜想1(1)n n +＝ ； （2）证明你猜想的结论；（3）求和：112⨯+123⨯+134⨯+…+120092010⨯. 22．线段AB 在由边长为1的小正方形组成的网格中，端点A 、B 为格点(即网格线的交点)．(1)线段AB 的长度为________；(2)在网格中找出一个格点C ，使得△ABC 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，请画出△ABC ；(3)在网格中找出一个格点D ，使得△ABD 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，请画出△ABD ．23．如图，已知()()()3,3,2,1,1,2A B C ------是直角坐标平面上三点.（1）将ABC ∆先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形111A B C ∆；（2）以点()0,2为位似中心，位似比为2，将111A B C ∆放大，在y 轴右侧画出放大后的图形222A B C ∆；（3）填空：222A B C ∆面积为 .24．已知抛物线y ＝ax 2+bx+2经过点A （﹣1，﹣1）和点B （3，﹣1）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值．25．如图是云梯升降车示意图，其点A位置固定，AC可伸缩且可绕点A转动，已知点A距离地面BD的高度AH为3.4米．当AC长度为9米，张角∠HAC为119°时，求云梯升降车最高点C距离地面的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin29°≈0.49，cos29°≈0.88，tan29°≈0.55【参考答案】***一、选择题二、填空题13．165°或15°．14．4m≤15．116．（32，258）1712+或118．(-10，3)三、解答题19．（1）如图所示，见解析；（2）CF＝2．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；（2）过点D作DG∥BF，交AC于点G，根据三角形中位线定理即可得出结论．【详解】（1）如图，（2）作DH ∥AC 交BF 于H ，如图，∵DH ∥AF ，∴∠EDH ＝∠EAF ，∠EHD ＝∠EFA ，∴△EDH ≌△EAF ，∴DH ＝AF ＝1，∵点D 为BC 的中点，DH ∥CF ，∴DH 为△BCF 的中位线，∴CF ＝2DH ＝2．【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．20．（1）双曲线的解析式为y 2=4x ，直线的解析式为y=2x-2；（2）y 3=2x ，当y 3＞y 2时，自变量x 的取值范围是：0x <或x >【解析】【分析】（1）因为A 、B 是直线y 1=kx+b （k≠0）与双曲线y 2=a x（a≠0）的图象的两个交点，所以把A 点、B 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a 和m 的值，从而求出反比例函数的解析式和A 点坐标，进而把A 、B 点的坐标代入一次函数y 1=kx+b 的解析式，就可求出k 、b 的值；（2）根据图象和交点坐标，从而求得x 的取值范围．【详解】解：（1）∵点B （-1，-4）在双曲线y 2=a x （a≠0）上， ∴a=-1×（-4）=4．∴双曲线的解析式为y 2=4x∵点A （m ，2）在反比例函数y 2=4x 的图象上， ∴2=4m, ∴m=2．∵点A （2，2）和点B （-1，-4）在直线y 1=kx+b （k≠0）上，224k b k b +=⎧∴⎨-+=-⎩解得22k b =⎧⎨=-⎩∴直线的解析式为y=2x-2．（2）直线y1沿x轴向负方向平移1个单位，得到直线y3=2（x+1）-2=2x，解24y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩，得xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线y3和双曲线的交点为和(-.∴当y3＞y2时，自变量x的取值范围是：0x-<<或x>【点睛】题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系21．（1）111=(1)1n n n n-++；（2）见解析；（3）20092010．【解析】【分析】（1）观察规律可得：111 (1)1n n n n=-++；（2）根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性；（3）利用上面的结论，首先原式可化为：111111112233420092010-+-+-++-继而可求得答案．【详解】（1）由111111111;;121223233434=-=-=-⨯⨯⨯，…则：111(1)1n n n n=-++；（2）111111(1)(1)(1)(1)n n n nn n n n n n n n n n++--=-==+++++；（3）1111 12233420092010 ++++⨯⨯⨯⨯＝1111111 12233420092010 -+-+-+-＝1﹣1 2010＝2009 2010．【点睛】此题考查了分式的加减运算法则，解题的关键是仔细观察，得到规律：111 (1)1 n nn n=-++，然后利用规律求解．22．（1）（2）见解析（答案不唯一）；（3）见解析（答案不唯一）．