高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算3同步练习

1-2集合间的基本关系 同步训练第I 卷（选择题）一、单选题1．（2018·浙江高一课时练习）设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．B ∈AD ．A ＝B2．（2021·全国）下列命题中，正确的有（ ）①空集是任何集合的真子集；②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集：④如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A B ⊆.A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 3．（2018·佛山市第二中学）集合{}{}14,A x x B x x a =-≤≤=>，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．4a <B ．4a >-C ．1a >-D ．14a -<≤4．（2019·华东师范大学第一附属中学）已知集合{}2430,A x x x x R =-+<∈，(){}12202750,x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈且，若A B ⊆，则实数a 的取值范围_______. A ．[]4,0- B ．[]4,1-- C ．[]1,0- D ．14,13⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 5．（2017·浙江）集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B ，则a 的取值范围是（ ）A ．5a ≥B ．4a ≥C ．5a <D ．4a < 6．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）已知{}1,2,3A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则B 的真子集个数为（ ）A ．31B ．32C ．63D ．64二、多选题7．（2021·江苏）给出下列选项，其中正确的是（ ）A ．{}{}∅∈∅B ．{}{}∅⊆∅C ．{}∅∈∅D ．∅⫋{}∅ 8．（2021·全国高一专题练习）已知集合{12}A xx =<<∣，{232}B x a x a =-<<-∣，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得AB =B ．存在实数a 使得A B ⊆C ．当4a =时，A B ⊆D ．当04a 时，B A ⊆E.存在实数a 使得B A ⊆第II 卷（非选择题）三、填空题9．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知集合{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k-再求和，则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是______.10．（2021·全国）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___． 11．（2019·全国高一课时练习）某个含有三个实数的集合既可表示为,,0b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a 2015＋b 2015的值为____．12．（2021·全国）已知{}{}1,21,2,3,4,5,6,7A ≠⊆⊂，满足上述条件的集合A 的个数是______．四、解答题13．（2021·全国高一课时练习）已知全集(){|010},{1,35,7}U U A B x N x A C B =⋃=∈≤≤⋂=，，试求集合B .14．（2017·湖南长沙一中高一期中）已知集合{|013}A x ax =<+≤，集合1{|2}2B x x =-<<. （1）若1a =；求AC B ；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.15．（2020·黑龙江哈九中高三期末（文））已知()1f x x a x =-++.（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围； （2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.16．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）写出集合P 的所有子集，其中(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈.参考答案1．C【解析】【分析】首先确定集合A 的特征，据此确定A 与B 的关系即可.【详解】由题意可知集合A 中的元素为集合B 的子集，据此可得：B A ∈.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合与元素的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．C【分析】运用空集的性质，即可判断①；运用集合的传递性，即可判断②；由集合的真子集的个数，即可判断③；由韦恩图，即可判断④．【详解】①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误；④由韦恩图易知④正确.故选C.【点睛】本题考查集合的概念，主要是空集和子集、真子集的性质，考查判断能力，属于基础题． 3．A【分析】据已知条件知A ，B 有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围．【详解】{}14A x x =-≤≤，{}B x x a =>，∵A B ⋂≠∅，∴对照数轴得4a <，即a 的取值范围为4a <，故选：A.【点睛】本题考查集合关系中的参数取值问题和集合的交集运算，将集合的关系转化为集合端点的不等关系，是解决本题的关键，属于基础题.4．B【分析】首先解出集合A ,若满足A B ⊆，则当()1,3x ∈时，120x a -+≤和()22750x a x -++≤恒成立，求a 的取值范围.【详解】{}13A x x =<<，A B ⊆，即当()1,3x ∈时，120x a -+≤恒成立，即12x a -≤- ，当()1,3x ∈时恒成立，即()1min 2x a -≤- ，()1,3x ∈而12x y -=-是增函数，当1x =时，函数取得最小值1-，1a ∴≤-且当()1,3x ∈时，()22750x a x -++≤恒成立，()()1030f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得：4a ≥- 综上：41a -≤≤-.故选B【点睛】本题考查根据给定区间不等式恒成立求参数取值范围的问题，意在考查转化与化归和计算求解能力，恒成立问题可以参变分离转化为求函数的最值问题，如果函数是二次函数可以转化为根的分布问题，列不等式组求解.5．A【解析】因为25005x x x -<⇒<<,又A B B B A ⋂=⇒⊆，则由{|}A x x a =≤，可得；5a ≥时满足条件A B B ⋂=．6．A【分析】由题：根据,a b 的取值情况分析集合{2,3,4,5,6}B =一共32个子集，所以31个真子集.【详解】由题：当1a b ==时，集合B 中元素最小为2，当3a b ==时，集合B 中元素最大为6， 又当1,2a b ==时，集合B 中元素为3，当1,3a b ==时，集合B 中元素为4，当2,3a b ==时，集合B 中元素为5，所以集合{2,3,4,5,6}B =，其子集个数为5232=个，所以真子集31个.故选：A【点睛】此题考查元素与集合的关系以及子集个数分析，关键在于熟记集合的子集个数结论，否则只有逐一列举，计算量大且容易出错.7．BCD【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断【详解】对于A ，∅不是{}{}∅的元素，故不正确；对于B ，∅是任何集合的子集，所以∅是{}{}∅的子集，故正确；对于C ，∅是{}∅的元素，故正确；对于D ，∅是任何非空集合的真子集，{}∅有一个元素∅，是非空集合，故正确.故答案为：BCD .8．AE【分析】利用集合相等判断A 选项错误，由A B ⊆建立不等式组，根据是否有解判断B 选项； 4a =时求出B ，判断是否A B ⊆可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.【详解】A 选项由相等集合的概念可得23122a a -=⎧⎨-=⎩解得2a =且4a =，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A B ⊆，得23122a a -≤⎧⎨-≥⎩即24a a ≤⎧⎨≥⎩，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当4a =时，得{52}B xx =<<∣为空集，不满足A B ⊆，因此C 错误； D 选项当232a a -≥-，即1a ≥时，B A =∅⊆，符合B A ⊆；当1a <时，要使B A ⊆，需满足23122a a -≥⎧⎨-≤⎩解得24a ≤≤，不满足1a <，故这样的实数a 不存在，则当04a ≤≤时B A ⊆不正确，因此D 错误；E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B A ⊆，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.【点睛】本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.9．16【分析】先求出集合M 它非空子集A 的个数，在所有子集中，各个元素出现的次数，即可解答．【详解】因为{}1,2,3,4M =，对它的非空子集A 共有15个， 分别是{}{}{}{}123412{},,,,，, 1,31,42,32,43,41,2,31,2,4{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,3,42,3,41,2,34,,,,,,,,,,其中数字1,2,3,4都出现了8次． 依题意得：()()()()123481121314116⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦. 故答案为：16.【点睛】本题主要考查了集合的非空真子集的概念，理解本题中的新定义的概念是解决本题的关键，属于中档题.10．2≤a ≤4【分析】根据集合A 解出a ﹣1＜x ＜a +1，利用包含关系求解参数范围.【详解】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩ ，∴2＜a ＜4． 又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}， 均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4．故答案为：2≤a ≤411．0【分析】根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a ＋b 一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a ，b 的值，得到结果.【详解】解：∵集合既可以表示成{b ，b a，0}，又可表示成{a ，a ＋b ，1} ∴a ＋b 一定等于0在后一种表示的集合中有一个元素是1只能是b .∴b ＝1，a ＝－1∴a 2015＋b 2015＝0.【点睛】本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性. 12．31【分析】集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集，则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致，求出集合{}3,4,5,6,7的真子集个数，即可得出答案.【详解】由题意可知，集合A 中一定含有1,2这两个元素，且集合A 是集合{}1,2,3,4,5,6,7的真子集 则满足上述条件的集合A 的个数与集合{}3,4,5,6,7的真子集的个数一致则满足上述条件的集合A 的个数为52131-=故答案为：31【点睛】本题主要考查了集合的包含关系，求集合的真子集个数，属于中档题.13．{0,2,4,6,8,9,10}【分析】计算{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，根据(){1,3,5,7}U A B ⋂=计算得到答案.【详解】{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U A B =⋃=，(){1,3,5,7}U A B ⋂=，{1,3,5,7}U B ∴=.故(){0,2,4,6,8,9,10}U U B B ==.【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力.14．（1）1{|12A CB x x =-<≤-或2}x =；（2）(,4)[2,)-∞-+∞ 【解析】试题分析：（1）1a =时求出集合A ，根据补集的定义写出A B ；（2）A B A ⋂=得A B ⊆，A 中不等式解集分三种情况讨论：0a =、0a <和0a >时，求出对应集合A ，根据A B ⊆求出a 的取值范围.试题解析：（1）若1a =，则{|12}A x x =-<≤， 故1{|12A CB x x =-<≤-或2}x = （2）,A B A A B ⋂=∴⊆，不等式013ax <+≤解集分三种情况讨论：①0a =，则,A R A B =⊆不成立；②0a <，则21{|}A x x a a =≤<-，由A B ⊆得12,12,2a a⎧-≤⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩得4a <-；③0a >，则12{|}A x x a a =-≤<，由A B ⊆得11,222,a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩得2a ≥. 综上所述：a 的取值范围为()[),42,-∞-⋃+∞.点睛：本题主要考查了集合的运算以及含有参数的集合间的关系，属于基础题；对于含有参数的一元一次不等式的解法，主要利用分类讨论的思想，对一次项系数进行讨论，分为0,0,0a a a =><三种情形，利用数轴将区间端点值进行比较，得出不等式组.15．（1）[]1,0-（2）(),0-∞【分析】（1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，2x a ∴-< ，22a x a ∴-+<<+，由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立，所以()f x 的最小值为1a +.故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+，所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩，解得0a <. 所以实数a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题. 16．{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)【分析】依次写出集合P 中的所有元素，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，即可写出其所有子集.【详解】由题(){},|5,,P x y x y x N y N ++=+=∈∈可解得{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)P =，所有子集分为：没有元素：∅；一个元素：{}(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)；两个元素：{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}；三个元素：{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)；四个元素：{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).所以，所有子集为：{},(1,4)},{(2,3)},{(3,2)},{(4,1)∅，{}{(1,4),(2,3)},{(1,4),(3,2)},(1,4),(4,1),{(2,3),(3,2)},{(2,3),(4,1)},{(3,2),(4,1)}，{}{(1,4),(2,3),(3,2)},{(1,4),(2,3),(4,1)},{(2,3),(3,2),(4,1)},(1,4),(3,2),(4,1)，{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)【点睛】此题考查求集合中的元素和写出集合的子集，其中要求根据题目条件准确写出集合中的元素，根据集合中元素个数分别写出子集，做到不重不漏.答案第9页，总9页。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，答案：A解析：解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 详解：由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a=，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 点睛：本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.2．满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数为（ ） A ．8 B ．7C ．4D ．16答案：A解析：根据已知条件可知集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，写出集合A 的所有情况即可求解. 详解：因为集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，满足条件的集合A 有：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共有8个，故选：A.3．设集合A ＝x|x ＝2k ＋1，k ∈Z}，若a ＝5，则有（ ） A ．a ∈A B ．－a ∉A C ．a}∈A D ．a}∉A答案：A解析：由题意，集合A 为奇数集，易得a ∈A ，－a ∈A ，所以选项A 正确，选项B 不正确，而选项C 、D 两个集合之间的符号使用有误，所以选项C 、D 不正确． 详解：解：对选项A ：当k ＝2时，x ＝5，所以a ∈A ，故选项A 正确； 对选项B ：当k ＝－3时，x ＝－5，所以－a ∈A ，故选项B 不正确；对选项C 、D ：因为集合a}与集合A 之间的符号使用有误，所以选项C 、D 不正确； 故选：A.4．下列集合与集合{}1,3A =相等的是（ ） A ．()1,3B ．(){}1,3C ．{}2430x x x -+=D ．(){},1,3x y x y ==答案：C解析：本题可根据集合相等的相关性质解题. 详解：A 项不是集合，B 项与D 项中的集合是由点坐标组成，C 项：2430x x -+=，即()()310x x --=，解得3x =或1x =，集合{}2430x x x -+=即集合{}1,3，因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，所以与集合{}1,3A =相等的是集合{}2430x x x -+=，故选：C.5．若集合A ＝－1，2}，B ＝x|x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则有( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝－1，b ＝－2 D ．a ＝－1，b ＝2答案：C解析：解析 由A ＝B 知－1与2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，则有()1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得12.a b =-⎧⎨=-⎩故选C.6．已知集合{}1M =，{}1,2,3N =，则 A ．M ＜N B ．M N ∈ C ．M N ⊆ D ．N M ⊆答案：C解析：根据元素关系确定集合关系. 详解：因为1,2,N M ∈所以M N ⊆，选C. 点睛：本题考查集合包含关系，考查基本分析判断能力，属基础题.7．设集合P {m |1m 0}=-<≤，2Q {m |mx 2mx 10}=+-<对任意x R ∈恒成立，则P 与Q 的关系是()A ．P QB ．Q PC ．P Q =D ．P Q φ⋂=答案：C解析：先分别求出集合P ，Q ，由此能求出P 与Q 的关系． 详解：集合P {m |1m 0}=-<≤，2Q {m |mx 2mx 10}=+-<对任意x R ∈恒成立，当m=0时，-1<0,满足题意， 当0m ≠时，结合二次函数的性质得到210440m m m m <⎧⇒-<<⎨∆=+<⎩Q {m |1m 0}∴=-<≤． P ∴与Q 的关系是P Q =．故选C ． 点睛：本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．若集合{}0A x x =<，且B A ⊆，则集合B 可能是 A ．{}1x x >- B ．