高二数学计数原理

1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)2.排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!Cnm=n!/(n-m)!m!Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1k•k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑) 插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m二项式系数在中间。

(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

第一章 计数原理《计数原理》小结与复习班 ：高二（）班学号：姓名：一．知识点整理价：1、两个基本 数原理：（ 1）分 数原理：达成一件事，有n 法 , 达成 件事共有 N=m +m+⋯+m种不一样的方法。

12n（ 2）分步 数原理：达成一件事，需要分红n 个步 ，达成 件事有N=m × m ×⋯× m 种不一样的方法。

12n2、摆列（ 1）摆列：一般地，从n 个不一样的元素中拿出m （ m n ）个元素，并按必定的 序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列。

（ 2）摆列数公式：A n mn (n1) (n 2) (n m 1)n! ，(n m)!3、 合（ 1） 合：一般地，从n 个不一样元素中拿出 m 个不一样元素并成一 ，叫做从n 个不一样元素中拿出 m 个不同元素的一个 合。

m（ 2） 合数公式：C mn ( n 1)( n2)(nm 1) ,Cmn !nnmm !nm !( nm ) !（ 3） 合数公式性 ：m性 1: C n mC n n m性 2:C n k C n k 1 C n k 11推 1: C k 0 C k 1 1C k 2 2 C n t C n t 1推 2:C k kC k k 1 C k k 2C n k C n k 114、二 式定理：（ 1）二 式定理： (a b)nC n 0a n C n 1a n 1 b C n 2a n2b 2C n r a n r b rC n n b n（ 2）通 是睁开式的第，即：2、二 睁开式的特色:（ 1） 数：共 n ＋ 1 ；（ 2）指数： a 按降 摆列， b 按升 摆列，每一 中a 、b 的指数和 n（ 3）系数 : 第 r ＋ 1 的二 式系数 Cr(r ＝0,1,2, ⋯， n )n二．稳固练习价： 1.( 西安 )4 个男生与 3 个女生站成一排，假如两头不站女生且3 个女生必 相 的排法有( ) 。

高二第六章计数原理知识点计数原理是离散数学的一部分，用于研究和探索计数的方法和技巧。

在高二的数学学习中，计数原理作为重要的知识点之一，在组合数学、概率论和图论等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍高二第六章计数原理的相关知识点和常见应用。

一、排列与组合1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序取出若干个元素，形成不同的顺序。

排列可以分为有重复元素的排列和没有重复元素的排列。

在计数原理中，排列问题常用的计算方法是利用阶乘。

2. 组合组合是指从一组元素中无序地取出若干个元素，形成一个子集。

组合问题也可以分为有重复元素的组合和没有重复元素的组合。

在计数原理中，组合问题的计算方法是利用组合数公式。

二、二项式定理1. 二项式的展开二项式定理是计算二项式的重要工具，它可以将一个二项式展开成一系列项的和。

二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中C(n,k)表示从n个不同元素中选出k个元素的组合数。

2.应用举例通过二项式定理，我们可以计算多项式的展开式，从而得到多项式的各个系数。

比如，我们可以计算(a + b)^3的展开式：(a + b)^3 = C(3,0) * a^3 * b^0 + C(3,1) * a^2 * b^1 + C(3,2) * a^1 * b^2 + C(3,3) * a^0 * b^3= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3三、鸽巢原理鸽巢原理是指如果有n只鸽子进入m个巢，其中n > m，那么至少有一个巢中会有两只或两只以上的鸽子。

