高中数学第一章集合部分讲义-教师版

（2）{}2230,x x x x --=∈R 答：{}3,1- （3）{}2230,x x x x -+=∈R 答：∅ 例6、用符号∈或∉填空：（1）{}23____11x x < （2）{}2*3____1,x x n n =+∈N （3）(){}21,1____y y x -= （4）()(){}21,1____,x y y x -= [说明]例4－例6都涉及到了集合的描述法表示，这也是本节课的最大的难点，题目不宜过多，可以从中选取一些；在例题中渗透有限集和无限集的概念.三、巩固练习：课本P7练习1.1四、课堂小结：集合的概念、表示方法五、作业布置：家庭作业六、教学设计说明1．通过许多实际的例子来让学生感知概念，然后在通过文字的归纳叙述让学生形成概念，再通过具体的例子来让学生理解文字描述的概念，由此层层深化概念。

2．由于本节课文字信息量较大，因此用制作课件,以简化板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益。

类型一 对集合概念的理解例1：判断下列各组对象能否组成一个集合：(1)9以内的正偶数；(2)篮球打得好的人；(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；(4)高一(1)班所有高个子同学．练习1：有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________．练习2：(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列各组对象中，不能组成集合的是( )A ．所有的正数B ．所有的老人C ．不等于零的数D ．我国古代四大发明类型二 集合中元素的特性例2：集合A 是含有两个不同实数a －3,2a －1的集合，求实数a 的取值范围．练习1：能够组成集合的是（ ）A ．与2非常接近的全体实数；B ．很著名的科学家的全体；C ．某教室内的全体桌子；D ．与无理数π相差很小的数练习2：若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形类型三：集合的表示方法例4：用列举法表示下列集合（1）{}2A x Z x =∈≤； （2）(){},4,,M x y x y x N y N **=+=∈∈练习1：(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)用列举法表示集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪65－a ∈N *，a ∈Z ＝__________.练习2：用列举法表示下列集合方程220x -=的所有实数根组成的集合为：__________________1.下列说法：①地球周围的行星能确定一个集合；②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合；③我们班视力较差的同学能确定一个集合．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.集合{y |y ＝x ，－1≤x ≤1，x ∈Z }用列举法表示是( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,0}D ．{－1,1}3.满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为 。

第一章集合与简易逻辑第一单元集合单元知识要点点击本单元是“集合”.在初中数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(直线、圆)等基础上,给出集合与集合元素的概念,并介绍其表示方法.从讨论集合与集合之间包含与相等关系入手,给出了子集的概念,与子集相联系的全集与补集的概念,属于集合运算的交集、并集的初步知识.考虑到集合知识的运用与巩固及下一章的函数的定义域与值域的需要,介绍了含绝对值不等式和一元二次不等式的解法.1.1 集合①课文三点专讲重点:(1)集合的含义集合的概念是数学中最原始的、不加定义的概念，它只是通过一些实例，描述性地说明其含义.(2)集合中元素的特征给定的集合，它的元素必须是确定的，互异的，并且集合与其中元素的排列次序无关，即集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.只要构成集合的元素是一样的，这两个集合就是相等的.(3)元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A.难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合(1)集合的表示——列举法列举法表示集合就是把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来.(2)集合的表示——描述法有些集合的元素无法用列举法一一列举出来的，我们可以用描述法表示，即在花括号“{ }”内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.考点:(1)集合元素的特性:考察集合元素的确定性、互异性、无序性,是高考中常考的内容之一.(2)集合的表示方法:考察集合的列举法和描述法两种表示方法,常用的还有图示法,要分清几种方法能间的相互转化及其关系.②练功篇典型试题分析例1.已知23{3,21,1}a a a -∈--+, 求实数a 的值.分析: -3的值可能有三种可能取值情况,必须分别代入求解,但要注意最后必须要验证所得结果的正确性. 实质上对于集合2{3,21,1}a a a --+均可能是-3 , 考虑集合元素的互异性, 在求得0a =或1a =-后,重新代入集合验证是必要的, 因为求得的值很可能会出现集合中有两个元素相同 , 此时对应的a 的值要舍去.解析: 由23{3,21,1}a a a -∈--+,可得33a -=-,即0a =; 或213a -=-,即1a =-; 或213a +=-(此方程无解). 当0a =时2{3,21,1}{3,1,1}a a a --+=-- ; 当1a =-时, 2{3,21,1}{4,3,2}a a a --+=-- . 所以0a =或1a =- . 例2.用列举法表示下列集合: (1)6{|,}2x Z x Z x ∈∈-; (2)*{|,,,||2,3}a x x a Z a b N b b=∈<∈≤且;(3) {(,)|2,14}x y y x x N x =-∈≤<且; (4) {|}x y x N ∈.分析:上述几题均是用描述法表示集合,列举其元素时一定要注意各自集合中的代表元素.寻找集合中的元素时,先要将其满足条件的集合中的相关数一一列举出来,其关键在于抓住集合中元素的特征,在列举元素时,要注意充分考虑集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,如(2)集合中的元素个数只能有7个.解析:(1)∵6,2Z x Z x∈∈- , ∴|2|x -是6的因数 , 即|2|x -的值应取1或2或3或6, 分别解得1,3,4,0,1,5,4,8x =-- , ∴6{|,}{1,3,4,0,1,5,4,8}2x Z x Z x∈∈=--- . (2)由,||2a Z a ∈<知1,0,1a =-; 由*3b N b ∈≤且知1,2,3b = . ∴a b 的值分别为101101101,,,,,,,,111222333--- , 考虑到集合中元素的互异性,故原集合可用列举法表示为:1111{1,0,1,,,,}2233--- . (3)由14x N x ∈≤<且知1,2,3x =, 其对应的y 的值分别为1,0,1y =-, 故原集合用列举法可表示为:{(1,1),(2,0),(3,1)}- .(4) 由已知条件可得20x x N -≥∈且, 即2x x N ≤∈且 , ∴0,1,2x = ,∴{|}{0,1,2}x y x N ∈= .基础知识巩固1.用列举法表示下列集合：(1)｛y ｜y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R ，y ∈N ｝．(2)｛20以内的质数｝．(3)｛(x ，y )｜x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ｝．2.用描述法表示下列集合：(1)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.(2)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合．(3)方程组⎩⎨⎧=-=+11y x y x 的解的集合.(4)能被3整除的整数.3.用列举法表示下列集合:(1) {|}y y x N =∈;(2) {(,)|}x y y x N =∈4.方程组⎩⎨⎧=+-=++03062y x y x 的解集是 ( ). A .{(-3,0)} B .{-3,0} C .(-3,0) D .{(0,-3)}5.下列各题中M 与P 表示同一集合的是 ( )A .)},3,1{(-=M )}1,3{(-=PB .}0{,=∅=P MC .22{|1,},{(,)|1,}M y y x x R P x y y x x R ==+∈==+∈D .22{|1,},{|(1)1,}M y y x x R P t t y y R ==+∈==-+∈6.下列四个关系中，正确的是 ( )A .}{a ∈∅B .}0{=∅C .},{}{b a a ∈D .}}{},{{}{b a a ∈7.已知A ＝｛－2，－1，0，1｝，B ＝｛x ｜x ＝｜y ｜y ∈A ｝，求B ．8..将方程组⎩⎨⎧=-=+273223y x y x 的解集用列举法、描述法分别表示． 9..设集合A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，又有a ∈A ，b ∈B ，判断元素a ＋b 与集合A 、B 和C 的关系．10.