RC ．{}2,3--D ．{}3,1,0,1--答案：C解析：通过集合{}0A x x =<，且B A ⊆，说明集合B 是集合A 的子集，对照选项即可求出结果． 详解：解：因为集合集合{}0A x x =<，且B A ⊆，所以集合B 是集合A 的子集， 当集合{}1B x x =>-时，1A ∉，不满足题意， 当集合B R =时，1A ∉，不满足题意， 当集合{}2,3B =--，满足题意，当集合{}3,1,0,1B -=-时，1A ∉，不满足题意， 故选：C ． 点睛：本题考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用，属于基础题．9．已知全集为实数集R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =+≤ ，则()AB =R（ ）A ．()0,2B ．(]0,2C ．[)0,2D ．[]0,2答案：A解析：分别求出两个集合，再根据集合运算求解即可. 详解：因为()2220x x x x +=+≤，所以{}{}22020B x x x x x =+≤=-≤≤，所以{2R B x x =<-或}0x >， 又因为{}22A x x =-<<， 所以(){}()020,2R A B x x ⋂=<<= 故选：A. 点睛：本题考查集合的补集运算与交集运算，是基础题..10．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥ B ．23m ≤≤ C ．3m ≤ D ．2m ≥答案：C解析：讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 详解：当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 点睛：本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误. 二、填空题1．已知集合()(){}250A x x x =+->，{}1B x m x m =≤<+，且()R B C A ⊆，则实数m 的取值范围是_________．答案：[]2,4-解析：首先求得R C A ，然后利用集合之间的包含关系得到关于m 的不等式，求解不等式即可确定m 的取值范围. 详解：由题意可得：()(){}{}250|25R x x x x C A x =+-≤=-≤≤，据此结合题意可得：215m m ≥-⎧⎨+≤⎩，即24m m ≥-⎧⎨≤⎩，即实数m 的取值范围是[]2,4-. 点睛：本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．设m 为实数，若22250{()|30}{()|25}0x y x y x x y R x y x y mx y -+≥⎧⎪-≥∈⊆+≤⎨⎪+≥⎩，，、，，则m 的最大值是____． 答案：43解析：设()250{,|30,,}0x y M x y x x y R mx y -+≥⎧⎪=-≥∈⎨⎪+≥⎩，()22{,|25}N x y x y =+≤，将两个点集用平面区域表示，因为M N ⊆，故M 表示的平面区域在N的内部，根据这一条件得出m 的最大值． 详解：解：设()250{,|30,,}0x y M x y x x y R mx y -+≥⎧⎪=-≥∈⎨⎪+≥⎩，()22{,|25}N x y x y =+≤，显然点集N 表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，点集M 是二元一次不等式组25030,,0x y x x y R mx y -+≥⎧⎪-≥∈⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示，作图可知，边界250x y -+=交圆2225x y +=于点()()3,4,5,0A C -， 边界y mx =-恒过原点，要求m 的最大值，故直线y mx =-必须单调递减， 因为M N ⊆，所以当y mx =-过图中B 点时，m 取得最大， 联立方程组22325x x y =⎧⎨+=⎩，解得()3,4B -， 故4030m ---=-，即max 43m =． 点睛：本题表面上考查了集合的运算问题，实质是考查了二元一次不等组表示的平面区域和二元二次不等式对应平面区域的画法，还考查了动态分析问题的能力，属于中等偏难题． 3．若{|2132}A x a x a =+≤<-，2{|11100}B x x x =-+<，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是_________.答案：(,4]-∞解析：先求出集合B 中不等式的解集，再由A B ⊆列不等式组求解即可. 详解：解：由已知{|110}B x x =<<，A B ⊆，当A =∅时，2132a a +≥-，解得3a ≤当A ≠∅时，21132102132a a a a +>⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩，解得34a <≤，综合得4a ≤. 故答案为：(,4]-∞点睛：本题考查集合的包含关系，考查分类讨论的思想，是基础题.4．已知集合{},,2A a b =，{}22,,2=B b a 且A B =，则a =_______________．答案：0或14解析：根据集合相等可得出关于实数a 、b 的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a 的值. 详解：集合{},,2A a b =，{}22,,2=B b a 且A B =，分以下两种情况讨论：①当22a a b b =⎧⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩. 当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性； 当0a =，1b =时，{}0,1,2A B ==，合乎题意；②当22a b b a ⎧=⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性；当14a =，12b =时，11,,242A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，合乎题意.综上所述，0a =或14a =. 故答案为：0或14. 点睛：本题考查利用集合相等求参数值，考查分类讨论思想的应用，解题时要注意集合中的元素要满足互异性，考查计算能力，属于中等题.5．已知集合{}1,,A a b a =+，集合0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B =，则a b -=_______．答案：2-解析：由题意可得，0,1a b b +==，从而可求出,a b 的值，进而可得答案 详解：解：因为集合{}1,,A a b a =+，集合0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且A B =， 所以1,0B A ∈∈，且0a ≠，所以0,1a b b +==，得1,1a b =-=， 所以2a b -=-， 故答案为：2- 三、解答题 1．已知集合.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.答案：（1），或;（2）. 解析：(1)由补集的定义和集合，即可求出和；(2)由，可知集合是的子集，分两种情况：和，分别讨论即可.详解： （1）因为，所以，或 ；（2）因为，，所以，因为，所以时，，得；时，， 综上的取值范围是.故答案为：.点睛：本题考查了集合的并集和补集，考查了集合间的包含关系，考查了不等式的解法，属于基础题.2．集合2{|320}A x x x =-+<,11{|28}2x B x -=<<,()(){|20}C x x x m =+-<,其中m ∈R .(Ⅰ)求A B ⋂;(Ⅱ)若()A B C ⋃⊆,求实数m 的取值范围.答案：(1)()1,2A B ⋂=; (2)[) 4,m ∞∈+. 解析：试题分析：（1）简化集合得：()1,2A =；()0,4B =;所以()1,2A B ⋂=;（2）()0,4A B ⋃=，即()0,4?C ⊆，对m 分类讨论确定C 的集合，利用子集关系求实数m 的取值范围. 试题解析：(Ⅰ)()2{|320}1,2A x x x =-+<=;()11{|28}0,42x B x -=<<=;所以()1,2A B ⋂=; (Ⅱ)()0,4A B ⋃=,若m 2>-,则()2,C m =-,若()0,4A B C ⋃=⊆,则4m ≥; 若m 2=-,则C =∅,不满足()0,4A B C ⋃=⊆,舍; 若2m <-,则(),2C m =-,不满足()0,4A B C ⋃=⊆,舍; 综上[)4,m ∞∈+.3．已知集合{}{}2320,10A x x x B x mx =-+==-=，且A B B =，求实数m 的值．答案：m =0,1,12}解析：先求出集合A ，将条件A B B =，转化为B A ⊆，利用集合关系确定m 的取值即可． 详解：解：2{|320}{|2A x x x x x =-+===或{}1}1,2x ==，{|10}{|1}B x mx x mx =-===，AB B =，B A ∴⊆，若B =∅，即0m =，此时满足条件．若B ≠∅，即0m ≠．此时11|B x x m m ⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 要使B A ⊆成立，则12m =或11m =，解得1m =或12m = 综上：0m =或12m =或1m =， 即m 的取值集合为10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭．点睛：本题主要考查集合关系的应用，将条件A B B =，转化为B A ⊆是解决本题的关系，注意要对集合B 进行分类讨论． 4．记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式|1|1x -≤的解集为Q ． （1）若3a =，求P ；（2）若Q P ⊆，求a 的取值范围．答案：（1）{}13P x x =-<≤；（2）[2,)+∞. 解析：（1）结合分式不等式的求解求出P ，（2）结合绝对值不等式的求解求出Q ，然后结合集合之间的包含关系即可求解． 详解：解：（1）当3a =时，原不等式可转化为(3)(1)010x x x -+⎧⎨+≠⎩，解得13x -<≤，{}13P x x ∴=-<≤.（2）由11x -≤可得02x ≤≤，即解集为{}02Q x x =≤≤， 当1a =-时，P =∅，不满足题意；当1a >-时，{}1P x x a =-<≤，Q P ⊆，2a ∴≥； 当1a <-时，{}1P x a x =≤<-，此时不满足题意， 综上，a 的范围[2,)+∞． 点睛：本题考查分式不等式和含绝对值不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题.5．已知集合{|26}A x x =-≤≤，{|21}B x m x m =≤≤-，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（﹣∞，72]解析：分B=∅和B≠∅两种情况分类讨论，即可求出实数m 的范围． 详解：（i ）当B=∅时，由题意：m ＞2m ﹣1，解得：m＜1，此时B⊆A成立；（ii）当B≠∅时，由题意：m≤2m﹣1，解得：m≥1，若使B⊆A成立，应有：m≥﹣2，且2m﹣1≤6，解得：﹣2≤m≤72，此时1≤m≤72，综上，实数m的范围为（﹣∞，72 ]．点睛：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列符号表述正确的是（ ） A ．*0N ∈ B ．1.732Q ∉ C ．{}0∅∈ D ．{}2x x ∅⊆≤答案：D解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0N *∉，A 选项错误；对于B 选项，1.732Q ∈，B 选项错误； 对于C 选项，{}0∅⊆，C 选项错误；对于D 选项，{}2x x ∅⊆≤，D 选项正确. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,B y y x x A ==-∈，则下列关系正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ⊆ C ．B A ⊆ D ．A B =∅ 答案：C解析：求出B 后可判断,A B 的关系. 详解：由集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,B y y x x A ==-∈， 得{}1,0,1B =-．又因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以B A ⊆．故选C ． 点睛：判断两个集合是否具有包含关系，只需根据子集的定义检验即可，此类问题为容易题. 3．下列关系中正确的个数为（ ）（1）{}00∈；（2）{}0∅⊆；（3）{}(){}0,10,1⊆； （4）(){}(){},,a b b a =；（5）{}{},,a b b a =. A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：利用元素与集合的关系符号表示、集合与集合之间的关系符号表示即可判断. 详解：对于（1），0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故正确； 对于（2），空集是任何集合的子集，故{}0∅⊆，故正确；对于(3)，集合{}0,1中的元素为0，1，集合(){}0,1中的元素为()0,1，故错误； 对于(4)，集合(){},a b 中的元素为(),a b ，集合(){},b a 中的元素为(),b a ，故错误. 对于（5），{},a b 中的元素为,a b ，{},b a 中的元素为,a b ，故正确. 故选：C4．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{|33}x x B ．2{|0}x x ≤C ．2{|10,}x x x x R -+=∈D ．22{(,)|,,}x y y x x y R =-∈答案：C解析：利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 详解： 解：33x +=，0x ∴=，所以{|33}{0}x x +==，A不是空集．20x ，0x ∴=，所以2}{|0}{0x x ≤=,B 不是空集．210x x -+=，x ∈R ，()2141130∆=--⨯⨯=-<，2{|10,}x x x x R ∴-+=∈=∅；即C 是空集．22y x =-，x ，y R ∈，即220y x +=0x y =⎧∴⎨=⎩，所以{}22){(,)|,,(0,0}x y y x x y R ==-∈；D 不是空集． 故选：C ．5．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}06B x x =∈<<N ，则满足条件A C B ⊆的集合C 的个数为（ ） A ．7 B ．8C ．15D ．16答案：A解析：先求出集A ，B ，再由件A C B ⊆，确定集合C 即可 详解：解：由题意得{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==, 因为A C B ⊆所以{}1,2 {}1,2,3,4,5C ⊆，所以集合C 的个数为集合{}3,4,5的非空子集的个数为3217-=， 故选：A.6．已知集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若B A ⊆，则a =（ ）A ．1或2B ．2C ．3D ．1或2或23答案：D解析：利用子集的定义讨论即可. 详解：因为B A ⊆，集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若32a =，则23a =，符合；若223+=a a ，则1a =或2，经检验均符合. 故选：D. 7．若1,2,3} A ⊆1,2,3,4,5}，则集合A 的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B 详解：集合1,2,3}是集合A 的真子集，同时集合A 又是集合1,2,3,4,5}的子集，所以集合A 只能取集合1,2,3,4}，1,2,3,5}和1,2,3,4,5}． 考点：集合间的基本关系.8．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2答案：A解析：首先化简集合B ，再根据两个集合相等，里面的元素相等即可求出a 的值. 详解：由题意得()(){}{}|10,1,B x x x a a R a =--=∈=，因为A B =，所以2a =. 故选：A 点睛：本题主要考查了集合的相等，属于基础题.9．设集合A=｛x|1<x<2｝,B=｛x|x<a ｝满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,+∞) B ．(-∞，1]C ．(2,+∞)D ．(-∞，2]答案：A解析：根据子集的定义、以及A 、B 两个集合的范围，建立实数a 的不等式，求解即可得到a 的取值范围． 详解：由于 集合A ＝x|1＜x ＜2}，B ＝x|x ＜a}，且满足A ⊆B ， ∴a≥2， 故选：A ． 点睛：本题主要考查集合间的关系，子集的定义，属于基础题．10．已知P 2{|1,x x n n ==+∈}N ，Q 2{|41,y y m m m ==-+∈}N ，则P 与Q 关系是（ ） A ．P Q = B ．P QC ．P QD ．以上都不对答案：D解析：根据2P ∈,但2Q ∉,以及2Q -∈但2P -∉可得. 详解：当1n =时,2x =,所以2P ∈,令2412m m -+=,即2410m m --=,解得2m =N ∉, 所以2Q ∉,当1m =时,1412y =-+=-Q ∈,所以2Q -∈,而2P -∉, 故选D . 点睛：本题考查了集合之间的基本关系,属于基础题. 二、填空题1．设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}A B ==,则满足S A ⊆且S B φ⋂≠的集合S 的个数是__________个答案：56解析：正难则反，S B φ⋂≠，从这个条件出发，可先求S B φ⋂=的个数，再用全部子集的个数减去S B φ⋂=的个数即可 详解：集合A 的子集有:{1},{2},{3},{4},{5},{6} ,{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3,4,5,6},∅,共64个; 又,{4,5,6,7,8}S B B ⋂≠∅=,所以S 不能为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅共8个,则满足S A ⊆且S B ⋂≠∅的集合S 的个数是64856-=. 点睛：集合中元素个数若为n 个，则子集个数为2n 个2．设集合P 满足{}{}1,20,1,2,3,4P ≠⊆⊂，满足条件的P 的个数为 ______________ .答案：7个解析：由{}1,2P ⊆可知P 中必含有1,2；由{}0,1,2,3,4P ≠⊂，可知0,3,4不全为P 中元素，以此可得P 集合，进而得到结果.详解：{}1,2P ⊆ P ∴中必含有元素1,2，又{}0,1,2,3,4P ≠⊂ {}1,2P ∴=，{}0,1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,0,3，{}1,2,0,4，{}1,2,3,4 ∴满足条件的P 共有7个故答案为：7个 点睛：本题考查根据集合的包含关系确定集合个数的问题，关键是能够根据包含关系确定所求集合中所包含的元素情况.3．设集合{}1A =-,{}1B x ax ==，若B A ⊆,则a =___________．答案：0或1-解析：方程1ax =的根为1-或无实解． 详解：0a =时，1ax =无解，满足题意，0a ≠时，由1ax =得11x a==-，1a =-． 综上a 的值为0或1-． 故答案为：0或1-． 点睛：本题考查集合的包含关系，解题时要注意空集是任何集合的子集． 4．已知集合，集合，若，则实数=_________．答案：1解析：试题分析：由条件B A ⊆可知集合B 是集合A 的子集，所以有221m m =-或21m =-（舍），解得：1m =． 考点：集合间的关系．5．已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，数列{}n b 是公比为()1q q ≠的等比数列，记集合{},n n M n a b n N *==∈，则集合M 的子集最多有________个．答案：4解析：分类讨论1q ≠-和1q =-两种情况，推导出集合(){},n A n a n N *=∈与集合(){},n B n b n N*=∈中的点不可能有三个公共点，得出集合M 至多只有两个元素，再利用集合子集个数公式可得出所求结果. 详解：1q ≠，当1q ≠-时，集合(){},nB n b n N *=∈中的点不可能出现三点共线，而集合(){},nA n a n N *=∈所有的点都在同一条直线上，此时，集合M 至多只有两个元素；当1q =-时，假设集合(){},nA n a n N *=∈与集合(){},nB n b n N *=∈有三个公共点(),k k b 、(),ss b 、()(),,,,t t b k s t k s t N *<<∈，则k b 、s b 、t b 中至少有两个相等，则ka 、s a 、t a 中至少有两个相等，这与0d ≠矛盾，此时，集合M 至多只有两个元素. 因此，集合M 的子集个数最多是224=个. 故答案为4. 三、解答题1．已知集合{|12},{|||1}A x ax B x x =<<=<，是否存在实数a ，使得A B ⊆.若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：存在；0a =或2a ≥或2a ≤-.