鸽巢原理在图论、密码学等领域有着广泛的应用，尤其是在处理极端情况和求解最优解问题时。

四、容斥原理容斥原理是一种计算基数的方法，用于解决多个集合的交、并、补的计数问题。

容斥原理的核心思想是通过对各个集合的计数进行加减交替操作，以得到所求的总数。

1.1 两个基本计数原理1．分类计数原理完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．预习交流1应用分类计数原理的原则是什么？提示：做一件事有n 类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．预习交流2应用分步计数原理的原则是什么？提示：做一件事要分n 个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事．一、分类计数原理问题从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．解：根据运输工具可分四类：第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法；第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法；第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法；根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15.设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．答案：14解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种．如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．二、分步计数原理问题有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理．解：分三步完成：第1步是取红球，有6种不同的取法；第2步是取白球，有5种不同的取法；第3步是取黄球，有4种不同的取法；根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120.现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法．答案：756解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法．如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种．答案：12解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种．2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种．答案：16解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种．3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有__________种不同的选法．答案：255解析：分三类：第1类是从高一和高二各取1人，有9×12＝108种选法；第2类是从高一和高三各取1人，有9×7＝63种选法；第3类是从高二和高三各取1人，有12×7＝84种选法；由分类计数原理，不同的选法有N＝108＋63＋84＝255种．4．某体育彩票规定，从01～36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想选定吉利号18，然后从01～17中选3个连续的号，从19～29中选2个连续的号，从30～36中选1个号组成一注，若这个人要把这种号全买下来至少要花多少钱？解：分三步选号：第1步从01～17中选3个连续的号共有15种选法；第2步从19～29中选2个连续的号共有10种选法；第3步从30～36中选1个号共有7种选法；因此由分步计数原理知共有N＝15×10×7＝1 050(注)，故要花1 050×2＝2 100(元)．5．有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位同学必须只参加一项比赛，有多少种竞赛方案？(2)每项竞赛只允许一位同学参加，有多少种竞赛方案？解：(1)同学可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于同学无条件限制，所以每位同学均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位同学参加竞赛的项目全确定下来．因此分四步，所以根据分步计数原理，共有N＝3×3×3×3＝34＝81种不同的方案．(2)竞赛项目可挑选同学，而同学无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同的同学中的一个，要完成这件事须每项竞赛所参加的同学全部确定下来才行．因此需分三步，根据分步计数原理，共有M＝4×4×4＝64种不同的方案．1.2 排列1．排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．预习交流1如何判断一个问题是否是排列问题？提示：排列问题与元素的排列顺序有关，是按一定的顺序排成一列，如果交换元素的位置，其结果发生了变化，叫它是排列问题，否则，不是排列问题．2．排列数的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．根据分步计数原理，我们得到排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．在排列数公式中，当m＝n时，即有A m n＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1，A n n称为n的阶乘(factorial)，通常用n！表示，即A n n＝n！.我们规定0！＝1，排列数公式还可以写成A m n＝! ()!nn m.预习交流2如何理解和记忆排列数公式？提示：A m n是m个连续自然数的积，最大一个是n，依次递减，最后一个是(n－m＋1)．一、排列问题下列三个问题中，是排列问题的是__________．①在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”，若共有12支球队参赛，求比赛场数；②在“世界杯”足球赛中，采用“分组循环淘汰制”，共有32支球队参赛，分为八组，每组4支球队进行循环，问在小组循环赛中，共需进行多少场比赛？③在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采用“抽签捉对淘汰制”决出冠军．若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？思路分析：交换元素的顺序，有影响的是排列问题，否则，不是．答案：①解析：对于①，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于②，由于是组内循环，故一组内的甲、乙只需进行一场比赛，与顺序无关，故不是排列问题；对于③，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，故不是排列问题．下列问题是排列问题吗？并说明理由．①从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？②从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？解：①不是排列问题；②是排列问题．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关，但做除法时，两个元素谁是除数，谁是被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．判断排列问题的原则：①与顺序有关；②元素互不相同；③一次性抽取． 二、排列数问题解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：先把式中的排列数转化为关于x 的表达式，并注意A mn 中m ≤n ，且m ，n 为正整数这些限制条件，再求解关于x 的方程．解：由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)．∵x ≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0.解得x ＝5或x ＝23(舍)，故x ＝5.解不等式：A x 9＞6A x －26.解：由排列数公式，原不等式可化为：9！－x ！＞6×6！－x ＋！，∴9×8×79－x＞6，解得x ＞－75.又⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ≤9，6≥x －2，∴2≤x ≤8.又∵x 为整数，∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}． 有关以排列数公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解，但应注意其中的字母都是满足一定条件的自然数．三、数字排列问题用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数，如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？思路分析：先排个位数，再排千、百、十位数，再由分步计数原理求得适合条件的四位数的个数．解：第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A 13种排法，第二步排千、百、十这三个数位上的数，有A 36种排法．根据分步计数原理，适合条件的四位数的个数为N ＝A 13A 36＝360，所以这样的四位数有360个．