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控制系统第二章 拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换 例题解析

拉普拉斯变换 例题解析

2、
线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。 z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 α 0 处的线性化增量方程
y(α ) = E 0 cosα
解：在 α = α 0 处线性化展开，只取线性项：
& m + f mω m = M m ┈牛 力矩方程： J m ⋅ ω
顿 变量关系： u a
i − Mm ωm E b −− −
消去中间变量有：
&m + ωm = kmua Tmω
⎧T = J m R [R ⋅ f m + C e C m ] ⎪ m ⎨ ⎪k m = C m [R ⋅ f m + C e C m ] ⎩
0 0 -st − st =⎡ ⎣e f ( t ) ⎤ ⎦ − ∫ f ( t )de 0 0 − st =⎡ ⎣0-f ( 0 ) ⎤ ⎦ + s ∫ f ( t )e dt ∞ ∞ ∞
∞
∞
= sF ( s ) − f ( 0 ) =右
0
(n) ( n-2 ) n-1 n-2 ⎤ n ′ 进一步：L ⎡ ( 0 ) − f ( n −1) ( 0 ) ⎣ f ( t ) ⎦ = s F ( s ) − s f ( 0 ) − s f ( 0 ) − L − sf
s + 0.4
( s + 0.4 )
2
+ 12
2
=
s + 0.4 s + 0.8s + 144.16
2
6).已知F(s) =
3s 2 + 2s + 8 求f ( ∞ ) = ? f(0) = ? f(∞) = 1, f(0) = 0 s ( s + 2 ) ( s 2 + 2s + 4 )

浙江大学控制工程第2章 拉氏变换

浙江大学控制工程第2章 拉氏变换

(t 0)
④
注意求拉氏反变换的步骤
19
2.1.4 拉普拉斯反变换
s m bm 1 s m1 b1 s b0 B(s) bm F ( s) n 1 s n1 a1 s a0 A(s) s an
A(s) (s s1 )(s s2 )(s sn ) 0
1. A(s)=0 只有单实根:
-si为A(s)=0的根, 应先求出.
c c1 c 2 n s s1 s s 2 s sn
si 为实数且两两相异. 有 F (s) B(s)
A( s)
[ F ( s)( s si )] ci为待定系数: ci slim s
1
现有: 则:
F (s) e
1 s
f (t ) 1(t t1 )
1s
0
t1
t
1 s
14
知识巩固
• • • • • • 所谓原函数, 写作( ), 其自变量为( ), (具有/不具有)物理意义; 所谓象函数, 写作( ), 其自变量为( ), (具有/不具有)物理意义; 从原函数获得象函数有两种方法,即( ), 课程要求是( ); 对原函数微分一次, 则对应的象函数运算是( ); 对原函数积分一次, 则对应的象函数运算是( ); 假设初始条件为零, 其好处是( ); 这种假设对自动控制系统的分 析有影响吗? • 所谓初值定理中的”初值”, 指的是当( )时, (原/象)函数的值; • 所谓终值定理中的”终值”, 指的是当( )时, (原/象)函数的值;
F (s) A sa
f (t ) e at
f (t ) Ae
at
t

控制工程基础第二章拉普拉斯变换

控制工程基础第二章拉普拉斯变换
控 制 工 程 基 础
n
(t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换 为 n
L[t ] t e dt
n st 0

n！ L[t ] n 1 s
n
单位阶跃函数 、 单位斜坡函数及单 位加速度函数分别 是幂函数 t n (n 1) 当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
page 15


L1 L e2t Lcos3t L t 3 L t


1 1 s 6 2 4 1 s s2 s 9 s
page 20
机电工程学院
第二章
拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有
L[ f (t )] F ( s) ，对任意实数 a ,则


at
st

page 12
机电工程学院
第二章
拉普拉斯变换
（六）正弦函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为 式中，
控 制 工 程 基 础
为正弦函数的角频率。
0
r (t ) sin t
(t≥0)
其拉氏变换 为
L[sin t ] sin t e dt
机电工程学院
第二章
拉普拉斯变换
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
控 制 工 程 基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
page
6
机电工程学院
第二章
拉普拉斯变换
（一）单位脉冲函数
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1， 数学表达式为：

控制工程基础_第二章(2017)

控制工程基础_第二章(2017)

时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O

t
（b）单位斜坡函数
F (s)

0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O

0


(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st

图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。

第二章 拉普拉斯变换

第二章 拉普拉斯变换

s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )

0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数

教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用

教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。

机械控制理论基础课件第2章拉普拉斯变换


留数法
利用留数定理和拉普拉斯变换表， 通过计算函数在无穷远处的留数， 得到逆变换的结果。
逆变换的应用实例
控制系统的分析和设计
通过逆变换将传递函数转换为时域函数，便于对控制系统进行分 Байду номын сангаас和设计。
信号处理
在信号处理中，逆变换可以将频域信号转换为时域信号，便于对信 号进行进一步的处理和分析。
电路分析
在电路分析中，逆变换可以将频域响应转换为时域响应，便于对电 路进行模拟和分析。
频率响应。通过拉普拉斯变换，可以将时域中的微分方程转换为复数域
中的代数方程，从而简化系统的分析和设计过程。
02
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换用于分析信号的频谱和系统对信号的响应。
通过将信号从时域转换到频域，可以更好地理解信号的特性和系统的性
能。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换用于分析电路的传递函数和频率响应。通
适用范围
适用于具有特定类型的原始函数，如指数函数、幂函数等。
04
拉普拉斯变换在控制系统中的应用
控制系统的传递函数
1 2 3
传递函数定义
传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学 模型，它反映了系统输入与输出之间的数学关系。
传递函数的计算
传递函数可以通过系统的微分方程或差分方程进 行计算，通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复 频域函数，便于分析。
过将电路中的微分方程转换为复数域中的代数方程，可以方便地计算电
路的性能指标和设计电路参数。
02
拉普拉斯变换的数学基础
复数及其性质
实部与虚部
复数由实部和虚部组成，表示为 a+bi，其中a是实部，b是虚部，i

华北理工大学机械控制工程基础第二章拉普拉斯变换

函数 u(t t0) 在间断点 t t0 上的导数。
(tt0)ddtu(tt0) 相反，如果对单位脉冲函数(t t0)积分，积分的 结果就是单位阶跃函数u(t t0)
利用脉冲函数的tt0概(t念t，0)d我t们u(t可t以0)对包含不连续
点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些
脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量
1 s3
发生在t＝t0时的单位加速度函数通常写成 a(t t0)
a(t)
a(t t0)
8 6 4 2
12 34
0
(a)
t
0
t 0 (b)
t
2. 关于拉氏积分下限的说明 在某些情况下，如果时间函数f (t)在t＝0处有
脉冲函数 (t) ，必须明确地指出拉氏积分的下限 是0－还是0＋。
L[f(t)]0 f(t)esd t t L[f(t)]0 f(t)esd t t00f(t)esd t tL[f(t)]
d2 Ldt2
f(t)s2F(s)s(f0)f(0)
f (0)是df (t)/dt在t＝0时的值
证明：Ld2dft2(t)
est
df (t) dt
0
s
0
df (t) dt
estdt
f (0)s[sF(s) f (0)]
s2F(s)sf(0) f (0)
导出时间函数 f (t)的n阶导数微分性质
(2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解 的过程得到简化，可以同时获得控制系统的瞬态 分量和稳态分量。
(3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算 转换为复频域中两函数的乘法运算。
2.1 拉氏变换的概念
2.1.1问题的提出
单位阶 跃函数

2第二章拉普拉斯变换及其应用


上式称为拉氏变换的定义式。为L 了f (保t) 证式中等号右边的积分存在（收敛），应满足下列
条件： F(s)Lf(t)f(t)estdt
当
，
；
0
（2.1）
当
，
分段连续；
当
，较
衰减得更快。
t0 t0
f (t) 0
f (t)
t e s t f ( t )
上一页 下一页 返回
2.1 拉氏变换的概念
F(s) f (t)dt t0
s
s
上一页 下一页 返回
2.2 拉氏变换的运算定理
当初始条件
f (t)dt
0 时，由上式有
t0
同理，可以L证明在零f初(t始)条d件t下有
F(s) s
Lf(t)(dt)2Fs(2s)
L n f(t)(dt)nFs(ns)
上一页 下一页 返回
2.2 拉氏变换的运算定理
例一：求单位阶跃函数（Unit Step Function）的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。 在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式
上一页 下一页 返回
2.1 拉氏变换的概念
0
(t 0)
见图2-1（a）
1
(t
)
1
t
F(s)L et 0 etestdt
（2.7）
例六. 求正弦函数（Sinusoidal Function）
的象函数。
e (s )td t1e ( s)t
0
s
0s 1
f(t)sint
F (s ) L s int s inte s td t 1 (e j t e j t)e s td t

2控制系统的数学模型(拉氏变换)