解析：先确定集合B 中的元素，然后求集合A ，根据a 分类：0,0,0a a a =><分类解不等式求得集合A ，然后再由包含关系得关于a 的不等关系，从而得出结论． 详解：∵{}|11B x x =-<<，而集合A 与a 的取值范围有关. ①当0a =时，A =∅，显然A B ⊆. ②当0a >时，12A xx aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图1所示，∴11,21,aa⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∴2a ≥.③当0a <时，21A xx aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，如图2所示，∴11,21,aa⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴2a -.综上可知，所求实数a 的取值范围为0a =或2a ≥或2a ≤-. 点睛：本题考查集合的包含关系，掌握子集的定义是解题关键．解不等式时要注意对未知数的系数分类讨论．2．已知集合A ＝x|1－a<x≤1＋a}，集合B ＝122xx ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭∣. （1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； （2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使A ，B 相等？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由.答案：（1）a≤1；（2）a≥32；（3）不存在，答案见解析. 解析：（1）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可； （2）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可； （3）根据（1）（2）所求，即可判断. 详解：（1）∵A ⊆B ，∴a≤0或112120a a a ⎧-≥-⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎩解得a≤1.（2）∵B ⊆A ，∴11212a a ⎧-≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得a≥32. （3）不存在.理由：若A B =，需满足A ⊆B ，且B ⊆A ，即a≤1且a≥32，显然不存在这样的a.故不存在a使得A B.点睛：本题考查根据集合的包含关系，以及集合相等求参数范围，属综合基础题.3．已知二次函数满足条件，（为已知实数）.（1）求函数的解析式；（2）设，，当时，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：（1）先由题意，设二次函数，根据，得到，即可求出结果；（2）先化简集合，解方程，分别讨论，，三种情况，即可得出结果.详解：（1）因为二次函数满足条件，设二次函数，又，所以，因此，所以，所以；（2）因为，解方程得或，当时，满足；当时，，由得，解得，所以；当时，，由得，解得，所以， 综上，实数的取值范围是.点睛：本题主要考查求二次函数的解析式，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记待定系数法求函数解析，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型. 4．已知集合U =R ，集合()(){}230A x x x =--<，函数()22lg x a y a x-+=-的定义域为集合B .(1)若12a =，求集合()UA B ；(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围.答案：(1)934xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭；(2)(][]1]1,2-∞-⋃，. 解析：（1）根据不等式求出集合A ，求出函数的定义域B ，即可求解补集和交集； （2）根据集合的包含关系比较端点的大小列不等式求解即可. 详解：(1)集合{}|23A x x =<<，因为12a =.所以函数()2924lglg12x x a y a xx --+==--，由94012x x->-，可得集合1924B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.{1|2UB x x =≤或94x ⎫≥⎬⎭，故()934U A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭. (2)因为A B ⊆，由{}23A x x =<<，而集合B 应满足()220x a a x-+>-，因为22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，故{}22B x a x a =<<+，依题意：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩，即1a ≤-或12a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是(][]1]1,2-∞-⋃，. 点睛：此题考查集合的基本运算，根据集合的包含关系求解参数的取值范围，在第二问需要考虑解集端点的大小关系.5．下列集合间是否有包含关系？ （1）{}1,2,3A =，{}1,2,3,4B =，{}2,3,4C = （2）N ，Z ，Q ，R（3）{}13A x x =<≤，{}|14B x x =≤≤答案：（1）A B ⊆，C B ⊆，A 与C 无包含关系（2）N Z Q R ⊆⊆⊆（3）A B ⊆解析：（1）由题意可知，集合A 中的元素都属于集合B ，集合C 中的元素都属于集合B ，1C ∉，4A ∉，根据包含关系的定义，求解即可.（2）由题意可知，N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，根据包含关系的定义，求解即可.（3）由题意可知，集合A 中的元素都属于集合B .根据包含关系的定义，求解即可. 详解：（1）因为集合A 中的元素都属于集合B ，集合C 中的元素都属于集合B ，1C ∉，4A ∉，所以A B ⊆，C B ⊆，A 与C 无包含关系.（2）因为N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，所以N Z Q R ⊆⊆⊆. （3）因为A={}|13x x <≤，B={}|14x x ≤≤，所以集合A 中的元素都属于集合B ，则A B ⊆. 点睛：本题考查集合之间的关系，属于较易题.。

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1.2.1 集合之间的关系课时跟踪检测 [A 组 基础过关]1．下列关系中，正确的个数为( ) ①22∈R ；②0∈N *；③{－5}⊆Z ；④∅⊆{∅}． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①③④正确，故选C ． 答案：C2．下列关系中正确的个数为( )①0∈{0}；②∅⊆{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①②正确，故选B ． 答案：B3．设集合P ＝{x |y ＝x 2}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则P 与Q 的关系是( ) A ．P ⊆Q B ．P ⊇Q C ．P ＝QD ．以上都不对解析：集合P 为数集，Q 为点集，P 与Q 不存在包含关系，故选D ． 答案：D4．集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝(x ，y ) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则以下结论中正确的是( ) A ．1∈A B ．B ⊆A C ．(1,1)⊆BD ．∅∈A解析：B ＝{(1,1)}，∴B ⊆A ，故选B ． 答案：B5．已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0，a ＋3}，且A ⊆B ，则a ＝________. 解析：由题可知a ＋3＝1，∴a ＝－2. 答案：－26．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件AC ⊆B 的集合C 为________．(写出所有满足条件的集合)解析：A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }＝{1,2,3,4}，∵AC ⊆B ，则满足条件的集合C 为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}7．用适当的符号填空．(1)a________{a，b，c}；(2)0________{x|x2＝0}；(3)∅________{x|x2＋1＝0}；(4){0,1}________N；(5){0}________{x|x2＝x}；(6){2,1}________{x|x2－3x＋2＝0}．解析：(1)是元素和集合的关系．(2)是元素和集合的关系，且{x|x2＝0}＝{0}．(3)是集合与集合的关系，且{x|x2＋1＝0}＝∅.(4)是集合与集合的关系．(5)是集合与集合的关系，且{x|x2＝x}＝{0,1}．(6)是集合与集合之间的关系，且{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．答案：(1)∈(2)∈(3)＝(4)(5)(6)＝8．判断下列集合的关系．(1)集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，集合B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；(2)集合A＝{x|x－1≤3，x∈N＋}，集合B＝{y||y|＜5，y∈N＋}；(3)集合A＝{x|2＜x＋1＜4}，集合B＝{x|y＝x－1}．解：(1)集合A与集合B都表示由奇数构成的集合，∴A＝B.(2)A＝{x|x≤4，x∈N＋}＝{1,2,3,4}，B＝{y|－5＜y＜5，y∈N＋}＝{1,2,3,4}，∴A＝B.(3)A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴A B.[B组技能提升]1．若集合M＝{(x，y)|xy>0，且x＋y>0}，N＝{(x，y)|x>0，y>0}，则有( )A．M⊆/N B．N MC．N M D．M＝N解析：关键要弄清集合M，N中元素的特征性质，其中M中元素满足：xy>0且x＋y>0，即为x>0，y>0，所以与N中元素的特征性质相同，故M＝N.答案：D2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ＋6x∈Z 的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．16D ．64解析：∵x ∈N ＋，且6x∈Z ，∴x 可取1,2,3,6.∵集合A ＝{1,2,3,6}，共有4个元素． 子集的个数为24＝16个． 答案：C3．已知集合A ＝{2,4,6,8,9}，B ＝{1,2,3,4,5,8}，又知集合C 是这样一个集合：若集合C 的各元素都加上2，就变成A 的一个子集；若集合C 的各元素都减去2，就变成B 的一个子集，试写出这样的一个集合C ＝________.解析：A 中的元素都减去2得到集合M ＝{0,2,4,6,7}，B 中的元素都加上2得到集合N ＝{3,4,5,6,7,10}，M 与N 的公共元素有4,6,7，故符合条件的一个集合C 为{4,6,7}． 答案：{4,6,7}(答案不唯一)4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )y x＝1，则A ，B 的关系为________．解析：集合A 、B 均为直线y ＝x 上的点集，但(0,0)∈A ，(0,0)∉B ，故B A .答案：BA5．已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <2a . 又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <1a . ∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.6．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，求实数a 的值． 解：若集合A 的子集只有两个，则A 中只含有一个元素．当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合条件；当a ≠0时，Δ＝9－8a ＝0， ∴a ＝98.A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，符合条件，∴所求实数a 的值为0或98.。

1.2.1 集合之间的关系【选题明细表】1.下列六个关系式:①{a,b}⊆{b,a};②{a,b}={b,a};③{0}⊆∅;④0∈{0};⑤∅∈{0};⑥∅⊆{0},其中正确的个数为( C )(A)6个(B)5个(C)4个(D)少于4个解析:根据集合自身是自身的子集,可知①正确;根据集合无序性可知②正确;根据集合与集合关系及表示可知③⑤不正确;根据元素与集合之间的关系可知④正确;根据空集是任何集合的子集可知⑥正确.即正确的关系式个数为4个,故选C.2.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x-1},B={(1,0),(3,2)},则下列关系不正确的是( B )(A)(1,0)∈A (B)(3,2)⊆A(C)B⊆A (D)B A解析:因为(3,2)表示元素,而“A”是集合,所以两者之间不能用集合与集合之间的符号“⊆”来表示.故选B.3.已知集合A={x∈N*|0<x<3},则满足条件B⊆A的集合B的个数为( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)8解析:因为A={x∈N*|0<x<3}={1,2},又B⊆A,所以集合B的个数为22=4个,故选C.4.已知集合A={x|x=a2+1,x∈N},B={y|y=b2-4b+5,b∈N},则有( A )(A)A=B (B)A B (C)B A (D)A⊈B解析:由于y=b2-4b+5=(b-2)2+1≥1,所以B={y|y≥1且y∈N},故A=B.故选A.5.集合U,S,T,F的关系如图所示,下列关系错误的有.①S U;②F T;③S T;④S F;⑤S F;⑥F U.解析:根据子集、真子集的Venn图知S U,S T,F U.答案:②④⑤6.(2018·河北衡水市枣强中学期中)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a= .解析:因为B⊆A,所以a2-a+1=3或a2-a+1=a.①由a2-a+1=3得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足B⊆A,当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足B⊆A.②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0,解得a=1,当a=1时,A={1,3,1},不满足集合元素的互异性.综上,若B⊆A,则a=-1或a=2.答案:-1或27.已知非空集合M满足:对任意x∈M,总有x2∉M且∉M,若M⊆{0,1,2,3,4,5},则满足条件M 的个数是( A )(A)11 (B)12 (C)15 (D)16解析:由题意M是集合{2,3,4,5}的非空子集,有15个,且2,4不同时出现,同时出现有4个,故满足题意的M有11个.故选A.8.设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则( B )(A)M=N (B)M⊆N (C)N⊆M (D)无法确定解析:由集合M={x|x=+,k∈Z}得x=+=,分子是奇数,由集合N={x|x=+,k∈Z}得x=+=,分子可以是奇数也可以是偶数,则M⊆N,故选B.9.(2018·黑龙江大庆一中段考)已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则B的子集个数为( D )(A)3 (B)4 (C)7 (D)8解析:当⇒z=0,当⇒z=1,当⇒z=1,当⇒z=2,所以B={0,1,2},B的子集个数为23=8,故选D.10.设集合M={x|2a-1<x<4a,a∈R},N={x|1<x<2},若N⊆M,则实数a的取值范围是.解析:用数轴表示题中关系如图,显然要使N⊆M,则有解得≤a≤1.答案:{a|≤a≤1}11.已知a∈R,x∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1},求:(1)使A={2,3,4}时,x的值;(2)使2∈B,B A时,a,x的值;(3)使B=C时,a,x的值.解:(1)因为A={2,3,4},所以x2-5x+9=3,所以x2-5x+6=0,所以x=2或x=3.(2)因为2∈B且B A,所以所以或均符合题意.所以a=-,x=2或a=-,x=3.(3)因为B=C,所以①-②并整理得a=x-5, ③③代入①并化简得x2-2x-3=0,所以x=3或x=-1.所以a=-2或a=-6,经检验,a=-2,x=3或a=-6,x=-1均符合题意.所以a=-2,x=3或a=-6,x=-1.12.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={y|y=2x-a,a∈R,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},是否存在实数a,使C⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由. 解:A={x|-1≤x≤2},当x∈A时,-2-a≤2x-a≤4-a,0≤x2≤4,所以B={y|-2-a≤y≤4-a,a∈R,y∈R},C={z|0≤z≤4,z∈R}.若C⊆B,则应有⇔⇔-2≤a≤0.所以存在实数a∈{a|-2≤a≤0}时,C⊆B.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．若集合1|,3A x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,3n B x x n Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B 的关系是（ ） A ．A B B ．B A C ．B A ⊆ D ．A B =答案：A解析：弄清楚集合A ，B 的研究对象，由此得到集合A ，B 之间的包含关系. 详解： 由13133n x n +=+=,n Z ∈, 所以集合A 表示由31n +除以3的数组成的集合. 集合B 表示整数n 除以3的数组成的结合. 所以A B 故选：A 点睛：本题考查集合的基本运算，考查判断两个集合间的关系，属于中档题.2．已知集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使()A A B ⊆成立的a 的取值集合为（ ） A ．[]6,9 B ．(],9-∞C ．(),9-∞D ．()6,9答案：B解析：根据()A A B ⊆，得到A B ⊆，然后分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解. 详解：()A A B ⊆，A B ∴⊆，又{}2135A x a x a =+≤≤-， 当A =∅时，2135a a +>-，6a ∴<，当A ≠∅，21352133522a a a a +≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪-≤⎩，69a ∴≤≤，a ∴的取值集合为{}9x x ≤，故选：B.3．已知集合M=x|x 2-3x+2=0}，N=0，1，2}，则下列关系正确的是（ ） A ．M=N B ．M ∈N C ．N ⊆MD ．N ⊇M答案：D解析：化简集合M ，结合选项逐一排除可得答案． 详解：集合M=x|x 2-3x+2=0}{}1,2=，N=0，1，2}，则N ⊇M 故选：D 点睛：本题考查集合间的关系，考查学生计算能力，属于基础题．4．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是 A ．11 B ．12 C ．15 D ．16答案：A解析：可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论. 详解：由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A. 点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5．已知集合111|,|,(,)|A x y B y x C x y y x y x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫======⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．AB = B ．AC = C ．B C =D ．A B C ==答案：A解析：分别求得集合{}{}|0,|0A x x B y y ≠=≠及集合C 表示点集，即可求解. 详解：由题意，集合11{|}{|0},{|}{|0}A x y x x B y x y y x y ===≠===≠，集合1(,)|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭表示曲线1y x =的点作为元素构成的一个点集， 所以A B =. 