届高考数学二轮复习第1部分专题七概率与统计必考点文11010110

专题七 概率与统计第1讲 计数原理、二项式定理真题试做1．(2012·浙江高考，理6)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种2．(2012·重庆高考，理4)8的展开式中常数项为( )． A ．3516 B ．358 C ．354D ．105 3．(2012·浙江高考，理14)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________. 4．(2012·广东高考，理10)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 3的系数为__________．(用数字作答)考向分析高考中对本讲注重基础知识和基本解题方法、规律的考查，伴随运算能力的考查，基本都为中等难度试题．预测下一步对排列组合会更加注重分类、分步计数原理的考查，因此要注重与概率的联系，加强对本讲知识的理解深度；二项式定理的应用可能会对x 的n 次多项式(1＋ax )n 的考查升温，尤其是利用(1＋ax )n 的展开式会考查赋值思想．热点例析热点一 分类加法和分步乘法计数原理【例１】方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )．A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条规律方法 “分类”与“分步”的区别：关键是看事件的完成情况，如果每种方法都能将事件完成是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成是分步，分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．变式训练1 从A ，B ，C ，D ，E 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )．A ．24B ．48C ．72D ．120热点二 求展开式中的指定项 【例２】在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于__________． 规律方法 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，其中n ∈N *，r ∈N ，r ≤n .注意与(b ＋a )n 的展开式虽然相同，但其展开式中的某一项是不相同的，所以一定要注意顺序问题．变式训练2 若1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为__________．热点三 求展开式中的各项系数的和【例３】若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )．A ．1B ．－1C ．0D ．2规律方法 求展开式中系数和问题，往往要根据展开式的特点赋值．变式训练 3 若(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝__________.思想渗透分类讨论思想在排列组合中的应用由实际意义引起的分类讨论在排列组合问题中比较常见，这是因为分类、分步是解决排列组合问题的两个指导思想．一般采取先分类再分步的策略，分类时要先确定分类标准，是根据特殊元素来分类还是根据特殊位置来分类，然后再解决每一类中的分步问题，最后汇总．在分类时注意标准的选取，做到不重不漏．【典型例题】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种．解析：分三类：第一格填2，则第二格有A 13种填法，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填3，则第三格有A 13种填法，第二、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第四格有A 13种填法，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有3A 13＝9种填法．答案：91．(2012·天津高考，理5)在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为( )． A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－402．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( )．A ．42B ．35C ．28D ．213．(2012·陕西高考，理8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种4．(2012·山东高考，理11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为( )．A ．232B ．252C ．472D ．4845．(2012·辽宁高考，理5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!6．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )．A ．0B ．1C ．11D ．127．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种8．(原创题)一袋中有除颜色外其他均相同的6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．D 2．B 3．10 4．20精要例析·聚焦热点热点例析【例1】B 解析：因为a ，b 不能为0，先确定a ，b 的值有25A 种，则c 有14C 种，即所形成的抛物线有2154A C ＝80条．当b ＝±2时，b 2的值相同，重复的抛物线有1133C C ＝9条；当b ＝±3时，b 2的值相同，重复的抛物线有1133C C 9＝条，所以不同的抛物线共有2154A C －21133C C ＝62条．【变式训练1】C【例2】－160 解析：62x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－的二项展开式中的常数项为36C ·x 3·32x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝－160. 【变式训练2】56【例3】A 解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝(2＋3)4·(2－3)4＝1.【变式训练3】1创新模拟·预测演练1．D 2．D 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A8．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球排4个位置，有44A ＝24种不同的排法； 若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有2234C A ＝36种不同的排法；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有1134C A ＝12种不同的排法；所以有24＋36＋12＝72种不同的排法．。

