2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理单元测评A 新人教A版选修2-3

基本计数原理(1)分类加法计数原理:做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事情共有N=m1+m2 +……+m n种不同的方法。

(2)分步乘法计数原理:做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N= m1 ×m2 ×……× m n种不同的方法。

计数问题是数学中的重要研究对象，解决计数问题，其基本方法是列举法、列表法、树形图法等：其中级方法是分类加法原理和分步乘法原理：其高级方法是排列组合，基本计数原理是连接初级方法和高级方法的“桥梁”，是核心的方法，是解决计数问题的最重要的方法，而排列组合问题的方法：①特殊元素、特殊位置优先法。

②间接法。

③相邻问题捆绑法。

④不相邻(相间)问题插空法。

⑤有序问题组合法。

⑥选取问题先选后排法。

⑦至多至少问题间接法。

⑧相同元素分组可采用隔板法。

⑨分组问题等。

[例1]用0, 1, ..9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）。

A.243B.252C.261D.279[解析]0，1, 2，…，9共能组成9×10×10=900 (个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8=648 (个)，∴有重复数字的三位数有900-648=252 (个)。

故选B。

[注意]三位数一定要保证最高位不为0.[例2] 6名同学排成一排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有（）种不同站法。

[解析]法一: (位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步:第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有25A 种站法：第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有44A 种站法。

高中数学人教版选修2-3（理科）第一章计数原理1.2.2组合A卷（练习）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）三层书架，上层有10本不同的语文书，中层有9本不同的数学书，下层有8本不同的英语书，从书架上任取两本不同学科的书，不同取法共有（）A . 245种B . 242种C . 54种D . 27种2. （2分）从4种不同的蔬菜品种中选出3种，分别种在3块不同的土质的土地上进行试验，共有种植方法数为（）A .B .C .D .3. （2分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一班，则不同分法的种数为（）A . 18B . 24C . 30D . 364. （2分）(2018·朝阳模拟) 某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·阜平月考) 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A . 24种B . 48种C . 72种D . 96种6. （2分）设集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，记n(A)是ai+aj的不同值的个数，其中且,n(A),的最大值为k，n(A)的最小值为m，则（）A .B .C .D .7. （2分）如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（）A . 50种B . 51种C . 140种D . 141种8. （2分） (2020高二下·龙江期末) 2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（）A . 72B . 36C . 48D . 54二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2020高三上·浙江月考) 从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位偶数.10. （1分） (2020高三上·青浦期末) 某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到、、三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优教师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有________种11. （1分） (2020高三上·浙江月考) 某地需要安排人员分别在上午、下午、前半夜、后半夜四个时间段值班，要求每班至少含一名民警和一名医务人员，且至少有一名女性，每人值一班.现有民警4人（4男），医务人员6人（5女1男），其中民警甲不排上午，男医生不排上午、下午，则不同的安排方法有________种.三、解答题 (共3题；共30分)12. （5分）设r，s，t为整数，集合{a|a=2r+2s+2t ，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{an}．（1）写出数列{an}的前三项；（2）求a36 ．13. （10分）用这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？14. （15分） (2017高二下·莆田期末) 某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：三、解答题 (共3题；共30分)答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、答案：13-2、考点：解析：答案：14-1、答案：14-2、答案：14-3、考点：解析：。