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？解：法一：因为0和5不能排在首位和个位，先将它们排在中间4个数位上有A 24种排法，再排其他4个数位有A 44种排法，由分步计数原理得，共有A 24·A 44＝12×24＝288个数符合要求．法二：六个数位的全排列共有A 66个，其中0排在首位或个位有2A 55个，还有5排在首位或个位上的也有2A 55个，这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法有2A 44种，所以符合条件的数字个数有A 66－4A 55＋2A 44＝288个．关于数字问题要注意首位数字不能为0，其次注意特殊位置或特殊数字，再考虑其他位置或其他数．也可用全排列数减去不合要求的排列数．1．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n ＝__________. 答案：7解析：由排列数公式得，n (n －1)＝7(n －4)(n －5)，∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7或n ＝103(舍)．∴n ＝7. 2．将五辆车停在5个车位上，其中A 车不停在1号车位上的停车方案有__________种． 答案：96解析：因为A 车不停在1号车位上，所以可先将A 车停在其他四个车位上，有A 14种停法；然后将另外四辆车在剩余的四个车位上进行全排列，有A 44种停法，由分步计数原理得，共有N ＝A 14·A 44＝4×24＝96种不同的停车方案．3．用1,2,3,4,5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数有__________个． 答案：36解析：当个位数字分别为1,3,5时，百位、十位上数字的排列总数均为A 24＝12个．由分类计数原理知，没有重复数字的三位奇数共有12＋12＋12＝36个．4．从甲、乙、丙、丁4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块试验田上进行试验，其中甲品种必须入选，则不同的种植方法有多少种？解：本题相当于从4个元素中取出3个元素的排列，其中甲元素必取，优先考虑甲元素，先排甲，有A 13种方法，再从乙、丙、丁三个元素中选出两个元素的排列数为A 23.则由分步计数原理得，满足条件的排列有A 13·A 23＝18种不同的种植方法．5．从7名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，求满足下列条件的方案种数． (1)甲、乙二人都不跑中间两棒； (2)甲、乙二人不都跑中间两棒．解：(1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒，有A 25种方法，再从余下的5人中安排首末两棒，有A 25种方法，由分步计数原理知共有A 25·A 25＝400种不同的安排方案．(2)从7人中选4人安排接力赛有A 47种方法，而甲、乙都跑中间两棒有A 25A 22种方法，因此符合条件的方案有A 47－A 25A 22＝800种．1.3 组合1．组合的概念一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．预习交流 1如何区分排列问题和组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．2．组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．C mn ＝A mn A m m ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！.预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示：同排列数公式相类比，在排列数公式的基础上，分母再乘以m ！. 3．组合数的性质性质1：C m n ＝C n －m n ，性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 预习交流3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从n 个元素中取m 个元素，就剩余(n －m )个元素，故C m n ＝C n －mn .从n ＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n ；第二类不含有此元素a ，则为C m n ，由分类计数原理知：Cm n ＋1＝C m n ＋C m －1n .一、组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题．①设集合A ＝{a ，b ，c ，d }，则集合A 的含3个元素的子集有多少个？ ②一个班中有52人，任两个人握一次手，共握多少次手？③4人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换两个元素的顺序，看结果是否有影响，如无影响则是组合问题． 解：①因为集合中取出的元素具有“无序性”，故这是组合问题； ②因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题； ③因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．下列问题中，是组合问题的有__________．①从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；②从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法； ③a ，b ，c ，d 四支足球队进行单循环赛，共需多少场比赛； ④a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果． 答案：①③解析：①2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题； ②2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题； ④冠亚军是有顺序的，是排列问题．组合问题与顺序无关，而排列问题与顺序有关． 二、组合数公式及组合数的性质(1)计算C 98100＋C 199200；(2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ；(3)化简C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1.思路分析：先把组合数利用性质化简或利用组合数性质直接求解．解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.(2)由C 3n ＋618＝C 4n －218，知3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋(4n －2)＝18，解得n ＝8或2.而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4且n ∈N *，∴n ＝2.(3)C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1＝1＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 55＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48＝C 57＋C 47＋C 48＝C 58＋C 48＝C 59＝C 49＝9×8×7×64×3×2×1＝126.(1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝__________；(2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101＝__________.答案：(1)329 (2)16解析：(1)原式＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 310－1＝…＝C 410＋C 310－1＝C 411－1＝329.(2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 31013！÷A 3101＝16.利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时，可结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的．三、组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种．(2)从6名男教师中选2名的选法有C 26，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C 26·C 24＝6×52×1·4×32×1＝90种．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：方法一：(直接法)至少1名女生当选可分为两类：第一类：1名女生1名男生当选代表，有C 13·C 17种方法，第二类：2名女生当选代表，有C 23种方法．由分类加法计数原理，至少有1名女生当选的不同选法有C 13·C 17＋C 23＝21＋3＝24种．方法二：(间接法)10名学生中选2名代表有C 210种选法，若2名代表全是男生有C 27种选法，所以至少有1名女生当选代表的选法有C 210－C 27＝24种．利用组合知识解决实际问题要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法； ②要使用分类方法，要做到不重不漏；③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有__________． ①某班选10名学生参加拔河比赛；②由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a 的坐标； ③由1,2,3,4选出两个数分别作为双曲线的实轴和虚轴，焦点在x 轴上的双曲线方程数； ④从正方体8个顶点中任取两个点构成的线段条数是多少？ 