故选：A.6．集合{1A x x =<-或}1x ≥，{}20B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．[)2,2-C ．()[),22,-∞-+∞D ．[)()2,00,2-答案：B解析：分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 详解： 解：∵B A ⊆，∴①当B =∅时，即20ax +≤无解，此时0a =，满足题意. ②当B ≠∅时，即20ax +≤有解，当0a >时，可得2x a≤-，要使B A ⊆，则需要021a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得02a <<.当0a <时，可得2x a ≥-，要使B A ⊆，则需要021a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得20a -≤<，综上，实数a 的取值范围是[)2,2-. 故选：B.7．已知集合A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 A ．6 B ．5C ．4D ．3答案：A 详解：试题分析：根据已知中集合A 满足A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数，逐一列举出满足条件的集合A ，可得答案．解：∵集合A ⊆0，1，2}，且集合A 中至少含有一个偶数， ∴满足条件的集合A 可以为：0}，2}，0，1}，1，2}，0，2}，0，1，2}，共6个， 故选A ．考点：子集与真子集．8．集合x,y}的子集个数是A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：根据集合子集的定义，即可得到子集个数． 详解：集合{},x y 的子集有{}{}{},x y x y ，，，∅,共有4个 故选D 点睛：本题主要考查了集合的子集个数问题，当集合内有n 个元素时子集个数为2n 个 9．A ．B ．C ．D ．答案：A 详解： 略10．适合条件{}{}11,2,3,4,5A ≠⊆⊂的集合A 的个数是 A ．15 B ．16 C ．31 D ．32答案：A解析：{2,3,4,5}的所有真子集加入元素1即为集合A ． 详解：由题意集合A 就是集合{2,3,4,5}的所有真子集加入元素1，因此其个数为42115-=． 故选A ． 点睛：本题考查集合的包含关系，考查子集的个数．属于基础题． 二、填空题1．若集合{}2|320A x ax x =-+=的子集只有两个，则实数a =___________．答案：0或98解析：用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零． 详解：因为集合{}2|320A x ax x =-+=的子集只有两个，所以A 中只含有一个元素．当0a =时，2{}3A =；当0a ≠时，若集合A 只有一个元素，由一元二次方程判别式980a ∆=-=得98a =． 综上，当0a =或98a =时，集合A 只有一个元素．故答案为0或98． 点睛：解题时容易漏掉0a ≠的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．2．集合{},,A a b c =的子集的个数是________个 答案：8. 详解：试题分析：根据集合子集个数的计算公式得：集合A 的子集个数为328=个. 故答案为8.考点：集合子集个数的计算公式.3．集合,,1b M a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,,0N a a b =+，且M=N ，则20192020a b +=_______答案：1-解析：由2{,,1}{,,0}b a a a b a =+，即可得出201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，再根据集合元素的互异性即可得出1a =-，0b =，从而求出答案．详解：2{,,1}{,,0}ba a ab a=+，201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，1a ∴=-，0b =，2019202020192020(1)01a b ∴+=-+=-．故答案为：1-.4．已知集合{}2,3A =，{}|60B x mx =-=，若B A ⊆，则实数m 的值为______.答案：0，2或3解析：按B =∅，B ≠∅分类。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}*|21,A x x x N =-≤∈，则集合A 的真子集个数是（ ）A ．3B ．6C ．7D ．8答案：C解析：先确定集合A 中元素个数，进而可得出结果.详解：因为{}{}{}**|21,3,1,2,3A x x x N x x x N =-≤∈=≤∈=，共含有3个元素， 因此其真子集个数为3217-=.故选：C点睛：本题主要考查求集合真子集的个数，熟记求真子集个数的公式即可，属于基础题型.2．集合M ＝x|x ＝19(2k ＋1)，k∈Z}，N ＝x|x ＝49k ±19，k∈Z}，则集合M 与N 的关系为（ ）A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M 与N 关系不确定答案：A解析：对k 分奇偶进行讨论，即可判断M 与N 关系.详解：对于集合M ，当k ＝2n(n∈Z)时，M ＝x|x ＝49n ＋19，n∈Z}，当k ＝2n －1，n∈Z 时， M ＝x|x ＝49n －19，n∈Z}，所以M ＝N ， 故选：A ．3．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．{|33}x xB ．2{|0}x x ≤C ．2{|10,}x x x x R -+=∈D ．22{(,)|,,}x y y x x y R =-∈答案：C解析：利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可．详解：解：33x +=，0x ∴=，所以{|33}{0}x x +==，A 不是空集．20x ，0x ∴=，所以2}{|0}{0x x ≤=,B 不是空集．210x x -+=，x ∈R ，()2141130∆=--⨯⨯=-<，2{|10,}x x x x R ∴-+=∈=∅；即C 是空集． 22y x =-，x ，y R ∈，即220y x +=00x y =⎧∴⎨=⎩，所以{}22){(,)|,,(0,0}x y y x x y R ==-∈；D 不是空集． 故选：C ．4．以下四个关系：∅∈0}，0∈∅，∅}⊆0}，∅≠⊂0}，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的定义及包含关系的相关知识，判断空集与集合的关系.详解：集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈0}错误；∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以∅}⊆0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅≠⊂0}正确．因此正确的只有1个． 故选：A.5．集合{}{}1,2,,2,3A a B ==，若B A ⊆，则实数a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．2或3答案：C解析：由题意，得{}{}2,31,2,a ⊆，则3a =；故选C ．6．下列选项中，表示同一集合的是A ．A=0，1}，B=（0，1）}B ．A=2，3}，B=3，2}C ．A=x|–1<x≤1，x∈N}，B=1}D ．A=∅，{|0}B x =≤答案：B解析：利用集合相等的定义直接求解．详解：在A 中，A=0，1}是数集，B=（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A 错误；在B 中，A=2，3}，B=3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B 正确；在C 中，A=x|–1<x≤1，x∈N}=0，1}，B=1}，二者不相等，不表示同一集合，故C 错误；在D 中，A=∅，{|0}B x x =≤=0}，二者不相等，不表示同一集合，故D 错误．故选B ． 点睛：本题考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．若集合{|1A x x =<-或3}x >，{|40}B x x m =+<，当B A ⊆时，实数m 的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(8],-∞D ．(,8)-∞-答案：A解析：化简集合B ，利用B A ⊆，建立不等式，即可求实数m 的取值范围.详解：由40x m +<知4m x <-． 又B A ⊆，由图可知14m --，故4m ．故选：A .点睛： 本题主要考查的是集合的包含关系及应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力，是基础题.8．下列表示①{}0=∅，②{}{}33,4,5∈，③∅ {}0，④0∈{}0中，正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：根据空集是不含任何元素的集合判断①是否正确；根据元素、集合与集合之间的关系，判断②，④是否正确；根据空集是任何非空集合的真子集判断③是否正确.详解：对于①：空集是不含有任何元素的集合，故①错误；对于②：集合之间的关系不是∈关系，故②错误；对于③：空集是任何非空集合的真子集，故③正确；对于④：0是集合{}0中的元素，即{}00∈，故④正确.故选：B.点睛：本题主要考查了元素与集合之间关系、集合与集合的关系及空集的含义．9．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =-+≤，则下列集合中是集合A 的真子集．．．的是（ ） A ．1{|}3x x ≤≤-B ．{|13}x x -≤≤C ．{0,1,2,3}D ．{2,0,1}-答案：D解析：算出集合A ，然后利用真子集的概念即可选出答案.详解：因为{|(1)(3)0}{|31}A x x x x x =-+≤=-≤≤，由集合的子集和真子集的概念知选项D 正确.故选：D.点睛：本题考查一元二次不等式的解集，集合的子集和真子集的概念，是一道基础题.10．设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C 解析：可用列举法列出所有真子集即可.详解：由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1.故选：C.点睛：本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.二、填空题1．已知集合A ={|x x =21,},3n n B +∈Z ={|x x =21,}3n n Z +∈，则集合A B 、的关系为__________．答案：A B = 解析：223133n n x +=+=，,2n Z n ∈∴为偶数，21n ∴+为奇数，23n +为奇数，A B ∴=，故答案为A B =.2．符合条件{}{}11,2,3P ⊆的集合P 有______个．答案：3解析：根据已知可知，集合P 中必包含元素1，再由{}1,2,3P ⊆可得答案.详解：因为合条件{}{}11,2,3P ⊆的集合，所以集合P 中必包含元素1，并且除了元素1还有其他元素，所以集合P 可以为1，2}，1，3}，1，2，3}．故答案为：3.点睛：本题考查了集合的子集及集合的包含关系，属于基础题.3．已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=______．答案：-1解析：分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.详解：互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-．故答案为：1-．点睛：本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.4．已知点H 是正三角形ABC 内部一点，HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆的面积值构成一个集合M ，若M 的子集有且只有4个，则点H 需满足的条件为________.答案：H 在ABC ∆的三条高上且H 不为ABC ∆重心解析：由题意知，若集合M 的子集只有4个，则集合M 有2个元素，可得出HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积有两个相等，分析点H 的位置，即可得出结论.详解：若集合M 的子集只有4个，则集合M 有2个元素，M 是等边ABC ∆内部一点，HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积值构成集合M ，故HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆三个三角形的面积有且只有两个相等.若HAB ∆，HBC ∆的面积相等，则点H 在边AC 的高上且不为ABC ∆的重心；若HBC ∆，HCA ∆的面积相等，则点H 在边AB 的高上且不为ABC ∆的重心；若HAB ∆，HCA ∆的面积相等，则点H 在边BC 的高上且不为ABC ∆的重心.综上所述，点H 在等边ABC ∆的三条高上且不为ABC ∆的重心.故答案为：H 在ABC ∆的三条高上且H 不为ABC ∆重心点睛：本题考查子集的个数与元素个数之间的关系，根据已知条件得出集合元素的个数是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.5．已知U =R ，集合{1,A x x =<或}2x > {}B x x a =>，若U C A B ⊆，则实数a 的取值范围是________答案：1a <解析：求出集合A 的补集，根据U C A B ⊆得到实数a 的取值范围.详解： ∵{1,A x x =<或}2x > ∴{}12U C A x x =≤≤，又U C A B ⊆∴1a <故答案为：1a <点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系与补集的运算，正确理解集合子集的定义，是解答的关键．三、解答题1．已知集合A ＝x|－1≤x≤6}，B ＝x|m －1≤x≤2m＋1}，且B ⊆A.（1）求实数m 的取值集合；（2）当x∈N 时，求集合A 的子集的个数.答案：（1）2m m <-∣或502m ≤≤}；（2）128. 解析：（1）B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况分别解出m 的取值范围；（2）列举法表示集合A ，利用公式求集合A 的子集的个数即可.详解：（1）①当m －1>2m ＋1，即m<－2时，B ＝∅符合题意.②当m －1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B ⊆A ，借助数轴(如图所示)，得112162m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩解得0≤m≤52.所以0≤m≤52. 综合①②可知，实数m 的取值集合为2m m <-∣或502m ≤≤}. （2）∵当x∈N 时，A ＝0，1，2，3，4，5，6}，∴集合A 的子集的个数为27＝128.点睛：本题考查集合的子集，属于基础题.2．已知{||2|3}A x x =-≤，3|0x B x x a -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若B A ⊆，求a 的取值范围.答案：15a -≤≤解析：解不等式可求得集合A .对a 进行讨论，可解得集合B ，根据B A ⊆，可得关于a 的不等式，从而可得a 的范围.详解：由|2|3x -≤可解得15x -≤≤，所以集合15{|}A x x =-≤≤;由30x x a --＜可得(3)()0x x a --<; 当3a <时，{|3}B x a x =<<，又因为B A ⊆，所以1a ≥- 故13a -≤<;当3a =时，B =∅，B A ⊆成立;当3a >时，{|3}B x x a =<<，又因为B A ⊆所以5a ≤， 故35a <≤;综上所述，a 的取值范围为15a -≤≤.点睛：本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题，一般涉及子集问题时，需考虑集合是空集或非空集两种情况，可借助数轴分析问题.3．已知，，若，求实数m 的取值范围.答案：解析：根据可得到集合端点之间的关系，从而求出m 的取值范围. 详解： 因为， 所以， 解得或 所以. 点睛：本题主要考查了集合子集的概念，属于中档题.4．已知集合{}2|3100A x x x =--≤， （1）若集合{21,1}B m m =---+，且A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若集合{|211}B x m x m =--≤≤-+，且A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.答案：（1）132m -≤≤（2）1,2m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 解析：（1）由已知可得B A ⊆，B 的两个元素在集合A 中，建立关于m 的不等式关系，即可求解；（2）由已知可得B A ⊆，对B 是否为空集分类讨论，若B 是空集，满足条件，若B 不是空集，由集合的关系确定集合B 端点位置，建立关于m 的不等式关系，即可求出结论.详解：解：{}2|3100[2,5]A x x x =--≤=- （1）A B A B A ⋃=⇒⊆，所以2215215m m -≤--≤⎧⎨-≤-+≤⎩， 即13243m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得132m -≤≤， 实数m 的取值范围132m -≤≤；（2）A B A B A ⋃=⇒⊆，①若B =∅，则211,2m m m -->-+∴<-，②若B =∅，则2m ≥-，又B A ⊆，则221215m m m ≥-⎧⎪--≥-⎨⎪-+≤⎩，解得122m -≤≤， 综上实数m 的取值范围1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 点睛：本题考查集合间的关系，要注意空集不要遗漏，属于基础题.5．已知集合3{|log (4),}A y y x x a ==-≥，{|15}B y y =≤≤，{|12}C x m x m =+≤≤.（1）若13a =，求()R C A B ；（2）若85a =，且A C A ⋃=，求m 的取值范围.答案：(1) ()(,2)(5,)R C A B =-∞+∞;(2) (,1)[3,)-∞+∞.解析：分析：（1）分别求出集合A ，B ，根据集合的交、并、补集的混合运算计算即可；（2）由题意得C A ⊆，分当C =∅时和C ≠∅时两种情况解决即可.详解：（1）∵13a =，∴49x -≥，∴[)2,A =+∞，又[]1,5B =，∴[]2,5A B ⋂=，∴()()(),25,R C A B ⋂=-∞⋃+∞.（2）∵A C A ⋃=，∴C A ⊆.∵85a =，∴481x -≥，∴[)4,A =+∞.①若C =∅，则12m m +>，∴1m <.②若C ≠∅，则114m m ≥⎧⎨+≥⎩，则3m ≥. 综上，m 的取值范围为()[),13,-∞⋃+∞.点睛：解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn 图法解决，此时要搞清Venn 图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解．。