高考数学二轮复习专题7概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第一讲概率练习文配套作业一、选择题π1．连续两次掷骰子分别获得点数m， n，则向量( m， n)与向量(－1，1)的夹角θ>2的概率是 ( D)1175A. 2B. 3C.12D. 12分析：向量 (， ) 与向量 ( －1，1)的夹角π，) ·( － 1， 1)<0 ，即< ，θ> ，则有(m n2m n n m 故当 m＝2时， n＝1.当 m＝3时， n＝1，2.当 m＝4时， n＝1，2，3.当 m＝5时， n＝1，2，3，4.当 m＝6时， n＝1，2，3，4，5.∴基本领件总数为6×6＝ 36，所求事件包括的基本领件数为15，所以所求的概率为P 15 5＝＝ .36 122．(2014 ·湖北卷) 随机扔掷两枚均匀的骰子，他们向上的点数之和不超出 5 的概率为P1，点数之和大于 5 的概率为P2，点数之和为偶数的概率为P3，则( C)A．P1＜P2＜P3B．P2＜P1＜P3C．P1＜P3＜P2D．P3＜P1＜P21010 2618分析：依题意， P1＝36， P2＝1－36＝36， P3＝36，所以 P1＜ P3＜ P2.选C.3．(2015 ·广东卷 ) 已知 5 件产品中有 2 件次品，其他为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为 ( B)A．0.4 B ．0.6 C ． 0.8 D ．1分析： 5 件产品中有 2 件次品，记为 a ， b ，有 3 件合格品，记为 c ， d ， e ，从这 5 件产品中任取 2 件， 10 有种，分别是( a ， b ) ，( a ， c ) ， ( a ， d ) ，( a ， e ) ， ( b ，c ) ，( b ， d ) ，( b ，e ) ， ( c ， d ) ， ( c ， e ) ， ( d ， e ) ，恰有一件次品，6 有种，分别是 ( a ， c ) ， ( a ， d ) ， ( a ， e ) ，6( b ， c ) ， ( b ， d ) ， ( b ， e ) ，设事件A ＝“恰有一件次品”，则 P ( A ) ＝10＝0.6 ，应选 B.4．已知 Ω＝ {( x ， y )| x ＋y ≤6， x ≥ 0， y ≥0} ， A ＝ {( x ， y )| x ≤4， y ≥0， x － 2y ≥0} ，若向地区 Ω 内随机投一点 P ，则点 P 落在地区 A 内的概率为( D)1 2 1 2A. B.C.9D.3395．(2014 ·江西卷 ) 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5 的概率等于 (B)1 1 1 1A.B.9C.D.18612分析： 掷两颗均匀的骰子，共有36 种基本领件，点数之和为5 的事件有 (1 ， 4) ，(2 ，413) ， (3 ， 2) ， (4 ， 1) 这四种，所以所求概率为36＝ 9. 应选 B.二、填空题6．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目同样的概率是 _________________( 结果用最简分数表示 ) ．2 答案：37．(2014 ·福建卷 ) 如图，在边长为1 的正方形中，随机撒 1 000 粒豆子，有180 粒落到暗影部分，据此预计暗影部分的面积为________．S180分析： 由随机数的观点及几何概型得， 暗影＝1 000 ，所以预计暗影部分的面积为0.18.1答案： 0.18三、解答题8．(2015 ·新课标Ⅱ卷) 某企业为认识用户对其产品的满意度，从 A，B两地域分别随机检查了40 个用户，依据用户对产品的满意度评分，获得 A 地域用户满意度评分的频次散布直方图和B地域用户满意度评分的频数散布表．A地域用户满意度评分的频次散布直方图B地域用户满意度评分的频数散布表满意度评[50 ， 60)[60 ， 70)[70 ， 80)[80 ， 90)[90 ，100]分分组频数2814106(1)在以下图中作出 B地域用户满意度评分的频次散布直方图，并经过直方图比较两地域满意度评分的均匀值及分别程度( 不要求计算出详细值，给出结论即可) ：B地域用户满意度评分的频次散布直方图(2)依据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70 分70 分到89 分不低于90 分满意度等级不满意满意特别满意预计哪个地域用户的满意度等级为不满意的概率大？说明原因．分析：(1)经过两地域用户满意度评分的频次散布直方图能够看出，B地域用户满意度评分的均匀值高于 A 地域用户满意度评分的均匀值； B 地域用户满意度评分比较集中，而A 地域用户满意度评分比较分别．(2)A地域用户的满意度等级为不满意的概率大．记 C A表示事件：“ A 地域用户的满意度等级为不满意”； C B表示事件：“ B 地域用户的满意度等级为不满意”．由直方图得 P( C A)的预计值为(0.01＋0.02＋0.03 )×10＝0.6， P( C B)的预计值为(0.005＋0.02 ) × 10＝ 0.25. 所以A地域用户的满意度等级为不满意的概率大．9．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，此中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛结束1时，负的一方在下一局当裁判．设各局中两方获胜的概率均为2，各局竞赛的结果互相独立，第 1 局甲当裁判．(1)求第 4 局甲当裁判的概率；(2)求前 4 局中乙恰巧当 1 次裁判的概率．分析： (1) 记A1表示事件“第 2 局结果为甲胜”，A2表示事件“第 3 局甲参加竞赛时，结果为甲负”，A表示事件“第 4 局甲当裁判”．则A＝ A1· A2.1P( A)＝P( A1· A2)＝ P( A1) P( A2)＝4.(2)记 B1表示事件“第1局结果为乙胜”，B2表示事件“第 2 局乙参加竞赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第 3 局乙参加竞赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前 4 局中恰巧当 1 次裁判” .－－－则 B＝ B ·B＋B·B·B＋B·B2131231()＝(－1· 3＋ 1· 2·－3＋ 1·－2)P B P B B B B B B B－－－＝P( B ·B)＋P(B·B· B )＋P(B· B )1312312－－－)＝P( B )·P(B)＋P(B)·P(B)·P( B )＋P(B)·P( B2 131231 111＝4＋8＋45＝8.10．某商场为认识顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名职工随机采集了在该商场购物的 100 位顾客的有关数据，以下表所示.