已知2{|}A x x px q x =++=,2{|(1)(1)1}B x x p x q x =-+-+=+,当{2}A =时,求集合B .③升级篇典型试题分析例3：已知集合{0,2,4}M =，定义集合{|,,}P x x ab a M b M ==∈∈，求集合P . 分析：求集合P ，根据集合P 的定义，集合P 中的代表元素x 满足,,x ab a M b M =∈∈，所以分别取,a M b M ∈∈，求出ab 的所有可能值，用列举法一一列举出来，即得集合P .解析：∵,a M b M ∈∈，∴a =0,2,4, b =0,2,4,a 或b 至少有一个为0时，0x ab ==，a =2且b =2时, 4x ab ==， a =2且b =4时, 8x ab ==，a =4且b =2时, 8x ab ==， a =4且b =4时, 16x ab ==，根据集合中元素的互异性知{0,4,8,16}P =.例4.2008年第29届奥运会将在北京召开，现有三个实数的集合，既可以表示为{a ，a b ，1}，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，请求a 2008＋b 2008的值 ．分析：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又烦琐．这时若能发现0这个特殊元素，和ab 中的a 不为0的隐含信息，就能得到如下解法.解析: 由已知得ab ＝0，及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性a ＝1应舍去，因而a ＝－1，故a 2008＋b 2008＝(-1) 2008＝1． 知识应用与提升11.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式xyzxyz z z y y x x ＋＋＋的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是 （ ）A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M12.集合{0,1,2,3,5}A =，当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为 .13.关于x 的方程0=+b ax ，当实数b a ,满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数b a ,满足条件 时，方程的解集是无限集.14.若一数集中的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该集合为“可倒数集”，试写出一个含三个元素的可倒数集_____.15.已知},,0,1{2x x ∈ 求实数x 的值.16.已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示集合A 为 ④闯关篇典型试题分析例5：集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（ ）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法分析：本题定义了集合的封闭运算，要探求集合对哪种运算封闭，一种思路是直接根据定义去探求这种运算，对于选择题，再一种思路就是排除不符合定义的运算，从而得到符合定义的运算.解析：设a b 、表示任意两个正整数，则22a b 、的和不一定是属于M ，如22125M =∉+；22a b 、的差也不一定是属于M ，如22123M =-∉-；22a b 、的商也不一定是属于M ，如2211M 24=∉；因为a b 、表示任意两个正整数， 222()a b ab ⋅= ，ab 为正整数，所以2()ab 属于M ，即22a b 、的积属于M .故选C.例6. 已知集合A ＝{x |x ＝m ＋n 2，m ，n ∈Z}．（1）证明任何整数都是A 的元素；（2）设x 1，x 2∈A ，求证：x 1·x 2∈A ．分析: 转换思维模式可将复杂问题具体化、简略化,本题的实质是证明任意两个A 集合中的元素的乘积运算仍在A 集合中,它反映了集合元素运算封闭性.证明：（1）设a ∈Z ，则a ＝a ＋02 ．∵a ，0∈Z ，∴ a ＝a ＋02∈A ．故任何整数都是A 的元素 ．（2）∵x 1，x 2∈A ，可设x 1＝m 1＋n 12，x 2＝m 2＋n 22，（其中m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ）. ∴x 1x 2＝（m 1＋n 12）（m 2＋n 22）＝（m 1m 2＋2n 1n 2）＋（m 1n 2＋m 2n 1）2． ∵m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ，∴（m 1m 2＋2n 1n 2）∈Z ，（m 1n 2＋m 2n 1）∈Z ．当m 1n 2＋m 2n 1＝0时，x 1·x 2＝（m 1m 2＋2m 1n 2）∈Z ， ∴x 1·x 2∈A ．知识拔高与创新17.已知A={1，2，3}， B={2，4}，定义集合A 、B 间的运算A*B={|}x x A x B ∈∈且，则集合A*B=（ ）A. {1，2，3}B. {2，4}C. {1，2，3，4}D. {2}18. 已知集合241x A a x a ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭有惟一解，又列举法表示集合A 为 19.求集合2160{|}3a a Z Z a∈∈-且中所有元素的和. 20.已知集合A ＝{x |x ＝m 2－n 2,m ∈Z ,n ∈Z}求证：（1）3∈A ； （2）偶数4k —2 (k ∈Z)不属于A.⑤行侠篇高考试题点击21.（2005高考湖北）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．622.（2004高考湖南）若集合{}(,)|20A x y x y m =-+>，{}(,)|0B x y x y n =+-≤，若点P （2，3）∈A 且P （2，3）∉B ，则（ ）A. 15m n >-<,B. 15m n <-<,C. 15m n >->,D. 15m n <->,⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习为数学而疯的人集合论的创立者是德国数学家康托尔.1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭.1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福.他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论.进入了柏林大学后，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学.他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授.由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都应这样看起来，1厘米长的线段内的点“一样多”.后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论，轰动了当时数学界. 康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂，有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”，康托尔一直在逆境中拼搏着，以致不到40岁就患了神经衰弱和精神抑郁症，就这样他还在奋斗着.真金不怕火炼， 1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在哈勒大学附属精神病院去世.1.2子集、全集、补集①课文三点专讲重点:(1)子集、全集、补集的概念.集合之间包含与相等的含义,识别给定集合的子集; 在具体情境中,了解全集与空集的含义(2)注意区别区分}0{},{,∅∅间的关系.}{∅表示以空集,∅为元素的单元素集合,当把∅视为集合时, }{∅⊆∅成立;当把∅视为元素时,}{∅∈∅也成立.0表示元素,}0{表示以0为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.难点：(1)弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.区分∈与⊆符号: ∈表示元素与集合之间的关系,如:N N ∉-∈1,1; ⊆表示集合与集合之间的关系,如R R N ⊆∅⊆,等.(2) 有限集合的子集个数:n 个元素的集合有n 2个子集;有12-n个非空子集;有12-n 个真子集;有22-n 个非空真子集.考点:(1)求集合的所有子集或子集的个数.此类问题有两种类型:其一是无条件地写出已知集合的所有子集或所有真子集,其解题关键是正确地进行分类,分别写出含有1个元素,2个元素,……,n 个元素的子集;其二是有条件地写出适合某条件的所有子集.(2)集合与集合之间的关系考察.此类问题常以两个集合间元素的属性及它们属性间的共同点及不同的点,来判断元素与集合间的从属关系,然后由子集定义得出其间的包含关系.几何图形可以直观形象地提示集合间的包含关系.(3)补集的求解问题.此类问题需要弄清全集U 及集合A 的元素构成,掌握补集的性质及应用,如(),,.U U U U A A U U ==∅∅=痧痧②练功篇典型试题分析例1.满足∅⊂≠A ⊆},,,{d c b a 的集合A 是什么?共有多少个?分析: ∅⊂≠A ⊆},,,{d c b a 的意义是集合A 为非空集合,且{,,,}A a b c d ≠.解析:由∅⊂≠A 可知,集合A 必为非空集合;又由A ⊆},,,{d c b a 可知,此题即为求集合},,,{d c b a 的所有非空子集。