【解析】（1）直接利用勾股定理进而得出答案；（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；（3）直接利用网格结合勾股定理和圆周角定理得出符合题意的图形．【详解】解：（1）如图所示：=（2）如图，△ABC 就是所要求的等腰直角三角形（答案不唯一）；（3）如图，△ABD 就是所要求的等腰直角三角形（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理和圆周角定理是解题关键．23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6.【解析】【分析】（1）分别画出A 、B 、C 三点的对应点即可解决问题；（2）由（1）得111A B C ∆各顶点的坐标，然后利用位似图形的性质，即可求得222A B C ∆各点的坐标，然后在图中作出位似三角形即可．（3）求得222A B C ∆所在矩形的面积减去三个三角形的面积即可.【详解】（1）如图，111A B C ∆即为所求作；（2）如图，222A B C ∆即为所求作；（3）222A B C ∆面积=4×4-12×2×4-12×2×2-12×2×4=6.本题主要考查了利用平移变换作图、位似作图以及求三角形的面积，作图时要先找到图形的关键点，把这几个关键点按平移的方向和距离确定对应点后，再顺序连接对应点即可得到平移后的图形.24．（1）y＝﹣x2+2x+2；（2）抛物线开口向下，对称轴是：x＝1，顶点坐标为（1，3），二次函数的最大值为3．【解析】【分析】（1）由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和b的二元一次方程组，解得a和b，可写出二次函数解析式；（2）根据a的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴、顶点坐标和二次函数的最值.【详解】解：（1）将点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）代入y＝ax2+bx+2中，得21 9321 a ba b-+=-⎧⎨++=-⎩，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+2；（2）∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2＝﹣（x﹣1）2+3，∵a＝﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴是：x＝1，顶点坐标为（1，3），二次函数的最大值为3．【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴，属于基础题.25．云梯升降车最高点C距离地面的高度为7.8m．【解析】【分析】作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=29°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．【详解】作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH-∠HAF=119°-90°=29°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=CF AC，∴CF=9sin29°=9×0.49=4.41，∴CE=CF+EF=4.41+3.4≈7.8(m)，答：云梯升降车最高点C距离地面的高度为7.8m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算．。

2019年中考数学练习题：开放性问题若选择a 、b 、c .在Rt △ EBC 中，由勾股定理:若选择b 、c ,则有关系式2r 3+br 2-bc 2=0.例4.如图所示，△ ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上, BD=BE _ (1)请你再添加一个条件，使得△BEA^A BDC ?并给出证明?, ?你添加的条件是:概述: 这类题在命题条件不变的情况下，命题结论不唯一， ？或在命题结论不变的条件下，条 件不唯一，解答这类题要求较高，要求对所学基础知识全面掌握. 典型例题精析 例1 .如图，D ABC 边AB 上一点，满足 _________ 条件时，△ AD3A ACB _ 分析：要求对相似三角形的判定定理全面掌握. (1) Z ACD=/ B, (2) Z ADC=/ ACB (3) AC 2=AD- AB. 例2.如图，四边形 ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、 F 是对角线AC?上的点.(1)如果 ________ ，则△ DEC^^ BFA(请你填上能使结论成立的一个条件) (2)证明你的结论. (1) AE=CF (OE=OF DEI AC BF 丄 AC; DE// BF 等等) (2) 证明：•••四边形 ABCD 是矩形， ••• AB=C□且 AB / CD •••/ CDE=/ BAF •/ AE=CF •- AC-AE=AC-CF _ 即 AF=CE DEC^A BFA 例3.如图，AB 是O O 的直径，CB CD 分别切O O 于点B DCA BD, CD 与 BA 的延长线交于点 E ,连结 OC OD _ (1) 求证：△ OBC^A ODC _ (2) 已知 DE=a AE=b BC=c 请你思考后，选用以上 适当的数，设计出算O O?