答案：①④ 解析：由组合的概念知①④是组合问题，与顺序无关，而②③是排列问题，与顺序有关．2．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝__________. 答案：161 700解析：原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100＝C 3100＝161 700.3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这几个点中的每三个点作圆，共可作__________个圆．答案：220解析：由题意知，可作C 312＝12×11×103×2×1＝220个不同的圆．4．解方程：C x 17－C x 16＝C 2x ＋216.解：∵C x 17＝C x 16＋C x －116，∴C x 17－C x 16＝C x －116，∴C x －116＝C 2x ＋216.由组合数的性质得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x ＝－3(舍)或x ＝5.∴x ＝5.5．平面内有10个点，其中任何3点不共线，以其中任意2点为端点，试求：(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45条不同的线段．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A210＝10×9＝90条不同的有向线段．1.4 计数应用题1．简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则．分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理．预习交流1你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则．提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置．2．简单的常见计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除．捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．插空：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：剔除主要用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上．一、剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法有__________种．思路分析：在这10个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10个点中取出4个点的组合数C410减去4个点共面的个数即为所求．答案：141解析：如图，从10个点中任取4个点有C410种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C46种；第二类：4个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知：不同的取法共有：C410－(4C46＋6＋3)＝141种．从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C16·C12＝12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C36－C18＝12种不同的选法．利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏．二、捆绑问题(相邻问题)从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一列，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有__________种．思路分析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列．答案：480解析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C36种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A44种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C36·A44＝480种不同排列．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99＝362 880种不同的停车方法．对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．三、插空问题(不相邻问题)7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是__________．思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：3 600解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A55种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A26种方法，故共有A55·A26＝3 600种不同的排法．晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．解：先排8个唱歌节目共有A88种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A39种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A88·A39＝20 321 280.解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．1．记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不在两端的排法有__________种．答案：960解析：5名志愿者先全排有A55种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A55·C14·A22＝960种不同的排法．2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数有__________个．答案：108解析：插空法，先排2,4,6共有A33种方法；若1,3,5都不相邻，则有A33种方法，若1,3相邻，则有A22A33种方法；∴共有A33(A33＋A22A33)＝108种不同的排法．3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有__________种．答案：1 008解析：若丙排在10月1日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A44A22＝48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A66·A22＝1 440种不同的排法，∴符合题意的排法的种数为1 440－240－240＋48＝1 008.4．有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有C45C44种；第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有(C12C35C44＋C12C45C34)种；第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(C25C44＋C45C24＋C12C35C34)种．由分类计数原理知，可开出名单共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C25C44＋C45C24＋C12C35C34＝185种．5．7位同学站成一排合影留念，(1)其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？(2)甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排有A77种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A66，但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A55种．∴甲不站排头，乙不站排尾的排法有A77－2A66＋A55＝3 720种．(2)用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A55种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A33种，∴甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A55·A33＝720种．(3)用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A44种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A35种排法．∴甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A44·A35＝1 440种．1.5 二项式定理。