第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉．例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示．集合分有限集和无限集两种．集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法．例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集．定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆．规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等．如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集．定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集．定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且．定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成．（1）若)(C B A x ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x ∈或)(C A x ∈，即)()(C A B A x ∈；反之，)()(C A B A x ∈，则)(B A x ∈或)(C A x ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x ∈，即).(C B A x ∈（3）若B C A C x 11 ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ∉或B x ∉，所以)(B A x ∉，又I x ∈，所以)(1B A C x ∈，即)(111B A C B C A C ⊆，反之也有.)(111B C A C B A C ⊆定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法．定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法．二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合．例1 设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈ [证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且22)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((22y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ∉-（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2222b a y x pq --=22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()(（因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）．2．利用子集的定义证明集合相等，先证B A ⊆，再证A B ⊆，则A =B ．例2 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）． 【解】先证M B A ⊆)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ⊆)( ；再证)(B A M ⊆，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈．所以).(B A M ⊆ 综上，.B A M =3．分类讨论思想的应用．例3 }02{},01{},023{222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，求.,m a【解】依题设，}2,1{=A ，再由012=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，因为A B A = ，所以A B ⊆，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3． 因为C C A = ，所以A C ⊆，若∅=C ，则082<-=∆m ，即2222<<-m ，若∅≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m ．4．计数原理的应用．例4 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若I B A = ，求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，I B A , 中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210=个，非空真子集有1022个．5．配对方法． 例5 给定集合},,3,2,1{n I =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12-n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此，12-≤n k ；其次，每一对中必有一个在这k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C 1A 与A ，并设∅=1A A ，则A C A 11⊆，从而可以在k 个子集中再添加A C 1，与已知矛盾，所以12-≥n k ．综上，12-=n k ． 6．竞赛常用方法与例问题． 定理4 容斥原理；用A 表示集合A 的元素个数，则,B A B A B A -+=C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，需要xy 此结论可以推广到n 个集合的情况，即∑∑∑∑=≠≤<<≤=+-=n i k j i j i n k j i j i i n i i A A A A A A A111 .)1(11 n i i n A =--+-定义8 集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全集叫I 的一个n -划分．定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理6 抽屉原理：将1+mn 个元素放入)1(>n n 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+m 个元素，也必有一个抽屉放有不多于m 个元素；将无穷多个元素放入n 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素．例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{x x x x A I 记为整除能被且≤≤== ，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理，+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡，所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个．例7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==时，恰有912=S ，且S 满足题目条件，所以最少含有912个元素．例8 求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足：}.2)1(,,2,1{}1}{-=≤<≤-n n n j i a a j i 【解】 当2=n 时，1,021==a a ；当3=n 时，3,1,0321===a a a ；当4=n 时， 1,5,2,04321====a a a a ．下证当5≥n 时，不存在n a a a ,,,21 满足条件． 令n a a a <<<= 210，则.2)1(-=n n a n 所以必存在某两个下标j i <，使得1-=-n j i a a a ，所以1111--=-=-n n n a a a a 或21a a a n n -=-，即12=a ，所以1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a 或2)1(-=n n a n ，12=a ． （ⅰ）若1,2)1(1-=-=-n n n a a n n a ，考虑2-n a ，有22-=-n n a a 或22a a a n n -=-，即22=a ，设22-=-n n a a ，则121----=-n n n n a a a a ，导致矛盾，故只有.22=a 考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或33a a a n n -=-，即33=a ，设23-=-n n a a ，则02212a a a a n n -==---，推出矛盾，设33=a ，则2311a a a a n n -==--，又推出矛盾，所以4,22==-n a a n 故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．（ⅱ）若1,2)1(2=-=a n n a n ，考虑2-n a ，有12-=-n n a a 或32a a a n n -=-，即23=a ，这时1223a a a a -=-，推出矛盾，故21-=-n n a a ．考虑3-n a ，有23-=-n n a a 或-=-n n a a 33a ，即3a =3，于是123--=-n n a a a a ，矛盾．