1.2.1 集合之间的关系自我小测1．集合{x ∈N |x ＝5－2n ，n ∈N }的子集的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．62．已知P ＝{0,1}，M ＝{x |x ⊆P }，则P 与M 的关系为( )A ．P MB ．P ∉MC ．M PD ．P ∈M3．设集合A ＝{x ∈Z |x <－1}，则( )A ．∅＝A A C ．0∈A D ．{－A4．已知集合A ＝,,1n m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，集合B ＝{m 2，m ＋n,0}，若A ＝B ，则( ) A ．m ＝1，n ＝0 B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝－1，n ＝0D ．m ＝1，n ＝－15．设集合M ＝1,24k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合N ＝1,42k x x k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则( ) A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M 不是N 的子集，N 也不是M 的子集6．若非空数集A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( )A ．{a |1≤a ≤9} B．{a |6≤a ≤9}C ．{a |a ≤9} D．∅ 7．已知A ＝{y |y ＝x 2－2x －6，x ∈R }，B ＝{x |4x －7>5}，那么集合A 与B 的关系为________．8．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |(m －1)x －1＝0}，且B ⊆A ，则实数m 构成的集合M 等于__________．9．已知集合A ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈R }，B ＝{y |y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }，试判断这两个集合之间的关系．10．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．(1)是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B ？若存在，求出相应的a 值；若不存在，试说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出相应的实数对(a ，b )．参考答案1. 解析：∵x ∈N ，n ∈N ，∴集合{x ∈N |x ＝5－2n ，n ∈N }＝{1,3,5}．∴其子集的个数是23＝8.答案：B2. 解析：M ＝{x |x ⊆P }＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，故P ∈M .答案：D3. 解析：A 中∅与集合A 的关系应为∅⊆A 或∅A ，BA ，C 中0∉A ，D 正确． 答案：D4. 解析：由A ＝B ，得m 2＝1，且n m ＝0，且m ＝m ＋n ， 解得m ＝±1，n ＝0.又m ≠1，∴m ＝－1，n ＝0.答案：C5. 解析：集合M 中的元素x ＝214k + (k ∈Z )，集合N 中的元素x ＝24k + (k ∈Z )，当k ∈Z 时，2k ＋1代表奇数，k ＋2代表所有整数，故有M N .答案：B6. 解析：∵A 为非空数集，∴2a ＋1≤3a －5，即a ≥6.又∵A ⊆B ，∴2133522a a ≥⎧⎨≤⎩＋，－，即19a a ≥⎧⎨≤⎩，，∴1≤a ≤9.综上可知，6≤a ≤9.答案：B7. 解析：对于二次函数y ＝x 2－2x －6，x ∈R ，y 最小＝4(6)44⨯--＝－7，所以A ＝{y |y ≥－7}．又B ＝{x |x >3}，由图知B A.答案：B A8. 解析：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}．∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，∅⊆A ，满足题意，则m－1＝0，即m＝1.当B≠∅时，B＝{2}或B＝{3}．若B＝{2}，有11m-＝2，得m＝32；若B＝{3}，有11m-＝3，得m＝43.所以M＝34 1,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.答案：34 1,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭9.解：因为x＝1＋a2，a∈R，所以x≥1.因为y＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1，a∈R，所以y≥1，故A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.10.解：(1)不存在．理由如下：若对任意的实数b都有A⊆B，则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能．因为A＝{a－4，a＋4}，所以4142aa⎧⎨⎩－＝，＋＝或4241aa⎧⎨⎩－＝，＋＝这都不可能，所以这样的实数a不存在．(2)由(1)易知，当且仅当414aa⎧⎨⎩－＝，＋＝b或424aa⎧⎨⎩－＝，＋＝b或44aa⎧⎨⎩－＝b，＋＝1或44aa⎧⎨⎩－＝b，＋＝2时A⊆B.解得5,9ab=⎧⎨=⎩或6,10ab=⎧⎨=⎩或3,7ab=-⎧⎨=-⎩或2,6.ab=-⎧⎨=-⎩所以所求的实数对为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)．。

对应学生用书P5知识点一子集的概念高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系练习含解析新人教A版必修1.下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 A解析因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.2．下列关系正确的有________．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)∅{0}；(4)0∈{0}；(5)∅∈{0}；(6)∅＝{0}．答案(1)(2)(3)(4)解析(1)因为任何一个集合都是它本身的子集，故正确；(2)两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等，故正确；(3)因为{0}中有一个元素0，所以是非空集合，空集是任何非空集合的真子集，故正确；(4)因为{0}中有一个元素0，所以0∈{0}，故正确；(5)∅与{0}是两个集合，不能用符号“∈”，故不正确；(6)因为∅中无任何元素，而{0}中有一个元素0，所以二者不相等，故不正确.知识点二 集合间的关系3.设集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅，且B A ，求实数a ，b 的值．解 因为B ≠∅，且BA ，A ＝{－1,2}，所以B ＝{－1}或B ＝{2}． 又B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，所以当B ＝{－1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－4b ＝0，1＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.当B ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－4b ＝0，4－4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.综上可知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.4．指出下列各组的两个集合之间的关系： (1)P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4n ，n ∈Z }； (2)P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n －1)，n ∈Z }； (3)P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝xx ＝1＋－1n2，n ∈Z .解 (1)∵P 是偶数集，Q 是4的倍数集，∴Q P ；(2)∵n ∈Z ，∴n －1∈Z ，∴Q 表示偶数集， 又P 也表示偶数集，∴P ＝Q ；(3)P ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}．在Q 中，当n 为奇数时，x ＝1＋－1n2＝0，当n 为偶数时，x ＝1＋－1n2＝1，∴Q ＝{0,1}，∴P ＝Q .知识点三由集合间的关系求参数范围(1)若N ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，M ⊆N ，求实数m 的取值范围； (2)若N ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，M ＝N ，求实数m 的取值范围．解 (1)若M ⊆N ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.所以实数m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}．(2)若M ＝N ，则⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，方程组无解，即不存在实数m 使得M ＝N .所以实数m 的取值范围为∅.易错点 遗忘空集致误易错分析 由集合B ⊆A 及B 的含义求a 时，易忽略B ＝∅时的情况，也就丢了a 的可能解．答案 0或23或－2正解 由A ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}得 当B ⊆A 时，B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{3}， 当B ＝∅时，a ＝0.当B ＝{－1}时，得a ＝－2. 当B ＝{3}时，得a ＝23.综上可知，a ＝0或a ＝－2或a ＝23.对应学生用书P6一、选择题1．下列各式中，正确的是( ) A ．23∈{x |x ≤3} B．23∉{x |x ≤3} C ．23⊆{x |x ≤3} D．{23}{x |x ≤3}答案 B解析 23表示一个元素，{x |x ≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23∉{x |x ≤3}，A ，C 不正确，又集合{23}⃘{x |x ≤3}，故D 不正确．2．集合M ＝xx ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝xx ＝k 4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．MN D ．M 与N 没有相同元素答案 C解析 ∵k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，∴MN .3．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,5}，则A *B 的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 A *B 中的元素有{1,7}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个，选D.4．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1 答案 D解析 ∵P ＝{x |x 2＝1}＝{1，－1}，Q ＝{x |ax ＝1}，Q ⊆P ，∴当Q 是空集时，有a ＝0显然成立；当Q ＝{1}时，有a ＝1，与题意相符；当Q ＝{－1}时，有a ＝－1，与题意相符．故满足条件的a 的值为1，－1,0.故选D.5．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 A解析 集合{0,1,2}的子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中含有偶数的子集有{0}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，所以集合A 的个数为6.故选A.二、填空题6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是_______． 答案 {(1,2)}，{(－3,4)}解析 {(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．7．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ≥m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围为________． 答案 m ≤－2解析 由已知A ⊆B ，画数轴：可得m ≤－2.8．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则A ，B 的关系是________． 答案 B A解析 A 中(x ，y )，x ∈R ，y ∈R ，所以A 表示直线y ＝x 上所有点构成的集合．B 中的x ≠0，所以B 表示直线y ＝x 上所有点构成的集合，但除去原点．∴BA .三、解答题9．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅，且B ⊆A ，求实数a ，b 的值．解 A ＝{x |x 2－1＝0}＝{1，－1}，由B ⊆A ，且B ≠∅，得B ＝{1}或{－1}或{1，－1}． 当B ＝{1}时，方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个相等实数根1，由根与系数的关系得a ＝1，b ＝1；当B ＝{－1}时，方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个相等实数根－1，由根与系数的关系得a ＝－1，b ＝1；当B ＝{1，－1}时，方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个根，分别为－1,1，由根与系数的关系得a ＝0，b ＝－1.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.10．已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1a<x <2a .又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2a<x <1a .∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围为{a |a ≥2或a ≤－2或a ＝0}．。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．若{}{}41,,21,A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==-∈，则（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．A B = D ．A B φ⋂=答案：A解析：分析集合B 元素特征，即可求出结果 详解：{}{}21,4143,B x x k k Z x x k x k k Z ==-∈==+=+∈或,A B ∴⊆.故选:A 点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题.2．已知集合A=1，a ，b}，B=a 2，a ，ab}，若A=B ，则a 2021+b 2020=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2答案：A解析：根据A=B ，可得两集合元素全部相等，分别求得21a =和ab=1两种情况下，a ，b 的取值，分析讨论，即可得答案. 详解： 因为A=B ，若21a =，解得1a =±，当1a =时，不满足互异性，舍去，当1a =-时，A=1，-1，b}，B=1，-1，-b}，因为A=B ， 所以b b =-，解得0b =， 所以202120201a b +=-； 若ab=1，则1b a=， 所以21{1,,},{,,1}A a B a a a==，若2a a =，解得0a =或1，都不满足题意，舍去，若21a a=，解得1a =，不满足互异性，舍去， 故选：A 点睛：本题考查两集合相等的概念，在集合相等问题中由一个条件求出参数后需进行代入检验，检验是否满足互异性、题设条件等，属基础题.3．已知集合{{},1,,A B m B A ==⊆，则m =（ ） A ．0或3 B ．0或1 C ．1 D ．3答案：A解析：由题意可得3m =或m =3m =时，代入两集合检验是否满足B A ⊆，再由m =求出m 的值，代入两集合检验是否满足B A ⊆，还要注意集中元素的互异性 详解：因为B A ⊆，所以3m =或m =①若3m =，则{{},1,3A B ==，满足B A ⊆；②若m =，则0m =或1m =.当0m =时，{}{}1,3,0,1,0A B ==，满足B A ⊆；当1m =1，集合,A B 不满足元素的互异性，舍去. 综上，0m =或3m =， 故选：A .4．已知a ，b ∈R ，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20212021a b +的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或0答案：A解析：根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解. 详解：由0,,1b a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ 且0a ≠，则0b a=， ∴0b =，于是21a =，解得1a =或1a =-． 根据集合中元素的互异性可知1a =应舍去， 因此1a =-， 故()2021202120212021101a b +=-+=-．故选：A.5．设集合{}1,1M =-,{}240N x x =-<,则下列结论正确的是A ．N M ⊆B ．N M =∅C ．M N ⊆D ．M N =R答案：C 详解：集合{}1,1M =-,{}240{|22}N x x x x =-<=-<<,1,1N -∈,所以M N ⊆.故选C.6．若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A ⋃=的集合B 可以是（ ） A ．{}|0x x ≤ B ．{}2|x x ≤ C ．{}|0x x ≥ D ．{}|2x x ≥答案：A解析：由已知可得B A ⊆，即可得出结论. 详解：若A B A ⋃=，则B A ⊆，又{}0|x x ≤⊆{}|1x x A ≤=. 故选：A. 点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题.7．设集合{21,},{2,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，则（ ） A ．M N B ．M N ⊆ C ．N M ⊆ D ．M N ⋂=∅答案：B解析：先判断出M 为奇数集，N 为整数集，从而可判断两者之间的关系. 详解：∵集合{21,}M xx k k Z ==+∈∣，故M 为奇数集. 而{2,}N xx k k Z ==+∈∣，故N 为整数集， ∴M N ⊆. 故选：B. 点睛：本题考查集合的包含关系，一般根据集合元素的特征确定出两个集合的包含关系，本题属于基础题.8．下列写法中正确的是（ ）A ．0φ∈B ．{}0φφ=C ．0φ⊆D ．{}0φ⊆答案：D解析：根据空集的定义及集合间关系,即可判断选项. 详解：空集是不含任何元素的集合,所以A 选项错误;并集、包含符号用于集合与集合之间,所以B 和C 选项错误. 由集合的包含关系可知,D 为正确选项. 故选:D 点睛：本题考查了空集概念的辨析,元素与集合、集合与集合关系的判断,属于基础题. 9．若集合P 是集合Q 的子集,则下列结论中正确的是 A ．Q P ⊆ B ．P Q =∅ C ．P Q P = D ．P Q P =答案：D解析：根据集合与集合间的关系逐项运算． 详解：解：若集合P 是集合Q 的子集, 则P Q ⊆,A 选项错误;P Q P =, B 选项错误; P Q Q ⋃=,C 选项错误;故选D ． 点睛：本题考查了集合与集合的关系,以及集合间的交并运算,是基础题．10．设集合{}10,},{1,0,1A x R mx m R B =∈-=∈=-，若A 是B 的真子集，则实数m 的取值集合为. A ．{1,0,1}- B ．{1,1}-C ．{}1-D ．{1}答案：A解析：由A 是B 的真子集，分为A =∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论，进一步确定m 取值 详解：A 是B 的真子集，可分为A =∅和A ≠∅两种情况 若0m =时，A =∅，符合题意；若0m ≠时，A ≠∅，若{}1A =，则满足10m -=，1m =；若{}1A =-，则满足10m --=，1m =- 综上所述，实数m 的取值集合为{1,0,1}-故选A 点睛：本题考查由包含关系求解参数问题，易错点为忽略集合A =∅的情况，属于基础题 二、填空题1．已知{|2},{|},A x x B x x m =<-=<若B 是A 的子集，则实数m 的取值范围为___．答案：(],2-∞-解析：根据子集的定义来确定实数m 的取值范围 详解：根据题意，B 是A 的子集，且{|2},{|}A x x B x x m =<-=< 则有：2m ≤-则实数m 的取值范围为(],2-∞- 点睛：本题主要考查了子集，只有掌握子集的定义即可求出结果，较为简单。