班级 姓名 学号 分数（测试时间：120分钟 满分：160分） 一、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）1．62⎛- ⎝的展开式中的第四项是________． 2．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是________ 3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种． 4．【2015届河北省邯郸市高三上学期摸底考试】二项式521-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中x 的系数为___________________． 5．【2013-2014学年湖北省荆门市高二下学期期末质量检测】要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 .（以数字作答） 6．【2015届河南省开封市高三上学期定位模拟考试理科】在二项式nx⎫-⎪⎭的展开式中各项系数之和为M ，各项二项式系数之和为N ，且64M N +=，则展开式中含2x 项的系数为 . 二、解答题 （本大题共10小题，共120分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）7．从5名男医生、4名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有多少种？8．已知n +（其中15n <）的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列.（1）求n 的值；（2）写出它展开式中的所有有理项.9．已知nx ⎛+ ⎝的展开式中前三项的系数成等差数列． （1）求n 的值； （2）求展开式中系数最大的项．10．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？11．在二项式122)x的展开式中（1）求展开式中含3x 项的系数；（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.12．【2013-2014学年天津市红桥区高二下学期期末考试】五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．13．【2013-2014学年福建省漳州华安一中高二下学期期末考试】已知(23x ＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．14．【2013-2014学年湖北省孝感高中高二4月月考】（1）已知122014122014S A A A =+++，记S 的个位上的数字为a ，十位上的数字b ，求b a 的值；（2）求和SC C C C 22225672014=++++（结果不必用具体数字表示）.15．【2014-2015学年福建省泉州市晋江二中高二下期末】已知n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3（1）求n 的值；（2）求展开式中3x 项的系数（3）计算式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．16．【2014-2015学年吉林省四平一中高二下学期期末】有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．（1）求n的值；（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．：。