因此32-=-n n a a ，所以12211a a a a n n -==---，这又矛盾，所以只有22a a n =-，所以4=n ．故当5≥n 时，不存在满足条件的实数．例9 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，.201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i 求n 的最小值．【解】 .16min =n设B 中每个数在所有i A 中最多重复出现k 次，则必有4≤k ．若不然，数m 出现k 次（4>k ），则.123>k 在m 出现的所有i A 中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,b m a a }},,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a ，其中61,≤≤∈i A a i ，为满足题意的集合．i a 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4≤k 20个i A 中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16≥n ．当16=n 时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}． 例10 集合{1，2，…，3n }可以划分成n 个互不相交的三元集合},,{z y x ，其中z y x 3=+，求满足条件的最小正整数.n【解】 设其中第i 个三元集为,,,2,1},,,{n i z y x i i =则1+2+…+∑==n i i zn 1,43所以∑==+n i i z n n 142)13(3．当n 为偶数时，有n 38，所以8≥n ，当n 为奇数时，有138+n ，所以5≥n ，当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n 的最小值为5．三、基础训练题1．给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________．2．若集合},,012{2R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________．3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个．4．已知集合}01{},023{2=+==+-=ax x N x x x M ，若M N ⊆，则由满足条件的实数a 组成的集合P =___________．5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，则常数a 的取值范围是___________．6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个．7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________．8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________．9．集合}01{},06{2=-==-+=mx x M x x x P ，且P M ⊆，则满足条件的m 值构成的集合为___________． 10．集合},9{},,12{2R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则=B A ___________．11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ∉）若S a ∈，则S a∈-11．如果∅≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由．12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围． 四、高考水平训练题1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________．2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==⊆⊆=B C A C B A I B I A I}8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________．3．已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，实数m 的取值范围是___________．4．若实数a 为常数，且=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈a x ax x A a 则,1112___________． 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________．6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________．7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________．8．已知集合}04{},021{<+=<-+=px x B xx x A ，且A B ⊆，则p 的取值范围是___________．9．设集合},05224),{(},01),{(22=+-+==--=y x x y x B x y y x A }),{(b kx y y x C +==，问：是否存在N b k ∈,，使得∅=C B A )(，并证明你的结论．10．集合A 和B 各含有12个元素，B A 含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数：1）B A C ⊆且C 中含有3个元素；2）∅≠A C ．11．判断以下命题是否正确：设A ，B 是平面上两个点集，}),{(222r y x y x C r ≤+=，若对任何0≥r ，都有B C A C r r ⊆，则必有B A ⊆，证明你的结论．五、联赛一试水平训练题1．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ⊆∅≠>+-==<=且,},2,11{},0{2，则实数m 的取值范围是___________．2．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ∉+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________．3．已知集合}2,,{},,,{2d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________． 4．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________．5．集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的关系是___________．6．设集合}1995,,3,2,1{ =M ，集合A 满足：M A ⊆，且当A x ∈时，A x ∉15，则A 中元素最多有___________个．7．非空集合}223{},5312{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，≤则使B A A ⊆成立的所有a 的集合是___________．8．已知集合A ，B ，aC （不必相异）的并集},,2,1{n C B A =, 则满足条件的有序三元组（A ，B ，C ）个数是___________．9．已知集合}1),{(},1),{(},1),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A ，问：当a 取何值时，C B A )(为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？10．求集合B 和C ，使得}10,,2,1{ =C B ，并且C 的元素乘积等于B 的元素和．11．S 是Q 的子集且满足：若Q r ∈，则0,,=∈-∈r S r S r 恰有一个成立，并且若S b S a ∈∈,，则S b a S ab ∈+∈,，试确定集合S ．12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？六、联赛二试水平训练题1．321,,S S S 是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，如果i S x ∈，j S y ∈，则i S y x ∈-．求证：321,,S S S 中必有两个相等．2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集)117,,2,1( =i A i ，使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同．3．某人写了n 封信，同时写了n 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？4．设2021,,,a a a 是20个两两不同的整数，且整合{120}i j a a i j +≤≤≤中有201个不同的元素，求集合{120}i j a a i j -<≤≤中不同元素个数的最小可能值．5．设S 是由n 2个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．6．对于整数4≥n ，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合}1,,1,{-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互质的元素．7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数k ，使S 的任意一个s 元子集中都存在两个不同的数a 和b ，满足ab b a )(+．8．集合+∈=N k k X },6,,2,1{ ，试作出X 的三元子集族&，满足： （1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；（2））k 的元素个数表示&&(6&2=． 9．设集合}21{，m ，，A =，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1421,,,A A A ，一定存在某个集合)141(≤≤i A i ，在i A 中有两个元素a 和b 满足43b a b <≤．。