半径的一种方案： ① ____________________________ 你选用的已知数是 ; _ ② 写出求解的过程.(结果用字母表示) (1) 证明：T CD CB 是O O 的切线，_•••/ ODC N OBC=90 , OD=OB OC=OC_ •••△ OBC^A ODC( HL ).(2) ①选择a 、b 、c ,或其中2个均可. ②若选择 a 、b .由切割线定理：a 2=b ( b+2r )，得r= 2b ，得r=• a 2 2ac -b2b+2r ) 2+c 2= ( a+c )___________ ，根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形 一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，解：添加条件列举： BA=BC / AEBK CDB / BAC H BCA / BCD " BAE 等，证明列举(以添加条件/AEB=Z CDB 为例)•••/ AEB 玄 CDB BE=BD / B=Z B, •••△ BEA^A BDC另一对全等三角形是：△ ADF ^A CEF 或△ AEC^A CDA 中考样题训练1如图1 ,已知AC=BD?要使△ ABCI ^A DCB?只需增加的一个条件是 ____________________________________________________________________________________（1） ⑵ ⑶2. _______________________________________________________ 如图2, AB=AC 要使△ ABE ^A ACD 应添加的条件是 ____________________________________ （?添加一个条件即可）. 3•聪明的亮亮用含有 30?°角的两个完全相等的三角板拼成如图 3所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形： _______ .4. 已知，如图 4,AC 丄BC, BD 丄BC, AC>BC>B , ?请你添加一个条件使△ ABC^A CDB 你添 加的条件是 __________________ .（4） （5）5. 若二次函数y=x 2-4x+c 的图象与x 轴没有交点，其中 c 为整数，？则c= __________ （只要求 写出一个）.6. 已知：如图 5，点C 、D 在线段 AB 上，PC=PD请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明. 所添条件为 ______________ ，得到的一对全等三角形是△ _______ 7 __________ .考前热身训练1. 已知x 2-ax+6在整数范围内可分解因式，则整数 a 的值是2. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点.甲：对称轴是x=4;乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y 轴交点的纵坐标也为整数._______ •（ ?只要求写出 ?不必写出证明过程）（只填一个）且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出一个满足上述全部特点的二次函数.3. 如图，已知AD// BC,要使四边形 ABCD 为平行四边形， 需要增加的条件 ____________________ . （ ?只填一个 你认为正确的条件即可）4. 以x=1为根，并且包含加减乘除运算的一元一次方 程是 ____________________________ . （ ?只需写满足条 件的一个方程即可）5. 如图，O O 是等边△ ABC 的外接圆，AB=2, M N 分别是边AB AC 的中点，直线 MN 交O 0于E 、F 两点，BD// AC 交直线MN 于点D,求出图中线 段DN 上已有的线段的长.6. 已知点0是正六边形的中心，现要用一条直线把它的面积分成相等的两部分， 两种不同的方法画出这条直线•（画图工具不限）7.如图，/ 1 = / 2,若再增加一个条件就能使结论“AB. DE=AD BC'成立，？则这个条件可以是 __________ .?请分别用答案：中考样题看台1. AB=DC 2 ./ B=Z C 3 .△ ABE △ BEQ △ CED 只要写出个即可4. ? / CAB=?/ BCD或/ CBA玄BDC或BC2=AC- BD5. 只要大于4的整数均可6. / A=Z B (或PA=PB ? ?PAC PBD 心APD^A BPC考前热身训练1. 5 或-5 , 7 或-71 8 i 82. y= x2- x+3 或y=- x2+ x-35 5 5 51 2 8 1 2 8或y= x - x+1 或y=- x + x-17 7 7 73. AD=BC或AB// DC 4 . 3x-3=015. 由已知不难得出MN/ BC, MN~BC=1,2△ BMD^ AMN••• DM=MN=1 连结OA交MN于点G,贝U OAL BC•••OAL EF ,•EG=FG MG=NG•EM=FN ME- MF=MA MB• EM(EM+1 =1 ,解之得DE=DM-E M=^6. 过正六边形的中心画直线.7./ B=/ D或/ C=/ AED或AD AB=AE AC等.。