第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。

分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。

二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。

排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。

专题03计数原理--高二数学专题解析知识点一：分类加法计数原理一、单选题1．将4封不同的信投入3个不同的信箱，且4封信全部投完，则不同的投法有（）A ．81种B ．64种C ．24种D ．4种【答案】A【分析】利用分步乘法计数原理进行分析，即可求得信的投法总数．【详解】由题意可知，每封信都有3种投法，根据分步乘法计数原理可知，不同的投法有：43333381⨯⨯⨯==种，故选A ．2．有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（）A．3种B．12种C．60种D．不同于以上的答案【答案】B【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算作答.【详解】依题意，计算不同取法种数有3类办法：取一本中文书有5种方法，取一本数学书有4种方法，取一本英语书有3种方法，++=（种）.由分类加法计数原理得：每次取一本，不同的取法有54312故选：B3．某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB 型血的有3人．从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为（）A．1200B．600C．300D．26【答案】A【分析】由分步计数原理即可求解.【详解】分四步：第一步，选O型血的人有10种选法；第二步，选A型血的人有5种选法；第三步，选B型血的人有8种选法；第四步，选AB型血的人有3种选法．故共有10×5×8×3＝1200（种）不同的选法．故选：A4．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（）A．8B．16C．24D．32【答案】C【分析】利用分类加法原理即可求解.【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个，若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个，所以梯形的个数是16+8=24，故选：C.5．某商场共有4个门，若从一个门进，另一个门出，不同走法的种数是（）A．10B．11C．12D．13【答案】C【分析】利用分步乘法原理即可得解.【详解】分两步完成，第一步：从4个门中选择一个门进有4种方法，第二步：从余下的3个门中选一个出有3种方法，⨯=种.根据分步计数乘法原理，共有4312故选：C6．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种【答案】B【详解】第一步，把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，故选B．二、填空题7．某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有______种不同的走法【答案】25【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理计算作答.【详解】依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步计数乘法原理知，从上山到下山方法共⨯=种，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法.有5525故答案为：258．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成__________个四位数号码？．【答案】10000【分析】用分步乘法原理计算即可求解.【详解】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第1步，有10种拨号方式，第2步，有10种拨号方式，第3步，有10种拨号方式，第4步，有10种拨号方式，⨯⨯⨯=个四位数的号码.根据分步计数原理，共可以组成1010101010000故答案为：10000.9．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有___________个．【答案】12【分析】分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4，4种情况，分别求得满足题意“好数”个数，根据分类加法计数原理，即可得答案．【详解】当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况．当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种，当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果．-表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成10．如图，设点P为正四面体A BCD的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有________个.【答案】10【分析】根据分类计数原理求解即可．【详解】符合条件的点P有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心；+=个．集合M中有且只有2个元素，符合条件的点P有4610故答案为：1011．整数3528有______个不同的正因数.【答案】36【分析】先对3528进行分解，找到3223528237=⨯⨯，再根据分步相乘计数原理求解.【详解】3223528237=⨯⨯，3528的正因数必为237a b c ⨯⨯的形式，{}0,1,2,3a ∈，{}0,1,2b ∈，{}0,1,2c ∈，所以3528共有43336⨯⨯=个不同的正因数.故答案为：36.12．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有__________种.【答案】24【分析】分游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况讨论，然后利用分类加法原理求解即可【详解】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有2232C A 6=种，当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有122332C C A 18=种，由分类加法原理可知共有61824+=种，故答案为：2413．A 、B 、C 、D 、E 五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己相邻的人．游戏开始时，球在A 手里，则经过5次传球，传到D 手中，不同的传球方案共有__________种．【答案】10【分析】先结合题意列出前两次传球与后三次传球的情况，从而列出所有满足的传球方案，由此得解.【详解】依题意，由于球只能不与自己相邻的人，所以推得第二次传球后，球只能在①，②，③，④情况中的一种；又第五次传球要传到D 手中，故后三次传球仅能在⑤，⑥，⑦，⑧情况中的一种；由于球只能传给不相邻的人，故只有①⑤，①⑥，①⑧，②⑤，②⑦，②⑧，③⑤，③⑥，③⑧，④⑥，共10个组合可传球，所以不同的传球方案共有10种.故答案为：10.三、解答题14．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？【答案】(1)9；(2)20；(3)94【分析】（1）分析题意，这是一个分类问题，分两种情况讨论，即分别从第一个和第二个信封中取信，由分类加法计数原理计算可得答案（2）分析题意，这是一个分步问题，分两步进行，先从第一个信封中取信，再从第二个信封取信，由分步乘法计数原理计算可得答案（3）将信封投入邮筒，是分步问题，每封信都有4种不同的方法，由分步乘法计数原理计算可得答案【详解】（1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题，从第一个口袋中取一封信有5种情况，从第二个口袋中取一封信有4种情况，则共有549+=种．（2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能完成这件事，是分步问题，应分两个步骤完成，第一步，从第一个口袋中取一封信有5种情况；第二步，从第二个口袋中取一封信有4种情况，由分步乘法计数原理，共有5420⨯=种．（3）第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信投入邮筒有4种可能，L ，第九封信投入邮筒有4种可能，由分步乘法计数原理可知，共有94种不同的投法．【反思】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的运用，解题时，注意分析题意，认清是分步问题还是分类问题，这是解题的关键．15．为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码．在某网站设置的邮箱中，(1)若密码为4位，每位均为0〜9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？(2)若密码为4〜6位，每位均为0〜9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？【答案】(1)10000(2)1110000【分析】（1）根据分步乘法原理即可计算；（2）分密码为4位、5位、6位三种情况分别用分步乘法原理计算，再将所得结果相加即得结果.