一次购物量1至 4件5至 8件9至 12件13至 16件17 件及以上顾客数 /人x3025y10结算时间 /( 分钟/人)1 1.52 2.53已知这 100 位顾客中的一次购物量超出8 件的顾客占 55%.(1) 确立x，y的值，并预计顾客一次购物的结算时间x 的均匀值；(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超出 2 分钟的概率． ( 将频次视为概率 )分析： (1) 由已知得 25＋y＋ 10＝ 55，x＋ 30＝ 45，∴x＝ 15，y＝ 20，该商场全部顾客一次购物的结算时间构成一个整体，所采集的100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的均匀值可用样本均匀数预计，其预计值为：1× 15＋1.5 ×30＋2×25＋2.5 ×20＋3×10＝1.9( 分钟 ) ．100(2) 记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超出 2 分钟”，1，2， 3 分别表示事A A A件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”，15330“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”．将频次视为概率，得P( A1) ＝100＝20，P( A2) ＝100＝3，P( A3)＝25＝1.10100 4∵ A＝ A1∪A2∪ A3，且 A1，A2， A3是互斥事件，3 3 17∴P( A)＝ P( A1∪ A2∪ A3)＝ P( A1)＋P( A2)＋ P( A3)＝20＋10＋4＝10.故一位顾客一次购物的结算时间不超出 2 分钟的概率为7.1011．(2015 ·新课标Ⅰ卷) 某企业为确立下一年度投入某种商品的宣传费，需认识年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位： t )和年收益 z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费 x i 和年销售量 y i( i ＝1，2，，8)数据作了初步办理，获得下边的散点图及一些统计量的值．1 8表中 w i＝x i， w＝8i＝1w i.(1)依据散点图判断， y＝a＋ bx 与 y＝ c＋ d x，哪一个适合作为年销售y 对于年宣传费x 的回归方程种类(给出判断即可，不用说明原因) ；(2)依据 (1) 的判断结果及表中数据，成立y 对于 x 的回归方程；(3)已知这类产品的年收益 z 与 x，y 的关系为 z＝0.2 y－ x，依据(Ⅱ)的结果回答以下问题：①当年宣传费 x＝49时，年销售量及年收益的预告值是多少？②当年宣传费x 为什么值时，当收益的预告值最大？附：对于一组数据 ( u1，v1) ，( u2，v2) ，， ( u n，v n) ，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘预计分别为：分析： (1) 由散点图能够判断，y＝c＋ d x适合作为年销量y 对于宣传费x 的回归方程式种类．(2)令w＝x，先成立y关于w的线性回归方程式．因为^ ^ ^^ ＋ 68w ，因c ＝ y －dw ＝ 563－68×6.8 ＝ 100.6 ，所以 y 对于 w 的线性回归方程为 y ＝ 100.6 此 y 对于 x 的回归方程为 ^y ＝ 100.6 ＋ 68 x .^ ＋68 49＝ 576.6 ，年收益 z(3) ①由 (2) 知，当 x ＝ 49 时，年销售量 y 的预告值 y ＝ 100.6^的预告值 z ＝ 576.6 × 0.2 － 49＋ 66.32②依据 (2) 的结果知，年收益 z 的预告值^＋ 68 x ) －x ＝－ x ＋ 13.6x ＋ 20.12. 所以当x ＝13.6 z ＝ 0.2(100.6＝ 6.8 ，即 x ＝46.242^时， z 获得最大值．故年宣传费为46.24 千元时，年收益的预告值最大．。

高考数学二轮复习专题 7 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数 第三讲 推理与证明练习 文配套作业一、选择题2 6 53 7 1 10 －21．已知2－ 4＋ 6－4＝ 2，5－ 4＋ 3－4＝ 2，7－ 4＋1－ 4＝ 2，10－ 4＋ － 2－ 4＝ 2，依据以上各式的规律，获得一般性的等式为( A)n8－ nA.n － 4＋（ 8－ n ）－ 4＝2n ＋ 1（ n ＋ 1）＋ 5B.（ n ＋ 1）－ 4＋ （ n ＋ 1）－ 4＝2nn ＋ 4C.＋＝2n － 4（ n ＋ 1）－ 4n ＋ 1n ＋5D.（ n ＋ 1）－ 4＋（ n ＋ 5）－ 4＝2分析： 由 2＋ 6＝ 8， 5＋ 3＝ 8， 7＋ 1＝ 8，知选 A.2．若 a ， b ， c 是不全相等的正数，给出以下判断：① ( a －b ) 2＋ ( b － c ) 2＋ ( c － a ) 2≠ 0；② a >b 与 a <b 及 a ＝ b 中起码有一个建立； ③ a ≠ b ，b≠ c ， a ≠ c 不可以同时建立．此中判断正确的个数是 ( C) A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个分析： ∵ a ， b ， c是不全相等的正数，故①正确．③错误；对随意两个数a ，b ， a ＞ b与 a ＜ b 及 a ＝ b 三者必有其一正确，故②正确．2 3 n － 1 n *3．已知 1＋2×3＋3×3 ＋4×3＋ ＋ n ×3 ＝ 3 ( n · a －b ) ＋ c 对全部 n ∈N 建立，那么(A)11 1A ． a ＝ 2， b ＝ c ＝4B ． a ＝b ＝ c ＝ 41C ． a ＝0， b ＝ c ＝ 4D ．不存在这样的 a ， b ， c分析： 代入 n ＝1， 2， 3，联立对于 a ， b ，c 的方程组可得，也可经过考证法求解．2 （ ）*f x4．已知 f ( x ＋ 1) ＝ f （ x ）＋ 2， f (1)＝ 1 ( x ∈N ) ，猜想 f ( x ) 的表达式为 ( B)A ． f ( x ) ＝ x 4B ． f ( x ) ＝ 22 ＋ 2x ＋ 112C ． f ( x ) ＝ x ＋ 1D ． f ( x ) ＝ 2x ＋ 15．已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝n 2a n ( n ≥2) ，而 a 1＝ 1，经过计算 a 2， a 3， a 4，猜想 a n＝ ( B)22A.（ n ＋ 1） 2B.n （ n ＋ 1）2 2C. nD.2 － 12n － 1分析： 由 S n ＝ n 2a n 知 S n ＋1＝ ( n ＋ 1) 2a n ＋ 1，∴ S n ＋1－ S n ＝ ( n ＋1) 2a n ＋ 1－n 2a n ，∴ a n ＋1＝ ( n ＋ 1) 2a n ＋ 1－ n 2a n ，n∴ a n ＋1＝a n ( a ≥2) ．