【高考调研】高中数学(人教a版)选修2-3：第一章-计数原理+单元测试题x第一章综合测试题一、选择题1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有?2、3、3、4?条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应( )A．从东边上山C．从南边上山B．从西边上山D．从北边上山2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为?y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A．7?个B．8?个?C．9?个D．10?个3．5?名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )2A．C5 B．25C．52 D．A2524．6?个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐?4?人，则不同的乘车方法数为( )A．40 B．50 C．60 D．705．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施?6?个程序，其中程序 A?只能出现在第一步或最后一步，程序?B?和?C?实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．24?种B．48?种C．96?种D．144?种6．有甲、乙、丙三项任务，甲需?2?人承担，乙、丙各需?1?人承担，从?10?人中选派?4?人承担这三项任务，不同的选法有( )A．2?520 B．2?025 C．1?260 D．5?0408?10．已知?x－x展开式中常数项为?1120，其中实数8?10．已知?x－x展开式中常数项为?1120，其中实数?a?是常数，则展在第?3?道上，货车?B?不能停在第?1?道上，则?5?列火车的停车方法共有 ( )A．78?种B．72?种C．120?种D．96?种8．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若?a0＋a1＋a2＋…＋an ＝16，则自然数?n?等于( )A．6 B．5 C．4 D．39．6?个人排队，其中甲、乙、丙?3?人两两不相邻的排法有( )A．30?种B．144?种?C．5?种D．4?种? a?? ?开式中各项系数的和是( )A．28?B．38?C．1?或?38 D．1?或?2811．有?A、B、C、D、E、F?共?6?个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运?A?箱，卡车乙不能运B?箱，此外无其他任何限制；要把这?6?个集装箱分配给这?3?台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )A．168 B．84 C．56 D．4212．从?2?名女教师和?5?名男教师中选出三位教师参加?20xx?年高考某考场的监考工作．要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为( )A．30 B．180?C．630 D．1?08013．已知(x＋2)n?的展开式中共有?5?项，则?n＝________，展开式中的常数项为________．(用数字作答)14．5?个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有____种．15．已知(x＋1)6(ax－1)2?的展开式中含?x3?项的系数是?20，则?a?的值等于________．16．用数字?2,3?组成四位数，且数字?2,3?至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)17．某书店有?11?种杂志，2?元?1?本的?8?种，1?元?1?本的?3?种，小张用10?元钱买杂志(每种至多买一本，10?元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答)．18．4?个相同的红球和?6?个相同的白球放入袋中，现从袋中取出?4?个球；若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？9(12?分)从?1?到?6?的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)20?已知(1＋2?x)n?的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数5的?2?倍，而且是它的后一项系数的6，试求展开式中二项式系数最大的项．21?某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2?人，去参加再就业培训，培训后这?6?人中有?2?人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排?1?人，问共有多少种不同的安排方法．22．10?件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有?2?件商品不能参加评选，要选出?4?件商品，并排定选出的?4?件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选?6?件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？1,D2,由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步，先确定函数值?1?的原象：因为?y＝x2，当?y＝1?时，x＝1?或?x＝－1，为此有三种情况：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，确定函数值?4?的原象，因为?y＝4?时，x＝2?或?x＝－2，为此也有三种情况：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步计数原理，得到：3×3＝9?个．选?C.3,B,4B44 22 85C?当?A?出现在第一步时，再排?A，B，C?以外的三个程序，有?A33种，A?与?A，B44 22 8成?4?个可以排列程序?B、C?的空档，此时共有?A33A1A2种排法；当?A?出现在最后一步时的排法与此相同，故共有?2A33A1A2＝96?种编排方法．6A?先从?10?人中选出?2?人承担甲任务有?C10种选法，再从剩下的?8?人中选出2?人分别承担乙、丙任务，有?A28种选法，由分步乘法计数原理共有?C10A2＝2?520?种不同的选法．故选?A.7不考虑不能停靠的车道，5?辆车共有?5！＝120?种停法．A?停在?3?道上的停法：4！＝24(种)；B?种停在?1?道上的停法：4！＝24(种)；A、B?分别停在?3?道、1?道上的停法：3！＝6(种)．故符合题意的停法：120－24－24＋6＝78(种)．故选?A.令?x＝1，得?2n＝16，则?n＝4.故选?C.4分两步完成：第一步，其余?3?人排列有?A33种排法；第二步，从?4?个可插空档中任选?3?个给甲、乙、丙?3?人4站有?A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有?A3A3＝144?种．B r 810,CTr＋1＝(－a)rC8x8－2r，令?8－2r＝0 r＝4.∴T5＝C4(－a)4＝1?120，∴a＝±2.当?a＝2?时，和为?1；当?ar 8时，和为?38.4 4 4 311,D 分两类：①甲运?B?箱，有?C1·?C2·?C2种；②甲不运?B?箱，有?C2·?C4 4 4 34 4 4 3∴不同的分配方案共有?C1·?C2·?C2＋C2·?C2·?C24 4 4 3,A?分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从?5?名男教师中选出两名，且该女教师只能在室2 5 5内流动监考，有?C1·?C2种选法；第二类，选两名女教师和一名男教师有?C2·2 5 55 2 2 5 5 2教师中选一名作为室内流动监考人员，即有?C2·?C1·?C1共?10?种选法，∴共有?C1·?C2＋C2·?5 2 2 5 5 2A13.4 16 ∵展开式共有?5?项，∴n＝4，常数项为?C4424＝16.414. 甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有?A3·?A2＝72(种)．15. 0?或?5 16,14?因4为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是?2?或?3?的情况不合题意，所以适合题意的四位数有?24－2＝14?个．17.解析分两类：第一类，买?5?本?2?元的有?C58?种；第二类，买?4?本?2?元的和?2?本?1?元的有?C48×C23种．故共有?C58＋C48×C23＝266?种不同的买法种数．18.解析依题意知，取出有?4?个球中至少有?2?个红球，可分三类：①取出的全是红球有?C44种方法；②20.解析? 由题意知展开式中第?k＋1?项系数是第?k?项系数的?2?倍，是第?k＋2?项系数的，6 4 6取出的?4?个球中有20.解析? 由题意知展开式中第?k＋1?项系数是第?k?项系数的?2?倍，是第?k＋2?项系数的，6 4 64 6 4 6理，共有?C4＋C3·?C1＋C2·?C4 6 4 6319.解析(1)四位数共有?C23C2A4＝216?个．333 3(2)上述四位数中，偶数排在一起的有?C23C2A3A2＝10833 3(3)两个偶数不相邻的四位数有?C23C2A2A2＝108?个．56∴Ckn2k＝6Ckn＋1·?2k＋ ∴?Ckn2k＝6Ckn＋1·?2k＋1， ? k k5解得?n＝7.∴展开式中二项式系数最大两项是：37T4＝C37(2?x)3＝280x2与?T5＝C4(2?x)4＝560x2.721. 6?人中有?2?人返回原单位，可分两类：2(1)2?人来自同科室：C13C1＝6?种；23 2 2 3 2 2(2)2?人来自不同科室：C2C1C1，然后?2?人分别回到科室，但不回原科室有?3?种方法，故有?3 2 2 3 2 236?种．由分类计数原理共有?6＋36＝42?种方法22.解析(1)10?件商品，除去不能参加评选的?2?件商品，剩下?8?件，从中选出?4?件进行排列，有?A48＝1?680(或8C4·?A4)(种)．8(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在?6?个位置中的两个位置上，有?A26种方法，再从剩下的8 6 8 88?件商品中选出?4?件，布置在剩下的?4?个位置上，有?A4种方法，共有?A2·?A4＝50?400(或?C4·?8 6 8 8。