【详解】（1）设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0〜9这10个数字中任取1个，有10种取法．根据分步计数原理，4位密码的个数是1010101010000⨯⨯⨯=．（2）设置的密码为4〜6位，每位均为0〜9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类．其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为410，510，610．根据分类计数原理，设置由数字0〜9组成的4〜6位密码的个数是4561010101110000++=．故满足条件的密码有1110000个．16．已知集合}2{32101M =---，，，，，，(,)P a b 表示平面上的点(,a b M ∈)．问：(1)(,)P a b 可表示平面上多少个不同的点?(2)(,)P a b 可表示平面上多少个第二象限的点?【答案】(1)36；(2)6【分析】（1）采用分步乘法计数原理，即可求出结果；（2）根据分步乘法计数原理和第二象限点的横坐标和纵坐标的特点，即可求出结果．P a b可分两步完成：【详解】（1）确定平面上的点(,)第一步，确定a的值，共有6种方法；第二步，确定b的值，也有6种方法．⨯=；根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，∴有3种不同的确定方法；第二步，确定b，由于0b>，∴有2种不同的确定方法．⨯=．根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为32617．（多选题）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法【答案】ABC【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，逐项计算，即可求解.【详解】对于A中，从国画中选一副有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中选一副有7种不同的选法，++=种不同的选法，所以A正确；由分类计数原理，共有52714对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，⨯⨯=种不同的选法，所以B正确；根据分步计数原理，共有52770⨯=种不同的选法；对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有5210⨯=种不同的选法；若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有5735若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有2714⨯=种不同的选法，++=种不同的选法，所以C正确；由分类计数原理，可得共有10351459对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，⨯=种不同的选法，所以D错误.根据分步计数原理，不同挂法的种数是542018．（多选题）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（）A ．选1人为负责人的选法种数为30B ．每组选1名组长的选法种数为3024C ．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335D ．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种【答案】ABC【分析】利用加法计数原理判断选项A ；利用乘法计数原理判断选项B ；利用乘法及加法计数原理判断选项C ；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D.【详解】对于A ，选1人为负责人的选法种数：678930+++=，故A 正确；对于B ，每组选1名组长的选法：67893024⨯⨯⨯=，故B 正确；对于C ，2人需来自不同的小组的选法：676869787989335⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对于D ，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有44种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有：434337-=，故D 错误；故选：ABC.19．（多选题）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（）A ．18B ．19C ．24D ．26【答案】AB 【分析】先求出每一条线路单位时间内传递的最大信息量，再由分类加法原理求解即可【详解】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6．因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为346619+++=，【答案】4 13【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出的概率公式计算可得【详解】依题意分22．将圆分成()*2,n n n ≥∈N 个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n 个扇形的涂色方法为n a 种，则n a 与1n a -的递推关系是______．【答案】1143n n n a a --=⨯-（3n ≥）【分析】假设第1个扇形与第n 个扇形不相邻，对这两个扇形颜色相同和不同进行分类计算即可.【详解】如上图所示，由题意，将圆分成()*2,n n n ≥∈N 个扇形，涂色方法有n a 种，若假设第1个扇形与第n 个扇形不相邻，如下图所示：则为第1个扇形涂色，有4种方法，为第2个扇形涂色，有3种方法，为第3个扇形涂色，有3种方法，…，为第n 个扇形涂色，有3种方法，故由分步乘法计数原理，涂色方法共有143n -⨯种，其中，包括了第1个扇形与第n 个扇形颜色不同的方法n a 种，与第1个扇形与第n 个扇形颜色相同的方法x 种，即143n n a x -⨯=+，而第1个扇形与第n 个扇形颜色相同的涂色方法x 种，可以看作将第1个扇形与第n 个扇形合并为一个扇形，如下图所示：即n 1-个扇形的涂色方法1n a x -=（为使1n a -满足题意，需使12n -≥，即3n ≥），综上所述，1143n n n a a --⨯=+（3n ≥），∴n a 与1n a -的递推关系是1143n n n a a --=⨯-（3n ≥）.故答案为：1143n n n a a --=⨯-（3n ≥）.【点睛】本题解题的关键，是将环形涂色问题断开，转换为带形涂色问题进行解决.23．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A ，B 两人中安排一人，第四节课只能从A ，C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有______种．（用数字作答）【答案】36【分析】按第一节上课的老师分成两类，利用分步乘法计数原理计算出每一类安排上课方法数，然后将两类方法数相加即得.【详解】不同的安排方案有两类办法：第一类，第一节课若安排A ，则第四节课只能安排C ，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4312⨯=种排法；第二类，第一节课若安排B ，则第四节课可安排A 或C ，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有24324⨯⨯=种排法，因此不同的安排方案有122436+=种.故答案为：3624．某新闻采访组由5名记者组成，其中甲､乙､丙､丁为成员，戊为组长.甲､乙､丙､丁分别来自A B C D 、、、四个地区.现在该新闻采访组要到A B C D 、、、四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有___________种.【答案】44【分析】通过分类计数原理将问题分成甲，乙，丙，丁都不到自己的地区和甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区两类进行讨论，然后通过分步计数原理得到每一类的答案，最后求和即可.【详解】分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有()3311436⨯⨯⨯⨯=；②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有()21148⨯⨯⨯=.所以总数36844+=.故答案为：44.25．用4种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D 四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色．(1)有多少种不同的涂法？(2)若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种不同的涂法？【答案】(1)256；(2)48【答案】(1)9(2)24【分析】（1）利用分类相加计数原理即可得解；（2）利用分步相乘计数原理即可得解.【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案：第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数为4329++=.（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.⨯⨯=.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为43224。