2019-2020 年中考数学第二轮复习专题讲解开放性研究题一、填空1. 如 1, 若 AC、 BD、 EF 两两互相均分于点O,? 写出中的一全等三角形( 只需写一即可)_________.ED F CO1A2A E BMA D DN BFBC(1)(2)(3)2.如 2, ∠ E=∠ F=90° , ∠ B=∠ C,AE=AF, 出以下 : ①∠ 1=∠ 2; ② BE=CF;③△ ACN≌△ ABM;④ CD=DN其.中正确的是 ______.( 注 : 将你正确的都填上 )3.若抛物点 (1,0), 且其剖析式中二次系数1,? 它的剖析式 ___________.( 任写一个 ).4.如 3, 已知 AC=DB,要使△ ABC≌△ DCB,?只需增加的一个条件是 _________或 _________.5.写出一个当 x>0 ,y 随 x 的增大而增大的函数剖析式 ________.6.在△ ABC和△ ADC中 , 以下三个断 : ① AB=AD,②∠ BAC=∠DAC,③ BC=?DC,将其中的两个断作条件, 另一个断作写出一个真命__________.7.用“若是⋯⋯ , 那么⋯⋯”的形式写一个命:__________________.8.写出一个象位于一、三象限的反比率函数表示式_________.9.如 , 写出等腰梯形ABCD(AB∥ CD)特有而一般梯形不拥有的三个D 征 :_________,_________,__________.二、解答1.如 , 下面四个条件中 , 你以其中两个已知条件 , 第三个 ,( 只需写出一种情况).A① AE=AD ② AB=AC ③ OB=OC ④∠ B=∠ C.C特推出一个正确的命BCEOA D B2. 如 , 已知△ ABC、△ DCE、△ FEG?是三个全等的等腰三角形, 底 BC、 CE、 EG在同素来上, 且 AB= 3 ,BC=1,BF, 分交 AC、 DC、 DE于点 P、Q、 R.(1)求 : △ BFG∽△ FEG,并求出 BF 的 .(2)察形 , 你提出一个与点 P 相关的 , 并行解答 .A D FRQPB C E G3.资料 , 解答 :资料 :“小的一个子游是 : 一子跳蚤从 P1(-3,9) 开始 , 按点的横坐依次增加 1 的律 , 在抛物 y=x2上向右跳 , 获取点 P2、 P3、P4、 P5⋯ ( 如① ?所示 ), P1、 P2、 P3分作 P1H2、 P2H2、P3H3垂直于 x ,垂足 H、H、H, S=S-S-S111× 1=1.,即△PPP=(9+1) × 2-(9+4) × 1- (4+1)123△ P1P2P3梯形 P1H1H3P3梯形 P1H1H2P2梯形 P2H2H3P3 1 2 3222的面1”:(1)? 求四形 P1P2P3P4?和四形 P2P3P4P5的面 ( 要求 : 写出其中一个四形面的求解程, 另一个直接写出答案 );(2)猜想四形 P n-1 P n P n+1P n+2的面 , 并明原由 ( 利用② ).(3)若将抛物 y=x2改抛物 y=x 2+bx+c, 其他条件不 , 猜想四形 P n-1 P n P n+1P n+2的面 ( 直接写出答案 ).①②4. 如 , 梯形 ABCD,AB∥ DC,AD=DC=CB,AD、 BC?的延订交于G,CE⊥ AG于 E,CF⊥ AB于 F.(1)写出中 4 相等的段 ( 已知的相等段除外 );(2)(1) 中你所写出的一相等段 , 明它相等的原由 .GED CA F B参照答案一、1. △ DOF ≌△ BOE2. ①②③3.y=x 2-1 或 y=x 2-2x+1 等4.AB=DC, ∠ACB=?∠ DBC5.y=x 或 y=-1x或 y=x 2 等6. 已知 :AB=AD,∠ BAC=∠ DAC,求证 :BC=DC.或已知 :AB=AD,BC=DC, 求证 : ∠ BAC=∠ DAC.7. 略8.y= k, 其中 k>0.x9. ∠ A=∠ B, ∠ D=∠ C,AD=BC 二、AE AD, AB AC, AEAD,1.已知:①或②B或③BCABACC求证 : ①∠ B=∠ C,或② AE=AD,或③ AB=AC.AEAD,证明:①AB, △ ABE ≌△ ACD ∠ B=∠C;ABAC.或②或③AB AC,B C,A A.B C, AD AE,AA.△ ABE ≌△ ACD AE=AD;△ ABE ≌△ ACD AB=AC.2.(1) 证明 : ∵△ ABC ≌△ DCE ≌△ FEG,1∴ BC=CE=EG= BG=1,即 BG=3.3∴ FG=AB= 3 , ∴FGBG 3 = 3 EGFG 3又∠ BGF=∠ FGE,∴△ BFG ∽△ FEG.∵△ FEG 是等腰三角形 , ∴△ BFG 是等腰三角形 . ∴ BF=BG=3. (2)A层问题 ( 较简易的 , 仅用到了 1 个知识点 ).比方 : ①求证 : ∠PCB=∠ REC(或问∠ PCB 与∠ REC 可否相等 ?)等 ; ②求证 :PC ∥ RE.( 或问线段 PC 与 RE 可否平行 ?) 等 . B层问题 ( 有必然思虑的 , 用到了 2～ 3 个知识点 ). 比方 : ①求证 : ∠ BPC=∠ BFG 等 ,? 求证 :BP=PR 等 . ②求证 : △ ABP ∽△ CQP 等, 求证 : △ BPC ∽△ BRE 等 ; ③求证 : △ APB ∽△ DQR 等; ④求 BP:PF 的值等 .C 层问题 ( 有深刻思虑的 , 用到了 4 个或 4 个以上知识点或用到了 (1) 中结论 ).比方 : ①求证 : △APB ≌△ ERF;②求证 :PQ=RQ 等 ;③求证 : △BPC 是等腰三角形 ;? ④求证 : △PCQ ≌△ RDQ 等 ; ⑤求 AP:PC 的值等 ; ⑥求 BP 的长 ;⑦求证 :PC=3( 或求 PC 的长 ) 等.3A 层解答举例 . 