n ＋2当n ＝2 时， 2＝ 42，又 2＝ 1 ＋2，S aS aaa 112131∴ a 2＝ 3 ＝3， a 3＝ 4a 2＝6， a 4＝ 5a 3＝ 10.11 1由 a 1＝ 1， a 2＝ 3， a 3＝ 6， a 4＝ 10.2猜想 a n ＝n （ n ＋ 1）.二、填空题6. (2014 ·福建卷 ) 若会合 { a ， b ，c ， d } ＝{1 ， 2， 3， 4} ，且以下四个关系：① a ＝ 1；② b ≠1；③ c ＝ 2；④ d ≠4有且只有一个是正确的，则切合条件的有序数组( a ，b ，c ，d ) 的个数是________个．分析：因为题意是只有一个是正确的所以①不建立，不然②建立， 即可得a ≠1，由b ≠1即 b ＝ 2， 3， 4，可得 b ＝ 2，c ＝ 1， d ＝4， a ＝ 3； b ＝ 3， c ＝ 1， d ＝ 4， a ＝ 2，两种状况．由 c ＝2， d ＝ 4， a ＝ 3， b ＝ 1，所以有一种状况．由 d ≠4，即 d ＝1， 2， 3，可得 d ＝2， a ＝ 3， b ＝ 1，c ＝ 4； d ＝2， a ＝ 4， b ＝ 1， c ＝ 3；d ＝ 3， a ＝ 2， b ＝ 1，c ＝ 4，共三种状况．综上共 6 种．答案： 67．(2015 ·福建卷 ) 一个二元码是由0 和 1 构成的数字串*x1x2 x n( n∈N)，此中 x k( k＝1，2，，n) 称为第k位码元．二元码是通讯中常用的码，但在通讯过程中有时会发生码元错误( 即码元由 0 变为 1，或许由 1 变为 0) ．已知某种二元码x1x2x7的码元知足以下校验方程组：x4⊕ x5⊕x6⊕x7＝0，x2⊕ x3⊕x6⊕x7＝0，此中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.x1⊕ x3⊕x5⊕x7＝0，现已知一个这类二元码在通讯过程中仅在第k 位发生码元错误后变为了1101101，那么利用上述校验方程组可判断k 等于________．分析：因为x2⊕ x3⊕x6⊕ x7＝0，所以x2， x3， x6，x7都正确．又因为x4⊕x5⊕ x6⊕ x7＝1，x1⊕x3⊕ x5⊕ x7＝1，故x1和x4都错误，或仅x5错误．因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x5错误．答案： 58.(2014 ·陕西卷 ) 察看剖析下表中的数据：多面体面数 (F)极点数 ( V)棱数(E)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，，，E 所知足的等式是 ________．F V分析：①三棱锥： F＝5，V＝6， E＝9，得 F＋ V－ E＝5＋6－9＝2；②五棱锥： F＝6， V＝6，E＝10，得 F＋ V－E＝6＋6－10＝2；③立方体： F＝6， V＝8，E＝12，得 F＋ V－E＝6＋8－12＝2；所以概括猜想一般凸多面体中，F， V， E 所知足的等式是：F＋ V－ E＝2.故答案为 F＋ V －E＝2.答案： F＋ V－ E＝2三、解答题9．察看下表：1，2， 3，4， 5，6， 7，8， 9，10， 11，12， 13，14， 15，问： (1) 此表第 n 行的最后一个数是多少？(2) 此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2 011是第几行的第几个数？*227－2 13－ 120？若存在，(4) 能否存在 n ∈N，使得第 n 行起的连续 10 行的全部数之和为 求出 n 的值；若不存在，请说明原因．分析： (1) ∵第 n ＋ 1 行的第 1 个数是 2n ，∴第 n 行的最后一个数是 2 n － 1.(2)2 n －1＋ (2 n －1＋ 1) ＋ (2 n －1＋2) ＋ ＋ (2 n － 1)n －1nn －1＝ （ 2＋ 2 － 1）·2 ＝3·22n －3－ 2n － 2.21011，1 024 ＜2 011 ＜2 048 ，∴ 2 011在第 11 行，该行第 1(3) ∵2 ＝1 024 ， 2 ＝2 048 个数是 210＝ 1 024 ，由 2 011 － 1 024 ＋ 1＝ 988，知 2 011 是第 11 行的第988 个数．(4) 设第 n 行的全部数之和为 a ，第 n 行起连续 10 行的全部数之和为S .nn2n － 3n －22n －1－ n －1， 则 a n ＝3·2 －2， a n ＋1＝ 3· 222n ＋ 1n2n ＋ 15－ 2 n ＋7，a n ＋ 2＝3·2 － 2 ， ， a n ＋ 9＝3·2∴ S n ＝ 3(2 2n －3 ＋ 22n －1＋ ＋ 22n ＋ 15) － (2 n － 2 ＋ 2n － 1 ＋ ＋ 2n ＋ 7) ＝3·22n －3（ 410－ 1） －4－12n －2（ 210－ 1） ＝ 22n ＋17 －22n － 3－ 2n ＋ 8＋ 2n － 2，2－ 1当 n ＝5 时， S 5＝ 227 －128－ 213＋ 8＝227－ 213－ 120. ∴存在 n ＝ 5 使得第 5 行起的连续 10 行的全部数之和为 227－ 213－ 120.10．蜜蜂被以为是自然界中最优秀的建筑师，以下图为一组蜂巢的截面图．此中第一个图有1单个蜂巢能够近似地看作是一个正六边形，个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有19 个蜂巢，按此规律，以f ( n ) 表示第 n 幅图的蜂巢总数．(1) 试给出 f (4) ， f (5) 的值，并求 f ( n ) 的表达式 ( 不要求证明 ) ；11114(2)证明：f （ 1）＋f （ 2）＋f （ 3）＋ ＋f （ n ） ＜3.分析： (1) f (4) ＝ 37， f (5) ＝ 61.因为 f (2) － f (1) ＝ 7－ 1＝6，f (3) －f (2) ＝ 19－ 7＝2×6，f (4) －f (3) ＝ 37－ 19＝3×6， f (5) －f (4) ＝ 61－ 37＝4×6，所以，当 n ≥2时，有 f ( n ) － f ( n －1) ＝ 6( n － 1) ，所以f ( ) ＝ [ f ( ) － f ( －1)] ＋ [ f ( n －1) － ( n － 2)] ＋ ＋ [f (2) － (1)] ＋ (1) ＝n n nff f6[( n － 1) ＋( n － 2) ＋ ＋ 2＋1] ＋ 1＝ 3n 2－3n ＋ 1.2又 f (1) ＝ 1＝3×1－3×1＋ 1，所以f ( n ) ＝ 3 2－ 3 ＋ 1( 直接给出结果也可 ) ．nn(2) 当 n ≥2时，11 11 11. f （ n ） ＝ 2＜2 ＝ － 1－n 3n － 3n ＋ 1 3n － 3n 3 n 当 n ＝1 时，明显结论建立，1 11 1 1 1 1 1当n ≥2时，f （ 1） ＋ f （2） ＋f （ 3）＋ ＋f （ n ） ＜1＋3[1－ 2 ＋ ( 2 －3) ＋ ＋1 1 1 1 1 4( －1－ )] ＝ 1＋ 31－n ＜ 1＋ 3＝ 3.n n综上，结论建立．。