高二数学计数原理试题答案及解析1. 5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有种(用数字作答).【答案】20【解析】依题可知这5人只能入住一间3人间及一间2人间，第一步先确定在2个2人间中选择哪一间有种；第二步确定哪三个人入住3人间有，剩下的2人住2人间，故这5人入住两间空房的不同方法有种.【考点】1.分步计数原理；2.组合问题.2.二项式 (n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】解：，r="0,1,…,8." 设，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).故选C。

【考点】本题主要考查二项式展开式、等差数列知识。

点评：将二项式定理与数列综合考查，是常见题型。

3.从0，l，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）A．20个B．19个C．25个D．30个【答案】B【解析】0作被除数，1，3，5，7，9做除数，商有 1个；1作被除数，3，5，7，9做除数，商有4个；3作被除数，1，5，7，9做除数，商有4个；5作被除数，1，3， 7，9做除数，商有4个；7作被除数，1，3，5， 9做除数，商有4个；9作被除数，1，3，5，7做除数，商有4个；其中，所以去掉2个重复的商，结果共有1+4×5-2=19个，故选B。

【考点】主要考查分类、分步计数原理的应用。

点评：这是一道易错题。

要审清题意“任取两个数做除法”，这两个数应该是不同的，“不同的商”应该把重复的商去掉。

4.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）A．6种B．9种C．18种D．24种【答案】C【解析】间接法。

4节课的全排列＝4×3×2×1＝24减去体育课排第一节的情况：其他3节课的全排列 3×2×1＝6所以 24－6＝18 ，故选C。

一、两个基本计数原理（一）知识点1.分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+m n种不同的方法.2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1*m2*...*m n种不同的方法.（二）运用与方法检测：1、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少中不同的选法？从3名工人中选1名上白班和1名上晚班，可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上白班，共有3种选法；上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6(种).2、有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？3的五次3、（1）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是分两类.第一类有5种选法;第二类有4种选法.共9种（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经过B 村去C村不同走法的总数是 3×2=6所有六条路*4、从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有多少个？这样的等比数列有：1、2、4；4、2、1；2、4、8；8、4、2；1、3、9；9、3、1；4、6、9；9、6、4，共计8个，故答案为：8．5、有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，欲从中取出不是同一国文字的两本书，共有多少种不同的取法？取中文和英文:9*7=63取中文和日文:9*5=45取英文和日文:7*5=35总共:63+45+35=143二、排列与组合（一）知识点1.排列（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m （m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A n m表示.（4）从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。