第二章 控制系统数学模型
一、数学模型的基本概念 1、数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。
将F(s)的分母多项式A(s)进行因式分解得 A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn) 式中， si(i=1,2,…,n)为A(s)=0 的根。下面分两 )=0有n个不等根，此时F(s)可分解为：
F ( s) c1 c c 2 ... n s s1 s s2 s sn
式中 cr+1,cr+2,…,cn为单根部分的待定系数由式 （2-14）计算。而重根部分的计算公式如下
cr lim( s s1 ) F ( s)
r s s1
（2-17）
14
cr j
1 dj lim j [( s s1 ) r F ( s)] j! ds
s s1
1 d r 1 c1 lim r 1 [( s s1 ) r F ( s)] (r 1)! ds
4
1、定义 函数f(t)的拉普拉斯变换定义为：
0 st
F (s) L f (t ) f (t )e dt
式中：s=+j（，均为实数）称为拉普拉斯算子； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是 一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；
L为拉氏变换的符号。
2 1 3t f (t ) 0.5te 0.75e e 3 12
t t
16
5
f（0）
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第二章 拉普拉斯变换 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 为解析函数。 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 f (t ) 的拉氏变换存在。 1. 常用函数的拉氏变换
R e ( s) c
F ( s) 半平面内，
(1) 指数函数
0 f (t ) t Ae
t 0 t 0
（2.6）
式中，A和α为常数。 其拉氏变换为
L[ Ae t ] Ae t e st dt A e ( s )t dt
0 0
A s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换 (2) 阶跃函数
0 f (t ) A t 0 t 0
（2.8）
式中，A为常数。 其拉氏变换为
(2) 当求解控制系统输入输出微分方程时，求解的过程得到简
化，可以同时获得控制系统的瞬态分量和稳态分量。 (3) 拉氏变换可把时域中的两个函数的卷积运算转换为复频域
中两函数的乘法运算。
第二章 拉普拉斯变换
2.1 拉氏变换的概念
2.1.1问题的提出 利用单位阶跃函数 u(t ) 和指数衰减函数 e t (β＞0)所具有的
第二章 拉普拉斯变换 单位阶跃函数 u(t )
0 u(t ) 1 t 0 t 0(t )] e st dt
0
1 s
（2.11）
实际上，发生于 t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时， 把一个定常信号突然加到系统上。 高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t ) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t ) Au(t ) 。 (3) 斜坡函数
第二章 拉普拉斯变换
第二章
本章学习要点：
拉普拉斯变换
拉氏变换的概念；
拉氏变换的性质；
常用函数的拉氏变换；
拉氏逆变换； 卷积定理。
第二章 拉普拉斯变换
拉氏变换法的优点：
(1)从数学角度看，拉氏变换方法是求解常系数线性微分方程 的工具。可以分别将“微分”与“积分”运算转换成“乘 法”和“除法”运算，即把积分微分方程转换为代数方程。
t 特点，分别构成两个新的函数 (t )u(t ) 和 (t )e，这时， (t )u (t )
的积分区间由(-∞，∞)变成
[0, )，在积分区间 [0, )内
(t )u(t ) (t ) ；而 (t )e t 就有可能变得绝对可积。
如果再构成一个新的函数
(t )u(t )e t
1
t≥0
（2.4）
式（2.4）和式（2.3）为一对互逆的积分变换公式，我们也称
F ( s) 和 f (t ) 构成了一个拉氏变换对。
第二章 拉普拉斯变换 2.1.2 拉氏变换的存在定理 若时间函数
f (t )满足下列条件：
(1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续；
f (t ) 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存 (2) 当 t 时，
在常数M>0及c≥0，使得
|f(t)| ≤Mect，0≤ t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为 它的增长指数）。 则
f (t )的拉氏变换
F (s) f (t )e st dt
0

（2.5）
在半平面 Re (s) c上一定存在，右端的积分在 Re (s) c1 c
0
( j ) t
（2.2）
dt
这就产生了一种新的变换—拉普拉斯（Laplace）变换， 简称拉氏变换。 我们规定：
(1) f (t ) (t )u(t ) 为时间t的函数，并且当t<0时 f (t ) 0 ；
(2) s j为复变量； (3) L 为运算符号，放在某个时间函数之前，表示该时间
0 f (t ) At t 0 t 0
（2.12）
式中，A为常数。
其拉氏变换为
第二章 拉普拉斯变换
e st st L[ At] Ate dt At 0 s A A e st dt 2 s 0 s
0


0
Ae st dt s
（2.13）

函数用拉氏积分 0
e st dt
进行变换；
第二章 拉普拉斯变换
(4) F ( s)为时间函数 f (t ) 的拉氏变换。
于是，时间函数f (t ) 的拉氏变换为
L[ f (t )] F (s) e dt[ f (t )] f (t )e st dt
st 0 0
(β＞0)
（2.1）
只要β值选得适当，式（2.1）就能满足傅立叶变换的条件， 即时间函数 (t ) 的傅立叶变换存在。
第二章 拉普拉斯变换 对式（2.1）取傅立叶变换，得
G ( ) (t )u (t )e t e jt dt

(t )u (t )e
L[ A] Ae st dt
0
A s
（2.9）
当A＝1时的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图2.1(a)所示， 用
u(t ) 表示。 发生在t＝t
u(t )
1
u(t t0 ) 时的单位阶跃函数通常写成 0
u(t t0 )
1
如图2.1(b)所示。
0
(a)
t
0
t 0 (b)
t
图2.1 单位阶跃函数
当A＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，如图2.2(a)所示， 用 r (t ) 表示。发生在t＝t0时的单位斜坡函数通常写成 r(t t0 )， 如图2.2(b)所示。当高度为A的斜坡函数，即式（2.12）中的 f (t ) ， 当其发生在
t 0
r (t )
时，可以写成 f (t ) Ar(t ) 。
（2.3）
f (t ) 称为“原 即时间函数 F ( s)为 f (t ) 的拉普拉斯变换。在这里，
F ( s) 称为“象函数”。 函数”，
从拉氏变换 F ( s)求时间函数 f (t ) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
1 j L [ F ( s)] f (t ) F ( s)est ds 2j j
r (t t0 )