习题课两个计数原理与排列、组合学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步加深理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．1．两个计数原理(1)分类加法计数原理(2)分步乘法计数原理2．排列、组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．3．解析受限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略；(2)正难则反，等价转化的策略；(3)相邻问题，捆绑处理的策略；(4)不相邻问题，插空处理的策略；(5)定序问题，除法处理的策略；(6)“小集团”排列问题，先整体后局部的策略；(7)平均分组问题，除法处理的策略；(8)构造模型的策略．类型一两个计数原理的应用命题角度1 “类中有步”的计数问题例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案28 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果．反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A．24种 B．30种 C．36种 D．48种考点涂色问题题点涂色问题答案 D解析将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况．故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.命题角度2 “步中有类”的计数问题例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案264解析上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种)；我们以A，B，C，D，E依次代表五个测试项目．若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B，C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A，B，C之一，则上午测试A，B，C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种)．反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．其中m i(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法．跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )A．11 B．12 C．20 D．21考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 D解析根据题意，设5个开关依次为1,2,3,4,5，若电路接通，则开关1,2与3,4,5中至少有1个接通，对于开关1,2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况，对于开关3,4,5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，则电路接通的情况有3×7＝21(种)．故选D.类型二有限制条件的排列问题例3 3个女生和5个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？考点排列的应用题点有限制条件的排列问题解(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A66种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A33种不同的排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同的排法．(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A 55种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A 36种方法，因此共有A 55·A 36＝14 400(种)不同的排法．(3)方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A 25种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A 66种排法，所以共有A 25·A 66＝14 400(种)不同的排法．方法二 (间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A 88种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A 13·A 77种排法和女生排在末位的A 13·A 77种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A 23·A 66种不同的排法，所以共有A 88－2A 13·A 77＋A 23·A 66＝14 400(种)不同的排法． 方法三 (特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A 36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A 55种不同的排法，所以共有A 36·A 55＝14 400(种)不同的排法．(4)方法一 因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A 15·A 77种不同的排法；如果首位排女生，有A 13种排法，这时末位就只能排男生，这样可有A 13·A 15·A 66种不同的排法．因此共有A 15·A 77＋A 13·A 15·A 66＝36 000(种)不同的排法．方法二 3个女生和5个男生排成一排有A 88种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A 23·A 66种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A 88－A 23·A 66＝36 000(种)不同的排法． (5)(顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，共有A 88A 22＝20 160(种)不同的排法．反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽)． (2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．跟踪训练3 为迎接中共十九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为( ) A ．720 B ．768 C ．810 D ．816 考点 排列的应用题点有限制条件的排列问题答案 B解析根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A47＝840(种)情况，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A44＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有C14A22A33＝48(种)，则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．故选B.类型三排列与组合的综合应用例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C12·C12·C12·C12·A44种．第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C22·C22·A44种．第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C22·C22·A44种．故满足题意的所有不同的排法种数为C12·C12·C12·C12·A44＋2C22·C22·A44＝432.反思与感悟解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．跟踪训练4 某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案36解析先从4名调研员中选2名去同一所学校有C24种方案，然后与另外两名调研员进行全排列对应三所学校，有A33种方案，故共有C24A33＝36(种)分配方案．1．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有( )A．8本 B．9本 C．12本 D．18本考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案 D解析由分步乘法计数原理得，不同编号的书共有2×3×3＝18(本)．2．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为( )A．C23C397B．C23C397＋C33C297C．C5100－C13C497D．C5100－C597考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C23C397种，“有3件次品”的抽取方法有C33C297种，则共有C23C397＋C33C297种不同的抽取方法，故选B.3．从4男3女志愿者中选1女2男分别到A，B，C三地去执行任务，则不同的选派方法有( ) A．36种 B．108种 C．210种 D．72种考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案 B解析从4男3女志愿者中选1女2男有C13C24＝18(种)方法，分别到A，B，C地执行任务，有A33＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理可得不同的选派方法有18×6＝108(种)．4．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．考点排列的应用题点排列的简单应用答案30解析将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A26＝30(种)．5．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答)考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题答案96解析甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A44种方法．