第1讲 集 合考点1：集合的概念 集合的引入（说明为什么要学习集合）塔罗牌中有一张牌叫巴比塔，是一个倒了的塔，这个塔源自《圣经·旧约》，《圣经》上说，人类的祖先最初讲的是同一种语言．他们在两河流域定居下来，修起了城池．后来，他们的日子越过越好，决定修建一座可以通到天上去的高塔，这就是巴比塔．直到有一天，高高的塔顶已冲入云霄．上帝耶和华得知此事，立即从天国下凡视察．上帝一看，又惊又怒，认为这是人类虚荣心的象征．上帝心想，人们讲同样的语言，就能建起这样的巨塔，日后还有什么办不成的事情呢？于是，上帝决定让人世间的语言发生混乱，使人们互相言语不通． 数学家希望建立一个所有学数学的人有一个能共同对话的平台，这个平台就是集合．那到底什么叫集合呢？1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．集合含义的理解对于集合的含义，我们需要注意集合首先是一个整体，所有满足条件的对象都必须在这个集合中． “能够确定”是指有明确的可界定的规则，每一个对象是不是在范围中都能得到客观判定．理解这个要注意以下三点：①界定的规则一定是一个客观的属性，不依赖主观的感觉；如：中国所有的比较老的人不能构成一个集合；中国所有年龄在60岁以上的人可以构成一个集合；这种类型的例子很多，如我们班同学中比较高的人不能构成一个集合，因为姚明与潘长江的标准会很不相同，但给身高一个标准就构成一个集合了，如高于160cm 的人．再如我们班比较帅的人，比较漂亮的人，这个因为有审美观的主观差异，还有情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成集合．在数学上，由于数学本身的严格，这个东西会变得简单，如方程2320x x -+=的根；小于等于3的实数都可以构成集合；②这个整体如果客观存在，即使不知道也不影响确定性．知识点睛 1.1 集合的概念与表示函数1级集合如：我们班头发根数最多的4个人．世界第五高的山峰；存在，虽然你并不知道．但它们都能构成集合．③方程210x +=的实数根能不能构成一个集合呢？我们可以判定任意一个实数都不在其中，所以它可以构成一个集合，这个集合就是什么都没有的集合，叫做空集，用∅表示．再如，小于3又大于3的集合．我们班既是男性又是女性的同学．都是空集．下面可以构成集合的有_______．①中国人口排在第8-12位的城市；②到两定点的距离的和等于两定点间的距离的点；③高一数学课本中的难题；④方程220x +=的实数解；正解：①②④．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3<教师备案> 常见数集写法的字母意义：自然数N 是Natural Number （自然数）的首字母，N 即全体非负整数构成的集合；习惯用*N 或+N 表示正整数集，其中*N 的星是非零的意思；整数集的Z 是德文Zahlen （数字）的首字母．有理数集的Q 是英语/德语Quotient （商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商． 实数R 是Real Number(实数)的首字母． 在后面的学习中，会在均值不等式部分用+R 表示正实数集，在复数中引入C 表示复数集之外，高中不会接触到其它数集的表示形式．为什么要用一个德文首字母表示整数集呢？使用Z 作为整数集的标记，是因为19世纪德国数论很强很强，所以德国的某些数学家引入的记号后来就通行了，至于这个数学家是谁，说法不一，有人说是朗道，有人说是诺特（此人是迄今为止最牛的女数学家，没有之一）．数学中的符号使用，就两个原则．一是优先：谁先提出，得到认可，后面就跟着用．二是方便：谁的符号更实用，更方便．就会得到大家认可，从而流行．例如数字，中国、印度、希腊都有自己的系统，但现在只用阿拉伯数字，就是它方便，而且它有0（汉字的零是后来从阿拉伯数字0抄来的）．用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；；∈；∉；∈；∉；∈；∈． 4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可． ②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．<教师备案> 确定性在讲集合的概念时就已经说明了．互异性是指集合中的元素互不相同，这样给定一个集合，会有一些天然的避讳，有一些默认的事实存在，如由1a ，构成的集合中，一定满足1a ≠．因为这里没讲集合的表示法，所以元素的性质都需要结合一些实际中的问题进行讲解．集合的互异性可以通过班上同学举例，如要从班上选出五个同学组队参加一个比赛，这里选出的五个人构成一个集合，这五个人必须是不同的五个人，必须满足互异性，把一个人重复指点五次并不能构成这个集合．集合无序性是指集合中的元素没有顺序，同样还是上面选出的五个人，把他们的姓名按照姓氏笔画顺序排列，还是按照拼音字母顺序排列，还是按照体重数量排列，都是这五个人．这个集合并没有变化．【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？ ⑵设R x ∈，将对象x ，x -M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【解析】 ⑴ 1x ≠±且2x ≠．⑵ A⑶ C ．讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．知识点睛 经典精讲【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，． 描述法引入列举法非常简单直观，一个对象是否在集合中很容易判断，但凡是很简单的方法往往就会有一些问题与局限性，如果一个集合中元素太多，而规律性又不强，这时把所有的元素都列出来，就很难做到了：如世界上所有高度在3000米以上的山峰，《红楼梦》中所有的人物，这两个集合用列举法表示非常困难；而所有大于3的实数构成的集合用列举法就根本表示不出来了．另外，有些集合虽然可以确定，元素个数也不多，但元素是哪些却不容易得到，如班上头发最多的四位同学，这用列举法就很难表示．再比如方程220x x a ++=（a 为参数）的解．遇到这样的集合，就需要一些新的表示方法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ．方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人；{|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生： 孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点．若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥．但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，．如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．<教师备案> 在教学用书中有这样的说明：有些集合可以直接写出元素名称，并用花括号括起来表示这类元素的全体，如用{}奇数表示所有的奇数组成的集合．当成是一种特殊的特征性质描述法．遇到这种写法可以向学生作个说明，但不推荐使用．为了方便起见，在后面的教。

例1、已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，求a .2、设a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 相等，则b －a ＝________. 3、已知A ＝{1,2，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，如果A ＝{1,2,3},2∈B ，求实数a 的值．集合间的基本关系强调 空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅. ∅∅{∅}，∅∅{∅}，0∅∅，0∅{∅},0∅{0}，∅∅{0}．1、已知a ，b ∅R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1B ．0C ．－1D ．±12、已知P ={x |2<x <k ,x ∅N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为 .3、已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∅R}，若B ∅A ，则实数m 的取值范围为________．5已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值集合．(6).设集合A ＝{x |a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}．4、(1)若B 是A 的真子集，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使B ⊆A?2.交集与并集的运算性质(1)A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅；(2)A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .集合基本运算1、已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( )A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2、已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B . 3、已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.4、设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，求实数a 的取值范围.5、设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，求实数a 的取值范围.6、设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．(1)分别求A∩B，A∪(∁U B)；(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．7.集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A.0B.1C.2D.48.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则()A.－3≤m≤4B.－3＜m＜4C.2＜m＜4D.2＜m≤49.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}，且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.10.已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}.(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；(2)若A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围.11．设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，A∩B ＝{－3}，求a，b，c的值12.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.。

考察集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,7}．问题1：这两个集合有相同的元素吗？由它们的公共元素组成的集合是什么？提示：有相同元素3,4,5，它们组成的集合是{3,4,5}．问题2：集合M＝{x|x是等腰三角形}和集合N＝{x|x是直角三角形}的公共元素组成的集合是什么？提示：{x|x是等腰直角三角形}．问题3：集合C＝{x|x>3}与集合D＝{x|x<0}的公共元素组成的集合是什么？提示：没有公共元素，对应集合为∅.交集一般地，由所有属于集合A且属于集合B定义的元素构成的集合，称为A与B的交集．符号表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}Venn图表示如图中阴影部分表示：在知识点一所提到的集合中．问题1：由集合A与B的所有元素组成的集合P是什么？提示：P＝{1,2,3,4,5,6,7}．问题2：由集合M与N的所有元素组成的集合Q是什么？提示：Q＝{x|x是等腰三角形或直角三角形}．问题3：由集合C与D的所有元素组成的集合R是什么？提示：{x|x>3或x<0}．并集定义一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集符号表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}Venn图表示如图中阴影部分表示：设a，b∈R，且a<b名称定义符号数轴表示闭区间{x|a≤x≤b}[a，b]半开半闭区间{x|a≤x<b}[a，b) {x|a<x≤b}(a，b] {x|x≥a}[a，＋∞) {x|x≤b}(－∞，b]开区间{x|a<x<b}(a，b) {x|x>a}(a，＋∞) {x|x<b}(－∞，b) R(－∞，＋∞)1．并集的理解“A∪B”是所有属于A或属于B的元素并在一起构成的集合，所以要求“A∪B”：(1)只需把集合A、B的元素合在一起；(2)使A、B的公共元素在并集中只出现一次即可．2．交集的理解(1)A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；(2)A与B的所有公共元素都属于A∩B；(3)当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.[例1](1)(江苏高考)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.(2)(浙江高考改编)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)＝________.[思路点拨](1)利用集合的并集定义求解；(2)可以先按集合的补集定义求出∁R B，再求交集．[精解详析](1)因为A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，所以A∪B＝{1,2,4,6}；(2)因为B＝{x|－1≤x≤3}．所以∁R B＝{x|x<－1，或x>3}．作出数轴表示集合A和∁R B，如图所示．由图可知A∩∁R B＝{x|3<x<4}．[★答案★](1){1,2,4,6}(2){x|3<x<4}1．(四川高考改编)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝________.解析：根据题意，集合A＝{－2}，集合B＝{2，－2}，所以A∩B＝{－2}．★答案★：{－2}2．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．解：如图，∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．∴A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}.[例2] (1)已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若A ∩B ＝{9}，求a 的值．(2)已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围． [思路点拨] (1)先由A ∩B ＝{9}知9∈A .再由2a －1＝9或a 2＝9得a 验证． (2)借助于数轴分析求解． [精解详析] (1)∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝±3. 当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}． 此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}．故a ＝5舍去．当a ＝3时，B ＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去． 经检验可知a ＝－3符合题意．(2)①若A ＝∅，有A ∩B ＝∅，此时2a >a ＋3，∴a >3. ②若A ≠∅，由A ∩B ＝∅，得如图：∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1a ＋3≤52a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是[－1a ，2]∪(3，＋∞)[一点通]解决这种题型应抓住解题的突破口．当用集合列举法表示有限集时，应将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程或方程组求解．但要注意分类讨论思想．当集合为描述法表示的不等式数集时，应利用好数轴这把工具，转化为不等式或不等式组求解，但当出现交集为空集的情形时，应首先讨论集合中有没有空集．这时，不等式的端点值往往是极佳的切入点．3．集合P ＝{1,3，m }，Q ＝{m 2,1}，且P ∪Q ＝{1,3，m }，则实数m 的值为________． 解析：∵P ∪Q ＝{1,3，m }＝P . ∴m 2＝3或m 2＝m . 当m 2＝3时，m ＝±3这时P ＝{1,3，3}或{1,3，－3}均符合题意． 当m 2＝m 时，m ＝0或1.若m ＝0，则P ＝{1,3,0}符合题意． 若m ＝1，则P ＝{1,3,1}则与互异性矛盾． 综上可知，实数m 的值为0，±3. ★答案★：0，±34．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A 则m 的取值范围是________．解析：∵B ≠∅，∴m ＋1<2m －1，即m >2. 又∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤7，m ＋1≥－2，解得－3≤m ≤4， 综上得，2<m ≤4. ★答案★：(2,4]5．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0，m ∈R }，当A ∩B ＝B 时，求m 的取值范围．解：由题知，B ＝{x |x <－m4，m ∈R }，因为A ∩B ＝B ，所以A ⊇B ，所以由数轴(如图)可得－m4≤－2，所以m ≥8，即m 的取值范围是[8，＋∞).[例3] 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？[思路点拨] 把赞成A 和赞成B 的人分成两个集合，利用集合的交、并运算解决． [精解详析] 赞成A 的人数为50×35＝30，赞成B 的人数为30＋3＝33，如图．