高二数学计数原理

练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
混合问题，先“组”后“排”
例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 3 1 4 次测试是次品。故有： C C A 576 种可能。
各步之间是互相关联的。
各类办法是互相独立的。
1.2：排列与组合 排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个 m 元素的排列数。用符号 A 表示 . n
4 6 4
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
1 C53 C3 C 42 A33 1080
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生
体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
C
m n 1
n 2 n
（3）当n为偶数时， C
最大
当n为奇数时， C
（ 4） C
0 n 1 n
n 1 2 = n
C
n 1 2 n
n
且最大
C C 2
n n
1.3：二项式定理
奇数项二项式系数和 偶数项二项式系数和： C C C C C C 2
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 C 2C 1 A2 个盒子至少一个，有多少种放法？ 3 1 2 2 2 3 1 C4 C2 2 问题2：4本书分给两个同学，每人 C C + A 4 1 2 2 A 2 至少一本，有多少种放法？ 问题3：三名教师教六个班的课，每人 至少教一个班，分配方案共有多少种？
A 6(种)
3 3
涂色问题
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢？
涂色问题 例、某城市在中心广场建造一个花圃， 花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的 栽种方法有______种.（以数字作答）
王新敞
奎屯
新疆
5. ( x 7 y) 展开式的二项式系数之和为128、那么展 开式的项数是 ；各项系数之和为：
排列数公式： A nn 1n 2n m 1
m n
n! n m !
其中：n, m N * , 并且m n.
1.2：排列与组合 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个组合。 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个 m 元素的组合数。用符号 C 表示 . n nn 1n 2 n m 1 m 组合数公式： C n m! n! m! n m ! 其中：n, m N * , 并且m n.
法共有多少种?
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
C C A
6 4
2
2
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.
1 3 2 6 1 2 2 4
(C C ) (C C ) 1 540
涂色问题
例：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
（3）三个女生排在一起；
（4）三个女生两两都不相邻；
例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
1.3：二项式定理
1、二项定理: 一般地，对于n N*有
0 n 1 n 1 2 n2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b
C a
r n
nr
b C b
r n n
n
通项公式 Tr+1 = C a b
n
1 n 2 n 2
r n-r n
r
解法一: 按地图A、B、C、D四个区域依 次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。 解法二: 3种颜色4块区域，则肯定有两块同色， 只能A、D同色，把它们看成一个整体元素，所 以涂色的方法有：
5 1 6 2 3 4
课堂练习： 1、如图，是5个区域，用红、黄、 蓝、白、黑5种颜色涂这些区域，使 每个区域涂一种颜色，且相邻的区 域涂不同的颜色。如果颜色可反复 使用，那么共有多少种涂色方法？
2、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里， 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同 一种作物，不同的种植方法共有多少种？（以 数字作答）
2 2 2 1 1 1 2 3 4 C2 C4 C2 3 C1 C 6 + C 6 C 5 C 3 +C 6 A3 2 3 A2 A3
此问也可用 多个分给少个时，采用先分组 隔板法
再分配的策略
例、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处 5 理. C29 4095 解:采用“隔板法” 得:
3
15
1820 展开式中含x3项的系数为___________ 。
2 n 4. ( x 2 ) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系 x
数之比为14：3，求展开式的常数项
Tr 1 C ( x )
r 10
10 r
2 r r r ( 2 ) (2) C10 x x
1
10 5 r 2
分配问题
问题1：3个小球放进两个盒子，每 C 2C 1 A2 个盒子至少一个，有多少种放法？ 3 1 2 2 2 3 1 C4 C2 2 问题2：4本书分给两个同学，每人 C C + A 4 1 2 2 A 2 至少一本，有多少种放法？ 问题3：三名教师教六个班的课，每人 至少教一个班，分配方案共有多少种？ 2 2 2 1 1 1 2 3 4 C2 C4 C2 3 C1 C 6 + C 6 C 5 C 3 +C 6 A3 2 3 A2 A3
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些 不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题 插空处理的策略
相邻问题，常用“捆绑法” 不相邻问题，常用 “插空法” 例：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不 同排法： （1）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾；
r r n n n n
2、 (1+ x) 1 + C x + C x + + C x + + C x
一般地， ( a b ) 展开式的二项式系数
n
C , C , C
0 n
1 n
（ 1） C （ 2） C
n n 有如下性质： m nm （对称性） n n
C
m n
C
m 1 n
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取 出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便 是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
排列组合典型例题
排列组合应用题的常用方法
1、基本原理法 3、捆绑法 5、间接法 2、特殊优先法 4、插空法 6、穷举法
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连 排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）； 2．基本的解题方法： （１）有特殊元Βιβλιοθήκη Baidu或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
分类计数原理
区别1 完成一件事，共有n类 办法，关键词“分类”
分步计数原理
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 区别2 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。 区别3
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
多个分给少个时，采用先分组 再分配的策略
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解: (1) C C C C 3150 2 2 C C C (2) 6 4 C 18900
第一章：计数原理（补充）
1.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.2：排列与组合
加法原理和乘法原理
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还 可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3 班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 方法。
分组问题
问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？
2 1 C3 C1
问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？
2 2 C C 3 1 C4 C1 + 4 2 2 A2
问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？
平均分成m m 组要除以 Am
2 2 2 1 1 C C C 1 2 3 4 2 1 6 C4 C2 C6 C5 C 3 +C 6 2 + A2 A33
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n n 1
赋值法
x 2 5 1.求： ( ) 的有理项 2 x
( x 1) 4 4( x 1) 3 6( x 1) 2 4( x 1) 1 2.化简：
.
3.(1 x) (1 x)
2
(1 x) (1 x)
种
9.1 加法原理和乘法原理
2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路 有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法? 北 A村 中 南 北
B村
南
C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方 法. 2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件 事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.