丙传第一棒，共有C12·A44种方法．由分类计数原理得，共有A44＋A44＋C12·A44＝96(种)方法．1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．2．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．3．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．4．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．一、选择题1．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一．依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型．若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有( )A．12种 B．6种 C．10种 D．9种考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案 D解析由题意，他的父母的血型都是A，B，O三种之一，由分步乘法计数原理知，其父母血型的所有可能情况共有3×3＝9(种)．2．若C3n＝C4n，则n！3！(n－3)！的值为( ) A．1 B．20 C．35 D．7考点排列数公式题点 利用排列数公式计算 答案 C解析 若C 3n ＝C 4n ，则n (n －1)(n －2)3×2×1＝n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，可得n ＝7，所以n ！3！(n －3)！＝7！3！4！＝7×6×53×2×1＝35.3．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( ) A ．120 B ．204 C ．168 D ．216 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 B解析 由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C 39＝168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C 29＝36(个)， 根据分类加法计数原理知共有168＋36＝204(个)，故选B.4．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( ) A ．72种 B ．54种 C ．48种 D ．8种 考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 C解析 用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有A 22·A 22·A 22，第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A 33种，由分步乘法计数原理可知共有A 33·(A 22)3＝48(种)．5．用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20 000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数的个数为( ) A ．96 B ．78 C ．72 D ．64 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 B解析 比20 000大含两层含义：一是万位不是1，二是5个数字全用上，故问题等价于“由1,2,3,4,5这五个数字组成万位不是1，百位不是3的无重复数字的个数”，万位是3时，有A 44个，万位不是3时，有3×3×A 33个，所以共有A 44＋3×3×A 33＝78(个)，故选B.6．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A．4 320种 B．2 880种 C．1 440种 D．720种考点涂色问题题点涂色问题答案 A解析第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理知，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)涂色方法．7．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退烧药b1，b2，b3，b4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知a1，a2两种药必须同时使用，且a3，b4两种药不能同时使用，则不同的实验方案共有( )A．56种 B．28种 C．21种 D．14种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析分3类：当取a1，a2时，再取退烧药有C14种方案；取a3时，取另一种消炎药的方法有C12种，再取退烧药有C13种，共有C12C13种方案；取a4，a5时，再取退烧药有C14种方案．故共有C14＋C12C13＋C14＝14(种)不同的实验方案．8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言顺序的排法种数为( ) A．360 B．520 C．600 D．720考点排列的应用题点排列的简单应用答案 C解析根据题意，可分两种情况讨论：①甲、乙两人中只有一人参加，有C12·C35·A44＝480(种)情况；②甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240(种)情况，其中甲、乙两人的发言相邻的情况有C22·C25·A33·A22＝120(种)．故不同发言顺序的排法种数为480＋240－120＝600.二、填空题9．小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格，则每所大学恰有两位同学申请，且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有________种．考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案 4解析设小明、小红等4位同学分别为A，B，C，D，小明、小红没有申请同一所大学，则组合为(AC，BD)与(AD，BC)．若AC选甲学校，则BD选乙学校，若AC选乙学校，则BD选甲学校；若AD选甲学校，则BC选乙学校，若AD选乙学校，则BC选甲学校．故共有4种方法．10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案126解析按从事司机工作的人数进行分类：①有1人从事司机工作：C13C24A33＝108(种)；②有2人从事司机工作：C23·A33＝18(种)．∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.11．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案12解析从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C46种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C46－3＝12(个)四面体．12．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案8解析首先排两个奇数1,3，有A22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3之间，有C12种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.三、解答题13．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？考点 排列的应用题点 排列的简单应用解 (1)有A 55＝120(种)不同的方法．(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有A 22A 22A 23＝24(种)不同的方法．(3)按人数分配方式分类：①3,1,1，有C 35C 12C 11A 22A 33＝60(种)方法； ②2,2,1，有C 25C 23A 22A 33＝90(种)方法． 故共有60＋90＝150(种)分配方法．四、探究与拓展14．已知x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5,6，则满足x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＝2的数组(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6)的个数为________．考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 90解析 根据题意，∵x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＝2，x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5,6， ∴x i 中有2个1和4个0，或3个1、1个－1和2个0，或4个1和2个－1，共有C 26＋C 36C 23＋C 46＝90(个)，∴满足x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＝2的数组(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6)的个数为90. 15．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用解 本题分两种情况讨论．(1)如果4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有C 24A 22A 22＝24(种)不同的情况．(2)如果4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有C 12C 24C 22＝12(种)不同的情况．综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( )A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】 从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．