记50名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生全体为集合A ，赞成B 的学生全体为集合B .设对A 、B 都赞成的学生人数为x ，则对A、B都不赞成的学生人数为x3＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋(x3＋1)＝50，解得x＝21.所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．[一点通]集合命题中的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数问题，先对实际问题进行分析，抽象建立集合模型，转化为集合问题，运用集合知识进行求解，然后将数学问题翻译成实际问题的解进行检验，从而使问题得以解决，其中用Venn图进行分析，往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷、准确地获解．6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：将文字语言翻译成数学语言，借助于Venn图解决问题．设两项运动都喜爱的人数为x人．画出Venn图(如右图)，得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30，解得x＝3.即喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.★答案★：127．在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？解：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，同时参加田赛和球类比赛的人数为x，根据题意画出Venn图，如图所示．由题意得9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.即同时参加田赛和球类比赛的共有3人，只参加径赛的人为9人．1．交集的相关性质(1)A∩A＝A，即一个集合与其本身的交集是其本身．(2)A∩∅＝∅，即一个集合与空集的交集是空集．(3)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B＝B⇔B⊆A.2．并集的相关性质(1)A∪A＝A，即一个集合与其本身的并集是其本身．(2)A∪∅＝A，即一个集合与空集的并集是其本身．(3)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律(由并集的定义可得)．(4)A⊆A∪B，B⊆A∪B，即一个集合是其与任一集合并集的子集．(5)A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.(6)A∩B⊆(A∪B)．课时达标训练（四）一、填空题1．(江苏高考)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.解析：由题意得A∩B＝{－1,2}．★答案★：{－1,2}．2．(浙江高考改编)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝________.解析：根据集合的交集的定义，结合数轴可得：S∩T＝{x|－2<x≤1}．★答案★：{x|－2<x≤1}3．(新课标卷Ⅰ改编)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝________.解析：因为A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，所以B＝{1,4,9,16}，则A∩B＝{1,4}．★答案★：{1,4}4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于________．解析：由题意可得，∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x≤3}．★答案★：{x|－1≤x≤3}5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是________．解析：因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝{x |x ≤－k2}，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.★答案★：(－∞，6]6．(山东高考改编)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝________.解析：由U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，知A ∪B ＝{1,2,3}，又B ＝{1,2}，所以A 中一定有元素3，没有元素4，所以A ∩∁U B ＝{3}．★答案★：{3} 二、解答题7．已知x ∈R ，集合A ＝{－3，x 2，x ＋1}，B ＝{x －3,2x －1，x 2＋1}，如果A ∩B ＝{－3}，求A ∪B .解：∵A ∩B ＝{－3}，∴x －3＝－3或2x －1＝－3或x 2＋1＝－3. ①x －3＝－3时，x ＝0.这时A ＝{－3,0,1}，B ＝{－3，－1,1}， ∴A ∩B ＝{－3,1}，与题意不符合． ②当2x －1＝－3时，x ＝－1.这时A ＝{－3,1,0}，B ＝{－4，－3,2}， 与题意相符，且A ∪B ＝{0,1,2，－3，－4}． ③当x 2＋1＝－3时无解． 故A ∪B ＝{0,1,2，－3，－4}．8．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝{12}，求A ∪B .解：∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A 且12∈B ， ∴12是方程2x 2－px ＋q ＝0与6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0的根， ∴⎩⎨⎧12－12p ＋q ＝0，32＋(p ＋2)×12＋5＋q ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－4，p ＝－7. ∴A ＝{－4，12}，B ＝{12，13}．∴A ∪B ＝{－4，12，13}．9．设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a ，b ，c 的值．解：因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ，且－3∈B ， 将x ＝－3代入方程x 2＋ax －12＝0中， 得a ＝－1，从而A ＝{－3，4}．又A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，A ≠B ， 所以B ＝{－3}．所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)＋(－3)＝－b ，(－3)×(－3)＝c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝9.故a ＝－1，b ＝6，c ＝9.一、集合的含义与表示集合的含义 一般地，把研究的确定对象称为元素，把一些元素的总体称作集合元素的特征 ①确定性；②互异性；③无序性 元素与集合若a 属于集合A 记作a ∈A ； 若a 不属于集合A ，记作a ∉A . 特殊的数集 自然数集—N ，正整数集—N *或N ＋ 整数集—Z ，有理数集—Q ，实数集—R 分类 有限集、无限集和空集集合的表示列举法(适用于有限集和有规律的无限集) 描述法(适用于无限集及个别有限集)二、子集与真子集子集若x ∈A ，一定有x ∈B ，则A ⊆B (B ⊇A )真子集 若A ⊆B 且A ≠B ，三、交集、并集和补集定义性质交集 A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅， A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B 并集 A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }A ∪B ＝B ∪A ，A ∪∅＝A ， A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B 补集 ∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }①A ∩(∁U A )＝∅②A ∪(∁U A )＝U③∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ) ④∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B ) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把★答案★填在题中的横线上) 1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B ＝________.解析：∵A ＝{1,2,3}，∴∁U A ＝{0,4}．∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．★答案★：{0,2,4}2．设全集U ＝{1,2，x 2－2}，A ＝{1，x }，则∁U A ＝________.解析：由题意可知A ⊆U ，∴x ＝2或x ＝x 2－2.当x ＝2时，U ＝{1,2,2}与互异性矛盾；当x ＝x 2－2时，x ＝2(舍去)或－1，∴x ＝－1.这时U ＝{1,2，－1}，A ＝{1，－1}，∴∁U A ＝{2}．★答案★：{2}3．