§2 集合的基本关系课后训练案巩固提升A组1.若集合A={x|x是等边三角形},B={x|x是三角形},则下列关系中正确的是()A.A∈BB.A⫋BC.A=BD.B⊆A解析:等边三角形一定是三角形,但三角形不一定是等边三角形,由真子集定义知A⫋B.答案:B2.导学号91000011下列命题中,正确的有()①空集是任何集合的真子集;②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C;③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集;④若⌀⫋A,则A≠⌀.A.①②B.②③C.②④D.③④解析:空集只是空集的子集而非真子集,故①错;真子集具有传递性,故②正确;若一个集合是空集,则没有真子集,故③错误;因为⌀是任何非空集合的真子集,故④正确,因此选C.答案:C3.集合P={x|x2+x=0}的真子集的个数是()A.1B.3C.4D.7解析:由于P={x|x2+x=0}={-1,0},即集合P中含有2个元素,因此它有22-1=3个真子集.答案:B4.已知集合M={x|x>3},N={x|x>2},则M与N的关系可用Venn图表示为()解析:因为M={x|x>3},N={x|x>2},所以M⫋N.故D选项正确.答案:D5.设A={x|2≤x≤8},B={x|2a≤x≤a+4},若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.{a|1≤a≤4}B.{a|a>4}C.{a|a≥1}D.{a|1<a<4}解析:①当B≠⌀时,则有解得1≤a≤4.②当B=⌀时,2a>a+4,解得a>4.综合①②,得a≥1,故选C.答案:C6.若{a,0,1}=,则a=,b=,c=.解析:∵-1∈{a,0,1},∴a=-1;又0∈,∴c=0;由=1得b=1.综上知,a=-1,b=1,c=0.答案:-1107.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=.解析:∵B⊆A,且m2不可能取-1,∴m2=2m-1,解得m=1,经验证符合题意.答案:18.已知集合P={1,2,3,4},Q={0,2,4,5},则满足A⊆P,且A⊆Q的集合A为.解析:若A=⌀,则满足A⊆P,且A⊆Q;若A≠⌀,由A⊆P,且A⊆Q知集合A是由属于P且属于Q的元素构成,此时A可以为{2},{4},{2,4},故满足条件的集合A为⌀,{2},{4},{2,4}.答案:⌀,{2},{4},{2,4}9.导学号91000012已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⫋A,求实数a的取值范围.解:当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3,满足B⫋A.当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,若B⫋A,需解得a<-4或2<a≤3.综上可知,实数a的取值范围为{a|a<-4,或a>2}.10.已知集合P={x∈R|x2+ax+4=0}.(1)若P={2},求实数a的值;(2)若{1}⫋P,求实数a的值.解:(1)因为P={2},所以方程x2+ax+4=0有两个相等的实根x1=x2=2,因此22+2a+4=0,解得a=-4,这时P={x∈R|x2-4x+4=0}={2},符合题意.故a=-4.(2)因为{1}⫋P,所以集合P中含有元素1,即1是方程x2+ax+4=0的根,所以12+a×1+4=0,解得a=-5.这时P={x∈R|x2-5x+4=0}={1,4},符合题意,故a=-5.B组1.设全集为R,集合M={x|y=2x+1},N={y|y=-x2},则()A.M⊆NB.N⊆MC.N=MD.M∈N解析:从代表元素入手,认识集合的意义,由一次函数的图像知M=R,由二次函数的图像知N=(-∞,0],即N⊆M.答案:B2.若集合A={x|x=n,n∈N},B=,则A与B的关系是()A.A⊈BB.A⊆BC.A=BD.A∈B解析:∵n∈Z,∴A={x|x=n,n∈N}⊆=B,故选B.答案:B3A={x|x-2≤0,x∈N},B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.5B.4C.3D.2解析:由题意得,A={0,1,2},B={0,1,2,3,4},则满足条件C的元素的个数就是集合{3,4}的子集个数,共有4个,故选B.答案:B4.(拓展探究)集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是()A.4B.5C.6D.7解析:依题意,可分为两类:①4元素为相邻的四个数字,有{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5};②4个元素分为两组,每组两元素相邻,有{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,4,5}.故共有6个4元子集.答案:C5.设集合A={3,m2},B={1,3,2m-1},若A⫋B,则实数m=.解析:因为A⫋B,所以m2=1或m2=2m-1,解得m=±1,由集合元素的互异性可知m=-1.答案:-16.定义A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为.解析:因为A*B={1,7},所以其子集为⌀,{1},{7},{1,7},个数为4.答案:47A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.解:①若消去b,得a+ac2-2ac=0,即a(c2-2c+1)=0,当a=0时,集合B中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性,故a≠0,∴c2-2c+1=0,即c=1.当c=1时,集合B中的三个元素也相同,不满足集合中元素的互异性,∴c=1舍去,即此时无解.②若消去b,得2ac2-ac-a=0,即a(2c2-c-1)=0,∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0.又c≠1,∴c=-.经检验,c=-符合题意.综上,c=-.8.已知A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1}.求:(1)使A={2,3,4}的x的值;(2)使2∈B,B⫋A的a,x的值;(3)使B=C的a,x的值.解:(1)因为{2,4,x2-5x+9}={2,3,4},所以x2-5x+9=3,所以x=2或x=3.(2)因为B⫋A,所以3∈A,所以x2-5x+9=3.由(1)知x=2或x=3.又因为2∈B,所以x2+ax+a=2.当x=2时,4+2a+a=2,得a=-.当x=3时,由32+3a+a=2,得a=-.所以x=2,a=-,或x=3,a=-.(3)因为B=C,所以得。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．若{1，2}{0M ⊆⊆，1，2，3，4}，则满足条件的集合M 的个数为（ ） A ．7 B ．8C ．31D ．32 2．设{}|26A x x =≤≤，{}|23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是A ．[]1,3B ．[3,)+∞C ．[1,)+∞D ．()1,3 3．集合26{|}A x x y x N y N -∈∈＝＝＋，，的真子集的个数为 A ．9B ．8C ．7D ．64．下列与集合{}1,2A =-相等的是（ ） A ．1,2B ．1,2C ．(){},1,2x y x y =-=D ．{}220x x x --=5．以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， 0N ∈， {},a b {},b a ⊆ ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集，错误的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-，若A B A ⋃=，则实数m 的取值范围是 A ．[]3,4-B ．()3,4-C ．()2,4D ．(],4-∞7．设集合{}1,2A =,{}0,1,2B =,定义运算|,,x A B z z x A y B y⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭,则集合A B 的子集的个数为 A ．3B ．4C ．8D ．168．已知A=x|x≥k}，B=x|31x + ＜1}，若A ⊆B ，则实数k 的取值范围为（ ） A ．（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）9．下列六个关系式：①{}{},,a b b a ⊆，②{}0=∅，③{}00∈，④{}0∅∈，⑤{}0∅⊆，其中正确的个数为（ ） A ．2B ．5C ．4D ．310．若集合A 满足{},a b A ⊆ {},,,,a b c d e ，则集合A 的个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题1．满足条件{}{}1,31,3,5,7A ⋃=的集合A 的个数是______________ 2．已知集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，若A B ⊆，则a =______________.3．设{}2560,A x x x x R =--=∈，{}260,B x ax x x R =-+=∈，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是______.4．设集合{}0,A a =，集合{}232,,1B a a a =--且,A B ⊆则a 的值是_________.5．设集合{}1,2,3A =-，集合{}23,B a =，若B A ⊆，则a =__________．三、解答题1．已知{}2|340A x x x =+-=，{|10}B x ax a =-+=，且B A ⊆，求所有a 的值所构成的集合M .2．设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集.（1）若{}12,M a a =，且A 是B 的子集，求所有有序集合对(),A B 的个数； （2）若{}123,,,,n M a a a a =，且A 是B 的子集，求所有有序集合对(),A B 的个数.3．指出下列集合之间的关系：{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N ，{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R ．4．集合若A ＝x|x 2－5x ＋6＝0}，B ＝x|ax －6＝0}，且A∪B＝A ，求由实数a 组成的集合C5．已知集合{}{}2230,A x x x B x m x m =--<=-<<，若B A ⊆，求实数m 的范围.参考答案一、单选题 1．B解析：根据集合间的关系以及子集的概念和子集和数的计算，即可求解. 详解：由题意，因为{1,2}{0,1,2,3,4}M ⊆⊆，所以集合M 中至少含有1，2两个元素，至多含有0，1，2，3，4这5个元素，因此集合M 的个数即为集合{0,3,4}的子集个数，即为328=个. 故选：B ． 点睛：根据两个集合间的关系求参数时，一是将两个集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系；二是当题目中有条件B A ⊆时，不要忽视B φ=，导致丢解. 2．C解析：由B A ⊆，可对集合B 分类：是∅或不是∅，然后计算得到结果. 详解： 因为B A ⊆，当B =∅时，符合要求，则有：23a a >+，即3a >；当B ≠∅时，则有：232236a a a a ≤+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，解得13a ≤≤；则a 的取值范围是：[)1,+∞， 故选C. 点睛：本题考查利用子集关系求解参数范围问题，难度较易.利用子集关系求解问题时，注意集合是否可能是空集. 3．C解析：分析得到y 可取0，1，2，所以6{}25A =，，，再求集合A 的真子集的个数. 详解：由于x ∈N ，y N ∈，又因为2+6x y =-， 则y 可取0，1，2，∴6{}25A =，，， 故集合A 的真子集个数为3217-=， 故选C ． 点睛：本题主要考查集合及其真子集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D解析：集合相等指的是两个集合中元素完全相同，A 为点集，B 不是集合，C 也是点集，D 经过计算后可知元素与集合A 中完全相同，故选D. 详解：解：∵{}{}2201,2x x x --==-，∴与集合{}1,2A =-相等的是{}220x x x --=.故选：D 5．D解析：根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案． 详解：根据元素与集合间的关系可判定0{0}∈、0N ∈正确，0.3Q ∉不正确，根据集合与集合之间的关系可判定{0}⊇∅、{,}{,}a b b a ⊆、{}220,xx x Z -=∈∣是空集正确 故选：D 6．D解析：A B A ⋃=可得B A ⊆，由{}121B x m x m =+<<-可判断，应对集合B 进行分类讨论，分为B 不是空集与B 是空集两种情况，再结合具体条件进行判断，求出参数m详解：A B A =，B A ∴⊆.①若B 不为空集，则121m m +<-，解得2m >. {}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-12m ∴+≥-，且217m -≤，解得34m -≤≤.此时24m <≤.②若B 为空集，则121m m +≥-，解得2m ≤，符合题意. 综上，实数m 的取值范围为(],4-∞.答案选D 点睛：本题考查根据集合的子集的运算求解参数问题，易错点为若B A ⊆，一定要根据两种基本情况讨论：①B =∅，②B 不是空集；情况①解题时往往容易忽略 7．C 详解：试题分析：因为|,,x A B z z x A y B y⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，{}1,2A =,{}0,1,2B =，所以11,2,2A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以集合A B 有3个元素，所以其子集的个数有8个． 考点：集合子集的个数【思路点睛】求解有限集合的子集的个数时，需要确定集合中元素的个数，再根据子集个数的公式2n ，有时题目还会这样考察，集合的真子集的个数21n -，非空真子集的个数22n -．还有这样考察的例满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数，集合A 有n 个元素，集合B 有m 个元素，其中m n >，满足题意的答案有2m n -个．8．C解析：试题分析：因为()()32101201211x x x x x x x -<⇔⇔+-⇔-++或,所以当A B 时2k >,故选C ．考点：1．分式不等式解法；2．集合运算． 9．D解析：根据集合与集合之间、元素与集合之间的关系逐项判断. 详解：①正确，任何集合是其自身的子集.②错误，0是单元素集合，而∅不包含任何元素.③正确，考查了元素与集合的关系.④集合与集合的关系是包含关系，错误.⑤正确，∅是任何非空集合的子集. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系，属于基础题. 10．B解析：试题分析：由已知可得集合A 至少函数含有,a b 可能含有,,c d e 中的一个，两个或不含这几个元素，合计共有7种情况考点：集合的子集二、填空题 1．4解析：由题意知满足条件的集合A 中必有元素5,7，元素1，3可以没有，或有1个，或有2个，由此能求出满足条件1，3}∪A=1，3，5,7}所有集合A 的个数． 详解：∵满足条件1，3}∪A=1，3，5,7}，∴满足条件的集合A 有：5,7}，1,5,7},3,5,7},1，3，5,7}， ∴满足条件1，3}∪A=1，3，5,7}所有集合A 的个数是4． 点睛：本题考查满足条件的集合A 的个数的求法，是基础题，注意并集性质的合理运用． 2．1解析：由A B ⊆，得到1是方程2x a =是方程的根，代入即可求解. 详解：由题意，集合2{|1},{|}A x x B x x a ====，因为A B ⊆，所以1B ∈，即1是方程2x a =是方程的根，解得1a =， 当1a =，可得集合{}1,1b =-,此时满足A B ⊆， 所以1a =. 故答案为：1. 点睛：本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题. 3．{}1,024⎛⎫+∞⋃⎪⎝⎭解析：先求集合A 中的元素得A {1,6}=-，由B A ⊆可得集合B 可能为φ、{1}{6}{1,6}--、、 。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．对于集合,A B ，若B A ⊆不成立，则下列理解正确的是A ．集合B 的任何一个元素都属于AB ．集合B 的任何一个元素都不属于AC ．集合B 中至少有一个元素属于AD ．集合B 中至少有一个元素不属于A答案：D解析：根据集合的包含关系判断正误．详解：解：根据集合的包含关系，由B A ⊆不成立知，B 中可能有元素属于A ，但一定有不属于A 的元素， 故A ，B ，C 错误，D 正确，故选：D ．点睛：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．2．满足a ，b}⊆M ⫋a ，b ，c ，d ，e}的集合M 的个数是（ ）个A ．2B ．4C ．7D ．8答案：C解析：利用列举法，列举出所有符合条件的集合M ，由此确定集合M 的个数.详解：满足条件的M 有：a ，b}，a ，b ，c}，a ，b ，d}，a ，b ，e}，a ，b ，c ，d}，a ，b ，c ，e}，a ，b ，d ，e}，共7个．故选：C点睛：本小题主要考查根据包含关系求集合，属于基础题.3．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则20202020(1)a b ++的值为（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-1答案：A 解析：由集合相等，求得0b =，得到{}{}2,0,1,,0a a a =，求得1a =-，即可求得20202020(1)a b ++的值.详解： 由题意，集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，可得0b a =，即0b =， 所以{}{}2,0,1,,0a a a =，可得211a a ⎧=⎨=⎩，解得1a =-， 所以2020220202000202(1)(0(1)1)2a b =-+++=+,即20202020(1)a b ++的值2.故选：A.点睛：本题主要考查了根据集合相等求解参数问题，其中解答中熟记集合相等的条件，根据元素对应相等，列出方程求得,a b 的值是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4．集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5,6M ⊆⊆，则集合M 的个数为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17答案：C解析：根据集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5,6M ⊆⊆，由集合的子集定义求解.详解：因为集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5,6M ⊆⊆，所以集合M 的个数为集合{}3,4,5,6子集的个数，有4216=个，故选：C点睛：本题主要考查集合的基本关系以及子集的个数问题，属于基础题.5．已知集合{{},1,,A B m B A ==⊆，则m =（ ）A ．0或3B ．0或1C ．1D ．3答案：A解析：由题意可得3m =或m =3m =时，代入两集合检验是否满足B A ⊆，再由m =求出m 的值，代入两集合检验是否满足B A ⊆，还要注意集中元素的互异性详解：因为B A ⊆，所以3m =或m =①若3m =，则{{},1,3A B ==，满足B A ⊆；②若m =，则0m =或1m =.当0m =时，{}{}1,3,0,1,0A B ==，满足B A ⊆；当1m =1，集合,A B 不满足元素的互异性，舍去.综上，0m =或3m =，故选：A .6．已知集合A 满足{}{},,a A a b c ⊆⊆，则不同集合A 的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8答案：C解析：由题意得a A ∈，再根据子集的概念即可得出结论．详解：解：∵{}{},,a A a b c ⊆⊆，∴a A ∈，∴{}A a =，或{},A a b =，或{},A a c =，或{},,A a b c =，故选：C ．点睛：本题主要考查集合的子集的个数问题，属于基础题．7．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y x y =+=，则A B 的真子集个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C 解析：求出A B 的元素，再确定其真子集个数．详解：由2221y x x y ⎧=⎨+=⎩，解得x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A B 中有两个元素，因此它的真子集有3个．故选：C.点睛：本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集．8．符合{}1,2 {}1,2,3,4,5A ⊆关系的集合A 的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8答案：C解析：由题意一一列举出集合A 的情况即可得出答案．详解：由题意知：符合{}1,2 {}1,2,3,4,5A ⊆关系的集合A 可能为{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5，共7个.故选：C.点睛：本题考查满足条件的集合个数的求法，关键是做到不重不漏，是基础题．9．下列集合中，表示空集的是A ．{}0B ．(){},0x y y x =≤ C ．{}2560,x x x x N ++=∈ D ．{}24,x x x Z <<∈答案：C解析：没有元素的集合是空集，逐一分析选项，得到答案.详解：A.不是空集，集合里有一个元素，数字0，故不正确；B.集合由满足条件的0y x =≤上的点组成，不是空集，故不正确；C.2560x x ++=，解得：2x =-或3x =-，都不是自然数，所以集合里没有元素，是空集，故正确；D.满足不等式的解为3x =±，所以集合表示{}3,3-，故不正确.故选C点睛：本题考查空集的判断，关键是理解空集的概念，意在考查分析问题和解决问题的能力.10．