专题17 概率与统计1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算． 4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．1.抽样方法三种抽样方法的比较2.统计图表(1)在频率分布直方图中：①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝频率组距；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)． 3．样本的数字特征 (1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)． (2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差样本数据的平均数x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x 和y 具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i－x －)2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2a ^＝y －－b ^x－.注意：回归直线一定经过样本的中心点(x －，y －)，据此性质可以解决有关的计算问题． 5．回归分析r ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2，叫做相关系数．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度；|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越高，|r |越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d则K 2＝(a ＋b ＋c ＋d )(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，若K 2>3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K 2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关； 若K 2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n ；②求事件A 包含的基本事件的个数m ；③利用公式P (A )＝mn 计算．9．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A 和A －不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A －)＝1－P (A )．10．互斥事件与对立事件的关系对立必互斥，互斥未必对立． 11．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.高频考点一 事件与概率例1．（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【变式探究】某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A ．1 B.1121 C.1021 D.521高频考点二 古典概型例2．从分别标有1，2， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【变式探究】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1 【变式探究】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45高频考点三 随机数与几何概型例3．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【变式探究】某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n高频考点四 条件概率与相互独立事件的概率例4．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【变式探究】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312【变式探究】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45高频考点五 正态分布例5．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅰ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.12 9.969.9610.01 9.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=，0.0080.09≈．【变式探究】在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772【变式探究】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.(ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；(ⅰ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.高频考点六 离散型随机变量的分布列例6．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅰ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【变式探究】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .【变式探究】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．高频考点七均值与方差例7．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.【变式探究】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A.126125 B.65C.168125 D.75高频考点八抽样方法例8．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅰ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【变式探究】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22．5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60 C．120 D．140【变式探究】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．167 B．137 C．123 D．