求证 :PC ∥ RE.证明 : ∵△ ABC ≌△ DCE, ∴∠ PCB=∠ REB. ∴ PC ∥RE.B 层解答举例 . 求证 :BP=PR.证明 : ∵∠ ACB=∠ REC,∴ AC ∥ DE.又∵ BC=CE,∴ BP=PR.C 层解答举例 .求 AP:PC 的值 .解 : ∵ AC ∥ FG,∴PCBC1 , ∴PC= 3 . FG BG3 3∵AC= 3 , ∴AP= 3 -3 = 2 3, ∴ AP:PC=2. 3 33. 解 :(1) 如图 , 由题意知 :P1(-3,9),P 2(-2,4),P3(-1,1),P4(0,0).S 四边形 P1P2P3P4=S △ P1H1P4-S 梯形 P1H1H2P2-S 梯形 P2H2H3P3-S △P3H3P4 =1× 9×3- 1 × (9+4) × 1-1×(4+1) × -1× 1× 1=4.2222S 四边形 P2P3P4P5=4.(2)四边形 P n-1 P n P n+1P n+2 的面积为 4.原由 :过点 P n-1 、P n 、 P n+1、 P n+2 分别作 P n-1 H n-1 、 P n H n 、 P n+1H n+1、 P n+2H n+2 垂直于 x 轴, 垂足分别为H n-1 、 H n 、 H n+1、H n+2.设 P n-1 、 P n 、 P n+1 、 P n+2 四 点 的 横 坐 标 依 次 为 x-1,x,x+1,x+2,?则 这 两 个 点 的 纵 坐 标 分 别 为(x-1) 2,x 2,(x+1) 2 ,(x+2) 2.所以四边形 P PP P 的面积n-1n n+1 n+2=梯形 P n-1 H n-1 H n+1P n+2 的面积 - 梯形 P n-1 H n-1 H n P n 的面积 -? 梯形 P n H n H n+1P n+1- 梯形 P n+1H n+1H n+2P n+2 的面积 =3[(x-1)2+(x+2) 2]-1[(x-1)2+x 2]- 1· [x 2+(x+1) 2]-1[(x+1) 2+(x+2) 2]2222=(x-1) 2222+(x+2) -x -(x+1) =4.(3) 四边形 P n-1 P n P n+1P n+2 的面积为 4. 4.(1)DG=CG;DE=BF;CF=CE;AF=AE;AG=BG.(2)举例说明 AG=BG.∵在梯形 ABCD 中 ,AB ∥ DC,AD=BC, ∴梯形 ABCD 为等腰梯形 .∴∠ GAB=∠ GBA.∴ AG=BG.。

数学精品复习资料开放性问题1. （2014•四川巴中，第28题10分）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．考点：矩形的判定．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH 时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．2. （2014•山东威海，第24题11分）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD 上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．3. （2014•山东枣庄，第22题8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．，出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．点评：本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．5. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．，﹣﹣。

专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例如图，在四边形中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连结，．（）请你添加一个条件，使得△≌△，你添加的条件是，并证明．（）在问题（）中，当与满足什么关系时，四边形是矩形，请说明理由．分析：（）根据全等三角形的判定方法，可得出当，∥，∠∠时，都可以证明△≌△，（）由（）可得出四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出时，四边形是矩形．解答：（）添加：，证明：∵点是的中点，∴，在△△和△中，，∴△≌△（）；（）解：∵，，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当时，则，∴平行四边形为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例.如图－－，边长为的正方形的对角线，相交于点.有直角∠，使直角顶点与点重合，直角边，分别与，重合，然后逆时针旋转∠，旋转角为θ(°＜θ＜°)，，分别交，于，两点，连结交于点，则下列结论中正确的是．①＝；②四边形∶正方形＝∶；③＋＝；④在旋转过程中，当△与△的面积之和最大时，＝；⑤·＝＋.图－－第题答图【解析】∵四边形是正方形，∴＝，∠＝∠＝°，∠＝°，∴∠＋∠＝°，∵∠＝°，∴∠＋∠＝°，∴∠＝∠，∴△≌△()，∴＝，＝，∴＝.