已知集合2{1}A x x =<，2{log 0}B x x =<，则( )A ．AB ⊂B ．B A ⊂C ．A B =D ．A B φ⋂=答案：B 解析：化简集合{11}A x x =-<<，{|01}B x x =<<，由集合之间的关系得答案.详解： 集合2{1}{11}A x x x x =<=-<<， 集合222{log 0}{log log 1}{01}B x x x x x x =<=<=<<，B A ∴⊂.故选：B.点睛：本题考查了集合的运算和集合之间的关系，也考查了不等式的解法，属于基础题.二、填空题1．设集合A 为空间中两条异面直线所成角的取值范围，集合B 为空间中直线与平面所成角的取值范围，集合C 为直角坐标平面上直线的倾斜角的取值范围，则集合A 、B 、C 的真包含关系是______.答案：A B C ⊂⊂ 解析：推导出{|0}2A παα=<≤，{|0}2B παα=≤≤，{|0}C ααπ=≤<，由此能求出集合A 、B 、C 的真包含关系．详解： 解：集合A 为空间中两条异面直线所成角的取值范围， ∴{|0}2A παα=<≤，集合B 为空间中直线与平面所成角的取值范围， ∴{|0}2B παα=≤≤，集合C 为直角坐标平面上直线的倾斜角的取值范围，∴{|0}C ααπ=≤<，∴A B C ⊂⊂， 故答案为：A B C ⊂⊂．点睛：本题主要考查集合的真包含关系的判断，考查异面直线所成角、线面角、直线的倾斜角等基础知识，属于基础题．2．定义有限数集A 中的最大元素与最小元素之差为A 的“长度”，如：集合1{1,2,4}A =的“长度”为3，集合{}23A =的“长度”为0.已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，则U 的所有非空子集的“长度”之和为_________.答案：201解析：根据集合“长度”的定义，可将集合U 的非空子集分六类，分别计算可求出答案. 详解：集合U 有6个元素,非空子集有62163-=个，①集合“长度”为0的子集有：{}{}{}{}{}{}1,2,3,4,5,6；②集合“长度”为1的子集有：{}{}{}{}{}1,2,2,3,3,4,4,5,5,6；③集合“长度”为2的子集有：{}{}{}{}1,3,2,4,3,5,4,6,{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6； ④集合“长度”为3的子集有：{}{}{}1,4,2,5,3,6,{}{}{}1,2,4,1,3,4,2,3,5，{}{}{}2,4,5,3,4,6,3,5,6,{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,{}3,4,5,6； ⑤集合“长度”为4的子集有：{}{}1,5,2,6,{}{}{}1,2,5,1,3,5,1,4,5,{}{}{}2,3,6,2,4,6,2,5,6,{}{}{}1,2,3,5,1,2,4,5,1,3,4,5,{}{}{}2,3,4,6,2,3,5,6,2,4,5,6,{}2,3,4,5,6,{}1,2,3,4,5；⑥集合“长度”为5的子集有：{}1,6,{}1,2,6,{}1,3,6,{}1,4,6,{}1,5,6,{}1,2,3,6,{}1,2,4,6,{}1,2,5,6,{}1,3,4,6,{}1,3,5,6,{}1,4,5,6{1,3,4,5,6},{1,2,4,5,6},{1,2,3,5,6},{1,2,3,4,6},{1,2,3,4,56},.U 的所有非空子集的“长度”之和为061528312416516201⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：201.点睛：本题考查新定义，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行计算、推理、迁移，新定义问题要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过思考，合理进行思想方法的迁移.3．若非空集合M 满足：（1）{1,2,3,4,5}M ⊆；（2）当a M ∈时，总有6a M -∈，则符合上述要求的集合M 有________个．答案：7解析：若元素a M ∈，则6a M -∈，将集合{1,2,3,4,5}的元素分成三组：1，5和2，4和3再对集合M 中的元素个数进行分类讨论：当M 中一个元素、二个、三个、四个、五个元素时，分别求出M ，最后综上所述得集合M 个数即可，详解：解：根据条件：若元素a M ∈，则6a M -∈，将集合{1,2,3,4,5}的元素分成三组；1和5；2和4；3．{1,2,3,4,5}M ⊆，当M 中元素只有一个时，{}3M =；当M 中元素只有二个时，{}1,5M =或{}2,4；当M 中元素只有三个时，1,3,5M 或{}2,3,4；当M 中元素只有四个时，{}1,2,4,5A =；当M 中元素有五个时，{}1,2,3,4,5M =；综上所述得：则集合M 个数是：7故答案为：7．本题主要考查集合关系中的参数取值问题、集合的元素性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想4．集合{|}A x x a =<，{|1}B x x =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为_______答案：(,1]-∞解析：借助数轴即可求得实数a 的取值范围.详解：如图，若A B ⊆，则1a ≤.故答案为：(,1]-∞.点睛：本题考查集合的基本关系，已知集合的包含关系求参数的范围常常借助数轴求解，属基础题.5．若集合M 满足M，则这样的集合M 有____________个.答案：3详解：试题分析：集合M 满足M，则M =∅或{}1或{}2，所以这样的集合M 有3个. 考点：集合之间的包含关系.三、解答题1．若{}{}0,2,2,22a a a a =---，-，求a 的值答案：2解析：分20a -=，0a -=，220a -=三种情况讨论得解.详解：若20a -=，则2a =，经检验此时满足题意； 若0a -=，则0a =，222a a -=-，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；若220a -=，则1a =，2||a a -=-，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去.综上所述，2a =.本题主要考查相等集合和集合的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知集合{}2230A x x x =--<，{}315B x x =-<.（1）化简集合A ，B ；（2）已知集合{}21C x m x m =<<+，若集合()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.答案：（1）()13A ,=-，4,23B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解析：（1）根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法即可解不等式求得结果；（2）由交集定义求得A B ，根据()C A B ⊆⋂可分为C =∅和C ≠∅两种情况构造出不等式求得结果.详解：（1）()(){}()3101,3A x x x =-+<=-，{}45315,23B x x ⎛⎫=-<-<=- ⎪⎝⎭ （2）由（1）知：()1,2A B =-()C A B ⊆∴当C =∅时，21m m ≥+，解得：m 1≥；当C ≠∅时，212112m m m m <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，解得：112m -≤< 综上所述：1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭ 点睛：本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.3．设,x y R ∈，集合{}23,A x xy y =++，{}21,3B x xy x =++-，且A B =，求实数x ，y 的值答案：32x y =⎧⎨=-⎩或16x y =-⎧⎨=-⎩ 解析：根据两个集合相等，则其元素全部相同，可得22133x xy y x xy x ⎧++=⎨++-=⎩，从而得出答案.由A B =得 : 22133x xy y x xy x ⎧++=⎨++-=⎩解得 32x y =⎧⎨=-⎩ 或 16x y =-⎧⎨=-⎩ 4．已知集合A ＝x |1x <－或1x ≥}，B ＝x |2x a ≤或1x a ≥＋}，若()B A ⊆R ，求实数a 的取值范围．答案：2a ≤－或12a ≥解析：试题分析：由集合B 求得其补集B R ，由()B A ⊆R 可得到两集合边界值的大小关系，从而得到a 的不等式，求得a 的取值范围，求解时需分B R 是否为空集两种情况试题解析： ∵{|21}B x x a x a ≤≥＝或＋，∴{|21}B x a x a <<R ＝＋． 当21a a ≥＋，即1a ≥时，B A ∅⊆R ＝，．当21a a <＋，即1a <时，B ≠∅R ， 要使B A ⊆R ，应满足1121a a ≤≥＋－或，即2a ≤－或112a ≤< 综上可知，实数a 的取值范围为2a ≤－或12a ≥考点：1．集合的补集运算；2．集合的子集关系5．已知集合M ＝x|x(x －a －1)<0，x∈R}，N ＝x|x 2－2x －3≤0}，若M∪N＝N ，求实数a 的取值范围．答案：[－2,2]详解：由已知得N ＝x|－1≤x≤3}，∵M∪N＝N ，∴M ⊆N.又M ＝x|x(x －a －1)<0，a∈R}，①当a ＋1<0，即a<－1时，集合M ＝x|a ＋1<x<0}；要使M ⊆N 成立，只需－1≤a＋1<0，解得－2≤a<－1.②当a ＋1＝0，即a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ，∴a＝－1符合；③当a＋1>0,即a>－1时，集合M＝x|0<x<a＋1}．要使M⊆N成立，只需0<a＋1≤3，解得－1<a≤2.综上所述，a的取值范围是[－2,2]．。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}2|320A x x x =-+=，{}|06,B x x x N =<<∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．16答案：C解析：求出集合A 、B ，再根据A C B ⊆⊆既可以写出所有的集合C ，从而得出正确答案. 详解：{}()(){}{}2|320|1201,2A x x x x x x =-+==--==，{}{}|06,1,2,3,4,5B x x x N =<<∈=，所以1,2都是集合C 中的元素，集合C 中的元素还可以有3、4、5所以集合C 为：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5{}1,2,3,4,5共8个， 故选：C 点睛：考查了描述法，列举法表示集合，子集的概念，属于基础题.2．已知集合2560,{|}M x x x =--≤1,16xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M ND ．()R M C N ⊆答案：B解析：求出集合M ，N ，然后判断M ，N 的关系即可． 详解：∵M＝x|﹣1≤x≤6}，N ＝y|0＜y≤6}， ∴N ⊆M ． 故选：B ． 点睛：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．3．若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（ ） A ．{}|27a a ≤≤ B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅答案：C解析：考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.详解：当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤. 故选：C. 点睛：本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误. 4．下列表述正确的是 A ．{0}∅= B ．{0}∅⊆C ．{0}∅⊇D ．{0}∅∈答案：B 详解：∅不含有任何元素，0}中含有一个元素0．空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，所以答案是B ．5．已知集合M ＝｛x ｜x ＜0｝，N ＝｛x ｜x≤0｝，则 A ．M∩N＝∅ B ．MUN ＝RC ．M ⊆ND ．N ⊆M答案：C解析：根据具有包含关系的两个集合的交集与并集的性质求得结果. 详解：因为{}{}|0,|0M x x N x x =<=≤， 所以有M N ⊆，所以有M N M ⋂=，M N N ⋃=， 所以只有C 是正确的，故选C. 点睛：该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有判断两集合的关系，具备包含关系的两集合的交并运算的性质，属于简单题目.6．集合{}22A x N x =∈-<<的真子集个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8答案：A解析：根据若集合中有n 个元素，则真子集个数为21n -求解. 详解：因为集合{}{}220,1A x N x =∈-<<=， 所以集合A 的真子集个数为2213-=， 故选：A 点睛：本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 7．集合{|04}A x N x =∈<<的真子集个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8答案：C解析：{}1,2,3A =，集合有3个元素，所以集合的真子集个数为3217-=，故填：C.8．已知集合{|A x y =，集合{|}B x x a =≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．(],2-∞-C ．()2+∞，D ．[)2+∞，答案：B解析：由题意得，[]2,2A =-，再根据集合间包含关系即可求出答案． 详解：解：∵[]{|2,2A x y ==-，{|}B x x a =≥，A B ⊆， ∴2a ≤-， 故选：B ． 点睛：本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．9．已知集合{|1}P x R x =∈≥，{2,3}Q =，则下列关系中正确的是A ．P Q =B ．P QC ．Q PD ．P Q R =答案：C解析：由2,3均大于等于1,即可判断集合P 与Q 的关系. 详解：因为21≥,3≥1,所以Q P,故选:C 点睛：本题考查集合之间的关系,属于基础题.10．设集合{1,2,3,4,5}A =，{2,4}B =则正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．A B ∉C ．B A ⊆D ．B A ∉答案：C解析：根据集合之间的关系，以及集合之间的表示符号，即可容易判断. 详解：因为{1,2,3,4,5}A =，{2,4}B =， 可得集合B 是集合A 的子集. 故B A ⊆. 故选：C. 点睛：本题考查集合之间的关系，属基础题. 二、填空题 1．已知集合,2{|0}B x x ax b =++=，若A=B ，则a+b=_______． 答案：解析：试题解析：由题意可得：，所以．考点：集合间的基本关系．2．已知集合{1A x x =<-或}4x >，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________．答案：{4a a <-或}2a >解析：分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合B A ⊆得出关于实数a 的不等式组，解出即可得出实数a 的取值范围.详解：当B =∅时，23a a >+，即3a >，满足要求； 当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得3231a a a +≥⎧⎨+<-⎩或3224a aa +≥⎧⎨>⎩，解得4a或23a <≤．综上，实数a 的取值范围为{4a a <-或}2a >. 故答案为{4a a <-或}2a >. 点睛：本题考查利用集合包含关系求参数，解题时要对含参数的集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合包含关系列不等式（组）进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 3．已知集合2{|430,}A x x x x R =-+=∈，{|15,}B x x x N =-<<∈，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________． 答案：8解析：先求得集合,A B ，根据A C B ⊆⊆求得C 的个数，由此得出结论. 详解：由()()243310x x x x -+=--=，解得1x =或3x =，所以{}1,3A =，{}0,1,2,3,4B =.由于A C B ⊆⊆，C 的元素除1,3外，可取0,2,4，所以集合C 的个数是328=个.故答案为：8 点睛：本小题主要考查根据包含关系求集合，属于基础题.4．满足{}{}1,30,1,3,5,7A ⊆⊆条件的集合A 的个数有__________个. 答案：8解析：由集合的包含关系知1,3A ∈，而0,5,7要么属于A 要么不属于A ，所以三个元素中任意元素与集合A 的关系都有两种可能，即可求集合个数. 详解：由{}{}1,30,1,3,5,7A ⊆⊆知：1,3A ∈，而0,5,7可能属于A ，也可能不属于A ， ∴集合A 的个数有328=，故答案为：85．已知*n N ∈，集合13521,,,,2482n n n M -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合n M 所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得180n T ≥的最小正整数n 的值为____________．答案：19解析：求出n M 的所有非空子集中的最小元素的和n T ，利用180n T ≥，即可求出最小正整数n 的值. 详解：当2n =时，n M 的所有非空子集为：1{}2，3{}4，13{,}24， 所以11372244S =++=.当3n =时，135424248S =⨯++⨯=. 当4n ≥时， 当最小值为212nn -时，每个元素都有或无两种情况，共有1n -个元素， 共有121n --个非空子集，1212n S -=. 当最小值为1232n n --时，不含212nn -，含1232n n --，共有2n -个元素， 有221n --个非空子集，2232S n -=. ……所以123n T S S S =+++...212322n n n S --+=++ (27531)2=2442n -++++.因为180n T ≥，2361n ≥，即19n ≥.所以使得180n T ≥的最小正整数n 的值为19. 故答案为：19 点睛：本题主要考查了数列前n 项和的求法，同时考查了集合的子集的概念，属于难题. 三、解答题1．已知集合{}20A x x x =-=,{}1B x ax ==，且B A ⊆，求实数a 的值.答案：1a =或0a =.解析：先解方程20x x -=得集合{}0,1A =，再分B =∅和B ≠∅两类解决即可得答案. 详解：解：解方程20x x -=得0x =或1x =，故{}0,1A = 因为B A ⊆，所以当B =∅时，0a =； 当B ≠∅时，{}11B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭， 所以11a=，解得1a = 所以实数a 的值为1a =或0a = 点睛：本题考查利用集合的关系求参数值，考查分类讨论思想，本题的关键在于对集合B 分类讨论，是基础题.2．（1）已知集合(){}222,133A a a a a =++++,，当1A ∈，求2020a 的值；（2）已知集合{}2202020190A x x x =-+<，{}B x x a =<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．答案：（1）1；（2）[)2019,+∞.解析：（1）分21a +=，()211a +=，2331a a ++=三种情况，分别求得a 的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；（2）先求得集合A ，借助数轴可得a 的取值范围． 详解：（1）若21a +=，则1a =-，{}1,0,1A =，不合题意；若()211a +=，则0a =或-2，当0a =时，{}2,1,3A =，当2a =-时，{}0,1,1A =，不合题意；若2331a a ++=，则1a =-或-2，都不合题意；因此0a =，所以020201=． （2）{}12019A x x =<<，A B ⊆，∴借助数轴可得2019a ≥，a ∴的取值范围为[)2019,+∞．点睛：易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.3．如图，()111,P x y ，()222,P x y ，…，(),n n n P x y 是曲线C ：()2102y x y =≥上的点，()11,0A a ，()22,0A a ，…，(),0n n A a 是x 轴正半轴上的点，且011A A P ∆，122A A P ∆，…，1n n n A A P -∆均为斜边在x 轴上的等腰直角三角形（0A 为坐标原点）.