(新课标卷Ⅱ改编)已知集合M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，所以M ∩N ＝{－2，－1,0}． ★答案★：{－2，－1,0}4．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是________．解析：∵A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2,3}，∴B 中一定有元素3，∴B ＝{3}，{1,3}，{2,3}或{1,2,3}．★答案★：45．若集合A ＝{x |(k ＋2)x 2＋2kx ＋1＝0}有且仅有2个子集，则实数k 的值为________． 解析：因为A 有且仅有2个子集，所以A 应是单元素集．当k ＋2＝0即k ＝－2时，A 中只含一个元素14； 当k ＋2≠0时，Δ＝4k 2－4(k ＋2)＝0即k ＝－1或2时，A 中只含有一个元素， 故k 的值为±2，－1.★答案★：±2或－16．设U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝________.解析：∵∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |0<x ≤1}．★答案★：{x |0<x ≤1}7．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是________． 解析：因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．★答案★：[－1,1]8．已知全集U ＝{x |x 取不大于30的质数}，A 、B 是U 的两个子集，且A ∩(∁U B )＝{5,13,23}，(∁U A )∩B ＝{11,19,29}，(∁U A )∩(∁U B )＝{3,7}，则A ＝____________，B ＝______________.解析：U ＝{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}，根据题意画出Venn 如图所示．由图可知A ＝{2,5,13,17,23}，B ＝{2,11,17,19,29}．★答案★：{2,5,13,17,23} {2,11,17,19,29}9．设集合U ＝{x ∈N |0<x ≤8}，S ＝{1,2,4,5}，T ＝{3,5,7}，所以S ∩(∁U T )＝________. 解析：由条件知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U T ＝{1,2,4,6,8}，∴S ∩(∁U T )＝{1,2,4}． ★答案★：{1,2,4}10．设全集I ＝{1,2a －4，a 2－a －3}，A ＝{a －1,1}，∁I A ＝{3}，则a 的值是________． 解析：∵∁I A ＝{3}，∴3∉A 且3∈I .①当2a －4＝3时，a ＝72， 这时I ＝{1,3，234}，A ＝{52，1}，A ⃘I . 所以不合题意，舍去．②当a 2－a －3＝3时，a ＝3或－2.当a ＝3时，I ＝{1,2,3}，A ＝{2,1}，满足条件∁I A ＝{3}．当a ＝－2时，I ＝{1，－8,3}，A ＝{－3,1}不符合题意．综上可知a ＝3.★答案★：311．已知非空集合P 、Q ，定义P －Q ＝{x |x ∈P ，但x ∉Q }，则P －(P －Q )等于________． 解析：法一：结合Venn 图进行分析推理即可得出★答案★．法二：采用赋值法进行验证可得．令P ＝{1,2,3,4,5}，Q ＝{2,3,4,5}，则P －Q ＝{1}＝M ，P －(P －Q )＝P －M ＝{x |x ∈P ，但x ∉M }＝{2,3,4,5}＝P ∩Q .★答案★：P ∩Q12．已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ≤－1，或x ≥5}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .借助于数轴知：需a ＋3≤－1或a ≥5，即a ≤－4或a ≥5.★答案★：{a |a ≤－4或a ≥5}13．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为________．解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，且a∈A，b∈B，∴a＋b可以等于5,6,7,8，∴M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4.★答案★：414．设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B＝________.解析：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0≤x≤2}．又A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，∴A×B＝{x|x>2}＝(2，＋∞)．★答案★：(2，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，集合B＝{x|3<x<9}．(1)求∁U(A∪B)；(2)求A∩(∁U B)．解：(1)A∪B＝{x|2≤x<5}∪{x|3<x<9}＝{x|2≤x＜9}．∴∁U(A∪B)＝{x|x<2，或x≥9}．(2)∁U B＝{x|x≤3，或x≥9}．∴A∩(∁U B)＝{x|2≤x≤3}．16．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}，C＝{x|x>a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解：(1)∵A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}，∴A∪B＝{x|4≤x<10}．又∁R A＝{x|x<4或x≥8}，∴(∁R A)∩B＝{x|8≤x<10}．(2)将集合A、C分别标在数轴上，如图所示，要使A∩C≠∅，需a<8.故a的取值范围是a<8.17．(本小题满分14分)已知集合S 中的元素是正整数，且满足命题“如果x ∈S ，则(10－x )∈S ”时回答下列问题：(1)试写出只有一个元素的S ；(2)试写出元素个数为2的全部S .解：(1)∵S 中只有一个元素，∴应有x ＝10－x .∴x ＝5，即此时S ＝{5}．(2)∵S 中有两个元素，且x ∈S,10－x ∈S ，∴这两个元素的和为10，∴S 可能为{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}．18．(本小题满分16分)已知集合A ＝{x |x 2－px ＋15＝0}和B ＝{x |x 2－ax －b ＝0}，若A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，分别求实数p 、a 、b 的值．解：∵A ∩B ＝{3}，∴3∈A .设x 2－px ＋15＝0的另一根为x 1，则3x 1＝15，∴x 1＝5.又∵A ∪B ＝{2,3,5}．∴A ＝{3,5}，B ＝{2,3}．∴p ＝3＋5＝8.a ＝2＋3＝5.－b ＝2×3＝6即b ＝－6.故p ＝8，a ＝5，b ＝－6.19．(本小题满分16分)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}．(1)已知a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵a ＝3，∴集合P ＝{x |4≤x ≤7}．∴∁R P ＝{x |x <4或x >7}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}＝{x |－2≤x ≤5}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)∵P ∪Q ＝Q ，∴P ⊆Q .①当a ＋1>2a ＋1，即a <0时，P ＝∅，∴P ⊆Q ；②当a ≥0时，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，∴0≤a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．20．(本小题满分16分)已知A ＝{x |x 2－2x －8＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0，x∈R }，若B ∪A ≠A ，求实数a 的取值范围．解：∵A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，∴A ＝{－2,4}．若B ∪A ＝A ，则B ⊆A .∴集合B 有以下3种情况：①当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，∴⎩⎨⎧ a >0a >4或⎩⎪⎨⎪⎧a <0－a >4， 即a <－4或a >4.②当B ≠∅且B 是单元素时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，∴a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}⃘A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A .③当B ≠∅且B ＝{－2,4}时，－2,4是方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－a ，(－2)×4＝a 2－12.∴a ＝－2. 综上可知，B ∪A ＝A 时，实数a 的取值范围是a <－4或a ＝－2或a ≥4. B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为[－4，－2)∪(－2，4)．。