93【变式探究】对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则() A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3高频考点九频率分布直方图与茎叶图例9．（2018年江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【变式探究】若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．32【变式探究】重庆市2017年各月的平均气温(ⅰ)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()1228 92 5 80 0 0 3 3 81 2A．19 B．20 C．21.5 D．23高频考点十变量间的相关关系及统计案例例10．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【变式探究】为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝0.76，a ∧＝y －b∧x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元1．【2019年高考全国ⅰ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.82．【2019年高考全国ⅰ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是（ ） 则当a 在（0,1）内增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 5．【2019年高考全国ⅰ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．6．【2019年高考全国ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．7．【2019年高考全国ⅰ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 8．【2019年高考全国ⅰ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率．9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．11．【2019年高考全国ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ip i=表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 1. （2018年浙江卷）设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ12P则当p 在（0，1）内增大时，A. D （ξ）减小B. D （ξ）增大C. D （ξ）先减小后增大D. D （ξ）先增大后减小2. （2018年全国I 卷理数）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A. p 1=p 2B. p 1=p 3C. p 2=p 3D. p 1=p 2+p 33. （2018年全国I 卷理数）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4. （2018年全国ⅰ卷理数）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则p=A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.35. （2018年全国ⅰ卷理数）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.6. （2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)7. （2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．8. （2018年江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．9. （2018年全国I卷理数）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）10. （2018年天津卷）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.11. （2018年北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（ⅰ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（ⅰ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差12. （2018年全国I卷理数）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？13. （2018年全国ⅰ卷理数）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m 第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，14. （2018年全国ⅰ卷理数）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据。

专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数第三讲统计、统计案例1．频率分布直方图．(1)绘制频率分布直方图的步骤．①求极差；②决定组距和组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．(2)由频率分布直方图估计平均数．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．1．回归分析的基本思想及其初步应用．对相关系数r：(1)r>0，表明两个变量正相关；(2)r＜0，表明两个变量负相关；(3)r的绝对值越近1，表明两个变量的线性相关性越强；(4)r 的绝对值越近0，表明两个变量的线性相关性越弱； (5)当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 2．独立性检验．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2cdc ＋d总计 a ＋c b ＋da ＋b ＋c ＋d则K 2(χ2)＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），若K 2(χ2)>3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K 2(χ2)>6.635，则有99%的把握说两个事件有关．