【答案】 C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64【解析】 由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C 28＝28条公路．【答案】 C3．组合数C r n (n >r ≥1，n ，r ∈N )恒等于( )A.r ＋1n ＋1C r －1n －1B ．(n ＋1)(r ＋1)C r －1n －1 C ．nr C r －1n －1 D.n r C r －1n －1【解析】 n r C r －1n －1＝n r ·(n －1)！(r －1)！(n －r )！＝n ！r ！(n －r )！＝C r n . 【答案】 D4．满足方程C x 2－x 16＝C 5x －516的x 值为( )A ．1,3,5，－7B ．1,3C ．1,3,5D ．3,5【解析】依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．【答案】 B5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A．20 B．9C．C39D．C24C15＋C25C14【解析】分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．【答案】 B二、填空题6．C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________．【解析】原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.【答案】7 3157．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．【解析】从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集．【答案】108．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法．【答案】210三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1C x5－1C x6＝710C x7中的x；(2)解不等式C m－18>3C m8.【解】(1)原式可化为：x！(5－x)！5！－x！(6－x)！6！＝7·x！(7－x)！10·7！，∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．(2)由8！(m－1)！(9－m)！>3×8！m！(8－m)！，得19－m>3m，∴m>27－3m，∴m>274＝7－14.又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，∴m＝7或8.[能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有()A．36个B．72个C．63个D．126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C49＝126个．【答案】 D2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有() 【导学号：97270017】A．140种B．84种C．70种D．35种【解析】可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C14·C25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．【答案】 C3．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．【解析】∵1≤m<n≤5，所以C m n可以是C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25，C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．【答案】 64．证明：C m n＝nn－mC m n－1.【证明】nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­1­1所示为一个电路图，从左到右可通电的线路共有( )图1­1­1A．6条B．5条C．9条D．4条【解析】从左到右通电线路可分为两类：从上面有3条；从下面有2条．由分类加法计数原理知，从左到右通电的线路共有3＋2＝5条．【答案】 B2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种B．24种C．120种D．12种【解析】先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．【答案】 A3．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )A．53种B．35种C．8种D．15种【解析】每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．【答案】 B4．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4【解析】利用分类加法计数原理．当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6个；当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5个；当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4个．据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15个．【答案】 A5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B 的值，则形成的不同直线有( ) 【导学号：97270002】A．18条B．20条C．25条D．10条【解析】第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．【答案】 A二、填空题6．椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．【解析】因为焦点在y轴上，所以0<m<n，考虑m依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20个．【答案】207．某班2016年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为______．【解析】将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：6×7＝42(种)．【答案】428．如图1­1­2，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________．图1­1­2【解析】依题意，首先找出B到A的路线，一共有4条，分别是BCDA，信息量最大为3；BEDA，信息量最大为4；BFGA，信息量最大为6；BHGA，信息量最大为6.由分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.【答案】19三、解答题9．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【解】(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有8＋7＝15(种)．(2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56(种)．10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法；(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？【解】从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．[能力提升]1.一植物园参观路径如图1­1­3所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )图1­1­3A．6种B．8种C．36种D．48种【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种走法，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种走法，参观完第二个区域后，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．【答案】 D2．某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)．某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码所有可能的情况有( ) 【导学号：97270003】A．180种B．360种C．720种D．960种【解析】分五步完成，第i步取第i个号码(i＝1,2,3,4,5)．由分步乘法计数原理，可得车牌号码共有5×3×4×4×4＝960种．【答案】 D3．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．【解析】若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20条，故共有20＋2＝22条不同的直线．【答案】224．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，(1)P可以表示平面上的多少个不同点？(2)P可以表示平面上的多少个第二象限的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？【解】(1)完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种．由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点．(2)根据条件需满足a<0，b>0.完成这件事分两个步骤：a的取法有3种，b的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点．(3)因为点P不在直线y ＝x上，所以第一步a的取法有6种，第二步b的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P可以表示6×5＝30(个)不在直线y＝x上的点．。