故①正确；∵四边形＝△＋△＝△＋△＝△＝正方形，∴四边形∶正方形＝∶.故②正确；∵＋＝＋＝＝.故③正确；如答图，过点作⊥交于点，∵＝，∴＝＝，设＝，则＝＝－，＝，∴△＋△＝·＋·＝(－)＋(－)×＝－＋，∵＝－＜，∴当＝时，△＋△最大，即在旋转过程中，当△与△的面积之和最大时，＝.故④错误；∵∠＝∠，∠＝∠＝°，∴△∽△，∴∶＝∶，∴·＝，∵＝，＝，∴·＝，∵在△中，＝＋，∴＝＋，∴·＝＋.故⑤正确．故答案为①②③⑤.【课堂提升】.如图，直线、被直线所截，若满足，则、平行．.写出一个运算结果是的算式．.如图－－，是经过∠顶点的一条直线，＝，分别是直线上两点，且∠＝∠＝∠α.()若直线经过∠的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠＝°，∠α＝°，则；－(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若°＜∠＜°，请添加一个关于∠α与∠关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．()如图③，若直线经过∠的外部，∠α＝∠，请写出，，三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图－－.如图－－①，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.()求证：△是等腰三角形；()如图②，过点作∥，交于点，连结交于点.①判断四边形的形状，并说明理由；②若＝，＝，求的长．.如图，正方形中，点，分别在边，上，，和相交于点，()观察图形，写出图中所有与∠相等的角。

开放性问题一、填空题1．如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP ＝CP ，请增加一个条件，使得△ABP ≌△CDP (不能添加辅助线)，你增加的条件是________．2．反比例函数y ＝m x(m ≠0)与一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象如图所示，请写出一条正确的结论：________.3．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是______．4．已知x 2-ax -24在整数范围内可以分解因式，则整数a 的值是______(只需填一个)． 5．有一个二次函数的图象三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x ＝4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：______． 二、选择题6．如图，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点作不同位置的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这种三角形最多可以画出( ) ．A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 7.已知道三角形的三边长分别为4, 5, x ，则x 不可能是( ) ． A.3 B.5 C.7 D.98.点A ,B ,C ,D 在同一平面内,从①AB 平行CD ;②AB =CD ;③BC 平行AD ;④BC =AD 这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有( ) ． A.2种 B.3种 C.4种 D.5种三、解答题9．在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角余布料．现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)．10．阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线OAB 表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题； (2)根据你给出的应用题分别指出x 轴、y 轴所表示的意义，并写出A 、B 两点的坐标； (3)求出图象AB 的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围．开放性问题复习当堂达标题答案1．答案不唯一，如BP ＝DP 或AB ＝CD 或∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D 或AB //CD .2.答案不唯一，如反比例函数解析式为y ＝2x或一次函数解析式为y ＝x ＋1等．故存在点P 1(－3，－9)和点P 2(9，－9)满足题意．3. 2＋1和2-1等4.略5. ：y ＝±(51x 2-58x -3) y ＝±(71x 2-78x ＋1) 6. B 7. D 8. C9.10. 答：张老师从家里出发，乘汽车去学校，汽车的速度为每小时25 km ，经过2h 到达学校．到校后由于家中有事，立即骑自行车返回，再经过5h 到家．(2)x 轴表示运动时间，单位是小时，y 轴表示运动的路程，单位是千米．A (2，50)，B (7，0) (3)设AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧=+=+07502b k b k 解之，得⎩⎨⎧=-=7010b k∴ y ＝-10x ＋70(2≤x ≤7)．。