（1）写出1n a -、n a 和n x 之间的等量关系，以及1n a -、n a 和n y 之间的等量关系； （2）猜测并证明数列{}n a 的通项公式； （3）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，集合{}123,,,,n B b b b b =⋅⋅⋅，{}22|210,A x x ax a x R =-+-<∈，若A B =∅，求实常数a 的取值范围.答案：（1）12n n n a a x -+=，12n n n a a y --=；（2）()12n n n a +=，证明见解析；（3）(]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，12n n n a a x -+=，12n n n a ay --=. （2）由212nn y x =得2111222n n n n a a a a---+⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即()211n n n n a a a a ---=+，猜测()12n n n a +=，再用数学归纳法进行证明.（3）用裂项法求得12321111n n n n n b a a a a +++=++++的值为2123n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由函数()12f x x x =+在区间[)1,+∞上单调递增，且lim 0n n b →∞=，求得10,3n b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再由{}(){}22|210,|1,1A x x ax a a R x x a a =-+-<∈=∈-+，由A B ϕ⋂=，有10a +≤，或113a -≥，由此求得实常数a 的取值范围. 详解：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，12n n n a a x -+=，12n n n a ay --=.（2）由212nn y x =得2111222n n n n a a a a---+⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即()211n n n n a a a a ---=+，猜测()12n n n a +=. 证明：①当1n =时，可求得11212a ⨯==，命题成立. ②假设当n k =时，命题成立，即有()12k k k a +=， 则当1n k =+时，由归纳假设及()211k k k k a a a a ---=+，得()()2111122k n k k k k a a ++++⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦， 即()()()()()22111121022k k k k k k a k k a ++-++⎡⎤⎡⎤-+++⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得()()1122k k k a +++=，（()112k k k k a a +-=<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立. 综上所述，对所有*n N ∈，()12n n n a +=. （3）12321111n n n n nb aa a a +++=++++()()()()()2221223221n n n n n n =++⋅⋅⋅++++++22222112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为函数()12f x x x=+在区间[)1,+∞上单调递增，且lim 0n n b →∞=， 所以10,3n b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.{}(){}22|210,|1,1A x x ax a a R x x a a =-+-<∈=∈-+，由A B ϕ⋂=，有10a +≤，或113a -≥，故(]4,1,3a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：本题考查了数学归纳法在数列中的应用、利用函数的单调性求数列极限、利用集合的包含关系求参数的取值范围，综合性比较强，考查了学生审题、解题的能力，属于难题. 4．若集合{}24A x x =<<，{}3B x a x a =<<.（1）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.答案：（1）423a ≤≤；（2）23a ≤或4a ≥ 解析：（1）考虑A 是B 的子集即可求解；（2）分类讨论当B 为空集和不为空集两种情况求解. 详解：（1）若x A ∈是x B ∈的充分条件，234a a ≤⎧⎨≥⎩，解得423a ≤≤；（2）A B =∅，当B =∅时，即3,0a a a ≥≤， 当B ≠∅时，04a a >⎧⎨≥⎩或032a a >⎧⎨≤⎩，即203a <≤或4a ≥.综上所述：23a ≤或4a ≥ 点睛：此题考查根据充分条件与集合关系求解参数取值范围，易错点在于漏掉考虑空集情况. 5．已知集合11{|12}22M x a x a =-<≤-，311{|1}222N x x =-<-<. （1）当4a =时，求()R C N M ⋃； （2）若M N M =，求实数a 的取值范围.答案：(1) (,0][3,)-∞+∞;(2) (2,4]-.解析：试题分析：（1）代入已知的参数值，再根据集合的交集和补集的运算规律的到结果即可。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}1,2,,[)A B m ==+∞，若A B ⊆，则实数 m 的取值范围为 A ．[2,+∞)B ．[1,+∞)C ．(-∞,2]D ．(-∞,1]答案：D解析：由 A B ⊆，则1B ∈,2B ∈,则1m ，得解. 详解：解：因为集合 A =1,2}, ,[)B m =+∞，又 A B ⊆，则1B ∈,2B ∈,则1m 且2m ≤，即1m即实数 m 的取值范围为(,1]-∞，故选D.点睛：本题考查了集合的包含关系，重点考查了元素与集合的关系，属基础题.2．下面关于集合的表示：①{}{}2,33,2≠；②(){}{},11x y x y y x y +==+=；③{}{}11x x y y >=>；④{}0∅=，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B解析：根据集合相等的条件逐一判断即可得结果.详解：根据集合的无序性可得{}{}2,33,2=，即①不正确； (){},1x y x y +=表示点集，{}1y x y +=表示数集，故(){}{},11x y x y y x y +=≠+=不成立，即②不正确；{}1x x >和{}1y y >均表示大于1的数集，故{}{}11x x y y >=>，即③正确；∅表示空集，故{}0∅≠，即④不正确；故正确的个数是为1个，故选：B.点睛：本题主要考查了判断两集合是否相等，属于基础题.3．设,a b ∈R ，{}1,A a =，{}1,B b =--，若A B ⊆，则a b -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．0答案：D解析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求-a b .详解：由A B ⊆知：A B =，即11a b =-⎧⎨-=⎩，得11a b =-⎧⎨=-⎩， ∴0a b -=.故选：D.4．已知集合{}212,A x x x Z =-≤∈，则集合A 的子集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4答案：D解析：化简集合A ，根据集合元素的个数可得子集个数．详解：{}{}13212,=|,0,122A x x x Z x x x Z ⎧⎫=-≤∈-≤≤∈=⎨⎬⎩⎭，共两个元素 则集合A 的子集个数为224=故选：D5．已知集合{}12{|},3,42A a N N B a =∈∈=-，集合C 满足B C A ⊆⊆，则所有满足条件的集合C 的个数为A ．8B ．16C ．15D ．32答案：B解析：先求出集合A ,再根据集合C 满足B C A ⊆⊆,可知集合C 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有满足条件的集合C 的个数为4216=.详解： 12,2a N N a ∈∈-, 21a ∴-= 或22a -=或23a -=或24a -=或26a -=或212a -=,即3a =或4a =或5a =或6a =或8a =或14a =,{3,4,5,6,8,14}A ∴=,又因为{3,4}B =且集合C 满足B C A ⊆⊆,所以集合C 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有满足条件的集合C 的个数为4216=.故选B .点睛：本题考查了集合的包含关系.属基础题.6．满足集合{}a{},,a b c 的集合的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C详解：试题分析：由题意可知P 可以为{},a b ，{},a c ，{},,a b c考点：集合的子集7．下列四个关系式中，正确的是．A ．B ．C ．D ． 答案：D详解：试题分析：A ，C 项中两集合间的关系不能是属于关系，B 项中a 是集合{}a 中的元素，因此D 正确考点：元素，集合间的关系点评：元素与集合间是属于与不属于的关系，用,∈∉表示，集合与集合间是含于与不含于的关系，用,⊆⊄表示8．已知{}{}|90,,|45,M k k Z N k k Z αααα︒︒==⋅∈==⋅∈则( )A ．M N ⊆B ．M N ⊇C ．M ND ．M N ⋂=∅答案：A解析：分别讨论集合N 中的2k n =和2+1k n =两种情况,即可求得M 和N 之间的关系. 详解：{}|45,N k k Z αα︒==⋅∈①当集合N 中的2k n =时,n Z ∈{}{}|45,|245,N k k Z n n Z αααα︒︒==⋅∈==⋅∈即{}|90,N n n Z αα︒==⋅∈ 故此时M N②当集合N 中的21k n =+时,n Z ∈{}(){}|45,|2145,N k k Z n n Z αααα︒︒==⋅∈==+⋅∈即{}|9045,N n n Z αα︒︒+==⋅∈此时M N 综上所述,M N ⊆.故选:A.点睛： 本题考查了求角的集合之间的关系,解题关键是掌握角集合的表示方法和集合间的关系,考查了分析能力,属于基础题.9．设集合2{|54,}M x x a a a R ==-+∈，集合2{|442,}N y y a a a R ==++∈，则下列关系正确最准确的是（ ）A ．M NB ．N M ∈C ．M N ∈D ．M N ⊆答案：A解析：由集合中的描述求出{|1}M x x =≥，{|1}N y y =≥，即可判断,M N 的关系详解：22{|54(2)1,}M x x a a a a R ==-+=-+∈，22{|442(21)1,}N y y a a a a R ==++=++∈， 即：{|1}M x x =≥，{|1}N y y =≥，∴M N故选：A点睛：本题考查了元素与集合，以及集合间的关系，根据集合中的描述求得集合，进而判断集合间的包含关系10．设集合{}10,},{1,0,1A x R mx m R B =∈-=∈=-，若A 是B 的真子集，则实数m 的取值集合为.A ．{1,0,1}-B ．{1,1}-C ．{}1-D ．{1}答案：A解析：由A 是B 的真子集，分为A =∅和A ≠∅两种情况进行分类讨论，进一步确定m 取值 详解：A 是B 的真子集，可分为A =∅和A ≠∅两种情况若0m =时，A =∅，符合题意；若0m ≠时，A ≠∅，若{}1A =，则满足10m -=，1m =；若{}1A =-，则满足10m --=，1m =- 综上所述，实数m 的取值集合为{1,0,1}-故选A点睛：本题考查由包含关系求解参数问题，易错点为忽略集合A =∅的情况，属于基础题二、填空题1．已知{2,3,5}{2,3,5,7,11,13}A ⊆⊂，那么满足条件的集合A 的个数是________答案：7解析：根据已知条件可知,集合A 为集合{}7,11,13的真子集与{}2,3,5的并集.即可求得满足条件的集合A 的个数.详解：因为{2,3,5}{2,3,5,7,11,13}A ⊆⊂所以满足条件的集合A 为集合{}7,11,13的真子集与{}2,3,5的并集.即分别为{}2,3,5{}2,3,5,7{}2,3,5,11{}2,3,5,13{}2,3,5,7,11{}2,3,5,7,13{}2,3,5,11,13所以共有7个故答案为:7点睛：本题考查了集合与集合的关系,集合子集与真子集的关系及个数,属于基础题.2．已知集合{|73,}A x x k k N ==+∈，集合{|74,}B x x m m N ==-∈，则A _________B (用“⊆”“⊇”“=”填空)；答案：⊆解析：将集合A 变形为{}74,1,x x n n n N =-≥∈，再判断集合的包含关系即可.详解：737(1)474x k k n =+=+-=-，（1n ≥且n N ∈）{}74,1,A x x n n n N ∴==-≥∈4x B =-∈，4x A =-∉，A B ∴⊆故答案为：⊆点睛：本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题.3．已知集合{}{},,0,,,1A a a B b a b =-=+，若A B =，则ab =__________．答案：0或1-解析：根据集合相等，得到元素相同，建立方程关系进行求解即可．详解：解：因为{}{},,0,,,1A a a B b a b =-=+，且A B =①0b =，则a b a +=，1a -=，解得1a =-，即{}{}1,1,0,0,1,1A B =-=-满足条件，所以()010ab =⨯-=；②0b a a b =⎧⎨+=⎩解得00a b =⎧⎨=⎩，此时不满足集合元素的互异性，舍去； ③01b a a b a =-⎧⎪+=⎨⎪=⎩解得11a b =⎧⎨=-⎩，此时{}{}1,1,0,0,1,1A B =-=-满足条件，所以()111ab =⨯-=-； 故答案为：0或1-点睛：本题主要考查集合相等的应用，根据条件建立方程是解决本题的关键，考查分类讨论思想，属于基础题．4．若集合{}2|20N x x x a =-+=，{}1M =，且N M ⊆，则实数a 的取值范围是_________答案：[1,)+∝解析：根据条件得到{}1N =或N =∅，分别计算得到答案.详解：N M ⊆，则{}1N =或N =∅当{}1N =时，{}{}2|201N x x x a =-+==，解得1a =；当N =∅时，{}2|20N x x x a =-+=，满足4401a a ∆=-<∴>.综上所述：1a ≥故答案为：[1,)+∝点睛：本题考查了根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.5．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________答案：{0,1,2}-解析：由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分为B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案.详解：因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆，集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a ，则1a =-或2a =，综上0a =或1a =-或2a =故答案为：{0,1,2}-点睛：本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.三、解答题1．集合{}6,,,A x y z =，{}1,,,B xy yz xz =，若A B =⊆N ，求x y z ++的值.答案：6.解析：由题意结合集合的相等可得1A ∈，不妨设1x =，再由集合元素的互异性可得6yz =，再结合A B =⊆N 及集合元素的互异性即可得解.详解：因为{}6,,,A x y z =，{}1,,,B xy yz xz =，且A B =⊆N ，因为在集合A 与集合B 中，,,x y z 是等价的，所以由A B =可知 1A ∈，不妨设1x =，则{}6,1,,A y z =，{}1,,,B y yz z =，而由A B =可知6B ∈，由集合元素的互异性和集合{}6,1,,A y z =，可知6,6y z ≠≠，所以6yz =，而A B =⊆N ，所以解得16y z =⎧⎨=⎩，23y z =⎧⎨=⎩，32y z =⎧⎨=⎩或61y z =⎧⎨=⎩， 根据集合元素的互异性可知23y z =⎧⎨=⎩或32y z =⎧⎨=⎩符合要求， 此时1236x y z ++=++=.点睛：本题考查了集合相等及集合元素互异性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2．已知关于x 的方程322126x x a x -+-=-与2136x a x a +--=有相同的解集，求a 的值及方程的解集.答案：1a =，方程的解集为{1}解析：先分别解出两个方程，再根据集合相等求出答案．详解： 解：方程322126x x a x -+-=-化为63(32)62x x x a --=--， 整理，得13152x a =-，解得15213a x -=. 方程2136x a x a +--=化为2(2)()6x a x a +--=, 整理，得336x a =-+，解得2x a =-+. 由题意，得152213a a -=-+，解得1a =，所以1x =. 综上，1a =，方程的解集为{1}.点睛：本题主要考查根据集合相等求参数的值，考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题．3．已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，1}{,|3x B x a a a R ≤≤++∈=，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．答案：{|8a a <-或}3a ≥解析：由31a a +>+可知，集合B ≠∅，结合数轴得到满足条件的不等式，解不等式即得. 详解：解:易知31a a +>+，所以B ≠∅，利用数轴表示B A ⊆，如图所示，或则35a +<-或14a +≥，解得8a <-或3a ≥，所以a 的取值范围是{|8a a <-或3}a ≥．点睛：本题考查集合的子集，结合数轴表示求取值范围，属于基础题.4．设集合A ＝－2}，B ＝x|ax ＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B ，求a 的值．答案：a ＝0或a ＝12详解：试题分析：根据A B B ⋂＝，可知B A ⊆，分B ∅＝和B ≠∅两种情况求解即可.试题解析：∵A B B B A ⋂∴⊆＝，. ∵{}2A B B ≠∅∴∅≠∅＝－，＝或. 当B ∅＝时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a≠0，则B ＝－1a }， ∴－1a ∈A，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a ＝0或a ＝12.点睛：注意由A B B ⋂＝可知B A ⊆，在求解过程中注意空集为任何集合的子集，一定要讨论空集的情况.5．设*3n n ∈N ≥，，在集合{}12n ，，，⋅⋅⋅的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较 大元素相加，和记为a ，较小元素之和记为b ．（1）当3n =时，求a b ，的值；（2）求证：对任意的*3n n ∈N ≥，，b a 为定值．答案：（1）8a =，4B ．（2）见解析．解析：试题分析：（1）写出n=3时，集合1，2，3}的所有元素个数为2的子集，计算a ，b 即可；（2）对任意的n≥3，n∈N *，()()()()11111123211C 2C 3C 2C 1C n n n n n n n b n n -------=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，利用组合数的性质可得()11111123212C 3C 4C 1C C n n a n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯=312C n +，又()1311123C 3C n n a b n -++=+++⋅⋅⋅+⨯=，所以31C n b +=． 从而12b a =为定值. 试题解析：（1）当3n =时，集合{}123，，的所有元素个数为2的子集为：{}12，，{}13，， {}23，，所以2338a =++=，1124B =++=．（2）当*3n n N ≥∈，时，依题意， ()()()()11111123211C 2C 3C 2C 1C n n n n n n n b n n -------=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯， ()11111123212C 3C 4C 1C C n n a n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ()()()213243121n n n n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯-+⨯-． 则2222234C +C C C 2n a=++⋅⋅⋅+ 3222334C +C C C n =++⋅⋅⋅+ 32244C +C C n =+⋅⋅⋅+ 31C n +=⋅⋅⋅= 所以312C n a +=．又()()()13111123C 13C 2n n n n a b n n -+++=+++⋅⋅⋅+⨯=⨯-=，所以31C n b +=． 从而12ba =．。