1．【2015四川省资阳市高二下学期期末质量检测】用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是（ ）（A ）12 （B ）24 （C ）30 （D ）36 【答案】C考点：查排列、组合及简单计数问题 2．【2016广东省惠州市高三第一次调研考试】将甲,乙等5位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这3所大学就读,则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种. A ．150 B ．180 C ．240 D ．540 【答案】A 【解析】试题分析：分为两类,第一类为2+2+1即有2所学校分别保送2名同学,方法数为90241513=C C C ,第二类为3+1+1即有1所学校保送3名同学,方法数为60223513=A C C ,故不同保送的方法数为150种,故选A ． 考点：排列与组合.3．【2015湖北省枣阳白水高中高二下学期期末】8()x 的展开式中62x y 项的系数是（ ） A ．56 B ．56- C ．28 D ．28-【答案】A 【解析】试题分析：由通式r rr y x C )2(88--,令2=r ,则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．考点：二项式定理．4．【2015学年广东省清远一中实验学校高二下学期期中】有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则语文书不相邻的排法有（ ） A 、36种 B 、48种 C 、72种 D 、144种 【答案】C 【解析】试题分析：首先排数学书和物理书,然后将语文书插空,所以种数为32234272A C A =种考点：排列问题 5．【2015届陕西省西安市一中高三下学期自主命题】用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有（ ） A ．96个 B ．78个 C ．72个 D ．64个 【答案】B 【解析】试题分析：54544396187854A A ⨯-⨯=-= 考点：排列组合．6．【2015山东省文登市高二下学期期末】现有16个不同小球,其中红色,黄色,蓝色,绿色小球各4个,从中任取3个,要求这3个小球不能是同一颜色,且红色小球至多1个,不同的取法为A ．232B ．256C ．408D ．472【答案】D考点：组合知识的应用． 7．【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题】设()f x 是错误！未找到引用源。