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(√)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮(×)(5)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．(√) (6)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．(×)1．(2015·北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(C )类别人数老年教师 900中年教师 1 800青年教师 1 600合计4 300A.90 B 解析：设该样本中的老年教师人数为x ，由题意及分层抽样的特点得x 900＝3201 600，故x＝180.2．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(C)A．6 B．8C．12 D．18解析：由图知，样本总数为N＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x，则6＋x50＝0.36，x＝12.故选C.3．下列关于K2的说法中正确的是(C)A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D．K2的观察值k的计算公式为：k＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）4．(2015·北京卷)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．一、选择题1．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数是(C)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析：①②错误，一组数据中可以有多个众数，故①错误；一组数据的方差可以为零，故②错误．2．(2015·陕西卷)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(C)A．93 B．123 C．137 D．167解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.3．在研究某种新药对鸡瘟的防治效果问题时，得到了以下数据：活鸡数死亡数合计新药132 18 150对照 115 35 150 合计24753300A ．有95%的把握认为新药对防治鸡瘟有效B ．有99%的把握认为新药对防治鸡瘟有效C ．有99.9%的把握认为新药对防治鸡瘟有效D ．没有充分证据显示新药对防治鸡瘟有效解析：K 2(χ2)＝300×（132×35－115×18）2247×53×150×150≈6.623.因为6.623＞3.841，所以有95%的把握认为新药防治鸡瘟有效．4．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(B )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.5．(2015·湖南卷改编)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是(D )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人．6．在样本的频率分布直方图中，一共有m(m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m －1个小矩形面积之和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是(C )A ．0.2B ．25C ．20D ．以上都不正确解析：第3组的频率是15，样本容量为100，∴第3组的频数为100×15＝20.二、填空题7．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数见下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝25．解析：考查统计中的平均值与方差的运算． 甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差s 2＝（6－7）2＋02＋02＋（8－7）2＋025＝25.8．下列是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由其散点图知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a ＝5.25．解析：x ＝2.5，y ＝3.5，∴a＝y －b x －＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25. 三、解答题9．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．(参考下表)P[K 2(χ2)≥k ]0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解析：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为2450＝1225；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为1950.(2)K 2(χ2)＝50×（18×19－6×7）225×25×24×26＝15013≈11.5，∵K 2(χ2)＞6.635，∴有99%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．10. 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A ，将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下： .品种A ：357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454.品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430.(1)画出茎叶图．(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．解析：(1)茎叶图如下图所示：(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中的具体数据．(3)通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克．由此可知，品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高．但品种A 的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中在平均产量附近．。